Suhteellisuusteoriaa

Transkriptio

1 Antti Hämäläinen Ville Kivioja Joonas Korhonen Suhteellisuusteoriaa Laadittu Markku Lehdon keväällä 2011 Jyväskylän yliopistossa pitämää luentosarjaa mahdollisimman tarkasti noudatellen. Kaikki asia- ja kirjoitusvirheet ovat tämän version kirjoittajien tekemiä.

2

3 Sisältö 1 Kvanttifysiikan ja suhteellisuusteorian yhteys Sananen aiheesta Olemassaolo ja kvanttiteoria Olio tervejärkisessä / arkipäiväisessä klassisessa fysiikassa? Kvanttiolio? Ominaisuuskokoelma? Teorioiden käsitteistöä E-algebra Aika-alkio Yhdistäminen Julmin, säälimättömin suuntaviitta: aika Ajan kokeminen Hieman kronobiologiaa NYT Subjektiivinen vai objektiivinen? Geometrisointi Ideointia Kohti differentiaaligeometriaa Matemaattisia työkaluja: Tensorit Erityisiä tensoreita Tensorialgebraa Symmetrisyys ja antisymmetrisyys Ulko- ja sisätulo Tensoritestejä Sovellusesimerkki Sovellusesimerkki Invariantti neliömuoto Ensimmäinen yrite Toinen yrite Einsteinin illuusio Kaksiulotteinen analogia avaruusajalle Euklidiseen avaruuteen upotettu pinta

4 4.4.2 Epäeuklidinen avaruus Metrinen tensori lasku- ja nosto-operaattorina Laskuoperointi Nosto-operointi Einstein pohdiskelee Einsteinin geodeettinen hypoteesi Geodeesi Geodeettinen yhtälö Geodeettisen yhtälön ratkaiseminen Geodeeseista Lisää matemaattisia työkaluja Absoluuttinen derivaatta Tangenttivektorin yhdensuuntaissiirto Yleinen yhdensuuntaissiirto Tensoriluonne Kovariantin vektorin absoluuttinen derivaatta Korkeamman kertaluvun tensorit Ominaisuuksia Kovariantti derivaatta Uusi maailmantensori: Riemannin tensori Riemannin tensorin ominaisuuksia Riemannin tensorin kovariantti muoto Bianchin identtisyydet Riccin tensori ja -invariantti Einsteinin tensori Avaruusajan kaarevuus Yhdensuuntaissiirto muualle avaruusaikaan Laakean avaruusajan metrinen tensori Kanoninen neliömuoto Ortonormitettu tetradi Pseudokarteesinen koordinaatisto Avaruusajan pisteittäinen laakeus

5 7.4 Gravitaation olemassaolo Gravitaatioteoria Newtonin gravitaatiokenttäteoria Einsteinin gravitaatiokenttäteoria eli YST Kenttäyhtälöt Täydennystä OT-laskentaan Geodeettinen poikkeamayhtälö tetradien avulla Ad hoc epärelativistinen raja Kenttäyhtälön ratkaisemisen vaikeus Materia ja muut kentät kuin gravitaatio Vakioinen kaarevuus Kosmologinen vakio Kenttäyhtälöiden soveltaminen Kohti materian diskreettiä mallia Hiukkasvuo Fysikaalisia tulkintoja Liikemäärän säilyminen SST:ssa Liikemäärän säilyminen YST:ssa Materian jatkumomalli Pölypilvi Ideaali juokseva aine Viimeinkin: Einsteinin toinen gravitaatiopostulaatti Kenttäyhtälön ratkaiseminen Gee-menetelmä Tee-menetelmä Cauchyn alkuarvo-ongelma Soveltaminen kosmologiaan

6 1 Kvanttifysiikan ja suhteellisuusteorian yhteys 1.1 Sananen aiheesta Fysiikan kurssi, yleistä suhteellisuusteoriaa, suomen kielellä. Ei sietämätöntä pakkoenglantia. Kylläkin sietämiskyvyn rajoissa pakkomatematiikkaa. Matematiikka: Oletettavasti ei kiistanalaista. Kokeellinen fysiikka: Oletettavasti ei kiistanalaista. Teoreettinen fysiikka: kiistanalaista. Perimmäinen tavoite on yrittää ymmärtää olemassaolo. Endofysikaalinen lähestymistapa. Kaikki, millä on väliä, liittyy ihmisen tietoisuuteen. Siis tietoisuuden ulkopuolella ei ole mitään, millä on väliä. Käsiteltävä tietoinen olemassaolo. Olio? huom. suomenkielinen hienous: olemus, olemassaolo, olio. Ja ontologia. Tämä perimmäinen kysymys ei liity jonkin olion ominaisuuksiin, joiden perusteella kyseessä oleva olio voidaan erottaa muista olioista, vaan se on olion oliomaisuudesta, ts. olemuksesta. Vertaa: Mikä on kynä? ; vaikeampi: Mikä on ihminen? ; helpompi: Mikä on hiukkanen? (vain muutama ominaisuus). 1.2 Olemassaolo ja kvanttiteoria Mitä tarkoittaa olla? Tällainen perustavanlaatuinen ongelma koskien olemassaoloa ja olioita kohdataan väistämättä kahden fysikaalisen perusteorian, kvanttiteorian ja suhteellisuusteorian, syvällisessä tarkastelussa Olio tervejärkisessä / arkipäiväisessä klassisessa fysiikassa? Määritelmä: Olio on objekti, jonka olemassaolo pidetään itsestäänselvänä ja johon liitetään kokoelma ominaisuuksia. Ominaisuus = fysikaalisen suureen numeerinen arvo. Suure voi olla a) sisäinen, objektin rakennetta kuvaava b) ulkoinen, käyttäytymistä vertailujärjestelmän suhteen kuvaava. Esimerkkeinä hiukkasen (a) massa ja sähkövaraus, (b) paikka ja nopeus. Epistemologinen vastaavuus käsitteillä: Mittaus tieto objektin ominaisuuksista. Fysikaalisen suureen mittaus klassisessa fysiikassa antaa vain yhden arvon (toki jollain tarkkuudella). Syy on se, että suurella ajatellaan olevan juuri tämä tietty arvo mittaushetkellä. 4

7 Kvanttiteoriassa klassinen idea, jonka mukaan järjestelmässä kuten atomissa, elektronissa, kvarkissa tai supersäikeessä kaikilla fysikaalisilla suureilla on jokin tietty arvo, ei toimi. Ei voi ajatella, että suureen mittaus antaa jonkin arvon, koska suureella sattuu olemaan ko. arvo mittaushetkellä Kvanttiolio? Ominaisuuskokoelma? KT:n pragmaattinen lähestymistapa ( tulkinta ): Kokoelma latentteja, potentiaalisia ominaisuuksia, jotka tulevat olemassaoleveksi mittaushetkellä, mittausprosessissa, jonka tulokset määräytyvät geometrisen todennäköisyyskäsitteen mukaisesti. Muut tulkinnat... (ei käsitellä) Kvanttiteoriassa fysikaalisten järjestelmien matemaattinen kuvailu tapahtuu geometrisen tilavektorin (aaltofunktion) Ψ kautta. Ψ:n eksistentiaalinen status? Kvanttiteoreettista järjestelmää (atomi, jne.) ei voi millään tavalla identifioida itse Ψ:n kanssa. Ψ 2 tulkitaan todennäköisyysamplitudiksi; todennäköisyys mille? Tarkastellaan esimerkkinä hiukkasen paikkaa P : Kyseessä ei ole todennäköisyys sille, että hiukkanen on paikassa P, vaan todennäköisyys sille, että hiukkanen löytyy paikasta P, jos hiukkasen paikka on mittauksen kohde! Kvanttiteorian ongelmat koskien olemassaoloa näyttävät kulminoituvan tietoisuuden geometriseen tasoon (vrt. kuvakkeet tietokoneella), jota matemaattisesti kvanttiteoriassa luonnehtii Ψ. Einstein, Podolsky, Rosen (1935): Totesivat, että aaltofunktio ei anna fysikaalisen todellisuuden täydellistä kuvailua. Jättivät avoimeksi kysymyksen, onko sellaista kuvailua olemassa. Uskoivat, että on mahdollinen. Kun aikomuksena on muotoilla kvanttiteoria ilman geometriaa, niin sormi osoittaa kvanttiteorian ulkopuolelle; kohti jumalaa; kohti ihmisen tietoisuutta, tajuntaa, mieltä; kohti gravitaatiota. Kun aikomuksena on muotoilla gravitaatioteoria ilman geometriaa, niin sormi osoittaa gravitaation ulkopuolelle; kohti jumalaa; ihmisen tietoisuutta, tajuntaa, mieltä; kohti kvanttiteoriaa. Tietoisuuden ei-geometrisella tasolla olioiden on oltava sisäisesti globaaleja 1, ei lokaaleja. Olio ei ole geometrinen objekti; sielujemme silmin sillä ei ole muotoa eikä kokoa. Olioiden välille ei aseteta minkäänlaisia geometrisia relaatioita. Tietoa kvanttiteorian (myös suhteellisuusteorian) olioista on saatava ihmisen oman aktiviteetin kautta (ei pelkästään passiivista havainnoista), sellaisista seikoista, joiden synnyn syihin ihminen pääsee käsiksi ja joihin hän voi vaikuttaa. 1 muistuttaen aivoissamme syntyviä tietoisia tapahtumia; vrt. kuitenkin talamus ja hypotalamus 5

