HELSINGIN YLIOPISTO Maemaais-Luonnonieeellinen iedekuna Maemaiikan ja ilasoieeen laios STOKASTISIA MALLEJA SÄHKÖN HINNOITTELUUN Sanni Sieviläinen Pro Gradu-ukielma Ohjaaja: Dario Gasbarra 3. syyskuua 215
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekuna/Osaso Fakule/Sekion Faculy Laios Insiuion Deparmen Maemaais-luonnonieeellinen Tekijä Förfaare Auhor Sanni Sieviläinen Työn nimi Arbees iel Tile Maemaiikan ja ilasoieeen laios Sokasisia malleja sähkön hinnoieluun Oppiaine Läroämne Subjec Maemaiikka Työn laji Arbees ar Level Aika Daum Monh and year Sivumäärä Sidoanal Number of pages Pro gradu -ukielma Elokuu 215 58 s. Tiiviselmä Refera Absrac Sähkö on olennainen osa nyky-yheiskunaa. Muisa hyödykkeisä poikeen sähköä ei voida varasoida vaan se äyyy oimiaa ieyn kauden ai ajanheken ajan. Tämän ominaisuuden akia sähkön hinnoielu poikkeaa muiden hyödykkeiden hinnoielusa. Sähkömarkkina kehiyvä jakuvasi ja ämä kasvaaa johdannaisen kysynää ja äen myös niiden hinnoielun arvea. Tämän ukielman arkoiuksena on esiellä sähkön hinamalleja joka sekä heijasava sähkön hinnan ominaisuuksia eä soveluva johdannaisen hinnoieluun. Käsielemme sähkömarkkinoiden yleisimpiä uoeia ja niiden hinnoielua erillaisia malleja hyödynämällä. Tukielma on jaeu seisemään lukuun. Ensimmäinen luku on johdano. Toisessa luvussa käsielemme pohjoismaisia sähkömarkkinoia ja uoeia joilla käydään kauppaa niin sähköpörsissä kuin sen ulkopuolella. Kolmannessa luvussa esielemme ukielman kannala oleellisia esiieoja addiiivisen prosessien sokasisesa analyysisä, joa arviaan sähkön hinnan mallinamiseen. Neljännessä luvussa esielemme sokasisia prosesseja sähkömarkkinoiden spo-hinnan mallinamiseen. Spo-hinaa käyeään referenssinä johdannaissopimusen hinnoielussa ja on äen ärkeä niiden hinadynamiikkojen mallinamisessa. Sähkömarkkinoiden spo-hinnan ominaisuuksien vuoksi käyämme Ornsein-Uhlenbeck prosessia joka on keskiarvoon hakeuuva prosessi joka sisälää hyppyjä. Määrielemme usean muuujan malleja, joka perusuva ei-gaussisen Ornsein-Uhlenbeck prosessien summaan sekä hiaammin keskiarvoon hakeuuviin prosesseihin, joia ajaa Brownin liike. Käsielemme sekä geomerisiä eä arimeeisiä malleja. Viidennessä luvussa käsielemme forwardien ja fuuurien hinnoielua spo-hinnan peruseella. Hyödynnämme Girsanov ja Esscher muunnosa geomerisen forward hinnan määrielemiseksi. Luvussa kuusi esielemme forwardi- ja fuuuri-sopimusen hinnoielua Heah-Jarrow-Moron meneelmällä. Hinnoielumallin mukaan hinadynamiikka mallinneaan suoraan ilasoja hyödynämällä spo-hinamallin käyämisen sijaan. Luvun lopussa käsielemme LIBOR markkinamalliin perusuvaa meneelmää fuuuri-sopimusen hinnoieluun. Tukielman viimeisessä kappaleessa käsielemme sähköopioiden hinnoielua ja suojausa. Keskiymme eurooppalaisiin opioihin joissa kohde-euuena on joko forward- ai fuuuri-sopimus. Käsielemme erikseen malleja. joka sisälävä hyppyjä ja malleja, joka eivä sisällä hyppyjä. Kun malli sisälävä hyppyjä käyämme Fourier muunnosa hinnoielussa. Analysoimme opioiden hinadynamiikkaa sekä derivoimme dela suojauksen useille malleille ja opioille. Tukielman lopuksi arkaselemme sekä aasialaisia eä hajona opioia joka ova sähkömarkkinoille relevaneja eksooisia opioia. Avainsana Nyckelord Keywords Sähkömarkkina, OU prosessi, HJM meneelmä, johdannaisen hinnoielu Säilyyspaikka Förvaringssälle Where deposied Kumpulan iedekirjaso Muia ieoja Övriga uppgifer Addiional informaion
Sisälö 1 Johdano 4 2 Pohjoismaise sähkömarkkina 6 2.1 Nord Pool.................................... 6 2.1.1 Fyysise markkina........................... 7 2.1.2 Finanssimarkkina........................... 8 3 Esiieoja 1 3.1 Määrielmiä................................... 1 3.2 Laskuri mia.................................. 12 3.3 Lévy-Kinchine dekomposiio ja semimaringaali.............. 14 4 Sokasisia Malleja Spo Hinadynamiikalle 15 4.1 Spo hinnan mallinaminen Ornsein-Uhlenbeck prosesilla.......... 16 4.2 Geomerinen spo-hina malli......................... 19 4.3 Arimeise malli................................ 22 5 Forwardien ja fuuurien hinnoielu spo-hinnan peruseella 24 5.1 Riski-neuraali forwardien ja fuuurien hinnoielu malli........... 24 5.2 Riski-neuraali odennäköisyyde ja Esscherin muunnos.......... 25 5.2.1 Girsanovin muunnos.......................... 26 5.2.2 Esscherin muunnos........................... 27 5.3 Geomerinen forward-sopimusen hinnoielu................. 29 6 Forwardien ja fuuurien mallinnus Heah-Jarrow-Moron meneelmällä 34 6.1 Peruselu.................................... 34 6.2 Forwardien mallinnus HJM meneelmällä................... 36 6.3 Fuuurien mallinnus HJM meneelmällä.................... 37 6.4 Markkinamalli.................................. 38 2
7 Opion hinnoielu ja suojaus 41 7.1 Forward ja fuuuri opioiden hinnoielu ja suojaus............. 41 7.1.1 Mallinnus ilman hyppyjä........................ 42 7.1.2 Malli jossa on hyppyjä......................... 46 7.2 Eksooise opio................................ 5 7.2.1 Hajona Opio............................. 51 7.2.2 Aasialaise opio............................ 55 3
Luku 1 Johdano Sähkö on olennaisen ärkeää nykyyheiskunnalle. Sähkömarkkinoiden avaaminen vapaalle kilpailulle on luonu markkinoiden osapuolille mahdollisuuden suojaa sähkön hinnan. Sähkömarkkina kehiyvä koko ajan, ämä kasvaaa johdannaisen kysynää ja äen myös niiden hinnoielu arvea. Sähkömarkkina eroava muisa hyödykemarkkinoisa kahdella merkiävällä avalla. Kuen muia hyödykkeiä sähköa voidaa osaa, myydä sekä kuluaa mua muisa hyödykkeisä poikeen sähköä ei voida varasoida. Tai ei ainakaan ehokkaalla avalla joka olisi kannaavaa suurissa määrin. Tämän akia arbiraasieorian uloksien hyödynäminen hinnoielussa on riskialisa. Täsä ominaisuudesa johuen sähkömarkkinoilla ilmenee myös suuria yli- ja alijäämiä joka ilmenevä joskus merkiävinä hinnan heilahduksina pienellä aikavälillä. Toinen sähkömarkkinoiden erikoispiirre on sähkön oimius. Sähköä ei voida oimiaa vain ieynä ajanhekenä niin kuin muia hyödykkeiä, vaan se äyyy oimiaa ieyn kauden ajan. Sähkömarkkinoiden yleisimpiä uoeia ova spo, fuuuri ja forward-sopimukse sekä opio joissa kyseise sopimukse ova kohde-euuena. Sähkömarkkinoiden mallinnus voidaankin jakaa kolmeen osioon: spo-hinnan mallinnus, fuuurien ja forwardien mallinnus sekä derivoini ja opioiden hinnoielu. Organisoidu markkina luova arpeen johdonnmukaisille sokasisille malleille joka kuvaava uoeiden hinojen kehiysä. Kyseisen mallien ulee heijasaa sähkön hinnan ominaisuuksia sekä sovelua analyyiseen arkaseluun kuen johdannaisen hinnoieluun. Sähkön spo-hinnalla on useia ominaisuuksia joisa merkiävimmä ova kausiain vaihelevaan keskiarvoon hakeuuminen sekä usein esiinyvä piiki, joka johuva uoannon ja kuluuksen epäasapainosa. Luonnollinen joukko sokasisia malleja, joka äyävä edellä mainiu krieeri, ova Ornsein- Uhlenbeck prosessi. Tulemme käyämään kyseisä keskiarvoon hakeuuvaa sokasisa prosessia läpi koko ukielman. Kuen edellä mainiiin sähköä ei voida oimiaa vain ieynä ajanhekenä vaan se 4
