YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE Tämä luentomoniste on koottu useista lähteistä, joista tärkeimmät lienevät Sydsæter & Hammond (008). Essential Mathematics for Economic Analysis, Sydsæter, Hammond, Seierstad & Strøm (008). Further Mathematics for Economic Analysis, Simon & Blume (1994). Mathematics for Economists. Luentomonisteessa kahdesta ensimmäisestä käytetään joskus lyhenteitä EMEA ja FMEA. 1

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE Sisältö 1. Matriiseista 3 1.1. Matriisin ominaisarvot ja -vektorit 3 1.. Matriisin definiittisyys 5. Konkaavit ja konveksit funktiot 7 3. Ääriarvotehtävistä 1 3.1. Rajoittamaton ääriarvotehtävä 1 3.. Yhtälörajoitteinen ääriarvotehtävä, Lagrangen menetelmä ja kerroin 15 4. Ääriarvotehtävät epäyhtälörajoitteilla 1 5. Komparatiivinen statiikka 9 5.1. Kokonaisdifferentiaali 9 5.. Ketjusäännöt 31 5.3. Implisiittifunktiolauseet 3 6. Integraalilaskentaa 38 7. Differentiaaliyhtälöt 44 8. Differentiaaliyhtälöt R :ssa 54 8.1. Lineaariset differentiaaliyhtälöt R :ssa 54 8.. Epälineaariset differentiaaliyhtälöt R :ssa 55 8.3. Vaihetaso 57 3 9. sivua differenssiyhtälöistä 60 LIITE 1: Kertaus trigonometrisistä funktioista 6 LIITE : Kompleksiluvut lyhyesti 64

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 3 1. Matriiseista Tarvittavia esitietoja ovat mm. lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen, matriisilaskutoimitukset (summa, erotus ja tulo), eräät matriisityypit (neliömatriisi, symmetrinen matriisi ja identtinen matriisi) ja determinantin laskeminen. Palauta mieleen myös käänteismatriisi ja niin sanottu Cramerin sääntö. 1.1. Matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Tulkitaan vektori x = (x 1,...,x n ) (sarake)vektorina x = [x 1,...,x n ] T. Olkoon A neliömatriisi, jonka koko on n n. Määritelmä 1.1. Luku λ on matriisin A ominaisarvo, jos on olemassa vektori x = [x 1,...,x n ] T 0 siten, että (1.1) Ax = λx. Vektori x on ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori. Ominaisarvoja ja -vektoreita tarvitaan esimerkiksi sovelluksissa liittyen optimointiin ja differentiaaliyhtälöihin. Kirjoitetaan yhtälö(ryhmä) Ax = λx muotoon (A λi)x = 0, jossa I on identtinen matriisi. Seuraava lause antaa tavan laskea matriisin A ominaisarvot. Lause 1.1. Luku λ on matriisin A ominaisarvo, jos ja vain jos A λi = 0. Todistus. Sydsæter et al. (008). Lauseen 1.1 mukaan ominaisarvo saadaan yhtälön A λi = 0 ratkaisuna. Tämä yhtälö on polynomiyhtälö, joten sen ratkaisut saattavat olla myös kompleksilukuja (katso Liite ). [ ] 1 Esimerkki 1.1. Matriisin ominaisarvot ovat Lauseen 1.1 mukaisesti seu- 3 raavan yhtälön ratkaisut: det ([ ] [ ]) 1 1 0 λ = 0. 3 0 1 Suorittamalla matriisilaskutoimitukset ja kehittämällä determinantti yhtälö saadaan muotoon (1 λ)( λ) 6 = 0. Yhtälön ratkaisut, ja siten ominaisarvot, ovat λ = 4 ja λ = 1. Matriisin A jälki, jota merkitään tr(a), on matriisin A diagonaalialkioiden summa. [ ] a b Esimerkki 1.. Matriisin ominaisarvot ovat yhtälön λ c d (a+d)λ+ad cb = 0 ratkaisut. Huomaa, että tämä yhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa λ tr(a)λ+det(a) = 0.

4 YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE Esimerkki 1.3. Lasketaan matriisin 1 1 1 0 0 ominaisarvot. Ne ovat yhtälön 0 0 1 λ 1 1 0 λ 0 0 λ = (1 λ)( λ)λ+( λ) = 0 ratkaisut. Yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon ( λ)(λ λ+) = 0, jolloin sen ratkaisut, ja siten ominaisarvot, ovat λ =, λ = 1 +i 7 ja λ = 1 i 7 Tässä i on niin sanottu imaginääriyksikkö, jolle pätee 1 = i. Ominaisarvojen laskemisen jälkeen jokaiseen ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori x saadaan yhtälöryhmän (A λi)x = 0 ratkaisuna. [ ] 1 Esimerkki 1.4. Matriisin ominaisarvot ovat λ = 4 ja λ = 1. Ominaisarvoon λ = 4 liittyvä ominaisvektori x = [x 1,x ] T on yhtälön 3 ([ ] [ ])[ ] [ ][ ] 1 1 0 x1 3 x1 4 = 0 = 0 3 0 1 x 3 x ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö tavalliseen tyyliin yhtälöparina 3x 1 x = 0, 3x 1 x = 0. Yhtälöt ovat samat, jolloin mikä tahansa nollasta poikkeava vektori, joka toteuttaa yhtälön 3x 1 x = 0, kelpaa ominaisarvoa λ = 4 vastaavaksi ominaisvektoriksi. Tällaiseksi vektoriksi käy esimerkiksi [x 1,x ] T = [, 3] T. Ominaisarvoa λ = 1 vastaavaksi ominaisvektoriksi voidaan valita esimerkiksi [x 1,x ] T = [1,1] T, koska ominaisarvoa λ = 1 käyttäen määritelmän yhtälöpariksi saadaan x 1 x = 0, 3x 1 +3x = 0. Ominaisvektori ei siis ole yksikäsitteinen. Kuten esimerkissä 1.3, ominaisarvo saattaa olla kompleksiluku, mutta on mahdollista osoittaa, että symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat reaalilukuja. Lisäksi n n matriisin, jonka ei tarvitse olla symmetrinen, determinantti on ominaisarvojen tulo ja jälki on niiden summa..

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 5 1.. Matriisin definiittisyys. Matriisista A (ei tarvitse olla neliömatriisi) voidaan muodostaa erilaisia alimatriiseja poistamalla mitkä tahansa rivit ja mitkä tahansa sarakkeet. Tarkastellaan kuitenkin vain neliömatriisin alimatriiseja. Olkoon sen koko n n. Tarpeellisimmat alimatriisit ovat ne, jotka saadaan poistamalla samat rivit ja sarakkeet. Nämä ovat pääalimatriiseja. Esimerkki 1.5. Muodostetaan matriisin 0 0 4 pääalimatriisit. Yksi pääalimatriiseista on matriisi itse. Kolme seuraavaa pääalimatriisia saadaan, kun 4 0 poistetaan sama rivi ja sama sarake: [ ] 0 0, [ ], 0 [ ] 4. 4 0 Kolme viimeistä pääalimatriisia saadaan, kun poistetaan kaksi samaa riviä ja saraketta: [ ], [ ], [ 0 ]. Johtavat pääalimatriisit ovat ne matriisit, jotka saadaan poistamalla yhtä monta viimeistä riviä ja saraketta. Mitkä matriisit ovat johtavia pääalimatriiseja esimerkkissä 1.5? Pääalimatriiseihin liittyviä determinantteja kutsutaan pääalideterminanteiksi (tai pääminoreiksi) ja vastaavasti johtavaan pääalimatriisiin liittyvää determinanttia kutsutaan johtavaksi pääalideterminantiksi (tai johtavaksi pääminoriksi). Johtavilla pääminoreilla on keskeinen rooli pääteltäessä jonkin matriisin niin sanottua definiittisyyttä. Merkitään johtavia pääminoreita alaindeksein A k, jossa alaindeksi osoittaa, että kyseessä on se johtava pääminori, joka on saatu poistamalla n k viimeistä riviä ja saraketta. Tässä n on siis matriisin A rivien ja sarakkeiden lukumäärä. Esimerkki 1.6. Esimerkin 1.5 matriisin johtavat pääminorit ovat: A 1 =, A = 4, A 3 = 40. Lause 1.. Olkoon A symmetrinen matriisi, jonka koko on n n. Tällöin (i) A on positiivisesti definiitti matriisi, jos ja vain jos kaikki johtavat pääminorit ovat aidosti positiivisia eli A 1 > 0, A > 0, A 3 > 0,... (ii) A on negatiivisesti definiitti matriisi, jos ja vain jos jokaisen johtavan pääminorin merkki on sama kuin ( 1) k eli A 1 < 0, A > 0, A 3 < 0,... (iii) A on indefiniitti matriisi, jos jokin nollasta poikkeava johtava pääminori rikkoo kohtien i) tai ii) ehdot.

