Topologian demotehtäviä

Topologian demotehtäviä 31.10.2012 1.1 Olkoon X joukko ja {T α } α I epätyhjä (eli I ) perhe X:n topologioita. Ovatko joukot T α P(X) ja/tai T α P(X) α I välttämättä X:n topologioita? Tässä on ehkä syytä ensin kerrata leikkauksen ja yhdisteen määritelmä luentomonisteen sivulta 1. Muista kuitenkin, että nyt leikkauksen ja yhdisteen alkiot ovat joukon P(X) alkioita, siis X:n osajoukkoja. 1.2 Olkoon X joukko, ääretön tai äärellinen. Määritellään T P(X) asettamalla α I T = {A X X \ A on äärellinen tai tyhjä} { }. a) Osoita, että T on X:n topologia; tämä on ns. X:n kofiniitti topologia. b) Osoita, että kofiniitilla topologialla varustettu avaruus on Hausdorff jos ja vain jos se on äärellinen. 1.3 Määritellään T P(R) asettamalla T = {A R R \ A on korkeintaan numeroituva} { }. Tässä sanonta korkeintaan numeroituva tarkoittaa sitä, että joukko on numeroituva, äärellinen tai tyhjä. Oletetaan tässä tehtävässä tunnetuksi numeroituvuutta koskevat perusfaktat, mm. se, että korkeintaan numeroituvien joukkojen korkeintaan numeroituva yhdiste on korkeintaan numeroituva. a) Osoita, että T on joukon R topologia. b) Osoita, että 0 kuuluu välin ]0, 1[ sulkeumaan avaruudessa (R, T ), mutta mikään välin ]0,1[ jono ei suppene kohti pistettä 0. Vertaa huomautukseen 3.16 ja myös lauseeseen MA 12.12. Tämä esimerkki siis osoittaa, että yleisessä topologisessa avaruudessa sulkeuman pistettä ei välttämättä voi lähestyä jonolla joukon sisältä. 1.4 Demotehtävässä MA 5.3 nähtiin, että metrisessä avaruudessa pätee aina A A, mutta ei välttämättä A = A. Päteekö tämä yleisissä topologisissa avaruuksissa? Entä pätevätkö seuraavat väitteet: a) A = A, jos A on suljettu. b) Jos A = A, niin A on suljettu. c) A = A kaikille joukoille A. 1.5 Olkoon X topologinen avaruus ja A,B X avoimia osajoukkoja siten, 1

että A B =. Päteekö välttämättä int(a) int(b) =? 1.6 Olkoon X topologinen avaruus ja A,B X osajoukkoja, joilla ei ole sisäpisteitä. Voiko joukolla A B olla sisäpisteitä? Entä jos oletetaan, että joukot A ja B ovat suljettuja? Miten käy, jos oletetaan, että vain toinen joukoista A tai B on suljettu? 1.7 Olkoon B P(R), B = {[a,b[ a,b R, a < b}, jolloin B on erään R:n topologian T pa kanta, kuten esimerkissä 2.10 e) nähtiin. Määrää tässä topologiassa joukot A ja A, kun a) A = ]0,1[, b) A = ]0,1], c) A = [0,1[ ja d) A = [0,1]. 1.8 Määritellään B P(R) asettamalla B = {[a,b] a Q, b R \ Q, a < b}. a) Osoita, että B on erään R:n topologian T kanta. Olkoon T pa kuten tehtävässä 1.7 ja olkoon T tavallinen R:n itseisarvometriikan antama topologia. Päteekö b) T T, c) T T pa, d) T T, e) T T pa, f) T pa T tai g) T pa T? 2

Topologian demotehtäviä 7.11.2012 2.1 Varustetaan R topologialla T pa, jonka kanta on B = {[a,b[ a,b R, a < b}, ks. esimerkki 2.10 e). Määritellään kuvaus f : R R asettamalla f(x) = x kaikille x R. Onko kuvaus f : (R, T pa ) (R, T pa ) jatkuva? Onko se avoin? Entä suljettu? 2.2 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Lauseessa 3.9 osoitettiin, että jos topologialla T Y on esikanta E Y siten, että f 1 (A) T X kaikille A E Y, niin f on jatkuva. Päteekö tämä toisin päin, ts. päteekö seuraava väite? Jos topologialla T X on esikanta E X siten, että f(e) T Y kaikille E E X, niin f on avoin. 2.3 a) Olkoon T kuvauksen f : R R, f(x) = sin x R:n itseisarvotopologiasta indusoima R:n topologia. Määrää joukko Onko (R, T ) Hausdorff-avaruus? {0} (R, T ). b) Olkoon T projektiokuvauksen f : R 2 R, f(x,y) = x R:n itseisarvotopologiasta indusoima R 2 :n topologia. Määrää joukon A = {(x,y) R 2 x 2 + y 2 < 1} sisä- ulko- ja reunapisteet avaruudessa (R 2, T ). Onko (R 2, T ) Hausdorff-avaruus? Huomautus. Tätä b)-kohdan topologiaa sanotaan joskus tason viipaletopologiaksi. Syy nimitykseen selviää, kun ratkaiset tehtävän. 2.4 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Tarkastellaan kuvausperheitä F 1 = {f : X X f : (X, T ) (X, T ) on jatkuva kuvaus}, F 2 = {f : X X f on vakiokuvaus} F 3 = {f : X X f on mielivaltainen kuvaus}. Olkoon T i kuvausperheen F i topologiasta T indusoima X:n topologia, i = 1,2,3. a) Osoita, että T 1 = T. b) Osoita, että topologia T 2 on minitopologia. c) Oletetaan, että T ei ole minitopologia. Osoita, että tällöin topologia T 3 on diskreetti. d) Anna esimerkki, joka osoittaa, että jos alkuperäinen topologia T on minitopologia, niin topologia T 3 ei välttämättä ole diskreetti. ja 3

