HARJOITUKSIA, SYKSY x

Matematiikan perusmetodit I/Mat HARJOITUKSIA, SYKSY 006. Johda yhtälön ax + bx + c =0(a 0) ratkaisukaava. Tarkastele ensin esimerkkinä yhtälöä x +5x +6=0.. Mitä alkioita kuuluu joukkoon A = {x R x = }? 3. Olkoon A = {x R Osoita, että A B. +x < +x} ja B = {x R x }. 4. Osoita, että joukot A = {x R x x < 0} ja B = {x R <x<} ovat samat. Määrää A:n komplementti A C. 5. Olkoon A = {x R x on parillinen kokonaisluku} ja B = {x Z x on parillinen kokonaisluku}. Osoita, että A = B. 6. Olkoon A = {x R x on parillinen kokonaisluku } ja B = {x R x on parillinen kokonaisluku }. Onko A = B? 7. Olkoon A = {,, 3, 4, 5, 6} ja B = {, 4, 7, 9}. Määrää A B ja A B. 8. Olkoon A = {x R 0 < x x +3 < } ja B = {x R x 5x +4< 0}. Esitä mahdollisimman yksinkertaisesti lukujoukot A B ja A B muodossa {x R P (x)}. 9. Olkoot A = {,, 3,..., 50} ja B = {x N x = n + jollain n N}. Määrää A B. 0. Osoita, että a) A A C = E b) A CC = A.. Todista De Morganin laki (A B) C = A C B C.

. Oletetaan, että A B. Osoita, että B C A C. 3. Olkoon A = {n Z n >3} ja B = {n Z n < 5}. Laske A C,A B,A B ja B \ A. 4. Olkoon A = {x R x < }. Laske A C ja A A C. 5. Olkoot A = {, 4, 6, 8, 0, } ja B = {, 3, 4, 5, 8, 0}. Määrää A B ja A B. 6. Olkoot A = {x R <x 8} ja B = {, 0,, 4, 7}. Määrää A B ja A B. 7. Ratkaise epäyhtälö a) x +4 4 b) x > 5 x c) + < d) x + <x e) x + x + < f) x +x. 8. Olkoot A = {, 3, 5, 7} ja B = {,, 3, 4}. Laske a) A B, b) A \ B,B \ A c) Mitä voit sanoa joukoista A C ja B C? 9. Olkoot A = { x R x 4x +3< 0 } ja B = Laske a) A B, b) B C, c) A \ B. 0. Osoita, että A B, jos ja vain jos A B = B. x { x R x 0,. Olkoon A = {x R 0 < x x +4 < }. Laske AC ja A A C.. Olkoot A = { n Z n < 5 } ja B = Laske A B ja B A. { n Z n 0, 3. Olkoot A = {(k, n) Z Z k + n } ja B = {(0, 0), (, ), (, ), (3, 4), (3, 4)}. Laske a) A C, b) A B, c) B \ A. } x <. n 4 n }. < 3

4. Ratkaise epäyhtälöt a) x + x + < 4 b) x 4x c) x 4x < 3 d) x < 5x 3. 5. Todista oikeaksi tai vääräksi väite 0 5 n 3 + 700 + 0 6 n +0 7 >n n Z +. 6. Todista induktiolla seuraavat väitteet: n n(n +) n a) i =, b) j n(n + )(n +) =, 6 c) i= n i= 3 i = 3(9n ) 8 j= n Z +. 7. Osoita, että ( n )n, kun n N ja n (vihje: käytä n Bernoullin epäyhtälöä). 8. Joukossa E on n alkiota. Todista induktiolla, että E:n kaikkien osajoukkojen joukossa P (E) on n alkiota. 9. Todista tarkasti väite: x + x + x. 30. Tutki ovatko seuraavat väitteet tosia ja todista ne siinä tapauksessa. a) n 3 500n 90 < 70n 5 + 900 n =,,... b) luku n on jaollinen kolmella aina, kun n on parillinen positiivinen kokonaisluku. 3. Todista, että n 3 n on jaollinen kolmella aina, kun n on kokonaisluku. 3. Osoita, että luku n on jaollinen kolmella aina, kun n>3on alkuluku (jaoton). 33. Osoita, että n 3 + n + n aina, kun n N.

34. On n taloa, joista jokainen halutaan kytkeä puhelinkaapelilla toisiinsa (kytkentä = kahden talon välinen kaapeli). Kuinka monta kytkentää tarvitaan? 35. Todista induktiolla seuraavat väitteet: n n a) + k k! =(n+)!, b) < n aina kun n =,,.... k k= 36. Osoita induktiolla, että n-kulmion kulmien summa=(n )80. k= 37. Todista induktiolla seuraavat väitteet a) n i(i +)= n(n+)(n+) 3, aina, kun n Z +, i= b) n 3 3n + 3 aina, kun n Z +, n 3, c) luku n +5n on jaollinen luvulla 9, kun n Z +. 38. Osoita, että a + b + c ab + ac + bc (vihje: tutki lauseketta (a b) +(b c) +(a c) ). 39. Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja. Osoita, että (a + b + c)( a + b + c ) 9. 40. a) Todista, että x + x aina, kun x>0. b) Todista a)-kohtaa käyttäen, että (a + b + c)( a + b + c ) 9 aina, kun a, b ja c ovat positiivisia reaalilukuja. 4. Olkoon a<bsekä A = 3 (a + ab + b )jab = (a + b ). Osoita, että A<B. 4. Tutki lukujen m + n ja mn parillisuutta, kun m, n Z.