6 YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE Todistus. Simon & Blume (1994). [ ] 4 1 Esimerkki 1.7. Matriisi on positiivisesti definiitti, koska A 1 1 = 4 > 0 ja A = 7 > 0. Matriisi 0 0 0 1 0 1 3 on sen sijaan negatiivisesti definiitti, koska A 1 = < 0, A = 4 > 0 ja A 3 = 10 < 0. Esimerkki 1.8. Esimerkin 1.5 matriisi on indefiniitti, koska A 1 > 0 ja A 3 < 0. Matriisi voi olla myös semidefiniitti: Lause 1.3. Olkoon A symmetrinen matriisi, jonka koko on n n. Tällöin (i) A on positiivisesti semidefiniitti matriisi, jos ja vain jos kaikki pääalideterminantit (pääminorit) ovat ei-negatiivisia. (ii) A on negatiivisesti semidefiniitti matriisi, jos ja vain jos A on positiivisesti semidefiniitti. Todistus. Todistus löytyy lineaarialgebran kirjallisuudesta. (Lisätiedot: Sydsæter et al. 008.) [ 1 ] 1 Esimerkki 1.9. Matriisi A = ei ole definiitti, koska A 1 = 0. Nyt A 1 = 1 ja toinen 1 1-pääalimatriisin determinantti on. Kaikki pääminorit ovat siis einegatiivisia, joten matriisi on positiivisesti semidefiniitti. Vaihtoehtoisesti definiittisyys voidaan määrittää ominaisarvojen avulla. Lause 1.4. Olkoon A symmetrinen matriisi, jonka koko on n n. Tällöin (i) A on positiivisesti definiitti, jos ja vain jos sen kaikki ominaisarvot ovat aidosti positiivisia. (ii) A on positiivisesti semidefiniitti, jos ja vain jos sen kaikki ominaisarvot ovat positiivisia. (iii) A on negatiivisesti definiitti, jos ja vain jos sen kaikki ominaisarvot ovat aidosti negatiivisia. (iv) A on negatiivisesti semidefiniitti, jos ja vain jos sen kaikki ominaisarvot ovat negatiivisia. (v) A on indefiniitti, jos ja vain jos osa matriisin A ominaisarvoista on negatiivisia ja osa positiivisia. Todistus. Sydsæter et al. (008). Definiittisyyden päättely ominaisarvojen avulla voi kuitenkin olla vaikeaa.

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 7. Konkaavit ja konveksit funktiot Olkoot x,y R n kaksi pistettä, x = (x 1,...,x n ) ja y = (y 1,...,y n ). Näiden pisteiden yhdysjana koostuu pisteistä z = λx+(1 λ)y, jossa λ [0,1]. Jos λ = 0, z = y. Jos taas λ = 1, z = x. Määritelmä.1. Joukko X R n on konveksi, jos se sisältää kaikkien pisteidensä väliset yhdysjanat eli jos millä tahansa x,y X ja λ [0,1], pätee z = λx+(1 λ)y X. Kuva.1 havainnollistaa tilannetta tason R tapauksessa. x z y Kuva.1. Vasen kuva: Ei-konveksi joukko. Oikea kuva: Konveksi joukko. Esimerkki.1. Olkoot x 1 ja x hyödykkeiden 1 ja määrät. Hyödykkeiden määrät eivät voi olla negatiivisia, joten sekä x 1 0 että x 0. Näiden hyödykkeiden määrät kuuluvat positiiviseen tason neljännekseen eli joukkoonr +, joka on konveksi joukko. Myös joukko R ++, jossa x 1 > 0 ja x > 0, on konveksi joukko. Myös kuluttajan budjettijoukko B = {(x 1,x ) R x 1 0,x 0,p 1 x 1 +p x I}, on konveksi. Tässä p 1 ja p ovat hyödykkeiden hinnat jai on kuluttajan tulot. Piirrä tämä joukko tasoon. Kuinka todistaisit Määritelmään.1 perustuen, että joukko B on konveksi? Määritelmä.. Olkoon X R n konveksi joukko. Funktio f: X R on (i) konkaavi joukossa X, jos kaikille eri pisteille x,y X ja λ (0,1) pätee epäyhtälö f(λx+(1 λ)y) λf(x)+(1 λ)f(y), (ii) konveksi joukossa X, jos kaikille eri pisteille x,y X ja λ (0,1) pätee epäyhtälö f(λx+(1 λ)y) λf(x)+(1 λ)f(y). (iii) Lisäksi funktion sanotaan olevan aidosti konkaavi tai aidosti konveksi joukossa X, jos yllä olevat epäyhtälöt pätevät aitoina kaikilla λ (0,1).

8 YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE Määritelmän oletus joukon X konveksisuudesta on oleellinen, koska se takaa, että joukon X kahden pisteen välisen yhdysjanan pisteet kuuluvat myös joukkoon X. Funktio on siis konkaavi, jos funktion määrittelyjoukon minkä tahansa pisteiden yhdysjanan pisteen kuva, eli f(λx + (1 λ)y), on suurempi tai yhtäsuuri kuin pisteiden kuvien välisen yhdysjanan piste λf(x)+(1 λ)f(y). Konkaavin funktion kuvaaja on kupera ja konveksin funktion kuvaaja on kovera. Kuvassa. on esitetty konkaavin funktion kuvaaja (kuvassa z = λx +(1 λ)y). f(z) f(x) λf(x)+(1 λ)f(y) f(y) x z y Kuva.. Konkaavi funktio. Piirrä itse viereen vastaavankaltainen kuva konveksista funktiosta. Määritelmästä huomataan, että jos funktio f on konkaavi, funktio f on konveksi, koska epäyhtälön kertominen negatiivisella luvulla kääntää epäyhtälön suunnan. Esimerkki.. Olkoon funktio f: R R määritelty kaavalla f(x) = x. Perustellaan määritelmän avulla, että funktio f on aidosti konveksi. Tarkastellaan tätä varten erotusta f(λx+(1 λ)y) λf(x) (1 λ)f(y), jossa λ (0,1). Jos erotus on eri reaaliluvuilla x ja y (aidosti) positiivinen, funktio on (aidosti) konkaavi. Jos erotus on (aidosti) negatiivinen, funktio on (aidosti) konveksi. Käytetään funktion määritelmää ja muokataan erotusta (λx+(1 λ)y) λx (1 λ)y = λ(1 λ)(x y), joka on aidosti negatiivinen, koskaλ,(1 λ) ja(x y) ovat kaikki aidosti positiivisia, kun λ (0, 1). Siten funktio on aidosti konveksi kuten funktion kuvaajasta voi ennustaa. Esimerkki.3. Funktio f: R R, joka määritellään yhtälöllä f(x) = ax + b, a,b R, on sekä konkaavi että konveksi. Perustele tämä yllä annetun määritelmän avulla. Annetun funktion päättely konkaaviksi tai konveksiksi voi olla pelkän määritelmän perusteella työlästä. Helpommin se käy seuraavien lauseiden avulla. Ensin yhden muuttujan funktio:

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 9 Lause.1. Olkoon X R avoin konveksi joukko ja f: X R kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio. Tällöin (i) funktio on konkaavi, jos ja vain jos kaikilla x X pätee f (x) 0, (ii) funktio on konveksi, jos ja vain jos kaikilla x X pätee f (x) 0. (iii) funktio on aidosti konkaavi, jos kaikilla x X pätee f (x) < 0. (iv) funktio on aidosti konveksi, jos kaikilla x X pätee f (x) > 0. Todistus. Sydsæter et al. (008). Kustannuksena helppoudesta tässä tapauksessa on, että funktion täytyy olla kahdesti jatkuvasti derivoituva. Esimerkki.4. (i) Olkoon funktio f: R R määritelty kaavalla f(x) = ax +bx+c. Tämän toinen derivaatta on a, jolloin funktio on konkaavi, jos a 0, ja konveksi, jos a 0. (ii) Olkoon funktio määritelty kaavalla f(x) = x 3. Tämä funktio ei ole konkaavi eikä konveksi, koska sen toinen derivaatta f (x) = 6x on negatiivinen muuttujan x ollessa negatiivinen ja positiivinen muuttujan x ollessa positiivinen. Usean muuttujan funktiolle löytyy Lausetta.1 vastaava tulos. Siinä toinen derivaatta korvataan funktion Hessen matriisilla H, joka muodostetaan funktion f toisen kertaluvun osittaisderivaatoista. Määritelmä.3. Funktion f Hessen matriisi pisteessä x R n on f 11 (x) f 1 (x)... f 1n (x) f H(x) = 1 (x) f (x)... f n (x)......, f n1 (x) f n (x)... f nn (x) jossa f 11 (x) = f x1 x 1 (x), f 1 (x) = f x1 x (x) ja niin edelleen. Hessen matriisi on siis muodostettu toisen kertaluvun osittaisderivaatoista ja sen arvo riippuu pisteestä x = (x 1,x,...,x n ). Esimerkiksi ensimmäisen rivin alkiot on saatu osittaisderivoimalla osittaisderivaattaa f x1 kaikkien muuttujien suhteen. Kahdesti jatkuvasti derivoituvalle funktiolle on voimassa f ij (x) = f ji (x) ( ristiderivaatat ovat yhtä suuret). 1 Esimerkki.5. Lasketaan funktionf(x,y) = x+xy 3 Hessen matriisi. Ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat: (.1) f x (x,y) = 1+y 3, f y (x,y) = 3xy. 1 Kahdesti jatkuvasti derivoituvalla funktiolla tarkoitetaan funktiota, jolla on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Taloustieteessä funktiot ovat usein juuri näitä.