2.5 Olkoon T R:n itseisarvotopologia ja olkoon T pa kuten tehtävässä 2.1. Määritellään kuvaukset f,g : R R asettamalla f(x) = x ja g(x) = x kaikille x R. a) Osoita, että perheen {f,g} topologiasta T pa indusoima R:n topologia on diskreetti. b) Mikä on perheen {f,g} topologiasta T indusoima R:n topologia? 2.6 Lauseessa 4.10 osoitettiin, että jos kuvauksen f : X (Y, T Y ) topologiasta T Y indusoima X:n topologia T X on Hausdorff, niin f on välttämättä injektio. a) Osoita esimerkillä, että lause 4.10 ei päde toiseen suuntaan, ts. jos f on injektio, niin (X, T X ) ei välttämättä ole Hausdorff-avaruus. b) Osoita, että jos f:n injektiivisyyden lisäksi oletetaan, että (Y, T Y ) on Hausdorff, niin myös (X, T X ) on Hausdorff. Tehtävästä 2.6 ja lauseesta 4.10 yhdessä saadaan Lause A Olkoon (Y, T Y ) Hausdorff-avaruus, f : X Y kuvaus sekä T X f:n topologiasta T Y indusoima X:n topologia. Tällöin (X, T X ) on Hausdorff jos ja vain jos f on injektio. Nyt voidaan siirtää tai yrittää siirtää lausetta A kuvausperheen indusoimaan topologiaan. Tässä on periaatteessa ainakin kaksi vaihtoehtoa muotoilla tämä lause: Lause B Olkoon (Y, T Y ) Hausdorff-avaruus, {f α : X Y } α I perhe kuvauksia sekä T X perheen {f α : X Y } α I topologiasta T Y indusoima X:n topologia. Tällöin (X, T ) on Hausdorff jos ja vain jos ainakin yksi kuvauksista f α, α I on injektio. Tai sitten näin: Lause C Olkoon (Y, T Y ) Hausdorff-avaruus, {f α : X Y } α I perhe kuvauksia sekä T X perheen {f α : X Y } α I topologiasta T Y indusoima X:n topologia. Tällöin (X, T ) on Hausdorff jos ja vain jos kaikki kuvaukset f α, α I ovat injektioita. Huomaa, että nämä molemmat viritelmät istuvat hyvin yhden kuvauksen perheeseen lauseen A nojalla. On kuitenkin niin, että kumpikaan näistä lauseista B tai C ei päde. 2.7. Osoita, että lause B pätee täsmälleen toiseen suuntaan, ts. todista se toisin päin ja anna vastaesimerkki toiseen suuntaan. 2.8. Osoita, että lause C pätee täsmälleen toiseen suuntaan, ts. todista se toisin päin ja anna vastaesimerkki toiseen suuntaan. 4

Topologian demotehtäviä 14.11.2012 Tehtävissä 1 3 esiintyvät upotus ja immersio on määritelty luentomonisteen kohdassa 5.18. 3.1 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia sekä f : X Y injektio. Osoita, että f : (X, T X ) (Y, T Y ) on upotus jos ja vain jos X:n topologia T X on kuvauksen f topologiasta T Y indusoima. 3.2 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia sekä f : (X, T X ) (, T Y ) jatkuva, avoin kuvaus. Oletetaan, että f on lokaali injektio, ts. jokaisella pisteellä x X on ympäristö U siten, että f U on injektio. Osoita, että f : (X, T X ) (Y, T Y ) on immersio. Anna esimerkki, joka osoittaa, että väite ei välttämättä päde ilman oletusta f:n avoimuudesta. 3.3 Onko upotuksien yhdiste välttämättä upotus? Entä onko immersioiden yhdiste välttämättä immersio? 3.4 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia. Merkitään (X, T X ) (Y, T Y ) jos on olemassa homeomorfismi (X, T X ) (Y, T Y ) ja merkitään edelleen (X, T X ) (Y, T Y ), jos on olemassa upotus (X, T X ) (Y, T Y ). Voisi ajatella, että näin syntyisi jonkinlainen järjestysrelaatio kaikkien topologisten avaruuksien joukkoon. Tavallinen esim. reaalilukujen järjestysrelaatio toteuttaa tietyt vaatimukset: se on refleksiivinen eli a a kaikille a, se on antisymmetrinen eli kaikille a,b pätee [a b ja b a] a = b sekä se on transitiivinen eli kaikille a,b,c pätee [a b ja b c] a c. Näiden perusominaisuuksien lisäksi reaalilukujen järjestysrelaatio on totaalinen eli kaikille a,b pätee joko a b tai b a. Onko yllä kuvailtu relaatio totaalinen järjestysrelaatio? Tarkemmin sanottuna: pätevätkö kaikki tai jotkut seuraavista väitteistä? Tässä (X, T X ), (Y, T Y ) ja (Z, T Z ) ovat mielivaltaisia topologisia avaruuksia. a) (X, T X ) (X, T X ). b) [(X, T X ) (Y, T Y ) ja (Y, T Y ) (X, T X )] (X, T X ) (Y, T Y ). c) [(X, T X ) (Y, T Y ) ja (Y, T Y ) (Z, T Z )] (X, T X ) (Z, T Z ). d) (X, T X ) (Y, T Y ) tai (Y, T Y ) (X, T X ). Tehtävissä 5 ja 6 käsitellään esimerkissä 7.25 todistamatta jääneitä väitteitä. 3.5 Oletuksena tässä on, että (Y,d) on rajoitettu metrinen avaruus, I epätyhjä indeksijoukko ja varustetaan tuloavaruus X = Y I tulotopologialla T X. Tämän tulojoukon X alkiothan ovat kuvauksia I Y, ja tähän joukkoon voidaan määritellä myös metriikka d sup asettamalla d sup (x,y) = sup{d(x(α),y(α)) α I}. 5