äyyy oimiaa ieyn kauden ajan. Tämän akia fuuuri ja forward-sopimuksille äyyy aina määriellä oimiuskausi, jonka aikana sähköä oimieaan. Sähkömarkkinoilla ulevaisuuden hinojen derivoini spo-hinnasa ei ole yksikäsieisä ja riippuu riskineuraalin mian valinnasa sekä käyeävän mallin luoneesa. Tulevien hinojen laskeminen eksponeniaalisisa spo-hina malleisa on eknisesi haasavaa sopimusen oimiuskauusien akia, kun aas arimeeise malli ova käyökelpoisia analyyiselle hinnoielulle. Heah-Jarrow-Moron hinnoielu mallin mukaan uleva hinna mallinneaan suoraan ilasoja hyödynämällä, mua myös ällöin oimiuskausi aiheuaa hankaluuksia sillä käy ilmi eä, on hankalaa löyää arbiaasi vapaia malleja, joka ova mukauuvia sekä ilasollisesa eä eoreeisesa näkökulmasa. Tässä ukielmassa käsiellään sähkömarkkinoiden yleisimpien uoeiden hinnoielua yllä mainiuja hinnoielu malleja hyödynämällä. Tukielman perusana oimii kirja Sochasic Modelling of Elecriciy and Relaed Markes [1]. Tukielman arkoius on esiää sähkömarkkinoiden hinnoieluun liiyvä eoria maemaaisesi ja perehyä edellä mainiun eoksen uloksiin. 5
Luku 2 Pohjoismaise sähkömarkkina Suomi on ollu Iso-Briannian, Ruosin ja Norjan kanssa maailman ensimmäisen joukossa avaamassa sähkömarkkinoiaan vapaalle kilpailulle. Sähkömarkkinoiden ehokas oimina edellyää avoimuua ja vapaaa kilpailua. Markkinoilla sähköä uoeaan kulloinkin muuuvilla kusannuksilla edullisimmalla uoanoavalla. Kalleimma uoanoava oeaan käyöön kun sähköä arviaan hekellisesi paljon. Suomessa kylmä ja pimeä alve aiheuava suuren vaihelun sähkönkuluuksessa vuoden ajan mukaan. Sähkön ukkuhina määräyyy sähkön kysynnän ja arjonnan peruseella. Kuluajan sähkölaskuun sisälyy myös sähkökaupan kuluja, sähkön siiromaksuja sekä sähköveroa. Vuodesa 1998 koialoude ova voinee kilpailuaa sähkön myyjänsä. Sähkön siirokuluja ei voi kilpailuaa sillä kuluaja ei hyöyisi useiden sähköverkkojen rakenamisesa. Suomessa eollisuus käyää noin puole kulueusa sähkösä. Toisaala moni eollisuusyriys omisaa oman voimalaioksen. Pohjoismaisesa sähkönkuluuksesa noin 7% oseaan ja myydään sähköpörssin (Nord Pool Spoin kaua. Pohjoismaise sähkömarkkina voidaan jakaa sähköpörsissä käyävään kauppaan ja OTC-markkinoihin (Over he Couner. Sähköpörsisä sähköä osava eollisuuslaiokse sekä jälleenmyyjä. Sähkön kuluuksen ennusuksilla on suuri vaikuus sähkön hankinnan ja myynin suunnielussa. Ennusuksisa huolimaa välillä voi olla yli- ai alijäämää. Sähkön uoannon ja kuluuksen äyyy olla asapainossa joka heki, ehoasapainon säilyäminen hoideaan sääösähkömarkkinoiden avulla. 2.1 Nord Pool Nord Pool on pohjoismaiden ja Balian maiden kanaverkkoyhiöiden omisama sähköpörssi. Pörssikaupan ydin on sähkön spo-kauppa jossa sähkön hina vaihelee markkinailaneen mukaisesi. Koska sähköpörssi muodosaa perusan kaikille sähkön markkinoille, hinavaihelu heijasuu samalla OTC-markkinoille. Hinavaihelu on luonu myös arpeen 6
sähkön johdannaismarkkinoille. Nord Poolissa käydään kauppaa fyysisillä uoeilla, jossa sähkö vaihaa omisajaa, ja nanssiuoeilla, jossa ehdään oso- ja myynisopimuksia sähkön ulevasa hinaasosa. Over he couner eli OTC- markkinoilla arkoieaan kaikkea sähköpörssin ulkopuolella käyävää kauppaa. Koska kauppaa ei käydä pörssin kaua OTC-markkinoilla on aina olemassa vasapuoliriski, eli pysyykö ja haluaako sopimuksen vasapuoli suoriuua velvoieesaan. 2.1.1 Fyysise markkina Nord Pool Spo AS vasaa fyysisisä markkinoisa. Kaupankäyni fyysisillä uoeilla johaa aina sähkön oimiukseen. Sähkön fyysisä pörssikauppaa käydään päiviäin huuokauppana seuraavan vuorokauden unneille. Fyysise pörssimarkkina jakauuva Elspoja Elbas-markkinoihin. Elspo-markkina Nord Poolin Elspo-markkinoilla sähkölle määräään hina seuraavan vuorokauden jokaiselle unnille markkina osapuolen oimiamien oso- ja myyniarjousen peruseella. Oso- ja myyniarjoukse läheeään päiviäin kello 13 mennessä Nord Pool Spo:iin nimeömänä ja ieämää muiden markkinaosapuolen arjouksisa. Tarjoukse koskeva ieyä sähkön määrää joka kohdisuu yhdelle ai useammalle seuraavan vuorokauden unneisa (blokkiarjous. Sähköpörssi yhdisää arjoukse kysynä- ja arjonakäyriksi joiden leikkauspiseessä määräyyy sähkön niin sanou syseemihina ai spo-hina jolla kaikki kaupankäyni käydään. Tää spo-hinaa käyeän referenssihinana sähköpörssin nanssimarkkinoilla. Tällöin kaikella uoannolla on markkinoilla sama asema ja hina uoanoavasa huolimaa. Spo-hinnan laskemisen yheydessä selviää samalla sähkön siiroarve eri kaupankäynialueiden välillä. Jos alueiden välinen sähkön siirokapasieei ei riiä siirojen oeuamiseen, sähkön alijäämä-alueella sähkön hina nousee kun aas yliarjona-aluella hina laskee. Tällöin synyy niin sanou aluehinna. Elbas-markkina Elbas markkina kaaa pohjoismaise aluee sekä Saksan ja oimiva Elspo-kaupankäynnin jälkimarkkinana. Elbas-markkinoilla oimiva markkinaakaaja, joka ova ehnee Nord Pool Spoin kanssa sopimuksen siiä, eä markkinoilla on aina myyni- ja osoarjouksia. Kauppa käydään spo-hinnan muodosumisen jälkeen. Tämä järjesely paranaa markkinoiden likvidieeiä. Elbasissa kauppa käydään läpi vuorokauden ja kuen Elspo-markkinoilla sopimukse ehdään jokaiselle unnille erikseen kysynnän ja arjousen mukaan. Kauppa 7
