MAA5 HARJOITUKSIA 1 Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi Merkitse siihen vektrit a) AB, b) CA ja DB 2 Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä ABCD: a) AB = DC b) AB = CD c) BC = CD d) kuten c-khdan yhtälö, mutta mlemmat pulet itseisarvjen sisällä???? 3 Olkt a = 12 ja b = 5 Piirrä vektri a + b ja määritä a + b, kun a) a b b) a b c) a b 4 Suunnikkaassa ABCD lkn AB = a ja AD = b Lausu vektreiden a ja b avulla vektrit a) AC b) BD c) DB 5 Millä ehdlla (m ja n reaalilukuja) a) ma = 0 b) ma = a c) ma = na d) ma = mb (Kaikissa khdissa n kaksi erilaista vaihtehta) 6 Näytä, että suunnikkaassa ABCD pätevät yhtälöt a) AC+ BD = 2 AD b) AC BD = 2 AB 7 Ratkaise x vektriyhtälöstä 2 a ½( x b) = 3a + 5b (?a 9 b ) 8 Suunnikkaassa ABCD lkn AB = a ja AD = b sekä sivujen AB ja CD keskipisteet P ja Q Lausu vektreiden a ja b avulla AQ, BQ ja PC Mitä vit sana edellisen virkkeen ensin mainitusta ja viimemainitusta suuntajanasta? (jku n ½ a + b)
9 Olkt a, b ja c pisteestä O alkavat, pisteisiin P,Q ja R päättyvät vektrit Lausu näiden vektreiden avulla PQ ja QR Millä ehdlla piste Q n janan PR keskipiste? 10 On annettu neljä suuntajanaa OA = a, OB = b, OC = c ja OD = d Osita, että js n vimassa vektriyhtälö b a = c d, niin ABCD n suunnikas 11 Osita, että neliön lävistäjien leikkauspisteestä kärkiin piirrettyjen vektreiden summa n nllavektri 12 Mielivaltaisessa nelikulmissa ABCD n AB = a ja DC = b Näytä, että sivujen AD ja BC keskipisteiden yhdistysvektri PQ a + b = (Ohje: laadi ku- 2 vista kaksi vektriyhtälöä, jissa kysytty suuntajana PQ esiintyy Mukkaa ttaen humin, kska P n sivun AD keskipiste, että AP = PD jne) 13Vertaa tisiinsa vektreiden a ja b pituuksia, kun a) 2a + b = 0 b) 2a + 5b = a b 14 Krdinaatistssa n annettu ihan seitsemän pistettä: O = rig, A = (2,0), B = (0,1), C = (2,1), D = ( 1,0), E = (0, 2) ja F = (3, 1) Olkt OA a ja OB = b Lausuttava vektreiden a ja b avulla a) OC b) OD c) OE d) OF e ) CF (jku n 1½a b ja jkin tinen ½ a 2b) = 15 Suuntajanalla AB n pisteet P ja Q siten, että AQ:QB = 3:4 ja AP:PB = 1:5 Lausu AB : n avulla suuntajanat a) AQ b ) AP c ) PB d) PQ ja QP 16 Pisteestä O pisteisiin A,B ja C piirretyt vektrit vat vastaavasti a b ja c, Lausu vektrimutinen yhtälö sille, että A,B ja C vat samalla suralla Millä ehdlla erikisesti B n janan AC keskipiste? (Pisteiden l samalla suralla palautuu eräiden vektreiden yhdensuuntaisuuteen, ehkä useita esitysmutja)