10 YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE Kyseessä on kahden muuttujan funktio, jolloin toisen kertaluvun osittaisderivaattoja on = 4 kappaletta. Hessen matriisi on [ ] 0 3y H(x,y) = 3y. 6xy Huomaa, että Hessen matriisi tosiaan riippuu pisteestä (x,y). Lause.. Olkoon X R n avoin konveksi joukko ja f: X R funktio, joka on kahdesti jatkuvasti derivoituva. Tällöin (i) funktio on konkaavi, jos ja vain jos Hessen matriisi H(x) on negatiivisesti semidefiniitti kaikilla x X. (ii) funktio on konveksi, jos ja vain jos Hessen matriisi H(x) on positiivisesti semidefiniitti kaikilla x X. Todistus. Sydsæter et al. (008). Voimme päätellä funktion konkaavisuuden/konveksisuuden laskemalla Hessen matriisin ja tutkimalla sen semidefiniittisyyttä. Jos funktion Hessen matriisi on negatiivisesti semidefiniitti kaikilla funktion määrittelyjoukon alkioilla, funktio on konkaavi. Jos Hessen matriisi on positiivisesti semidefiniitti kaikilla funktion määrittelyjoukon alkioilla, funktio on konveksi. Funktion aito konkaavisuus tai aito konveksisuus voidaan tarkastaa seuraavan lauseen avulla: Lause.3. Olkoon X R n avoin konveksi joukko ja f: X R funktio, joka on kahdesti jatkuvasti derivoituva. (i) Jos Hessen matriisi H(x) on negatiivisesti definiitti kaikilla x X, funktio f on aidosti konkaavi. (ii) Jos Hessen matriisi H(x) on positiivisesti definiitti kaikilla x X, funktio f on aidosti konveksi. Todistus. Sydsæter et al. (008). Päinvastaiset väitteet eivät päde. Vastaesimerkiksi kohtaan (i) käy funktio f(x, y) = x 4 y 4, joka on aidosti konkaavi, mutta Hessen matriisi ei ole negatiivisesti definiitti, koska H(0,0) on nollamatriisi. Esimerkki.6. Olkoon funktio f Cobb-Douglas muotoa eli f(x,y) = x a y b, jossa a,b > 0. Ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat f x (x,y) = ax a 1 y b ja f y (x,y) = bx a y b 1, jolloin saamme laskettua Hessen matriisiksi (.) [ fxx (x,y) f xy (x,y) f yx (x,y) f yy (x,y) ] = [ ] a(a 1)x a y b abx a 1 y b 1 abx a 1 y b 1 b(b 1)x a y b. Oletetaan, että a+b < 1. Tällöin funktio on aidosti konkaavi, koska a(a 1)x a y b < 0

ja (laske) (.3) a(a 1)xa y b abx a 1 y b 1 YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 11 abx a 1 y b 1 b(b 1)x a y b = ab(1 a b)xa y b > 0. Lause.4. (i) Kahden konkaavin funktion summa on konkaavi funktio. (ii) Positiivisella reaaliluvulla kerrottu konkaavi funktio on konkaavi. Todistus. Sydsæter et al. (008). Vastaavat väitteet pätevät konveksille funktiolle. Esimerkki.7. Jos tuotantofunktio f(x, y) on konkaavi, myös voittofunktio Π(x, y) = pf(x,y) wx zy on konkaavi. Muuttuja p on lopputuotteen hinta ja muuttujat w ja z ovat tuotantopanosten hinnat.

1 YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 3. Ääriarvotehtävistä Ääriarvotehtäviä havainnollistetaan usein (myös luennoilla) funktion tasa-arvojoukkojen avulla. Esimerkiksi kahden muuttujan funktion f eräs tasa-arvojoukko koostuu funktion määrittelyjoukon pisteistä, jotka toteuttavat yhtälön f(x, y) = c, jossa c on jokin luku. Tämä käsite on tärkeä muutenkin: esimerkiksi indifferenssikäyrät ovat hyötyfunktion tasa-arvojoukkoja. 3.1. Rajoittamaton ääriarvotehtävä. Muistellaan ensin hieman yhden muuttujan funktion ääriarvojen määrittämistä. Ensimmäisen kertaluvun välttämätön ehto maksimille tai minimille tietyssä pisteessä on, että derivaatta tässä pisteessä on nolla. Toisen kertaluvun riittävä ehto maksimille on, että toinen derivaatta tässä pisteessä on aidosti negatiivinen, ja minimille, että toinen derivaatta tässä pisteessä on aidosti positiivinen. Olkoon nyt X R n ja f: X R eli tarkastellaan usean muuttujan funktiota. Ensimmäisen kertaluvun välttämätön ehto funktion ääriarvopisteelle on, että kaikki osittaisderivaatat ovat kyseisessä pisteessä nollia eli että kyseessä on kriittinen piste. Toisin sanoen, jos piste x = (x 1,x,...,x n) R n on funktion ääriarvopiste, f xi (x ) = 0, jokaisella i = 1,...,n, tai kompaktimmin f(x ) = 0 eli funktion gradienttivektori on nolla pisteessä x. Kriittinen piste voi kuitenkin olla maksimipiste, minimipiste tai satulapiste. Kriittisen pisteen laadun tarkastamista varten täytyy tehdä lisätyötä. Usean muuttujan funktion tapauksessa toisen kertaluvun riittävät ehdot liittyvät Hessen matriisiin ja sen definiittisyyteen kriittisessä pisteessä. Seuraava lause antaa keinon löytää maksimipisteet ja minimipisteet kriittisten pisteiden joukosta. Tässä keskitytään paikallisiin ääriarvopisteisiin. Lause 3.1 (Toisen kertaluvun riittävät ehdot). Olkoon X R n avoin joukko ja f: X R kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio ja olkoon piste x = (x 1,x,...,x n) X funktion kriittinen piste eli piste, joka ratkaisee yhtälöryhmän f xi (x) = 0, i = 1,...,n. Tällöin pätee: i) Jos funktion f Hessen matriisi H(x) on kriittisessä pisteessä negatiivisesti definiitti eli jos kriittisessä pisteessä on voimassa (3.1) H 1 <0, H >0, H 3 <0, H 4 >0,..., kriittinen piste x on paikallinen maksimipiste. ii) Jos funktion f Hessen matriisi H(x) on kriittisessä pisteessä positiivisesti definiitti eli jos kriittisessä pisteessä on voimassa (3.) H 1 >0, H >0, H 3 >0, H 4 >0,..., kriittinen piste x on paikallinen minimipiste. iii) Jos ehdoista (3.1) ja (3.) kumpikaan ei ole voimassa jollain nollasta poikkeavalla johtavalla pääminorilla, kriittinen piste x ei ole paikallinen maksimipiste eikä minimipiste vaan satulapiste.