8 1.3 Teorioiden käsitteistöä Nämä ohjenuorana tarkastellaan kvanttiteoriassa fysikaalista suuretta A, jonka mahdolliset mittaustulokset muodostavat diskreetin spektrin {a i }, i N. Koejärjestelyn osat ovat (i) esimittaus (ii) mittaus eli signaalin vahvistaminen ja ilmaisinhavainto (iii) tulosten kirjaaminen ( ja tilastollinen tarkastelu). Esimittaus on selektiivinen prosessi, joka koostuu preparoinnista ja suodatukseesta. Preparointi otetaan kvanttiontologian primitiiviseksi käsitteeksi 2. Järjestelmien joukko (esim. atomisuihku) järjestelmien preparointi A:n mittausta varten Suodatus a j, j i kaikilla j Kuva 1: Koejärjestely skemaattisesti Järjestelmien osajoukko, kullekin järjestelmälle mittaustulos on a i E-algebra Mentaliteetti: tietoisen aktiivisuuden ei-geometrinen luonne ja laatu. Esimittausolio 3 E(a i ) Vierekkäisyys : E(a i ) + E(a j ) A a i, a j a k k i,j kaikilla k Peräkkäisyys : E(a j )E(a i ) A a i A 2 vrt. piste ja suora Euklideen geometriassa 3 tämä ei ole mitään tuttua: voit tehdä listan kaikista asioista joita tiedät, eikä se ole mikään niistä: ei luku, ei vektori, ei funktio, ei operaattori,... 6 a j

9 E(b)E(a) motivoi uudentyyppisen mentaliteetin, siirtymäolion S(b a) A E(a) a S(a b) B <b a> b E(b)E(a) = b a S(b a)e(a) missä b a kuvaa laadullisesti sitä, millainen osa a-järjestelmistä onnistuu muuntumaan b-järjestelmiksi, sisältäen suodatuksen Aika-alkio Aika - tietoisuuden herkkyys muutoksille. Saattomielle: ajan virta Ei-geometrinen aika-alkio? S(b a)? S(b i a i ) ei sellaisenaan kelpaa, koska a- ja b-järjestelmien välillä ei välttämättä ole yksi yhteen vastaavuutta; a i δ ij b j. Mutta i S(a i b i ) kelpaa. Kahden aika-alkion tulo on myös aika-alkio: S(b j c j ) S(c i a i ) = δ ij S(b j a i ) = j i ij i Oliot ovat. S(b i a i ) Ei-geometrinen aikaevoluutio tapahtuu aina ja ei milloinkaan 4 ; vrt. tietoiseen olemassaolooon kuuluva pysyvä nykyisyys. Yhteys kellonaikaan ts. kellonlukemiin yleinen suhteellisuusteoria. 1.4 Yhdistäminen Merkittävä eroavaisuus: Yhteistä kvanttiteorialle (kvanttimekaniikalle) ja suppealle suhteellisuusteorialle (SST) on paikkakoordinaattien mittaus. Tämä ei tosin takaa sitä, että näiden teorioiden matemaattiset (geometriset) muotoilut sulautuisivat toisiinsa. Yhteensulattaminen onnistui [Tomonaga, Schwinges, Feynman, Dyson 1950] ei kvantisoimalla SST, vaan pakottamalla kvanttiteoria noudattamaan SST:n periaatteita (relativistinen invarianssi); kvanttiteorian relativisointi kvanttikentät, renormalisaatio: kvanttikenttäteoria. 4 ei ajanvirtaa kvanttiteoriassa 7

10 Yleisen suhteellisuusteorian (YST) kohdalla kaikki on toisin. Einstein: Nimi yleinen suhteellisuusteoria teorialle, jossa koordinaatti muunnos x α = F α (x 1, x 2, x 3, x 4 ), α = {1, 2, 3, 4} (1) on yleisempi kuin SST:n Lorentzin muunnos. Koordinaatit ovat pelkkiä pistetapahtumien nimilappuja; niiden arvoilla ei ole sen kummempaa merkitystä. Pistetapahtumien oliomaisuus? (jääköön avoimeksi) Erityisesti: paikkakoordinaattien mittaus YST:ssa ei ole mielekäs mittaus. (Sisältääkö YST ylipäänsä ollenkaan mitattavia fysikaalisia suureita 5?!) Kvanttiteorialla ja yleisellä suhteellisuusteorialla ei näyttäisi olevan mitään yhteistä. Kvanttigravitaatio, YST:n kvantisointi, saattaa olla epävarmalla (siis vain matemaattisella) pohjalla. 5 Kuten esim. jokin kenttä pistetapahtumassa; kentän arvo 8

11 2 Julmin, säälimättömin suuntaviitta: aika Ajatellaan YST:n areena kokonaisuudeksi (nk. avaruusaika), joka muodostuu pistetapahtumien verkostosta sisältäen tapahtumien väliset relaatiot. Relaatioihin liittyy mittauksia; ne suoritetaan yksinomaan kellolla 6. Tämä tarkoittaa sitä, että pistetapahtuman (jota ei voi kuvata neljällä mitattavalla luvulla) käsite korvautuu kellonlukemalla, jolloin relaatiota luonnehtiva tapahtumaväli identifioidaan kellonlukemien eroksi. Kellolaitteistot ja niiden käyttö ovat inhimillinen 7 keino ymmärtää syvällisesti YST:n kuvaamia ilmiöitä. 2.1 Ajan kokeminen Aikakäsityksemme liittyy selvästi muuttuvan maailman subjektiiviseen kokemiseen. Se on tietoinen tunne siitä, että kaikki ympärillämme muuntuu jatkuvasti yhdestä tilasta toiseen. Tämä sopii hyvin yhteen tähtitieteellisten havaintojen kanssa; ottamalla taivaaankappaleiden liike vertailukohdaksi, ovat ihmiset kyenneet suunnittelemaan aikaskaalan, jota voidaan soveltaa arkipäivän tarpeisiin Hieman kronobiologiaa Ihmisen kehon lämpötilan vuorokautisten vaihtelujen säätely tapahtuu aivoissa nk. hypotalamuksessa, joka yhdessä aivolisäkkeen kanssa muodostaa hormonaalisen säätelyjärjestelmän. Hypotalamus säätelee paitsi kehon lämpötilaa, myös unta, nestetasapainoa, ravitsemusta, seksuaalista käyttäytymistä sekä tunne-elämän erilaajuisia vaihteluja. Hypotalamuksen arvellaan toimivan elimistön luonnollisena kellona. Tämä, sekä ihmiselle ominainen kyky tiedostaa aikavälejä, viittaavat biologiaan perustuvaan sisäiseen aikaan. Kyseisen kaltainen sisäisen ajan tuntemus, joka siis perustuu biologiseen kelloon, riippuu myös useista ihmisen yksilöllisistä ominaisuuksista kuten mm. iästä, sukupuolesta, luonteesta, kognitiivisista taidoista ja oman yhteisönsä kulttuurisista piirteistä. Ajan tuntemuksen vaihtelu eri henkilöiden välillä voi olla suurta ( psykologiset testit). Esimerkiksi lapset ja vanhukset kokevat ajan kulumisen eri nopeudella NYT Subjektiivisen ajantunteen erityispiirre on sen nuoli menneisyydestä tulevaisuuteen. Menneisyys; vain likimain palautettavissa mieliimme muistoissamme. Tulevaisuus; olennaisesti ei ennustettavissa. 6 teorian ulkopuolelta 7 endofysikaalinen 9

