Kappale 9: Lukujonografiikka

Kappale 9: Lukujonografiikka 9 Johdanto: Sekvenssigrafiikka... 128 Sekvenssigrafiikan vaiheet... 129 Sekvenssi- ja funktiografiikan erot... 130 Aika- ja verkkokaavioiden sekä kustomoitujen kaavioiden akseleiden asetukset... 134 Verkkokaaviot... 135 Kustomoidut kaaviot... 138 Taulukon luominen lukujonon avulla... 139 Tässä kappaleessa kerrotaan, miten lukujonoja piirretään TI-89- laskimella. Ennen tätä kappaletta kannattaa lukea kappale 6: Tavallinen funktiografiikka. Lukujonot lasketaan vain peräkkäisien kokonaislukujen arvoilla. Kaksi yleistä lukujonotyyppiä ovat: Ei-rekursiivinen (palautumaton) Jonon termi n on riippumattoman muuttujan n funktio. Jokainen termi on riippumaton muista termeistä. Seuraavassa esimerkkijonossa voit laskea suoraan termin u(5) ilman, että ensin pitäisi laskea u(1) tai jokin muu aiempi termi. u(n) = 2 ù n kun n = 1, 2, 3,... u(n) = 2 ù n antaa jonon 2, 4, 6, 8, 10,... n on aina sarja peräkkäisiä kokonaislukuja. Sarjan aloittaa mikä tahansa positiivinen kokonaisluku tai nolla. Huom! Rekursiivinen jono voi viitata toiseen jonoon. Esimerkiksi, u2(n) = nñ +u1(nì 1). Rekursiivinen (palautuva) Jonon termi n määrittyy suhteessa yhteen tai useampaan muuhun termiin, jotka ovat muotoa u(nì 1), u(nì 2) jne. Aiempien termien lisäksi rekursiivinen jono voidaan määritellä myös suhteessa termiin n (kuten u(n) = u(nì 1) + n). Seuraavissa esimerkeissä et voi laskea mitä on u(5), ennen kuin olet laskenut termit u(1), u(2), u(3) ja u(4). u(n) = 2 ùu(nì1) kun n = 1, 2, 3,... Alkuarvolla 1: u(n) = 2 ù u(nì 1) antaa jonon 1, 2, 4, 8, 16,... Ensimmäinen termi on määrittämätön, koska edeltävää termiä ei ole. Ensimmäiselle termille pitää siis määrittää alkuarvo. Määritettävien alkuarvojen määrä riippuu rekursion syvyydestä. Esimerkiksi jos jokainen termi määritellään suhteessa kahteen aiempaan termiin, täytyy kahdelle ensimmäiselle termille määrittää alkuarvot. Kappale 9: Lukujonografiikka 127

Johdanto: Sekvenssigrafiikka Pienessä metsässä on 4000 puuta. Joka vuosi 20% puista kaadetaan (80% jää pystyyn) ja 1000 uutta puuta istutetaan. Käytä sekvenssiä ja laske puiden määrä metsässä kunkin vuoden lopussa. Vakiintuuko puiden määrä jossain vaiheessa? Alussa 1 vuoden jälkeen 2 vuoden jälkeen 3 vuoden jälkeen... 4000.8 x 4000.8 x (.8 x 4000 + 1000).8 x (.8 x (.8 x 4000 + 1000) + 1000)... + 1000 + 1000 + 1000 Vaihe Näppäimet Näyttö 1. Avaa MODE-valintaikkuna. Valitse Graph-tilaksi SEQUENCE. 3 B 4 2. Avaa ja tyhjennä Y=editori. Määritä sekvenssiksi u1(n) = ipart(.8ù u1(nì 1)+1000). Ota ratkaisusta kokonaislukuosa iparttoiminnolla. Puita ei kaadeta murto-osina. Kun haluat ipart(-komennon, näppäile 2I, ½, tai kirjoita komento. 3. Määritä alkuarvoksi ui1, jota käytetään ensimmäisenä terminä. 4. Avaa Window-editori. Aseta n- ja plotikkunamuuttujat. nmin=0 ja nmax=50 laskevat 50 vuotta vanhan metsän koon. 5. Aseta x- ja y-ikkunamuuttujille esimerkkilaskuun sopivat arvot. # ƒ8 2I14.8jU1c jn 1d«1000d 4000 $ 0D50D 1D1D 0 D 50D 10D0D 6000D1000 6. Avaa grafiikkanäyttö. % 7. Valitse Trace. Siirrä kohdistin jäjittämään vuosi kerrallaan. Kuinka monta vuotta (nc) kestää, ennen kuin puiden määrä (yc) vakiintuu? Jäljitys alkaa kohdasta nc=0. nc on vuosien määrä. xc = nc koska n kaavioidaan x-akselilla. yc = u1(n), puiden lukumäärä vuonna n. B ja A tarpeen mukaan Sekvenssien oletusesitystyyli on neliö (Square). 128 Kappale 9: Lukujonografiikka

