Vektorit. Vektorin luominen Vektorin tuominen näyttöön Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen Vektorin poistaminen...
|
|
|
- Maria Hukkanen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 12 Vektorit Vektorin luominen Vektorin tuominen näyttöön Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen Vektorin poistaminen TI -86 M1 M2 M3 M4 M5 F1 F2 F3 F4 F5
2 192 Luku 12: Vektorit Vektorin luominen Vektori on yksiulotteinen taulukko, joka muodostaa joko yhden pystysarakkeen tai yhden vaakarivin. Vektorin alkiot voivat olla reaali- tai kompleksilukuja. Perusnäytössä tai vektorieditorissa voit luoda vektoreita, tuoda niitä näyttöön ja muokata niitä. Kun luot vektorin, sen alkiot tallennetaan vektorin nimeen. TI-86-laskimen vektorieditori tuo vektorin näyttöön pystysuuntaisena. Perusnäytössä vektori syötetään ja esitetään vaakasuuntaisena. Kun käytät vektoria lausekkeessa, TI-86 tulkitsee vektorin automaattisesti lausekkeeseen sopivassa muodossa (vaakarivivektorina tai pystysarakevektorina). Esimerkiksi lausekkeessa matriisi¹vektori käytetään pystysarakevektoria. TI-86-laskimeen voidaan tallentaa enintään 255 alkiota vektoriin suorakulmaisessa esitystavassa. Voit määrittää kaksi- tai kolmiulotteisen avaruuden suunta- ja yksikkövektorit vektoreilla, joissa on kaksi tai kolme alkiota. Voit esittää kaksi- tai kolmialkioiset vektorit eri muodoissa vektorin tyypin mukaan. Jos haluat kirjoittaa... Syötä... Ja TI-86 palauttaa... kaksialkioisen suorakulm. vektorin ãx,yä ãx yä kaksialkioisen sylint.koord. vektorin ãr±qä ãr±qä kaksialkioisen pallokoord. vektorin ãr±qä ãr±qä kolmialkioisen suorakulm. vektorin ãx,y,zä ãx y zä kolmialkioisen sylint.koord. vektorin ãr±q,zä ãr±q zä kolmialkioisen pallokoord. vektorin ãr±q±fä ãr±q±fä
3 Luku 12: Vektorit 193 VECTR (vektori) -valikko - Š NAMES EDIT MATH OPS CPLX vektorin vektorimate- kompleksilukunimien valikko matiikkavalikko vektorivalikko vektori- vektorieditori toimintojen valikko VECTR NAMES -valikko - Š & VECTR NAMES -valikko sisältää kaikki sillä hetkellä tallennettuna olevat vektoreiden nimet aakkosnumeerisessa järjestyksessä. Syötä vektorin nimi kohdistimen kohdalle valitsemalla haluamasi nimi valikosta. Vektorin luominen vektorieditorissa - Š ' Vektoreiden nimissä tehdään ero isojen ja pienten kirjainten välille; VECT1, Vect1 ja vect1 ovat kolme eri nimeä. Ensimmäisessä pystysarakkeessa oleva $- tai #- symboli ilmoittaa sitä, että vektorin alkioita on enemmän. Avaa vektorin Name=-kehotenäyttö. ALPHA-lukitus on käytössä. Syötä nimi, jonka pituus on 1-8 merkkiä ja joka alkaa kirjaimella. Tuo vektorieditori näyttöön. Näyttöön tulee myös vektorieditorivalikko. Hyväksy vektorin alkiokoko tai muuta se kokonaisluvuksi 1 ja 255. Vektori tulee näyttöön; kaikkien alkioiden arvo on 0. - Š ' ãvä ãeä ãcä ãtä 1 1 b 5 b
