Yleinen suhteellisuusteoria ja tapahtumien välinen yhteys siirtymäfunktioiden avulla Hannu Nyrhinen 28. lokakuuta 2009
ii
Tiivistelmä Työssä käsitellään siirtymäfunktioita toisaalta kvanttimekaniikassa ja toisaalta neliulotteisessa avaruusajassa. Yleinen suhteellisuusteoria muotoillaan nk. geodeettisen siirtymäfunktion avulla, minkä jälkeen sen avulla tarkastellaan kahden avaruusajan pisteen, tapahtuman, välistä siirtymää. Ensimmäisenä, Luvussa 2, käsitellään kvanttimekaanista siirtymäfunktiota Diego Meschinin vuonna 2008 julkaistun väitöskirjan [Meschini] mukaan. Tämä luku toimii vertailukohtana myöhemmin esiteltävälle geodeettiselle (geometriselle) siirtymäfunktiolle. Luvussa käsitellään lyhyesti kvanttimekaanisen siirtymäfunktion metageometrista perustaa ja todennäköisyyden mukaan tuloa teoriaan siirtymäfunktion kautta. Loput työstä perustuu FT Markku Lehdon muistiinpanoihin ja suhteellisuusteorian kurssin luentoihin (jotka löytyvät hieman muokattuna myös Diego Meschinin väitöskirjasta [Meschini] (Chapter 10)). Luvuissa 3 ja 4 esitellään myöhemmin käyttöön tulevaa matemaattista välineistöä. Luvussa 3 johdetaan yhtälö avaruusajan geodeettiselle maailmanviivalle (geodeesille) ja määritellään kaarevan avaruuden absoluuttinen ja kovariantti derivaatta. Luvussa 4 esitellään nk. tetradiformalismi, jossa hiukkasen liikettä kuvaillaan neljän (avaruusajan dimensio) vektorin ja kolmen käyrän kaarevuutta kuvailevan parametrin avulla. Luvussa 5 määritellään geodeettinen siirtymäolio (tai "yhteysolio") ja siirtymäfunktio, joka kuvaa siirtymää ("yhteyttä") avaruusajan pisteiden välillä. Siirtymäfunktion kovarianttien derivaattojen avulla muotoillaan Einsteinin kenttäyhtälöt ja kahden avaruusajan tapahtuman välinen yhteys. Lopputuloksena on siirtymäfunktion toisen kovariantin derivaatan ja Riemannin vuorovesitensorin välinen relaatio. Tuloksella on merkitystä, sillä molemmat liittyvät havaintoihin ja näin siis saadaan johdettua yhteys kahden havaintoihin liittyvän suureen välille (5.30). Liitteessä A vielä tarkastellaan Newtonin ja Einsteinin gravitaatioteorioita tetradiformalismin avulla. Molemmissa teorioissa merkittävään rooliin nousee jo mainittu Riemannin vuorovesitensori. Luettavuuden parantamiseksi osa välivaiheista on jätetty kirjoittamatta tekstiin ja siirretty omaan liitteeseensä, Liitteeksi B.
Sisältö Tiivistelmä iii 1 Johdanto 1 2 Siirtymäfunktio kvanttimekaniikassa 3 2.1 Metageometrinen perusta.................... 3 2.2 Kvanttimekaaniset siirtymäolio ja siirtymäfunktio....... 5 2.3 Siirtymäfunktion käyttö..................... 8 3 Maailmanviiva ja maailmanpinta 13 3.1 Maailmanviiva x α = x α (u) ja geodeettinen yhtälö....... 13 3.1.1 Geodeettinen yhtälö................... 13 3.1.2 Absoluuttinen ja kovariantti derivaatta......... 15 3.2 Maailmanpinta x α = x α (u, v) ja geodeettinen yhtälö..... 19 3.3 Geodeettinen kaarevuus..................... 21 4 Liikkeen kuvailu 23 4.1 Lämmittelyä: Ortonormitettu triadi kolmiulotteisessa euklidisessa avarudessa......................... 23 4.2 Ortonormitettu tetradi neliulotteisessa avaruusajassa..... 26 4.2.1 Lorentzin muunnos.................... 28 4.2.2 Vielä vektoreista..................... 28 4.2.3 Tetradiyhtälöt...................... 29 4.2.4 Tetradin yhdensuuntaissiirto pitkin käyrää x α = x α (u) 35 5 Siirtymä 37 5.1 Siirtymäolio σ(b A)....................... 37 5.2 Siirtymäfunktio σ(x B x A ) ja sen kovariantit derivaatat.... 39 5.2.1 Rajankäynti B A, Einsteinin kenttäyhtälöt..... 42 5.3 Siirtymä pisteestä toiseen.................... 46 5.3.1 Propagaattori....................... 46 5.3.2 Geodeettinen poikkeama................. 49
vi SISÄLTÖ 5.4 Paluu siirtymäfunktioihin, σ ;αa β B................ 53 5.4.1 Paluu tetradiformalismiin................ 55 6 Loppusanat 57 A Gravitaatio 59 A.1 Newtonin gravitaatioteoria.................... 59 A.2 Einsteinin gravitaatioteoria................... 60 A.2.1 Geodeettisen poikkeaman yhtälön tetradimuoto.... 62 A.3 Teorioiden välinen yhteys.................... 62 B Laskujen yksityiskohtia 65 B.1 Lukuun 3 liittyvät laskut..................... 65 B.2 Lukuun 4 liittyvät laskut..................... 69 B.3 Lukuun 5 liittyvät laskut..................... 73
Luku 1 Johdanto Fysikaalisen teorian muotoiluun vaikuttavat muotoilun lähtökohdat ja tavoitteet. Saman ilmiön voi hahmottaa eri tavoin ja silti päätyä samankaltaisiin lopputuloksiin. Gravitaatiota kuvaili ensimmäisenä Newton, myöhemmin Einstein ja siinä missä Newtonin teoriassa gravitaatio ajatellaan painovoimaksi, jolla kappaleet vetävät toisiaan puoleensa, Einsteinin yleisessä suhteellisuusteoriassa gravitaatio samastetaan avaruusajan muotoon. Molemmat teoriat kuitenkin tuottavat likimain samanlaiset liikeradat planeetoille. Toisaalta saman asian voi rakentaa erilaisista palikoista: Jos tarvitaan yöpöytä, mikä tahansa tasainen alusta jolla on riittävän kestävä rakenne, että sille voi laskea kohtuullisen määrän tavaraa riittää. Puinen pöytä voi päätyä takkaan taloa lämmittämään, kun taas väärinpäin käännetystä pahvilaatikosta saattaa olla hyötyä seuraavassa muutossa. Molemmat toimivat yhtä hyvin pöytänä, vaikka niiden muu käyttö eroaakin toisistaan. Myös yleisen suhteellisuusteorian voi rakentaa erilaisista palikoista: käyttäen tensorianalyysiä (kuten Einstein) tai dierentiaaligeometriaa. Liikkeelle on historian saatossa lähdetty eri lähtökohdista. Tässä tutkielmassa Einsteinin kenttäyhtälöt johdetaan lähtien geodeettisesta siirtymäfunktiosta. Kullakin tavalla on omat ominaispiirteensä ja motivaationsa, vaikka saman suhteellisuusteorian ne tuottavatkin. Kyse on saman asian rakentamisesta erilaisin rakennusainein ja erilaisin menetelmin. Nyt käytettävän siirtymäfunktion avulla voi muotoilla Einsteinin kenttäyhtälöt, minkä lisäksi sen avulla kuvataan kahden pisteen välistä yhteyttä. Siirtymäfunktio kuvaa, nimensä mukaisesti, siirtymää (tai yhteyttä) avaruusajan pisteiden välillä. Sen arvot riippuvat siten sekä siirtymän alku- että loppupisteestä. Kuitenkin esimerkiksi mainitut Einsteinin kenttäyhtälöt kuvaavat avaruusajan muotoa yhdessä pisteessä kerrallaan ja ne saadaan rajalla, jossa loppupiste lähestyy alkupistettä.
2 Johdanto Havainto, joka tehdään varsinaisesti vasta liitteessä A on, että Riemannin vuorovesitensori R αβ nousee merkittävään rooliin niin Newtonin gravitaatioteoriassa, Einsteinin lokaalissa teoriassa (Yleinen suhteellisuusteoria) kuin myös tässä tutkielmassa käsitellyssä (ei-lokaalissa) teoriassa. Riemannin vuorovesitensori on myös tekijä, joka erottaa suppean suhteellisuusteorian edellä mainituista gravitaatiota kuvaavista teorioista. Suppean suhteellisuusteorian laakeassa avaruusajassa R αβ on aina nolla.
