Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 23
Kertausta Lineaarikombinaatiot Vektoriavaruuden V vektoreiden {v 1, v 2,..., v k } lineaarikombinaatioiden joukko on L(v 1,..., v k ) = {c 1 v 1 +... + c k v k c 1,..., c k K}. L(v 1,..., v k ) on V:n aliavaruus. On voimassa u L(v 1,..., v k ) L(v 1,..., v k ) = L(v 1,..., v k, u). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 2 of 23
Kertausta Lineaarinen riippuvuus Vektorijoukko {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippumaton, jos vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa voidaan nollavektori muodostaa vain ilmeisellä tavalla 0 v 1 + 0 v 2 +... + 0 v k = 0. Jos on muitakin tapoja, on joukko lineaarisesti riippuva. Lineaarinen riippuvuus jokin joukon vektoreista voidaan esittää muiden avulla: v i = c 1 v 1 +... + c i 1 v i 1 + c i+1 v i+1 +... + c k v k L(v 1,..., v k ) = L(v 1,..., v i 1, v i+1,..., v k ) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 3 of 23
Vektoriavaruudet Lause Olkoot v 1,..., v k R n ja A k n matriisi: A = v 1. v k. Jos A B ja niin B = u 1. u k, L(v 1,..., v k ) = L(u 1,..., u k ) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 4 of 23
Vektoriavaruudet Seuraus Olkoon S = {v 1,..., v k } ja A matriisi, jonka riveinä ovat nämä vektorit. Olkoon A B, missä B on redusoitu porrasmatriisi. Vektorijoukko S on lineaarisesti riippuva tarkalleen silloin kun matriisissa B on nollarivi. Esimerkki 24 Olkoon S = {(1, 2, 1), ( 2, 3, 1), (4, 1, 3)}. Koska 1 2 1 2 3 1 4 1 3... on S lineaarisesti riippuva. Lisäksi 1 0 5 7 0 1 1 7 0 0 0, V = L((1, 2, 1), ( 2, 3, 1), (4, 1, 3)) = L((1, 0, 5 7 ), (0, 1, 1 7 )). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 5 of 23
Vektoriavaruudet Määritelmä Joukko B on vektoriavaruuden V kanta, jos V = L(B). B on lineaarisesti riippumaton. Esimerkki 24 (jatkoa) Joukko B = {(1, 0, 5 7 ), (0, 1, 1 7 )} on vektoriavaruuden V = L((1, 2, 1), ( 2, 3, 1), (4, 1, 3)) kanta, sillä V = L((1, 0, 5 7 ), (0, 1, 1 7 )) ja {(1, 0, 5 7 ), (0, 1, 1 7 )} on lineaarisesti riippumaton. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 6 of 23
Lause Vektoriavaruuden kaikissa kannoissa on yhtä monta vektoria. Määritelmä Jos V :n kanta B = {v 1,..., v k } on äärellinen, sanotaan että V on k-ulotteinen. Merkintä: dimensio dim(v ) = k. Vektoriavaruuden V = {0} kannaksi sovitaan tyhjä joukko; dim({0}) = 0 Jos vektoriavaruudella V ei ole äärellistä kantaa, sanotaan, että V on ääretönulotteinen; dim(v ) = Esimerkki 24 (jatkoa) Dimensio dim(l((1, 2, 1), ( 2, 3, 1), (4, 1, 3))) = 2. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 7 of 23
Vektoriavaruudet Esimerkki {e 1, e 2,..., e n } on R n :n kanta, ns. luonnollinen kanta, sillä R n = L(e 1, e 2,..., e n ) ja {e 1, e 2,..., e n } on lineaarisesti riippumaton. Dimensio dim(r n ) = n. Lause Jos B = {b 1,..., b n } on avaruuden V kanta, niin jokaisella x V on yksikäsitteinen esitys kantavektoreiden lineaarikombinaationa: x = x 1 b 1 +... + x n b n M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 8 of 23
Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoon x V ja B = {b 1,..., b n } on avaruuden V (reaalinen tai kompleksinen) kanta ja x = x 1 b 1 +... + x n b n. Lukuja x 1,..., x n kutsutaan vektorin x koordinaateiksi kannan B suhteen. Vektoria x B = (x 1,..., x n ) ( R n tai C n ) sanotaan x:n koordinaattivektoriksi kannan B suhteen. Esimerkki 26 Jos x = (x 1,..., x n ) ja B = {e 1,..., e n } on luonnollinen kanta, niin x = x 1 e 1 + + x n e n x B = (x 1,..., x n ). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 9 of 23