Olkoon T sup tämän metriikan antama X:n topologia. Oletetaan vielä, että Y :ssä on ainakin kaksi pistettä, koska muuten tuloavaruudessakin on vain yksi alkio. Osoita, että seuraavat väitteet pätevät. a) T X T sup aina. b) T X = T sup jos ja vain jos I on äärellinen. Huomautuksen MA 12.32 nojalla saadaan heti seuraava tulos. Jos (x n ) on joukon X jono ja x X, niin x n x avaruudessa (X, T sup ) jos ja vain jos x n x tasaisesti joukossa I. Tässä ei siis ole enää mitään todistamista, ja tulos onkin tässä vain johdatteluna seuraavaan tehtävään, jossa todistetaan, että x n x avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos x n x pisteittäin joukossa I. Tämä tulos pätee paljon yleisemmässäkin muodossa, sillä siinä ei tarvita metriikkaa avaruudessa Y, ja itse asiassa tulos voidaan muotoilla yleisille tuloille, ei siis pelkästään muotoa Y I oleville tuloille. 3.6 Olkoon {(X α, T α )} α I epätyhjä perhe topologisia avaruuksia ja varustetaan tulojoukko X = α I X α tulotopologialla T X. Tulojoukon määritelmän mukaan X:n alkiot x ovat kuvauksia x : I α I X α siten, että x(α) X α kaikille α I. Olkoon x X ja (x n ) joukon X jono. Osoita, että x n x avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos x n x pisteittäin joukossa I eli x n (α) x(α) avaruudessa (X α, T α ) kaikille α I. 3.7 Tulojoukko R N koostuu määritelmän mukaan kaikista kuvauksista N R eli reaalilukujonoista. Varustetaan R N itseisarvometriikan indusoimalla tulotopologialla T X. Olkoon A R N kaikkien rajoitettujen reaalilukujonojen joukko, ts. A = {(x n ) X on olemassa M R siten, että x n M kaikille n N}. Onko A avoin tai suljettu avaruudessa (X, T X )? 3.8 Osoita, että joukkoperhe B = { n N U n U n on R:n avoin väli kaikille n N} muodostaa joukon R N erään topologian T kannan. Tämä topologia on huomautuksen 7.8 laatikkotopologia, josta luennolla oli puhetta. Olkoon A R N edellisen tehtävän kaikkien rajoitettujen reaalilukujonojen joukko. Onko A avoin tai suljettu avaruudessa (X, T )? 6

Topologian demotehtäviä 21.11.2012 4.1 Varustetaan R itseisarvotopologialla ja tuloavaruus R R vastaavalla tulotopologialla T. Joukon B R karakteristinen funktio χ B : R R määritellään tavanomaiseen tapaan asettamalla { 1 kun x B χ B (x) = 0 kun x B. Merkitään jolloin A R R. Osoita, että a) χ Q A. b) χ R A. A = {χ B : R R B R on äärellinen tai tyhjä}, c) On olemassa joukon A jono, joka konvergoi kohti pistettä χ Q A. d) Ei ole olemassa joukon A jonoa, joka konvergoi kohti pistettä χ R A. e) Avaruuden R R tulotopologia ei ole metrisoituva, ts. ei ole olemassa joukon R R metriikkaa d, jolle pätisi T d = T. 4.2 Normiavaruuden (X, ) heikko topologia T w määriteltiin kohdassa 6.6. Sehän on kaikkien normin suhteen jatkuvien lineaarikuvausten f : X R perheen eli X:n duaaliavaruuden X indusoima topologia. Tässä jatkuvuusvaatimuksessa R:ssä on itseisarvotopologia. Lauseessa 6.7 osoitettiin, että heikko topologia on karkeampi kuin normitopologia. Se ei kuitenkaan välttämättä ole aidosti karkeampi. Olkoon (X, ) = (R n, ), missä on euklidinen normi. Osoita, että tällöin T w on sama kuin euklidinen normitopologia. 4.3 Jatketaan tehtävän 4.2 heikon topologian tarkastelua. Mennään taas konkreettiseen esimerkkiin eli avaruuteen l 2, jonka normi määriteltiin tehtävässä MA 2.1. Tehtävässä MA 7.7 nähtiin, että normimetriikassa tämän avaruuden suljettu yksikköpallo ei ole kompakti. Voidaan osoittaa, että l 2 :n heikko topologia on metrinen. Lisäksi myöhemmin esitettävän Banach-Alaoglun lauseen avulla voidaan osoittaa, että suljettu yksikköpallo on kompakti heikossa topologiassa. Tämä kertoo, että normitopologia ja heikko topologia eivät tässä tapauksessa ole samoja. Nyt ei tietenkään ole tarkoitus todistaa Banach-Alaoglun lausetta, vaan tarkastellaan tehtävän MA 7.7 ratkaisussa esiintynyttä avaruuden l 2 jonoa (ξ n ). Kyseisessä ratkaisussa nähtiin, että tällä jonolla ei ole suppenevaa osajonoa normitopologiassa, mikä siis takaa suljetun yksikköpallon epäkompaktisuuden. Koska kuten edellä todettiin heikossa topologiassa tämä pallo on kompakti ja koska kyseessä on metrinen topologia, niin jonolla (ξ n ) on oltava suppeneva osajono. Tämä siis tiedetään yleiseltä tasolta, mutta näitä juttuja ei ole todistettu. Osoita sen sijaan suoraan määritelmien perusteella, että koko jono (ξ n ) suppenee heikossa topologiassa. Tämä kertoo perustellusti sen, että 7