Luku 2 Siirtymäfunktio kvanttimekaniikassa Tässä luvussa käsitellään kvanttimekaanisten systeemien välistä siirtymää (tai yhteyttä). Koko aiheen käsittely ja päätelmät ovat peräisin Diego Meschinin vuonna 2008 ilmestyneestä väitöskirjasta [Meschini] (Chapter 12). Kirjassa on myös käsitelty käytetyn lähestymistavan motivaatiota ja (mm. psykologisia) perusteita ja analogioita. Myöhemmin käsitellään kahden tapahtuman (avaruusajan pisteen) välistä yhteyttä suhteellisuusteorian kannalta ja tämä luku toimii ikään kuin johdantona tai vertailukohtana tulevalle. Käsitteet siirtymäolio ja siirtymäfunktio johdatellaan metageometrisistä 1 lähtökohdista. 2.1 Metageometrinen perusta Fysikaaliseksi perustaksi otetaan preparointi tai esimittaus. Tällä tarkoitetaan prosessia, josta jostakin raaka-aineistosta poimitaan ne systeemit, joilla on jokin haluttu ominaisuus. Siis jos observaabelin A mahdolliset mittaustulokset, eli spektri on {a i } (missä i = 1, 2,...), esimittauksen jälkeen vain tietyt, tulokset ovat mahdollisia. On tietenkin myös mahdollista, että A:n spektri on jatkuva. Esimerkiksi, jos halutaan tutkia vain tietyssä spin-tilassa olevia elektroneja, esimittaus poimii koko näytteen kaikista hiukkasista ne, joilla on haluttu spin. Liitetään observaabeliin A, kuvaamaan esimittausta, metageometrinen esimittausolio P (a). Se kuvaa prosessia, jossa raaka-aineistosta poimitaan 1 Metageometria geometrian tuolla puolen, vrt. metafysiikka, jolla tarkoitetaan fysikaalisen tieteen tavoittamattomissa olevaa [Meschini] s. 191.
4 Siirtymäfunktio kvanttimekaniikassa fysikaaliset systeemit, jotka liittyvät ko. observaabeliin (ja suodattaa ne, joiden preparointi a-systeemeiksi ei onnistu). Samaan tapaan P (a i ) erittelee observaabelin A spektristä ne systeemit a i, joilla on jokin haluttu ominaisuus ja suodattaa ne a j ( j i), joilla tätä ei ole. Huomautetaan vielä, että P (a) on todella metageometrinen P (a):n P (a) P [ ] (b) P (a), P (b) ei- geometrinen muoto, P (a), vät kertakaikkiaan tarkoita mitään. tai dist Otetaan käyttöön merkintä P (a i )+P (a j ) tarkoittamaan observaabeliin A liittyvää esimittausta, jolla erotellaan sekä a i - että a j -systeemit muista. Symboli '+' ymmärretään tässä siis tarkoittamaan samaa kuin logiikan TAI (poimitaan ne systeemit, joilla on ominaisuus a i TAI a j ). Tuntuu selvältä, että mainittu esimittausten summa on kommutatiivinen; P (a i ) + P (a j ) = P (a j ) + P (a i ) (2.1) ja assosiatiivinen; [ [ ] P (ai ) + P (a j )] + P (a k ) = P (a i ) + P (aj ) + P (a k ). (2.2) Esimittauksen, joka päästää kaikki a i -systeemit läpi, kuvataan identtisyysoliolla I. Niinpä sen on vastattava kaikkien mahdollisten (kyseessä olevaan observaabeliin liittyvien) esimittausolioiden summaa. Symbolein tämä (metageometrinen) täydellisyysrelaatio on i P (a i ) = I, (2.3) missä summa i sisältää kaikki P (a i)-termit a i :t ovat niin tihein välein, kun on havaintojen kannalta tarpeellista. Tärkeintä on, että kaikki mahdolliset mittaustulokset otetaan mukaan. Samaan tapaan, kuin identtisyysolio yllä, otetaan mukaan myös sen vastakohta (esimittausten kannalta). Oliota O, joka vastaa esimittausta, josta yhtään systeemiä ei pääse läpi, kutsutaan nollaolioksi. Yhteen observaabeliin A liittyvää esimittausta, joka vaatii sekä tuloksen a i että tuloksen a j, merkitään tulolla P (a j )P (a i ) (vastaavasti P (a)p (b) vaatii ominaisuudet a ja b). Tulo siis vastaa loogiikan operaatiota JA (läpi pääsevät systeemit, joilla on ominaisuus a i JA a j ). 2 Näistä esimittauksista jälkimmäinen, P (a j ) päästää sisään tulevista a i -systeemeistä läpi a j - 2 Joukko-opin kannalta yhteen observaabeliin liittyvien esimittausten joukossa summa + vastaa yhdistettä ja tulo leikkausta. [Kirjoittajan huomautus]
2.2 Kvanttimekaaniset siirtymäolio ja siirtymäfunktio 5 systeemit. Toisin sanoen kaikki systeemit suodattuvat, ellei i = j. 3 Symbolein missä on otettu käyttöön deltaolio P (a j )P (a i ) = D ij P (a i ), (2.4) D ij = { O kun i j I kun i = j. Tuloksesta (2.4) käsin on selvää, että myös yhteen observaabeliin A liittyvien esimittausolioiden tulo on sekä kommutatiivinen että assosiatiivinen (useampaan observaabeliin liittyvien esimittausolioiden tulo on yleisesti ainoastaan assosiatiivinen): P (a j )P (a i ) = P (a i )P (a j ) (2.5) [ ] [ P (ak )P (a j ) P (ai ) = P (a k ) P (aj )P (a i )] (2.6) Todetaan vielä, ennen siirtymistä tutkimaan tilojen välistä vastaavuutta, että nollaoliolla O ja identtisyysoliolla I on tulon ja summan suhteen samanlaisia ominaisuuksia kuin luvuilla 1 ja 0: I + O = I, P (a) + O = P (a), I I = I, O O = O, I P (a) = P (a) = P (a)i, O P (a) = O = P (a)o, I O = O = O I. 4 2.2 Kvanttimekaaniset siirtymäolio ja siirtymäfunktio Kahteen eri observaabeliin A ja B liittyvien esimittausolioiden P (a) ja P (b) tulon tutkiminen antaa aihetta ottaa mukaan uuden, metageometrisen, 3 P (a j)p (a i) = O kun i j P (a j)p (a i) = P (a i) kun i = j 4 Toisaalta erojakin löytyy esim. tarkastelemalla toimituksia I + I ja P (a) + I. [Kirjoittajan huomautus]
6 Siirtymäfunktio kvanttimekaniikassa olion. Yleisestihän P (b)p (a) P (a)p (b). Ensimmäinen tulo suodattaa raaka-aineistosta muut kuin a-systeemit, jonka jälkeen ne a-systeemit, jotka eivät muunnu b-systeemeiksi, suodatetaan pois jäljelle jää b-systeemejä. Jälkimmäisessä a:n ja b:n roolit vaihtuvat ja jäljelle jäävät ovet a-systeemejä. Vain täydellisesti yhteensopiville 5 observaabeleille A ja B yhtäsuuruus pätee (ja tietysti täydellisen yhteensopimattomille 6, jolloin molemmat tulot antavat O :n). Tulojen tarkastelu herättää kysymyksen, kuinka yhteensopivia observaabelit A ja B ovat. Tulo P (b)p (a) koostuu oikeastaan kolmesta osasta; i) a-systeemien esimittauksesta raaka-aineistosta, ii) a-systeemien muuntamisesta b-systeemeiksi, siltä osin kuin se onnistuu (riippuu yhteensopivuuden määrästä) ja iii) a- ja b-systeemien yhteensopivuuden mitasta. Yhteensopivuutta tarkastellaan