Sekvenssigrafiikan vaiheet Kun piirrät lukujonoja, noudata kappaleessa 6 Tavallinen funktiografiikka y(x) -funktioille annettuja ohjeita. Lukujonoja koskevat poikkeukset kuvataan seuraavilla sivuilla. Lukujonojen piirtäminen Aseta Graph-tilaksi (3)SEQUENCE. Aseta myös kulmatila, jos tarpeen. Määritä sekvenssit ja, jos tarpeen, alkuarvot Y=editorilla ( #). Vihje: Jos haluat kytkeä tilastokaavioita (kappale 16), pois, paina 5 tai poista valinta -näppäimellä. Valitse ( ) piirrettävät sekvenssit. Älä valitse alkuarvoja. Huom! Sekvenssien oletustyyli on Square (neliö). Aseta esitystyyli (2ˆ) sekvenssille. Vihje: Zoom vaihtaa myös tarkasteluikkunan. Määritä tarkasteluikkuna ( $). Muuta grafiikan esitystapaa ( Í tai ƒ 9), jos tarpeen. Piirrä valitut sekvenssit ( %). Kuvaajan tutkiminen Vihje: Jos haluat laskea sekvenssin jäljityksen aikana, syötä n-arvo näppäimistöltä. Grafiikkanäytössä: Voit nähdä minkä tahansa pikselin koordinaatit vapaasti liikkuvalla kohdistimella. Merkityn kohdan koordinaatit näet, kun jäljität sekvenssin. Voit suurentaa tai pienentää osan kuvaajasta Zoom - työkalupalkkivalikon toiminnoilla. Laske sekvenssi Math -työkalupalkkivalikon avulla. Sekvenssigrafiikassa voit valita vain 1:Value. Kaavioi sekvenssi Time- (oletus), Web tai Custom -akselilla. Kappale 9: Lukujonografiikka 129

Sekvenssi- ja funktiografiikan erot Tässä kappaleessa oletetaan, että tiedät jo, miten y(x)- funktioita piirretään (kappale 6: Tavallinen funktiografiikka). Tässä osassa kuvataan sekvenssigrafiikan erityispiirteitä. Graph-tilan asetukset Aseta 3 -näppäimellä Graph = SEQUENCE, ennen kuin määrität sekvenssejä tai asetat ikkunamuuttujia. Y=editorissa ja Windoweditorissa voit syöttää vain nykyisen Graph-tilan asetuksia. Sekvenssien määrittäminen Y=editorilla Voit määrittää sekvenssejä väliltä u1(n) ja u99(n). Määritä ui vain rekursiivisissa sekvensseissä, jotka vaativat yhden tai useampia alkuarvoja. Huom! Kun syötetään kaksi tai useampia alkuarvoja, pitää käyttää luetteloa. Jos sekvenssi vaatii enemmän kuin yhden alkuarvon, syötä ne luettelona sulkeiden { } sisällä ja pilkuilla erotettuina. Syötä {1,0}, vaikka sekvenssiluettelossa näkyykin {1 0}. Huom! Jos haluat, voit valita sekvenssikuvaajan akselin. Oletusakseli on TIME. Vihje: Voit määritellä funktioita ja yhtälöitä missä tahansa grafiikkatilassa Home-näytön Definekomennolla (ks. Liite A). Jos sekvenssi edellyttää alkuarvoa, etkä syötä sitä, saat virheilmoituksen kun yrität piirtää kuvaajan. Voit valita sekvenssikuvaajan akselit Y=editorin valikosta 2 Axes. Lisätietoja sivulla 134. Akselit TIME WEB CUSTOM Kuvaus Piirtää arvon n x-akselille ja arvon u(n) y-akselille. Piirtää arvon u(n-1) xakselille ja arvon u(n) y-akselille. Voit valita x- ja y-akselit. Y=editorissa on riippumaton funktioluettelo kaikista Graph-tilaasetuksista. Oletetaan esimerkiksi: Määrittelet FUNCTION-grafiikkatilassa sarjan y(x)-funktioita. vaihdat SEQUENCE-grafiikkatilaan ja määrittelet sarjan u(n)-sekvenssejä. Kun palaat FUNCTION-grafiikkatilaan, ovat määrittelemäsi y(x)-funktiot edelleen Y=editorissa. Kun palaat SEQUENCEgrafiikkatilaan, ovat u(n)-sekvenssisi edelleen määritetyt. 130 Kappale 9: Lukujonografiikka