heikko topologia ja normitopologia ovat tässä tapauksessa eri asioita, joten on konstruoitu pätevä esimerkki, jossa heikko topologia on aidosti karkeampi kuin normitopologia. Ohje: Tämä on aika hankala. Jos saat osoitettua, että kiinteälle f l 2 pätee f(ξ n ) 0 itseisarvotopologiassa, niin loppuosa todistuksesta sujuu helposti. Väite f(ξ n ) 0 seuraa, jos saat sarjan n N f(ξ n) 2 suppenemaan. Tähän väitteeseen riittää löytää sarjan osasummille kiinteä yläraja. Tällainen on f 2, missä f on kuvausnormi, ks. MA 19.3. Se, että tämä on todella osasummien yläraja, on sitten oma ongelmansa. Tässä kannattaa operoida kuvauksella f jonoon x = (f(ξ 1 ),...,f(ξ m ),0,0,0,...) ja käyttää lausetta MA 19.5, josta saa ylärajan. Toisaalta f(x) = x 2, ja näistähän se haluttu arvio saadaankin. Ongelmaksi jää vielä yhtälö f(x) = x 2. Tässä kannattaa ensin todistaa aputulos f((x n )) = n N f(ξ n )x n kaikille (x n ) l 2, josta yhtälö f(x) = x 2 helposti seuraa. Sitten pitäisi vielä todistaa tuo aputulos. Parasta lienee todistaa ensin toinen aputulos, joka sanoo, että (x n ) = n N x n ξ n kaikille (x n ) l 2. Tämän näkee helposti, normitopologiassahan tämä sarja on ja riittää tutkia osasummien ja pisteen (x n ) erotuksen normia. Vähän pitkät ovat nämä ohjeet, mutta pitkä on tehtävän asettelukin. 4.4 Tehtävässä 4.3 sivuttiin kompaktisuutta yleisissä topologisissa avaruuksissa. Metrisissä avaruuksissa määritelmä oli se, että metrinen avaruus on kompakti, jos jokaisella jonolla on suppeneva osajono. Tämä ehto osoitettiin yhtäpitäväksi sen kanssa, että jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen osapeite. Yleisissä topologisissa avaruuksissa nämä ehdot eivät kuitenkaan ole yhtäpitäviä. Kompaktin joukon määritelmäksi otetaan peite-ehto ja jonoehdon vallitessa puhutaan jonokompaktisuudesta. Nämä ehdot eivät implikoi toisiaan kumpaankaan suuntaan. Tihonovin lauseen (joka todistetaan myöhemmin) mukaan kompaktien avaruuksien mielivaltainen tulo on kompakti. Jos varustetaan väli [0, 1] itseisarvotopologialla, niin siitä tulee kompakti, ja silloin tulotopologialla varustettu X = [0,1] P(N) on kompakti. Tämä avaruus ei kuitenkaan ole jonokompakti eli kaikilla sen jonoilla ei ole suppenevaa osajonoa. Jos χ A : N [0,1] on joukon A N karakteristinen funktio, niin määritellään joukon X jono (x n ) asettamalla x n (A) = χ A (n) kaikille A P(N) ja kaikille n N. Osoita, että tällä jonolla ei ole suppenevaa osajonoa. 4.5 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Tehtävässä 2.4 tarkasteltiin kuvaus- 8

