(2n 1) = n 2

3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa on kaksi vaihetta: (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n =0. (ii) Oletetaan, että väite on totta, kun n = k (tätä kutsutaan induktio-oletukseksi), ja osoitetaan, että se on totta, kun n = k +1 (tätä kutsutaan induktioväitteeksi). Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että väite on totta kaikilla n =0, 1, 2,...,silläkohdan (i) perusteella väite on totta, kun n =0,jotenkohdan(ii)perusteellaväiteon totta, kun n =1. Edelleen kohdan (ii) perusteella väite totta, kun n =2jne. Induktion ei tarvitse välttämättä alkaa luvusta n =0:induktionavullavoidaan todistaa myös muotoa oleva väite, kun n 0 2 N. väite P (n) on totta kaikille n = n 0,n 0 +1,n 0 +2,... Esimerkki 3.16. Osoita, että kaikilla n =1, 2,... 1+3+...+(2n 1) = n 2 Todistus.Todistetaanväiteinduktiotakäyttäen. (i) Tarkistetaan, että yhtäsuuruuus on voimassa, kun n =1: Vasen puoli: 1 Oikea puoli: 1 2 =1. Siis väite pätee kun n =1. 17

(ii) Oletetaan, että väite pätee, kun n = k, jaosoitetaan,ettäväitepätee,kun n = k +1. Induktio-oletus: 1+3+...+(2k 1) = k 2. Induktioväite: 1+3+...+(2k 1) + (2(k +1) 1) = (k +1) 2. Induktioväitteen todistus. Lähdetäänliikkeelleinduktioväitteenvasemmaltapuolelta. Induktio-oletusta käyttäen saadaan =k 2 (induktio-oletus) z } { 1+3+...+(2k 1) +(2(k +1) 1) = k 2 +2(k +1) 1=k 2 +2k +2 1=k 2 +2k +1 =(k +1) 2. Näin päädyttiin induktioväitteen oikealle puolelle. Siis induktioväite on tosi. Induktioperiaatteen perusteella väite on tosi kaikille n =1, 2,... Esimerkki 3.17. Osoitetaan, että kaikilla ihmisillä on samanväriset silmät (luennolla). Tämä on esimerkkinä miksi kaikki induktioperiaatteen askeleet on syytä tarkastella erityisen tarkasti. 3.6 Summamerkintä Olkoot a 1, a 2,..., a n 2 R. Merkitään nx a j = a 1 + a 2 +...+ a n. Esimerkki 3.18. j=1 (1) 3X 2 i =2 1 +2 2 +2 3 i=1 (2) lx a k = a+a 2 +...+a l j=1 18

(3) mx mx a2 k = a 2 k = a(2+4+8+...+2 m ) Huomaa, että a ei riipu summausindeksistä k, jotensensaaviedä P -merkin eteen. (4) px px ( x j + jy j+1 )= x j + j=1 j=1 px jy j+1 = (x+x 2 +...+x p )+ (y 2 +2y 3 +...+py p+1 ). j=1 (5) nx (2j 1) = 1 + 3 +...+(2n 1) j=1 (6) Tarkastellaan geometrisen sarjan osasummia: Olkoon b sellainen reaaliluku, että b 6= 0ja b 6= 1. Merkitään S n = nx b j. j=0 Osoita, että kaikilla n =0, 1, 2,... S n = bn+1 1 b 1 Todistus.Todistetaanväiteinduktiotakäyttäen. (i) Osoitetaan, että väite pätee kun n =0: Vasen puoli: S 0 = P 0 j=0 bj =1 Oikea puoli: b1 1 b 1 = b 1 b 1 =1 Siis väite on tosi kun n =0. 19