myöhemmin, mutta siirtymää (muunnosta) varten otetaan käyttöön kvanttimekaaninen (metageometrinen) siirtymäolio P (b a). Se kuvaa a-systeemien muuntamista b-systeemeiksi ilman suodatusta kaikki sisään menevät a-systeemit tulevat ulos b-systeemeinä. Selvästi P (b a) P (a b), erityisesti tämä pätee siirtymille yhden observaabelin mittaustuloksissa P (a j a i ) P (a i a j ) (koska a i - ja a j systeemit ovat toisensa pois sulkevia). Ja koska yhteen observaabeliin liittyvät eri systeemit ovat täysin yhteensopimattomia, jotta tulo P (a l a k )P (a j a i ) olisi nollasta poikkeava, on jälkimmäisen siirtymän alkutilan ja ensimmäisen lopputilan oltava yhteensopivia. On siis oltava P (a l a k )P (a j a i ) = D jk P (a l a i ). (2.7) Tästä seuraa myös, etteivät siirtymäoliot yleisesti kommutoi. Itse asiassa ne kommutoivat täsmälleen silloin kun j k ja i l, ja kun i = j = k = l. Intuitiivisesti on myös selvää, etteivät eri observaabeleihin liittyvät siirtymäoliot P (b a) ja P (d c) kommutoi. Toisin kuin yhden observaabelin tilat, eri observaabeleihin liittyvät tilat eivät välttämättä ole täysin yhteensopimattomia tai täysin yhteensopivia. Tulolla P (d c)p (b a) ja siirtymällä P (d a) on varmaankin jotain yhteistä keskenään, vaikkei yhtäsuuruus pätisikään. Tulon lopputulos riippuu observaabelien b ja c yhteensopivuuden määrästä. Huomautetaan vielä, että lopputulos on sama, jos suoritetaan observaabeliin A liittyvä esimittaus kahteen kertaan tai jos suoritetaan ensin esimittaus, jonka jälkeen muunnetaan a-systeemit a-systeemeiksi. Kummassakaan tapauksessa mitään ei suodateta ensimmäisen esimittauksen jälkeen, vaan 5 engl. compatible 6 engl. incompatible
2.2 Kvanttimekaaniset siirtymäolio ja siirtymäfunktio 7 kaikki systeemit selviytyvät loppuun asti. Symbolein P (a)p (a) = P (a a)p (a). (2.8) Tässä tapauksessa siirtymäolioiden tulo siis jakautuu kahteen osaan, esimittaukseen ja siirtymään aiemmin mainittua systeemien yhteensopivuuden mittaa ei ole näkyvissä, kun siirtymän alku- ja lopputilat ovat samat. Ei ole vaikea arvata, että seuraavaksi otetaan mukaan yhteensopivuutta mitattaamaan luvut ja että täydellisesti yhteensopivien systeemien yhteensopivuus on 1. Luvut tulevat mukaan kuvaan yhtälön (2.7) ja deltaolion D jk kautta. Korvaamalla tämä Kroneckerin deltalla δ jk saadaan mukaan luonnollisimmat luvut 0 ja 1: P (a l a k )P (a j a i ) = δ jk P (a l a i ). (2.9) Aiemmin deltaolio esiintyi aina tulon osapuolena, jossa tuloksena oli olio. Luvun ja olion tulon on annettava myös olio, jotta esim. yhtäsuuruus (2.9) säilyy mielekkäänä. Asetetaan siis 0P (a l a i ) = O (2.10) 1P (a l a i ) = P (a l a i ). (2.11) Nyt tehdään merkittävä postulointi: Yleistetään idea yhtälön (2.9) takana koskemaan myös useampaan observaabeliin liittyvien siirtymäolioiden tuloon ja asetetaan nk. siirtymäpostulaatti: P (d c)p (b a) = c b P (d a), (2.12) missä merkintä c b saa nimen siirtymäfunktio 7 ja estaa lukua. Tämän luvun luonteesta (luonnollinen, rationaali-, reaali-, kompleksi- jne.) ei vielä sanota mitään. Sen paremmin ei (vielä) voi tulkita c b :a sisätuloksi tässä vaiheessa se on vain merkintä fysikaaliselle toimitukselle. Siirtymäfunktio on täysin erilainen objekti kuin tähänastiset oliot, joten se kommutoi sekä siirtymä- että esimittausolion kanssa. Fysikaalisesti siirtymäfunktio kuvaa sitä, mikä osa observaabeliin B liittyvistä b-systeemeistä onnistutaan muuntamaan observaabeliin C liittyviksi c-systeemeiksi. Se on osa, joka on yhteistä esimittausolioille P (b) ja P (c). Aiempi tulos a j a i = δ ij on nyt erikoistapaus, jossa yhteen observaabeliin liittyvät tilat ovat joko täysin yhteensopivat (samat) tai täysin yhteensopimattomat (eri tilat). 7 Funktio, lat. fungi suorittaa toiminto. Siirtymäfunktio on tässä ymmärrettävä funktioksi tässä mielessä, ei eksplisiittiseksi kahden reaaliluvun, b ja c funktioksi f(c, b) [Meschini] s. 213.
8 Siirtymäfunktio kvanttimekaniikassa Nyt on koossa kaikki tarvittava kahden esimittausolion tulon ilmaisemiseksi, kuten jo ennakoitiin, kolmen objektin i) a-systeemien esimittauksesta raaka-ainestosta, ii) a-systeemien muuntamisesta b-systeemeiksi ja iii) a- ja b-systeemien yhteensopivuuden mitasta: P (b)p (a) = b a P (b a)p (a). (2.13) Tästä yhdistämällä tuloksen (2.8) kanssa saadaan jo aiemmin arvattu tulos a a = 1. Ennen siirtymistä eteenpäin mainitaan vielä kaksi relaatiota, jotka päätellään fysikaalisiin syihin vedoten ([Meschini] s. 214): b a = i b c i c i a ja (2.14) P (b a) = i,j d j b a c i P (d j c i ). (2.15) Näistä ensimmäinen tarkoittaa, että se osuus a-systeemeistä, jotka muuntuvat b-systeemeiksi, voidaan ajatella muuntuvan kaikkien mahdollisten c i - systeemien kautta. Jälkimmäinen puolestaan voidaan tulkita niin, että siirtymä a-systeemeistä b-systeemeiksi voidaan kasata siirtymistä c i -systeemeistä d j -systeemeihin, kunhan tiedetään, mikä osa c i -systeemeillä ja a-systeemeillä ja toisaalta b-systeemeillä ja d j -systeemeillä on yhteensopivaa. Siirtymäfunktiolla on siten rooli, kun muodostetaan lineaarikombinaatioita siirtymäolioista; siirtymäfunktiot antavat painon kullekin termille, sen perusteella, kuinka yhteensopivia eri systeemit ovat. Mitä enemmän on yhteistä, sitä suuremman painon ko. siirtymään liittyvä siirtymäolio saa. 2.3 Siirtymäfunktion käyttö Aiemmin todettiin, että yhden observaabelin tapauksessa a j a i on joko 0 tai 1. Toisaalta on todettu, että siirtymäfunktio kuvaa alku- ja lopputilojen yhteensopivuutta. Niinpä on enää lyhyt matka siirtymätodennäköisyyksien mukaan tuloon. Meschini lähtee tutkimalla esimittauksen P (b) aiheuttamaa häiriötä a- systeemeihin ([Meschini] s. 215): P (a)p (b)p (a) = a b b a P (a). Seuraavaksi tutkitaan hieman tarkemmin siirtymäfunktion fysikaalista merkitystä ja todetaan, että sen kuvaamiksi luvuiksi luonnollisin (toimiva) valinta ovat kompleksiluvut. Ylläolevan siirtymäfunktioiden tulon alaraja on 0 (tiloilla ei ole mitään yhteistä).