43. a) Osoita, että kahden rationaaliluvun summa, tulo ja erotus ovat myös rationaalilukuja. b) Olkoon x R irrationaaliluku. Osoita oikeaksi tai vääräksi väite: x on irrationaalinen. x + 44. Oletetaan: n, m Z ja m + n on parillinen. Osoita, että m + n on parillinen. 45. Ratkaise kaikki sellaiset x, y Z, että x y = 46. Esitä muodossa m n luvut a) 0, 5 b), 34 c).,7 47. Määrää jaksollisten desimaalilukujen, 35 35... ja, 35 35... käänteisluvut muodossa m n, missä m, n Z +. 48. Tiedetään, että a ja b 7. Arvioi lukua 4a + b ylöspäin. 49. Osoita kolmioepäyhtlöä käyttäen, että a) x aina, kun x, b) x 4 < 5 aina, kun x <, c) 4x +7 + 4x 8 kaikilla x R, d) +x x < aina, kun x <. 50. Osoita, että epäyhtälö (x +) + y 4 +(x ) on voimassa kaikilla x:n ja y:n reaaliarvoilla. Milloin yhtäsuuruus on voimassa? 5. Todista: Jos 0 <a<b, niin a< ab < a + b <b.

5. Ratkaise epäyhtälöt a) x + x <, b) x 4x, c) x 4x < 3, d) 5x + < 3x, e) x x < x + x. 53. Todista induktiolla, että a) 5+ 5 +3 5 3 +... + n 5 n 5+(4n )5n+ = n Z +, 6 n b) a j n a j n Z + ja mille tahansa reaaliluvuille a,a,..., c) j= n π ( j= j= + )=n, n =, 3,.... j n 54. Todista induktiolla n a) j 3 =[ n(n+) ] n =,,... b) j= n Π j= ( j )= n n =, 3,... 55. Olkoon a n = n+ k=n k. a) Osoita todeksi väite: jos luku a n on jaollinen kolmella, niin myös a n+ on jaollinen kolmella. b) Tutki milloin a n on jaollinen kolmella. 56. a) Osoita suoraan laskemalla, että binomikertoimille ( ) n n! k = k!(n k)! on aina voimassa ( ) n k + ( ) n k ( n + = k ), n,k Z +, k n b) Todista induktiolla kaava n ( ) n ( + x) n = x k k k=0 n Z +, x R

c) Todista b-kohdan perusteella ns. binomikaava n ( ) n (a + b) n = a k b n k, n Z +, a,b R. k k=0 57. Osoita kolmioepäyhtälöä käyttäen, että a) 3x + + 3x 4 kaikilla x R, b) > aina, kun x <. +x x 58. Olkoon a>0, x <aja y <a.osoita, että x y < a. 59. Olkoot u>0jav>0 sekä x a <uja y b <v.osoita, että a) x + y (a + b) <u+ v, b) x y (a b) <u+ v. 60. Olkoon ε>0 sekä x a <εja y b <ε.osoita, että xy ab ( a + b + ε)ε. 6. Muodosta joukon a) {a, b}, b) {a, b, c}, c) {a, b, c, d} kaikki osajoukot. 6. Tutki, onko seuraavissa päättelyissä jokin virhe ja jos on, niin missä: x = y x = xy x y = xy y (x+y)(x y) =y(x y) x + y = y y = y =. 63. Määrää min S, max S, inf S ja sup S mikäli mahdollista, kun a) S =]0, [ [, 3] b) S = {n n n Z +} c) S = n= ] n +, n ] d) S = {λ R yhtälöllä x λx + = 0 ei ole reaalista ratkaisua}. 64. Osoita, että joukon S supreemum on yksikäsitteinen, mikäli se on olemassa.

65. Osoita, että max ( S) = -min S ja sup( S) = -inf S (mikäli olemassa). 66. Ovatko seuraavat funktiot injektioita tai surjektioita: (i) f : Z Z, f(x) =x + (ii) f : N N, f(x) =x + (iii) f : Z Z, f(x) =x (iv) f : R R, f(x) =x. 67. Kirjoita määritysjoukko D f, kun a) f(x) = x + x + 3x, b) f(x) = x x x 68. Olkoon f : R R, f(x) =x + ja g : R R, g(x) =x+. Määrää f g, g f, f f ja g g. 69. Määritellään funktio f asettamalla { x, kun x f(x) =, x kun x > a) Määrää D f ja R f ja piirrä kuvaaja. b) Määrää f f. c) Ratkaise epäyhtälö <f(x) <. 70. Olkoon B = {x R x 0} ja f : B B, f(x) = x +. Osoita, että f on aidosti vähenevä. Määrää f:n arvojoukko R f ja määrää f : R f B. 7. Osoita, että injektiivisyyden ehto x,x D f, x x f(x ) f(x ) on yhtäpitävä ehdon x,x D f, f(x )=f(x ) x = x kanssa. 7. Tutki seuraavien funktioiden surjektiivisuutta ja injektiivisyyttä: a) f : Z Z, f(x) =x, b) f : R R, f(x) =x,