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 13 Todistus. Simon & Blume (1994). Kriittisen pisteen laatu voidaan usein määrittää maksimi- tai minimipisteeksi tämän lauseen avulla, jossa siis luvut H k ovat Hessen matriisin johtavia pääminoreita. Kahden muuttujan funktion tapauksessa seuraava esimerkki on hyödyllinen. Esimerkki 3.1. Olkoon f(x, y) funktio, joka täyttää Lauseen 3.1 ehdot. Siihen liittyvä Hessen matriisi on [ ] fxx (x,y) f H(x,y) = xy (x,y). f yx (x,y) f yy (x,y) Olkoon (x,y ) funktion f kriittinen piste. Lauseen 3.1 perusteella pätee siten seuraavaa: Jos f xx (x,y ) < 0 ja f xx (x,y )f yy (x,y ) f xy (x,y ) > 0, kriittinen piste on paikallinen maksimipiste. Jos f xx (x,y ) > 0 ja f xx (x,y )f yy (x,y ) f xy (x,y ) > 0, kriittinen piste on paikallinen minimipiste. Jos f xx (x,y )f yy (x,y ) f xy (x,y ) < 0, kriittinen piste on satulapiste. Esimerkki 3.. Etsitään funktion f(x,y) = x +y + (paikallinen) ääriarvopiste ja vastaava funktion ääriarvo sekä määritetään ääriarvon laatu. Ehdokkaat ääriarvopisteiksi löytyvät kriittisten pisteiden joukosta. Kriittinen piste on (0, 0) (laske). Funktion Hessen matriisi on [ ] 0 H(x,y) =, 0 4 jolloin sen johtavat pääminorit ovat H 1 = ja H = 8. Molemmat ovat positiivisia, joten Hessen matriisi on positiivisesti definiitti ja kriittinen piste on minimipiste. Vastaava funktion minimiarvo on f(0,0) =. Esimerkki 3.3. Muutetaan yllä olevaa esimerkkiä hieman. Olkoon funktio f(x, y) = x +y +. Kriittinen piste on nytkin (0,0), mutta Hessen matriisi on [ ] 0 H(x,y) =, 0 4 jolloin sen johtavat pääminorit ovat H 1 = ja H = 8. Kriittinen piste on satulapiste. Entä jos funktiona on f(x,y) = x y +? Esimerkki 3.4. Etsitään funktionf(x,y,z) = x +y +z +xy+4z+xz ääriarvopiste ja määrätään sen laatu. Lasketaan osittaisderivaatat ja ratkaistaan kriittinen piste: f x = x+y +z = 0, f y = y +x = 0, f z = z +4+x = 0.

14 YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE Kirjoitetaan yhtälöryhmä matriisimuotoon ja käytetään Cramerin sääntöä sen ratkaisemiseen (palauta sääntö mieleen laskemalla itse) 1 1 1 0 x y = 0 0. 1 0 z 4 Ratkaisuksi saadaan kriittinen piste (x, y, z) = (, 1, 3). Määrätään sen laatu muodostamalla Hessen matriisi, joka on: 1 1 1 0 1 0 Johtavat pääminorit ovat H 1 =, H = 3 ja H 3 = 4. Kaikki ovat positiivisia, joten kriittinen piste on minimipiste. Vastaava funktion minimiarvo on f(, 1, 3) = 6. Huomautus: Jos funktio on kahdesti jatkuvasti derivoituva ja Hessen matriisi on negatiivisesti semidefiniitti kriittisessä pisteessä, niin tällöin kriittinen piste ei välttämättä ole maksimipiste. Vastaesimerkiksi käy funktio f(x) = x 3, jonka toinen derivaatta on kriittisessä pisteessä 0 eli Hessen matriisi on tässä pisteessä negatiivisesti semidefiniitti (myös positiivisesti). Origon mistä tahansa ympäristöstä löytyy kuitenkin pisteitä, joissa funktion arvo pienempi kuin 0 tai suurempi kuin 0. Toinen vastaesimerkki on funktio f(x,y) = x 3 +y 3. Tutkitaan vielä yksi esimerkki. Esimerkki 3.5. Tutkitaan funktiota f(x,y) = 3 y3 xy y + 1 x. Lasketaan kriittiset pisteet: f x = y +x = 0 f y = y x 1 = 0. Ratkaisut ovat (1,1) ja ( 1 ), 1. Määritetään niiden laatu Hessen matriisilla: [ ] 1 1 H(x,y) =. 1 4y Kriittisessä pisteessä (1,1) Hessen matriisi on H(1,1) = [ 1 1 1 4 Se on positiivisesti definiitti, koska H 1 = 1 ja H = 3. Tämä kriittinen piste on siten paikallinen minimipiste ja vastaava funktion paikallinen minimiarvo on 5. 6 Kriittisessä pisteessä ( 1 ), 1 Hessen matriisi on ]. H( 1, 1 ) = [ 1 1 1 ]. Koska H = 3 < 0, tämä kriittinen piste on satulapiste. Olisi varmasti helpompaa laskea tämä eliminoimalla muuttujia.

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 15 Yllä käsiteltiin paikallisten ääriarvojen etsimistä. 3 Globaalien tai absoluuttisten ääriarvojen löytäminen pelkästään kriittisen pisteen avulla onnistuu, esimerkiksi jos tarkasteltava funktio on konkaavi tai konveksi. Lause 3.. Olkoon X R n avoin ja konveksi joukko ja funktiof: X R jatkuvasti derivoituva (i) Jos funktio f on konkaavi ja pisteessä x X pätee f(x ) = 0, piste x on funktion f globaali maksimipiste. (ii) Jos funktio f on konveksi ja pisteessä x X pätee f(x ) = 0, piste x on funktion f globaali minimipiste. Todistus. Sydsæter et al. (008). Eli, jos tavoitefunktio on konkaavi, kriittinen piste on automaattisesti globaali maksimipiste. Esimerkki 3.6. Olkoon jälleen voittofunktio Π(x,y) = pf(x,y) wx zy. Kun voittofunktio on konkaavi, maksimipiste löytyy suoraan seuraavan yhtälöparin ratkaisuna pf x (x,y) w = 0, pf y (x,y) z = 0. 3.. Yhtälörajoitteinen ääriarvotehtävä, Lagrangen menetelmä ja kerroin. Tarkastellaan rajoitettua ääriarvotehtävää 4 (Max) max f(x 1,x ) {x 1,x } siten että g(x 1,x ) = c, ja palautetaan mieliin Lagrangen lause tässä yhden rajoitteen tapauksessa (oletetaan, ettei rajoitefunktion osittaisderivaatat ole molemmat nollia tehtävän ratkaisussa (x 1,x )): Lause 3.3. Oletetaan, että (x 1,x ) on tehtävän (Max) ratkaisu, kun funktiot f ja g ovat jatkuvasti derivoituvia. Tällöin on olemassa Lagrangen kerroin λ siten että piste (x 1,x,λ ) on kriittinen piste Lagrangen funktiolle L(x 1,x,λ) = f(x 1,x ) λ(g(x 1,x ) c). Todistus. Sydsæter et al. (008). Esimerkki 3.7. Ratkaistaan tehtävä max x 1 x siten ettäx 1 +4x = 16. Lagrangen {x 1,x } funktio on L(x 1,x,λ) = x 1 x λ(x 1 +4x 16). 3 Moni esimerkkien ääriarvopisteistä on myös globaali ääriarvopiste. 4 Voitaisiin tarkastella myös minimointitehtävää; Lause 3.3 kelpaa siihenkin.

16 YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE Osittaisderivoidaan Lagrangen funktio kaikkien kolmen muuttujan suhteen ja asetetaan osittaisderivaatat nolliksi: 5 (3.3) (3.4) (3.5) L x1 = x λ = 0 L x = x 1 4λ = 0 L λ = x 1 4x +16 = 0. Ensimmäisen yhtälön mukaan x = λ, joten toisesta yhtälöstä saamme x 1 = 4x. Sijoitetaan tämä kolmanteen yhtälöön, jolloin 4x 4x = 16 eli x =. Täten Lagrangen funktion kriittinen piste on (x 1,x,λ ) = (8,,). Tällöin alkuperäisen tehtävän ratkaisu on (x 1,x ) = (8,) ja funktion maksimiarvo on 16. Geometrisesti ratkaisu on tavoitefunktion tasa-arvojoukon ja rajoitesuoran x = 4 1x 4 1 sivuamispiste, katso seuraava kuva. x Kuva 3.1. Kuvassa on tavoitefunktion yksi tasa-arvokäyrä x 1 x = 16 ja rajoite. 8 x 1 Mistä tiedetään, että laskettu Lagrangen funktion kriittinen piste oikeasti antaa maksimi- tai minimipisteen? Tähän tarvitaan (esimerkiksi) reunustettua Hessen matriisia. Reunustettua Hessen matriisia merkitään lisäämällä yläviiva Hessen matriisin merkintään eli symbolilla H. Yksi tapa kirjoittaa reunustettu Hessen matriisi on 0 g x1 (x 1,x ) g x (x 1,x ) (3.6) H(x 1,x,λ) = g x1 (x 1,x ) L x1 x 1 (x 1,x,λ) L x1 x (x 1,x,λ). g x (x 1,x ) L x x 1 (x 1,x,λ) L x x (x 1,x,λ) Reunustetun Hessen matriisin ensimmäinen johtava pääminori H 1 on nolla ja toinen johtava pääminori H on negatiivinen. Nämä kaksi seikkaa ovat voimassa aina. Tarkasteltavana olevassa tapauksessa johtavan pääminorin H 3 = H merkki kertoo kriittisen pisteen laadun. Lause 3.4. Olkoon L Lagrangen funktio ja olkoon piste (x 1,x,λ ) sen kriittinen piste. Tällöin (i) (x 1,x ) on paikallinen maksimipiste, jos reunustetulle Hessen matriisille H on voimassa H(x 1,x,λ ) >0. 5 Viimeinen näistä yhtälöistä on oleellisesti vain rajoiteyhtälö.