12 Tulevaisuuden ennalta-arvaamattomuus sekä nykyisyyden nyt -tunne että vapaan tahdon tunne. Nykyisyyden subjektiivinen kokeminen on epäilemättä ihmisen tietoisen olemassaolon ainutlaatuinen piirre. Nykyisyyden merkityksen ymmärtäminen ilmeisesti liittyy intiimisti tietoisuuden ongelman ratkaisemiseen. Einstein: Fysiikka ei tunne nykyisyyttä. Subjektiivinen ajantunne on jotain, joka on luonnontieteellisen tutkimuksen saavuttamattomissa; menneisyys ja tulevaisuus muodostavat illuusion, joka on seurausta aistiemme rajallisuudesta. Täten myös vapaa tahto on illuusio!! Jokaisen ihmisen kohtalo on sidottu hänen kaulaansa. Nykyisyyden ongelma on hyvin huolestuttava. Nykyisyyden kokeminen on ominaista ihmiselle. Se on jotain, joka eroaa menneisyydestä ja tulevaisuudesta, mutta tällainen eroavaisuus ei esiinny fysiikassa. Se, että fysiikka on kykenemätön käsittelemään nykyisyyden käsitettä oli Einsteinille henkilökohtaisesti tuskallinen, mutta väistämätön antautuminen. Vrt. kuitenkin ei-geometrinen aika-alkio kvanttiteoriassa. Ajan kokeminen ei ole ilmaistavissa määrällisenä, ei numeerisen vertailun kohde. Aika on jotain, johon täytyy sisältyä olemassaolon olemus Subjektiivinen vai objektiivinen? Kyseessä ei ole oikeastaan dikotonia 8. Termi objektiivinen tarkoittaa vain termiä subjektiivinen, sovellettuna johonkin ihmisyhteisöön, yhden ko. yhteisön jäsenen asemasta. Erityisesti objektiivinen ei ole synonyymi totuudelle tai (ihmisestä) riippumattomalle totuudelle ; se kertoo pelkästään yhteisön sisällä saavutetusta konsensuksesta. Einsteinen asenne koskien yleisen suhteellisuusteorian hyväksyntää: Tärkeintä oli fyysikkoyhteisön vakuuttaminen teorian oikeellisuudesta, ei niinkään sen kokeellinen vahvistaminen. 2.2 Geometrisointi Inspiraation lähteenä kvanttiteorian ei-geometrinen siirtymäolio S(b a). Pitkän... pitkän... pohdinnan seuraus: Gravitaation ei-geometrinen siirtymäolio σ(t 1 t 2 ), missä t 1 ja t 2 ovat kaksi tapahtumaa: tapahtuman mielteenä mikä tahansa, mikä tapahtuu. Fysiikan lakien kuvailu ilman geometriaa on kuin kuvailisi ajatuksia ilman sanoja. Einstein [Kioto 1922] Aloitetaan geometrisointi idealisoimalla tapahtuma pisteeksi (t p) σ(p 2 p 1 ). Sitten postuloidaan σ(p 2 p 1 ) ( s p1 p 2 ) 2, missä s p1 p 2 = s p2 s p1 on tapahtumaväliä luonnehtiva kellonlukemien s p1 ja s p2 ero, vertaa aika-alkio i S(b i a i ) kvanttiteoriassa. Euklidisen avaruuden geometristen ominaispiirteiden tutkiminen perustuu 8 kahtiajako 10

13 siirtymävektorien avulla suoritettuun kolmiointiin (Kuva 2). B BC AB θ AC C A Kuva 2: Siirtymävektorien avulla suoritettu kolmiointi BC = AC AB BC 2 = AB 2 + AC 2 2AB AC Tarkastellaan avaruusaikaa puolestaan nk. geodeettisten kolmioiden avulla (Kuva 3). B geodeesit eli geodeettiset käyrät A C Kuva 3: Geodeettiset käyrät 2.3 Ideointia ( s BC ) 2 = ( s AB ) 2 + ( s AC ) 2 2 s AB s AC cos θ + K σ(c B) = σ(b A) + σ(c A) 2 σ(b A) σ(c A) cos θ + K 11

14 ( s) 2 s & ( s) 2 D 2 s missä D on jokin määrittelemätön derivaattaoperaattori. Tulos 9 : σ(c B) = σ(b A) + σ(c A) 1 Dσ(B A) Dσ(C A) + K 2 K = 0: laakea avaruusaika SST. K 0: kaareva avaruusaika YST. K:n sellaisenaan, tai tiettyjen vaikutusten kautta, on oltava mitattava ominaisuus! 2.4 Kohti differentiaaligeometriaa Liitetään kuhunkin pistetapahtumaan 4 koordinaattia x 1, x 2, x 3, x 4 ; lyhyesti x α. Tällöin siirtymäolio σ(x α B xα A ) on kaksipisteinvariantti eli bi-invariantti, ts. invariantti koordinaattimuunnoksissa x α A x α A A:ssa ja invariantti koordinaattimuunnoksissa x α B x α B B:ssä (ks. Kuva 4). Korvataan 1. kertaluvun approksimaatiossa s differentiaalilla ds, jota sanotaan (maailman)viivaelementiksi. Maailmanviiva on polku Γ : x α = x α (u) avaruusajassa, B: x B α A: x A α Kuva 4: Maailmanviiva missä u on polkuparametri. Idealisoitu (pistemäinen) havaitsija kuljettaa mukanaan idealisoitua kelloa siirtyes- 9 Eksplisiittinen tulos pienelle geodeettiselle kolmiolle: σ(c B) = σ(b A) + σ(c A) 1 2 σ,α A (B A)σ,α A (C A) 1 3 R α A β A γ A δ A U α A V β A U γ A V δ A u 4 missä Riemannin tensori vastaa gravitaatiokenttää. 12

15 B sään maailmanviiva pitkin tapahtumasta toiseen s = ds; erikoistapauksena 10 A Γ s = B A geodeesi ds (Riemann) Riemannin hypoteesi: ds on koordinaattien x α funktio ja koordinaattidifferentiaalin dx α ensimmäisen asteen homogeeninen funktio 11 ds = f(x α, dx α ) f(x α, k dx α ) = k f(x α, dx α ), k > 0 s = B A Γ ds = B A Γ f(x α, dx α ) = B A x α =x α (u) (x α, dxα du du) = u B u A f(x α, dx α du )du missä dxα du toimii maailmanviivan tangenttivektorina ja oletuksella du > 0 u:n ollessa polkuparametri. Maailmanviivaelementti ds on invariantti yleisessä koordinaattimuunnoksessa x α x α = x α (x α ) f(x α, dx α ) = f (x α, dx α ) Kun suoritetaan koordinaattimuunnos x α x α (x β ) dx α = 4 β=1 x α ESS. x β dxβ = x α x β dxβ Koordinaattidifferentiaali dx α (differentiaalinen siirtymävektori) (i) liittyy pistetapahtumaan p, jonka koordinaatit ovat x α ja (ii) muuntuu relaation dx α = x α x β p dx β mukaan, kun x α x α (x β ). Käänteismuunnos dx α = xα dx β sillä x β x α x β dx β = xα x β } x β {{ x γ dx γ = dx α (2) } δγ α 10 integraalin alaviite kertoo siis käyrän, jonka yli integroidaan 11 koska avaruus ei ole euklidinen ds ei ole vakio 13

16 Harjoitustehtävä 1. Johda 12 relaatio 2 x α x β x γ + 2 x δ x ɛ x ξ x α x ɛ x ξ x β x γ x δ = 0 12 käytä mallina yhtälöä (2) 14

17 3 Matemaattisia työkaluja: Tensorit Objektia T α (i) jonka komponentit ovat T 1, T 2, T 3 ja T 4 (ii) joka liittyy pistetapahtumaan P : x α, (α : 1 4) (iii) joka koordinaattimuunnoksessa x α x α muuntuu relaation T α = x α x β T β P mukaan (iv) jonka geometrinen esikuva on differentiaalinen siirtymävektori dx α sanotaan kontravariantiksi (neli)vektoriksi eli 1. kertaluvun kontravariantiksi tensoriksi 13. Yläindeksi α on nk. kontravariantti indeksi. Käänteismuunnos on T α = xα β T x β 2. kertaluvun kontravariantille tensorille pätee muunnosrelaatio T αβ = x α x γ x β x δ T γδ (3) Harjoitustehtävä 2. Kirjoita muunnosrelaation (3) käänteismuunnos. Harjoitustehtävä 3. Näytä, että kahden kontravariantin vektorin tulo U α V β on 2. kertaluvun kontravariantti tensori 14. Harjoitustehtävä 4. Kirjoita muunnosrelaatiot ja käänteismuunnokset T αβγ :lle ja T αβγδ :lle. 3.1 Erityisiä tensoreita Nollannen kertaluvun tensoria T sanotaan invariantiksi 15. Sen arvo ei riipu käytetyistä koordinaateista T = T. 13 Tensori määräytyy muunnosrelaatiossa 14 Vihje: hommaa muunnosrelaatio 15 Tämä on substantiivi, ei adjektiivi 15