{ c) f : Z N, f(x) =x x, d)f : R R, f(x) =, x 0 0, x =0. 73. Olkoon f(x) = x + x. a) Tutki, onko f surjektio tai injektio. b) Määrää R f ja f : R f R. 74. Olkoon a > 0 ja f reaalifunktio, joka toteuttaa ehdon f(x + a) = + f(x) (f(x)) aina, kun x R. Osoita, että f on jaksollinen funktio, jonka jakso = a (on siis osoitettava, että f(x) =f(x +a) aina, kun x R). 75. Olkoon f jaksollinen funktio ja ω > 0 sen perusjakso. Osoita induktiolla, että nω on f:n jakso aina, kun n Z +. 76. Bijektio f : R R toteuttaa yhtälön f(f (x)+x) =f(x) x R. Määrää funktio f. 77. Olkoot f,g : R R. Osoita a) Jos (f g)(x) =x x R, niin f on surjektio. b) Jos (g f)(x) =x x R, niin f on injektio. c) Jos edellisten kohtien molemmat ehdot ovat voimassa niin f = g. 78. Olkoon f : R R bijektio ja g(x) =f(x) +. Osoita, että myös g : R R on bijektio. 79. Olkoon f : R R funktio, joka toteuttaa yhtälön (f(x)) 3 + f(x) =x x R a) Osoita, että f on injektio, b) Osoita, että f on surjektio, c) Määrää f : R R. 80. Olkoot f(x) = x +jag(x) =x. Ratkaise yhtälö (f g)(x) = g(x).

8. Olkoot f(x) = x ja g(x) = x+. Määrää D f g, ja ratkaise epäyhtälö (f g)(x) >g(x). 8. Olkoon f : R R bijektio ja g(x) =7f(x)+8 kaikilla x R. Osoita, että g on bijektio:r R. 83. Olkoot f ja g : R R funktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, kun a) f ja g ovat kasvavia, b) f ja g ovat väheneviä, c) f on kasvava ja g on vähenevä, d) f on vähenevä ja g on kasvava. 84. Laske P (0), kun polynomin P (x) =x 3 + ax + bx + c 0-kohdat ovat -, ja. 85. Olkoon P astetta n oleva polynomi ja P (k) = kun k =,,..., n. Millä ehdolla P (0) =? 86. Tiedetään, että r-säteisen kiekon ala = πr ja kehän pituus = πr. Johda kulmaa θ, 0 <θ<π, vastaavan sektorin alan ja kaarenpituuden lausekkeet. 87. Määrää sin x ja cos x, kun x on a) n π 4 π, n =0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, b) n, n =,, 4, 5, 3 c) n π, n =, 5, 7,. 6 88. Määrää kaikki x:n arvot, kun a) sin x =, b) cos x = -, c) cos x =-, d) tan x =, e) tan x = -, f) sin x = 3, g) tan 3x = 3. 89. a) Muunna radiaaneiksi kulmat α =60, α = 45, α = 0. b) Muunna asteiksi kulmat α = 3π 4, α = π 5.

90. Määrää a) sinx, b) cosx, c) tanx, kun0<x< π ja sinx = 4 5. 9. a) Osoita, että + tan x = cos x. b) Laske sin x, kun tan x = 5 ja π<x<3π. 9. Olkoon tan x = t. Osoita, että sin x = t +t ja cos x = t +t. 93. Todista identiteetit a) cos 4 α sin 4 α = cos(α) b) cos α sin α = tan α 94. Ratkaise yhtälö a) cos x = 3 sin x, b) sin x = cos x, c) sin 3x = cos x, d) cos x = cos x, f) 3(cos x sin x) sin x cos x =0. 95. Määrää sin(x + y), kun sin x = 3 5 ja cos y = 7 5 y π, x / [ ] [ ] 0, π ja y/ 0, π. ja 0 x π, 0 96. Ratkaise yhtälöt a) tan x = sin x, b) + sin(3x) = (sin x + cos x), c) cos(7x) = cos x, d) sin x cos x =, e) sin(3x) = cos x. 97. Ratkaise epäyhtälö a) cos x + sin x <0, b) sin x> + sin x, c) sin x +cos x>. 98. Kolmion kulmat ja niiden vastaiset sivut ovat α,β,γ ja a, b, c. a) Todista sinilause: sin α a = sin β b = sin γ c. b) Todista kosinilause: c = a + b ab cos γ. c) Laske a, kun b =,c=3jaβ = π/6. 99. Ratkaise a) sin x+ <, b) sin x>cos x, c) sin x >cos x, d) cos x tan x>, e) sin x = sin ( x + π 3 ).