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 17 (ii) (x 1,x ) on paikallinen minimipiste, jos reunustetulle Hessen matriisille H on voimassa H(x 1,x,λ ) <0. Todistus. Sydsæter et al. (008). Siis, jos reunustetun Hessen matriisin determinantti on kriittisessä pisteessä positiivinen, piste (x 1,x ) on paikallinen maksimipiste. Jos reunustetun Hessen matriisin determinantti on kriittisessä pisteessä negatiivinen, piste (x 1,x ) on paikallinen minimipiste. Esimerkki 3.8. Esimerkissä 3.7 vain oletettiin, että kyseisellä maksimointitehtävällä on ratkaisu. Perustellaan, että laskettu ratkaisu tosiaan antaa (paikallisen) rajoitetun maksimin. Lasketaan reunustettu Hessen matriisi: H = 0 1 4 1 0 1. 4 1 0 Reunustetun Hessen matriisin determinantti on 4+4 = 8, joten (8,) on rajoitettu maksimipiste. Funktion rajoitettu maksimiarvo on 16. Esimerkki 3.9. Etsitään funktion f(x,y) = xy ääriarvopisteet rajoitteella x + y = 1. Rajoite on yksikköympyrä. Lagrangen funktio on Lausetta 3.3 soveltamalla saadaan L(x,y,λ) = xy λ(x +y 1). y λx = 0, x λy = 0, x y +1 = 0. Ensimmäisen yhtälön mukaan y = λx, joten λ = y. Sijoittamalla tämä toiseen x yhtälöön saamme x = y. Sijoittamalla tämä edelleen viimeiseen yhtälöön saamme y y +1 = 0 y = ± 1. Kriittisiksi pisteiksi saamme siten (x,y,λ ) = ( 1 1,,1), (x,y,λ ) = ( 1, 1,1) (x,y,λ ) = ( 1, 1, 1) (x,y,λ ) = ( 1, 1, 1). Näiden joukosta löytyvät maksimi- ja minimipisteet. Reunustettu Hessen matriisi on 0 x y (3.7) H = x λ. y λ

18 YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE Sen determinatti on (laske itse): H = 8(x λ+y λ+xy). Laskemalla determinantin arvo kriittisissä pisteissä ja käyttämällä Lausetta 3.4 saamme lopputulokseksi: Pisteet ( 1 1, ) ja ( 1, 1 ) ovat rajoitettuja maksimipisteitä, koska näissä pisteissä H > 0. Pisteet ( 1, 1 ) ja ( 1, 1 ) ovat rajoitettuja minimipisteitä, koska näissä pisteissä H < 0. Vastaavat funktion rajoitetut ääriarvot voidaan laskea sijoittamalla rajoitetut maksimi- ja minimipisteet tavoitefunktioon. Lagrangen menetelmä yleistyy tilanteeseen, jossa tavoitefunktio f on n:n muuttujan funktio ja rajoitteita on useampia, sanotaan m kappaletta. 6 Rajoitteet ovat g j (x 1,...,x n ) = c j, j = 1,...,m. Lauseen 3.3 periaate pysyy ennallaan: Jos tiedämme, että tehtävän tavoitefunktio ja rajoitefunktiot ovat sopivia ja että tehtävällä on rajoitettu maksimi tai minimi pisteessä (x 1,...,x n), on olemassa Lagrangen kertoimet (λ 1,...,λ m) siten että piste (x 1,...,x n,λ 1,...,λ m) on Lagrangen funktion kriittinen piste. Nyt Lagrangen funktio on m L(x 1,...,x n,λ 1,...,λ m ) = f(x 1,...,x n ) λ j (g j (x 1,...,x n ) c j ). Lagrangen funktiossa on nyt useampia termejä, jotka sisältävät rajoitteen ja sitä vastaavan kertoimen, aivan samaan tyyliin kuin yhden rajoitteen tapauksessa. Esimerkki 3.10. Funktio f(x,y,z) = 1 x + 5y + z saa rajoitetun minimiarvon rajoitteilla x+y 4z = 1, ja x y +z = 0. Tehtävänä on etsiä rajoitettu minimipiste. Lagrangen funktio on L(x,y,z,λ,µ) = 1 x +5y +z λ( x+y 4z 1) µ(x y +z), ja sen kriittinen piste ratkaisee yhtälöryhmän x+λ µ = 0, 10y λ+µ = 0, z +4λ µ = 0, x+y 4z = 1, x y +z = 0, Kriittinen piste on(x,y,z,λ,µ) = ( 1 3,0, 1, 1, ( 3 3 3) (laske). Eli 1 3 3),0, 1 on rajoitettu minimipiste. 6 Mieluiten m < n. j=1

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 19 Kun tavoitefunktiossa on muuttujia enemmän kuin kaksi, mutta rajoitteita edelleen yksi, riittäviä ehtoja varten tulee tarkastaa useamman johtavan pääminorin merkki. 7 Lause 3.5. Olkoon L Lagrangen funktio ja olkoon piste (x 1,x,...,x n,λ ) sen kriittinen piste. Tällöin (i) (x 1,x,...,x n) on paikallinen maksimipiste, jos reunustetulle Hessen matriisille H pätee kriittisessä pisteessä H 3 > 0, H 4 < 0, H 5 > 0,... (ii) (x 1,x,...,x n) on paikallinen minimipiste, jos reunustetulle Hessen matriisille H pätee kriittisessä pisteessä Todistus. Sydsæter et al. (008). H 3 < 0, H 4 < 0, H 5 < 0,... Tähän asti on käsitelty paikallisia ääriarvoja. Entä globaalit ääriarvot rajoitetussa tapauksessa? Tarkastellaan tilannetta maksimointitehtävän ja usean rajoitteen tapauksessa. Lause 3.6. Oletetaan, että piste (x 1,...,x n,λ 1,...,λ m) on Lagrangen funktion kriittinen piste, ja että Lagrangen funktio on konkaavi muuttujien x 1,...,x n suhteen. Tällöin piste (x 1,...,x n) on tehtävän globaali ratkaisu. Todistus. Sydsæter et al. (008). Minimointitehtävän tapauksessa Lagrangen konkaavisuus korvataan konveksisuudella. Esimerkki 3.11. Koska Esimerkissä 3.10 Lagrangen funktio L on konveksi muuttujien x, y ja z suhteen (miksi?), piste ( 1 3,0, 1 3 ) on rajoitettu globaali minimipiste. Selvitetään luvun lopuksi Lagrangen kertoimen (taloustieteellistä) merkitystä kahden muuttujan ja yhden rajoitteen tapauksessa. Lagrangen kerroin on matemaattisessa mielessä vain apumuuttuja, jonka avulla löydetään tehtävän ratkaisu (paitsi tietyissä erikoistapauksissa). Taloustieteellisissä malleissa kertoimesta on myös muuta hyötyä. Esimerkiksi maksimointitehtävässä Lagrangen kerroin kertoo (intuitiivisesti sanottuna) kuinka funktion maksimiarvo muuttuu, jos rajoitetta löysätään hieman. Tarkastellaan tehtävää maxf(x,y) siten että g(x,y) = c. {x,y} Tämän tehtävän ratkaisu (x,y ) riippuu parametrista c, joten merkitään tehtävän ratkaisua (x (c),y (c)) ja Lagrangen kerrointa λ(c). Lisäoletuksin on voimassa 7 Entä jos rajoitteita on useita? Tämän voit kurkata kurssikirjoista. Usean rajoitteen tapauksessa ehdot ovat monimutkaisemmat.

0 YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE Lause 3.7. Olkoon(x (c),y (c)) rajoitetun maksimointitehtävän ratkaisu jaf(x (c),y (c)) tavoitefunktion maksimiarvo. Tällöin df(x (c),y (c)) dc Todistus. Sydsæter et al. (008). = λ (c). Esimerkiksi, jos kyseessä on kuluttujan hyödyn maksimointitehtävä annetulla budjettirajoitteella px + qy = I, Lagrangen kerroin, joka on kyseisessä tehtävässä positiivinen, kertoo kuinka paljon maksimihyöty likimäärin kasvaa tulojen noustessa hieman.