synyy kun oso- ja myynihinna kohaava. Kauppa äyyy käydä viimeisään uni ennen oimiusa. Toisin kuin Elspo-markkinoilla Elbas sallii saman fyysisen sopimuksen myynnin moneen keraan ennen oimiusa. 2.1.2 Finanssimarkkina Finanssimarkkinoilla arkoieaan sähkön johdannaissopimuskauppaa. Johdannaisen avulla sähkön osaja ja myyjä suojaava sähkön hinnan ieyksi ajaksi. Johdannaiskaupalla voidaan myös pyrkiä kasvaamaan oiminnan uooa. Pohjoismaissa johdannaiskauppaa käydään NASDAQ OMX Commodiies ylläpiämillä johdannaismarkkinoilla sekä OTCmarkkinoilla. Kaupankäynnin koheena on sekä nanssijohdannaisia eä fyysiseen oimiukseen johavia johdannaisia. Johdannaissopimukse voidaan oeuaa joko oimiussopimuksilla, jolloin kohde-euus oimieaan osajalle, ai rahoiussopimuksilla, joissa oeuus apahuu neoarvon iliyksellä, eli sopimuksen oeusushinnan ja spo-hinnan erouksena. Toisin kuin kohde-euuden oimiuksessa neoarvon iliykseen ei sisälly avaran fyysisä luovuamisa. Pörsissä ehdy johdannaissopimukse eivä johda sähkön fyysiseen oimiukseen. Johdannaissopimus ehdään kahden osapuolen välillä, joisa oinen myy eli aseaa ja oinen osaa johdannaisen. Johdannaisen myyjällä on hallussaan johdannaisen lyhy posiio (shor posiion ja johdannaisen osajalla on halussaan pikä posiio (long posiion. Finanssimarkkinoilla kauppaa käydään fuuureilla, forwardeilla, opiosopimuksilla sekä aluehinauoeilla (CfD, Conracs for Dierences. Aluehinauoeilla voidaan kaaa se osa johdannaissuojauksesa, joka jää avoimeksi aluehinnan eroessa syseemihinnasa. CfD määriellään aluehinnan ja spo-hinnan erouksena. Fuuuri ja forwardi Fuuuri ja forwardi ova sioumuksia, joka velvoiava osajaa osamaan ja myyjää myymään ieyn määrän hyödykeä ieyyn hinaan sopimuksessa määrieynä aikana. Fuuureilla voidaan suojaa ulevaisuuden hinariskiä lyhyellä ajanjaksolla kun aas forwardi ulouva pisimmillään viiden vuoden päähän kaupankäyniajankohdasa. Pörsissä käydään kauppaa ainoasaan fuuureilla joilla on yhden päivän ai yhden viikon oimiusaika. Lisäksi arjolla on forward-sopimuksia kuukauden, vuosineljänneksen ja vuoden oimiusajoilla. Fuuuri ja forward-sopimusen hina määräyyy kohde-euuena olevan spo-hinnan mukaan. Sopimuksen halija joko saa ai maksaa spo-hinnan ja fuuuri/forwardin hinnan erouksen päiviäin oimiuskauden ajan. Mikäli spo hina on sopimushinaa alhaisempi, osaja maksaa myyjälle erouksen, ja vasaavasi jos spo hina on sopimushinaa korkeampi, myyjä maksaa erouksen osajalle. Fuuurissa posiion voio ja appio ne- 8
oeaan päiviäin alkaen sopimuksen eko hekesä ja jakuu sopimuksen oeuusajan loppuun. Forwardissa posiion voio ai appio neoeaan vasa forwardin eräännyyä. Opio Opiosopimus oikeuaa hyödykkeen osamiseen ai myymiseen sopimus ehojen mukaisesi mua ei velvoia opion halijaa käyämään oikeua. Pörssissä noeerau opio ova eurooppalaisia sähköopioia, joissa kohde-euuena käyeään nanssi-markkinoiden forward-sopimuksia. Opio koskeva kvaraali- ja vuosisopimuksia. 9
Luku 3 Esiieoja Kerraaan aluksi ässä ukielmassa käyeäviä käsieiä ja määrielmiä. Esiieona oleamme eä lukija unee ödennäköisyyseorian sekä sokasisen prosessien eä maemaaisen rahoiuseorian peruskäsiee. Tavoieena on anaa lukijalle arviava ieo addiiivisen prosessien sokasisesa analyysisä, joa arviaan sähkön hinnan mallinamiseen. 3.1 Määrielmiä Olkoon kolmikko (Ω, F, P äydellinen odennäköisyysavaruus, jossa Ω on perusjoukko joka muodosuu kaikisa mahdollisisa alkeisapauksisa. Joukko F on perusjoukon Ω σ - algebra ja P on odennäköisyysmia miaavaruudelle (Ω, F. Filraaio F = (F :, jossa F F s F F kaikilla s, on kasvava kokoelma F:n ali-σ -algebroia. F -miallisa kuvausa X : Ω R d kusuaan saunnaismuuujaksi ja ajan suheen paramerisoiua saunnaismuuuja perheä {X(} kusuaan sokasiseksi prosessiksi. Määrielmä 3.1. Sokasinen prosessi X( on F -sopiva jos X( on F -miallinen jokaisella. Määrielmä 3.2. Prosessi X( on niin sanou càdlàg prosessi jos sen polu X(, ω ova oikeala jakuvia jokaisella ja sillä on vasemmanpuoleise raja-arvo kun >. Määrielmä 3.3. F -sopiva sokasinen càdlàg prosessi I(, jolle päee I( =, on 1
addiiivinen prosessi jos (1 prosessilla I on riippumaoma lisäykse eli saunnaismuuuja I(, I( 1 I(,..., I( n I( n 1 ova riippumaoma kaikilla jaoilla <... < n kun n 1, (2 prosessi I on sokasisesi jakuva ei kaikilla ja ε > päee lim P( I(s I( > ε =. s Jos lisäämme yllä olevaan määrielmään ehdon lisäysen saionaarisuudesa, eli I( I(s ja I( s ova samoin jakauuneia kaikille s >, niin prosessi on Lévy prosessi. Lisäksi jos oleamme eä Lévy prosessilla L( on normaalijakauunee lisäykse L( L(s odousarvolla nolla ja varianssilla ( s prosessi on Brownin liike B(. Addiiivisen prosessin karakerisinen funkio on määriely seuraavan proposiion mukaisesi. Proposiio 3.4. Addiiivisen prosessin I( karakerisiinen funkio on kaikilla s <, θ R ja E[exp(iθ(I(s I(] = exp(ψ(s, ; θ (3.5 ψ(s, ; θ =iθ(γ( γ(s 1 2 θ2 (C( C(s (e iθz 1 iθz1 z 1 l(dz, du. (3.6 s R Funkio ψ(s, ; θ on prosessin I( kumulani funkio ja (γ(, C(, l on addiiivisen prosessin generoiva kolmikko jolla on ominaisuude (1 γ : R R on jakuva funkio jolla γ( =, (2 C : R R on ei vähenevä ja jakuva sekä C( =, (3 l on σ äärellinen mia Borel σ-algebrasa [, R, jolla on seuraava ominaisuude ja l(a {} =, l({} R =, kun ja A B(R R min(1, z 2 l(ds, dz <. 11
Mia l sääää addiiivisen prosessin hyppyjä, C on jakuvan maringaali-osaan kovarianssi ja γ on prosessin drifi. Jos mia l voidaan kirjoiaa muodossa l(ds, dz = ds l(dz, ja γ( = γ sekä C( = c joillain vakioilla γ ja c, saamme yhälön ψ(, s; θ = ( s ψ(θ jossa ψ(θ = iθγ 1 2 θ2 c (e iθz 1 iθz1 z 1 l(dz. Funkio ψ on Lévy prosessin L kumulanigeneroiva funkio. R Määrielmä 3.7. Sanomme eä addiiivinen prosessi I( on puhaasi hyppyinen silloin kun C(. Määrielmä 3.8. Olkoon τ : Ω [, ] saunnainen ajanheki. Sanoaan eä τ on F pysähdysheki jos ja vain jos jokaisella [, ]. {ω Ω τ(ω } F, Määrielmä 3.9. Adapoiu càdlàg-prosessi M( on maringaali lraaion F suheen jos ja vain jos M( L 1 (P jokaisella ja jokaisella s päee E[M( F s ] = M(s. Sanomme eä M( on lokaali maringaali jos löyyy sellainen jono (τ n pysähdyshekiä, eä τ n ja M( τ n on maringaali. 3.2 Laskuri mia Addiiivisen prosessin I( laskuri mia on > N((, ] U = s 1 I(s U jossa U on joukon R \ {} Borel osajoukko. Koska prosessilla I( on càdlàg polu yllä oleva summa on äärellinen kun l(u <. Näin ollen N on laskuri mia (random jump 12