00. Osoita, että kompleksiluvuille z ja w a) z + w = z + w, b) zw = z w, c) = z = z, d) z z = z, e) z = z, f) zw = z w g) z = z (w 0), h) z =0 z =0 i)wz =0 w =0 w w tai z = 0 (tulon nollasääntö). 0. Esitä kompleksiluvut ( + i)( 3i) ja +i 5+i muodossa x + yi. 0. Esitä muodossa a + bi kompleksiluvut a) ( + 4i)( 5i) b) +i 4 i c) ( + i) d) ( + i). 03. Määrää kompleksilukujen +i 4+3i ja cos α+i sin α, α R, itseisarvot. 04. Millä reaaliluvun x arvoilla lauseke kun z = x +3i. z z 6i on reaalinen, 05. Ratkaise z = x + yi yhtälöstä z z =+i. 06. Olkoon P (x) =a n x n + a n x n + + a x + a 0 reaalikertoiminen polynomi. Osoita: Jos z C on P (x):n nollakohta, niin myös z on P (x):n nollakohta. 07. Esitä kompleksiluvut 3+3i, +i, 3 i ja i muodossa r(cos ϕ + i sin ϕ). 08. Laske a) ( 3+i) 30, b) ( ) 3 3 + i. 09. Ratkaise yhtälö a) z 3 =, b) z 4 =. 0. Esitä sin 3α ja cos 3α lausekkeiden sin α ja cos α avulla (vihje: Käytä de Moivre n kaavaa).

. Osoita, että kompleksiluvulle on voimassa a) z + w z + w b) z + w + z w =( z + w ). Tulkitse tulokset geometrisesti.. Ratkaise yhtälö z 3 = +i. 3. Ratkaise yhtälöt a) z + z =0 b)z + z =3 i c) z6 = 4. Tutki, mitä esittävät kompleksitasossa joukot (z = x + iy) : a) z = +i i z b) x +(y )i 3. 5. Todista induktiolla, että n j= (j )(j+) = n n+, n Z +. 6. Olkoon x 0 =jax n+ =+ x n, kun n N. Todista induktiolla, että x n = ( ) n, n N. 7. Ratkaise epäyhtälöt a) c) x > +x, b) 8x> x, x x + > x +3 x +, d) 3x + x <. 8. Ratkaise epäyhtälö a) 3 x 3 <x+, b) x + x < 5, c) + <, d) x x < 3. 9. Todista kolmioepäyhtälöäkäyttäen, että a) x + 00 + x 99 00 kaikilla x R. b) > 3 aina, kun x <. +x x

0. Määrää määritysjoukko D f, kun f(x) = x x.. Olkoot f(x) = x +jag(x) =x. Määrää(f g)(x) ja(g f)(x) sekä määritysjoukot D f g ja D g f. Ratkaise yhtälö (f g)(x) =g(x).. Osoita, että ehdolla x + y + z = π on sin x + sin y + sin z = 4 sin x sin y sin z. 3. Ratkaise yhtälö 4 sin x tan x =0. 4. Osoita, että f(x) =x x,f : R R, on bijektio. 5. Funktiolla f : R R, f(x) =x 3 + x, on käänteisfunktio. Määrää f (3). 6. Määrää reaali- ja imaginaariosat, kun a) z = i( + 3i)( i) b) z = 4i +i. 7. Esitä napakoordinaateissa kompleksiluvut a) z =5 b)z = 7 c) z = i d) 3+i. 8. Ratkaise kompleksiset yhtälöt a) z 3 + z =0 b)z + z =5 c)z + z = i. 9. Määrää reaali- ja imaginaariosat luvulle ( 3+i 3) 5. 30. Ratkaise napakoordinaattien avulla yhtälöt a) z 3 =+i b) z 5 =. 3. Ratkaise a) z z +=0 b) z + iz <. 3. Lue monisteen sivu 54.

33. Jaa polynomi P (x) =x 3 x + x tekijöihin a) kunnassa R, b) kunnassa C. 34. Olkoon P (x) =x 4 +7x 3 +4x +63x c, c R. a) Määrää luku c, kun P :n yksi nollakohta on 3i. b) Jaa polynomi P tekijöihin i) kunnassa R, ii) kunnassa C. 35. Polynomin P (x) =x 3 9x +9x + c yksi nollakohta on. Jaa P (x) tekijöihin a) kunnassa R, b) kunnassa C. 36. Polynomin P (x) =x 3 x +9x + c yksi nollakohta on. Jaa P (x) tekijöihin a) kunnassa R, b) kunnassa C. 37. Olkoot z = i, z =+i ja z 3 = 3. Määrää sellainen alinta astetta oleva a) reaalikertoiminen polynomi, jonka nollakohtia ovat z,z ja z 3. b) kompleksikertoiminen polynomi, jonka nollakohtia ovat z,z ja z 3. 38. Olkoot z 0,z,..., z n yhtälön z n = ratkaisut, kun n Z +,n. Osoita, että n z k =0. k=0 39. Johda toisen asteen yhtälön z +a z+a 0 =0, a 0,a C, ratkaisukaava. 40. Osoita tarkasti, että a) lim (x 8) = 4 x 4. Laske raja-arvot n +7 a) lim n n 3 + b) lim x x x =, kun x 0. x b) lim n n + n + n +3