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 1 4. Ääriarvotehtävät epäyhtälörajoitteilla Esimerkki 4.1. Tarkastellaan tehtävää (4.1) maxf(x) rajoitteella x 0. {x} Oletetaan ensin, että tehtävän ratkaisu x on 0. Tällöin funktion f(x) derivaatta on välttämättä negatiivinen tai nolla tässä pisteessä eli f (x ) < 0 tai f (x ) = 0, koska muuten funktion arvoa voitaisiin kasvattaa siirtymällä positiiviseen suuntaan pisteestä nolla. Toisaalta, jos tehtävän ratkaisu on jokin positiivinen luku eli x > 0, niin tällöin tässä pisteessä derivaatan on oltava nolla eli f (x ) = 0. Eli olipa tehtävän ratkaisu x = 0 tai x > 0, se toteuttaa ehdot: Katso Kuva 4.1. f (x) 0, x 0, xf (x) = 0. Kuva 4.1. Vasen kuva: x = 0 ja f (x ) < 0. Oikea kuva: x > 0 ja f (x ) = 0. Tapaus, jossa f (0) = 0 on jätetty piirtämättä. Edellinen on esimerkki epäyhtälörajoitteisesta ääriarvotehtävästä. Olkoot f ja g jatkuvasti derivoituvia kahden muuttujan funktioita. Tarkastellaan tehtävää (E) maxf(x,y) rajoitteella g(x,y) 0. {x,y} Toisin sanoen, tehtävässä etsitään sellaista pistettä (x,y), jossa funktio f(x,y) saa maksimiarvon, ja joka sisältyy rajoitteen g(x, y) 0 määräämään joukkoon (käypäjoukko) B = {(x,y) R g(x,y) 0}. Oletetaan, että rajoitteelle pätee g x (x,y ) 0 ja g y (x,y ) 0, jossa (x,y ) on tehtävän (E) ratkaisu. Lauseessa 4.1 annetaan ehdot, jotka tehtävän ratkaisu toteuttaa. Otetaan ensin johdatteleva esimerkki: Esimerkki 4.. Tehtävänä on (4.) max (x ) (y ) rajoitteella y +x 0. {x,y} Tässä f(x,y) = (x ) (y ), ja sen tasa-arvojoukot ovat ympyröitä, joiden keskipisteenä on (,). Rajoitteena on epäyhtälö y + x 0, joka muodostaa joukon B = {(x,y) R y +x 0}.

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 4 3 1 1 1 3 4 1 Kuva 4.. Tavoitefunktion tasa-arvojoukkoja ja rajoitejoukko B (varjostettu alue) Esimerkiksi origo(0, 0) kuuluu tähän joukkoon, kuten myös kaikki (suoran)yhtälön y = x+ toteuttavat pisteet. Ilman rajoitetta funktion f maksimipiste on (,) (miksi?), mutta tämä piste ei kuitenkaan kuulu rajoitejoukkoon B. Pohtimalla rajoitejoukkoa ja funktion tasa-arvokäyriä huomataan, että tehtävän ratkaisu on piste (1, 1). Tässä pisteessä funktion f gradientti f(x, y) on rajoitteen gradientti g(x, y) kerrottuna jollain kertoimella λ (millä?). Gradientit ovat siten yhdensuuntaisia. Gradientista tiedetään, että gradientti osoittaa suuntaan, johon funktion arvo kasvaa voimakkaimmin ja että se on kohtisuorassa funktion tasa-arvojoukon tangenttisuoraa vastaan. Pisteessä (1, 1) funktion f gradientti osoittaa pisteen (, ) suuntaan. Jos näin ei olisi, vaan gradientti osoittaisi rajoitejoukon suuntaan, funktion f arvoa voitaisiin kasvattaa ja pysyä edelleen rajoitejoukossa. Tällöin piste (1,1) ei olisi tehtävän ratkaisu. Funktion f gradientti osoittaa siis ulospäin rajoitejoukosta. Rajoitteen gradientti osoittaa samaan suuntaan, joten yhtälöstä seuraa, että λ > 0. f(x,y) = λ g(x,y) Yllä olevassa esimerkissä optimi saavutettiin rajoitejoukon reunalla eli pisteessä, jossa g(x, y) = 0. Tällöin sanotaan, että rajoite on sitova tai aktiivinen. Muutetaan ylläolevaa esimerkkiä hieman, jolloin optimi saavutetaankin rajoitejoukon sisällä eli pisteessä, jossa g(x, y) < 0: Esimerkki 4.3. Tehtävänä on (4.3) max (x ) (y ) rajoitteella y +x 6 0. {x,y} Nyt rajoitteena on epäyhtälö y +x 6 0, joka muodostaa joukon (piirrä) B = {(x,y) R y +x 6 0}.

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 3 Tarkastellaan pistettä (3,3), joka toteuttaa rajoitteena olevan epäyhtälön yhtäsuuruutena. Tässä pisteessä rajoitteen gradientti osoittaa ulospäin rajoitejoukosta aivan kuten edellisessä esimerkissä. Tällä kertaa kuitenkin funktion f(x, y) gradientti osoittaa rajoitejoukon sisuksen suuntaan eli voimme kasvattaa funktion arvoa siirtymällä pisteestä (3, 3) sisuksen suuntaan. Tehtävän ratkaisuna on rajoittamaton ääriarvopiste (,). Ylläolevan esimerkin tilanteessa, jossa tehtävän ratkaisu saavutetaan rajoitejoukon sisuksessa, rajoite ei ole sitova. Tehtävään (E) liittyvä Lagrangen funktio on L(x,y,λ) = f(x,y) λg(x,y), jota voi käyttää apuna tehtäviä ratkoessa. 8 Epäyhtälörajoitteisissa tehtävissä on väliä sillä mikä merkki on Lagrangen kertoimen λ edessä. Tehtävään (E) liittyvä Lagrangen funktio kannattaa kirjoittaa täsmälleen yllä mainitussa muodossa. Yhtälörajoitteisissa tehtävissä osittaisderivoitiin myös kertoimen λ suhteen, mutta epäyhtälörajoitteisissa tehtävissä ei. 9 Seuraava lause antaa välttämättömät ehdot tehtävän ratkaisulle: Lause 4.1. Olkoon piste (x,y ) tehtävän (E) ratkaisu. Tällöin on olemassa luku λ siten että seuraavat ehdot ovat yhtäaikaa voimassa: (i) f(x,y ) = λ g(x,y ), (ii) g(x,y ) 0, λ 0 ja λ g(x,y ) = 0. Todistus. Sydsæter et al. (008). Ehtoja (i) ja (ii) voidaan kutsua Kuhn-Tucker-ehdoiksi (KT-ehdoiksi). Ehto (i) on tuttu ja sen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa f x (x,y ) = λ g x (x,y ), f y (x,y ) = λ g y (x,y ). Lagrangen funktion avulla nämä ehdot ovat L x (x,y,λ ) = 0 ja L y (x,y,λ ) = 0. Ehto (ii) on uusi. Ehto sanoo, että optimipisteessä epäyhtälörajoite on voimassa ja Lagrangen kerroin on ei-negatiivinen. Lisäksi optimissa kertoimen ja rajoitefunktion arvon tulo on nolla; siis joko kerroin on nolla tai rajoitefunktion arvo on nolla tai molemmat ovat nollia. Toisin sanoen, jos rajoite pätee muodossa g(x,y ) < 0, on yhtälön λ g(x,y ) = 0 mukaan oltava λ = 0. Jos taas λ > 0, on yhtälön λ g(x,y ) = 0 mukaan oltava g(x,y ) = 0. Esimerkki 4.4. Ratkaistaan Esimerkki 4. Lauseen 4.1 avulla. Lagrangen funktio on L(x,y,λ) = (x ) (y ) λ(y +x ). 8 Se on muodostettu samaan tapaan kuin aiemminkin. 9 Yhtälörajoitteisissakin tehtävissä derivointi kertoimen suhteen on vähän turhaa, koska derivaatta kertoimen suhteen asetettuna nollaksi on oleellisesti vain rajoiteyhtälö.