4 194 Luku 12: Vektorit Syötä vektorialkion arvo kuhunkin vektorialkiokehotteeseen. Siirry seuraavan alkion kohdalle painamalla b tai #. Vektorialkiot tallennetaan vektorin nimeen VECT1, josta tulee VECTR NAMES -valikon vaihtoehto. a 5 # 49 # 2 ` 45 # ` 89 # 1 ` 8 Vektorieditorivalikko - Š vektorinnimi b INSi DELi 4REAL INSi DELi 4REAL Lisää tyhjän alkion (en=) kehotteen kohdistimen kohdalle; siirtää senhetkisiä alkioita alaspäin. Poistaa alkion sekä kohdistimen kohdalta että vektorista; siirtää alkioita ylöspäin. Muuntaa vektorieditorissa kaikki kompleksilukuarvoiset vektorialkiot reaalilukuarvoisiksi. Voit myös valita nimen VECTR NAMES -valikosta, jos vektorin nimiä on määritetty. Vektorin luominen perusnäytössä Määritä vektorin alku merkillä ã. Syötä vektorin alkiot. Erota alkiot toisistaan pilkuilla. Määritä vektorin loppu merkillä ä. Tallenna vektori vektorin nimeen, jonka pituus on 1-8 merkkiä ja joka alkaa kirjaimella. Vektori tulee näyttöön vaakasuunnassa, ja vektorin nimestä tulee VECTR NAMES -valikon vaihtoehto. - 5 P 3 P 9 - X - n ãvä ãeä ãcä ãtä b
5 Luku 12: Vektorit 195 Kompleksilukuvektorin luominen Jos vektorin jokin alkio on kompleksiluku, vektorin kaikki alkiot esitetään kompleksilukumuodossa. Jos esimerkiksi syötät vektorin ã1,2,(3,1)ä, TI-86-laskin tuo näyttöön vektorin ã(1,0) (2,0) (3,1)ä. Voit luoda kompleksilukuvektorin kahdesta reaalilukuvektorista käyttämällä seuraavaa syntaksia: reaaliosavektori+(0,1)imaginaariosavektori kompleksilukuvektorinnimi Reaaliosavektori sisältää kunkin alkion reaaliosan, ja imaginaariosavektori sisältää kunkin alkion imaginaariosan. Vektorin tuominen näyttöön Tuo vektori näyttöön syöttämällä vektorin nimi perusnäyttöön ja painamalla b. Jos haluat tuoda näyttöön vektorinnimen tietyn alkion perusnäytössä tai ohjelmassa, käytä syntaksia vektorinnimi(alkio) Kaksi- ja kolmialkioiset reaalilukuvektoritulokset tulevat näyttöön senhetkisen vektoritilaasetuksen (RectV, CylV tai SphereV, luku 1) mukaisesti. Voit valita vektorin tila-asetuksen kumoavan muuntokomennon VECTR OPS -valikosta (sivu 200). Kompleksilukuvektorit tulevat näyttöön vain suorakulmaisella esitystavalla.
6 196 Luku 12: Vektorit Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen Avaa vektorin Name=-kehotenäyttö. Syötä vektorin nimi. Voit valita sen VECTR NAMES -valikosta tai kirjoittaa sen kirjain kerrallaan. Tuo vektorieditori näyttöön. Muuta vektorin kokoa tai hyväksy koko. - Š ' & b 6 b Siirrä kohdistin minkä tahansa alkion kohdalle ja muokkaa alkiota. Jatka siirtämällä kohdistin muiden alkioiden kohdalle. Tallenna muutokset ja poistu vektorieditorista. # # # 22 # # 13. Muuta alkion arvoa perusnäytössä X-näppäimen avulla. Käytä syntaksia arvo vektorinnimi(alkio)
7 Luku 12: Vektorit 197 Vektorin poistaminen Avaa MEM DELETE:VECTR -näyttö. - ' * Siirrä valintakohdistin ( 4 ) poistettavan vektorin kohdalle. Poista vektori. # b Vektorin käyttö lausekkeessa Vektoria tai vektorin nimeä voidaan käyttää lausekkeessa. Voit syöttää vektorin suoraan lausekkeeseen (esimerkiksi 35Nã5,10,15ä). Voit syöttää vektorin nimen kirjain kerrallaan 1- ja - n -näppäinyhdistelmien avulla. Voit valita vektorin nimen VECTR NAMES -valikosta (- Š &). Voit valita vektorin nimen VARS VECTR -näytöstä (- w / &). Kun suoritat lausekkeen, tulos tulee näyttöön vektorina.