17 Vektreiden OA = a ja OB = b lppupisteiden välisellä janalla AB n piste T siten, että AT:TB = 2:3 Lausu OP a : n ja b 3 a + 2 b :n avulla ( ) 5 18 Mielivaltaisessa klmissa OAB sivua OA jatketaan A:n hi janalla AC = OA ja piste C yhdistetään sivun OB keskipisteeseen D Missä suhteessa AB ja CD jakavat tisensa ts näiden janjen leikkauspiste jakaa kummankin janan kahteen saan ja tätä jaksuhdetta kysytään kummankin janan salta erikseen 19 Suunnikkaassa ABCD n sivulla DC piste E siten, että DE:EC=5:3 ja F n sivun BC keskipiste Missä suhteessa AE ja FD jakavat tisensa (16:5 ja 11:10) 20 Määritä vaki k siten, että vektrit 3a 5b ja 4a + kb vat yhdensuuntaiset, kun tiedetään, etteivät a ja b le yhdensuuntaiset 21 Olkt (a, b) tasn vektrikanta Määritä luvut r ja s siten, että a) r( a + b) + 2b = s( 3a + b) ( r = 3, s = 1)? b) r( a + 2b) s( 2a b) = 2a 5b ( r = 1 3, s = 1 ) 5 5 22 Mitkä vat pisteiden A = (3,2) ja B = ( 1½, 1) paikkavektrit? Onk lemassa sellaista lukua t, että tteutuisi vektriyhtälö OA = t OB? 23 Olkn A = (2, 1) ja B = ( 1,3) Määritä AB ja AB Js AB siirretään suuntansa säilyttäen, niin että sen kärki tulee a) rign b) pisteeseen (52, 98), niin mihin tulee sen lppupiste? 24 Määritä â, kun a = 3î + 4ĵ 25 AB n samansuuntainen kuin 3 î 4ĵ ja AB = 2 Määritä pisteen A krdinaatit, kun B = ( ) (1,2)
26 Olkt A = (2,1) ja B = (3, 1) Määritä AB ( i + 2 j) 27 Määritä janan AB keskipisteen krdinaatit mudstamalla pisteiden A ja B paikkavektrit ja njautumalla tämän jälkeen jk esimerkkiin 510 tai lauseeseen 53 (3,?) 28 P n janan AB keskipiste Määritä B, kun A = (1, 1) ja P = (3,4) (?,9) 29 Suunnikkaan ABCD kärki A = (2, 1), tästä lähtevän sivun määrää suuntajana AB = 3 i + j ja lävistäjän taas suuntajana AC = 2i + 3 j Määritä suunnikkaan muut kärjet B,C ja D ( jku n (1,1), jku tinen (5,?) ja klmas (?,2) 30 Selvitä vatk pisteet A = ( 2, 1), B = (1,1) ja C = (5,3) samalla suralla tutkimalla suuntajanja AB ja AC 31 Origsta alkava suuntajana OP n vektrin 3i + j suuntainen ja sen lppupiste P sijaitsee pisteitä A = (6,0) ja B = (0,3) yhdistävällä janalla Missä suhteessa P jakaa janan AB? (2:3) 32 Piirrä tasasivuinen klmi ABC Kun määrität seuraavia, sivuvektreiden välisiä kulmia, kiinnitä humita, että valitset niille samasta pisteestä alkavat edustajat a) (AB,AC) b) (CA,CB) c) (AB,BA) d) (AB,BC) (jku asteluvuista 60,120 ja 180 esiintyy kahdesti, muut kerran) 33 Svella pistetuln määritelmää ja laskulakeja seuraavassa: a) ( 2î) (3î) b) (2î) (3ĵ) c) (4ĵ) (½î 1½ ĵ) d) (î + ĵ) (î ĵ) e) (î + ĵ) (î ĵ) (On nllaa, kakksta, kuutsta ja sen vastalukua) 34 Olkt vinneliössä ABCD sen kärjestä A lähtevät vektrit a ja b Lausu ensin lävistäjät AC ja BD näiden vektreiden avulla ja mudsta sitten niiden pistetul käyttäen laskulakeja ja määritelmää Mitä tiedät vinneliön sivujen pituuksista Minkä arvn kyseinen pistetul näin saa ja mitä se kert lävistäjäin keskinäisestä asennsta?