Vektoriavaruudet Esimerkki 29 Olkoon P = {c 0 + c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n c i R} reaalikertoimisten polynomien joukko. P on vektoriavaruus ja eräs sen kanta on B = {1, x, x 2, x 3,...}, sillä P = L(B) ja B on lineaarisesti riippumaton. P:llä ei ole äärellistä kantaa, sillä kaikissa P:n kannoissa on yhtä monta alkiota. Esimerkki 30 Myös P 5 = {c 0 + c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 c i R} on vektoriavaruus ja eräs sen kanta on B = {1, x, x 2, x 3, x 4 }, sillä P 5 = L(B) ja B on lineaarisesti riippumaton. Dimensio dim(p 5 ) = 5. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 10 of 23
Vektoriavaruudet Huomautus Jos V = L(v 1,..., v k ), mutta S = {v 1,..., v k } ei ole avaruuden V, kanta, on S välttämättä lineaarisesti riippuva. Tällöin jokin vektori, esim. v k L(v 1,..., v k 1 ) ja siksi V = L(v 1,..., v k 1 ). Poistamista voidaan jatkaa, kunnes saadaan kanta. Esimerkki Esimerkki 32 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 11 of 23
Vektoriavaruudet Lause Jos V on äärellisesti generoitu, ja U V, voidaan U:n kanta täydentää V :n kannaksi. Esimerkki Täydennetään B = {(1, 0, 5 7 ), (0, 1, 1 7 )} R3 :n kannaksi. Valitaan e 3 = (0, 0, 1) / L(B). Huomataan, että 1 0 5 7 1 0 0 0 1 1 7 0 1 0. 0 0 1 0 0 1 Joten B {e 3 } on R 3 :n kanta, sillä R 3 = L(B {e 3 }) ja se on lineaarisesti riippumaton. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 12 of 23
Vektoriavaruudet Seuraus Jos U V, on dim(u) dim(v ) Jos n = dim(v ), on jokainen V :n osajoukko, jossa on enemmän kuin n vektoria, lineaarisesti riippuva. Esimerkki Joukko {i, j, i + j} R 2 on lineaarisesti riippuva, sillä dim(r 2 ) = 2. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 13 of 23
Matriisit Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n...... A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi A ij C: kompleksinen matriisi M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 14 of 23
Matriisit Määritelmä 1 n-matriisia A = (A 11 A 12... A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. A 11 A 21 m 1-matriisia A = kutsutaan pystyvektoriksi tai. sarakevektoriksi. Huomautus A m1 Sekä pysty- että vaakavektori voidaan tulkita avaruuden R n (tai C n ) alkioksi. Näissä käytetään yleensä vain yksinkertaista indeksointia. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 15 of 23
Matriisit Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Esimerkki neliömatriisista 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 16 of 23
Matriisit Määritelmä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Esimerkki diagonaalimatriisista 1 0 0 A = 0 2 0 0 0 3 Esimerkki identiteettimatriisista 1 0 0 I 3 = 0 1 0 0 0 1 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 17 of 23
Matriisit Määritelmä Transpoosi (A T ) ij = A ji. Esimerkki A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ja AT = 1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 18 of 23
Matriisit Määritelmä Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A T = A. Esimerkki on symmetrinen matriisi. 1 4 5 A = 4 2 6 = A T 5 6 3 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 19 of 23
Matriisit Määritelmä Matriisin A:n vastamatriisi A määritellään asettamalla ( A) ij = A ij. Esimerkki 1 2 3 1 2 3 4 5 6 = 4 5 6 7 8 9 7 8 9 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 20 of 23
Matriisit Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). Matriisien yhteenlasku Jos A on m n-matriisi ja B r s-matriisi, summa A + B määritellään vain jos m = r ja n = s. Tällöin (A + B) ij = A ij + B ij Huomautus m n-matriisit muodostavat vektoriavaruuden yhteenlaskun ja skalaarikertolaskun suhteen. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 21 of 23
Matriisit Esimerkki 33 ( ) 2 1 0 A = on 2 3-matriisi, 5A = 0 1 3 Esimerkki ( ) 2 1 0 A = on 2 3-matriisi ja B = 0 1 3 3 2-matriisi. Summaa A + B ei ole määritelty. ( ) ( ) A + B T 2 1 0 1 2 1 = + = 0 1 3 0 1 3 ( 10 5 0 0 5 15 1 0 2 1 1 3 ) ( 3 1 1 0 2 6 ) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 22 of 23
Matriisit Esimerkki 36 ( x + 3, x 1, x) = ( x, x, x) + (3, 1, 0) = x( 1, 1, 1) + (3, 1, 0) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 3 23 of 23