(ii) Induktio-oletus: Väite on tosi kun n = k, ts. S k = bk+1 1 b 1. Induktioväite: Väite on tosi, kun n = k +1,ts. S k+1 = bk+2 1 b 1. Induktioväitteen todistus. Induktio-oletuksenperusteella Xk+1 S k+1 = b j = j=0 kx b j + b k+1 j=0 induktio-oletus b k+1 1 = + b k+1 b 1 = bk+1 1 (b 1)bk+1 + b 1 b 1 = bk+1 1+b k+2 b k+1 = bk+2 1 b 1 b 1. Siis induktioväite on tosi. Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi kaikilla n = 0, 1, 2,... (7) Osoita, että kaikilla n =1, 2,... 3 n > 2n Todistus.Todistetaanväiteinduktiotakäyttäen. (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n =1: Vasen puoli: 3 1 =3 Oikea puoli: 2 1=2 Koska 3 > 2, niinväiteontotta,kunn =1. 20

(ii) Induktio-oletus: 3 k > 2k Induktioväite: 3 k+1 > 2(k +1) Induktioväitteen todistus. Induktio-oletustakäyttäensaadaan 3 k+1 =3 k 3 induktio-oletus > 2k 3=2k +4k k 1 2k +4> 2k +2=2(k +1). Näin ollen induktioväite on totta, ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla n =1, 2,... (8) Osoita, että äärellisen monen rationaaliluvun q 1,q 2,...,q n summa q 1 + q 2 +...+ q n on rationaaliluku. Todistus.Todistetaanväiteinduktiotakäyttäen. (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n =2,ts.kahdenrationaaliluvunq 1 ja q 2 summa q 1 + q 2 on rationaaliluku. Olkoot q 1 = m 1 n 1 ja q 2 = m 2 n 2,missäm 1,m 2,n 1,n 2 2 Z ja n 1 6=0sekä n 2 6=0. Tällöin q 1 + q 2 = m 1 + m 2 = m 1n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 n 1 n 2 on rationaaliluku, sillä m 1 n 2 + m 2 n 1 2 Z, n 1 n 2 2 Z ja n 1 n 2 6=0. (ii) Induktio-oletus: Kun k kappaletta rationaalilukuja lasketaan yhteen, saadaan rationaaliluku. Induktioväite: Kun k +1kappaletta rationaalilukuja lasketaan yhteen, saadaan rationaaliluku. Ts. jos q 1, q 2,..., q k+1 2 Q, niinq 1 +...+ q k+1 2 Q. Induktioväitteen todistus. Olkootq 1, q 2,..., q k+1 2 Q. Koska q 1 +...q k + q k+1 =(q 1 +...q k )+q k+1, missä q 1 +...q k 2 Q induktio-oletuksen nojalla ja q k+1 2 Q, niinkohdan(ii) perusteella näiden kahden rationaaliluvun summa on rationaaliluku. Siis induktioväite on totta. Induktioperiaatteen nojalla äärellisen monen rationaaliluvun summa on rationaaliluku. 21

4 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin keskeisimpiä käsitteitä ja harjoitellaan matemaattista päättelyä niitä käyttäen. Joukko koostuu alkioista ja jokaisesta alkiosta on pystyttävä sanomaan, kuuluuko se tiettyyn joukkoon. Merkintä Mitä tarkoittaa? x 2 A x on joukon A alkio, ts. x kuuluu joukkoon A y/2 A y ei ole joukon A alkio, ts. y ei kuulu joukkoon A {x P (x)} niiden alkioiden joukko, joilla on ominaisuus P (x) ; tyhjä joukko eli joukko, joka ei sisällä yhtään alkiota Esimerkki 4.1. (1) 1 2{1, 2}, 2 2{1, 2}, 0 /2 {1, 2} (2) {n 2 N 0 <n<5} = {1, 2, 3, 4} (3) {0, 1} = {0, 0, 1} = {1, 0} (4) {1} 6= ;, sillä1 2{1}. (5) {;} 6= ;, sillä; on joukon {;} alkio. 4.1 Perusmääritelmiä Määritelmä 4.2. Joukko A on joukon B osajoukko, josjokainenjoukona alkio on myös joukon B alkio, ts. jos x 2 A, niinx 2 B. Tällöin merkitään A B. Joukot A ja B ovat samat, josa B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Joukko A ei ole joukon B osajoukko, jos joukossa A on sellainen alkio, joka ei kuulu joukkoon B, ts. jos on olemassa sellainen a 2 A, että a /2 B. Tällöin merkitään A 6 B. Esimerkki 4.3. (1) ; {1, 2}, {1} {1, 2}, {2} {1, 2} ja {1, 2} {1, 2} (2) {3, 7, 11, 15} {n 2 N n pariton} N 22