2.3 Siirtymäfunktion käyttö 9 Asetetaan myös b a ja a b toistensa aalisiksi vastineiksi kompleksikonjugoinnin kautta 8, b a = a b. (2.16) Nyt voidaan tulkita tulo a b b a todennäköisyydeksi. On saatu Pr(b a) = a b b a = b a b a =: b a 2 0. Tässä kunkin siirtymän todennäköisyys on symmetrinen: Pr(b a) = Pr(a b). Toisaalta koska Pr(b i a) = i i b i a 2 = 1, niin 0 Pr(b a) 1. Siirtymäfunktion avulla saadaan suoritettua vielä seuraava mielenkiintoinen tarkastelu. Tutkitaan taas esimittausolioiden tuloja: 1. Ensimmäiseksi otetaan siirtymä a-systeemeistä c-systeemeihin jonkin tietyn b-systeemin kautta, P (c)p (b)p (a), (observaabeliin B liittyvä suodatin on päällä). Koska siirtymät a-systeemeistä b-systeemeihin ja b-systeemeistä c-systeemeihin ovat toisistaan riippumattomat, voi todennäköisyyden Pr(c b a) ilmoittaa tulona Pr(c b)pr(b a). Tällöin Pr(c b a) = b c c b a b b a = c b b a 2. 2. Seuraavaksi tuloa P (c)i P (a) tarkastelemalla (tässä B:hen liittyvä suodatin on pois päältä), koska tulokset b i ovat toisensa poissulkevia, saadaan Pr(c b i a) = b i c c b i a b i b i a = i i i c b i b i a 2. 3. Viimeisenä tulo P (c)p (a) (B:hen liittyvä suodatin on kokonaan poissa) kuvaa siirtymää, näennäisesti ilman kulkua yhdenkään b i -systeemin 8 Tämä on nk. siirtymäfunktiopostulaatti; Siirtymäfunktiot estavat kompleksilukuja ja a b :n ja b a :n välinen yhteys on nimenomaan b a = a b
10 Siirtymäfunktio kvanttimekaniikassa kautta. Kuitenkin käyttäen hyväksi tulosta (2.14), todennäköisyys Pr(c a) = a c c a, saadaan kirjoitettua muodossa Pr(c a) = a b i b i c c b j b j a i j = a b i b i c c b i b i a + a b i b i c c b j b j a i i j i = Pr(c b i a) + interferenssitermit. i Viimeisessä kohdassa interferenssitermit estavat kaikkien mahdollisten tapojen (läpäistä b i systeemit) interferenssiä. Aivan kuin systeemeille olisi sen lisäksi, että ne kulkevat jonkin b i systeemin läpi mahdollista kulkea kaikkien b i -systeemien kautta samanaikaisesti. Tämä on tietenkin kiellettyä klassisessa fysiikassa. Näin identtisyysoliolla I on fysikaalisia seurauksia, se muuttaa c:n mittauksiin liittyvää ennustetta riippuen siitä, onko observaabeliin B liittyvää esimittausta läsnä vai ei. Tähän astinen kvanttimekaniikan käsittely on pysytellyt erossa geometrisista käsitteistä niin hyvin kuin mahdollista. Siirtymäfunktiota on merkitty, kuin tulevaa ennakoiden, a b :llä, vaikkei mistään tilavektoreista puhumattakaan niiden sisätuloista ole vielä sanottu mitään. Nyt ne kuitenkin otetaan mukaan tähänastinen meta- ja kvasigeometrinen 9 tarkastelu mielessä, analogian kautta. Aiemmin todettiin, että i b i a = 1. Samalla tavalla käyttäen Pythagoraan lausetta n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa yksikkövektrorille a ja ortonormitetun kannan kantavektoreille b i (i = 1, 2,..., n ja ortonormitus bi b j = δ ij ) saadaan cos 2 (θ i ) = ( b i a) 2 = 1, i i missä θ i on a:n ja b i :n välinen kulma. Loppujen lopuksi mukaan otetaan vektorit siten, että ket-vektori a yhdistetään sisään tulevaan tilaan ja bra-vektori a ulosmenevään. Bra- ja ketvektoreiden sisätulo b a ajatellaan siirtymäfunktion b a geometriseksi vastineeksi. Näin tulkiten saadaan geometriset vastineet myös esimittaus ja siirtymäolioille. Siirtymäolio P (b a) muuntaa sisään tulevat a-systeemit b-systeemeiksi. Tilavektoreiden a ja b ulkotulo b a tekee juuri tämän ( b a ) a = b, 9 kvasigeometria ymmärretään tässä metageometrian ja geometrian väliseksi alueeksi. Kvasigeometrisellä oliolla on joitakin yhtymäkohtia geometriaan, vaikkei se varsinaisesti geometrinen olekaan ([Meschini] s. 190)
2.3 Siirtymäfunktion käyttö 11 siis Samalla tavalla P (b a) g = b a. (2.17) P (a) g = a a. (2.18) Mainitaan tässä, siirtymäfunktioihin liittyvässä luvussa, vielä yksi käsite. Yleisesti operaattorin ˆX jäljeksi (operaattorikannassa { a i a i }) kutsutaan sen diagonaalielementtien summaa, Tr( ˆX) = i a i ˆX a i. Jäljen avulla, relaatiota (2.14) ja kompleksilukujen kommutatiivisuutta hyväksi käyttäen saadaan kirjoitettua muutama yhteys metageometristen ja geometristen olioiden välille: 1. Metageometrisen siirtymäolion P (b a) jättämä geometrinen jälki on sisätulo (geometrisoitu siirtymäfunktio) b a : Tr[P (b a)] g = Tr( b a ) = i c i b a c i = a b. (2.19) 2. Erityisesti, Tr[P (a j a i )] g = Tr( a j a i ) = a i a j = δ ij. (2.20) 3. Metageometrisen esimittausolion P (a) jättämä geometrinen jälki on Tr[P (a)] g = Tr( a a ) = a b = 1. (2.21) 4. Metageometristen siirtymäolioiden P (d c) ja P (b a) tulon jättämä geometrinen jälki on Tr[P (b a)p (d c)] = Tr[P (d c)p (b a)] g = Tr[( d c )( b a )] = c b a d, (2.22) josta seuraa huomion arvoinen tulos: 5. Kahden metageometrisen esimittausolion P (a) ja P (b) tulon jättämä geometrinen jälki on a- ja b-systeemien välinen siirtymätodennäköisyys Tr[P (a)p (b)] = Tr[P (b)p (a)] g = b a a b = Pr(b a). (2.23) Toisin sanoen: metageometristen olioiden geometrinen sormenjälki on kvanttimekaaninen todennäköisyys ([Meschini] s.229).
12 Siirtymäfunktio kvanttimekaniikassa Kvanttimekaniikkaa käsitellään vielä perusteellisemmin ja laajemmin nyt lainatussa väitöskirjassa ([Meschini]), mutta tässä on lyhyesti esitetty pääkohdat liittyen kvanttimekaaniseen siirtymäfunktioon b a. Myöhemmin esitellään suhteellisuusteoreettiset siirtymäfunktio ja siirtymäolio. Tämä kappale on liitetty tutkielmaan vertailun vuoksi, vaikkei samoista objekteista sinänsä olekaan kyse.
Luku 3 Maailmanviiva ja maailmanpinta 3.1 Maailmanviiva x α = x α (u) ja geodeettinen yhtälö Tästä kappaleesta eteenpäin tutkitaan neliulotteisen avaruusajan ominaisuuksia. Toisin kuin edellisessä kappaleessa esitetty kvanttimekaniikka on tuleva teoria täysin geometrinen. 3.1.1 Geodeettinen yhtälö Kahden tapahtuman, A x α (u A ) ja B x α (u B ), tapahtumaväli on s = B A C ds = ub u A f ( x, dx ), missä C on sellainen maailmanviiva x α = x α (u), joka kulkee molempien tapahtumien kautta; u on parametri, joka kasvaa menneisyydestä tulevaisuuteen. Käytössä on viivaelementti ds = g αβ dx α dx β, joten f(x, x ) = f ) (x α, dxα dx = g α dx β αβ. Maailmanviivaa, jossa tapahtumaväli s saa ääriarvon, kutsutaan geodeesiksi. Toisin sanoen geodeesi on maailmanviiva, joka toteuttaa variaatioyhtälön B ub δ ds = 0, eli δ f ( u, x, x ) = 0, A u A
14 Maailmanviiva ja maailmanpinta missä δ on variaatiosymboli ja x = dx (tässä kappaleessa tarkoittaa derivointia u:n suhteen). Otetaan nyt (reaali)luku ε ja riittävän siisti funktio y α = y α (u), jolle y α (u A ) = y α (u B ) = 0 ja määritellään uusi maailmanviiva Tällöin df(u, z α, z α ) dε z α (u) = x α (u) + εy α (u). = f u u ε + f z α z α ε + f z α z α ε = f z α yα + f z α y α. Jos nyt z α (u) = x α (u) on etsitty ääriarvon antava maailmanviiva, niin d ub ub ( f f(u, z α, z α ) z dε α =x α = u A u A x α d ) f x α y α = 0. Joten koska y α (u) voi poiketa nollasta, pätevät geodeesin jokaisessa pisteessä (Eulerin-Lagrangen) yhtälöt, d f f = 0, (3.1) x α xα missä x α = dxα ja α = 1, 2, 3, 4. Kätevämmäksi osoittautuu kuitenkin hieman muokattu muoto, jossa f(x, x ):n sijasta esiintyy [f(x, x )] 2 : Kun d f = 0, niin myös (ks. liite) x f α x α d ( f 2 x α ) (f 2 ) x α 1 d(f 2 ) 2f 2 (f 2 ) = 0. x α Tähän mennessä parametri u on ollut mielivaltainen, mutta valitaan nyt u = s. Tällöin x α = dxα ds, f 2 = g αβ x α x β = g αβdx α dx β = +1 ja df 2 ds 2 = 0, jolloin saadaan nk. ajanluonteisen geodeettisen yhtälön 1. muoto ( ) d f 2 ds x α (f 2 ) = 0. (3.2) xα Hieman eksplisiittisempi, 2. muoto saadaan sijoittamalla yllä olevaan yhtälöön (3.2) f 2 = g αβ x α x β. Tällöin sievennysten jälkeen jäljelle jää ajanluonteisen geodeettisen yhtälön 2. muoto missä g γβ dx β ds + [αβ, γ]x α x β = 0, (3.3) [αβ, γ] = 1 2 ( gαγ x β + g βγ x α g ) αβ x γ
3.1 Maailmanviiva x α = x α (u) ja geodeettinen yhtälö 15 on nimeltään ensimmäisen lajin Christoelin symboli. Kolmas, vieläkin eksplisiittisempi muoto saadaan kertomalla 2. muotoa g γδ :lla: Koska g γδ g γβ = δ δ β, tulee tulokseksi missä d 2 x γ ds 2 { } + γ x α x β = 0 (3.4) α β { } γ = g γδ [αβ, δ] on nk. toisen lajin Christoelin symboli. α β 3.1.2 Absoluuttinen ja kovariantti derivaatta Seuraavaa havaintoa varten tehdään parametrinvaihto u v = v(u). Geodeettinen yhtälö (3.4) muuttuu tällöin muotoon d 2 x γ dv 2 { } + γ dx α dx β α β dv dv = d2 v 2 ( ) dv 2 dx γ dv. Koska yhtälön oikea puoli on muotoa f(v)t γ, siis vektori, on vasemmalla puolella olevan summankin oltava sitä (vaikkeivät sen termit erikseen olekaan). Näin ollen koordinaattimuunnoksessa x x (tästä eteenpäin viittaa koordinaattimuunnokseen, ei derivointiin) vektorille U γ := d2 x γ 2 { } + γ dx α dx β α β pätee U γ = x γ x δ U δ. Siis U γ = d2 x γ 2 ts. = x γ x δ { } + γ dx α α β 2 x δ dx α x β x α ( { } γ { } δ x γ α β ε ζ x δ dx β dx β + d2 x γ 2 x ε x ζ x γ x α x β x δ { } + δ x γ x α x β dx ε dx ζ α β x δ x ε x ζ, 2 x δ ) dx α dx β x β x α = 0, josta muunnosrelaatioksi 2. lajin Christoelin symbolille saadaan { } γ { } δ x γ α β = ε ζ x δ x ε x ζ x γ x α + x β x δ 2 x δ x α x β (3.5) Viimeisen tulotermin mukana pysyminen osoittaa, ettei 2. lajin Christoelin symboli ole tensori.