8 198 Luku 12: Vektorit Jos haluat laskea kahden vektorin summan tai erotuksen, vektorina koon on oltava sama kuin vektorinb koko. Kahta vektoria ei voi kertoa keskenään eikä vektoria voi jakaa toisella vektorilla. Matemaattisten funktioiden käyttö vektorin kanssa vektoria+vektorib vektorianvektorib vektori¹arvo tai arvo¹vektori matriisi¹vektori vektori / arvo Mvektori round(vektori [,desimaalit]) Lisää kunkin vektorina alkion vastaavaan vektorinb alkioon; palauttaa summavektorin. Vähentää kunkin vektorinb alkion vastaavasta vektorina alkiosta; palauttaa erotusvektorin. Palauttaa vektorin, joka on reaaliluku- tai kompleksilukuarvon ja reaaliluku- tai kompleksilukuvektorin kunkin alkion tulo. Palauttaa vektorin, joka on vektorin kunkin alkion ja matriisin alkioiden tulo; matriisin pystysarakkeiden määrän ja vektorin alkioiden määrän on oltava sama. Palauttaa vektorin, joka on reaaliluku- tai kompleksilukuvektorin kunkin alkion ja reaaliluku- tai kompleksilukuarvon osamäärä. (vastaluku) Muuttaa vektorin kunkin alkion etumerkin. Pyöristää vektorin kunkin alkion 12 desimaaliin tai määritettyyn desimaalien määrään. vektoria==vektorib Palauttaa arvon 1, jos vastaavien alkioiden vertailu on tosi; palauttaa arvon 0, jos jonkin alkioparin alkiot poikkeavat toisistaan. vektoriaƒvektorib Palauttaa arvon 1, jos ainakin yksi vastaava alkiovertailu on epätosi. ipart vektori fpart vektori Palauttaa vektorin jokaisen reaaliluku- tai kompleksilukualkion kokonaislukuosan. Palauttaa vektorin jokaisen reaaliluku- tai kompleksilukualkion murtolukuosan.
![Matemaattisten funktioiden käyttö vektorin kanssa vektoria+vektorib vektorianvektorib vektori¹arvo tai arvo¹vektori matriisi¹vektori vektori / arvo Mvektori round(vektori [,desimaalit]) Lisää kunkin](/docs-images/45/12179074/images/page_8.jpg "vektorina alkion vastaavaan vektorinb alkioon; palauttaa summavektorin. Vähentää kunkin vektorinb alkion vastaavasta vektorina alkiosta; palauttaa erotusvektorin.")
9 Luku 12: Vektorit 199 int vektori Palauttaa vektorin jokaisen reaaliluku- tai kompleksilukualkion suurimman kokonaisluvun. VECTR MATH -valikko - Š ( NAMES EDIT MATH OPS CPLX cross unitv norm dot cross(vektoria,vektorib) unitv vektori norm vektori dot(vektoria,vektorib) Palauttaa vektorina ja vektorinb ristitulon. Kummankin vektorin on oltava kaksi- tai kolmialkioinen reaaliluku- tai kompleksilukuvektori; muuttujilla esitettynä cross(ãa,b,cä,ãd,e,fä) palauttaa arvon ãbfnce cdnaf aenbdä. Palauttaa reaaliluku- tai kompleksilukuvektorin yksikkövektorin (jokainen alkio on jaettu vektorin itseisarvolla). Palauttaa Frobeus-normin ( G(real 2 +imag 2 )), jossa kaikki reaaliluku- tai kompleksilukuvektorin alkiot lasketaan yhteen. Palauttaa vektorina ja vektorinb pistetulon. Kumpikin vektori voi olla reaaliluku- tai kompleksilukuvektori; muuttujilla esitettynä dot(ãa,b,cä,ãd,e,fä) palauttaa arvon ãad+be+cfä.