Sekvenssien valitseminen TIME- ja WEB-akseleilla TI-89 piirtää vain valitut sekvenssit. Jos syötät sekvenssejä, jotka edellyttävät alkuarvoa, sinun täytyy syöttää vastaava ui arvo. Huom! TIME- ja CUSTOMakseleilla lasketaan kaikki määritetyt sekvenssit, vaikka niitä ei olisi piirretty. Voit valita sekvenssin. Et voi valita sen alkuarvoa. Jos määrität sekvenssin CUSTOM-akseleille oletusasetuksin, sekvenssi piirretään aina, vaikka sitä ei olisi valittu. Esitystyylin valitseminen Sekvenssikuvaajille voi valita vain tyylit Line, Dot, Square ja Thick. Dot ja Square merkitsevät vain ne erilliset kokonaislukuarvot (plotsteplisäyksin), joilla sekvenssi on kaavioitu. Ikkunamuuttujat Window-editorissa on kaikille Graph-tila-asetuksille riippumaton sarja ikkunamuuttujia (aivan kuten Y=editorissa on riippumattomat funktioluettelot). Sekvenssikuvaajissa käytetään seuraavia ikkunamuuttujia. Huom! Muuttujien nmin ja nmax pitää olla positiivisia kokonaislukuja. nmin voi olla myös nolla. Huom! Muuttujien nmin, nmax, plotstrt ja plotstep pitää olla kokonaislukuja 1. Jos syötät muita kuin kokonaislukuja, syötteet pyöristetään kokonaisluvuiksi. Muuttuja nmin, nmax plotstrt plotstep xmin, xmax, ymin, ymax xscl, yscl Kuvaus Pienimmät ja suurimmat laskettavat n-arvot. Sekvenssit lasketaan kohdissa: u(nmin) u(nmin+1) u(nmin+2)... lisäys... u(nmax) Ensimmäiseksi piirretty termin numero (riippuu muuttujasta plotstep). Jos haluat aloittaa piirretty esimerkiksi sekvenssin toisesta termistä, aseta plotstrt = 2. Ensimmäinen termi lasketaan kohdassa nmin, mutta sitä ei kaavioida. In-arvon lisäys vain piirtämistä varten. Tämä vaikuttaa vain siihen, mitkä pisteet piirretty, ei sekvenssin laskemiseen. Oletetaan esimerkiksi, että plotstep = 2. Sekvenssi lasketaan jokaisen peräkkäisen kokonaisluvun kohdalla, mutta piirretty vain joka toisen kokonaisluvun kohdalla. Tarkasteluikkunan rajat. x- ja y-akselin merkkien välinen etäisyys. Kappale 9: Lukujonografiikka 131

Ikkunamuuttujat (Jatkoa) Standardiarvot (jotka saat kun valitset Zoom -työkalupalkkivalikosta 6:ZoomStd): nmin = 1. xmin = ë 10. ymin = ë 10. nmax = 10. xmax = 10. ymax = 10. plotstrt = 1. xscl = 1. yscl = 1. plotstep = 1. Jos haluat varmistaa, että pisteitä kaavioidaan riittävästi, voit muuttaa n- ja plot-muuttujien asetuksia. Seuraavat esimerkit rekursiivisista sekvensseistä havainnollistavat, miten plotstrt vaikuttaa kuvaajaan. Kuvaajan piirretty aloitetaan ensimmäisestä termistä. Huom! Muuttujaa plotstrt lukuun ottamatta kuvaajissa käytetään samoja ikkunamuuttujia. Kuvaajan piirretty aloitetaan yhdeksännestä termistä. plotstrt=1 plotstrt=9 TIME-akseleilla (Y=editori : 2 Axes), voit asettaa plotstrt = 1 ja piirtää silti vain valitun osan sekvenssistä. Määrittele tarkasteluikkuna, joka näyttää vain sen osan koordinaatistotasosta, jota haluat tarkastella. Voit tehdä seuraavia asetuksia: xmin = ensimmäinen piirrettävä n-arvo xmax = nmax (voit myös käyttää muita arvoja) ymin ja ymax = sekvenssin odotettavissa plotstrt=1 nmax Grafiikan esitystavan vaihtaminen Esitystapaa Graph Order ei voi valita. TIME- ja CUSTOM-akseleilla moninkertaiset sekvenssit piirretty aina samanaikaisesti. WEB-akseleilla moninkertaiset sekvenssit piirretty aina peräkkäin. 132 Kappale 9: Lukujonografiikka

Kuvaajan tutkiminen Vihje: Jos haluat laskea sekvenssi jäljityksen aikana, anna n-arvo ja paina. Vihje: QuickCenteriä voi käyttää milloin tahansa jäljityksen aikana, vaikka kohdistin olisikin vielä näytössä. Voit tutkia kuvaajaa samoilla työkaluilla kuin funktiografiikassa. Koordinaatit näkyvät grafiikan esitystavan asetusten mukaisesti napamuodossa tai suorakulmamuodossa. Työkalu Vapaasti liikkuva kohdistin Sekvenssikuvaajissa: Toimii samoin kuin funktiokuvaajissa. Zoom Toimii samoin kuin funktiokuvaajissa. Trace Vaikuttaa vain x- (xmin, xmax, xscl) ja y- (ymin, ymax, yscl) ikkunamuuttujiin. Ei vaikuta n- ja plot-ikkunamuuttujiin (nmin, nmax, plotstrt, plotstep) paitsi jos valitset 6:ZoomStd (joka asettaa kaikille ikkunamuuttujille oletusasetukset). Eri akseleilla (TIME, CUSTOM tai WEB) Trace toimii hyvin eri tavoin. TIME- ja CUSTOM-akseleilla kohdistinta siirretään sekvenssissä yhden plotstep-muuttujan verran kerrallaan. Jos haluat siirtyä noin kymmenen kaavioitua kohtaa eteenpäin, paina 2 B tai 2 A. Kun aloitat jäljityksen, kohdistin on ensimmäisen valitun sekvenssin termissä, jonka numero on määritetty plotstrt-muuttujaan, vaikka se olisi tarkasteluikkunan ulkopuolella. QuickCenter vaikuttaa kaikkiin suuntiin. Jos siirrät kohdistimen pois näytöstä (ylös tai alas, vasemmalle tai oikealle), keskitä tarkasteluikkuna kohdistimen sijaintiin -näppäimellä. WEB-akseleilla jäljityskohdistin seuraa verkkoa, ei sekvenssiä. Lisätietoja sivulla 135. Math Voit valita sekvenssikuvaajissa vain 1:Value. TIME- ja WEB-akseleilla esitetään määritetyn n- arvon u(n)-arvo (jota edustaa yc). CUSTOM-akseleilla x- ja y-muuttujia vastaavat arvot riippuvat valituista akseleista. Kappale 9: Lukujonografiikka 133

Aika- ja verkkokaavioiden sekä kustomoitujen kaavioiden akseleiden asetukset Sekvenssigrafiikassa voit valita kuvaajan akselityypin. Eri tyypit esitellään tässä osassa. AXES-valintaikkuna Paina Y=editorissa 2. Toiminto Kuvaus Voimassa olevasta Axesasetuksesta riippuen eräät kohdat voivat näkyä himmennettyinä. Jos haluat poistua muutoksia tekemättä, paina N. Axes TIME Kaavioi y-akselille u(n) ja x-akselille n. Build Web X Axis ja Y Axis WEB Kaavioi y-akselille u(n) ja x-akselille u(n-1). CUSTOM Voit valita x- ja y-akselit. Toimii vain, jos Axes = WEB. Määrittää, piirretäänkö verkko käsin (TRACE) vai automaattisesti (AUTO). Lisätietoja sivulla 135. Toimii vain, jos Axes = CUSTOM. Voit valita arvon tai sekvenssin, jotka kaavioidaan x- ja y-akseleille. Lisätietoja sivulla 138. Voit muuttaa näitä asetuksia samalla tavalla kuin esimerkiksi MODEvalintaikkunassa. 134 Kappale 9: Lukujonografiikka

Verkkokaaviot Verkkokaaviossa piirretään u(n) vastaan u(nì 1), jolloin voit tutkia rekursiivisen sekvenssin pitkän aikavälin käyttäytymistä. Tämän kappaleen esimerkeissä havainnollistetaan myös, miten alkuarvot vaikuttavat sekvenssin käyttäytymiseen. Verkkokaavioihin käyvät funktiot Sekvenssin pitää täyttää seuraavat ehdot, muutoin se ei piirry oikein WEB-akseleilla. Sekvenssin: Pitää olla rekursiivinen vain yhdellä rekursiotasolla; u(nì 1) mutta ei u(nì 2). Sekvenssissä ei voi viitata muuttujaan n suoraan. Sekvensissä ei voi viitata mihinkään muuhun sekvenssiin. Graph-näytössä Kun olet valinnut WEB-akselit ja avannut grafiikkanäytön, TI-89: Piirtää y=x-neutraaliakselin. Piirretty valitut sekvenssimääritelmät funktioina, joissa u(nì 1) on riippumaton muuttuja. Tämä muuttaa rekursiivisen sekvenssin tehokkaasti ei-rekursiiviseen muotoon piirtämistä varten. Otetaan esimerkiksi sekvenssi u1(n) = 5ìu1(nì1) ja alkuarvo ui1=1. TI-89 piirtää y=x-neutraaliakselin ja piirtää kaavion y = 5ì x. Verkon piirtäminen Kun sekvenssi on kaavioitu, verkko voidaan esittää käsin tai automaattisesti. Esitystapa riippuu siitä, mitkä asetukset olet valinnut AXES-valintaikkunan kohdassa Build Web. Jos Build Web = TRACE Verkko: Verkkoa ei piirretä ennen kuin painat. Sitten verkko piirretään vaihe kerrallaan kun siirrät jäljityskohdistinta (sinulla pitää olla alkuarvo ennen kuin voit käyttää Trace-toimintoa). Huom! WEB-akseleilla et voi jäljittää sekvenssiä pitkin, kuten muissa grafiikkatiloissa. AUTO Piirtää verkon automaattisesti. Jos haluat jäljittää verkon ja nähdä sen koordinaatit, paina. Verkko: Huom! Verkko alkaa kohdasta plotstrt. n-arvoa lisätään yhdellä joka kerran kun verkko siirtyy sekvenssiin (plotstep ohitetaan). 1. Alkaa x-akselilta alkuarvosta ui (kun plotstrt = 1). 2. Liikkuu pystysuoraan (ylös tai alas) sekvenssiin nähden. 3. Liikkuu vaakasuoraan y=x-neutraaliakseliin nähden. 4. Toistaa pysty- ja vaakasuoraa liikettä, kunnes n=nmax. Kappale 9: Lukujonografiikka 135

Esimerkki: suppeneminen 1. Määrittele Y=editorissa ( #) u1(n) = ë.8u1(nì 1) + 3.6. Aseta alkuarvoksi ui1 = ë 4. 2. Paina 2. Aseta Axes = TIME. 3. Avaa Window-editori ( $), ja aseta ikkunamuuttujat. 4. Piirrä sekvenssi ( %). Oletuksen mukaan sekvenssi esitetään tyylillä Square. nmin=1. xmin=0. ymin=ë 10. nmax=25. xmax=25. ymax=10. plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. u(n) n Vihje: Jos haluat siirtää kohdistimen jäljityksen aikana määritettyyn arvoon n, kirjoita arvo ja paina. Vihje: Kun nc-arvo muuttuu, kohdistin on sekvenssissä. Kun painat B, nc pysyy ennallaan mutta kohdistin on nyt y=x-neutraaliakselilla. 5. Paina Y=editorissa 2. Aseta Axes = WEB ja Build Web = AUTO. 6. Avaa Window-editori ( $), ja aseta ikkunamuuttujat. 7. Piirrä sekvenssi uudelleen. y=ë.8x + 3.6 Verkkokaaviot näkyvät aina viivoina valitusta esitystyylistä riippumatta. y=x nmin=1. xmin=ë 10. ymin=ë 10. nmax=25. xmax=10. ymax=10. plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. 8. Paina. Jäljityskohdistin seuraa verkkoa, kun painat B-näppäintä. Näytössä näkyvät kohdistimen koordinaatit nc, xc ja yc (missä xc edustaa termiä u(nì 1) ja yc termiä u(n)). Kun jäljität termin nc suurempia arvoja, huomaat termien xc ja yc lähenevän suppenemispistettä. u(n) u(nì1) Esimerkki: hajaantuminen 1. Avaa Y=editori ( #) ja määritä u1(n) = 3.2u1(nì1) ì.8(u1(nì1)) 2. Aseta alkuarvoksi ui1 = 4.45. 2. Paina 2. Aseta Axes = TIME. 3. Avaa Window-editori ( $), ja aseta ikkunamuuttujat. 4. Piirrä sekvenssi ( %). Koska sekvenssi hajaantuu nopeasti suuriksi negatiivisiksi arvoiksi, vain muutama piste piirretty. nmin=0. xmin=0. ymin=ë 75. nmax=10. xmax=10. ymax=10. plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. u(n) n 136 Kappale 9: Lukujonografiikka

5. Paina Y=editorissa 2. Aseta Axes = WEB ja Build Web = AUTO. 6. Avaa Window-editori ja vaihda ikkunamuuttujat. nmin=0. xmin=ë 10. ymin=ë 10. nmax=10. xmax=10. ymax=10. plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. 7. Piirrä sekvenssi uudelleen. Verkkokaaviosta näkee, kuinka nopeasti sekvenssi hajaantuu suuriksi negatiivisiksi arvoiksi. y=x u(n) u(nì1) y=3.2xì.8xñ Esimerkki: Värähtely Huom! Vertaa tätä kuvaajaa hajaantumisesimerkkiin. Sekvenssi on sama, mutta alkuarvo on eri. Seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan, miten alkuarvo voi vaikuttaa sekvenssiin. 1. Avaa Y=editori ( #), ja käytä samaa sekvenssiä kuin hajaantumisesimerkissä: u1(n) = 3.2u1(nì 1) ì.8(u1(nì 1)) 2. Aseta alkuarvo ui1 = 0.5. 2. Paina 2. Aseta Axes = TIME. 3. Avaa Window-editori ( $), ja aseta ikkunamuuttujat. 4. Piirrä kuvaaja ( %). nmin=1. xmin=0. ymin=0. nmax=100. xmax=100. ymax=5. plotstrt=1. xscl=10. yscl=1. u(n) n 5. Paina Y=editorissa 2. Aseta Axes = WEB ja Build Web = AUTO. 6. Avaa Window-editori ja muuta ikkunamuuttujat. nmin=1. xmin=ë 2.68 ymin=ë 4.7 nmax=100. xmax=6.47 ymax=4.7 plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. Huom! Verkko siirtyy radalle, joka värähtelee kahden vakaan pisteen välillä. Huom! Jos aloitat verkkokaavion myöhemmästä termistä, vakaa värähtelyrata näkyy selvemmin. 7. Piirrä sekvenssi uudelleen. u(n) u(nì1) y=x y=3.2xì.8xñ 8. Paina. Jäljitä verkko B -näppäimellä. Kun jäljität suurempia nc-termin arvoja, xc ja yc värähtelevät pisteiden 2.05218 ja 3.19782 välillä. 9. Aseta Window-editorissa plotstrt=50. Piirrä sitten sekvenssi uudelleen. Kappale 9: Lukujonografiikka 137

Kustomoidut kaaviot CUSTOM-akselit ovat hyvin joustava valinta, kun piirrät sekvenssejä. Kuten seuraavassa esimerkissä osoitetaan, CUSTOM-akseleilla voi esittää yhden sekvenssin suhteen toiseen erityisen tehokkaasti. Esimerkki: Peto-saalismalli Määrittele biologiasta tuttua peto-saalis -mallia käyttäen ne jänisten ja kettujen määrät, joilla populaatiot pysyvät keskenään tasapainossa tietyllä alueella. R = Jänisten lukumäärä M = Jänisten lisääntymisnopeus, jos kettuja ei ole (suositus.05) K = Nopeus, jolla ketut voivat tappaa jäniksiä (suositus.001) W = Kettujen lukumäärä G = Kettujen lisääntymisnopeus, jos jäniksiä on (suositus.0002) D = Kettujen kuolleisuus, jos jäniksiä ei ole (suositus.03) R n = R n-1 (1 + M ì K W n-1 ) W n = W n-1 (1 + G R n-1 ì D) 1. Avaa Y=editori ( #). Määrittele sekvenssit ja alkuarvot termeille R n and W n. Huom! Oletetaan, että jäniksiä on alussa 200 ja kettuja 50. Huom! Jäljitä -näppäimellä jänisten lukumäärä u1(n) ja kettujen lukumäärä u2(n) ajanjaksona (n). u1(n) = u1(nì 1) ù (1 +.05 ì.001 ù u2(nì 1)) ui1 = 200 u2(n) = u2(nì 1) ù (1 +.0002 ù u1(nì 1) ì.03) ui2 = 50 2. Paina 2. Aseta Axes = TIME. 3. Avaa Window-editori ( $). Aseta ikkunamuuttujat. 4. Piirrä sekvenssi ( %). nmin=0. xmin=0. ymin=0. nmax=400. xmax=400. ymax=300. plotstrt=1. xscl=100. yscl=100. 5. Paina Y=editorissa 2. Aseta Axes = CUSTOM, X Axis = u1 ja Y Axis = u2. 6. Muuta ikkunamuuttujat Window-editorissa. u1(n) u2(n) u(n) nmin=0. xmin=84. ymin=25. nmax=400. xmax=237. ymax=75. plotstrt=1. xscl=50. yscl=10. n Huom! Jäljitä -näppäimellä sekä jänisten (xc) että kettujen lukumäärä (yc) 400 sukupolven aikana. 7. Piirrä sekvenssi uudelleen. u2(n) u1(n) 138 Kappale 9: Lukujonografiikka

Taulukon luominen sekvenssin avulla Edellisissä osissa kuvattiin, miten sekvenssi piirretään. Voit myös käyttää sekvenssiä taulukon luomiseen. Lisätietoja taulukoista on kappaleessa 13. Esimerkki: Fibonaccin sekvenssi Fibonaccin sekvenssissä ensimmäiset kaksi termiä ovat 1 ja 1. Jokainen seuraava termi on kahden edellisen termin summa. 1. Avaa Y=editori ( #) ja määritä sekvenssi kuvan osoittamalla tavalla. Syötä {1,1}, vaikka sekvenssiluettelossa näkyykin {1 1}. 2. Aseta taulukkoparametreiksi ( &): tblstart = 1 @tbl = 1 Independent = AUTO 3. Aseta ikkunamuuttujat ( $) niin, että nmin on saman arvoinen kuin tblstart. Toiminto on himmennetty, jos et käytä TIME-akseleita (Y=editorissa valitse 2 ). 4. Tee taulukko ( '). 5. Siirry alaspäin taulukossa (D tai 2D), niin näet sekvenssin loppuosan. Fibonaccin sekvenssi on pystyrivillä 2. Kappale 9: Lukujonografiikka 139

140 Kappale 9: Lukujonografiikka