16 Maailmanviiva ja maailmanpinta Otetaan nyt kontravariantti vektori T α ja muodostetaan siitä johdannainen dt α { } + α T β dxγ δt α =: β γ, T α :n absoluuttinen derivaatta (maailmanviivaa x α = x α (u) pitkin). Todetaan ensin, että δt α δt α on myös kontravariantti vektori, ts. = x α δt β x β : Tutkitaan erotusta δt α x α δt β dt α x β = x α dt β { } x β + α T β dx γ β γ x α { } β x β T γ dxδ γ δ. (3.6) Kaksi ensimmäistä termiä oikealla puolella sievenevät muotoon 2 x α x β x γ T β dxγ ( 0), eli pelkkä dt α ei ole kontravariantti vektori. Erotuksen (3.6) kaksi jälkimmäistä termiä puolestaan sievenevät muotoon Nyt huomataan, että koska (ks. liite) niin δt α 2 x δ x ε x ζ x α x δ x ε x β x ζ x γ T β dxγ, 2 x δ x ε x ζ x α x δ x ε x β x ζ x γ + 2 x α x β x γ = 0, x α δt β ( 2 x β = x δ x α x ε x ζ x ε x ζ x δ x β x γ + 2 x α ) x β x γ T β dxγ = 0. Täten kontravariantin vektorin absoluuttinen derivaatta on myös kontravariantti vektori. Jos δt α = 0 (jokaisessa maailmanviivan pisteessä), sanotaan, että on suoritettu vektorin T α yhdensuuntaissiirto (maailmanviivaa pitkin). Seuraavaksi herää kysymys, voiko absoluuttisen derivaatan ottaa käyttöön myös kovarianteille vektoreille T α tai korkeamman kertaluvun tensoreille. Ja jos voi, millaisen? Aloitetaan tarkastelemalla kovarianttia vektoria T α maailmanviivalla x α = x α (u). Otetaan avuksi kontravariantti U α, jota siirretään yhdensuuntaisesti pitkin em. maailmanviivaa, ts. δu α = 0 eli du α { } = β U β dxγ α γ.
3.1 Maailmanviiva x α = x α (u) ja geodeettinen yhtälö 17 Koska (sisätulo)invariantin T α U α derivaatta u:n suhteen on myös invariantti, saadaan d (T αu α ) = dt α U α du α ( + T α = dtα { } β dx γ ) T α γ β U α (missä U α on mielivaltainen jokaisessa maailmanviivan pisteessä). Sulkeissa olevaa nimitetään T α :n absoluuttiseksi derivaataksi ja merkitään dt { } α β dx γ T α γ β =: δt α Koska saan tulon δtα U α on edelleen oltava invariantti, on δtα :n oltava kovariantti vektori. T α :n yhdensuuntaissiirto on, kuten aiemmin kontravariantin vektorin tapauksessa, δt α = 0. Vastaavasti, käyttäen hyväksi sisätuloa, saadaan toisen kertaluvun tensorien absoluuttiset derivaatat δt αβ dt αβ { } { } = + α γβ dxδ T γ δ + β αγ dxδ T γ δ, δt αβ = dt { } αβ γ dx δ { } T α δ γβ γ dx δ T β δ αγ ja δt α β = dt α { } β + α T γ dx δ { } γ δ β γ T α dx δ β δ γ. Myös korkeamman kertaluvun tensoreiden absoluuttiset derivaatat muodostetaan samalla periaatteella jokaista kontravarianttia komponenttia kohti tulee lisää yksi termi positiivisella etumerkillä, jokaista kovarianttia komponenttia kohti tulee termi negatiivisella etumerkillä. Invariantille T sovitaan, että δt = dt. Absoluuttisen derivaatan ominaisuuksista mainittakoon seuraavat Lineaarikombinaatiosääntö ja Leibnizin sääntö ovat voimassa kuten tavallisellekin derivaatalle. Siis δ (at + bu) = aδt + bδu mittä T ja U ovat derivoituvia olioita. Osittaisintegrointi b a ja δu α b g αβ V β = / g αβ U α V β a δ δt (TU) = U + TδU, b a g αβ U α δv β.
18 Maailmanviiva ja maailmanpinta δg αβ = 0 = δgαβ ja δ(δα β) = 0 g αβ dt α dt β yleensä, mutta g αβ δt α = δt β. Palataan vielä hetkeksi geodeettiseen yhtälöön (3.4). Sen voi nyt, käyttäen absoluuttista derivaattaa ja merkintää dxα =: U α (tangenttivektori), kirjoittaa muodossa δu α = 0. (3.7) Toisin sanoen: Geodeesin tangenttivektori dxα siirtyy yhdensuuntaisesti pitkin geodeesia (vrt. tason geodeesi: suora viiva). Erityisesti yksikkötangenttivektori dxα s =: V α (materiahiukkasen nelinopeus), siirtyy yhdensuuntaisesti pitkin geodeesia; δv α δs = 0. Täten myös vapaan 1 m-massaisen materiahiukkasen neliliikemäärä P α = mv α siirtyy yhdensuuntaisesti pitkin ajanluonteista geodeesia. Tätä voi verrata klassisen fysiikan Newtonin I lakiin, jonka mukaan vapaalle 2 hiukkaselle pätee d p dt = 0. Newtonin I lain mukaan vapaa massallinen hiukkanen jatkaa suoraviivaista liikettä vakionopeudella (tai pysyy paikallaan). Suhteellisuusteoriassa tämä korvataan Einsteinin geodeettisella hypoteesilla, jonka mukaan vapaan massallisen hiukkasen maailmanviiva on Riemannin-Einsteinin avaruusajan ajanluonteinen geodeesi. Vapaan fotonin maailmanviiva on nollageodeesi, jolle ds = 0. Absoluuttinen derivaatta riippuu tarkasteltavana olevasta maailmanviivasta (u:sta) ja on siksi käytännöllinen apuväline niin kauan kun tarkastellaan esimerkiksi geodeettista yhtälöä tai siirtymiä maailmanviivalla. Ennemmin tai myöhemmin halutaan kuitenkin liittää tensorit koko avaruusaikaan (tai johonkin sen osaan) ja näin ollen pitää siirtyä maailmanviivaderivaatasta avaruusaikaderivaattaan ns. kovarianttiin derivaattaan. Siirtyminen tapahtuu ottamalla dxγ yhteiseksi tekijäksi, kontravariantille vektorille siis δt α = dt α { } + α T β dxγ β γ = ( T α { } ) x γ + α dx T β γ β γ, 1 Vapaan ulkoisista voimista. Suhteellisuusteoriassa gravitaatio halutaan määritellä avaruusajan absoluuttiseksi (geometriseksi) ominaisuudeksi, ei ulkoiseksi voimaksi. Näin se saattaa hyvinkin esiintyä, vaikka hiukkanen olisikin ns. vapaa. 2 Klassisessa fysiikassa myös gravitaatio ajatellaan ulkoiseksi voimaksi.