4 YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE Lauseen 4.1 ehto (i) voidaan kirjoittaa muotoon (4.4) (4.5) Ehto (ii) on (x ) = λ, (y ) = λ. y +x 0, λ 0, λ(y +x ) = 0. Mietitään, mitä tapahtuu, jos λ = 0. Tällöin yhtälöt (4.4) ja (4.5) tulevat muotoon (x ) = 0, (y ) = 0, jolloinx = jay =. Piste(x,y) = (,) ei kuitenkaan kuulu rajoitejoukkoon, joten ei voi päteä λ = 0. Entä jos λ > 0? Tällöin Lauseen 4.1 viimeisen ehdon mukaan on oltava y +x = 0, joten yhdistämällä tämä ehtoon (i) saadaan yhtälöryhmä (x ) = λ, (y ) = λ, y +x = 0. Yhtälöryhmän ratkaisu on (x,y,λ ) = (1,1,). Geometrisesti (katso Kuva 4.) on selvää, että (1,1) on tehtävän ratkaisu ja vastaava funktion rajoitettu maksimiarvo on. Esimerkki 4.5 (Kirjasta S&B). Tehtävänä on (4.6) max {x,y} xy rajoitteella x +y 1. Lagrangen funktio on L(x,y,λ) = xy λ(x +y 1). Lauseen 4.1 ehdot (i) ja (ii) voidaan kirjoittaa muotoon (4.7) (4.8) (4.9) y = λx, x = λy, x +y 1, λ 0, λ(x +y 1) = 0. Yhtälöistä (4.7) ja (4.8) saadaan λ = y ja λ = x. Eli x y x = y. Käytetään nyt ehtoja (4.9) ja katsotaan mitä tapahtuu, kun λ = 0. Tällöin yhtälöiden (4.7) ja (4.8) mukaan myös y = 0 ja x = 0. Piste (0,0) sisältyy varmasti rajoitejoukkoon, joten kolmikko (0, 0, 0) on yksi ratkaisukandidaatti. Muut kandidaatit löydetään, kun katsotaan mitä tapahtuu, kun λ > 0. Tällöin ehtojen (4.9) mukaan rajoite on sitova eli x +y = 1. Käytetään tämän lisäksi yhtälöä x = y, jolloin laskemalla saadaan neljä ehdokasta: ( 1, 1, 1 ) (, 1, 1, 1 ) ( 1,, 1, 1 ) ( ja 1 1,, 1 ).

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 5 ( ) 1 Kahdessa jälkimmäisessä λ < 0, joten hylkäämme ne. Jäljelle jäävät siten 1,, 1 ( ) ja 1, 1, 1 sekä aiemmin laskettu (0, 0, 0). Sijoitetaan kunkin x ja y arvot tavoitefunktioon xy, jolloin saamme rajoitetuiksi maksimipisteiksi 1 ( 1, ), ( 1, 1 ). Nämä tuottavat tavoitefunktiolle rajoitetun maksimiarvon 1. Esimerkki 4.6. Perustellaan Esimerkkiä 4.1 Lauseen 4.1 avulla. Kirjoitetaan rajoite x 0 lauseessa esiintyvään muotoon eli x 0. Tehtävään liittyvä Lagrangen funktio on L(x,λ) = f(x) λ( x), ja lauseen ehdot ovat nyt (4.10) f (x)+λ = 0, x 0, λ 0, λ( x) = 0. Ensimmäinen yhtälö on yhtäpitävä yhtälön λ = f (x) kanssa, jolloin ehdot (4.10) saadaan Esimerkkiä 4.1 vastaavaan muotoon: (4.11) x 0, f (x) 0, f (x)x = 0. Periaatteessa niin sanottuja ei-negatiivisuus rajoitteita, x 0, voidaan käsitellä juuri kuten edellisessä esimerkissä. Esimerkki 4.7 (Kirjasta S&B). Tehtävänä on kuluttujan hyödynmaksimointi budjettirajoitteella, jonka ei tarvitse olla sitova eli kuluttajan ei tarvitse käyttää välttämättä kaikkea tuloaan hyödykkeisiin: (4.1) max u(x 1,x ) rajoitteella p 1 x 1 +p x I, {x 1,x } jossa x 1 ja x ovat hyödykkeiden määrät, p 1 ja p ovat niiden hinnat ja I on kuluttajan käytettävissä oleva tulo. Oletetaan, että rajahyöty on aidosti positiivinen molempien hyödykkeiden suhteen eli (4.13) u x1 (x 1,x ) > 0, ja u x (x 1,x ) > 0. Muodostetaan Lagrangen funktio L(x,y,λ) = u(x 1,x ) λ(p 1 x 1 +p x I) ja käytetään jälleen Lausetta 4.1. Lauseen mukaiset ehdot ovat (4.14) (4.15) (4.16) u x1 (x 1,x ) = λp 1, u x (x 1,x ) = λp, p 1 x 1 +p x I, λ 0, λ(p 1 x 1 +p x I) = 0.

6 YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE Katsotaan mitä tapahtuu, kun λ = 0. Tällöin yhtälöiden (4.14) ja (4.15) mukaan olisi (4.17) u x1 (x 1,x ) = 0, ja u x (x 1,x ) = 0, mikä on kuitenkin ristiriidassa oletettujen rajahyötyjen aidon positiivisuuden kanssa. Ei voi päteä λ = 0. Mitä seuraa, jos λ > 0? Tällöin ehtojen (4.16) mukaisesti on oltava p 1 x 1 +p x = I eli kuluttaja käyttää kaiken tulonsa hyödykkeisiin. Jos pyritään etsimään tavoitefunktion f minimiä jossain rajoitejoukossa, voidaan käyttää edelleen Lausetta 4.1 kunhan maksimoidaan funktiota f. Toisin sanoen tehtävän (4.18) minf(x,y) rajoitteella g(x,y) 0 {x,y} ratkaisu on täsmälleen sama kuin tehtävän (4.19) max f(x,y) rajoitteella g(x,y) 0. {x,y} (Miksi?) Esimerkki 4.8. Tehtävän (4.0) min (x ) +(y ) rajoitteella y +x 0 {x,y} ratkaisu on (1,1) Esimerkin 4.4 perusteella. Esimerkki 4.9. Ratkaistaan tehtävä (4.1) minx +y rajoitteella 3x+y +6 0. {x,y} Lagrangen funktio on (tehtävä on ensin muutettu maksimointitehtäväksi.) L(x,y,λ) = x y λ(3x+y +6). Lauseen 4.1 ehto (i) voidaan kirjoittaa muotoon (4.) (4.3) ja ehto (ii) on x = 3λ, y = λ, 3x+y +6 0, λ 0, λ(3x+y +6) = 0. Mietitään, mitä tapahtuu, jos λ = 0. Tällöin yhtälöistä (4.) ja (4.3) seuraa, että x = 0 ja y = 0. Sijoitetaan nämä rajoiteyhtälöön, jolloin saadaan 6 0, mikä on mahdotonta. Entä jos λ > 0? Tällöin on Lauseen 4.1 viimeisen ehdon mukaan oltava 3x+y +6 = 0, joten yhdistämällä tämän ehtoon (i) saadaan yhtälöryhmä x = 3λ, y = λ, 3x+y +6 = 0.

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 7 Yhtälöryhmän ratkaisu on (x,y,λ ) = ( 18 13, 1, 1 13 13). Geometrisesti on selvää, että ( 18 13 13), 1 on tehtävän ratkaisu ja vastaava funktion rajoitettu minimiarvo on 468. 169 Esimerkeistä on käynyt ilmi yksi tapa tutkia eräitä epäyhtälörajoitteisia tehtäviä. Toinen tapa on tutkia tapaukset, joissa toisessa rajoite ei ole sitova ja toisessa rajoite on sitova. Ainakin yksi esimerkki kannattaa laskea näinkin. Mistä tiedetään, että Lauseen 4.1 ehdot toteuttava piste on tosiaan tehtävän ratkaisu? Yksi mahdollisuus on soveltaa seuraavaa lausetta. Lause 4.. Oletetaan, että pari (x,y ) ja kerroin λ toteuttavat Lauseen 4.1 ehdot, ja että Lagrangen funktio on konkaavi muuttujien x ja y suhteen. Tällöin (x,y ) on tehtävän (E) ratkaisu. Todistus. Sydsæter et al. (008). Usean valintamuuttujan ja usean epäyhtälörajoitteen tapauksessa maksimointitehtävä on (4.4) max f(x 1,...,x n ) rajoitteilla g j (x 1,...,x n ) 0, j = 1,...,m, {x 1,...,x n} jossa tavoitefunktio f ja rajoitefunktiot g j ovat jatkuvasti derivoituvia funktioita. Lausetta 4.1 vastaa seuraava tulos. 10 Lause 4.3. Olkoon piste (x 1,...,x n) tehtävän (4.4) ratkaisu. Tällöin on olemassa luvut λ 1,...,λ m siten että seuraavat ehdot ovat yhtäaikaa voimassa: (i) L xi (x 1,...,x n,λ 1,...,λ m) = 0 kaikilla i = 1,...,n, (ii) g j (x 1,...,x n) 0, λ j 0 ja λ jg j (x 1,...,x n) = 0 kaikilla j = 1,...,m. Todistus. Sydsæter et al. (008). Esimerkki 4.10. Ratkaistaan tehtävä Lagrangen funktio on ja Lauseen 4.3 ehdot ovat max xy rajoitteilla y + 1 x 6 0, y +x 1 0 {x,y} L(x,y,λ,λ ) = xy λ 1 (y + 1 x 6) λ (y +x 1), (4.5) (4.6) y 1 λ 1 λ = 0 x λ 1 λ = 0 (4.7) y + 1 x 6 0, λ 1 0, λ 1 (y + 1 x 6) = 0 (4.8) y +x 1 0, λ 0, λ (y +x 1) = 0. 10 Jotta tulos olisi voimassa pitäisi olettaa jotain lisää rajoitteista (niin sanottu constraint qualification ehto), joka on tässä jätetty huomioimatta.