18 Gradienttioperaattori x α = xβ x α x α ; kun x α x α x β & x α = x β x α x β vertaa dx α = x α x β dx β & dx α = xα x β dx β } Huomaa dualiteetti (käännökset) Kovariantti (neli)vektori T α eli 1. kertaluvun kovariantti tensori, missä alaindeksi α on kovariantti indeksi kun x α x α. T α = xβ x α T β & T α = x β x α T β Toisen kertaluvun kovariantti tensori T αβ : T αβ = xγ x α x δ x β T γδ Harjoitustehtävä 5. Kirjoita edellisen käänteismuunnos: T αβ =... Harjoitustehtävä 6. Kirjoita muunnosrelaatio ja käänteismuunnos T αβγ :lle, eli a) T αβγ b) T αβγ Geometrinen objekti on kollektiivinen nimi kaikille sellaisille matemaattisille objekteille Ω, jotka koordinaattimuunnoksessa x α x α muuntuvat siten, että Ω = Ω (Ω, x α x β, x α,...) x β Muiden muassa tensorit ovat siis geometrisia objekteja. Jokaisen kontra/kovariantin indeksin suhteen tensori muuntuu kuten kontra-/kovariantti vektori. Esimerkkinä 4. kertaluvun sekamuotoinen tensori jolloin T α βγ δ T α δ βγ = x α x ɛ. = T α δ βγ x ξ x η x δ x β x γ x θ T ɛ ξη θ Harjoitustehtävä 7. T αβγ δ ɛ Harjoitustehtävä 8. Näytä, että Kroneckerin delta δβ α sekamuotoinen tensori (δ α β tai δ α β ). on itse asiassa 2. kertaluvun 16

19 Tensori voidaan liittää paitsi pistetapahtumaan, myös maailmanviivaan, kaikkialle 4-ulotteiseen avarusaikaan tai sen osaan. Tällöin puhutaan tensorikentästä. 3.2 Tensorialgebraa Nollatensori: jos T αβ = 0, niin T αβ = 0. Tässä on esimerkki tensoriyhtälöstä. Yhtäsuuruus: jos U αβ = V αβ samassa pistetapahtumassa, niin U αβ = V αβ (jälleen tensoriyhtälö). Yhteenlasku (myös vähennyslasku): esimerkkinä A αβ γ + B αβ γ; molemmat samassa pistetapahtumassa Symmetrisyys ja antisymmetrisyys Tensori on symmetrinen indeksiparin 16 suhteen, jos indeksin vaihdolla saatu tensori on yhtä kuin alkuperäinen tensori. Esimerkkinä symmetriselle tensorille S βα = S αβ. Harjoitustehtävä 9. Näytä, että tällöin S βα = S αβ Tensori on antisymmetrinen indeksiparin suhteen, jos indeksin vaihto muuttaa vain etumerkin. Esimerkkinä A βα = A αβ. Harjoitustehtävä 10. Näytä, että tällöin A βα = A αβ. Mikä tahansa 2. kertaluvun kontra- tai kovariantti tensori voidaan esittää symmetrisen ja antisymmetrisen tensorin summana T αβ = 1 2 (T αβ + T βα ) + 1 }{{} 2 (T αβ T βα ) = T (αβ) + T [αβ] }{{}.. =T (αβ) symm. osa =T [αβ] antisymm. osa Harjoitustehtävä 11. Perustele 17 : Jos T α(βγ) = 0 ja T [αβ]γ = 0, niin T αβγ = Ulko- ja sisätulo Tensorien yhteenlaskussa esiintyvät vain samantyyppiset tensorit ja indekseillä on samat symbolit (järjestys ei välttämättä ole sama). Tensorien kertolaskussa ei tä- 16 Molemmat ovat joko kontra- tai kovariantteja 17 Vihje: kirjoita auki useampia kertoja 17

20 mänkaltaisia rajoituksia ole; ainoana ehtona on, että sama kirjainsymboli ei toistu joko ylhäällä tai alhaalla 18. Ulkotulo eli suoratulo eli Kroneckerin tulo. Esimerkki: kl=3 kl=1 {}}{{}}{ A αβ γ B δ }{{} kl=4 Sisätulo: sisätulo saadaan ulkotuloista nk. kontraktiolla, jossa yksi (tai useampi) kontravariantti indeksi identifioidaan yhden (tai useamman) kovariantin indeksin kanssa ja summataan tämän (tai näiden) yhteisen indeksin yli. Esimerkki: ulkotulosta A αβ γ B δ (kl = 4) saadaan seuraavat sisätulot: A αβ γ B γ ja A αβ αb δ ja A αβ β Bδ Huomaa, että kaikki kontravariantteja ja kaikkien kertaluku on 2. Esimerkki: ulkotulosta A αβ γb δ ɛ (kl = 5 sekamuoto) saadaan sisätulo A αβ γb γ α (kl = 1). Harjoitustehtävä 12. Saadaanko muita? Harjoitustehtävä 13. Ulkotulosta A α B β saatava sisätulo on invariantti. Perustele. Harjoitustehtävä 14. Laske δ α α ja δ α β δβ α (huomaa summaukset). Tensorin T α β invariantti kontraktio T α α on nimeltään T α β :n jälki (vertaa matriisit). 3.3 Tensoritestejä Onko annettu, johonkin pistetapahtumaan liittyvä, objekti tensori? Suora tensoritesti: Perustuu tarkasteltavan objektin muunnosrelaatioon koordinaattimuunnoksessa x α x α. Einsteinin epäsuora tensoritesti: Perustuu ideaan, jonka mukaan tarkasteltava objekti on tensori, mikäli ko. objektin ja mielivaltaisen tensorin (jolle ei aseteta mitään rajoituksia ja jonka komponentit ovat keskenään riippumattomia) sisätulo on tensori (tavallisesti, mutta ei välttämättä invariantti, 0. kl tensori). 18 eli jos toistuu, niin kopiot on ainakin niin että toinen on ylhäällä ja toinen alhaalla, ei molemmat samassa 18

21 3.3.1 Sovellusesimerkki Annetun objektin A α mahdollinen tensoriluonne: Otetaan kovariantti vektori T α. Jos A α T α on invariantti, ts. niin A α T α = A α T α T α = xβ x α T β joka antaa ( ) x β T β x α A α A β = 0 koska T β mv. x β x α A α T β = A β T β Johtopäätös: A α on kontravariantti vektori. x β x α A α = A β käänteisesti A α = x α x β Aβ Harjoitustehtävä 15. Vastaavanlainen objektin A α tensoritestaus Sovellusesimerkki Objektin A αβ tensoritestaus. Olkoon T α mielivaltainen kontravariantti vektori. Jos sisätulo A αβ T α T β on invariantti ns. invariantti neliömuoto niin A αβ T α T β = A αβ T α T β muunnokset ( x T γ T δ α x β ) x γ x δ A αβ A γδ = 0 Koska T γ T δ on symmetrinen (eikä mielivaltainen), niin ei voi välittömästi päätellä sulkulauseketta nollaksi. Lauseke on neliömuotoa B γδ T γ T δ. Harjoitustehtävä 16. Voi kuitenkin päätellä, että x α x γ x β x δ A αβ + x α x δ x β x γ A αβ = A γδ + A δγ Tästä tuloksesta jatkamalla saamme A γδ + A δγ = x α x γ x β x δ (A αβ + A βα ) 19