3.2 Maailmanpinta x α = x α (u, v) ja geodeettinen yhtälö 19 v = vakio. A v = vakio v = vakio. B x α = x α (u,v): v = vakio, u A u u B x α = x α (u A,v) x α = x α (u B,v) Kuva 3.1: Maailmanpinta missä suluissa oleva osa on tyyppiä (1,1) oleva 2. kertaluvun tensori (sillä sen ja kontravariantin vektorin dxγ δt α tulo on kovariantti vektori ). Tätä nimitetään T α :n kovariantiksi derivaataksi. Usein merkitään T α { } { } x γ + α T β = T α α β γ,γ + T β = T α β γ ;γ, missä T α,γ on T α tavallinen osittaisderivaatta x γ :n suhteen. Kovariantin vektorin kovariantti derivaatta on } T α;γ = T α,γ { β α γ 2. kertaluvun kovariantti tensori. Vastaavaalla tavalla absoluuttisesta derivaatasta saadaan myös korkeampien kertalukujen tensorien kovariantit derivaatat. T β 3.2 Maailmanpinta x α = x α (u, v) ja geodeettinen yhtälö Tarkastellaan seuraavaksi maailmanpintaa x α = x α (u, v), missä parametrit u ja v vastaavat maailmanviivan x α = x α (u) parametriä u (Kuva 3.2). Kiinnitetään ensin kaksi maailmanviivaa, joista toisella u = u A = vakio ja toisella u = u B = vakio (u A u B ). Valitaan sitten tapahtuma A ensin mainitulta
20 Maailmanviiva ja maailmanpinta ja tapahtuma B jälkimmäiseltä maailmanviivalta niin, että molemmat ovat käyrällä x α = x α (u, v), jolla v pysyy vakiona ja u A u u B. Edetään samaan tapaan kuin edellisessäkin kappaleessa muodostamalla variaatiointegraali (invariantti) A:sta B:hen I(v) = ub u A g αβ x α u x β ub u = g αβ U α U β, (3.8) u A missä on merkitty tangenttivektorikenttää xα u =: U α. 3 Tutkitaan ensin, kuinka parametrin v muuttaminen vaikuttaa integraalin arvoon, toisin sanoen mitä on di(v) dv. Koska I(v) on invariantti, tiedetään, että Siten saadaan (liite) di(v) dv = δi(v) δv. di(v) dv = 2 / u B u A g αβ U α V β 2 ub u A g αβ δu α V β. (3.9) Muodostetaan nyt variaatio-ongelma kiinnittämällä tapahtumat A ja B, ts. asetetaan V α (u A ) = V α (u B ) = 0. Tällöin di(v) dv = 2 ub u A g αβ δu α V β = 0, mistä geodeettiseksi yhtälöksi saadaan, kuten aiemminkin, (koska V α 0 yleisesti) δu α = 0. (3.10) Varsinainen tulos saadaan tästä ensin kertomalla (laskemalla sisätulo) puolittain U α :lla: δu α g αβ U β = 0. (3.11) Eli koska δu α g αβ U β = 1 δ ( g αβ U α U β) = 1 d ( g αβ U α U β), 2 2 niin myös d ( g αβ U α U β) = 0. Tästä integroimalla u:n yli saadaan (1. integraali) 3 Vastaavasti merkitään xα v = V α. g αβ U α U β =: εζ 2 (= vakio), (3.12)
3.3 Geodeettinen kaarevuus 21 missä indikaattori ε määrää merkin (ε = +1 tai ε = 1). Myös vakiosta ζ osataan sanoa hieman lisää. Kirjoittamalla yhtälöä 3.12 auki eli sijoittamalla U α = dxα huomataan, että vasemmalla puolella esiintyy siirtymäalkio ds 2 = εg αβ dx α dx β. Näin ollen saadaan relaatio ds:n ja :n välille: ds = ζ. (3.13) Tehdään vielä havainto liittyen U α :lla kerrottuun geodeettiseen yhtälöön (3.11). 3.3 Geodeettinen kaarevuus Yhtälön 3.11 mukaan ja se toteutuu, jos 1. W α := δu α g αβ δu α U β = 0 = 0, eli siirrytään pitkin geodeesia, tai 2. W α 0, jolloin sisätulo g αβ W α U β = 0, eli vektorit W α ja U α ovat ortogonaaliset. Tietenkään ei ole mitään syytä olettaa, että W α = 0 yleensä. U α = dxα on x α :n tangenttivektori(kenttä), joten jos W α on sen kanssa ortogonaalinen, on sen oltava verrannollinen yksikkönormaalivektoriin N α. Otetaan verrannollisuuskertoimeksi k(> 0) ja kutsutaan sitä käyrän geodeettiseksi kaarevuudeksi. Tällöin siis δu α = kn α. (3.14) (k siis kuvaa käyrän, ei itse avaruuden kaarevuutta.) Määritelmä myös tuntuu luonnolliselta, jos tulkitaan absoluuttinen derivaatta poikkeamana geodeesin suunnasta; mitä suurempi on kaarevuus k, sitä suurempi on W α :n suuruus eli U α :n poikkeama geodeesista. N α :n avulla saadaan lauseke k:lle. Koska N α on yksikkövektori, on ε N g αβ N α N β = 1, missä ε N = +1 tai ε N = 1 niin että sisätulo antaa tulokseksi +1. Sijoittamalla tähän yhtälöstä 3.14 ratkaistu N α saadaan k 2 δu α δu β = ε N g αβ. (3.15) Siis: Mitä suurempi kaarevuus, sitä enemmän tangenttivektori muuttuu liikuttaessa käyrällä x α = x α (u). Samanlaisilla kaarevuuksilla on merkitystä seuraavassa luvussa, kun käsitellään enemmän hiukkasten ratakäyriä ja liikettä.
22 Maailmanviiva ja maailmanpinta
Luku 4 Liikkeen kuvailu 4.1 Lämmittelyä: Ortonormitettu triadi kolmiulotteisessa euklidisessa avarudessa Tässä kappaleessa käsitellään liikettä klassisen mekaniikan mukaan. Ollaan siis kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Myöhemmin vastaava liikkeen kuvailu suoritetaan avaruusajassa, joten tämä kappale toimii johdantona tulevalle. Klassisessa mekaniikassahan (mitattavana) perussuureena on pituus. Geometrisena perusoperaationa, niin nyt kuin myöhemminkin, on sisätulo kolmiulotteisen euklidisen avaruuden tapauksessa pistetulo ( a b). Ajatellaan avaruuteen hiukkasen ratakäyrä. Olkoon l ratakäyrän kaaren pituus niin, että l 0 (ks. Kuva 4.1). Merkitään ratakäyrän yksikkötangenttivektoria (kullakin l:n arvolla) û T (l). Tälle siis û T (l) û T (l) = û T (l) 2 = 1 kaikilla l. Derivoimalla edellistä relaatiota (tai ominaisuutta) puolittain l:n suhteen saadaan 2û T (l) dû T(l) = 0. dl Toisin sanoen, koska dû T(l) dl ei välttämättä ole nollavektori, on se kohtisuorassa û T (l):ää vastaan. Niinpä koska û T (l) on ratakäyrän tangenttivektori, on sen derivaattavektori verrannollinen yksikkönormaalivektoriin, ns. päänormaalivektoriin û N (l). Otetaan verrannollisuuskertoimeksi ( ) k = k(l) = dû T (l) dl 0, siis dû T (l) = k(l)û N (l). (4.1) dl Myös päänormaalivektorille pätee û N (l) û N (l) = 1.