measure Borel osajoukolle U, joka ilmaisee suurudelaan joukkoon U kuuluvien hyppyjen määrän aikavälillä (, ]. Koska prosessin I lisäykse ova riippumaoma niin myös prosessi N((, ] U on addiiivinen prosessi. Laskuri mian N kompensaaori mia on ν((, ] U = E[N((, ] U] ja päee eä prosessi N((, ] U ν((, ] U on lokaali maringaali. Käy ilmi eä ν ja l yhyvä ja kompensaaori miaa kusuaan Lévy miaksi jos prosessi on Lévy prosessi. Se miaa ieyn kokoisen hyppyjen odoeavissa olevaa määrää ieyllä aikavälillä. Joa voimme määriellä yheyden semimaringaaaleihin meidän on esieävä määrielmiä liiyen laskuri mian sokasiseen inegroiniin. Keskiymme ennuseaviin reaaliarvoisiin saunnaiskeniin X(, z, ω joka ova määrielyjä joukolle [, R Ω. Määrielmä 3.1. F-ennuseava σ-algebra lraaion F suheen on pienin σ-algebra avaruudessa [, ] Ω jonka suheen vasemmala jakuva ja F-sopiva kuvaukse ova miallisia. (ω, X(ω, Määrielmä 3.11. Sokasinen prosessi Y (, ω joka on miallinen F-ennuseavan σ- algebran suheen sanoaan F-ennuseavaksi. Tämä arkoiaa eä on olemassa jono vasemmala jakuvia ja F-sopivia prosesseja Y n (, ω jolla Y n (, ω Y (, ω kaikilla, ω. Määrielmä 3.12. Saunnaiskenä X(, z, ω on F-ennuseava jos se on miallinen P B(R σ-algebran suheen jossa P on F-ennuseava σ-algebra. Ennuseaville saunnaiskenille voidaan ieyillä inegroiuvuus ehdoilla määriellä sokasise inegrandi joka ova muooa X(s, zn(ds, dz, ja R\{} R\{} X(s, zñ(ds, dz. Yllä merkinä Ñ arkoiaa kompensoiua laskuri miaa ja Ñ = N l. Inegraali ova määrielyjä eri avalla inegrandejen inegroiuvuus ehojen mukaan. 13
3.3 Lévy-Kinchine dekomposiio ja semimaringaali Päee eä ja prosessi I(s1 I(s 1 = s z <1 z 1 zñ(ds, dz zn(ds, dz, on neliöinegroiuva lokaali maringaali. Prosessille I( voidaan derivoida seuraava esiys I( = γ( M( z <1 zñ(ds, dz z 1 zn(ds, dz, jossa M( on lokaali neliöinegroiuva jakuva maringaali jolla on kvadraainen variaaio C(. Tää esiysä kusuaan Lévy-Kinchine dekomposiioksi. Seuraavaksi määrielemme semimaringaalin. Määrielmä 3.13. Adapoiu càdlàg prosessi S( on semimaringaali jos sillä on esiys S( = S( A( M( jossa A( on F-adapoiu, cádlág ja lokaalisi rajoieusi heilahelevä adapoiu prosessi, M( on lokaali maringaali ja S( on F -miallinen saunnaismuuuja. 14
Luku 4 Sokasisia Malleja Spo Hinadynamiikalle Tässä kappaleessa esielemme sokasisia prosesseja sähkömarkkinoiden spo-hinnan mallinamiseen. Spo-hinnan kehiyksen mallinamiseen löyyy useia syiä. Malli joka kuvaava spo-hinnan epävarmuua ova kiinnosavia markkinoilla oimijoille. Lisäksi spohinaa käyeään referenssinä forward ja fuuuri-sopimusen hinnoielussa ja on äen ärkeä osa näiden johdannaisen dynamiikkojen ymmärämiseksi. Spo-hinadynamiikka mallinaessa on ärkeää oaa huomioon spo-hinnan olennaise ominaisuude. Sähkömarkkinoilla on yypillisä eä ilmenee suuria heilahduksia sähkön kysynnässä, näiä heilahduksia kusuaan piikeiksi. Äkillinen normaalia suurempi sähkönarve aiheuaa posiiivisen hinapiikin. Spo-hinnassa esiinyy siis yypillisesi eräviä hinapiikkejä joia seuraa erävä pudous. Nord Pool markkinoilla hinapiiki ova yleisimpiä alvella kun lämpöilaheilahelu voiva olla merkiäviä. Hina palauuu kuienkin ennalleen kun sähkön uoaja vasaava nousseeseen kysynään. Hinapiiki voiva olla myös negaiivisia joka voi johaa negaiiviseen sähkön hinaan. Tämä on harvinaisa mua mahdollisuus on olemassa. Spo-hina on keskiarvoon hakeuuva. Hinapiikin jälkeen hina hakeuuu akaisin keskiarvo asolle, myös päiviäise hinaheilahelu hakeuuva pikällä aikavälillä keskiarvo asolle. Sähkömarkkina ova kausiain vaihelevia eli säkhkön arve ja äen myös spohinnan keskiarvo vaihelee ei pelkäsään vuoden aikojen mukaan mua myös viikoain ja päivän sisällä. Tämä on luonnollisa sillä alvisin sähköä arviaan lämmiykseen ja arkipäivisin kello 6-22 välillä sähkön kysynä on suurimmillaan. 15
Yllä mainiujen ominaisuuksien peruseella unuu luonnolisela mallinaa hinadynamiikkaa keskiarvoon hakeuuvalla prosessilla joka sisälää hyppyjä. Yksinkeraisin keskiarvoon hakeuuva prosessi on Ornsein-Uhlenbeck prosessi. Klassinen sokasinen prosessi hyödykemarkkinoiden spo-hinnan mallinamiseen on niin kusuu Schwarzin malli [Schwarz, 1997] joka on määriely Ornsein-Uhlenbeck prosessin eksponeniaalina ja on nykyään sandardimalli sähkön hinnan mallinamiseen. Tässä kappaleessa määrielemme usean muuujan spo-hina malleja joka perusuva ei-gaussisen Ornsein-Uhlenbeck prosessien summaan. Hinapiiki, eli hypy, voidaan mallinaa Ornsein-Uhlenbeck prosessina jossa hyppyjen kausivaihelua mallinneaan addiiivisen prosessin avulla. Pienemmä ("normaalimma" hinnan vaihelu voidaan mallinaa hiaammin keskiarvoon hakeuuvalla prosessilla joa ajaa Brownin liike. Käsielemme Schwarzin mallin kalaisia geomerisiä malleja sekä arimeisiä malleja, joka saaava olla analyyisesi mukauuvampia markkinoille, joissa forward-sopimuksilla on oimiusperiodi. Arimeeise malli johava yleensä hinoihin joka voiva muuua negaiivisiksi. Me ulemme käsielemmään vain sellaisia malleja, joka akaava posiiivisia hinoja. 4.1 Spo hinnan mallinaminen Ornsein-Uhlenbeck prosesilla Ornsein-Uhlenbeck prosessi käyeään mallinamaan keskiarvoon hakeuuvaa käyösä sijoiuskoheessa. Ornsein-Uhlenbeck prosesseja käyeään laajasi korkomarkkinoilla ja hyödykemarkkinoilla, prosessia ajaa usein Brownin liike. Sähkömarkkinoilla spo-hinnan ominaisuude johava luonnollisesi ei-gaussisen Ornsain-Uhlenbeck prosessin hyödynämiseen. Jakossa kusumme ei-gaussisa Ornsain-Uhlenbeck prosessia lyhyesi OU prosessiksi. Koko kappaleen ajan oleamme eä uoeilla joilla markkinoilla käydään kauppaa on äärellinen aika jakumo T <. Olkoon I( addiiivinen prosessi jolla on Lévy-Kinchine esiys ψ(, s; θ =iθ(γ(s γ( 1 2 θ2 (C(s C( s {e izθ 1 izθ1 z <1 }l(dz, du, (4.1 R jossa γ on rajoieusi heilaheleva. Näin ollen prosessi I( on semimaringaali. Määriellään seuraavaksi ei-gaussinen OU prosessi. Määrielmä 4.2. Càdlàg prosessi X(s, s T on ei-gaussinen Ornsein-Uhlenbeck 16
prosessi jos X(s on yksikäsieinen rakaisu sokasiselle diereniaali yhälölle dx(s = (µ(s α(sx(sds σ(sdi(s, X( = x. (4.3 Yllä µ, α ja σ ova reaaliarvoisia jakuvia funkioia joukossa [, T ]. Funkioa µ kusuaan prosessin X(s ajauumaksi (drifi, funkioa σ volailieeiksi ja funkioa α keskiarvoon hakeuumisnopeudeksi. Yllä oleva määrielmä on hyvin määriely ainoasaan silloin kun sokasiselle diereniaali yhälölle (4.3 on olemassa yksikäsieinen rakaisu X. Seuraavassa proposiiossa esielemme rakaisun. Proposiio 4.4. Yhälön (4.3 yksikäsieinen rakaisu on ( s s ( s X(s =x exp α(vdv µ(u exp α(vdv du u s ( s σ(u exp α(vdv di(u. (4.5 u Todisus. Ensin arkaselemme rakaisun yksikäsieisyyä. Olkoon X 1 ja X 2 kaksi rakaisua yhälölle (4.3 ja määriellään prosessi Y (s = X 1 (s X 2 (s. Prosessien X 1 ja X 2 ominaisuuksien peruseella Y (s on càdlàg prosessi. Prosessien X 1 ja X 2 dynamiikkojen nojalla Y (s = s α(uy (udu, jossa Y ( =. Indukion sekä Fubinin lauseen avulla saamme jossa α n (u = α(u s Y (s = ( 1 n α n (uy (udu, n = 1, 2,... s u s s α(u n 1 α(u n 2 u n 1 α(u 1 du 1 du n 1. u 2 Koska α on jakuva iedämme eä se on rajoieu välillä [s, ] jollain vakiolla c >. Täen c n α n (u (n 1! (s un 1 <, n=1 n=1 ja näin ollen ( 1 n α n (u suppenee asaisesi nollaan kun n ja u [, s]. Tämän nojalla Y (s = ja rakaisun yksikäsieisyys on odiseu. 17