c) lim n ( n + n n) sin(n) d) lim n n. 4. Laske raja-arvo ( ) lim n n + + n + +... +. n + n 43. Määrää lim n x n, kun x n on a) n + n 3 n + d) n (n 44. Osoita tarkasti, että lim n 45. Osoita tarkasti, että lim n, b) (n +) (n ) n n + n ), e) n + (n +) + + (n), n +n =0. n +n =., c) n( n + n), f) n k= n + k. 46. Todista: Jos lukujono (a n ) suppenee, niin raja-arvo lim n a n on yksikäsitteinen. 47. Olkoon jono (a n ) n= vähenevä ja alhaalta rajoitettu lukujono, ja olkoon inf{a n } = a. Osoita, että jono (a n ) suppenee ja lim a n = a. n 48. Lue monisteen sivut 59-6. 49. Määrittele käsitteet sarjan k= a n osasumma, suppeneminen ja summa. 50. Tutki seuraavien sarjojen suppenemista ja laske summa, mikäli mahdollista: a) k(k+) (teleskooppisarja), b) a k (geometrinen sarja). k= 5. Pallo ponnahtaa tiputettuna lattiasta niin, että se saavuttaa 90% pudotuskorkeudesta. Laske pallon kulkema kokonaismatka, kun pallo tipautetaan m:n korkeudesta ja annetaan pomppia kunnes se pysähtyy. k=0

5. Osoita osasummien jonoa tutkimalla, että sarja k= k hajaantuu. 53. Oletetaan, että sarja a k suppenee. Osoita, että lim a n =0. k= n (vrt. teht. 5; käänteinen väite ei pidä paikkaansa). 54. Lue monisteen sivut 63-64. 55. Osoita kahdella tavalla, että a) 0,...= 4 33 (jakso=), b) 0,999...= (jakso=9). 56. Osoita, että jono (a n ) suppenee ja määrää lim n a n, kun a) a =jaa n+ = 6 (a n +9), n Z +, b) a =jaa n+ = 3a n +a n, n Z +. 57. Osoita, että sarja suppenee, ja laske sen summa a) k= + k+ 3 k b) k= (k )(k+)

58. Osoita, että funktio f : R R on bijektio, jos se toteuttaa ehdon a) f(3f(x)) x = 0 aina, kun x R, b) (f f)(x) =5x aina, kun x R, c) (f f)(x) =x + aina, kun x R. 59. Olkoon ε>0jaδ ε = min( 3, 9ε ). Osoita, että a) x 3 aina, kun 0 < x 3 < 3. b) x 3 <εaina, kun 0 < x 3 <δ ε. 60. Olkoon lim x x 0 f(x) =a<0. Osoita, että on olemassa sellainen aito ympäristö B δ (x 0), että f(x) < a < 0 aina, kun x B δ (x 0). 6. Olkoot lim f(x) =a ja lim g(x) =b. Osoita, että x x 0 x x 0 a) lim (f(x)g(x)) = ab ja x x 0 f(x) b) lim x x g(x) = a, jos b 0, b 0 c) jos f(x) g(x) x 0 :n jossakin aidossa ympäristössä, niin a b. 6. Määrää seuraavat raja-arvot: x 3 ) lim x 3 x + x 5 ) lim x 5 x 4x 5 x 4 3) lim x x 6 4) lim x x 3 +8 x 5) lim x x x x 4 6) lim x + x 7) lim x 9) lim x x x x x + x x ( x +3 3x +5 ( ) 0) lim x x +x ) lim sin(3x ) x 8) lim + ) ) lim 3x x x +x x x + x

3) lim x 5) lim sin(πx) x sin x cos x 4) lim sin x sin x x 3 6) lim sin(πx + x ) x 7) lim 9) lim 0) lim x π 4 sin(x) sin(0x) sin(59x) tan x sin x x 3 cos x cos(x + π 4 ) x 3 8) lim ) lim x sin( π [x]) +x sin 3x ) lim [sin( π x)] ([x] = suurin kokonaisluku, joka x). x 63. Määrää sellainen vakio a, että funktiolla f(x) = ax 6x +4 x x raja-arvo, kun x. Mikä ko. raja-arvo on? on 64. Määrää sellaiset luvut a, b R, että raja-arvo ax + bx + lim x x on olemassa. Laske tällöin kyseinen raja-arvo. 65. Laske raja-arvot a) lim x 4 x, b) lim x 4 x tan x, c) lim x x + x 6 +5x 3x 6, +8 d) lim ( x + x x x + x), e) lim, f) lim. x x x x x 66. Määrää seuraavat raja-arvot + cos x 3 x +7 3 x + ) lim, ) lim, 3) lim, x π (x π) x x x x 3 + x x x 3 x + x 4) lim x x, 5) lim + x x x, x ( + x) x 4 6) lim ( + x) 3, 7) lim x x, x 3 8) lim x x, 9) lim x 3 x 3 7 x 3, 0) lim cos x cos x, ) lim, x x