35 Laske vektrin 2a + 4b pituus, kun tiedetään, että vektri a n yksikkövektri, 1 b = ja (a,b) = 60 (2 3 ) 2 36 Olkt a) u = 3î 4ĵ ja v = 12î + 5ĵ b) u = 3î 4ĵ ja v = 12î 5ĵ Määritä annettujen vektreiden (samasta pisteestä alkavien edustajien) välinen kulma tuhannessa-asteen tarkkuudella Tarkista tulkset astelevyllä piirtämästäsi kuvista Niissä esiintyy mlemmissa jänniä kahden numern sarjja 37 Klmissa ABC n A = ( 1,0), B = (4, 5) ja C = (2,7) Laske sivuvektreiden pistetuljen avulla klmin kaikki kulmat ja humaa, että kulma A = α n suuntajanjen ( AB ja AC välinen, kulma B = β = BA, BC) ja kulma C = γ = = ( CA, CB ) Tarkista tuls laskemalla yhteen saamasi asteluvut Anna tulkset sadassa-asteen tarkkuudella 38 Määritä vaki t siten, että vektrit a = tî + 2ĵ ja b = tî t ĵ vat khtisurassa tisiaan vastaan Tarkista, ettei saamallasi t:n arvlla kumpikaan annetusta vektreista le nllavektri 39 Jaa vektri 6 î + 5ĵ kahteen kmpnenttiin, jista tinen n 2 î + ĵ ja tinen tätä vastaan khtisurassa asennssa (Vihje: A î + Bĵ ja Bî Aĵ) vat khtisurassa ainakin sillin, kun AB 0) 40 Jaa vektri 6 î + 5ĵ kahteen kmpnenttiin, jista tinen n vektrin 2 î + ĵ suuntainen, ja tinen tätä vastaan khtisurassa asennssa Tarkista saamasi tuls piirtämällä (Tinen tehtävistä 39 ja 40 n mahdtn) 41 Olkn a = 4î 3ĵ ja b = 5î 15ĵ Määritä b a ja ab Ohessa annettu tuls 13 39 52 39 vi lla väärässä järjestyksessä ( î ĵ ja î ĵ) 10 10 5 5 2 1 42 Määritä pisteen P = (5,1) prjekti vektrilla a = 4î + 2ĵ ( 4,2 ) 5 5
43 Sura y = kx kulkee rign ja esimerkiksi pisteen (1,k) kautta Tällöin suran ja myös suran y = kx + b suunta vidaan antaa vektrilla s = î + kĵ Osita näistä ajatuksista lähtien, että suran ax + by + c = 0 suuntavektriksi vidaan valita s = bî aĵ ja nrmaalivektriksi n = aî + bĵ riippumatta edes siitä, nk suralla kulmakerrinta vaik ei 44 Määritä surien 3x 4y + 5 = 0 ja 12x + 5y = 0 välinen kulma jk suuntavektreiden tai nrmaalivektreiden välisen kulman avulla (nin 757 astetta) 45 Klmissa ABC n AB = 3, BC = 6 ja AC = 4 Laske kulmien asteluvut sadassa-asteen tarkkuudella (Yhden asteluku n 3634) 46 Klmissa n a) 33 b) 114 kulma, ja tämän viereiset sivut vat 11 cm ja 19 cm Laske tunnetun kulman vastainen sivu ja puuttuvat kulmat (Puuttuva sivu a-khdassa 115 cm ja b-khdassa 255 cm Piirrä kuva ja tutki astelevyllä, vatk saamasi kulmat ikein) Vik tehtävässä lähteä sinilauseesta liikkeelle? 47 Laske ympyrässä a) 30 b) 120 kaarta vastaavan jänteen pituuden tarkka arv, kun ympyrän säde n R (Tinen n R 3 ) ja tinen R 2 3 ) 48 Klipperifregatti KATRIN radisti ilmittaa kmentsillalle: Kaksi suurta jäävurta näkyvissä Tiseen meillä n matkaa 523 km ja tiseen 608 km ja meistä jäävuriin piirretyn kulman asteluku n 144 Kuinka kaukana jäävuret vat tisistaan? (1650 m) 49 Klmin kaksi sivua vat 80 cm ja 100 cm ja näiden välinen kulma 64 Laske asteluvultaan tunnetun kulman kärjestä piirretyn mediaanin (keskijanan) pituus (77 cm) 50Määritä sen kartan mittakaava, jlla 56 mm heisen kuvin mukaisen maa-alueen pinta-ala n 103 hehtaaria 40 mm 90 mm 46 mm (1:2000) 76 mm