22 Käänteisesti pätee A αβ + A βα = xγ x α x δ x β (A γδ + A δγ ) Johtopäätös: A αβ + A βα on 2. kertaluvun kovariantti tensori. Mikäli oletetaan, että A αβ ja A αβ ovat symmetriset, päädytään19 seuraavaan YST:n kannalta merkittävään tulokseen: Jos neliömuoto A αβ T α T β on invariantti, missä T α on mielivaltainen kontravariantti vektori, ja jos A αβ on symmetrinen kaikissa koordinaatistoissa, niin A αβ on 2. kertaluvun kovariantti tensori ts. A αβ = xγ x α x δ x β A γδ Harjoitustehtävä 17. Jos sisätulo A αβ U α V β on invariantti ns. invariantti bilineaarimuoto ja jos U α ja V β ovat mielivaltaisia kontravariantteja vektoreita, mitä voidaan päätellä objektin A αβ mahdollisesta tensoriluonteesta? Harjoitustehtävä 18. Oletetaan, että sisätulo A αβ B α on kontravariantti vektori ja B α on mielivaltainen kovariantti vektori. Millainen on objektin A αβ mahdollinen tensoriluonne? 19 Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Annalen der Physik 49,

23 4 Invariantti neliömuoto Invariantti viivaelementti ds = f(x α, dx α ), f on invariantti tensorilaskennan mielessä: f (x α, dx α ) = f(x α, dx α ) Edetään seuraavalla, Einsteinin epäsuoraan tensoritestiin perustuvalla tavalla. Erotetaan x α - ja dx α -riippuvuudet toisistaan. 4.1 Ensimmäinen yrite f(x α, dx α ) }{{} = g α (x β )dx α }{{} invariantti (ds) sisätulo, invariantti lineaarimuoto missä dx α on mielivaltainen kontravariantti vektori (huom. homogeenisuus). Tensoritestin perusteella g α (x β ) on kovariantti vektori. Otetaan g α (x β ) = t(xβ ) x α missä t on invariantti 20 ts. t (x α ) = t(x α ). Tällöin todellakin g α (x β ) on kovariantti vektori: Nyt g α(x β ) = t (x β ) x α = t(xβ ) x α = xγ t(x β ) x α x γ = xγ x α g γ(x β ) B B B s B s }{{ A = ds = g } α (x β )dx α t(x β ) B = x α dxα = dt(x β ) = t B t A }{{} s A A A A eksakti Γ Γ Γ Γ differentiaali ei riipu maailmanviivasta Γ. Siispä yrite johti Newtonin absoluuttiseen aikaan! 4.2 Toinen yrite Invariantti neliömuoto f(x α, dx α ) = ɛq Q = g αβ (x γ )dx α dx β on indefiniitti 21 tarkoittaen, että pistetapahtumassa Q voi olla negatiivinen tai positiivinen tai nolla, riippuen kyseessä olevaan pistetapahtumaan liitetystä differentiaa- 20 Valitaan siis vektorikenttä jonkun invarianttikentän gradientiksi. Tämähän onnistuu aina. 21 Motivaationa subjektiivisen ajantunteen erityispiirteet, nuoli menneisyydestä tulevaisuuteen. 21

24 lisesta siirtymävektorista dx α. Vaaditaan, että tapauksessa Q 0 pistetapahtumassa ɛq > 0, indikaattori ɛ saa arvon -1 tai +1, jolloin ds on reaalinen 22 ds = ɛq = ɛg αβ (x γ )dx α dx β Palauta mieleen: σ(p 1 P 2 ) ( s P1 P 2 ) 2 geometrinen. Lähtökohdiltaan ei-geometrinen (T P ) (tapahtuma pistetapahtuma). Nyt todella tärkeä tulos: ds 2 = ɛq = missä oli siis invariantti neliömuoto Q = ɛg αβ (x γ )dx α dx β }{{} 0 (4) differentiaaligeometrinen sisätulo {}}{ g αβ (x γ ) dx α dx β }{{} symmetrinen missä dx β on mielivaltainen kontravariantti vektori. Vertaa nyt epäsuoraan tensoritestiin: Sen perusteella g αβ (x γ ) + g βα (x γ ) on 2. kertaluvun kovariantti tensori. Einsteinin hypoteesi: g αβ (x γ ) on symmetrinen kaikissa koordinaatistoissa. Tällöin g αβ (x γ ) on 2. kertaluvun kovariantti tensori 23. Viivaelementin neliön ds 2 = ɛg αβ (x γ )dx α dx β määrittelemää 24 neliulotteista kokonaisuutta, jatkumoa, sanotaan Riemannin Einsteinin avaruusajaksi, kun g αβ (x γ ) on symmetrinen 2. kertaluvun kovariantti tensori. 4.3 Einsteinin illuusio Jaetaan Riemannin Einsteinin-avaruusaika eriluonteisiin neliulotteisiin alueisiin, niiden luokittelu perustuu neliömuotoon Q. Tarkastellaan jonkin pistetapahtuman ns. lähiympäristöä (differentiaalisen pientä). { Q < 0 pistetapahtuman menneisyys ja tulevaisuus Q > 0 pistetapahtuman nykyisyys jotka ovat neliulotteisia alueita. Lisäksi Q = 0 pistetapahtuman nollakartio eli valokartio, joka on kolmiulotteinen kartiopinta ja joka erottaa nykyisyyden menneisyydestä ja tulevaisuudesta. Valokartio, eli nollakartio, on kuvattu skemaattisesti kuvassa Huomaa edelleen homogeenisuus 23 juuri tästä huomautettiin sovellusesimerkin päätteeksi 24 Voidaan asettaa lisäolettamus det[g αβ (x γ )] 0, jolloin Q ei ole singulaarinen. 22

25 4-ulotteinen tulevaisuus (sisus) 3-ulotteinen nollakartio (pinta) 4-ulotteinen nykyisyys pistetapahtuma 4-ulotteinen menneisyys (sisus) Kuva 5: Nollakartio skemaattisesti Kuvassa 6 erona kuvaan 5 tulevaisuus ja menneisyys ovat laajentuneet ja nykyisyys on litistynyt. Se kuvaa siirtymistä kohti epärelativistista fysiikkaa, raja-tapauksena 3-ulotteiseksi litistynyt Newtonilainen nykyisyys t = vakio. Geometrisena mielikuvana voidaan ajatella, että differentiaalinen siirtymävektori dx α määrää neliulotteisen Riemannin Einsteinin avaruusajan pistetapahtumassa jonkin suunnan. Tähän perustuen sanotaan, että kyseessä oleva suunta (dx α ) on ajanluonteinen, jos g αβ (x γ )dx α dx β < 0, paikanluonteinen, jos g αβ (x γ )dx α dx β > 0 ja valonluonteinen, jos g αβ (x γ )dx α dx β = 0. Vastaavanlainen jaottelu voidaan tehdä myös mille tahansa kontravariantille vektorille T α, jonka geometrisena esikuvana on siis dx α. Menneisyyteen ja tulevaisuuteen osoittavat vektorit t α ovat ajanluonteisia ne ovat idealisoidun järjestelmän havaitsija + kello maailmanviivojen mahdollisia tangentteja: g αβ (x γ )T α T β < 0 Nykyisyyteen osoittavat vektorit ovat paikanluonteisia: g αβ (x γ )T α T β > 0 23

26 pistetapahtuma Kuva 6: Kohti epärelativistista fysiikkaa Nolla- eli valokartiolla olevia vektoreita T α kutsutaan Riemannin Einsteinin nollavektoreiksi 25 g αβ (x γ )T α T β = 0 Fotonihypoteesi: Riemannin Einsteinin nollavektorit määräävät fotonin (joka tulkitaan materiahiukkasen rajatapaukseksi) maailmanviivojen suunnat. Einstein: g αβ (x γ ) on fundamentaalinen tensori. Fysikaalinen merkitys? [Gravitaatio?] Matemaattinen merkitys? [Metrinen geometria] 4.4 Kaksiulotteinen analogia avaruusajalle Euklidiseen avaruuteen upotettu pinta 3-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen upotetun mielivaltaisen 2-ulotteisen pinnan parametrimuotoinen esitys z 1 = z 1 (x 1, x 2 ) z 2 = z 2 (x 1, x 2 ) z 3 = z 3 (x 1, x 2 ) missä z i :t ovat karteesiset koordinaatit ja x j :t pintaparametreja. Viivaelementin neliö pinnalla 25 Ei kuitenkaan : T α 0. dl 2 = (dz 1 ) 2 + (dz 2 ) 2 + (dz 3 ) 2 (5) 24