Rakaisun olemassaolo seuraa Iôn kaavasa oeamalla eä (4.5 on (4.3:n rakaisu: olkoon ( s s ( u ( s µ(u Z(s = exp α(vdv σ(u exp α(vdv di(u σ(u du. jolla dz(s = (µ(s α(sz(s ds σ(sdi(s. Tämä osoiaa eä X(s on vahva rakaisu sokasiselle difereniaaliyhälölle (4.3. Määriellään seuraavaksi prosessin X(s karakerisinen funkio joka arjoaa meille kaiken prosessin odennäköisyyeen liiyvän iedon joa jakossa arvisemme. Proposiio 4.6. OU prosessin karakerisinen funkion on E [ e iθx(s X( = x ] = exp (iθ{xe s α(vdv ψ(, s; θσ( e s s α(vdv µ(ue s u α(vdv du} kaikilla θ R jossa ψ(, s; on prosessin I kumulanigeneroiva funkio ja ψ(, s; g( määriellään olevan ψ(, s; g( =i s s jollain jakuvalla funiolla g : [, T ] R. s g(udγ(u 1 g 2 (udc(u 2 {e ig(uz 1 ig(uz1 z <1 }l(dz, du, Todisus. Olkoon f porrasfunkio välillä [, s] jolla on määrielmä R f(u = a k 1 (uk 1,u k ](u, jossa = u < u 1 < < u n = s. 18
Prosessin I riippumaomien lisäysen peruseella [ ( s ] [ ( E exp iθ f(udi(u =E exp iθ = = ] a k (I(u k I(u k 1 n E [exp(iθa k (I(u k I(u k 1 ] n exp(ψ(u k 1, u k ; θa k ( = exp ψ(u k 1, u k ; θa k = exp(ψ(, s; θf(. Tuloksen peruseella jokainen jakuva funkio joukolle [, s] voidaan approksimoida askelfunkiolla ja rajan arvon ohiaessa huomamme rajoieun konvergenssi lauseen peruseella eä apulauseen ulos päee. 4.2 Geomerinen spo-hina malli Olkoon semimaringaali I j (, j = 1,..., n, puhaasi hyppyisiä addiiivisia prosesseja joissa I j ( ja I k ( ova riippumaomia oisisaan kaikilla j k. Voimme esiää jokaisen prosessin siihen liiyvällä hyppy prosessilla N j (d, dz Lévy-Kinchine esiyksen avulla I j ( = γ j ( z <1 zñj(dz, du z 1 zn j (dz, du. Palauamme mieleen eä γ j on rajoieusi heilaheleva ja l j (d, dz on kompensaaori mia. Lisäksi oleamme eä B k, k = 1,..., p ova riippumaomia Brownin liikkeiä. Olkoon sokasisella prosessilla S( esiys ln S( = ln Λ( m X i ( Y j (, (4.7 i=1 jossa p dx i ( = (µ i ( α i (X i (d σ ik (db k (, (4.8 19
kun i = 1,..., m ja dy j ( = (δ j ( β j (Y j (d η j (di j (, (4.9 kun j = 1,..., n. Deerminisinen kausiainen hinaaso määriellään funkiolla Λ( : [, T ] (, jonka oleeaan olevan jakuvasi derivoiuva. Λ( kuvaa hinnan keskiarvon kausivaihelua ja siä kusuaan kausivaihelu funkioksi. Lisäksi muuuja µ i, α, δ j, β j, σ ik sekä η j ova jakuvia funkioia. Mallinamisen kannala on luonnollisa aseaa µ i ( = δ j ( = sillä OU prossessin ulisi ideaali ilaneessa palauua nollaan joa kausivaihelu funkio määriäisi hinnan keskiarvon. Oleamme myös eä keskiarvoon palauumis nopeude α i ( ja β j ( ova suurempia ai yhä suuria kuin nolla jokaisella ajanhekellä [, T ]. Yllä määrielyjen oleusen nojalla prosessi ln S( ja S( ova semimaringaaleja. Yhälösä (4.5 saamme prosessin S( eksplisiiisen esiyksen ( m S( = Λ( exp X i ( Y j ( (4.1 jossa kun i = 1,..., m ja i=1 u ( X i ( =X i ( exp α i (vdv ( µ i (u exp α i (vdv du p σ ik (u exp ( Y j ( =Y j ( exp ( u α i (vdv db k (u, (4.11 β j (vdv ( δ j (u exp β j (vdv du u ( η j (u exp β j (vdv di j (u, (4.12 kun j = 1,..., n. Hyppyprosessi I j saaava aiheuaa lisää drifiä sillä emme olea eä ne olisiva maringaaleja. Tämä on luonnollisa silllä ne kuvaava markkinoiden heilahelua. Esimerkiksi hina piikin ilmeneminen piäisi liiää odoeuun spo-hinaan kausifunkion lisäksi. Näin ollen mallissa jossa on hyppyjä, logarimisen spo-hinnan keskiarvo ei ole sama 2 u
kuin kausivaihelu-funkion logarimi joka on muunnelu drifeillä µ j ja δ j. Erous miaaan hyppyjen odousarvona. Kaikki iso hypy kuienkin asoiuva ajassa joka riippuu keskiarvoon hakeuumisnopeudesa β j. Laskeaksemme forward hinoja ja erinnäisiä opioia, joissa kohde-euuena on spohina, on hyödyllisä pysyä laskemaan spo-hinnan momeni. Spo-hinnan momeni ova ollennainen osa myös erillaisen riksi-miojen laskemisen kannala, kuen varianssin. Näin ollen meidän äyyy lisää inegroiuvuuseho spo-hinnalle S( joa voimme aaa eä odousarvo on hyvin määriely. Eksponeniaalisille malleille oleamme seuraavanlaisen eksponeniaalisen inegroiuvuusehdon kompensaaorimialle l : Eho G. Jokaisella j = 1,..., n on olemassa vakio c j > sien eä T 1 (e c jz 1l j (dz, du <. (4.13 Vakio c j, j = 1,..., n ullaan määrielemään arkemmin kun käsielemme johdannaisia spo-hinnalle. Kun muisamme eä Ñ = N l niin edellä mainiulla ehdolla meillä on jokaisella j = 1,..., n γ j ( zñj(dz, ds zn j (dz, ds jossa =γ j ( = γ( Tämä päee sillä z <1 R z 1 z <1 zñj(dz, ds zñj(dz, ds, γ j ( = γ j ( z l j (dz, ds z 1 z 1 z 1 z 1 zñj(dz, ds zl j (dz, ds. z 1 zl j (dz, ds (e c jz 1l j (dz, du < (4.14 jokaisella c j <. Tällöin voimme määriellä addiiivisen prosessin I j ( deerminisisen drifin ja puhaasi hyppyisen maringaali-prosessin summana. Ehdosa G seuraa myös eä I j ( on aio maringaali eikä ainoasaan lokaali maringaali. Ehdon G sovelamisesa kompensaaori mialle seuraa spo-hina prosessin S( momenien olemassaolo. 21
4.3 Arimeise malli Olkoon S( semimaringaali jolla on esiys S( = Λ( m X i ( Y j (, (4.15 i=1 jossa X i (, i = 1,..., m ja Y j (, j = 1,..., n ova määrielyjä kuen yhälöissä (4.8 ja (4.9. Kausivaihelu funkio Λ( äyää sama ehdo kuen geomerisessä mallissa. Jälleen käyämällä yhälöä (4.5 saamme prosessin S( eksplisiiisen esiyksen jossa X i ( ja Y j ( ova määrielyjä kuen yhälöissä (4.11 ja (4.12. Joa voimme aaa eä arimeeisellä spo-hinnalla on äärellise momeni, ieyyn rajaan asi, määrielemme seuraavan inegroiuvuus ehdon hyppyprosessille I j (. Eho A. Jokaisella j = 1,..., n on olemassa vakio c j > sien eä T z 1 z c j l j (du, dz <. (4.16 Jos esimerkiksi c j = 1 eho A akaa spo-hina prosessin äärellisen odousarvon olemassa olon. Forward hinojen derivoimiseksi odousarvon äyyy olla äärellinen. Odousarvo laskeaan risk-neuraalin mian suheen joka vaai myös eksponeniaalisen inegroiuvuus ehdon, johon palaamme myöhemmin. Arimeise malli eivä ole kovin käyeyjä sillä ne salliva negaiivisia hinoja joka on ouoa normaaleilla markkinnoilla sillä se arkoiaa eä hyödykkeen osaja saa rahaa osaessaan uoeen. Sähkömarkkinoilla älle voi kuienkin olla yksinkerainen seliys sillä uoajille voi olla hinavampaa sammuaa generaaori kuin maksaa jollekin siiä, eä he käyävä sähköä kun arjona on suurempi kuin kysynä. Lähes kaikilla sähkömarkkinoilla on odiseusi ilmenny negaiivisia hinoja vaikkakin ämä on harvinaisa. Esiellään Benh, Kallsen ja Mayer-Brandisin vuonna 27 esiämä kaegoria arimeeisia malleja, joka akaava hinojen posiiivisuuden. Oleamalla eä m = voimme konsruoida kyseisen mallin ja uudelleenulkia kausivaihelu funkion Λ( joka ulee olemaan laia joa kohden prosessi Y j hakeuuu. Kun oleamme eä m =, spo-hinamalli saa muodon S( = Λ( Y j (. (4.17 Oleamme eä Y 1 ( = S( Λ( ja eä Y j ( =, j = 2,..., n. Oleamme myös eä jokaisen n OU prosessin keskiarvo on nolla, eli δ j = kun j = 1,..., n. Lisäksi 22