perheiden F 1 = {f : X X f : (X, T ) (X, T ) on jatkuva kuvaus}, F 2 = {f : X X f on vakiokuvaus} F 3 = {f : X X f on mielivaltainen kuvaus} indusoimia X:n topologioita. Nyt kysymys kuuluu, että mitkä topologiat nämä perheet koindusoivat alkuperäisestä topologiasta T. 4.6 Varustetaan R itseisarvotopologialla ja merkitään A = [0, 1] sekä B = ]0, 1[. Olkoot R A ja R B näiden joukkojen määräämät ekvivalenssirelaatiot määritelmän 9.13 mukaisesti. Varustetaan tekijäjoukot R/R A ja R/R B tekijätopologioilla. Osoita, että toinen syntyvistä tekijäavaruuksista on homeomorfinen R:n kanssa, mutta toinen ei. 4.7 Esimerkissä 9.26 osoitettiin, että samastamalla janan päätepisteet syntyy ympyrä. Vaikuttaa ilmeiseltä, että jos samastetaan suljetun kaksiulotteisen kiekon kaikki reunapisteet keskenään, niin syntyy kolmiulotteisen pallon kuori. Tämä on tarkoitus todistaa tässä tehtävässä. Itse asiassa vastaava ilmiö tapahtuu kaikissa dimensioissa. Muotoillaan väite tarkasti. Olkoon n 1 ja euklidinen normi sekä dimensiossa n että n + 1. Merkitään ja X = B n (0,1) = {x R n x 1}, A = S n 1 (0,1) = {a R n a = 1} X Y = S n (0,1) = {y R n+1 y = 1}. ja Varustetaan X ja Y euklidisella topologialla T. Olkoon R A joukon X ekvivalenssirelaatio kuten määritelmässä 9.13, ja varustetaan tekijäjoukko X/R A tekijätopologialla T X/RA. Osoita, että (X/R A, T X/RA ) (Y, T ). Ohje: Sovella lausetta 9.23 samaan tapaan kuin esimerkissä 9.26. 4.8 Lauseessa 9.8 nähtiin, että tekijäkuvaus on aina jatkuva. Osoita esimerkein, että sen ei tarvitse olla avoin eikä suljettu. 9

Topologian demotehtäviä 28.11.2012 5.1 Varustetaan R tavallisella itseisarvotopologialla ja määritellään R:ään ekvivalenssirelaatio R sopimalla, että (x,y) R jos x y Q. Mikä on tekijäavaruuden R/R tekijätopologia? 5.2 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia. Olkoon R ekvivalenssirelaatio X:ssä ja S ekvivalenssirelaatio Y :ssä sekä f : (X, T X ) (Y, T Y ) homeomorfismi siten, että (x,y) R jos ja vain jos (f(x),f(y)) S. Osoita, että tekijätopologioin varustetut tekijäavaruudet X/R ja Y/S ovat homeomorfisia. 5.3 Projektiivinen taso määriteltiin esimerkissä 9.30. Joskus projektiivinen taso määritellään myös samastamalla tason suljetun yksikkökiekon antipodaaliset pisteet keskenään, ts. X = {x R 2 x 1} (euklidinen normi) ja X:n ekvivalenssirelaatio R määritellään antamalla sen ekvivalenssiluokat, jotka ovat {x} kaikille x X, x < 1 ja {x, x} kaikille x X, x = 1. Osoita, että näin syntyvä tekijäavaruus X/R on homeomorfinen esimerkin 9.30 projektiivisen tason kanssa. 5.4 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X osajoukko, joka ei ole suljettu. Olkoon R A joukon A määräämä ekvivalenssirelaatio, ks. määritelmä 9.13. Osoita, että tekijäavaruus X/R A ei ole Hausdorff-avaruus. Vertaa tehtävään 4.6. 5.5 a) Olkoot n,m N ja f : R n R m jatkuva surjektio; näissä avaruuksissa on kummassakin euklidinen metriikka. Olkoon B(0,r) avaruuden R n r- säteinen avoin euklidinen pallo. Osoita, että on olemassa r > 0 siten, että int(f(b(0, r)). (Ohje: Bairen lause.) b) Osoita esimerkillä, että a)-kohdan väite ei päde ilman jatkuvuusoletusta. 5.6 Olkoon (X,d) täydellinen metrinen avaruus ja (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : X R m, joka suppenee pisteittäin kohti rajafunktiota f : X R m ; tässä pisteittäisessä suppenemisessa R m :ssä on euklidinen metriikka. Osoita, että on olemassa avoin, epätyhjä A X ja vakio M R siten, että f n (x) M kaikille n N ja kaikille x A. Ohje: Määrittele kaikille k N B k = {x X f n (x) k kaikille n N} ja sovella Bairen lausetta. 5.7 Analyyttisen funktion käsite määritellään kompleksianalyysin kurssilla. Osoita, että jos D C on avoin ja (f n ) on jono analyyttisiä funktioita f n : D C, joka konvergoi pisteittäin kohti funktiota f : D C, niin rajafunktio f on analyyttinen avoimessa joukossa D \ H, missä H on harva. Ohje. Tämä on aika vaikea. Tässähän tulkitaan C = R 2 ja käytetään euklidista metriikkaa. Analyyttisen funktion määritelmää ei oikeastaan tarvitse tietää, mutta seuraavat ominaisuudet ovat oleellisia: 10