27 voidaan lausua myös muodossa 26 missä on pinnalle indusoitunut metriikka. dl 2 = γ ab (x 1, x 2 )dx a dx b (6) γ ab = 3 c=1 z c z c x a x b (7) Harjoitustehtävä 19. Todista tämä, eli että (5) voidaan lausua muodossa (6) määritelmän (7) avulla. Harjoitustehtävä 20. Olkoon kaksiulotteisen pinnan eksplisiittinen esitys z 3 = z 3 (z 1, z 2 ). Näytä, että pinnalle indusoitunut metriikka voidaan esittää muodossa 27 ( ) z 3 2 γ 11 = 1 + x 1 γ 12 = γ 21 = z3 z 3 ( z 3 x 1 x 2 γ 22 = 1 + x 2 ) 2 Harjoitustehtävä 21. Etsi vastaava tulos implisiittiselle esitykselle F (z 1, z 2, z 3 ) = 0. Harjoitustehtävä 22. Sovellus: dl 2 pallopinnalla (z 1 ) 2 +(z 2 ) 2 +(z 3 ) 2 = R 2 käyttäen ylempiä tuloksia Epäeuklidinen avaruus Häivytetään 2-ulotteista pintaa ympäröivä 3-ulotteinen euklidinen avaruus. Mitä jää jäljelle? On syntynyt geometrialtaan epä-euklidinen kaksiulotteinen avaruus, jatkumo, jonka määrittelee neliömuoto γ ab (x c )dx a dx b. = Γ, missä x a, (a = 1, 2), ovat nk. Gaussin pintakoordinaatit. γ ab (x c ), jonka symmetrisyys on oletettava erikseen, kuvaa ko. avaruuden metristä luonnetta liittyen mitattavaan ominaisuuteen dl : dl 2 = ɛγ > 0, kun Γ 0. Myös Γ = 0 on mahdollista: dl voi olla nolla, vaikka kaikki dx a :n komponentit eivät ole nollia (tämä on paradoksaalista vain euklidisen geometrian näkökulmasta). Esimerkiksi Γ = (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 = 0, kun dx 1 = dx 2, vaikka dx 1, dx 2 0. YST:n 4-ulotteinen jatkumo on Riemannin Einsteinin avaruusaika, 1. jota ei ole upotettu mihinkään korkeampi-ulotteiseseen euklidiseen avaruuteen 26 huomaa summaussäntö edelleen 27 Mieti, mikä on luonnollisin parametrisointi, tulokset seuraavat heti. 25

28 2. jonka geometria on epäeuklidinen (Riemannin geometria). 3. jonka metristä rakennetta luonnehtii symmetrinen tensori g αβ (x γ ), nimeltään metrinen tensori. Kuitenkaan g αβ (x γ ) ei ole fysikaalinen mitattava suure! Osoittautuu, että gravitaation kannalta olennaista on se, miten g αβ muuttuu pistetapahtumasta toiseen. 4.5 Metrinen tensori lasku- ja nosto-operaattorina Laskuoperointi Tarkastellaan vektoreita T α ja T α. Onko näillä jokin yhteys? Ulkotulosta T α T β saadaan kontraktiolla invariantti T α T α, joka on kontravariantin vektorin ja kovariantin vektorin sisätulo. Kun metrinen tensori g αβ on käytettävissä, voidaan kyseistä invarianttia pitää kahden kontravariantin vektorin sisätulona identifioinnin kautta 28. Tätä käyttäen saadaan Erikoistapaus: g αβ T β T α tai g αβ T α T β g αβ T α T β = T α T α = T β T β }{{} invariantti neliömuoto g αβ dx α dx β = Q Edellä oleva identifiointi merkitsee sitä, että kontra- ja kovarianteilla vektoreilla metrisessä geometriassa ei ole perustavanlaatuista eroa. Operaationa g αβ T β = T α on siis kontravariantin indeksin lasku kovariantiksi indeksiksi (huomaa summaus). Samankaltainen laskuoperaatio voidaan suorittaa myös korkeamman kertaluvun tensorille. Esimerkkejä: g αβ T αγ = T γ β g αβ T γβ = T γ α g αγ g βδ T γδ = g αγ (g βδ T γδ ) = g αγ T γ β = T αβ g αδ T δ βγ = T αβγ Harjoitustehtävä 23. Laske seuraavat: g αβ T α γ g βα T α γ g αβ T β γ g γα T βαδ 28 g αβ operoi vektoriin 26

29 g αβ T δɛ γ g βɛ g γα T βα δ g ɛβ g αζ g γη T αβγδ Harjoitustehtävä 24. Yleensä T α β ja T β α eivät ole yhtäsuuret, edes samassa pistetapahtumassa. Millaisessa erikoistapauksessa yhtäsuuruus kuitenkin pätee? Nosto-operointi On olemassa myös kovariantin indeksin nosto-operaatio. Tätä varten muodostetaan symmetrinen 2. kertaluvun kontravariantti metrinen tensori g αβ (x γ ), muodollisesti g αβ (x γ ):n käänteistensori, siten, että pätee sisätulorelaatio Tästä seuraa: g αβ g βγ = δ α γ T α = δ α β T β = (g αγ g γβ )T β = g αγ (g γβ T β ) = g αγ T γ joten yhtälöketjun päitä vertaamalla toteamme, että näin todella muodostui nostooperaattori. Toisekseen, nyt invarianttia g αβ T α T β = g αβ (g αγ T γ )(g βδ T δ ) = (g αβ g αγ )g βδ T γ T δ = δ γ β gβδ T γ T δ = g γδ T γ T δ voidaan pitää kahden kovariantin vektorin sisätulona 29 Harjoitustehtävä 25. Laske 30 g αβ T βγ g αβ T γβ g αβ T δ βγ g αγ g βδ T γδ g γɛ g ζβ g ηδ T αβ γδ Harjoitustehtävä 26. Perustele: Sekamuotoinen metrinen tensori g α β δβ α. Minkä gα α ilmaisee? on yhtäkuin Harjoitustehtävä 27. Sievennä g αγ g βδ g γδ ja g αγ g βδ g γδ Harjoitustehtävä 28. Osoita, että T αβ U αβ = T αβ U αβ 29 Vältä kuitenkin merkintää g αβ dx αdx β vaikka olikin g αβ dx α dx β Muista merkintämme: x α ei ole vektori, dx α on vektori, dx α ei ole mitään, T α ja T α ovat vektoreja, V i = (V 1, V 2, V 3) V i 30 helppo sovellustehtävä 27

30 ja, että T αβγ U δβγ = T α γ β U β δ γ 28

31 5 Einstein pohdiskelee Vapaassa putoamisliikkeessä oleva mies ei tunne painoaan... Putoava mies on kiihtyvässä liikkeessä... Kiihtyvässä koordinaatistossa tarvitsemme uuden gravitaatiokentän... Kiihtyvässä koordinaatistossa ei voi soveltaa Euklidista geometriaa. Kommentteja: Ei painovoimaa: ei painovoima- eli gravitaatiokenttää! Jokin voimavaikutus silti esiintyy! Uusi gravitaatiokenttä? Mitattavuus? Epäeuklidinen geometria! Relativistinen fysiikka on Riemannin Einsteinin avaruusajan metristä geometriaa. On ilmeistä, että tähän metriseen geometriaan täytyy silloin jollain tavalla sisältyä uusi gravitaatiokenttä. Kyseessä on avaruusajan absoluuttinen ominaisuus! Syy on, että gravitaatiovaikutus ilmiönä joko on, tai ei ole (ei välimuotoja eikä suhteellisuutta). Tämän ominaisuuden mittana on avaruusajan kaarevuus, ja sitä kuvaa 4. kertaluvun tensori, niinkutsuttu kaarevuustensori eli Riemannin tensori R αβγδ. Se, miten tähän päädytään, selviää myöhemmin. Kun avaruusaikaa luonnehditaan kaarevuuden mukaan, niin yksinkertaisin tapaus on laakea avaruusaika, jossa R αβγδ (x ɛ ) 0, joilloin gravitaatiota ei ole 31. Suppea suhteellisuusteoria on laakean avaruusajan fysikaalinen teoria. Yleinen suhteellisuusteoria eli Einsteinin gravitaatioteoria puolestaan on kaarevan avaruusajan fysikaalinen teoria, jossa uuden gravitaatiokentän rooli on annettu Riemannin tensorille R αβγδ (x ɛ ). Yleisessä suhteellisuusteoriassa ei ole mitään painovoimaa, koska gravitaatio ilmiönä on sulautettu avaruusajan geometriseen rakenteeseen ja ilmenee avaruusajan kaarevuuden kautta, jolloin R αβγδ ei ole identtisesti nolla Einsteinin geodeettinen hypoteesi Tuttua: klassisessa mekaniikassa hiukkanen on vapaa, mikäli siihen ei vaikuta mikään (resultantti) voima, ei edes painovoima. Newtonin ensimmäisen lain mukaan vapaan hiukkasen liike on tasaista ja suoraviivaista ( v on vakiovektori). 31 Jälleen on kyse tensoriyhtälöstä: Koska nolla yhden koordinaatiston kaikissa pisteissä, nollaa myös kaikkien muiden koordinaatistojen kaikissa pisteissä. 32 Voidaan kylläkin asettaa nollaksi yhdessä pistetapahtumassa kerrallaan. 29