oleamme eä puhaasi hyppyise II prosessi I j ( ova kasvavia, eli niillä on ainoasaan posiiivisia hyppyjä ja eä kompensaaori mia ova keskiynee posiiiviselle reaaliakselille. Kyseisen prosessien on addiiivisuus oleuksen nojalla olava rajoieusi heilahelevia äärellisellä aikavälillä. Täen Lévy-Kinchine esiys määriellään seuraavan kumulanifunkion avulla, kun j = 1,..., n, jossa ψ j (, s; θ = iθ( γ j (s γ j ( γ j ( = γ j ( s 1 {e izθ 1}l j (dz, du, (4.18 zl j (dz, du. (4.19 Tämä päee sillä, rajoieusi heilahelevien prosessien kompensaaori mia äyää inegroiuvuus ehdon min(1, z l j (dz, du <. (4.2 R Hyppyprosessi I j (, j = 1,..., n voidaan kirjoiaa muodossa I j ( = γ j ( zn j (dz, du (4.21 joka ei sisällä kompensoiua miaa sillä se on rajoieusi heilaheleva. Spo-hinnan keskiarvo määriellän eksplisiiisesi deerminisisen funkion Λ ja hyppyprosessin Y j avulla Λ m ( =Λ( E [Y j (] =Λ( Y 1 ( exp ( ( η j (u exp β 1 (vdv zη j (u exp u β j (vdv d γ j (u ( u β j (vdv l j (dz, du. Koska hypy ova posiiivsia, prosessi Y j ulee olemaan posiiivinen ja koska oleamme eä Λ( on posiiivinen, spo-hina malli ulee generoimaan vain posiiivisia hinoja. Kaikki prosessi Y j hakeuuva kohi Λ(:ä joka näin ollen on spo-hinnan alaraja eli laia. 23
Luku 5 Forwardien ja fuuurien hinnoielu spo-hinnan peruseella Spo-hina on pääasiallinen vaikuaja johdannaisen hinnoielussa. Spo-hinnan ja johdannaisen välinen suhde on ärkeä sähkömarkkinoiden osapuolille. Tässä osiossa käsielemme forwardien ja fuuurien hinnoielua sekä siihen liiyviä ongelmia. 5.1 Riski-neuraali forwardien ja fuuurien hinnoielu malli Oleeaan eä aseamme forward-sopimuksen hekellä jonka mukaan sähkö, jolla on hinadynamiikka S(, oimieaan ulevaisuuden ajanhekellä τ, τ <, hinaan f(, τ. Ennala soviu hina f(, τ on F -miallinen. Oleeaan eä S( on semimaringaali joka on määriely joko edellä esieyn geomerisen ai arimeisen mallin mukaisesi. Hekellä τ saamme, mahdollisesi negaiivisen, uoon S(τ f(, τ. Koska forward-sopimuksen kirjaaminen markkoinoille on maksuona sopivilla inegroiavuusoleuksilla saamme hinaprosessien S ja f välille seuraavanlaisen yheyden E Q [S(τ f(, τ F ] =. Yllä F = σ(s u : u on lraaio joka sisälää kaiken iedon markkinoisa hekeen asi ja E Q on odousarvo ekvivalenin hinnoielumian Q suheen. Oleamme eä S(τ L 1 (Q. Forward hina on kirjau hekellä eikä äen voi sisälää enempää ieoa kuin 24
miä lraaio F sisälää, äsä seuraa eä f(, τ on F-adapoiu. Näin ollen saamme uloksen f(, τ = E Q [S(τ F ]. (5.1 Tämä on fundamenaallinen hina-yheys spo ja forwardi hinnan välillä joka johaa ardiraasi vapaaseen hinadynamiikkaan forwardin hinnalle. Koska kuvailemamme markkinamalli ei ole äydellinen, miaa Q ei ole yksikäsieisesi määriely. Joa voimme määriää forwardille yksikäsieisen hinnan meidän äyyy lisää krieerejä mialle Q. Seuraavaksi käsielemme fuuureja. Fuuurin osaja vasaanoaa sähköä sopimuskauden ajan joko fyysisesi ai rahallisena korvauksena ennala määräyyn hinaan per MWHh. Jakuvan sähkön oimiuksen uoo ajan hekellä on τ2 τ 1 (S(u F (, τ 1, τ 2 du, jossa F (, τ 1, τ 2 on fuuurinhina hekellä kun sähkön oimius kausi on [τ 1, τ 2 ] ja τ 1. Kuen forwardeille fuuuri-sopimusen kirjaaminen markkionille on maksuona ja näin ollen fuuurin riski-neuraali hina on määriely yhälösä [ τ2 ] E Q (S(u F (, τ 1, τ 2 du F =. τ 1 Koska fuuuri-sopimukse solmiaan ajanhekellä sen hekisen iedon peruseella voimme oleaa eä F (, τ 1, τ 2 on F-adapoiu. Tällöin voimme kirjoiaa [ τ2 ] 1 F (, τ 1, τ 2 = E Q S(udu F. τ 1 τ 1 τ 2 5.2 Riski-neuraali odennäköisyyde ja Esscherin muunnos Rahoiuseoriasa iedeään eä riskineuraali odennäköisyysmia Q on ekvivaleni mian P suheen sien, eä kaupan koheena olevien uoeiden diskonau hinna ova maringaaleja. Koska sähköä ei voida varasoida, sähkön hina prosessi ei välämää ole maringaali mian Q suheen. Käsielemässämme markkinamallissa kaikki ekvivaleni odennäköisyysmia Q ova riksineuraaleja. Joa voisimme rajoiaa riskineuraalien miojen joukkoa käyämme Esscherin muunnosa. Esscherin muunnos on yleisys Girsanovin muunnoksesa ja soveluu hyppyprosesseille kun aas Girsanovin muunnos soveluu Brownin liikkeelle. Girsanovin muunnos voidaan ulkia mian muunnoksena, joka säilyää Brownin liikkeen jakuman normaallisuuden. Esscherin muunnos aiheuaa hyppyprosessin kumulani funkioon 25
argumenin lineaarisen muuoksen ja äen myös Esscherin muunnos säilyää jakauman ominaisuude. Esscherin muunnoksesa seuraa siis mian vaiho, jonka seurauksena meillä on iedossa hyppyprosessin I j ominaisuude myös uuden riskineuraalin mian suheen. Muunnos uo esille joukon paramerejä joka muuava jokaisen hyppyprosessin ominaisuuksia mua säilyää niiden addiiivisuus ominaisuude. Tulemme siis keskiymään paramerisoiuihin ekvivaleneihin maringaali mioihin joiden avulla forward hinna voidaan esiää yksikäsieisesi hyppyprosessien kumulanigeneroivien funkioiden avulla. Paramerifunkio voidaan periaaeessa esimoida opioiden hinnoisa ja ulkia markkinahinnan hyppyjen riskeinä. Keskiymällä ainoasaan Esscherin ja Girsanovin muunnokseen voimme määriellä joukon riskineuraaleja mioja, joka mukauuva hinnoieluun ja joiden avulla voidaan esimoida markkinan riskipreemion. Keraamme aluksi Girsanovin muunnoksen määrielmä, jonka jälkeen ulemme yleisämään Gerber ja Shiu (1994 esielemän muunnoksen johdannaisen hinnoieluun addiiivisille prosesseille joilla on ajasa riippuvainen parameri θ(. 5.2.1 Girsanovin muunnos Girsanovin muunnoksen avulla voimme muuaa Brownin liikkeen odennäköisyysmian miasa P ekvivaleniin odennäköisyysmiaan Q. Muunnosa käyeään rahoiuseoriassa muunamaan dynaamisen mallin hisoriallisesa odennäköisyydesä riskineuraalin odennäköisyyeen. Palaueaan mieleen Girsanovin muunnoksen yksi uloeinen määrielmä. Lause 5.2 (Girsanovin lause. Olkoon B(, T, Brownin liike odennäköisyys avaruudelle (Ω, F, P, jossa F, T on hisoriallinen lraaio ja θ( adapoiu prosessi joka äyää niin kusuun Novikon ehdon [ E e 1 T 2 (udu] θ2 <. Hekellä T päee Z θ ( = exp ( θ(udb(u 1 2 θ 2 (udu. (5.3 Tällöin voimme määriellä uuden odennäköisyys mian Q P, jolle päee dq dp = Z θ ( F 26