24 Liikkeen kuvailu l=l 2 l 1 u^ T u^ B u^ N l=l 1 hiukkasen rata Kuva 4.1: Ortonormitettu triadi hiukkasen ratakäyrällä Koska myös päänormaalivektorille pätee û N (l) û N (l) = 1, niin derivointi l:n suhteen antaa, kuten edellä û N (l) dû N(l) dl = 0 ja siten myös û N (l):n derivaattavektori on kohtisuorassa itse û N (l):ää vastaan. Asetetaan dû N (l) = a(l)û T (l) + b(l)û B (l), (4.2) dl missä û B = û T û N on ratakäyrän binormaalivektori. Se on siis kohtisuorassa sekä û T (l):a että û N (l):a vastaan. Lisäksi û B (l) û B (l) = 1 ja siten, vastaavin perustein kuin aiemminkin, û B (l):n derivaatta on kohtisuorassa itse vektoria vastaan. Asetetaan nyt dû B (l) dl = α(l)û T (l) + β(l)û N (l). (4.3) Tähän mennessä on siis liitetty hiukkasen ratakäyrään kolme toisiaan vastaan kohtisuoraa vektoria. Käyttäen hyväksi vektoreiden kohtisuoruutta ja niiden derivaatoille asetettuja ehtoja (4.1),(4.2) ja (4.3) saadaan näille (ks. liite) dû T dl = kû N dû N dl = kû T + τû B dû B dl = τû N, (4.4) missä τ = τ(l) = b(l) = β(l) on ratakäyrän 2. kaarevuus, kiertyneisyys eli torsio (1. kaarevuus eli mutkaisuus on k(l)). 1. kaarevuus, eli k(l), kuvaa
4.1 Lämmittelyä: Ortonormitettu triadi kolmiulotteisessa euklidisessa avarudessa 25 käyrän poikkeamaa suorasta ja τ(l) poikkeamaa û T :n ja û N määräämästä tasosta. Siis jos τ(l) = 0 kaikilla l, pysyy liike (2-ulotteisessa) tasossa. Nyt hiukkasta kuvaa kullakin l:n arvolla triadi {û T (l), û N (l), û B (l)} ja sen ratakäyrää aali {k(l), τ(l)}. Täten triadiyhtälöissä (4.4) on kaikki tarvittava hiukkasen liikkeen kuvailuun. Esimerkki 1. Tarkastellaan ensin tapausta, jossa k(l) = vakio 0 ja τ(l) 0. Tällöin yhtälöt (4.4) ovat dû T dl = kû N dû N dl = kû T dû B dl = 0 eli û B (l) = vakio. Ratkaisu saadaan sijoittamalla ylemmästä yhtälöstä û N keskimmäiseen ja ratkaisemalla näin syntyvä toisen asteen dierentiaaliyhtälö d dl ( ) dût = k 2 û T, dl Käyttämällä hyväksi vektoreiden û T (l) ja û N (l) ortonormaaliutta ja ottamalla käyttöön sopivat, keskenään ortogonaaliset, (vakio)yksikkövektorit ê 1, ê 2 ja ê 3, voidaan ratkaisu kirjoittaa muodossa 1 û T (l) = sin(kl)ê 1 + cos(kl)ê 2 û N (l) = cos(kl)ê 1 sin(kl)ê 2 û B (l) = û T (l) û N (l) = ê 3 Ratakäyrän x = x(l) yksikkötangenttivektori on joten näillä valinnoilla ratakäyrä on û T (l) = d x(l), dl x(l) = 1 k cos(kl)ê 1 + 1 k sin(kl)ê 2 + x 0, (4.5) toisin sanoen 1 k -säteinen ympyrä. x 0 on vakiovektori, joka siirtää ympyrän haluttuun paikkaan, kun origo on kiinnitetty. 1 Kullekin komponentille (i = 1, 2 tai 3) û Ti(l) = (A i sin(kl) + B i cos(kl))ê i, missä A i ja B i ovat vakioita.
26 Liikkeen kuvailu Esimerkki 2. Otetaan nyt molemmat kaarevuudet nollastapoikkeaviksi vakioiksi. Toisin sanoen k(l) = vakio 0 ja τ(l) = vakio 0. Ratkaistavana on tällöin yhtälöryhmä dû T dl = kû N dû N dl = kû T + τû B dû B dl = τû N. Tämän kanssa yhtäpitävä (derivoidaan ensimmäistä yhtälöä kaksi kertaa ja toista kerran l:n suhteen) yhtälöryhmä on d 3 û T = k d2 û N dl 3 dl 2 d 2 û N = k dl dû 2 T dl + τ dû B (4.6) dl dû B dl = τû N. Nyt saadaan û T :lle yhtälö d 3 û T dl 3 + Ω dû T dl = 0, missä Ω 2 = k 2 +τ 2. Yhtälön ratkaisu (liitteessä) voidaan, sopivilla valinnoilla kirjoittaa muotoon û T = k Ω cos(ωl)ê 1 k Ω sin(ωl)ê 2 + τ Ωê3 û N = sin(ωl)ê 1 cos(ωl)ê 2 û B = τ Ω cos(ωl)ê 1 + τ Ω sin(ωl)ê 2 + k Ωê3, mistä ratakäyrän x(l) yhtälöksi yksikkötangenttivektoria û T integroimalla saadaan x(l) = k Ω 2 sin(ωl)ê 1 + k Ω 2 cos(ωl)ê 2 + τ Ω lê 3 + x 0, toisin sanoen ympyräruuviviiva, jonka paikan avaruudessa määrää vakiovektori x 0. Tämän kappaleen käsittely tapahtui siis kolmiulotteisessa avaruudessa. Kuitenkin, kuten tunnettua, fysikaalinen maailmankaikkeus on neliulotteinen, joten tarvitaan yksi yksikkövektori ja yksi käyrän kaarevuutta kuvaava muuttuja lisää, jotta saadaan vastaava muotoilu liikkeelle avaruusajassa. 4.2 Ortonormitettu tetradi neliulotteisessa avaruusajassa Tarkastellaan nyt hiukkasen ratakäyrää (maailmanviivaa) neliulotteisessa avaruusajassa. Otetaan neljä keskenään ortogonaalista yksikkövektoria µ α (1), µα (2),
4.2 Ortonormitettu tetradi neliulotteisessa avaruusajassa 27 µ α (3) ja µα (4), missä α on kontravariantin vektorin indeksi (α = 1, 2, 3, 4) ja suluissa oleva numero on tetradin (nelikon) vektorin indeksi. Siis µ α (i) = (µ1 (i), µ2 (i), µ3 (i), µ4 (i) ), missä i = 1,2,3 tai 4. Tarkastellaan ensiksi hieman näihin liittyviä laskusääntöjä. Kuten tavallista, saadaan µ α (i) :n kovariantti vastine metristä tensoria (g αβ) hyväksi käyttäen; µ (i)α = g αβ µ β (i). Asetetaan vektoreille ortonormitusehto µ α (i) µ (j)α = g αβµ α (i) µβ (j) = η (ij), (4.7) missä η (ij) = diag(1, 1, 1, 1) on laakean avaruusajan metrinen tensori. Metrisen tensorin g αβ (tai g αβ ) avulla voidaan nostaa ja laskea vektoreiden (ja tensoreiden) indeksejä ja yhdistää näin toisiinsa kovariantit ja kontravariantit vektorit µ α (i) ja µ (i)α. Otetaan käyttöön vastaavanlaiset merkinnät tetradin indekseille µ (i)α := η (ij) µ α (j) ja µ (i) α := η (ij) µ (j)α, (4.8) missä η (ij) on laakean avaruusajan metrisen tensorin kontravariantti muoto (siis niin, että η (ij) η (jk) = δk i ). Tällöin vastaavasti2 µ α (i) = η (ij) µ (j)α ja µ (i)α = η (ij) µ (j) α. (4.9) Toisin sanoen laakean avaruusajan metrisellä tensorilla nostetaan ja lasketaan nelikon vektorin indeksiä, aivan kuten, kussakin pisteessä, avaruusajan yleisellä metrisellä tensorilla nostetaan ja lasketaan vektorien kovariantteja ja kontravariantteja indeksejä. Kertomalla ortonormitusehtoa (µ α (i) µ (k)α = η (ik) (4.7)) puolittain η (jk) :lla saadaan µ α (i) µ(j) α = δ j i. (4.10) 2 Ylläolevan kertominen puolittain µ (i) β :lla antaa puolestaan3 µ α (i) µ(i) β = δα β (4.11) η (ij) µ (j)α = η (ij) η (jk) µ α (k) = δ k i µ α (k) = µ α (i) ja η (ij) µ (j) α = η (ij) η (jk) µ (k)α = δ k i µ (k)α = µ (i)α 3 µ α (i)µ (i) β µ(j) α = δjµ i (i) β = µ(j) β = δα β µ (j) α