(3) {2, 3, 4} 6 {2, 4, 6}, sillä3 2{2, 3, 4}, mutta3 /2 {2, 4, 6}. (4) {n 2 N p n<3} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (5) Parittomien luonnollisten lukujen määritelmän perusteella {n 2 N n on pariton} = {2k +1 k 2 N}, ja huomautuksen 3.7(3) perusteella {n 2 N n on pariton} = {n 2 N n 2 pariton}. (6) N Z Q R (7) Koska N 6= Z (esimerkiksi 1 2 Z, mutta 1 /2 N), niin N on joukon Z aito osajoukko. VastaavastiZ on joukon Q aito osajoukko ( 1 2 Q, mutta 1 /2 Z) jaq 2 2 on joukon R aito osajoukko ( p 2 2 R, mutta p 2 /2 Q). (8) Osoita, että {0, 1} = {x 2 R x 2 = x}. Todistus.Onosoitettavakaksiseikkaa: {0, 1} {x 2 R x 2 = x} ja {x 2 R x 2 = x} {0, 1}. Perustellaan 1. väite: koska 0 2 =2ja 1 2 =1,niin{0, 1} {x 2 R x 2 = x}, joten 1. väite on totta. Perustellaan vielä 2. väite: Jos x 2 R on sellainen, että x 2 = x, niin 0=x 2 x = x(x 1), mistä nähdään, että x =0tai x =1.Siis2.väitepätee. (9) Onko väite tosi? jos a 2 A ja A 6 B, niin a/2 B 23

Ratkaisu. Väite ei ole totta, mikä nähdään, kun valitaan A = {0, 1}, B = {1, 2} ja a =1. Tällöin a 2 A ja A 6 B, sillä0 2 A, mutta0 /2 B. Lisäksia 2 B. Määritelmä 4.4. Olkoot A, B X. (Tässä X on jokin perusjoukko, esimerkiksi R, Q, Z tai N.) Määritellään joukkojen A ja B yhdiste leikkaus erotus ja komplementti A [ B = {x 2 X x 2 A tai x 2 B}, A \ B = {x 2 X x 2 A ja x 2 B}, A\B = {x 2 X x 2 A ja x/2 B} A C = {x 2 X x/2 A}. Esimerkki 4.5. (1) Olkoot A = {0, 2, 4, 6} ja B = {0, 1, 2, 3}. Tällöin A [ B = {0, 1, 2, 3, 4, 6}, A \ B = {0, 2}, A \ B = {4, 6} ja (A \ B) [ (A \ B) ={0, 2}[{4, 6} = {0, 2, 4, 6} = A. (2) Olkoot A = {0, 1, a, b}, B = {1, 2,a} ja C = {2, 3,c}. Tällöin A [ B = {0, 1, 2, a, b}, A \ B = {1,a}, A\B = {0,b}, B\A = {2}, A \ C = ;, B \ C = {2} A \ (B \ C) =A \{2} = ; ja (A [ B) \ (A [ C) ={0, 1, 2, a, b}\{0, 1, 2, 3, a, b, c} = {0, 1, 2, a, b}. 24