) lim x sin x, sin 3x 5) lim 7x 8) lim x π 0) lim x 3) lim, 6) lim sin 4x, 4) lim x x 3 x sin 8x, sin(x 3), x 3 sin 7x 7) lim sin 4x, ( cos x, 9) lim (x π) x x 4 + x x + x + tan 4x, ) lim x x x +4 3) lim x sin x x 3 x 3, 4) lim x ),, ) lim, 5) lim x 9x 3 +x + 99x cos 3 x 6) lim, 7) lim, x x x 8) lim cos 3x cos x x, 9) lim sin(cos x ) x. 67. Osoita tarkasti, että sin 4x cos x sin x, 3+x sin(x ), a) lim x 5 (3x ) = 4 b) lim x x =4. 68. Määrää vakioille a ja b sellaiset arvot, että raja-arvo lim on äärellisenä olemassa. Määrää k.o. raja-arvo. +x ax b x 69. Olkoon a = 99 ja a n+ = 7a n, kun n =,,. Osoita, että lukujono (a n )suppenee ja määrää lim n a n. 70. (Yo-tehtävä K00) Lukujonon termit ovat a =, a =, a 3 =, a 4 =, jne. Muodosta termeille rekursiokaava. Laske lim a n. n 7. (Yo-tehtävä S00) Tutki, millä x R sarja k=0 ( x 3x+) k suppenee. Määritä summafunktio ja piirrä sen kuvaaja.

7. Osoita, että yhtälöllä x 3 x 3x + = 0 on täsmälleen a) yksi negatiivinen ratkaisu b) kaksi positiivista ratkaisua. Piirrä ko. polynomifunktion kuvaaja. 73. Osoita, että jatkuvalla funktiolla f :[0, ] [0, ] on kiintopiste ts. sellainen x 0 [0, ], että f(x 0 )=x 0. 74. Määrää sellainen luku a R, että funktio { x, kun x f(x) = x + a, kun x> on kaikkialla jatkuva. cos x cos x 75. Olkoon f(x) =. Voidaanko f(0) määritellä niin, että x f tulee jatkuvaksi pisteessä 0? 76. Määrää sellaiset luvut a, b R, että funktio x +,x<0 f(x) = b,x =0 tan(ax),x>0 bx on jatkuva origossa. 77. Osoita, että yhtälöllä x 7 + x + = 0 on ainakin yksi reaalijuuri. 78. Tutki, onko yhtälöllä x 3 x +x 3= x yhtään ratkaisua. 79. Olkoon f : R R jatkuva funktio, joka toteuttaa ehdon f(x) x aina., kun x R. Osoita, että funktiolla f on ainakin yksi nollakohta (vihje: käytä Bolzanon lausetta). 80. Olkoon f : R R jatkuva funktio, joka toteuttaa ehdon (f(x)) 3 + x + <, aina, kun x R. Osoita, että funktiolla f on ainakin yksi nollakohta. 8. Osoita, että yhtälöllä x = cos x on ratkaisu x 0 R. 8. Olkoon { x,x Q f(x) = x,x / Q. Tutki, missä pisteissä f on jatkuva.

83. Olkoon f : R R jatkuva ja f(x) =x, kun x Q. Tutki, mikä funktio on kyseessä. 84. Olkoon { 0,x / Q f(x) =,x= p q Q q missä x = p q (q>0) on supistetussa muodossa (sovitaan tässä 0 = 0 ). Tutki, missä pisteissä f on jatkuva. 85. Ratkaise x, kun a) ln x +ln x =ln 3 b) log (log x)= c) e x+ = d) 4 x x >. 86. Olkoon f : R R, f(x) =ln( +x x). Osoita, että f on pariton funktio. 87. Onko log 3 6 rationaali - vai irrationaaliluku? 88. Määrää raja-arvot a) lim d) lim 4 x x(x+), ( + x x )3x, ) x, g) lim x ( x+ x h) lim ( + x 3x )x, k) lim x 89. Laske arc sin ( ) ( arc cos b) lim x[ln x ln(x + )]. 3, ( arc tan( ), arc tan sin(arc tan 3). 3 x+8 x +x e) lim x ( x )x, i) lim x ( x+3 x )x+3, sin(5x), c) lim x, f) lim x ( + x )x, j) lim x ( x+3 x+ )x+, ) ( ) ( ), arc sin, arc sin, arc cos ( ), ) 3, arc cot( 3), sin ( ) arc cos 4 5 Nerous on prosentin verran inspiraatiota ja 99 % hikeä. -Thomas Alva Edison-