8 YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE Ratkaisuehdokkaita ovat siis kaikki pisteet (x,y,λ 1,λ ), jotka toteuttavat nämä ehdot. Tässä on neljä tapausta tutkittavana: Tapaus 1. λ 1 = 0 ja λ = 0. Tässä tapauksessa ehdoista (4.5) (4.6) saadaan (x,y) = (0,0). Tämä piste toteuttaa myös ehdot (4.7) ja (4.8). Se on siis ehdokas ratkaisuksi. Tapaus. λ 1 > 0 ja λ = 0. Tässä tapauksessa saadaan yhtälöryhmä (4.9) (4.30) (4.31) y 1 λ 1 = 0 x λ 1 = 0 y + 1 x 6 = 0, jonka ratkaisu on (x,y,λ 1 ) = (6,3,6). Toteutuuko epäyhtälö y +x 1 0? Ei. Tästä tapauksesta ei saada lisää ratkaisuehdokkaita. Tapaus 3. λ 1 = 0 ja λ > 0. Nyt saadaan yhtälöryhmä (4.3) (4.33) (4.34) y λ = 0 x λ = 0 y +x 1 = 0, jonka ratkaisu on (x,y,λ ) = (3,6,3). Toteutuuko epäyhtälö y + 1 x 6 0? Ei. Tästäkään tapauksesta ei saada lisää ratkaisuehdokkaita. Tapaus 4. λ 1 > 0 ja λ > 0. Tällä kertaa saadaan yhtälöryhmä (4.35) (4.36) y 1 λ 1 λ = 0 x λ 1 λ = 0 (4.37) y + 1 x 6 = 0 (4.38) y +x 1 = 0, jonka ratkaisu on (x,y,λ 1,λ ) = ( 4,4, 8 3, 4 3). Tämä piste toteuttaa kaikki ehdot, joten se kelpaa ratkaisuehdokkaaksi. Itseasiassa se on ratkaisu, koska tavoitefunktion arvo on siinä 16, kun taas ehdokkaassa (0,0) se on vain 0.

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE 9 5. Komparatiivinen statiikka Komparatiivisen statiikan avulla voi tutkia jonkin mallin eksogeenisen muuttujan muutoksen vaikutusta endogeeniseen muuttujaan. Endogeeninen muuttuja voi olla vaikka tuotanto ja eksogeeninen muuttuja esimerkiksi lopputuotteen hinta. Tarpeellisia apuvälineitä ovat kokonaisdifferentiaali, ketjusääntö ja erityisesti implisiittifunktiolauseet. 5.1. Kokonaisdifferentiaali. Muistellaan ensin derivoituvaa yhden muuttujan funktiota y = f(x). Tarkastellaan pistettä (x 0,f(x 0 )) ja sen kautta kulkevaa tangenttisuoraa, jonka yhtälö differentiaalien avulla kirjoitettuna (katso EMEA) on (5.1) dy = f (x 0 )dx, jossady = y f(x 0 ) jadx = x x 0. Yhtälö (5.1) on funktionf differentiaali pisteessä (x 0,f(x 0 )) ja sitä voisi merkitä myös df = f (x 0 )dx. Funktion arvon muutosta y = f(x) f(x 0 ) voidaan arvioida yhtälön (5.1) avulla seuraavasti (5.) y dy = f (x 0 )dx. Mitä pienempi on muutos muuttujan x arvossa, sitä parempi tämä arvio yleensä on. Tätä voi ajatella myös niin, että funktion kuvaajaa pisteessä (x 0,f(x 0 )) pyritään arvioimaan tangenttisuoralla. Funktion kuvaaja on tämän pisteen läheisyydessä siten melkein suora. Arviointia differentiaalin avulla kutsutaan funktion linearisoinniksi kyseisessä pisteessä. Parempi merkintä funktion differentiaalille olisi (5.3) df(x 0 ) = f (x 0 )dx, jolloin olisi selvempää, että differentiaali riippuu muun muassa pisteestä x 0. Esimerkki 5.1. Tutkitaan funktiota f(x) = x ja pistettä x 0 =. Oletetaan, että x muuttuu kohdasta kohtaan.1. Arvioidaan funktion arvon muutosta funktion differentiaalin df(x 0 ) = f (x 0 )dx avulla. Nyt kohtien (5.) ja (5.3) perusteella y f ()(.1 ) eli y 4(.1 ) = 0.4. Todellinen muutos funktion arvossa on 4.41 4 = 0.41. Heittoa on 0.01. Sama ajatus voidaan laajentaa usean muuttujan funktioon, jolloin puhutaan kokonaisdifferentiaalista. Esimerkiksi kahden muuttujan funktion tapauksessa kuvaajaa ei enää arvioida tangenttisuoralla vaan tangenttitasolla. Olkoony = f(x 1,x,...,x n ) sopiva n:n muuttujan funktio. Tämän kokonaisdifferentiaali on (5.4) df(x 0 ) = f x1 (x 0 )dx 1 +...+f xn (x 0 )dx n, jossa dx i = x i x 0 i, i = 1,...,n ja x 0 = (x 0 1,x 0,...,x 0 n). Kokonaisdifferentiaalilla df voidaan arvioida muutosta funktion arvossa, kun kaikki muuttujat (tai vain osa niistä) muuttuvat: y df. Arvio on yleensä sitä parempi, mitä pienempiä differentiaalit dx i ovat. Edelleen voidaan puhua funktion linearisoinnista. Myös usean muuttujan tapauksessa (kokonais)differentiaali riippuu muun muassa pisteestä (x 0 1,...,x 0 n). Esimerkki 5..

30 YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE (i) Lasketaan funktion f(x 1,x ) = 1 x 1 x 3, x 1 0, kokonaisdifferentiaali. Kokonaisdifferentiaali muodostetaan siis laskemalla osittaisderivaatat ja käyttämällä kaavaa (5.4): df = f x1 dx 1 +f x dx eli df = 1 x 1dx 1 3x dx. (ii) Funktion f(x,y,z) = 3x y 4 +yz +xz 3 kokonaisdifferentiaali on df = (6x+z 3 )dx+(z 4y 3 )dy +(y +3xz )dz. Esimerkki 5.3. Olkoon yrityksen tuotantomäärä y kahden panosmäärän x 1 ja x funktio q eli y = q(x 1,x ). Tämän kokonaisdifferentiaali on dq = q x1 dx 1 +q x dx. Tämä antaa arvion muutokselle tuotannossa, esimerkiksi kun molemmat panosmäärät muuttuvat. Se on summa rajatuotannoin kerrotuista panosten differentiaaleista. Esimerkki 5.4. Oletetaan, että yritys maksimoi voittoaan valitsemalla tuotannon tason y. Olkoon voittofunktio π(y) = py C(y), jossa p on hinta ja C(y) on kustannusfunktio. Olkoot C (y) > 0 ja C (y) > 0. Kustannusfunktio on siten aidosti kasvava ja aidosti konveksi funktio. Millä tavalla optimaalinen tuotannon taso y merkki optimaalisella tuotannon tasolla? Jos olisi annettu jokin parametrinen muoto kustanusfunktiolle, esimerkiksi ay, a > 0, voitaisiin vain ratkaista optimaalinen tuotanto ja derivoida sitä hinnan suhteen. Kustannusfunktio on annettu nyt yleisemmässä muodossa, joten näin ei voida toimia. Yrityksen tehtävänä on maksimoida voittoaan: riippuu hinnasta p eli mikä on derivaatan dy dp Välttämätön ehto maksimipisteelle on max{π(y) = py C(y)} {y} (5.5) π (y ) = p C (y ) = 0, jossa y viittaa optimaaliseen tuotannon tasoon. (Miksi y on optimaalinen?) Alkuperäiseen kysymykseen vastaus saadaan kokonaisdifferentioimalla hinnan p ja tuotannon y suhteen ehtoa (5.5) ja ratkaisemalla haluttu derivaatta: dp C (y )dy = 0 dy dp = 1 C (y ). Tämä on positiivinen, koska oletuksen mukaan C (y ) > 0. 11 Jos tuotteen hinta nousee, optimaalinen tuotanto kasvaa. Myöhemmin lasku tehdään käyttämällä implisiittifunktiolausetta. 11 Jos tuotanto tosiaan riippuu hinnasta jonkin funktion kautta, siis y = f(p), voidaan laskea funktion differentiaali dy = f (p)dp. Vertaamalla tätä kokonaisdifferentiaalilla saatuun yhtälöön dp C (y )dy = 0, huomataan, että f (p) = 1 C (y ).