10 200 Luku 12: Vektorit VECTR OPS (toiminnot) -valikko - Š ) NAMES EDIT MATH OPS CPLX dim Fill 4Pol 4Cyl 4Sph 4 4Rec li4vc vc4li Syötä pituuden jälkeinen symboli painamalla X. Kompleksilukualkioita voi käyttää vain toiminnoissa li4vc ja vc4li. dim vektori pituus dimvektorinnimi pituus dimvektorinnimi Fill(arvo,VektorinNimi) Palauttaa vektorin koon (eli sen sisältämien alkioiden lukumäärän). Luo uuden vektorinnimen, jonka koko on annettu arvo. Muuttaa vektorinnimen dimension annettua arvoa vastaavaksi. Tallentaa reaaliluku- tai kompleksilukuarvon vektorinnimen jokaiseen alkioon. Seuraavissa muuntofunktioissa kolmialkioisen vektorin muuntoyhtälöt sylinterivektorimuotoon ãr q zä ovat x = r cosq y = r sinq z = z Kolmialkioisen vektorin muuntoyhtälöt pallovektorimuotoon ãr q fä ovat x = r cosq sinf y = r sinq sinf z = r cosf vektori4pol vektori4cyl vektori4sph Esittää 2-alkioisen vektorin napakoordinaatistomuodossa ãr±qä. Esittää 2- tai 3-alkioisen vektorin sylinterikoordinaatistovektorina ãr±q 0ä tai ãr±q zä. Esittää 2- tai 3-alkioisen vektorin pallokoordinaatistovektorina ãr±q 0ä tai ãr±q fä. vektori4rec Esittää 2- tai 3-alkioisen reaalilukuvektorin suorakulmaisella esitystavalla ãx yä tai ãx y zä.
11 Luku 12: Vektorit 201 li4vc joukko vc4li vektori Muuntaa reaaliluku- tai kompleksilukujoukon vektoriksi. Muuntaa reaaliluku- tai kompleksilukuvektorin joukoksi. VECTR CPLX (kompleksiluku) -valikko - * NAMES EDIT MATH OPS CPLX conj real imag abs angle conj vektori real vektori imag vektori abs vektori angle vektori Palauttaa vektorin, jonka kukin alkio on kompleksilukuvektorin vastaavan alkion liittoluku. Palauttaa vektorin, jonka kukin alkio on kompleksilukuvektorin vastaavan alkion reaalilukuosa. Palauttaa vektorin, jonka kukin alkio on kompleksilukuvektorin vastaavan alkion imaginaariosa. Palauttaa reaalilukuvektorin, jonka kukin alkio on joko reaalilukuvektorin vastaavan alkion itseisarvo tai kompleksilukuvektorin vastaavan alkion itseisarvo (moduli). Palauttaa reaalilukuvektorin, jonka kukin alkio on joko 0, jos vektorin alkio on reaaliluku, tai napakoordinaattikulma, jos vektorin alkio on imaginaarinen; napakoordinaattikulmat lasketaan kaavalla tan L1 (imaginaariosa/ reaaliosa), johon lisätään +p toisessa neljänneksessä tai Lp kolmannessa neljänneksessä.
12 202 Luku 12: Vektorit
Matriisit TI -86 F1 F2 F3 F4 F5 M1 M2 M3 M4 M5
13 Matriisit Matriisien luominen... 204 Matriisin alkioiden, vaakarivien ja alimatriisien tuominen näyttöön... 207 Matriisin koon ja alkioiden muokkaaminen... 208 Matriisin poistaminen... 209 Matriisin
11 Joukot TI -86 F1 F2 F3 F4 F5 M1 M2 M3 M4 M5
11 Joukot Joukot TI-86-laskimessa... 172 Joukkojen luominen, tallentaminen ja tarkasteleminen... 173 Joukkoeditori... 177 LIST OPS (toiminnot) -valikko... 181 Matemaattisten funktioiden käyttäminen joukkojen
9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
Sisäisten vakioiden ja omien vakioiden käyttö... 64 Mittayksiköiden muunnokset... 67 Lukujärjestelmät... 72 Kompleksilukujen käyttö...