- analyyttinen funktio on jatkuva ja sen rajoittumakuvaus avoimeen joukkoon on analyyttinen, - funktio on analyyttinen, jos se on lokaalisti analyyttinen, ts. sen määrittelyjoukolla on avoin peite, jonka jokaisessa osassa rajoittumakuvaus on analyyttinen, - jos jono analyyttisiä funktioita suppenee tasaisesti, niin rajafunktio on analyyttinen (tämä seuraa Moreran lauseesta) ja - jos analyyttisten funktioiden jono on rajoitettu (avoimessa, kiinteässä määrittelyjoukossaan), niin sillä on osajono, joka suppenee tasaisesti kaikissa kompakteissa osajoukoissa (tämä seuraa Montelin lauseesta). Ja sitten itse tehtävään. Huomaa ensin, että riittää osoittaa seuraavaa: jokaisessa kiekossa B B D on avoin joukko A siten, että f A on analyyttinen. Tämän jälkeen kiinnitä tällainen kiekko ja sovella tehtävää 5.6 sekä yllä esitettyjä ominaisuuksia. 5.8 Olkoon R:ssä itseisarvometriikka ja olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : R R joka konvergoi pisteittäin kohti funktiota f : R R. Osoita, että rajafunktio f on melkein jatkuva, mikä tarkoittaa tässä sitä, että sen epäjatkuvuuspisteiden joukko on ensimmäisen kategorian joukko. Ohje: Tämä on vaikeampi kuin tehtävä 5.7. Määritellään ensin jokaiselle x R f:n oskillaatio pisteessä x asettamalla o(x) = lim r 0 (sup{f(y) x y < r} inf{f(y) x y < r}). Tässä voi tietysti olla sup = tai inf =. Näitä tapauksia varten täytyy sopia, että ( ) =, a = ja a ( ) = kaikille a R. Kun vielä sovitaan, että a kaikille a R, niin voidaan todeta, että oskillaation o(x) määrittelevä lauseke sup{f(y) x y < r} inf{f(y) x y < r} on vähenevä, kun r 0 +, jolloin raja-arvo on olemassa, ja näin oskillatio on hyvin määritelty ja positiivinen. Tosin oskillaation arvo voi olla. On ilmeistä, että Ehdon (1) nojalla riittää osoittaa, että f on jatkuva pisteessä x o(x) = 0. (1) B = {x R o(x) > 0} on ensimmäisen kategorian joukko. (2) Merkitään B k = {x R o(x) > 1 k }, jolloin B = k NB k 11

ja väite (2) seuraa, jos osoitetaan, että B k on harva kaikille k N. (3) Väite (3) seuraa (kiinteälle k), jos osoitetaan, että jokaisella avoimella välillä I R on avoin osaväli J, jolle pätee J R\B k. (Vertaa tehtävän 5.7 ohjeeseen; samasta asiasta on tässä kyse.) Merkitään kaikille n Osoita, että A n = {x R f i (x) f j (x) 1 8k (A n I) = I. n N Käytä Bairen lausetta, ja totea, että Päättele tästä, että myös int(a n I) jollekin n. int(a n I) jollekin n. kaikille i,j n}. Haluttu väli J voidaan nyt valita avoimesta joukosta int(a n I) mikä tahansa osaväli kelpaa. Tämä pitää vielä osoittaa. Olkoon siis x J int(a n I) mielivaltainen. Osoita, että x:llä on ympäristö K J siten, että f(y) f n (x) < 1 4k kaikille y K. Päättele tästä (oskillaatiolaitteen vähenevyyttä käyttäen), että jolloin haluttu tulos x B k seuraa. o(x) 1 2k < 1 k, 12

Topologian demotehtäviä 5.12.2012 6.1 Osoita suoraan määritelmän nojalla, että R:n topologia T pa on (T 4 ). 6.2 a) Osoita, että (T 4 ) ei implikoi muita erotteluehtoja (T j ), kun j = 0,1,2,3. b) Osoita, että (T 3 ) ei implikoi muita erotteluehtoja (T j ), kun j = 0,1,2. Tapaus j = 4 on käsitelty esimerkissä 11.16. 6.3 Osoita, että (T 2 ) ei implikoi erotteluehtoja (T j ), kun j = 3,4. Ohje. Tähän ei taida löytyä ihan triviaalia esimerkkiä. Olkoon d euklidinen metriikka ja T d sen määräämä topologia R 2 :ssa sekä A R 2 reaaliakseli eli A = {(x 1,0) R 2 x 1 R}. Määritellään B 1 = {B R 2 \ A B T d } B 2 = {(B d (x,r) \ A) {x} x A ja r > 0} ja edelleen B = B 1 B 2. Tämä B on erään topologian kanta, joka kelpaa esimerkiksi mutta kumpaan näistä väitteistä? 6.4 a) Osoita, että (T 1 ) ei implikoi muita erotteluehtoja (T j ), kun j = 2,3,4. b) Osoita, että (T 0 ) ei implikoi muita erotteluehtoja (T j ), kun j = 1,2,3,4. 6.5 a) Olkoon (X, T ) Hausdorff-avaruus, joka on myös (T 3 ). Osoita, että tällöin pätee Hausdorff-ehtoa ainakin näennäisesti vahvempi ehto: Kaikilla x,y X, x y on ympäristöt U x ja U y siten, että U x U y =. b) Osoita, että kohdan a) ehto (joka triviaalisti implikoi Hausdorff-ehdon) ei implikoi ehtoa (T 3 ). c) Osoita, että Hausdorff-avaruus ei välttämättä toteuta a)-kohdan ehtoa. Ohje: Tämä c)-kohdassa tarvittava esimerkki saattaa olla vähän hankala. Yksi vaihtoehto on valita X = {(p,q) Q 2 q 0} ja määritellä topologian kanta B joukkoon X seuraavasti. Kiinnitetään jokin positiivinen irrationaaliluku λ. Olkoon d itseisarvometriikka ja olkoot B d (x,r) vastaavia yksiulotteisia palloja R:ssä. Määritellään näiden avulla B = {{(p,q)} (B d (p + q λ,r) X) (B d(p q,r) X) (p,q) X, r > 0}. λ 6.6 Erotteluehtojen (T j ), j = 0,...,4 ohella puhutaan joskus myös ehdosta (T 5 ) joka kuuluu näin: Jos A,B X siten, että A B = = A B, niin on olemassa avoimet U A ja U B siten, että A U A, B U B ja U A U B =. a) Onko metrinen avaruus välttämättä (T 5 )-avaruus? ja 13