32 Newton I:n vastine yleisessä suhteellisuusteoriassa on Einsteinin geodeettinen hypoteesi: Voimista vapaan, mutta ei gravitaatiovapaan 33, eli ns. vapaassa putoamisliikkeessä olevan materiahiukkasen maailmanviiva on ajanluonteinen geodeettinen käyrä eli geodeesi Riemannin Einsteinin avaruusajassa Myös vapaa fotoni noudattaa hypoteesia, jolloin fotonin maailmanviiva on nollageodeesi Riemannin Einsteinin avaruusajassa. 5.2 Geodeesi Geodeesi Riemannin Einsteinin avaruusajassa on maailmanviiva x α = x α (u) (u parametri) pistetapahtumasta A : x α (u A ) pistetapahtumaan B : x α (u B ) siten, että B ub s B s A = s = ds = f (x α, dxα ) ub du = ɛg αβ (x A u A }{{} du γ )ẋ α ẋ β du u A. =ẋ α toteuttaa variaatioyhtälön (δ on variaatiosymboli) B ub δ ds = δ ɛg αβ (x γ )ẋ α ẋ β du = 0 A u A Siis vaikutusintegraalin variaation tulee hävitä. Tehdään merkintä F = F(x α, ẋ α ) =. ɛg αβ (x γ )ẋ α ẋ β joka on maailmanfunktio, jossa ei ole explisiittistä u-riippuvuutta. Vaadimme siis, että s on stationaarinen eli saa ääriarvon. Tällöin differentiaaliyhtälön F x α d ( ) F du ẋ α = 0 (8) on oltava voimassa geodeesin jokaisessa pisteessä. Harjoitustehtävä 29. Kertausta: Johda variaatioperiaatteella integraalista 33 ilmiö, ei voima x 2 x 1 f(x, y, y )dx missä y = y(x), y = dy dx Eulerin-Lagrangen yhtälö f y d dy ( ) f = 0 ẏ 30

33 Käyttämällä yhtälöä (8) saadaan toisaalta Toisaalta taas d du F 2 x α = ( ) F 2 ẋ α x α (F 2 ) = 2F F x α = 2F d ( ) F du ẋ α = d ( 2F F ) du ẋ α = 2 df du F ẋ α + 2F d ( ) F du ẋ α Täten pätee F 2 x α d du ( ) F 2 ẋ α = 2 df du F ẋ α (9) Todetaan tähän väliin aputulos, jota seuraavassa laskussa tarvitaan: ( ẋ α ɛg γβ ẋ γ ẋ β) = ɛg γβ ( ẋ α ẋ γ ẋ β) ( ẋ γ = ɛg γβ ) ẋ α ẋβ + ẋ γ ẋβ ẋ α = ɛg γβ δ γ αẋ β + ɛg γβ ẋ γ δ β α = ɛg αβ ẋ β + ɛg γα ẋ γ }{{} γ β = ɛg αβ ẋ β + ɛg βα ẋ β = ɛg αβ ẋ β + ɛg αβ ẋ β Siis saatiin ( ẋ α ɛg γβ ẋ γ ẋ β) = 2ɛg αβ ẋ β (10) Yhtälön (9) oikea puoli: 2 df ) F du ẋ α = 2dF ( ɛg du ẋ α γβ (x ɛ )ẋ γ ẋ β ( ɛg αβ (x γ )ẋ α ẋ β) 1 2 = 2 df 1 du 2 ( ẋ α ɛg γβ ẋ γ ẋ β) }{{} =2ɛg αβ ẋ β (10) = 2 df ( ɛg αβ (x γ )ẋ α ẋ β) 1 2 ɛg αβ ẋ β = 2ɛ 1 df du F du g αβẋ β. = 2ɛΦ(u)gαβ ẋ β 31

34 Käsitellään sitten yhtälön (9) vasen puoli: F 2 x α d du ( ) F 2 ẋ α =ɛ g βγ x α ẋβ ẋ γ d du = ( x α ɛg βγ ẋ β ẋ γ) d [ du ( 2ɛg αβ ẋ β) = ɛ g βγ x α ẋβ ẋ γ 2ɛ =ɛ g βγ x α ẋβ ẋ γ 2ɛ g αβ dx γ dẋ β x γ du ẋβ 2ɛg αβ du =ɛ g ( βγ x α ẋβ ẋ γ ɛ 2 g ) αβ x γ ẋγ ẋ β dẋ β 2ɛg αβ du =ɛ g ( βγ x α ẋβ ẋ γ gαβ ɛ x γ ẋγ ẋ β + g ) αγ x β ẋγ ẋ β dẋ β 2ɛg αβ du = 2ɛg αβ dẋ β du ɛ ( gαβ x γ + g αγ x β g βγ x α ẋ α ( ɛg βγ ẋ β ẋ γ)] ( dgαβ dẋ β du ẋβ + g αβ du ) ẋ γ ẋ β = 2ɛg αβ dẋ β ) du ɛ 2 [βγ, α]ẋγ ẋ β Tässä viimeinen seuraa käyttämästämme merkinnästä 34 [βγ, α]. = 1 2 ( gαβ x γ + g αγ x β g ) βγ x α (11) jota nimitetään 1. lajin Christoffelin symboliksi. Näillä merkinnöillä ja toimenpiteillä olemme saaneet yhtälön (9), tai yhtäpitävästi yhtälön (8), muotoon dẋ β 2ɛg αβ du ɛ 2 [βγ, α]ẋγ ẋ β = 2ɛΦ(u)g αβ ẋ β Harjoitustehtävä 30. Osoita, että g αβ dẋ β du + [βγ, α]ẋγ ẋ β = Φ(u)g αβ ẋ β (12) [γα, β] + [γβ, α] = g αβ x γ Otetaan käyttöön myös merkintä 35 g γδ [αβ, δ]. = jota nimitetään 2. lajin Christoffelin symboliksi. { } γ α β 34 Myös merkintää [βγ, α]. = Γ αβγ näkee käytettävän. Huomaa olion symmetria β:n ja γ:n suhteen. 35 Myös merkintöjä {αβ, γ}, Γ γ αβ ja gγδ Γ δαβ näkee käytettävän. Γ :ssa voi nouseva/laskeva indeksi olla myös viimeisenä. 32

35 Harjoitustehtävä 31. Näytä 36, että { } δ g γδ = [αβ, γ] ja, että α β { } β = 1 g α β 2 gβγ βγ x α 5.3 Geodeettinen yhtälö Kertomalla yhtälö (12) g αδ :lla saadaan g αδ dẋ β g αβ du + gαδ [βγ, α]ẋ β ẋ γ = Φ(u)g αδ g αβ ẋ β g αδ g αβ = δ δ β dẋ δ { } δ du + ẋ β ẋ γ = Φ(u)ẋ δ β γ d 2 x γ { } γ dx α du 2 + dx β α β du du = Φ(u)dxγ du (13) joka on niin kutsuttu geodeettinen yhtälö, geodeesin differentiaaliyhtälö. Geodeettisen yhtälön yksinkertaisempi muoto saadaan sopivalla parametrinvaihdolla u = u(v) dx α du = dxα dv dv du Tällöin (13) saa muodon ( d 2 x γ { γ } dx α dv 2 + α β dv d 2 x α du 2 dx β ) dv = d2 x α dv 2 ( ) dv 2 + dxα d 2 v du dv du 2 ( ) dv 2 ( + dxγ d 2 ) v dv Φ(u) = 0 du dv du2 du Valitaan nyt v siten, että se on ratkaisu differentiaaliyhtälölle d 2 v dv Φ(u) du2 du = 0 Tulos on geodeettisen yhtälön normaalimuoto d 2 x γ { } γ dx α dv 2 + dx β α β dv dv = 0 (14) Vertaa d 2 x dt 2 = 0 vapaalle kappaleelle ja d 2 x dt 2 g = 0 putoavalle kappaleelle. 36 huomaa summaukset 33

