3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x t = u cos(λt + v sin(λt, t T on stationaarinen. b Olkoon u i ja v i, satunnaismuuttujia, joilla on ominaisuudet: E(u i = E(v i = 0, Var(u i = Var(v i = σi 2, Cov(u i, u j = E(u i u j = 0, Cov(v i, v j = E(v i v j = 0, Cov(u i, v j = E(u i v j = 0, i, j Näytä että deterministinen prosessi x t = (u i cos(λ i t + v i sin(λ i t, t T on stationaarinen. Ratkaisu. a Olkoon missä x t = u cos(λt + v sin(λt, E(u = E(v = 0, Var(u = Var(v = σ 2, Cov(u, v = E(uv = 0. i Prosessin x t odotusarvo: E(x t = E(u cos(λt + v sin(λt = E(u cos(λt + E(v sin(λt = 0 cos(λt + 0 sin(λt = 0, kaikille t T. 1 / 5
ii Prosessin x t varianssi: Var(x t = E(x 2 t = E(u 2 cos 2 (λt + v 2 sin 2 (λt + 2uv cos(λt sin(λt = E(u 2 cos 2 (λt + E(v 2 sin 2 (λt + 2E(uv cos(λt sin(λt = σ 2 cos 2 (λt + σ 2 sin 2 (λt = σ 2, kaikille t T. iii Prosessin x t autokovarianssi: Cov(x t, x t τ = E(x t x t τ = E(u 2 cos(λt cos(λ(t τ + v 2 sin(λt sin(λ(t τ + uv cos(λt sin(λ(t τ + uv sin(λt cos(λ(t τ] = E(u 2 cos(λt cos(λ(t τ + E(v 2 sin(λt sin(λ(t τ + E(uv cos(λt sin(λ(t τ + E(uv sin(λt cos(λ(t τ = σ 2 cos(λt cos(λ(t τ + σ 2 sin(λt sin(λ(t τ = σ 2 cos(λt λ(t τ = σ 2 cos(λτ, kaikille t T. Huomaa että cos(α β = cos(α cos(β + sin(α sin(α. Kohdista i, ii ja iii seuraa, että x t on stationaarinen. b Olkoon missä x t = (u i cos(λ i t + v i sin(λ i t, E(u i = E(v i = 0, Var(u i = Var(v i = σi 2, Cov(u i, u j = E(u i u j = 0, Cov(v i, v j = E(v i v j = 0, Cov(u i, v j = E(u i v j = 0, i, j. Samoin kuin a-kohdassa: i Prosessin x t odotusarvo: E(x t = 0, kaikille t T. 2 / 5
ii Prosessin x t varianssi: ( 2 Var(x t = E (u i cos(λ i t + v i sin(λ i t ( 2 ( ( = E u i cos(λ i t + u i cos(λ i t v i sin(λ i t ( 2 + v i sin(λ i t. Kun summat lasketaan auki ja otetaan odotusarvot niin suurin osa termeistä katoaa, katso tehtävän oletukset. Jäljelle jää: Var(x t = = = ( E(u 2 i cos 2 (λ i t + E(vi 2 sin 2 (λ i t ( Var(ui cos 2 (λ i t + Var(v i sin 2 (λ i t σi 2, kaikille t T. iii Prosessin x t autokovarianssiksi saadaan: Cov(x t, x t τ = σi 2 cos(λ i τ, kaikille t T, samoin kun varianssille ja hyödyntämällä (a kohtaa. Kohdista i, ii ja iii seuraa, että x t on stationaarinen. 3.2 Osoita että AR(1 prosessi on stationaarinen jos ja vain jos φ 1 < 1. x t φ 1 x t 1 = ε t, ε t i.i.d.(0, σ 2, (1 Ratkaisu. Oletetaan ensin että prosessi on stationaarinen. Stokastinen prosessi x t on (heikosti stationaarinen, jos seuraavat ehdot pätevät: (i E(x t = µ, t T, 3 / 5
(ii Var(x t = σ 2 <, t T, (iii Cov(x t, x t τ = γ τ, t T. Ehto (ii: Stationaarisuusehdon (ii mukaan varianssi ei riipu ajanhetkestä t. Saadaan Var(x t = Var(φ 1 x t 1 + ε t = φ 2 1 Var(x t 1 + Var(ε t = φ 2 1 Var(x t + σ 2, (2 sillä x t 1 ja ε t ovat riippumattomia toisistaan ja ε t i.i.d.(0, σ 2. Yhtälöä 2 muokkaamalla saadaan Var(x t = σ2. Stationaarisuusehdon (ii nojalla varianssi on äärellinen ja varianssi ei voi olla negatiivinen. Tästä seuraa että φ 1 < 1. Prosessin stationaarisuudesta siis seuraa että φ 1 < 1. Todistetaan väite toiseen suuntaan. Oletetaan että φ 1 < 1. Prosessi voidaan esittää muodossa x t = φ 1 x t 1 + ε t = φ 1 (φ 1 x t 2 + ε t 1 + ε t = φ 2 1x t 2 + φ 1 ε t 1 + ε t n 1 = φ 3 1x t 3 + φ 2 1ɛ t 2 + φ 1 ɛ t 1 + ɛ t =... = φ n 1x t n + φ i 1ε t i n 0 + φ i 1ε t i, mikä on tarkasteltavan prosessin MA( esitys. Täten prosessin odotusarvoksi saadaan ( E(x t = E φ i 1ε t i = φ i 1E(ε t i = 0, kaikille t T. Odotusarvo voidaan viedä summan sisälle, sillä sarja φi 1 E(ε t i suppenee. Täten E(x t = µ = 0 kaikille t T eli stationaarisuusehto (i pätee. Prosessin varianssi on ( 2 Var(x t = E((x t 2 = E φ i 1ε t i = 1 E(ε 2 t i, sillä termit missä esiintyy E(ε k ε j ovat 0, kun j k. Kuten aiemmin, summan ja odotusarvon järjestystä voidaan vaihtaa, jolloin saadaan Var(x t = 1 E(ε 2 t i = σ 2 1 = σ2, 4 / 5
geometrisen sarjan summakaavalla kun φ 1 < 1. Huomaa että varianssi on aina äärellinen ja se ei riipu ajanhetkestä t, eli stationaarisuusehto (ii pätee. Prosessin autokovarianssi viipeellä τ on ( Cov(x t, x t τ = E (x t x t τ = E φ i 1ε t i j=0 = σ ( 2 φ τ 1 + φ τ+2 1 + φ τ+4 1 + φ τ+6 1 +... ( = σ 2 φ τ 1 1 = φ τ σ 2 1. φ j 1ε t τ j Summan ja odotusarvon järjestystä voidaan taas vaihtaa, kuten aiemmin. Autokovarianssi riippuu ainoastaan viipeestä τ. Täten stationaarisuusehto (iii pätee. Olemme osoittaneet että Kaavan 1 prosessi on stationaarinen jos ja vain jos φ 1 < 1. Kotitehtävät 3.3 Näytä että MA(1-prosessi on aina stationaarinen. x t = ε t + θε t 1, ε t i.i.d.(0, σ 2 3.4 a Johda AR(1-prosessin autokorrelaatiofunktio. b Johda MA(1-prosessin autokorrelaatiofunktio. 5 / 5