51 Olkt a = 3î + 2ĵ + kˆ, b = 2î + 5ĵ + 8kˆ ja c = ĵ 7kˆ Laske a) a + b + c b) a + b + c c) Ratkaise yhtälö 2( x 3b) = 3( c 2a + x) 52 Olkt A = ( 1,0,3) ja B = (5,2, 3) Määritä a) AB b ) janan AB pituus sekä c) janan AB keskipisteen krdinaatit 53 Määritä vektreiden î + ĵ + kˆ ja 6ĵ 7kˆ välinen kulma (ehkä n 9359 ) 54 Olkn A = (1,2,3) ja B = (7,7, 14) Janalla AB n piste C siten, että AC:CB = 2 4 2:3 Määritä C (sen paikkavektrin avulla) ( 3, 4, 3 ) 5 5 55 Klmissa ABC n A = (1,2,3), B = (7,6,0) ja C = ( 9,4,1) Määritä mediaanien leikkauspiste M esimerkiksi yhtälön OM = OA+ AM avulla luttaen vankasti siihen tietn, että AM n kaksi klmannesta pisteestä A alkavasta mediaanista (( 1, 3 4, 4 ), mutta ei 100% varmuudella) 3 56 Ovatk pisteet (2,0,3), ( 3,15, 18) ja (1,3, 2) samalla suralla? (Vrt teht 30) (eivätkä le) 57 Määritä yksikkövektrit, jtka vat seuraavien surien suuntaiset: x = 3t 4i + 3j i + k j 3i j a) 3x 4y = 0 b) y = kx c) ( ±, ±, ± ) y = t 5 2 1 + k 10 58 Mikä n pisteen (3, 1) kautta kulkevan suran yhtälö yleisessä mudssa, kun suuntavektri n a) 2î + ĵ b) 2î + 3ĵ c) 2î d) ĵ? (x 2y 5 = 0, 3x + 2y 7 = 0, y = 1 x = 3) 59 Määritä suralle 2x 4y + 17 = 0 a) vektrimutinen ts muta r = r + ts leva yhtälö b) parametrimutinen yhtälö Vektriyhtälön erilaisia esitysmutja n useita, mutta kiinnitä suuntavektri lauseen 514 mukaisesti 60 Määritä kulmakerrin ja suuntakulma, kun suran yhtälö n x = 3 2t a ) b) x = 3 x = 2t c) y = 4 + 3t y = 4 + 3t y = 4
61Olkt P = (1,0,2) jas = 3î + 4ĵ 2kˆ Mudsta suran a) parametrimutinen b) krdinaattimutinen yhtälö c) Missä pisteessä tämä sura leikkaa kunkin klmesta krdinaattitassta, síis xy-tasn, xz-tasn ja yz-tasn? 62 Määritä pisteiden (1,1,1) ja (5,3, 1) määräämän suran yhtälö a) parametrimudssa b) krdinaattimudssa ( x 1 = y 1 = z 1 2 1 1 ) 63 Leikkaak pisteiden (1, 3, 1) ja (13, 12, 4) kautta kulkeva sura x-akselin Js leikkaa, niin missä leikkauspisteen x-krdinaatti n? 64 Jani n kaivanut itselleen kupan Oletetaan, että hänen kiikarikiväärinsä piipun suuaukk n tarkalleen pisteessä (20, 30, 0) Teeri tulla pöllähtää ja istuutuu puun ksalle pisteeseen (30, 15, 5) a) Kuinka mnta metriä Jani pyssyn piipun suuauksta n matkaa teereen? b) Mikä n se vektri, jnka suuntaan Jani pyssystä pitäisi kuulan lähteä, jtta se suisi teereen, js hiukan epärealistisesti letetaan, että kuulan rata n suraviivainen c) Mitä suraa pitkin kuula lentää d) Missä pisteessä kuula n 2 sekunnin kuluttua, js sen lähtövauhti n 520 m/s ja letetaan teeren aavistaneen Janin aikeet ja ehtineen juuri lehahtaa lentn ennen ludin sumaa Olkn yksikkövektrin pituus tässä krdinaatistssa tasan metri 65 Lentkne irtaa maasta pisteessä (2000, 300) ja nusee vektrin 8 î + 4ĵ + kˆ suuntaisesti Kuinka krkealla kne n, kun se ylittää pitkin y-akselia kulkevan maantien Olkn yksikkövektrin pituus tässäkin krdinaatistssa tasan metri 65 Pisteet A,B,C ja D vat samassa tasssa, js suuntajanat AB, AC ja AD vat samassa tasssa Viimemainittu eht taasen tteutuu, js yksi mainituista suuntajanista vidaan lausua kahden muun avulla Tutki esitettyyn jhdatteluun tukeutuen, vatk pisteet A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 1, 1) ja D = ( 1, 2, 2) samassa tasssa (Pitäisi niiden lla) 66 Määritä tasjen x + 3y + 5z = 18 ja 4x 5y + 2z = 9 välinen kulma 67 Tasn yhtälö n 4x 2y + 3z = 17 Sura kulkee pisteen (0, 1, 1) kautta ja sen suuntavektri s = î 2ĵ Missä pisteessä sura leikkaa tasn? (2, 3, 1)