28 Liikkeen kuvailu 4.2.1 Lorentzin muunnos Liitetään samaan avaruusaikapisteeseen kaksi ortonormitettua tetradia, µ α (i) ja ν α (i). Näiden vektoreiden sisätulo antaa (invariantin) nk. Lorentzin matriisin L (i) (j), siis L (i) (j) = µ (i) α ν α (j). (4.12) Lorentzin matriisin varsinainen hyöty tulee ilmi, kun tehdään seuraava havainto: Kerrotaan em. määritelmää puolittain ensin ν α (j) :lla ja sitten :llä. Saadaan kaksi relaatiota (liitteessä) µ α (i) µ (i) α = L (i) (j)ν α (j) ν(j) α = L(i) (j)µ α (i) (4.13) missä (i) ja (j) ovat Lorentz- eli tetradi-indeksit ja α on avaruusaika(tensori-) indeksi. Siis: kertominen Lorenzin matriisilla muuntaa toisen tetradin vektorit toisen tetradin vektoreiksi. Toisaalta voidaan ajatella L (i) (j):tä muunnosoperaattorina, jolla operoimalla saadaan ns. Lorentz-muunnos kahden tetradin välillä 4. Lisäksi (ks. liite) L (i) (j)η (il) L (l) (k) = η (jk), matriisiyhtälönä L T ηl = η 4.2.2 Vielä vektoreista Tähän asti on tarkasteltu avaruusaikaan asetettuja yksikkövektoreita, mutta todetaan vielä, että mikä tahansa vektori tai tensori voidaan ilmaista µ α (i) :tä hyväksi käyttäen. Tämä perustuu tietoon, että neljä keskenään ortonormaalia vektoria asettavat kannan neliulotteiseen avaruuteen. V α = V (i) µ α (i) V α = V (i) µ (i) α T αβ = T (ij) µ α (i) µβ (j) T αβ = T (ij) µ (i) α µ (j) β T α β = T (i) (j)µ α (i) µ(j) β jne... (4.14) 4 Erityisesti, jos kaikilla i pätee µ α (i) = ν α (i), niin L(i) (j) = µ (i) α ν α (j) = δ i j = diag(1, 1, 1, 1); matriisiyhtälönä L = 1
4.2 Ortonormitettu tetradi neliulotteisessa avaruusajassa 29 Kertomalla näistä ylintä µ (i) α :lla saadaan 5 V (i) = V α µ (i) α. Vastaavasti saadaan muutkin käänteisrelaatiot ylläoleville: V (i) = V α µ α (i) T (ij) = T αβ µ (i) α µ (j) β T (ij) = T αβ µ α (i) µβ (j) T (i) (j) = T α βµ (i) α µ β (j). (4.15) Tähän asti on esitelty neljän yksikkövektorin muodostama nelikko, tetradi ja hieman siihen liittyviä ominaisuuksia. Seuraavaksi valitaan yksi vektori ajanluonteiseksi (loput paikanluonteisiksi) ja keskitytään näiden keskinäisiin suhteisiin. 4.2.3 Tetradiyhtälöt Aiemmassa kappaleessa kuvailtiin hiukkasen ratakäyrä kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa käyttämällä kolmea keskenään ortogonaalista yksikkövektoria ja kahta kaarevuutta. Nyt tehdään sama neliulotteisessa avaruusajassa. Suurin ero tulee siinä, että neliulotteisessa avaruudessa tarvitaan neljä keskenään ortogonaalista vektoria ja kolme eri käyrään liittyvää kaarevuutta. Liitetään avaruusajan käyrän (x α = x α (u)) kuhunkin pisteeseen ortonormitettu tetradi µ α (i). Valitaan yksikkövektorit niin, että i=1 µα (1), µα (2) ja { } 4 ovat paikanluonteisia, siis µ α (3) g αβ µ α (i) µβ (i) = 1 kaikille i = 1, 2, 3 ja yksikkövektori µ α (4) on ajanluonteinen, siis g αβ µ α (4) µβ (4) = 1. Aiemmin kolmelle keskenään ortogonaaliselle yksikkövektorille johdettiin kolmen yhtälön ryhmä. Nyt vastaava yhtälöryhmä johdetaan tetradin vektoreille. Juoni on sama; otetaan tulo, päätellään tulos, tehdään sopiva valinta ja pidetään huolta, että ortogonaalisuus toteutuu. Aloitetaan µ α (1):stä. Ko. vektori valittiin ajanluonteiseksi, joten ottamalla absoluuttinen derivaatta (viivaparametrin u suhteen) puolittain normitusehdosta g αβ µ α (1) µβ (1) = 1 saadaan 5 V α µ (i) α = V (j) µ α (j)µ (i) α g αβ µ α (1) = V (j) δ i j = V (i) δµ β (1) = 0,
30 Liikkeen kuvailu toisin sanoen µ α (1) ja δµα (1) ovat ortogonaaliset. Valitaan δµ α (1) = Aµα (2), (4.16) missä A on vakiokerroin, 1. kaarevuus (A 0 yleensä). Tällöin siis µ α (1) ja µ α (2) ovat ortogonaaliset. Otetaan seuraavaksi absoluuttinen derivaatta tästä ortogonaalisuusehdosta (g αβ µ α (1) µα (2) = 0). Saadaan6 g αβ µ α (1) δµ β (2) = A Valitsemalla nyt δµ α (2) = Aµα (1) + Bµα (3), (4.17) missä myös B on yleensä nollasta poikkeava vakio, 2. kaarevuus, sijoittamalla edelliseen saadaan A = Ag αβ µ α (1) µα (1) + Bg αβµ α (1) µα (3) = A + Bg αβµ α (1) µα (3) toisin sanoen g αβ µ α (1) µα (3) = 0 eli µα (1) :n ja µα (3):n ortogonaalisuus toteutuu. Myös µ α (2) ja µα (3) ovat ortogonaaliset: Kertomalla yhtälöä (4.17) puolittain µ α (2) :lla saadaan toiselle puolelle µα (2):n ja sen derivaatan tulo, joka on nolla (sillä g αβ µ α (2) µβ (2) = 1, mistä puolittain derivoimalla). Toiselle puolelle tulee A kertaa µ α (1) :n ja µα (2) :n tulo, joka antaa nollan ja B kertaa µα (2) :n ja µα (3) :n tulo jonka on siis myös oltava nolla myös g αβ µ α (2) µα (3) = 0 toteutuu. Jatketaan. g αβ µ α (2) µα (3) = 0 joten puolittain absoluuttisen derivaatan ottamalla nähdään 7, että Taas tehdään valinta: Olkoon g αβ µ α (2) δµ β (3) = B δµ α (3) = Bµα (2) + Cµα (4), (4.18) (3. kaarevuus C 0 yleensä), jolloin yhdistämällä kaksi edellistä tulosta nähdään, että ortogonaalisuus g αβ µ α (2) µα (4) = 0 toteutuu. Aiemmin kerrottiin µ α (2) :lla yhtälöä (4.17) ja nähtiin, että µα (2) ja µα (3) ovat ortogonaaliset. Nyt 6 0 = δ g αβ µ α (1)µ β δµ (2) = g α (1) αβ µβ (2) + g αβµ α δµ β (2) (1) = Ag αβµ α (2)µ β (2) + g αβµ α δµ β (2) (1) 7 δµ 0 = g α (2) αβ µβ (3) + g αβµ α δµ β (3) (2) = g αβ( Aµ β (1) + Bµβ (3) )µβ (3) + g αβµ α δµ β (3) (2) = 0 + B + g αβ µ α (2) δµ β (3)
4.2 Ortonormitettu tetradi neliulotteisessa avaruusajassa 31 kerrotaan µ α (3):lla yhtälöä (4.18) ja täysin vastaavalla päättelyllä nähdään, että ko. valinnalla ortogonaalisuus g αβ µ α (3) µβ (4) = 0 toteutuu. δµ α (4) On kasassa kolme dierentiaaliyhtälöä ja vielä tarvitaan yksi :lle. Lähdetään liikkeelle ottamalla absoluuttinen derivaatta ortogonaalisuusehdosta g αβ µ α (3) µβ (4) = 0. Saadaan8 g αβ µ α (3) Vakioita on jo tarpeeksi, joten valitaan δµ β (4) = C. δµ α (4) = Cµα (3) (4.19) joka sijoitettuna edelliseen yhtälöön antaa identtisyyden (C = C). Nyt on enää toteamatta µ α (4) :n ortogonaalisuus µα (1):n kanssa. Otetaan absoluuttinen derivaatta ortogonaalisuusehdosta g αβ µ α (2) µβ (4) = 0, jolloin nähdään 9 että myös g αβ µ α (1) µβ (4) = 0. Tehdyillä valinnoilla siis kaikki toimii niin kuin pitääkin, joten voidaan koota tulokset (4.16), (4.17), (4.18) ja (4.19) etsityksi yhtälöryhmäksi, tetradiyhtälöiksi: δµ α (1) = Aµ α (2) δµ α (2) = Aµ α (1) + Bµα (3) δµ α (3) = Bµ α (2) + Cµα (4) δµ α (4) = Cµ α (3) tai sama kirjoitettuna matriisimuotoon: δ µ α (1) µ α (2) µ α (3) µ α (4) = 0 A 0 0 A 0 B 0 0 B 0 C 0 0 C 0 µ α (1) µ α (2) µ α (3) µ α (4) (4.20) (4.21) Huomautus. Kaarevuusparametrit A, B ja C kuvaavat nimenomaan käyrän kaarevuutta, eli poikkeamaa geodeesista. Itse avaruusajan kaarevuutta kuvaa Riemannin kaarevuustensori R α βγδ. Geodeesilla A = B = C = 0. 8 δµ 0 = g α (3) αβ µβ (4) + g αβµ α δµ β (4) (3) = g αβ( Bµ α (2) + Cµ α (4))µ β (4) + g αβµ α δµ β (4) (3) = 0 C + g αβ µ α (3) δµ β (4) 9 0 = δ g αβ µ α (2)µ β δµ (4) = g α (2) αβ µβ (4) + g αβµ α δµ β (4) (2) Cg αβ µ α (2)µ β (3) = Ag αβµ α (1)µ β (4) α = g αβ ` Aµ (1) + Bµ α (3) µβ (4) +