b) Osoita, että (T 5 )-ehto implikoi ehdon (T 4 ). c) Osoita, että (T 5 )-ehto ei implikoi muita ehtoja (T j ), j = 0,1,2,3. d) Osoita, että ehdot (T j ), j = 0,1,2,3 eivät implikoi ehtoa (T 5 ). e) Osoita, että myöskään (T 4 )-ehto ei implikoi ehtoa (T 5 ). Ohje: e)-kohdassa voisi kokeilla esimerkkiä X = {n N n 2} ja B = {U n } n X, missä U n = {x X x on luvun n tekijä}. 6.7 Olkoon (X, T ) (T 0 )-avaruus ja B topologian T kanta. Osoita, että P(B) on mahtavampi joukko kuin X. Ohje: Joukkojen mahtavuuksia käsitellään joukko-opin kurssilla. Määritelmä on yksinkertainen: joukko B on mahtavampi kuin joukko A, jos on olemassa injektio A B. Jos on olemassa myös injektio B A, niin joukot ovat yhtä mahtavat. Muussa tapauksessa B on aidosti mahtavampi kuin A. Tässä tehtävässä pitää siis konstruoida injektio X P(B). Tämä kuvaus ei ole kovin monimutkainen, kunhan sen ensin keksii. Saatavalla tuloksella on merkitystä esimerkiksi (N 2 )-avaruuksien tilanteessa. Silloinhan B voidaan valita numeroituvaksi, ja joukko-opin tietojen perusteella numeroituvan joukon potenssijoukko on yhtä mahtava R:n kanssa. Silloin saatu tulos kertoo, että jos (X, T ) on (N 2 )-avaruus, niin X:n mahtavuus on korkeintaan R:n mahtavuus. Tätä aidosti mahtavampia joukkojahan on vaikka kuinka paljon, esimerkkinä P(R), P(P(R)) ja niin edelleen. Näin suuriin joukkoihin ei siis voi (T 0 )- ja (N 2 )-topologiaa laatia. 6.8 Esimerkissä 11.17 kerrottiin, että (T 4 )-ominaisuus ei ole aliavaruuteen periytyvä. Esimerkkinä oli tulotopologialla varustettu [0,1] R, joka myöhemmin osoitetaan (T 4 )-avaruudeksi. Kyseisessä esimerkissä valittiin A = { 1 n n N} [0,1] ja väitettiin, että tämä varustettuna aliavaruustopologialla ei ole (T 4 ). Kuten todettiin, tämä aliavaruus on homeomorfinen tulotopologialla varustetun avaruuden A R kanssa, joten riittää osoittaa, että, että tämä tuloavaruus ei ole (T 4 ). A on triviaalisti homeomorfinen diskreetillä topologialla varustetun N:n kanssa, jolloin myös A R N R, ja riittää osoittaa, että N R ei ole (T 4 )-avaruus. (1) Tämä on nyt tämän tehtävän sisältö, eli todista väite (1). Tässä siis N:ssä on diskreetti topologia ja avaruudessa N R vastaava tulotopologia. Sovitaan tällä kertaa, että 0 N, vaikkei tämä itse asiaan mitään vaikutakaan. Ohje: Tämä taitaa olla aika vaikea. Määritellään ensin A 0 = {x N R kaikille n N \ {0} on x(α) = n korkeintaan yhdelle α N} ja A 1 = {x N R kaikille n N \ {1} on x(α) = n korkeintaan yhdelle α N}. Osoita ensin, että A 0 ja A 1 ovat erillisiä, suljettuja joukkoja. Tee antiteesi, jolloin on olemassa avoimet U 0 ja U 1 siten, että A 0 U 0, A 1 U 1 ja U 0 U 1 =. 14

Jokaiselle pisteelle x N R ja jokaiselle äärelliselle joukolle K R joukko K(x) := prα 1 ({x(α)}) α K on x:n ympäristö. Määrittele sitten jono K n R äärellisiä joukkoja siten, että K n K n+1, seuraavaan tapaan. Merkitään ensin x 0 0 A 0. Voidaan valita K 0 siten, että K 0 (x 0 ) U 0. Olkoon K 0 = {α 1,...,α k0 }. Määritellään x 1 A 0 siten, että { j kun α = α j x 1 (α) = 0 muuten. Voidaan valita äärellinen joukko L 1 siten, että L 1 (x 1 ) U 0. Sitten valitaan joukko K 1 lisäämällä joukkoon K 0 joukkoon L 1 :n alkiot; tuloksena on joukko {α 1,...,α k1 }. Jatka näin rekursiivisesti; tuloksena on jono äärellisiä sisäkkäisiä joukkoja K n siten, että K n (x n ) U 0 kaikille n. Voidaan olettaa, että joukko n N K n on ääretön, jolloin se on numeroituva ja se voidaan esittää muodossa K n = {α k } k N, n N missä α i α j kun i j. Lisäksi voidaan olettaa, että K n = {α 1,...,α kn } kaikille n. Silloin voidaan määritellä y N R asettamalla { j kun α = α j y(α) = 1 muuten. Tällöin y A 1. On olemassa äärellinen joukko B siten, että B(y) U 1. On olemassa m N siten, että B n N K n = B K m. Määrittele z N R asettamalla j kun α = α j K m z(α) = 0 kun α = α j K m+1 \ K m 1 muuten. Osoita, että z U 0 U 1, mistä kaivattu ristiriita saadaankin. 15