90. Olkoon f(x) = x. Määrää f (5) suoraan derivaatan määritelmään nojaten. 9. Onko f () olemassa, kun { x, kun x a) f(x) = x, kun x>, { x, kun x b) f(x) = 4x 3, kun x<. 9. Olkoon f(x) = sin x + cos x. Tutki, onko f (0) olemassa. 93. Osoita: Jos f ja g ovat derivoituvia pisteessä x 0 niin f + g on derivoituva pisteessä x 0 ja (f + g) (x 0 )=f (x 0 )+g (x 0 ). 94. Olkoon { x, kun x f(x) = x 3 3, kun x<. Määrää f (x), kun x ja lim f (x) sekä lim f (x). Tutki, onko x x + f jatkuva pisteessä x = ja onko f () olemassa? 95. Määrää sellaiset vakiot a ja b, että fuktio { ax + b, kun x> f(x) = 3x +4, kun x on derivoituva pisteessä x =. 96. Oletetaan, että pisteen x = 0 eräässä ympäristössä on voimassa cos x f(x) +x. Määrää f(0), ja osoita, että f (0) on olemassa ja määrää se. 97. Oletetaan, että f (a) on olemassa. Määrää f(a + h) f(a h) xf(a) af(x) a) lim, b) lim. h 0 h x a x a 98. Olkoon f(x) = x + x +5. Laske f () suoraan derivaatan määritelmän nojalla.

99. Oletetaan, että pisteen x = 0 eräässä ympäristössä x f(x) +x. Määrää f(0). Osoita, että f on derivoituva pisteessä x =0, ja laske f (0). 00. Kappaleen paikka hetkellä t on s(t) =t+ 4 +t,t 0. Missä kohdassa kappaleen nopeus on nolla? Milloin kappale on lähinnä origoa? 0. Tutki, millä vakioiden a>0jab>0arvoilla käyrät y = ax ja y = b x leikkaavat toisensa kohtisuoraan. 0. Todista derivoimiskaavat D(cos x) = sin x, D(tan x) = + tan x ja D(cot x) = ( + cot x). 03. Määrää käyrän y = x pisteen (,0) kautta kulkevien tangenttien yhtälöt. 04. Derivoi f(x), kun f(x) on a) (x )(x + x 3 ), b) x x +, c) x3 sin x cos x, sin x d) + cos x, e) x ln x x, f) x5 ln x. 05. Derivoi f(x), kun f(x) on ( ) 4 x + a), b) x x x, c) e ex, d) cosh x, e) x, x f) (ln x) ln x, g) x sin x, h) (arc sin x), i) arc sin x, j) arc tan x, k) arc tan e x, l) arc tan(ln x). 06. Osoita, että a) D sinh x = cosh x, b) funktiolla f(x) = sinh x on käänteisfunktio f (x) =ar sinh x ja määrää sen derivaatta. 07. Osoita, että a) D tanh x = cosh x, b) funktiolla f(x) = tanh x on käänteisfunktio f (x) =ar tanh x ja määrää sen derivaatta. 08. Olkoon f(x) =x 3 +5x +8. Merkitään h(y) =e f (y). Laske h (). 09. Olkoon y() > 0jax 3 y 3 + xy =0. Laske y ().

0. Osoita väliarvolauseen avulla, että a) 9 < 66 8 < 8, b) 6 < ln 6 ln 5 < 5, x c) < ln( + x) <x,kun x>0, +x d) x x3 < arc tan x<x x >0. 3. Olkoon f derivoituva funktio, jolla 0 f (x) aina, kun x [0, ]. Olkoon lisäksi f(0) = ja f() = 4. Osoita, että f() 3.. Funktio f : R R toteuttaa ehdot: f() = ja Määrää funktio f. xf(x) yf(y) x y x>0,y >0. 3. Määrää seuraavat raja-arvot a) lim x + cos πx ln(cos 3x) x, b) lim x + + ln(cos x), e x e x x d) lim x sin x ( g) lim x sin x x 3 )., e) lim (cos x) cot x, c) lim sin x e 3x, f) lim sin(cos(7x) ) x, 4. Osoita, että yhtälöllä 0x 4 6x + = 0 on juuri välillä [0,]. (Opastus: tarkastele funktiota f(x) = x 5 3x + x ja sovella Rollen lausetta.) 5. Osoita, että yhtälöllä 0x 3 +4x 7 = 0 on tarkalleen yksi positiivinen juuri. 6. Määrää ne positiiviluvut a, joilla yhtälöllä x + a sin x =0on ratkaisu x välillä [ 0, π ].

7. Olkoon g(x) = cos x, π x π. Esitä g : [, ] [π, π] funktion arc cos avulla. 8. Todista identiteetti arc tan( y y+ )+ π 4 = arc tan y, kun y>. 9. Piirrä funktion f(x) = arc sin(sin x), x R, kuvaaja (ilman laskinta). 0. Osoita väliarvolauseen avulla, että a) +x<+ x b) cos x x x>0, x R.. Tutki miten yhtälön x 3 3ax + = 0 reaalisten ratkaisujen lukumäärä riippuu vakiosta a 0.. Laske raja-arvot a) lim x x 3 8 x x sin x x π b) lim c) lim x x π cos x d) lim cos ax cos bx. 3. Valmistetaan tasapaksusta aineesta astia, jonka pohja on neliö ja tilavuus. Astiaan tehdään kansi kalliimmasta materiaalista, jonka hinta on 5-kertainen pinta-alayksikköä kohden verrattuna muuhun osaan. Määrää astian mitat, kun materiaalikulut on saaava mahdollisimman pieniksi. 4. Olkoon f(x) =x 7 +x 5 3, x R. a) Osoita, että f : R R on olemassa. b) Laske (f ) (0). 5. Olkoon f(x) =x + sin x, x R. a) Osoita, että f : R R on olemassa. b) Laske (f ) (π).