ja on Brownin liike Q-mian suheen. B θ ( = B( θ(udu Yllä Z on Radon-Nikodym derivaaa. Rahoiuseoriassa θ unneaan markkinanhina riskinä ja indusoi riskipreemion johdannaisen hinoihin. 5.2.2 Esscherin muunnos Siinä missä Girsanovin muunnos päee Brownin liikkeelle, Esscherin muunnos on yleisys joka päee kaikille Lévy prosesseille. Esscherin muunnosa on käyey useiden nanssi markkinoiden johdannaisen hinnoielussa ja sai alkunsa vuonna 1994, jolloin Gerber ja Shiu julkaisiva uraauravan arikkelin. Alkuperäisen Esscherin muunnoksen mukaan oleeaan eä f on odennäköisyysiheysfunkio ja θ on reaali. Tällöin, jos eksponeniaalinen momeni e θy f(ydy on olemassa, voimme määriellä uuden odennäköisyysiheysfunkion R f(x; θ = eθx f(x R eθy f(ydy. f(x; θ on iheysfunkion f Esscherin muunnos alkuperäisessä muodossa [Esscher (1932], joa ulemme arkaselemaan Gerber ja Shiun ehdoamissa puieissa johdannaisen hinnoieluun. Tulemme yleisämään muunnoksen johdannaisen hinnoieluun addiiivisille prosesseille joilla on ajasa riippuva parameri θ(. Olkoon θ(, (p n -uloeinen vekori reaaliarvoisia jakuvia funkioia aikavälissä [, T ] eli, θ( = (ˆθ1 (,..., ˆθ p (, θ 1 (,..., θ n (. Määriellään hekelle τ sokasinen eksponeni p n Z θ ( = Ẑk( θ Z θ j (, jossa ( Ẑk( θ = exp ˆθ k (sdb k (s 1 ˆθ 2 2 k(sds, 27
kaikilla k = 1,..., p ja ( Z j θ ( = exp θ j (sdi j (s ψ j (, ; θ j ( kaikilla j = 1..., n. Kun sup T θ j ( c j, jossa c j on ehdon G mahdollisava vakio, Zθ j ( on maringaali. Lisäksi myös Ẑθ k ( on maringaali sillä ˆθ k (s on jakuva funio. Näin ollen voimme määriellä ekvivalenin odennäköisyysmian Q θ sien eä prosessi Z θ ( on mian Q θ Radon-Nikodym derivaaa mian P suheen, merkisemme dq θ dp = Z θ ( F kaikilla T. Jakossa E θ [ ] arkoiaa odousarvoa mian Q θ suheen. Prosessin Z θ ( määrielmän mukaan Radon-Nikodym derivaaa voidaan esiää myös seuraavalla avalla dq θ p n dp = Ẑk( θ Z j θ (. F Tällöin liiämme hina riskin jokaiseen Brownin liikkeeseen B k, k = 1,..., p ja hyppyihin I j, j = 1,..., n spo-hina mallissa. Yllä olevassa ideana on eä markkinan osapuole veloiava hinnan ˆθ k riskisä jonka he oava kun he eivä voi aseaa suojausa. Lisäksi he aseava hinnan θ j prosessin Y j hyppyriskille. Oleamme eä keroime ova riippumaoma ja äen keroimien välille ei synny riskiä. Mua koska prosessi X i ova riippuvaisia on olemassa epäsuora korrelaaio riski vakioiden välillä. Seuraavaksi määrielemme mien prosessien B ja I ominaisuude muuuva Esscherin muunnoksella. Proposiio 5.4. Prosessi B θ k( = B k ( ˆθ k (udu ova Brownin liikkeiä odennäköisyysmian Q θ suheen kun k = 1,..., p ja T. Lisäksi kun T niin jokaisella j = 1,..., n, I j ( on addiiivinen prosessi drifillä γ j ( z{e θ j (uz 1}l j (dz, du z <1 ja kompensaaori mialla e θ j (z l j (dz, d. Mian Q θ alla prosessiin I j liiyvää laskuri miaa merkiään muuujalla N j ja kompensoiua miaa muuujalla Ñ θ j. 28
Laskuri mia N j laskee suuruudelaa väliin [z, z dz kuuluvien hyppyjen määrään ajalla [, d. Näiden hyppyjen määrä riippuu prosessin I j poluisa ja näin ollen määrielmän mukaan laskuri mia ei muuu.. Todisus. Brownin liikkeen olemassa olo seuraa yksinkeraisesa Girsanovin muunnoksesa. Olkoon p = ja n = 1. Laskemme prosessin I( karakerisisen funkion Esscher muunnellun mian Q θ suheen. Laskelma perusuu prosessin riippumaomien lisäysen ominaisuueen sekä Bayesin kaavaan. Kun s, [ ] E θ exp(iλ(i( I(s F s [ =E exp(iλ(i( I(s Z ] θ ( Z θ (s F s [ ( ] =E exp iλ(i( I(s i ( i θ(udi(u exp( ψ(s, ; i θ( s [ ( =E exp i(λ i θ( (I( I(s ] exp( ψ(s, ; i θ( ( = exp ψ(s, ; λ i θ( ψ(s, ; i θ( ( ( = exp iλ(γ( γ(s iλ z e θ(uz 1 l(dz, du s Täsä seuraa ulos. z <1 s z <1 {e iλz 1 iλz1 }e θ(uz z <1 l(dz, du. Hyppyiheys ja hyppyjen suuruuden jakauma muuuva kun vaihdamme miasa P miaan Q θ. Tämä näkyy muuoksena kompensoidussa miassa Ñj. Kompensoidulle mialle päee Ñ θ j (dz, d =N j (dz, d e θ j (z l j (dz, d =N j (dz, d l j (dz, d (e θ j (z 1l j (dz, d ( =Ñj(dz, d e θ j (z 1 l j (dz, d. 5.3 Geomerinen forward-sopimusen hinnoielu Olkoon f(, τ forward-sopimuksen hina hekellä kun iliys apahuu hekellä τ. Forward hina derivoidaan edellä käsiellysä geomerisesä spo-hina mallisa S(. Käyämme analyysisämme Esscher muunnoksen mukaisa riski-neuraalia ödennäköisyyä. 29
Olkoon S( geomerinen spo-hina. Eksplisiinen forward hina hekellä sopimukselle jonka uoo ilieään hekellä τ on määriely seuraavassa proposiiossa. Proposiio 5.5. Olkoon τ ja oleeaan eä S( on geomerisen spo-hina mallin (4.7 mukainen prosessi. Oleeaan eä eho G päee kaikilla j = 1,..., n jossa Tällöin forwardin hina f(, τ on jossa Θ(; τ; θ( on sup η j (se τ s βj(udu θ j (s c j. s τ f(, τ =Λ(τΘ(, τ; θ( ( m τ exp µ i (ue τ u αi(vdv du ln Θ(; τ; θ( = exp exp 1 2 i=1 τ ( ( m i=1 δ j (ue τ u β j(vdv du e τ u α i(vdv X i ( e τ u β j(vdv Y j ( ψ j (, τ; i(η j ( e τ β j (vdv θ( ψ j (, τ; i θ j ( m i=1 p τ p ( m i=1 τ σ ik (ue τ u α i(vdv 2 du σ ik (u θ k (ue τ u α i(vdv du. Todisus. Oleamme eä n = 1. Kaavasa (4.5saamme X i (τ =e τ α i(vdv X i ( p τ τ σ ik (ue τ Y (τ =e τ β(vdv Y ( τ η(ue τ τ µ i (ue τ α i(vdv db k (u δ(ue τ β(vdv di(u, 3 α i(vdv du β(vdv du,
kun i = 1,..., m. Koska X i ( ja Y ( ova F -miallisia päee eä f(, τ =E θ [S(τ F ] =Λ(τE θ [ e m i=1 p η(u exp( τ e τ ( m exp ( m i=1 i=1 e τ τ τ σ ik(u exp( τ u α i(vdvdb k (u u β i(vdvdi(u F ] µ i (ue τ u α i(vdv du α i(vdv X i ( e τ τ β(vdv Y (. δ(ue τ u β(vdv du Todisaaksemme lauseen meidän äyyy osoiaa eä edellä esieyn odousarvon ulos on yhä kuin Θ(; τ; θ(. Prosessien B k ja I ominaisuuksisa Esscherin muunnoksen jälkeen iedämme eä prosessi ova riippumaomia Q θ mian suheen (kaso Proposiio 5.4. Tällöin voimme ehdä seuraavan johopääöksen. Inegroiuvuus ehdon G nojalla saamme Proposiio 5.4 odisuksen mukaisesi uloksen ] u βi(vdvdi(u F [ E θ e τ η(u exp( τ = exp (ψ(, τ; i(η( e τ β i (vdv θ( ψ(, τ; i θ( Tämä odisaa hyppyriskin osuuden muuujassa Θ(; τ; θ(. Todisaaksemme Brownin liikkeen osuuden, ulee meidän ensin suoriaa mian muunnos miasa P riskineuraaliin miaan Proposiio 5.4 mukaisesi. Hyödynämällä Brownin liikkeiden lisäysen riippumaomuua saamme uloksen Huomaamme eä E θ [ e m i=1 p τ σ ik(u exp( τ u α i(vdvdb k (u F ] [ = E θ e p τ { m i=1 σ ik(u exp( ] τ α i(vdv}db k (u F p [ = E θ e τ { m i=1 σ ik(u exp( ] τ α i(vdv}dbk θ(u exp ( τ m i=1 τ σ ik (uˆθ k (u exp( α i (vdvdu. [ E θ e τ { m i=1 σ ik(u exp( ] τ α i(vdv}dbk θ(u = exp 1 ( τ m 2 σ ik (ue τ u i(vdv α du 2 i=1 31.