Topologian demotehtäviä 12.12.2012 7.1 Olkoon X = ]0,1] ]0,1[ R 2 ja varustetaan se euklidisella topologialla T. Olkoon A = {1} ]0,1[ X ja varustetaan tekijäjoukko X/R A vastaavalla tekijätopologialla T RA. Osoita, että (X/R A, T RA ) ei ole (N 1 )-avaruus. Ohje: Tee antiteesi. Pisteellä A X/R A on ympäristökanta {B n } n N. Konstruoi joukon X jono (x n ) siten, että x n p 1 R A (B n )\A ja joukko Y := X \{x n n N} on avoin. Osoita, että p RA (Y ) on pisteen A ympäristö tekijätopologiassa, ja johda tästä ristiriita. 7.2 Olkoon I ylinumeroituva joukko ja olkoot (X α, T α ), α I Hausdorffavaruuksia, joissa kussakin on ainakin kaksi pistettä. Varustetaan tuloavaruus X = α I X α tulotopologialla T. Osoita, että a) (X, T ) ei ole metrisoituva. b) (X, T ) ei ole (N 2 ). c) (X, T ) ei ole (N 1 ). Huomaa, että a)-kohdasta saadaan uusi todistus tehtävälle 4.1 e). Huomaa myös, että b)-kohdan väite seuraa joukko-opillisesti tehtävästä 6.7, sillä tämä X on aidosti mahtavampi kuin R. Tämän faktan joukko-opilliseen mahtavuustodistukseen ei kuitenkaan ole tässä tarkoitus mennä. c)-kohdassa tee antiteesi ja valitse x 1,x 2 X siten, että x 1 (α) x 2 (α) kaikille α I. Määrittele A = {y X on olemassa äärellinen K I siten, että y(α) = x 2 (α) kaikille α K ja y(α) = x 1 (α) kaikille α I \ K}. Osoita, että x 2 A, ja johda tästä ristiriita lauseen 12.14 avulla. 7.3 Luentomonisteen sivulla 130 väitettiin, että separoituvuus ei implikoi (N 1 )- ehtoa. Esimerkiksi tarjottiin tulotopologialla T varustettua joukkoa X = R R, mutta tarkempia perusteluja ei annettu. Osoita nyt, että a) (X, T ) on separoituva ja b) (X, T ) ei ole (N 1 ). Ohje a)-kohtaan: Olkoon n N ja q = (q 1,...,q n ) Q n siten, että q 1 <... < q n sekä r = (r 1,...,r n+1 ) Q n+1. Määritellään kuvaus x n qr : R R asettamalla 16

r 1 kun t < q 1 r 2 kun q 1 t < q 2. x qr (t) = r j+1 kun q j t < q j+1. r n kun q n 1 t < q n r n+1 kun q n t. Osoita, että joukko {x n qr q Q n,q 1 <... < q n,r Q n+1,n N} on numeroituva ja tiheä avaruudessa (X, T ). 7.4 a) Osoita esimerkillä, että kahden kompaktin joukon leikkaus ei välttämättä ole kompakti. b) Osoita, että Hausdorff-avaruudessa kuitenkin kompaktien joukkojen mielivaltainen leikkaus on kompakti. 7.5 Olkoon (X, T ) kompakti Hausdorff-avaruus ja f : (X, T ) (X, T ) jatkuva. a) Osoita esimerkillä, että f:llä ei välttämättä ole kiintopistettä. b) Osoita toisaalta, että vaikkei kiintopistettä olisikaan, niin aina on olemassa jokin suljettu epätyhjä joukko A X siten, että f(a) = A. Ohje: a)-kohta on helppo. b)-kohdassa idea on samantapainen kuin Banachin kiintopistelauseen (MA 14.14) todistuksessa. Tässä tehdään joukkojono (A n ) siten, että A 1 = X ja A n+1 = f(a n ) sekä määritellään A = n N A n. Sovella lauseita 15.7, 15.15, 15.20 ja 15.21. 7.6 Onko väli [0,1] kompakti topologiassa T pa? Entä onko se jonokompakti? Luentomonisteessa on mainittu useampaan otteeseen, että jonokompaktisuus ja jonokompaktisuus eivät implikoi toisiaan kumpaankaan suuntaan. Tehtävässä 4.4 oli esillä avaruus, joka on kompakti, mutta ei ole jonokompakti. Nyt konstruoidaan esimerkki päinvastaiseen suuntaan. Olkoon välillä [0, 1] itseisarvotopologia ja varustetaan [0,1] [0,1] vastaavalla tulotopologialla T. Merkitään X = {f [0,1] [0,1] f(x) 0 korkeintaan numeroituvan monelle x [0,1]}. Varustetaan X tulotopologian T indusoimalla aliavaruustopologialla T X. 7.7 Osoita, että (X, T X ) on jonokompakti. Ohje: Muista tehtävästä 3.6, että tulotopologia on pisteittäisen konvergenssin topologia. Käytä hyväksi lauseita 18.1 ja 18.2, joita ei varmaankaan ole vielä luennolla todistettu, mutta monisteestahan nuo löytyvät. 17

7.8 Osoita, että (X, T X ) ei ole kompakti. Ohje: Lause 15.10. 18