36 5.4 Geodeettisen yhtälön ratkaiseminen Miten onnistuu geodeettisen yhtälön normaalimuodon (14), joka on 2. kertaluvun DY, ratkaiseminen? Ensimmäisen kertaluvun DY:nä saataisiin 37 du α { } α du = U β (u) U γ (u) (15) β γ }{{}. missä U α = dxα du on tangenttivektori. =M α γ(u) matriisi Etsitään propagaattori K α β (u u 1) joka liittää toisiinsa alkuvektorin U α (u 1 ) ja vektorin U α (u) = K α β (u u 1)U β (u 1 ). Matemaattisesti K α β (u u 1) on kaksipistetensori eli bitensori. Geometrisesti propagaattori siirtää (ja muokkaa) alkuvektoria pitkin geodeesia pisteestä u pisteeseen u 1. Yhtälö (15) muuttuu muotoon dk α β (u u 1) du = M α β (u)kγ β (u u 1) muunnetaan 38 tämä DY integraaliyhtälöksi u K α β (u u 1) = δ α β + M α γ(ũ)k γ β (u u 1)dũ u 1 jossa δ α β = Kα β (u 1 u 1 ). Ratkaisu iteroinnilla u u u K α β (u u 1) = δ α β + M α γ(ũ)dũ + M α γ(u )M γ β (ũ)dũdu u 1 u 1 u 1 + (tetraedri) n:nnessä termissä integraali yli (n-1) simpleksin +... Huomaa graafinen tulkinta: - 1. termissä u = u 1, kyseessä on piste eli 0-simpleksi - 2. termissä ũ on liikkuu janalla pisteiden u 1 ja u välillä, kyseessä on 1-simpleksi - 3. termissä integroidaan tasossa kolmion (2-simpleksi) yli (kuva 7). 37 Geodeesin parametrisointina jälleen u, vaikka pääsimme normaalimuotoon tekemällä muuttujanvaihdon v:hen. Samaistetaan nyt kuitenkin u ja v, ja käytetään vastaisuudessa symbolia u sille parametrille, joka toteuttaa normaalimuotoisen yhtälön. Indeksien nimiä on myös kierrätetty. 38 derivoimalla tuloksen, saat edellisen yhtälön 34

37 u' u'=u u'=ũ ũ=u ũ Kuva 7: Graafinen tulkinta, integrointi yli 2-simpleksin (viivoitettu alue) 5.5 Geodeeseista Sanomme, että geodeesi on ajanluonteinen, jos g αβ U α U β < 0 pätee geodeesin jokaisessa pisteessä. Vastaavasti, geodeesi on paikanluonteinen, jos ja valonluonteinen, ts. nollageodeesi, jos g αβ U α U β > 0 g αβ U α U β = 0 (U α = dxα du ) Harjoitustehtävä 32. Osoita, että 39 [αβ, γ] ja { α β γ} eivät ole tensoreita. Kahden pistetapahtuman välinen geodeesi on maailmanviiva, jossa kellonlukemaero on stationaarinen. Mitä muuta? 39 Vihjeitä: Tehtävä ei ole vaikea, mutta työläs. Ensimmäisestä saat [αβ, γ] = 1 2 ( g αγ x β + g βγ x β ) g αβ =... = xδ x ɛ x β x α x β Toisessa muista että { } α = g αδ [βγ, δ] β γ x ζ x [δɛ, ζ] + g x δ γ δɛ x γ 2 x ɛ x α x β } {{ } tuhoaa tensoriuden 35

38 6 Lisää matemaattisia työkaluja 6.1 Absoluuttinen derivaatta Tangenttivektorin yhdensuuntaissiirto Esitetään geodeettinen yhtälö tangenttivektorin U α avulla, kuten yhtälössä (15) ja tehdään samalla merkintä δu α. = du α { } α δu du + U β (u)u γ (u) = 0 β γ Nolluus tarkoittaa tangenttivektorin U α absoluuttista vakioisuutta kuvaten U α :n yhdensuuntaissiirtoa geodeesia pitkin. Silloin voidaaan sanoa, että kahden pistetapahtuman välinen geodeesi on suorin viiva 4-ulotteisessa Riemannin Einsteininavaruusajassa. Vertaa: 3-ulotteisessa Euklidisessa avaruudessa tangenttivektorin U yhdensuuntaissiirtoa suoraa viivaa pitkin kuvaa relaatio du α du = 0, missä U α ovat karteesiset komponentit Yleinen yhdensuuntaissiirto Mielivaltainen kontravariantti vektori yhdensuuntaissiirtyy maailmanviivaa x α = x α (u) pitkin, jos δt α δu = 0. Tässä δt α δu = dt α { α }T du + β dxγ β γ du eli T α :n absoluuttinen derivaatta maailmanviivaa pitkin (havainnollistus: kuva 9). Vertaa: 3-ulotteisessa Euklidisessa avaruudessa yleisen vektorin T yhdensuuntaissiirtoa suoraa viivaa pitkin (kuva 8) kuvaa relaatio dt α du = 0. T(u 2 ) T(u 1 ) x α =x α (u) Kuva 8: Vektorin yhdensuuntaissiirto parametrisoitua suoraa pitkin euklidisessa avaruudessa 36

39 T(u 2 ) u=u 2 T(u 1 ) x α =x α (u) u=u 1 Kuva 9: Vektorin yhdensuuntaissiirto parametrisoitua maailmanviivaa pitkin Tensoriluonne Onko δt α δu tensori? (Onko kyseessä tensoriderivaatta?) Harjoitustehtävä 33. Osoita, että dt α du ei ole tensori. Tiedämme 40 nyt, että δt α δu = dt α du }{{} ei tensori { α + β γ } }{{} T β dxγ du }{{} vektoreja, ei tensori eli tensoreja Tästä huolimatta 41 pätee δt α δu = x α x β { } dt α α = du + β dx γ T β γ du = ( { ) ( dt α α }T du + γ dxδ 2 x α + β γ du x }{{} β x γ + 2 x δ x ɛ x ζ x α ) x ɛ x ζ x β x γ x }{{ δ } δt β =0, ihan eka HT δu Harjoitustehtävä 34. Laske välivaiheet edelliseen. T β dxγ du Näin ollen pätee joten siis δt α δu δt α δu on kontravariantti vektori42. = x α δt β x β δu 40 Molemmat ei tensori -väitteet ovat olleet harjoitustehtävinä jo. 41 tai eihän kukaan väittänytkään, että edellinen mitään merkitsisi 42 kun T α on kontravariantti vektori 37

40 6.1.4 Kovariantin vektorin absoluuttinen derivaatta Otetaan mielivaltainen kontravariantti vektori V α, jota yhdensuuntaissiirretään maailmanviivaa x α = x α (u) pitkin (idea). δv α δu = dv α du + { α }V β dxγ β γ du = 0 antaa dv α du { α }V = β dxγ β γ du (16) Invariantti d du (T αv α ) = dt α du V α dv α + T α du = dt ( { α β du V α + T β α γ Einsteinin tensoritestin nojalla objekti 43 = dt ( { ) α α du V α + T α }V β dxγ β γ du }{{} ) }V α dxγ = du { dt α β du dx }T γ β α γ du. = δt α δu α β ( dtα du { β α γ }T β dx γ du ) V α eli T α :n absoluuttinen derivaatta maailmanviivaa pitkin, on kovariantti vektori. Jos δtα δu = 0, on kyseessä T α:n yhdensuuntaissiirto maailmanviivaa pitkin Korkeamman kertaluvun tensorit Absoluuttinen derivointi mitä tahansa maailmanviivaa pitkin voidaan laajentaa koskemaan myös korkeamman kertaluvun tensoreita. Tämä tapahtuu s.e. muodostetaan sisätuloinvariantti, joka koostuu annetusta tensorista, ja sellaisista vektoreista, joita yhdensuuntaissiirretään kyseessä olevaa maailmanviivaa pitkin. Ja derivoidaan. Tarkastellaan esimerkkinä tensoria T αβ maailmanviivalla x α = x α (u). Invariantti d du (T αβ V α W β ) = (T αβ dv α dt αβ + du du V α)w β + T αβ dw β V α du Tästä päästään eteenpäin kun ensin lausutaan vektorien derivaattatermit toisella 43 huomaa, että nyt testattiin siis ala-indeksellinen versio, edellä yläindeksillä 38