joka odisaa proposiion. Seuraavassa proposiiossa määrielemme forwardin f riskineuraalin hinadynamiikan. Proposiio 5.6. Oleeaan eä eho G päee kun j = 1,..., n ja sup η j (e τ βj(vdv θ j ( c j. τ Kuvauksen f(, τ dynamiikka mian Q θ suheen on { df(, τ p m f(, τ = i=1 { ( τ } σ ik ( exp α i (udu dbk( θ exp R (zη j (e τ } β j(udu 1 Ñj θ (d, dz. Todisus. Oleeaan eä f(, τ on määriely kuen proposiiossa (5.5, ällöin f on maringaali mian Q θ suheen. Iôn kaavan mukaan ainoasaan ermi joka sisälävä dbk θ ja Ñj θ sisälyvä kuvauksen f(, τ dynamiikkaan. Joa voimme käyää Iôn kaavaa on hyödyllisä ensin muooilla uudelleen prosessin Y j dynamiikka. Inegroiuvuus ehdon G sekä Esscherin muunnoksen mukaisen mianvaihdon nojalla, I j ( =γ j ( zñj(dz, du zn j (dz, du =γ j ( =γ j ( =γ j ( z 1 z <1 z 1 z(e θ j (z 1l j (dz, du z <1 z(e θ j (z 1l j (dz, du z <1 zñ θ j (dz, du z(e θ j (z 1l j (dz, du z <1 z <1 z <1 ze θ j (z l j (dz, du z 1 R zñ θ j (dz, du zñ θ j (dz, du zñ θ j (dz, du z 1 zn θ j (dz, du ze θ j (z l j (dz, du. z 1 32
Tällöin voimme uudelleen muooilla prosessin Y j dynamiikan, dy j ( =(δ j ( β j (Y j (d η j (di j ( =(δ j ( β j (Y j (d η j (dγ j ( zη j ((e θ j (z 1l j (dz, d z <1 zη j (Ñ j θ (dz, d. Rakaisu seuraa Iôn kaavasa. R z 1 zη j (e θ j (z l j (dz, d Näemme eä forward hinnasa ulee geomerinen malli. Kun malliin ei sisälly hyppy komponenia Y i, malli on geomerinen Brownin liike jolla on ajasa riippuva volailieei { df(, τ p m f(, τ = ( τ } σ ik ( exp α i (udu dbk(. θ (5.7 i=1 33
Luku 6 Forwardien ja fuuurien mallinnus Heah-Jarrow-Moron meneelmällä Korkoinsrumenimarkkinoilla forwardien hinadynamiika määriellään suoraan sen sijaan eä mallinaisimme dynamiikkaa yhden ai useamman muuujan spo-hina mallin kaua. Tällainen lähesymisapa johaa yksinkeraiseen evaluaaioon bondien hinnasa inegroimalla ajan suheen. Tämä unneaan HJM meneelmänä, jonka kehiivä vuonna 1992 Heah, Jarrow sekä Moron. Myöhemmin HJM meneelmä on laajenneu forwardien ja fuuurien hinnoieluun hyödyke markkinoilla. Tässä kappaleessa mallinnamme forwardin hinadynamiikan kyseisen meneelmän avulla. Useimmilla hyödykemarkkinoilla käydään kauppaa forwardeilla joilla on nimiey oimiusaika. Sähkömarkkinoilla hyödyke oimieaan ieyn aikavälin aikana jolloin HJM meneelmän käyäminen ei ole enää isesään selvää. 6.1 Peruselu Forwardi korkojen dynamiikka mallinneaan yleensä riskineuraalin mian avulla sillä ämä on käevää kun arkoiuksena on hinnoiella opioia. Suora analogia sähkömarkkinoille on määriellä forward hinadynamiikka riskneuraalissa ympärisössa seuraavalla avalla, df(, τ = µ(, τd σ(, τdw (, f(, τ τ T jossa W on sandardi Brownin liike, jossa drifi µ ja volailieei σ ova deerminisisiä. Koska forwardin kirjaaminen markkinoille on maksuona sopimuksen uoon odousarvo 34
on nolla ja voimme määriellä drifin nollaksi. Tällöin forward hina saa dynamiikan df(, τ f(, τ = σ(, τdw ( ja forwardin eksplisiiinen hinadynamiikka on ( f(, τ = f(, τ exp 1 σ 2 (u, τdu 2 σ(u, τdw (u jossa forward hinna f(, τ on alkuperäinen forward käyrä joka on havaiu ämän päivän markkinoilla. Tällöin forward hinna ova riippumaomia lognormaaleja saunnaismuuujia riskineuraalin mian alla ja niillä on marginaalijakauma f(, τ = L f(, τ exp 1 σ 2 (u, τdu X σ 2 2 (u, τdu (6.1 jossa X on sandardi normaalijakauunu saunnaismuuuja. Kuen jo iedämme sähkön spo-hinnassa ilmenee usein suuria hyppyjä. Teoriassa näiden hyppyjen ulisi vaikuaa myös forward hinaa ai ainakin niihin sopimuksiin joissa oimiukseen jäljellä oleva aika ja ise oimiusaika ova lyhye. Näin ollen on luonnolisa sisällyää hyppyprosessi forwardihinnan dynamiikkaan. Vuonna 1998 Barndor-Nielsen kehiivä ekniikan, jossa euuksien hinna mallinneaan exponeniaalisella NIG Lévy prosessilla, jolloin eksplisiiinen hinadynamiikka määriellään suoraan käyämää dynamiikan diereniaalimuooa. Tämä myöä käyössä on laajempi joukon hyppyprosesseja sekä helpompi apa määriellä mallinnuksen implikoiman logarimisen uoon jakauman ominaisuude. Sovelamalla Barndor-Nielsenin lähesymisapaa päädymme mallinamaan forward hinakäyrän dynamiikkaa eksponeniaalisessa muodossa riskineuraalin mian Q alla seuraavasi ( f(, τ = f(, τ exp a(u, τdu σ(r, τdw (u η(u, τdj(u. Jossa a(u, τ on drifi ja J on addiiivinen prosessi jonka ominaisuude ova riippuvaisia mian vaihdosa. Koska arkaselemme logarimisa uooa mian P suheen meidän äyyy selviää myös prosessin J ominaisuude mian P alla riskineuraalin mian sijaan. Kun hinnoielemme oso- ja myyni-opioia, forward-sopimuksen riskineuraali hina realisaaio ajanhekellä äyyy olla iedossa. On myös hyödyllisä ieää forward dynamiikka eksplisiiisessä muodossa. Riskineuraali forward hina mahdollisaa Mone Carlo simulaaion sekä nopean Fourier muunnoksen hyödynämisen. 35
Kun hinnoielemme fuuureja, iey ehdo äyyy äyää, joa voimme varmisaa arbiraasi-vapaan dynamiikan. Ongelma liiyvä oimiusaikojen jaoieluun lyhyempiin oimiuskausiin, jolloin yhdisämällä fuuureja joilla on lyhye oimius aikaväli, saadaan alkuperäinen (pikällä oimiuskaudella määriely fuuuri. Esimerkiksi Noord Pool markkinoilla voidaan osaa kolme peräkkäisä kuukauden sopimusa jolloin oimiuskausi on sama kuin kvaraali-sopimuksella. Tulemme käsielemään ongelmaa korkomarkkinoiden LIBOR mallien avulla. 6.2 Forwardien mallinnus HJM meneelmällä Oleeaan eä forwardin dynamiikka riski-neuraalin mian Q suheen on ( p f(, τ = f(, τ exp a(u, τdu σ(r, τdw (u η(u, τdj(u. (6.2 Yllä, a, σ k ja η j, k = 1,..., p, j = 1,..., n ova realiarvoisia jakuvia funkioia avaruudelle [, τ] [, τ], jossa T on yläraja markkinoiden oimiusajoille. Oleamme yksinkeraisuuden vuoksi eä funkio σ k ova posiiivisia sillä ne kuvaava forward hina kehiyksen volailieeiä. Oleamme myös eä lähökohainen forward käyrä f(, τ on jakuva funkio maurieein τ suheen. Lisäksi W k, k = 1,..., p ova riippumaomia Brownin liikkeiä ja J j, j = 1,..., n ova riippumomia addiiivisia prosesseja, joiden oleeaan olevan myös riippumaomia Brownin liikkeisä. Prosessin J j Poisson saunnaismia merkiään M j (d, dz ja sen kompensaaori mia on ν j (dz, d. Kun aseamme drififunkiolle a(u, τ ehdon, joka varmisaa maringaali ominaisuuden, läydämme forward hinnalle seuraavanlaisen riskineuraalin hinadynamiikan. Proposiio 6.3. Oleeaan eä jokaisella j = 1,..., n eksponeniaalinen inegroiuvuus eho τ exp(η j (u, τzν j (dz, du <, Z 1 päee jokaisella τ T. Drifi-ehdon ( a(u, τ 1 p σ 2 2 k(u, τ du R η j (u, τdγ(u ( e η j (u,τz 1 η j (u, τz1 z <1 νj (dz, du = (6.4 36