(3) Olkoot A = {n 2 N n on jaollinen 6:lla}, B = {n 2 N n on jaollinen 3:lla} ja C = {n 2 N n on jaollinen 2:lla}. Tällöin ja esimerkin 3.9 (2) perusteella B [ C = {n 2 N n on jaollinen 2:lla tai 3:lla} B \ C = {n 2 N n on jaollinen 2:lla ja 3:lla} = A. Määritellään seuraavaksi joukon R avoimet, suljetut ja puoliavoimet välit. Määritelmä 4.6. Olkoot a, b 2 R sellaisia, että a<b. Määritellään ]a, b[ ={x 2 R a<x<b} [a, b] ={x 2 R a apple x apple b} ]a, b] ={x 2 R a<xapple b} [a, b[ ={x 2 R a apple x<b} (avoin väli) (suljettu väli) (puoliavoin väli) (puoliavoin väli). Lisäksi ]a, 1[ ={x 2 R x>a} [a, 1[ ={x 2 R x a} ] 1,a[={x 2 R x<a} ] 1,a]={x 2 R x apple a}. Huomautus 4.7. Tässä 1 on äärettömän symboli. Esimerkki 4.8. (1) Olkoot A =[0, 1], B =[1, 2] ja C = 1 2, 3 2.Nyt A [ B = {x 2 R 0 apple x apple 1 tai 1 apple x apple 2} =[0, 2], A \ B = {x 2 R 0 apple x apple 1 ja 1 apple x apple 2} = {1}, A [ C = {x 2 R 0 apple x apple 1 tai 1 2 <x< 3 2 } = 0, 3 2, A \ C = {x 2 R 0 apple x apple 1 ja 1 2 <x< 3 2 } = 1 2, 1, B [ C = {x 2 R 1 apple x apple 2 tai 1 2 <x< 3 2 } = 1 2, 2 B \ C = {x 2 R 1 apple x apple 2 ja 1 2 <x< 3 2 } = 1, 3 2, A\B = {x 2 R 0 apple x apple 1 ja (x <1 tai x>2)} =[0, 1[, A\C = {x 2 R 0 apple x apple 1 ja (x apple 1 2 tai x 3 2 )} = 0, 1 2 ja B\C = {x 2 R 1 apple x apple 2 ja (x apple 1 2 tai x 3 2 )} =[3 3, 2]. 25

(1) Olkoot A =[ 2, 2[ ja B =[1, 1[. Tällöin A [ B = {x 2 R 2 apple x apple 2 tai x 1} =[ 2, 1[ A \ B = {x 2 R 2 apple x apple 2 ja x 1} =[1, 2[, R \ A = {x 2 R x< 2 tai x 2} =] 1, 2[[[2, 1[, R \ B = {x 2 R x<1} =] 1, 1[, A \ B = { 2 apple x<2 x<1} =[ 2, 1[ ja B \ A = {x 1 x< 2 tai x 2} =[2, 1[. Määritellään seuraavaksi joukkojen äärelliset ja numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset. Määritelmä 4.9. Joukkojen A 1,A 2,...,A k äärellinen yhdiste on k[ A i = A 1 [ A 2 [...[ A k = {x x 2 A 1 tai x 2 A 2 tai... tai x 2 A k } i=1 = {x x 2 A i jollakin i =1,...,k} ja äärellinen leikkaus on k\ A i = A 1 \ A 2 \...\ A k = {x x 2 A 1 ja x 2 A 2 ja... ja x 2 A k } i=1 = {x x 2 A i kaikilla i =1,...,k}. Määritelmä 4.10. Joukkojen A 1,A 2,... numeroituva yhdiste on 1[ A i = {x x 2 A i jollakin i =1, 2,...} i=1 ja numeroituva leikkaus on 1\ A i = {x x 2 A i kaikilla i =1, 2,...}. i=1 Esimerkki 4.11. (1) Tarkastellaan joukkoja A =] 1, 0[,B=]0, 1],C= 1 2, 2 ja D = {0, 3}. Mitä ovat A [ B, A [ B [ D, B [ C [ D, A \ B \ C \ D ja B \ C \ D? 26

Ratkaisu: Määritelmien perusteella saadaan A [ B = {x 2 R 1 <x<0 tai 0 <xapple 1} =] 1, 1] \{0}, A [ B [ D = {x 2 R 1 <x<0 tai 0 <xapple1 tai x =0tai x =3} =] 1, 1] [{3}, B [ C [ D = {x 2 R 0 <xapple 1 tai 1 apple x apple 2 tai x =0tai x =3} =[0, 2] [{3}, 2 A \ B \ C \ D = ; ja B \ C \ D = ;. (2) Kaikilla k 2 N määritellään A k =[k, k +1[. Mitä ovat 5[ A k, [ 10 A k, [ 10 A k ja 1[ A k? k=5 Ratkaisu: Määritelmien perusteella 5[ A k = A 1 [ A 2 [ A 3 [ A 4 [ A 5 =[1, 2[[[2, 3[[[3, 4[[[4, 5[[[5, 6[= [1, 6[, 10 [ A k = A 1 [ A 2 [...[ A 10 =[1, 2[[[2, 3[[...[ [10, 11[= [1, 11[, 10 [ A k = A 5 [ A 6 [...[ A 10 =[5, 6[[[6, 7[[...[ [10, 11[= [5, 11[ k=5 1[ A k = {x 2 R x 2 A k jollakin k =1, 2,...} =[1, 1[. ja (3) Kaikilla k =1, 2,... määritellään A k =[0, 1 [. Mitä ovat k 5\ A k, \ 10 A k, \ 10 A k ja 1\ A k? k=5 27

Ratkaisu: Määritelmien perusteella 5\ A k = A 1 \ A 2 \ A 3 \ A 4 \ A 5 =[0, 1[\[0, 1[\[0, 1[\[0, 1[\[0, 1[= [0, 1[, 2 3 4 5 5 10 \ 10 \ k=5 A k = A 1 \ A 2 \...\ A 10 =[0, 1[\[0, 1 1 1 [\...\ [0, [= [0, [, 2 10 10 A k = A 5 \ A 6 \...\ A 10 =[0, 1[[[0, 1 1 1 [\...\ [0, [= [0, [ ja 5 6 10 10 1\ A k = {x 2 R x 2 A k kaikilla k =1, 2,...} = {0}. Perustellaan viimeinen yhtäsuuruus, ts. todistetaan, että 1\ A k = {0} (ks. 2.12). On siis osoitettava, että 1\ {0} A k ja 1\ A k {0}. Koska 0 2 [0, 1 k [ kaikilla k =1, 2,...,niin{0} T 1 A k. Osoitetaan vielä, että T 1 A k {0}. Oletus: x 2 T 1 A k,ts.x 2 A k kaikilla k =1, 2,... Väite: x =0. Antiteesi: x 6= 0. Koska x 2 A 1 ja x 6= 0,niin0 <x<1. Valitaanniinsuurii =1, 2,...,että i> 1 x. Tällöin 1 i <x,jotenx /2 A i. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan x 2 A i.näinollenantiteesieioletosi,jasitenväitepätee. 28

4.2 Karteesinen tulo Määritelmä 4.12. Joukkojen A ja B tulojoukko eli karteesinen tulo on A B = {(a, b) a 2 A, b 2 B}. Karteesisen tulon alkioita (a, b) sanotaan järjestetyiksi pareiksi. Järjestettyjen parien olennainen ominaisuus on seuraava: jos (x, y) ja (a, b) ovat järjestettyjä pareja, niin (x, y) =(a, b) jos ja vain jos x = a ja y = b. Esimerkki 4.13. (1) Jos A = {a, b, c} ja B = {0,a}, niin A B = {(a, 0), (a, a), (b, 0), (b, a), (c, 0), (c, a)}. (2) Olkoot A = {1}, B = {2, 3}, C = {1, 2} ja D = {3}. Mitä ovat A (B [ C), (A B) [ (A C), A (B \ C), (A B) \ (A C), (A B) [ (C D) ja (A [ C) (B [ D)? Ratkaisu. Määritelmistä saadaan A (B [ C) ={1} {1, 2, 3} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)} (A B) [ (A C) ={(1, 2), (1, 3)}[{(1, 1), (1, 2)} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)} A (B \ C) ={1} {3} = {(1, 3)} (A B) \ (A C) ={(1, 2), (1, 3)}\{(1, 1), (1, 2)} = {(1, 3)} (A B) [ (C D) ={(1, 2), (1, 3)}[{(1, 3), (2, 3)} = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} (A [ C) (B [ D) ={1, 2} {2, 3} = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}. (3) Euklidinen avaruus R n : R 2 = R R = {(x, y) x 2 R ja y 2 R} (xy-taso) R 3 = R R R = {(x, y, z) x 2 R, y2 R ja z 2 R} R n = R R... R {z } n-kpl (n-ulotteinen euklidinen avaruus). (xyz-avaruus) (4) Jos A =[ 1, 1[, B =]0, 1[ ja C =[1, 1[, niin A B =[ 1, 1[ ]0, 1[ = {(x, y) 2 R 2 1 apple x<1 ja 0 <y<1} A C =[ 1, 1[ [1, 1[ ={(x, y) 2 R 2 1 apple x<1 ja y 1} C A =[1, 1[ [ 1, 1[ = {(x, y) 2 R 2 x 1 ja 1 apple y<1}. 29

4.3 Miten joukot osoitetaan samoiksi? Kun todistetaan, että A = B, onpäättelyssäkaksivaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.josx 2 A, niinx 2 B, (ii) osoitetaan, että B A, ts.josx 2 B, niinx 2 A. Esimerkki 4.14. (1) Olkoot A = {x 2 R x 2 5x +6=0} ja B = {n 2 N 3 < n 2 < 10}. Osoita,ettäA = B. Todistus.Onosoitettava,ettäA B ja B A. (i) Väite 1: A B, ts.josx 2 A, niinx 2 B. Todistus.Olkoonx 2 A. Tällöin x 2 R ja x 2 5x +6=0.Ratkaistaantoisen asteen yhtälö jakamalla polynomi x 2 5x +6tekijöihin: 0=x 2 5x +6=(x 2)(x 3). Tästä nähdään, että x =2tai x =3.Koska2 2 N ja 3 < 2 2 < 10, niin2 2 B. Koska 3 2 N ja 3 < 3 2 < 10, niin3 2 B. SiisA B. (ii) Väite 2: B A, ts.josx 2 B, niinx 2 A. Todistus.Olkoonn 2 B, ts.n 2 N ja 3 <n 2 < 10. Tällöin n =2tai n =3. Sijoittamalla 2 x:n paikalle lausekkeeseen x 2 5x +6saadaan 2 2 5 2+6=4 10 + 6 = 0. Siis 2 2 A. Sijoittamalla3 muuttujan x paikalle lausekkeeseen x 2 5x+6 saadaan 3 2 5 3+6=9 15 + 6 = 0. Siis 3 2 A. NäinollenB A. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että A = B. (2) Osoita, että A [ (B \ C) =(A [ B) \ (A [ C). Todistus. 30

(i) Väite 1: A [ (B \ C) (A [ B) \ (A [ C), ts.josx 2 A [ (B \ C), niin x 2 (A [ B) \ (A [ C). Todistus.Oletetaan,ettäx 2 A[(B\C). Tällöin x 2 A tai x 2 B\C. Käsitellään nämä tapaukset erikseen. Jos x 2 A, niinx 2 A [ B ja x 2 A [ C yhdisteen määritelmän nojalla. Siis x 2 (A [ B) \ (A [ C). Jos x 2 B\C, niin x 2 B ja x 2 C leikkauksen määritelmän perusteella. Edelleen yhdisteen määritelmän nojalla x 2 A[B ja x 2 A[C. Siisx 2 (A[B)\(A[C). Koska molemmissa tapauksissa x 2 (A [ B) \ (A [ C), niinväite1ontotta. (ii) Väite 2: (A [ B) \ (A [ C) A [ (B \ C), ts.josx 2 (A [ B) \ (A [ C), niin x 2 A [ (B \ C). Todistus.Oletetaan,ettäx 2 (A [ B) \ (A [ C). Tällöin x 2 A [ B ja x 2 A [ C. Jos x 2 A, niinyhdisteenmääritelmännojallax 2 A [ (B \ C). Jostaasx/2 A, niin koska x 2 A [ B ja x 2 A [ C, onx molempien joukkojen B ja C alkio. Näin ollen x 2 B \ C, mistäseuraa,ettäx 2 A [ (B \ C). Siisväite2ontotta. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että A [ (B \ C) =(A [ B) \ (A [ C). (3) Osoita, että (A [ B) C = A C \ B C. Todistus. (i) Väite 1: (A [ B) C A C \ B C,ts.josx 2 (A [ B) C,niinx 2 A C \ B C. Todistus.Oletetaan,ettäx 2 (A [ B) C,ts.x/2 A [ B. Perustellaan,ettätästä seuraa, että x/2 A ja x/2 B. Antiteesi: x 2 A tai x 2 B. Tällöin x 2 A [ B, mikäonristiriita,silläoletuksen perusteella x/2 A [ B. Siis antiteesi on väärä. Näin ollen x/2 A ja x/2 B, ts.x 2 A C ja x 2 B C.Siis x 2 A C \ B C.Väite1onsiistotta. 31

(ii) Väite 2: A C \ B C (A [ B) C,ts.josx 2 A C \ B C,niinx 2 (A [ B) C. Todistus.Oletetaan,ettäx 2 A C \ B C,ts.x/2 A ja x/2 B. Perustellaan,että tästä seuraa, että x/2 A [ B. Antiteesi: x 2 A [ B. Tällöin x 2 A tai x 2 B, mikäonristiriita,silläoletuksen mukaan x/2 A ja x/2 B. Siis antiteesi on väärä. Näin ollen x /2 A [ B, ts.x 2 (A [ B) C,javäite2on osoitettu todeksi. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että (A [ B) C = A C \ B C. (3) Osoita, että A (B [ C) =(A B) [ (A C). Todistus. (i) Väite 1: A (B [ C) (A B) [ (A C), ts.jos(x, y) 2 A (B [ C), niin (x, y) 2 (A B) [ (A C). Todistus.Oletetaan,että(x, y) 2 A (B [ C), ts.x 2 A ja y 2 B [ C. Jos y 2 B, niin(x, y) 2 A B. Jostaasy 2 C, niin(x, y) 2 A C. Näinollen (x, y) 2 (A B) [ (A C), jotenväite1ontotta. Väite 2: (A B) [ (A C) A (B [ C), ts.jos(x, y) 2 (A B) [ (A C), niin (x, y) 2 A (B [ C). Todistus. Oletetaan,että(x, y) 2 (A B) [ (A C), ts.(x, y) 2 A B tai (x, y) 2 A C. Jos (x, y) 2 A B, niinx 2 A ja y 2 B, joten(x, y) 2 A (B [ C). Jostaas (x, y) 2 A C, niinx 2 A ja y 2 C, joten(x, y) 2 A (B [ C). Näin ollen väite 2 on totta. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että A (B [ C) =(A B) [ (A C).. 32

Harjoitellaan vielä todistamista joukko-opin käsitteitä käyttäen. Esimerkki 4.15. Osoita, että A [ B A, josjavainjosb A. Todistus.Väitekoostuukahdestaväitelauseesta.Todistetaanneerikseen. ) Oletus 1: A [ B A. Väite 1: B A, ts.josx 2 B, niinx 2 A. Todistus. Olkoon x 2 B. Tällöin x 2 A [ B, jotenoletuksen1perusteellax 2 A. Siis väite 1 on totta. ( Oletus 2: B A. Väite 2: A [ B A, ts.josx 2 A [ B, niinx 2 A. Todistus.Olkoonx 2 A [ B, ts.x 2 A tai x 2 B. Josx 2 A, niinväite2on totta. Jos taas x 2 B, niinoletuksen2perusteellax 2 A. Siisväite2ontotta. Kohdista ( ja ) seuraa, että A [ B A, josjavainjosb A. 33