6. Funktio f : R R toteuttaa ehdon ( ) x + y f(x) f(y) =f (x y) x, y R. Määrää funktio f. 7. Osoita, että funktio f(x) =x on alaspäin kupera suoraan määritelmän perusteella (ks. sivu 5 moniste). 8. Käytettävissä on 00 m aitaa sekä pitkä, suora muuri, jota voidaan käyttää osana aitausta. Rakenna mahdollisimman suuri aitaus, kun a) Muuri ja aita muodostavat yhdessä suorakulmion. b) Aita on osa jonkin ympyrän kehää. 9. Olkoon f(x) =x arc tan (tan x) x π + nπ, n κ. Laske f (x) ja piirrä funktion kuvaaja. 30. Derivoi a) f(x) = (x + )(x +4) x(x +) b) f(x) = (x+) x (x+4) 3 e x. 3. Integroi a) x dx, b) x( x )dx, c) x( x +x 3 x)dx, d) ( x ) dx, e) x+3 dx, f) x+3 dx, g) x 3+x dx, h) x x +8 dx, i) +a x dx, j) dx +x, k) x x dx, l) cos(6x)dx, m) sin(4x +)dx, n) sin 5 x cos xdx, o) sin xdx, p) cos xdx, q) sin 3 xdx, r) cos 3 xdx, s) sin 5 xdx, t) sin 4 xdx, u) cos 4 xdx, v) tan xdx, x) dx 7x+5, y) tan x dx, z) e x e x + dx. 3. Määrää osittaisintegroinnin avulla a) xe x dx, b) xe x dx, c) x sin xdx, d) x ln xdx, e) ln xdx, f) ln(x )dx, g) x sin xdx, h) x ln xdx, i) ln(+x ) dx, j) (x + ) sin(x)dx, k) ln(+x ) dx, x x

l) ln( + x )dx, m) arc tan xdx, n) cos(ln x)dx, o) e x cos xdx, p) arc sin xdx, q) x 3 e x dx. 33. Johda osittaisintegroinnin avulla palautuskaavat a) sin n xdx= n sinn x cos x + n sin n xdx, n b) cos n xdx= n cosn x sin x + n cos n xdx n (n =, 3,...). 34. Integroi suluissa annettua sijoitusta käyttäen a) 9 x dx, (x = 3 sin t, π <t<π ), b) + x + dx (t = x + ), c) + 3 x + dx (t = 3 x +), d) dx x + 3 x (x = t6, t > 0). 35. Integroi a) x x + dx, b) dx x(x ), c) +x x( + x) dx, d) dx x +3, e) x +8x (x ) (x +) dx, f) x + x x + dx, g) dx + x, h) x dx, i) x ( x ) x dx, j) x (3x ) 3x dx, k) xdx x + x, l) (e 5x e x )dx, m) x e x dx, n) dx e x e x, o) dx 3x x +, p) x sin x cos 3 xdx, q) x x, r) x 3 x x + dx, s) 4 x + x + dx, t) x +3 x +x + dx, u) x +dx. 36. Musiikissa, kuvataiteessa ja arkkitehtuurissa on antiikin ajoista lähtien käytetty ns. kultaista leikkausta. Se on jatkosuhde, jossa jana

jaetaan kahteen osaan niin, että lyhyemmän osan suhde pitempään on yhtä suuri kuin pitemmän suhde koko janaan. Olkoon janan pituus l, joka jaetaan kultaisen leikkauksen suhteessa. Laske osien pituudet. 37. Uutta matematiikkaa: Jos A sahaa puun poikki kolmessa tunnissa, B kahdessa tunnissa ja C yhdessä tunnissa - niin miksi ihmeessä koko hommaa ei anneta C:lle? Mitä tämä tarkoittaa laskuharjoituksiin sovellettuna? 38. Haet Korvatunturin tuotekehittelyosastolta matemaatikon paikkaa. Työhönottohaastattelussa saat Joulupukilta tehtäväksi suunnitella joulukuusenkoristeen, jonka käyrä { y = x, 0 x 4 4 (x 4), 4 <x 6 muodostaa pyörähtäessään x-akselin ympäri (luvut senttimetrejä). a) Pakkausteknisistä syistä on tärkeää tietää koristeen tilavuus. Mikä se on? b) Koriste maalataan punaiseksi siltä osalta, jossa 0 x 4 (cm). Paljonko maalita tarvitaan yhteen koristeeseen, kun maalinkulutuksen tiedetään olevan dl/m?