4 Vakiot, muunnokset, lukujärjestelmät, kompleksiluvut Sisäisten vakioiden ja omien vakioiden käyttö... 64 Mittayksiköiden muunnokset... 67 Lukujärjestelmät... 72 Kompleksilukujen käyttö... 78 TI -86 M1
17 Muistinhallinta. Käytettävissä olevan muistin tarkistus... 266 Tietojen poistaminen muistista... 267 TI-86:n nollaus... 268 TI -86 F1 F2 F3 F4 F5
17 Muistinhallinta Käytettävissä olevan muistin tarkistus... 266 Tietojen poistaminen muistista... 267 TI-86:n nollaus... 268 TI -86 M1 M2 M3 M4 M5 F1 F2 F3 F4 F5 266 Luku 17: Muistinhallinta Käytettävissä
TI-30X II funktiolaskimen pikaohje
0 TI-30X II funktiolaskimen pikaohje Sisältö Näppäimet... 1 Resetointi... 1 Aiempien laskutoimitusten muokkaaminen... 2 Edellisen laskutoimituksen tuloksen hyödyntäminen (ANS) ja etumerkki... 3 DEL ja
Käyttöoppaasi. TEXAS INSTRUMENTS TI-86 http://fi.yourpdfguides.com/dref/2995986
Voit lukea suosituksia käyttäjän oppaista, teknisistä ohjeista tai asennusohjeista tuotteelle TEXAS INSTRUMENTS TI-86. Löydät kysymyksiisi vastaukset TEXAS INSTRUMENTS TI-86 käyttöoppaasta ( tiedot, ohjearvot,
KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
Tilastolliset toiminnot
-59- Tilastolliset toiminnot 6.1 Aineiston esittäminen graafisesti Tilastollisen aineiston tallentamisvälineiksi TI-84 Plus tarjoaa erityiset listamuuttujat L1,, L6, jotka löytyvät 2nd -toimintoina vastaavilta
Funktiot. 3.1 Itse määritellyn funktion lauseke Y = Funktio määritellään Y= -editorissa, jonne päästään näppäilemällä Y =.
0 Funktiot 3.1 Itse määritellyn funktion lauseke Y = Funktio määritellään Y= -editorissa, jonne päästään näppäilemällä Y =. Esim. 1 a) Kirjoita lauseke Y 1 = + 3 (kuva 1) ja paina ENTER. Muuttuja (suuri
Piirtäminen napakoordinaatistossa
8 Piirtäminen napakoordinaatistossa Yleiskatsaus: piirtäminen napakoordinaatistossa... 132 Napakoordinaattikuvaajan määrittäminen... 133 Piirtotyökalujen käyttäminen napakoordinaattipiirtotilassa... 136
TAULUKON TEKEMINEN. Sisällysluettelo
Excel 2013 Taulukon tekeminen Sisällysluettelo TAULUKON TEKEMINEN TAULUKON TEKEMINEN... 1 Tietotyypit... 1 Tiedon syöttäminen taulukkoon... 1 Kirjoitusvirheiden korjaaminen... 2 Alueen sisällön tyhjentäminen...
y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
Kappale 20: Kantaluvut
Kappale 20: Kantaluvut 20 Johdanto: Kantaluvut... 328 Kantalukujen syöttäminen ja muuntaminen... 329 Matemaattiset toiminnot Hex- ja Bin-luvuilla... 330 Bittien vertaileminen ja manipulointi... 331 Huom!
Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7
Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.
MS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.
Luku 1 Ohjeita ohjelmiston Scilab käyttöön 1.1 Ohjelmiston lataaminen Ohjeet ohjelmiston lataamiseen Windows-koneelle. Mene verkko-osoitteeseen www.scilab.org. Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download
WCONDES OHJEET ITÄRASTEILLE (tehty Condes versiolle 8)
WCONDES OHJEET ITÄRASTEILLE (tehty Condes versiolle 8) 1 UUDEN KILPAILUTIEDOSTON AVAUS Avaa Wcondes ohjelma tuplaklikkaamalla wcondes.lnk ikonia. Ohjelma avaa automaattisesti viimeksi tallennetun kilpailutiedoston.
Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin.
3. Yhtälöt Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin. 3.1 Ensimmäisen asteen yhtälöt Ratkaise yhtälö. 3 x ( x 3) 4x 5 Kirjoita tehtävä sellaisenaan, maalaa se ja käytä Interactive
Tekstinkäsittelyn jatko Error! Use the Home tab to apply Otsikko 1 to the text that you want to appear here. KSAO Liiketalous 1
KSAO Liiketalous 1 Lomakkeet Lomake on asiakirja, joka sisältää täyttämistä ohjaavia tietoja tai merkintöjä. Wordin lomakekenttä-toiminnolla luodaan näytöllä täytettäviä lomakkeita tai tulostettavia lomakepohjia.
Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
Excelin käyttö mallintamisessa. Regressiosuoran määrittäminen. Käsitellään tehtävän 267 ratkaisu.
Excelin käyttö mallintamisessa Regressiosuoran määrittäminen Käsitellään tehtävän 267 ratkaisu. 1)Kirjoitetaan arvot taulukkoon syvyys (mm) ikä 2 4 3 62 6 11 7 125 2) Piirretään graafi, valitaan lajiksi
Matriiseista. Emmi Koljonen
Matriiseista Emmi Koljonen 3. lokakuuta 22 Usein meillä on monta systeemiä kuvaavaa muuttujaa ja voimme kirjoittaa niiden välille riippuvaisuuksia, esim. piirin silmukoihin voidaan soveltaa silmukkavirtayhtälöitä.
Harjoitus 2 -- Ratkaisut
Harjoitus -- Ratkaisut Listat a Table-komento Huom. (*-merkki aloittaa kommentin ja *)-merkki päättää sen. Table x, x,. x:n arvo, viimeinen x:n arvo, askelpituus, 4, 9, 6, 5, 36, 49, 64, 8,,, 44, 69, 96,
a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
Yleisohje... 2 Peruslaskutoimitukset... 8 Tieteislaskutoimitukset... 10 Tilastolaskenta... 17
Tieteislaskin Yleisohje... 2 Virta... 2 Näppäimistö... 2 Näytön merkinnät... 3 Esitysmuodot... 3 Laskujärjestys... 5 Korjaaminen... 5 Tarkkuus ja kapasiteetti... 5 Ylivuoto- tai virhetilanteet... 8 Peruslaskutoimitukset...
PERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti 4:n jälkeen 3/4 +5^2
PERUSLASKUJA Matemaattisten lausekkeiden syöttäminen: Kirjoita ilman välilyöntejä /+^2 Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti :n jälkeen / +^2 Kopioi molemmat matematiikka-alueet ja liiku alueen sisällä
Harjoitus 2 -- Ratkaisut
Harjoitus -- Ratkaisut Listat a Table-komento Huom. (*-merkki aloittaa kommentin ja *)-merkki päättää sen. In[5]:= Table x, x,. x:n arvo, viimeinen x:n arvo, askelpituus Out[5]=, 4, 9,, 5, 3, 49, 4, 8,,,
Oppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata
Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
Taulukot, taulukkoryhmät Sisällysluettelo
Excel 2013 Taulukot, taulukkoryhmät Sisällysluettelo TAULUKKORYHMÄT TAULUKOIDEN VÄLISET KAAVAT, FUNKTIOT YM.... 1 Taulukon lisääminen työkirjaan... 1 Taulukon (välilehden) poistaminen työkirjasta... 1
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
Kirjoita oma versio funktioista strcpy ja strcat, jotka saavat parametrinaan kaksi merkkiosoitinta.
Tehtävä 63. Kirjoita oma versio funktiosta strcmp(),joka saa parametrinaan kaksi merkkiosoitinta. Tee ohjelma, jossa luetaan kaksi merkkijonoa, joita sitten verrataan ko. funktiolla. Tehtävä 64. Kirjoita
OHJELMOITAVA LASKIN SHARP EL-9400 PEREHTYMINEN ERIKOISNÄPPÄIMIIN
OHJELMOITAVA LASKIN SHARP EL-9400 PEREHTYMINEN ERIKOISNÄPPÄIMIIN Virta päälle ja pois Ohjelmatila päälle Paluu laskintilaan yleisesti!!! Laskinasetukset: Kulma yms. A.Kontr. B.Muisti (EI: C-E) Luku muistipaikkaan
Tekstinkäsittelyn jatko KSAO Liiketalous 1. Osanvaihto näkyy näytöllä vaakasuorana kaksoispisteviivarivinä ja keskellä riviä lukee osanvaihdon tyyppi
KSAO Liiketalous 1 Osat Tiedosto voidaan jakaa osiin ja jokainen osa muotoilla erikseen. Osa voi olla miten pitkä tahansa, yhdestä kappaleesta kokonaiseen tiedostoon. Osanvaihto näkyy näytöllä vaakasuorana
Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.
Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.
Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
VEKTORIT paikkavektori OA
paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j
Ohjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 9.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 9.2.2009 1 / 35 Listat Esimerkki: halutaan kirjoittaa ohjelma, joka lukee käyttäjältä 30 lämpötilaa. Kun lämpötilat
Muuttujien määrittely
Tarja Heikkilä Muuttujien määrittely Määrittele muuttujat SPSS-ohjelmaan lomakkeen kysymyksistä. Harjoitusta varten lomakkeeseen on muokattu kysymyksiä kahdesta opiskelijoiden tekemästä Joupiskan rinneravintolaa
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.
Kääreluokat (oppikirjan luku 9.4) (Wrapper-classes)
Kääreluokat (oppikirjan luku 9.4) (Wrapper-classes) Kääreluokista Javan alkeistietotyypit ja vastaavat kääreluokat Autoboxing Integer-luokka Double-luokka Kääreluokista Alkeistietotyyppiset muuttujat (esimerkiksi
1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen
Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
Ponnahdusikkunoiden ja karttatekstien hallitseminen ArcGIS Online kartoissa
Ponnahdusikkunoiden ja karttatekstien hallitseminen ArcGIS Online kartoissa Ponnahdusikkunoiden ja karttatekstien hallitseminen ArcGIS Online kartoissa... 1 1. Mikä on ponnahdusikkuna... 1 2. Ponnahdusikkunan
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
Ohjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 7.2.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 7.2.2011 1 / 39 Kännykkäpalautetteen antajia kaivataan edelleen! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti
Osaamispassin luominen Google Sites palveluun
n luominen Google Sites palveluun Mikä Osaamispassi on? Osaamispassi auttaa kertomaan taidoistasi, koulutuksestasi, työkokemuksestasi ja sinua kiinnostavista asioista työnantajalle kun haet työtä. Osaamispassi
Sisältö SUOMI Tilastolaskenta Näyttön... s.184 Näin Pääset Alkuun Kehittyneet Tieteelliset Laskut Lausekkeiden ja Arvojen Syöttäminen
Sisältö Tilastolaskenta Tilasttyypin Valinta... s.198 Tilastotietoen Syöttö... s.198 Tilastolaskennan näytetietojen Muokkaaminen... s.198 Tilastolaskentaruutu... s.199 Tilastovalikko... s.199 Statistiskt
110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
Tekstinkäsittelyn jatko. KSAO Liiketalous 1
KSAO Liiketalous 1 Tyylien käyttö on keskeinen osa tehokasta tekstinkäsittelyä. Merkki- ja kappalemuotoilujen tallentaminen valmiiksi tyyleiksi nopeuttavat tekstinkäsittelyä; tekstin kirjoittamista ja
Työvälineohjelmistot KSAO Liiketalous 1
KSAO Liiketalous 1 Osat Tiedosto voidaan jakaa osiin ja jokainen osa muotoilla erikseen. Osa voi olla miten pitkä tahansa, yhdestä kappaleesta kokonaiseen tiedostoon. Osanvaihto näkyy näytöllä vaakasuorana
Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää
Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta
Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (2/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (3/5)
Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Aiemmin olemme jo antaneet muuttujille alkuarvoja, esimerkiksi: int luku = 123; Alkuarvon on oltava muuttujan tietotyypin mukainen, esimerkiksi int-muuttujilla kokonaisluku,
plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)
[] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä
Nokia autoluuri Asennusohje Käyttöopas
Nokia autoluuri Asennusohje Käyttöopas HSU-4 CUW-3 9232831 2. painos 2004-2006 Nokia. Kaikki oikeudet pidätetään. Tämän asiakirjan sisällön jäljentäminen, jakeleminen tai tallentaminen kokonaan tai osittain
4 Google. Eetu Kahelin ja Kimi Syrjä DAT 17
4 Google Eetu Kahelin ja Kimi Syrjä DAT 17 Googleen siirtyminen Avaa Firefox- tai Google Crome selain Siirry näkymättömään tilaan Google Cromessa näppäinyhdistelmällä (Ctrl + Shift + N) ja Firefoxissa
Taulukkolaskenta. Microsoft Excel 2007 SYVENTÄVÄ MATERIAALI. Kieliversio: suomi Materiaaliversio 1.0 päivitetty 30.9.2008
Taulukkolaskenta SYVENTÄVÄ MATERIAALI Microsoft Excel 2007 Kieliversio: suomi Materiaaliversio 1.0 päivitetty 30.9.2008 materiaalimyynti@piuha.fi Tämän materiaalin kopioiminen ilman tekijän lupaa kielletään
Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
Luento 5. Timo Savola. 28. huhtikuuta 2006
UNIX-käyttöjärjestelmä Luento 5 Timo Savola 28. huhtikuuta 2006 Osa I Shell-ohjelmointi Ehtolause Lausekkeet suoritetaan jos ehtolausekkeen paluuarvo on 0 if ehtolauseke then lauseke
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
KÄYTTÖOHJE / Ver 1.0 / Huhtikuu WordPress KÄYTTÖOHJE Sotkamo 2016
/ / WordPress KÄYTTÖOHJE Sotkamo 2016 Sisältö Sisältö 1. Yleistä 2. Kirjautuminen ylläpitoon 2.1. Kirjaudu osoitteessa: http://sotkamo.valudata.fi/admin Myöhemmin: http://www.sotkamo.fi/admin 2.2 Salasana
Yleistä vektoreista GeoGebralla
Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99
Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)
Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
Verkkoliittymän ohje. F-Secure Online Backup Service for Consumers 2.1
Verkkoliittymän ohje F-Secure Online Backup Service for Consumers 2.1 F-Secure Online Backup Service for Consumers -verkkoliittymän ohje... 2 Johdanto... 2 Mikä F-Secure Online Backup Service for Consumers
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
Tilastotoiminnot. Seuraavien kahden esimerkin näppäinohjeet on annettu kunkin laskinmallin kohdalla:
Tilastotoiminnot Seuraavien kahden esimerkin näppäinohjeet on annettu kunkin laskinmallin kohdalla: Muuttuja Frekvenssi 7 12 8 16 9 11 10 8 Tilastomoodin valinta. Tilastomuistin tyhjennys. Keskiarvon ja
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden
Ohjeistus yhdistysten internetpäivittäjille
Ohjeistus yhdistysten internetpäivittäjille Oman yhdistyksen tietojen päivittäminen www.krell.fi-sivuille Huom! Tarvitset päivittämistä varten tunnukset, jotka saat ottamalla yhteyden Kristillisen Eläkeliiton
Condes. Quick Start opas. Suunnistuksen ratamestariohjelmisto. Versio 7. Quick Start - opas Condes 7. olfellows www.olfellows.net 1.
Condes Suunnistuksen ratamestariohjelmisto Versio 7 Quick Start opas Yhteystiedot: olfellows Jouni Laaksonen Poijukuja 4 21120 RAISIO jouni.laaksonen@olfellows.net www.olfellows.net olfellows www.olfellows.net
Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3
: http://users.metropolia.fi/~pasitr/2014-2015/ti00aa43-3004/kt/03/ratkaisut/ Tehtävä 1. (1 piste) Tee ohjelma K03T01.cpp, jossa ohjelmalle syötetään kokonaisluku. Jos kokonaisluku on positiivinen, niin
TAULUKKORYHMÄT. Sisällysluettelo
Excel 2010 Taulukkoryhmät Sisällysluettelo TAULUKKORYHMÄT TAULUKOIDEN RYHMITTÄMINEN... 1 Ryhmän luominen... 1 Ryhmän purkaminen... 1 Tietojen kirjoittaminen, muotoilu ym.... 1 Tietojen kopioiminen taulukosta
1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
Kun tulostuksessa ilmenee muotoiluvirheitä
Kun työ lähetetään tulostimeen, tulostinajurilla voidaan määrittää, että työ säilytetään muistissa. Kun pidätetty työ halutaan tulostaa, se valitaan tulostettavaksi tulostimen käyttöpaneelista. Lisätietoja
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [