4 Integrointimenetelmiä

4 Integrointimenetelmiä 4. Määräämätön integraali Määritelmä 4.. Olkoon funktio f jatkuva välillä I. Tällöin funktion f integraalifunktioiden (välillä I) joukkoa sanotaan funktion f määräämättömäksi integraaliksi ja sitä merkitään f(x) dx (tai f). Funktion f Riemann-integraalia välillä I voidaan vastaavasti kutsua funktion f määrätyksi integraaliksi. Määräämätön integraali on funktiojoukko, määrätty integraali taas on reaaliluku. Kumpaakin voidaan kutsua lyhyesti funktion integraaliksi, jos asiayhteydestä käy selville, tarkoitetaanko määräämätöntä vai määrättyä integraalia. Funktion integraalin määrittämistä kutsutaan funktion integroinniksi. Huomautus 4.. Jos siis f(x) on jatkuva ja F (x) f(x) välillä I, niin f(x) dx F (x) + C, C R. Huomautus 4.. Kurssilla Analyysi esitetyistä derivaatan laskusäännöistä seuraa suoraan, että jos kyseiset määräämättömät integraalit ovat olemassa, niin λ (f(x) + g(x)) dx λ f(x) dx + λ g(x) dx, λ R. Huomautus 4.3. Kurssilla Analyysi esitettyjen derivoimiskaavojen perusteella saadaan seuraavat integrointikaavat (C R). Kaavoja voidaan tietenkin soveltaa vain sellaisilla väleillä I, joilla integroitavat funktiot ovat jatkuvia. (4.) (4.) dx C, dx x + C, (4.3) (4.4) x a dx a + xa+ + C (a ), dx log x + C ( / I) x log x + C, kun x >, log( x) + C, kun x <, 54

(4.5) e x dx e x + C, (4.6) a x dx ax + C (a >, a ), log a (4.7) (4.8) sin x dx cos x + C, cos x dx sin x + C, (4.9) (4.) (4.) (4.) dx tan x + C, cos x sin dx cot x + C, x dx arc tan x + C, + x dx arc sin x + C. x Huomautus 4.4. Jos funktion määräämätön integraali tunnetaan, funktion määrätty integraali eli Riemann-integraali voidaan laskea käyttämällä integraalilaskennan päälausetta (lause 3., s. 5). Esimerkiksi integrointikaavaa (4.) soveltamalla saadaan + x dx / arc tan x arc tan arc tan 4 4. Huomautus 4.5. Kaikkien jatkuvien funktioiden määräämätöntä integraalia ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla äärellisessä suljetussa muodossa. Tällaisia ovat esimerkiksi sin x dx, sin x x dx, e x dx, arc tan x x Tällöin vastaavat määrätyt integraalit, esimerkiksi e x dx, dx, dx log x, dx x3 +,... pitää laskea jotenkin muuten kuin integraalilaskennan päälausetta käyttäen. 55

Huomautus 4.6. Käyttämällä yhdistetyn funktion derivointikaavaa saadaan integrointisääntö (4.3) f (x) g (f(x)) dx g(f(x)) + C. Sääntöä voidaan tietysti soveltaa vain, jos kaikki vaadittavat oletukset ovat voimassa. Yhdistetyn funktion derivointikaavan käyttö integrointimenetelmänä voidaan usein korvata sijoitussäännön käytöllä (ks. huomautus 4.5, s. 68). Esimerkki 4.. Kun a, niin käyttämällä yhdistetyn funktion integrointisääntöä (4.3) ja kosinin derivointikaavaa saadaan sin ax dx a a ( sin ax) dx cos ax + C. a Jos a, niin tuloksena on tietysti pelkästään vakiofunktio C. Esimerkki 4.. Käyttämällä yhdistetyn funktion integrointisääntöä sekä potenssin ja sinin derivointikaavoja saadaan cos x sin 3 x dx 4 4 cos x sin 3 x dx 4 sin4 x + C. Tulos saadaan helposti myös sijoitussäännön avulla (ks. esimerkki 4.7 (s. 69) ja sitä koskevat huomautukset 4.7 ja 4.8). Vastaavasti yleisesti (integraalin olemassaoloehtojen ollessa voimassa) f (x)f a (x) dx a + f(x)a+ + C (a ). Esimerkki 4.3. Kun a, niin käyttämällä yhdistetyn funktion integrointisääntöä ja logaritmin derivointikaavaa saadaan ax + b dx a a ax + b dx log ax + b + C a kaikilla niillä väleillä, jotka eivät sisällä pistettä x b a. Vastaavasti yleisesti, jos f(x) (ja integraalin olemassaoloehdot ovat voimassa), niin f (x)f (x) dx f (x) f(x) dx log f(x) + C. Jos a (ja b ), niin kyseessä on yksinkertaisesti vakiofunktion integrointi. 56

Esimerkki 4.4. Kotangentin ja tangentin määrittelyalueilla saadaan vastaavasti kuin esimerkissä 4.3 cos x cot x dx sin x dx cos x dx log sin x + C sin x ja tan x dx sin x cos x dx ( sin x) dx log cos x + C. cos x Joskus integroitavaa lauseketta kannattaa muokata ennen integrointia. Esimerkiksi trigonometriset funktiot voidaan joskus muuntaa sopivia kaavoja käyttämällä integroinnin kannalta oleellisesti yksinkertaisempaan muotoon (ks. luku 4.5). Sopivaa muokkausta voidaan hyödyntää myös muiden funktioiden kohdalla. Esimerkki 4.5. Olkoon x < a (a ). Määritetään a x dx. Koska integroitava funktio muistuttaa arkussinin derivaattaa, muokataan lauseke vastaamaan kyseistä derivaattaa. Käyttämällä muokkaamalla saatuun lausekkeeseen yhdistetyn funktion derivointikaavaa saadaan a x dx a ( ( x a ) ) dx a ( x a ) dx a dx ( x ) a arc sin x a + C. Tässä on erityisesti syytä huomata, että a a. Yllä olevan kanssa voitaisiin edetä vaihtoehtoisesti dx a ( x) a a a a dx ( x) a a a arc sin x a + C. Tulokset ovat samat, sillä arc sin ( x) arc sin x. 57

Huomautus 4.7. Määräämätöntä integraalia määritettäessä saatu tulos voidaan aina tarkistaa derivoimalla. Esimerkiksi d dx log ( x + x + ) x + ( + x + x + x + x +, x + + x x + x + x) joten x + dx log ( x + x + ) + C. Kyseinen integraali voidaan määrittää esimerkiksi sopivaa sijoitusta käyttäen (vrt. esimerkki 4.5, s. 67). Funktio ar sinh x log ( x + x + ) on hyperbolisen sinin sinh x ex e x käänteisfunktio. 58

4. Osittaisintegrointi Osittaisintegrointi perustuu tulon derivointikaavaan, joten oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia jollakin välillä. Tällöin kyseisellä välillä Siis myös sekä edelleen ja (fg) (fg) f g + fg. (f g + fg ) (fg) fg fg fg f g + fg jos viimeisen yhtälön integraalit ovat olemassa. Integraalien olemassaolon takaa esimerkiksi derivaattojen f ja g jatkuvuus. Näin on todistettu seuraava lause. Lause 4.8. Olkoot f ja g sellaisia välillä I derivoituvia funktioita, että derivaatat f ja g ovat jatkuvia tällä välillä. Tällöin fg fg f g välillä I. f g, f g Määrätylle integraalille osittaisintegrointikaava saa seuraavan muodon. Lause 4.9. Olkoot f ja g sellaisia välillä [a, b] derivoituvia funktioita, että derivaatat f ja g ovat jatkuvia tällä välillä. Tällöin b a fg / b fg b a a f g. Todistus. Koska f, g, f ja g ovat jatkuvia välillä [a, b], niin myös (fg) f g + fg on jatkuva välillä [a, b]. Täten integraalilaskennan päälauseen nojalla Siis b a f g + b a fg b a b (f g + fg ) b a a fg / b fg b a a f g. (fg) / b a fg. 59

Huomautus 4.. Huomautuksen 3.4 (s. 5) perusteella lauseessa 4.9 riittää olettaa derivaattojen f ja g jatkuvuuden sijasta, että f ja g ovat Riemannintegroituvia välillä [a, b] (harjoitustehtävä). Vastaavasti lauseessa 4.8 riittää, että määräämättömät integraalit ovat olemassa. Huomautus. Osittaisintegrointi on käyttökelpoinen integrointimenetelmä, kun f g on helpompi integroida kuin fg. Osittaisintegroinnilla pyritään tietysti aina helpompaan integroitavaan. Esimerkki 4.6. Osittaisintegroimalla saadaan x sin x dx x D( cos x) dx x ( cos x) ( cos x) dx x cos x + sin x + C. Esimerkki 4.7. Osittaisintegroimalla saadaan (kun huomataan, että D(x) ) log x dx log x dx D(x) log x dx x log x x x dx x log x dx x log x x + C. Esimerkki 4.8. Käyttämällä esimerkin 4.7 menettelyä ja yhdistetyn funktion derivointikaavaa saadaan arc tan x dx / arc tan x dx D(x) arc tan x dx x arc tan x x + x dx ( 4 ) x + x dx 6

4 / log ( + x ) 4 (log log ) 4 log. Esimerkki 4.9. Osoittaisintegroimalla kaksi kertaa peräkkäin saadaan x e x dx x e x x e x dx x e x (xe x e x dx) (x x + ) e x + C. Joskus osittaisintegrointi johtaa palautuskaavamenettelyyn. Esimerkki 4.. Määritetään sin x cos x dx. Merkitään I sin x cos x dx. Tällöin osittaisintegroinnilla saadaan I sin x cos x dx sin x D(sin x) dx sin x cos x sin x dx sin x I. Siis josta voidaan ratkaista Siis I sin x I, I sin x + C. sin x cos x dx sin x + C. 6

Esimerkki 4.. Määritetään palautuskaavamenettelyä käyttäen I n Käyttämällä osittaisintegrointia saadaan I n x ( + x ) n dx D(x) ( + x ) n dx (n Z +). ( + x ) n dx ( + x ) n x ( + x ) + n n x ( n) x dx ( + x ) n+ x dx ( + x ) n+ x ( + x ( + x ) + n ) n ( + x ) x ( + x ) + n n n+ dx ( + x ) dx n n x ( + x ) n + n I n n I n+. dx ( + x ) n+ Siis Lisäksi Siis jne. I n+ n x (n ) + I ( + x ) n n, kun n. n I I dx arc tan x + C. + x x + x + arc tan x + C, 6

4.3 Sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto Osoittaisintegrointi perustui tulon derivointikaavaan. Sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto puolestaan perustuu yhdistetyn funktion derivointikaavaan eli niin sanottuun ketjusääntöön. Sijoitusmenetelmällä pyritään siihen, että uusi funktio olisi helpompi integroida kuin alkuperäinen. Lause 4.. Olkoon funktio f : [a, b] R jatkuva ja ϕ: [α, β] [a, b] funktio, joka toteuttaa ehdot (i) ϕ(α) a ja ϕ(β) b, (ii) ϕ ja ϕ ovat jatkuvia välillä [α, β]. Tällöin b a f(x) dx β α f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. Todistus. Olkoon nyt F jokin funktion f primitiivi välillä [a, b]. Tällöin funktio F (ϕ(t)) on derivoituva välillä [α, β] ja d dt F (ϕ(t)) f(ϕ(t)) ϕ (t). Lisäksi f(ϕ(t)) ϕ (t) on jatkuva välillä [α, β], joten integraalilaskennan päälauseen nojalla β α f(ϕ(t)) ϕ (t) dt β / α F (ϕ(t)) F (ϕ(β)) F (ϕ(α)) F (b) F (a) b a f(x) dx. Huomautus 4.. Jos lausetta 4. käytettäessä sijoitetaan x ϕ(t), niin f(x) f(ϕ(t)), dx ϕ (t) dt, a, b α, β, missä α ja β määräytyvät ehdoista ϕ(α) a ja ϕ(β) b. 63

Esimerkki 4.. Osoitetaan, että sin n x dx cos n x dx (n Z + ). Sijoitetaan x ϕ(t) t, jolloin dx ( ) dt ja ϕ(t) t, ϕ(t) t. Koska sin ( t) cos t kaikilla t [, ], niin sin n x dx sin n ( t) ( ) dt sin n ( t) dt sin n ( t) dt cos n t dt cos n x dx. Esimerkki 4.3. Määritetään Sijoitetaan x ϕ(t) t, jolloin 4 x + x dx. ja dx ϕ (t) dt t dt ϕ(t) t t (alaraja), ϕ(t) t 4 t (yläraja). Rajoiksi olisi voitu valita myös ja, mutta tällöin laskut olisivat olleet hankalampia kuin tässä. 64

Siis 4 x + x dx t + t dt t t t + t dt t + dt / log (t + ) (log 3 log ) log 3. Laskettaessa määräämätöntä integraalia sijoitusmenetelmällä pitää integrointirajojen vaihtamisen sijasta siirtyä integroinnin jälkeen takaisin alkuperäiseen muuttujaan. Tämän mahdollistamiseksi on oletettava sijoitettavan funktion ϕ(t) käänteisfunktion olemassaolo. Käänteisfunktio on olemassa, jos sijoitettava funktio on esimerkiksi surjektio ja aidosti monotoninen. Lause 4.3. Olkoon funktio f : I R jatkuva ja ϕ: I I funktio, joka toteuttaa ehdot (i) ϕ ja ϕ ovat jatkuvia välillä I, (ii) ϕ(i ) I, (iii) ϕ on aidosti monotoninen välillä I. Tällöin f(x) dx [ ] f(ϕ(t)) ϕ (t) dt, t ϕ (x) missä merkintä [... ] t ϕ (x) tarkoittaa paluuta alkuperäiseen muuttujaan. Todistus. Olkoon F jokin funktion f primitiivi välillä I. Tällöin F (x) f(x) ja (4.4) f(x) dx F (x) + C. 65

Koska f(ϕ(t)) ϕ (t) on jatkuva välillä I, niin sillä on primitiivi tällä välillä. Yksi primitiivi on F (ϕ(t)), sillä yhdistetyn funktion derivointisäännön nojalla d dt F (ϕ(t)) F (ϕ(t)) ϕ (t) f(ϕ(t)) ϕ (t). Siis välillä I (4.5) f(ϕ(t)) ϕ (t) dt F (ϕ(t)) + C. Ehdon (iii) nojalla funktio ϕ: I I on injektio ja ehdon (ii) nojalla se on surjektio. Siis ϕ on bijektio, joten sillä on käänteisfunktio ϕ : I I, t ϕ (x). Sijoittamalla tämä käänteisfunktio kaavaan (4.5) saadaan (4.6) [ ] f(ϕ(t)) ϕ (t) dt t ϕ (x) Väite seuraa nyt ehdoista (4.4) ja (4.6). F (ϕ(ϕ (x))) + C F (x) + C. Huomautus 4.4. Jos lausetta 4.3 käytettäessä sijoitetaan x ϕ(t), niin f(x) f(ϕ(t)), dx ϕ (t) dt. Paluu alkuperäiseen muuttujaan tapahtuu sijoittamalla t ϕ (x). Esimerkki 4.4. Määritetään e kx dx (k ). Sijoitetaan x t (k ), jolloin k Siis [ e kx dx e t ] k dt tkx dx ϕ (t) dt k dt, t ϕ (x) kx. [ k ] [ e t dt tkx k et + C] tkx k ekx + C. Tavoitteena on tietysti ollut sijoitus kx t. Tästä sitten on ratkaistu varsinainen sijoitus. Menettely on varsin yleinen (ks. huomautus 4.9, s. 69). 66

Integroitava funktio pyritään sijoituksen avulla usein saattamaan muotoon, josta integrointia voidaan jatkaa muilla menetelmillä, esimerkiksi osittaisintegroinnilla tai tekemällä toinen sijoitus. Hyvä tavoite on myös muuntaa tehtävä rationaalifunktion integroinniksi, sillä rationaalifunktioiden integrointia koskevassa luvussa tullaan näkemään, että rationaalifunktioiden integrointiin on olemassa selkeä menettely. Esimerkki 4.5. Olkoon x >. Määritetään (vrt. huomautus 4.7, s. 58) x dx. Sijoitetaan x ( t + ), jolloin dx ( ) dt ja t t x ( t + ) t x t + t t xt + t x ± 4x 4 t x ± x, josta valitaan käänteisfunktioksi laskennallisesti yksinkertaisempi t x+ x. Tällöin x t x t ( ), t joten [ x dx (t ) ( ) ] dt t t [ ] t t t dt t t x+ x [ t dt ] t x+ x t x+ x [ log t + C ] t x+ x log x + x + C. Funktio ar cosh x log ( x + x ) on hyperbolisen kosinin cosh x ex +e x käänteisfunktio, kun x. 67

Esimerkki 4.6. Määritetään Sijoitetaan x log(t ). Tällöin e x 4 + (e x + ) dx. t e x + ja dx t dt. Muokkaamalla syntynyttä lauseketta ja käyttämällä yhdistetyn funktion ja arkustangentin derivointikaavoja saadaan e x [ t 4 + (e x + ) dx 4 + t t dt ]t e x + [ 4 + t ]t dt e x + [ + ( t ) dt [ arc tan t + C ] ] t e x + t e x + arc tan ex + + C. Huomautus 4.5. Jos integroitava funktio on muotoa f(g(x)) g (x), kannattaa usein tehdä sijoitus t g(x) eli x g (t). Tällöin käänteisfunktion derivointisäännöstä seuraa, että (g ) (t) g (x). Siis g (x) dx g (x) dt dt g (x) ja f(g(x)) g (x) dx [ ] f(t) dt. t g(x) Jos funktio f on helppo integroida, integrointitehtävä on käytännössä ratkaistu. Muussa tapauksessa joudutaan vielä miettimään jatkoa. Huomautus 4.6. Jos huomautusta 4.5 käytettäessä sijoitetaan t g(x), niin f(g(x)) f(t), g (x) dx dt. Paluu alkuperäiseen muuttujaan tapahtuu sijoittamalla t g(x). 68

Esimerkki 4.7. Määritetään cos x sin 3 x dx. Sijoitetaan t sin x (eli x arc sin t), jolloin dt cos x dx. Siis cos x sin 3 x dx (sin x) 3 cos x dx [ ] t 3 dt t sin x [ ] t 4 4 + C t sin x 4 sin4 x + C. Tarkasti ottaen tulos on voimassa vain reaalilukuväleillä, joilla sijoitettava funktio on bijektio ja sen derivaatta on jatkuva. Derivoimalla tulokseksi saatu lauseke kuitenkin havaitaan, että tulos pätee millä tahansa reaalilukuvälillä. Huomautus 4.7. Esimerkissä 4.7 sijoitussääntöä voitiin käyttää vain paloittain, mutta toisaalta derivoimalla voitiin osoittaa, että saatu tulos on voimassa millä tahansa reaalilukuvälillä. Menettelyä voidaan käyttää yleisestikin, mutta on aina syytä olla tarkkana, että sijoitettava funktio täyttää käytettävältä sijoituslauseelta vaadittavat oletukset. Huomautus 4.8. Esimerkin 4.7 tulos saatiin jo aiemmin esimerkissä 4. (s. 56) käyttämällä yhdistetyn funktion integrointisääntöä sekä potenssin ja sinin derivointikaavoja. Sijoitussäännöllä integroitava funktio saatiin nyt niin yksinkertaiseen muotoon, että sen integrointi onnistui ilman kyseisiä sääntöjäkin. Huomautus 4.9. Sijoitus t g(x) (eli x g (t)) kannattaa usein myös, kun integroitava funktio on muodon f(g(x)) g (x) sijasta esimerkiksi muotoa f(g(x)). Tällöin integroitava funktio saattaa yksinkertaistua ja sopiva jatkomenetelmä on ehkä helpompi löytää. Sijoituksen toimivuus riippuu paljolti termistä sillä nyt dx (g ) (t) dt, f(g(x)) f(t), dx (g ) (t) dt. 69

Esimerkki 4.8. Määritetään cos 6x dx. Sijoitetaan t 6x. Tällöin x t 6 ja dx dt. Siis 6 [ cos 6x dx cos t 6 ]t dt 6x [ 6 ] cos t dt t 6x [ 6 sin t + C ] sin 6x + C. 6 t 6x Sijoitussääntöä voidaan esimerkin 4.8 tapaan käyttää yleisestikin yhdistetyn funktion derivointisäännön sijasta. Esimerkiksi sijoittamalla t ax + b (a ) saadaan [ ] f(ax + b) dx f(t) dt, a t ax+b jolloin lauseketta f(t) integroitaessa ei tarvitse huomioida sisäfunktion ax + b derivaattaa (vrt. esimerkki 4.3, s. 56). Yksinkertaisissa tapauksissa yhdistetyn funktion derivointisäännön käyttö lienee kätevämpää, mutta mutkikkaissa tapauksissa esimerkiksi sisäfunktion derivaatan hahmottaminen saattaa olla vaikeaa. Tällöin sopiva sijoitus voi yksinkertaistaa tilannetta ratkaisevasti. Huomautus 4.. Huomautuksissa 4.5 ja 4.9 esiintyville funktioille käytetään usein sijoitusta t g(x) myös laskettaessa määrättyä integraalia sijoitussäännön avulla. Jos tällöin sijoitetaan t g(x), niin f(g(x)) f(t), g (x) dx dt, g(a) α, g(b) β. Usein muodostetaan sekä t g(x) että x g (t), jolloin sijoitusta suoritettaessa voidaan valita laskennallisesti yksinkertaisimmat lausekkeet (esimerkiksi dx (g ) (t) dt säännön g (x) dx dt sijasta). Tällöin on tietysti edellytettävä käänteisfunktion g olemassaolo. 7

Esimerkki 4.9. Määritetään + sin x dx. Sijoitetaan t x, jolloin alarajaksi saadaan ja ylärajaksi Koska x t +, niin dx t dt. Siis ( + ). + sin x dx sin t t dt t sin t dt. Osoittaisintegroinnilla saadaan nyt helposti (ks. esimerkki 4.6, s. 6) t sin t dt / ( t cos t + sin t) (( cos + sin ) ( cos + sin )) (( + ) ( + )). 7

4.4 Rationaalifunktiot Polynomit voidaan integroida helposti potenssifunktion integrointikaavojen avulla (ks. huomautus 4.3, s. 54). Myös rationaalifunktioiden R(x) P (x) Q(x), missä P (x) ja Q(x) ovat polynomeja, määräämätön integraali voidaan aina esittää alkeisfunktioita käyttäen. Tietysti on oletettava, että Q(x) integrointivälillä. Rationaalifunktioiden integrointia on käsitelty jonkin verran jo aiemmissa luvuissa. Huomautuksessa 4.3 (s. 54) esitettiin rationaalifunktioiden x ja + x integrointikaavat. Esimerkissä 4.3 (s. 56) yleistettiin näistä ensimmäinen tapaukseen ax + b ja esimerkissä 4.6 (s. 68) tarkasteltiin jälkimmäisen yleistystä osana laajempaa integrointiketjua. Lisäksi esimerkissä 4.8 (s. 6) määritettiin aputuloksena x + x dx ja esimerkissä 4. (s. 6) johdettiin osittaisintegrointia käyttäen palautuskaava funktion ( + x ) dx (n Z +) n integraalille. Rationaalifunktioiden integrointi palautuu suurelta osin yllä esitettyjen funktioiden integrointiin. 4.4. Yksinkertaisia tapauksia Tarkastellaan aluksi muutamaa yksinkertaista esimerkkiä. Esimerkki 4.. Määritetään x + a dx. Jos a, niin käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä ja arkustangentin derivointikaavaa saadaan x + a dx a a + ( x dx a ) a arc tan x a + C. 7

Jos taas a, niin Tällöin x + a dx x + a x (x ). x dx ( ) x dx x + C x + C kaikilla niillä väleillä, jotka eivät sisällä pistettä x. Esimerkki 4.. Määritetään x a dx. Jos a, niin kyseessä on sama funktio kuin esimerkissä 4.. Jos taas a, niin x a (x a)(x + a) ( a x a ) ( x a ). x + a Käyttämällä logaritmin integrointikaavaa (ja yhdistetyn funktion derivointisääntöä) saadaan tällöin x a dx ( a x a ) dx x + a (log x a log x + a ) + C a x a log a x + a + C kaikilla niillä väleillä, jotka eivät sisällä pistettä x a tai x a. Esimerkki 4.. Määritetään (x + a)(x + b) dx. Jos a b, niin vastaavasti kuin esimerkissä 4. saadaan ( (x + a)(x + b) dx b a x + a ) dx x + b (log x + a log x + b ) + C b a x + a log b a x + b + C kaikilla niillä väleillä, jotka eivät sisällä pistettä x a tai x b. 73

Jos taas a b, niin Tällöin (x + a)(x + b) (x + a) (x a). (x + a)(x + b) dx (x + a) dx ( ) (x + a) dx x + a + C kaikilla niillä väleillä, jotka eivät sisällä pistettä x a. 4.4. Neliöinti Tarkastellaan rationaalifunktiota R(x) Q(x), missä Q(x) x + px + q on jokin toisen asteen polynomi. Jos polynomilla Q on reaalijuuria, niin rationaalifunktion R integrointi palautuu esimerkkiin 4.. Olkoon siis p 4q <. Tällöin rationaalifunktio R saadaan integroitua neliöimällä polynomi Q. Neliöinti tarkoittaa nyt, että polynomi Q muunnetaan muotoon Q(x) vakio ((P (x)) + ), missä P on ensimmäisen asteen polynomi. Tällöin R voidaan integroida käyttämällä arkustangentin derivointikaavaa ja yhdistetyn funktion derivointisääntöä. Merkintöjen yksinkertaistamiseksi käytetään lyhennysmerkintää Koska p 4q <, niin D >. D q p 4. 74

Siis x + px + q dx (x + px + p p ) + (q ) dx 4 4 (x + p ) + (q p ) dx 4 (x + p ) + D dx D ( x+ p ) dx D + D D + ( x+ p ) dx D D arc tan x + p D + C arc tan x + p + C. 4q p 4q p Esimerkki 4.3. Määritetään x x + dx. Käytetään neliöintiä (sekä arkustangentin derivointikaavaa ja yhdistetyn funktion derivointisääntöä). Siis x x + dx (x x + ) + 3 dx 4 4 (x ) + 3 dx 4 3 4 ( x 3 4 ) dx + 3 3 ( ) dx x 3 + 3 arc tan x 3 + C. 75

4.4.3 Osamurtokehitelmä Tarkastellaan sitten rationaalifunktioiden integrointia yleisesti (olettaen taas, että Q(x) integrointivälillä). Rationaalifunktio R(x) P (x) Q(x) (P, Q polynomeja) voidaan aina esittää muodossa R(x) P (x) + P (x) Q(x) (P, P, Q polynomeja), missä polynomin P aste on pienempi kuin polynomin Q aste. Polynomi P voidaan integroida helposti käyttäen polynomin derivointikaavoja. Termi P /Q puolestaan voidaan integroida käyttäen osamurtoja A (x a) k, Bx + C (x + px + q) k (k Z +, A, B, C R), missä polynomit x a ja x + px + q ovat polynomin Q alkutekijöitä. Alkutekijä tarkoittaa, että polynomilla x + px + q ei ole reaalijuuria eli kaikilla x R (ja p 4q < ). x + px + q > Tarvittavat osamurrot riippuvat polynomista Q seuraavasti. Olkoon polynomin Q jako alkutekijöihin reaalijuuret muut juuret {}}{{}}{ Q(x) a (x a ) k... (x a n ) kn (x + p x + q ) l... (x + p m x + q m ) lm, missä a R, k i Z + ja a i R kaikilla i,,..., n sekä l j Z + ja p j, q j R (ja p j 4q j < ) kaikilla j,,..., m. Tällöin jokainen k-kertainen tekijä (x a) k tuottaa termit A x a + A (x a) + + A k (x a) k ja jokainen l-kertainen tekijä (x + px + q) l tuottaa termit B x + C x + px + q + B x + C (x + px + q) + + B lx + C l (x + px + q) l. Yllä kertoimet A, A,..., A k, B, B,..., B l ja C, C,..., C l ovat reaalilukuja. 76

Luvussa 4.4.4 osoitetaan, että osamurrot voidaan aina integroida ja saadut integraalit ovat alkeisfunktioita. Näin ollen myös rationaalifunktioiden integraalit voidaan aina esittää alkeisfunktioiden avulla. Yllä oleva menettely yhdessä osamurtojen integroinnin kanssa antaa myös menetelmän, jolla rationaalifunktiot saadaan integroitua. Edellytyksenä on vain, että polynomi Q pystytään jakamaan alkutekijöihin. Menettelyn huono puoli on, että siinä on varsin paljon laskutoimituksia. Algoritmin tapaan esitettynä menettely on seuraava.. Esitetään rationaalifunktio muodossa, jossa nimittäjän asteluku on suurempi kuin osoittajan.. Jaetaan nimittäjä (reaalikertoimisiin) alkutekijöihin. 3. Muodostetaan osamurtokehitelmä. 4. Integroidaan osamurrot ja kohdassa saatu polynomi. Osamurtojen integrointia tarkastellaan luvussa 4.4.4. Esimerkki 4.4. Jaetaan rationaalifunktio R(x) osamurtoihin. Jos x ja x, niin Siis x(x ) (x, ) x(x ) A x + A x + A 3 (x ) kaikilla x ja x. A (x ) + A x(x ) + A 3 x A x A x + A + A x A x + A 3 x (A + A )x + ( A A + A 3 )x + A A + A, A A + A 3, A A, A ja A 3. x(x ) x x + (x ) 77

Huomautus. Osamurtokehitelmän muodostamisessa on monta laskutoimitusta, joten saatu tulos kannattaa aina tarkistaa. Koska x x + (x ) x(x ) + x (x ) x(x ) niin esimerkin 4.4 tulos on oikein. x x + x + x + x x(x ) x(x ), 4.4.4 Osamurtojen integrointi Osamurtojen integrointi sujuu seuraavasti. Tyyppi. Käyttämällä logaritmin integrointikaavaa saadaan A dx A log x a + C x a kaikilla väleillä, jotka eivät sisällä pistettä x a. Tyyppi. Kun k, 3,..., niin käyttämällä potenssin integrointikaavaa (ja yhdistetyn funktion derivointisääntöä) saadaan A (x a) dx A k k + C (x a) k kaikilla väleillä, jotka eivät sisällä pistettä x a. Tyyppi 3. Tarkastellaan kolmanneksi osamurtoa Aluksi havaitaan, että (4.7) Bx + C x + px + q. Bx + C x + px + q B ( x + p x + px + q + C Bp ) x + px + q. Yhtälön (4.7) oikean puolen ensimmäinen termi saadaan integroitua käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä ja logaritmin derivointikaavaa. Koska nyt x + px + q x + px + q, Merkitään integrointivakiota nyt symbolilla C. 78

niin B x + p x + px + q dx B log (x + px + q) + C. Yhtälön (4.7) oikean puolen jälkimmäinen termi saadaan integoitua käyttämällä luvussa 4.4. esitettyä neliöintiä. Siis ( C Bp ) ( x + px + q dx C Bp ) arc tan x 4q p + p 4q p + C. Tyyppi 4. Tarkastellaan lopuksi osamurtoa Bx + C (x + px + q) k, missä k. Vastaavasti kuin edellä havaitaan, että (4.8) Bx + C (x + px + q) B ( k x + p (x + px + q) + C Bp k ) (x + px + q) k. Yhtälön (4.8) oikean puolen ensimmäinen termi saadaan integroitua käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä ja potenssin derivointikaavaa. Siis B x + p (x + px + q) k dx B k Yhtälön (4.8) oikean puolen jälkimmäinen termi (x + px + q) k (x + px + q) k + C. saadaan integroitua neliöimällä ensin nimittäjässä oleva polynomi ja käyttämällä sitten esimerkissä 4. (s. 6) johdettua palautuskaavaa. Neliöinnin (ks. luku 4.4.) tuloksena (( x + p ) ) x + px + q D +, D missä D q p 4. Ennen esimerkin 4. palautuskaavan käyttöä on siis vielä sijoitettava t x + p. D Huomautus. Rationaalifunktion integraali voidaan aina lausua käyttäen rationaalifunktioita, logaritmia ja arkustangenttia. 79

Huomautus. Koska yllä esitetyt integrointitulokset ovat monimutkaisia, ei niitä kannata opetella ulkoa. Sen sijaan kannattaa opetella menetelmät, joilla tulokset johdettiin. Esimerkki 4.5. Esimerkin 4.4 ja perusintegrointisääntöjen nojalla x(x ) dx x dx x dx + log x log x + ( ) (x ) dx log x log x x + C kaikilla väleillä, jotka eivät sisällä nollaa tai ykköstä. x + C Esimerkki 4.6. Olkoon x. Määritetään : Ensimmäiseksi havaitaan, että x 3 + x 3 + dx. x 3 + x 3 + (x3 + ) + x 3 + + x 3 +, missä polynomiosan integraaliksi saadaan helposti dx x + C. : Rationaalifunktion x 3 + integroiminen aloitetaan etsimällä polynomin x 3 + alkutekijät, joiksi saadaan missä x x + > kaikilla x R. x 3 + (x + )(x x + ), 3 : Tämän jälkeen muodostetaan rationaalifunktion osamurtokehitelmä. x 3 + (x + )(x x + ) 8

Koska (x + )(x x + ) A x + + A x + A 3 x x + A (x x + ) + A x (x + ) + A 3 (x + ) A x A x + A + A x + A x + A 3 x + A 3 (A + A )x + ( A + A + A 3 )x + (A + A 3 ) A + A, A + A + A 3, A + A 3 niin osamurtokehitelmäksi saadaan A 3, A 3 ja A 3 3, x 3 + 3 x + + x + 3 3 x x + 3 x + 3 x x x +. 4 : Saadun lausekkeen ensimmäinen termi on helppo integroida, sillä 3 Jäljelle jäävän integraalin x + dx 3 määrittämiseksi havaitaan, että 3 x + dx log x + + C. 3 x x x + dx (4.9) x x x + (x ) 3 x x + x x x + 3 x x +. Tässä viimeisen lausekkeen ensimmäinen termi voidaan integroida käyttämällä logaritmin derivointikaavaa ja yhdistetyn funktion derivointisääntöä. Siis x x x + dx log x x + + C 8

ja edelleen sillä x x + >. x x x + dx log (x x + ) + C, Yhtälön (4.9) viimeisen lausekkeen jälkimmäinen termi voidaan integroida hyödyntämällä esimerkkiä 4.3 (s. 75), jolloin 3 x x + dx 3 arc tan x + C 3 3 3 arc tan x 3 + C. Yhdistämällä tulokset saadaan ( x 3 x x + dx 3 log (x x + ) 3 arc tan x ) + C 3 ja edelleen x 3 + x 3 + dx 6 log (x x + ) + arc tan x + C 3 3 dx + 3 x + dx 3 x x x + dx x + 3 log x + 6 log (x x + ) + arc tan x + C 3 3 x + 6 (x + ) log x x + + arc tan x + C 3 3 kaikillä väleillä, jotka eivät sisällä pistettä x. 8

4.5 Trigonometriset funktiot Trigonometrian perusfunktioiden (sini, kosini, tangentti ja kotangentti) integrointikaavat esitettiin luvussa 4. (huomautus 4.3, s. 54, ja esimerkki 4.4, s. 57). Lisäksi yhdistetyn funktion derivointikaavaa, osittaisintegrointia ja sijoitussääntöä käyttämällä aiemmissa luvuissa johdettiin joitakin yksinkertaisia tuloksia trigonometristen funktioiden integraaleille, ks. esimerkit 4. ja 4. (s. 56), 4.6 (s. 6), 4. (s. 6), 4. (s. 64) ja 4.7 4.9 (s. 69 7). Tutkitaan nyt yksityiskohtaisemmin trigonometristen funktioiden integrointia. 4.5. Sijoitusmenetelmä Tarkastellaan aluksi sijoitusta x arc tan t, jolloin (4.) t tan x Käyttämällä trigonometrian peruskaavoja havaitaan, että ja dx + t dt. tan x sin x cos x ja sin x + cos x (4.) + t + tan x cos x cos x + sin x cos x cos x cos x + sin x cos x ja (4.) t + t t Käyttämällä nyt kaavoja + t tan x cos x sin x cos x sin x. cos x sin x sin x cos x ja cos x cos x sin x saadaan yhtälöiden (4.) ja (4.) nojalla sin x sin x cos x sin x cos x ja yhtälöiden (4.) ja (4.) nojalla cos x t + t t + t cos x cos x sin x + t t + t t + t. Voidaan siis esittää seuraava huomautus. 83

Huomautus 4.. Muotoa R(sin x, cos x) olevan funktion, missä R on rationaalifunktio, integrointi voidaan palauttaa rationaalifunktion integroinniksi tekemällä sijoitus x arc tan t, jolloin t tan x t t, sin x, cos x ja dx + t + t + t dt. Huomautus 4.. Jos ϕ(t) arc tan t, niin ϕ(r) ], [. Huomautuksen 4. sijoitus on siis ilman lisäperusteluja voimassa vain välin ], [ osaväleillä (ks. lause 4.3, s. 65). Tietysti edellytyksenä on myös, että R(sin x, cos x) on jatkuva kyseisellä välillä. Esimerkki 4.7. Tekemällä huomautuksen 4. sijoitus x arc tan t saadaan [ ] sin x dx t + t dt [ dt t +t ] t tan x t tan x [ log t + C ] t tan x log tan x + C. Sijoitussäännön nojalla tulos on voimassa niillä välin ], [ osaväleillä, jotka eivät sisällä pistettä x. Saatu tulos derivoimalla havaitaan, että tulos pätee kaikilla niillä väleillä, jotka eivät sisällä pistettä x k (k Z). Esimerkki 4.8. Määritetään + cos x dx käyttämällä huomautuksen 4. sijoitusta x arc tan t. Tällöin + cos x + t + t + t + t + t Koska t tan x, niin rajoiksi saadaan Siis dx + cos x x t tan (alaraja), x t tan 4 (yläraja). + t dt +t 84 dt / + t. t.

Huomautus. On syytä olla tarkkana, että sijoitettava funktio täyttää vaadittavat oletukset. Esimerkki 4.9. Määritetään 5 3 cos x dx. Sijoitetaan x arc tan t määräämättömään integraaliin, jolloin (ks. huomautus 4.) dx + t dt ja 5 3 cos x 5 3 t + t 5 + 5t 3 + 3t + 8t + t + t. Siis joten 5 3 cos x dx 5 3 cos x dx [ [ +8t +t ] + 4t dt + t dt t tan x ] + (t) dt [ arc tan t + C ] Tämä ei kuitenkaan ole mahdollista, sillä koska kaikilla x [, ], niin t tan x t tan x arc tan ( tan x ) + C, / t tan x arc tan ( tan x ). 5 3 cos x 8 5 3 cos x dx 8 dx 4. Virhe johtuu nyt siitä, että sijoitettu funktio ϕ(t) arc tan t ei täytä lauseen 4.3 (s. 65) oletuksia välillä [, ] (ks. huomautus 4.). 85

Huomautus. Huomautuksen 4. sijoituksella joudutaan usein melko mutkikkaisiin laskuihin. Siksi on joissakin yksinkertaisissa tapauksissa helpompi käyttää muita menetelmiä. Huomautus. Usein tulokseen johtaa myös jokin huomautuksen 4. sijoitusta yksinkertaisempi sijoitus. Esimerkiksi tyyppiä R(tan x) olevaan funktioon voidaan sijoittaa t tan x. Tällöin x arc tan t ja dx + t dt, joten tulokseksi saadaan rationaalifunktio 4.5. Integroitavan muokkaus R(t) + t. Yksinkertaisissa tapauksissa selvitään trigonometrian peruskaavoilla. Tällöin on huomattava, että tuloksen esitysmuoto voi riippua käytetystä menettelystä. Myös integrointivakion arvo voi riippua käytetystä integrointimenetelmästä. Esimerkki 4.3. Määritetään sin x cos x dx. Koska sin x sin x cos x, niin käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä ja kosinin derivointikaavaa saadaan sin x cos x dx sin x cos x dx sin x dx 4 ( sin x) dx cos x + C. 4 Toisaalta esimerkissä 4. (s. 6) saatiin palautuskaavamenettelyllä sin x cos x dx sin x + C. 86

Tulokset näyttävät erilaisilta, mutta koska (4.3) cos x sin x, niin 4 cos x + C 4 ( sin x) + C sin x + C 4. Siis tulokset eroavat vain integrointivakion osalta. Esimerkki 4.3. Kaavan (4.3) nojalla sin x ( cos x). Kun a, niin käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä ja perusderivointikaavoja saadaan sin ax dx ( cos ax) dx 4a a cos ax dx x sin ax + C. 4a Esimerkki 4.3. Kun n Z +, niin esimerkin 4.3 perusteella sin nx dx / ( ( x sin nx) 4n {}}{ sin (n) 4n ) ( {}}{ ) sin ( n) 4n +. Vähänkin hankammissa tapauksissa trigonometrian kaavojen soveltaminen vaatii yleensä aika paljon työtä. Yksi tavoite on muokata integroitava funktio muotoon f(cos x) sin x tai f(sin x) cos x. Jos funktio f on helppo integroida, voidaan tällöin soveltaa suoraan yhdistetyn funktion derivointikaavaa. Mutkikkaammissa tapauksissa voidaan sijoittaa t cos x tai t sin x ja jatkaa integrointia näin saadulla funktiolla. 87

Esimerkki 4.33. Määritetään sin x cos 3 x dx. Muunnetaan integroitava funktio ensin muotoon f(sin x) cos x käyttämällä kaavaa sin x + cos x, tehdään sitten sijoitus t sin x (jolloin dt cos x dx), integroidaan näin saatu rationaalilauseke ja palataan lopuksi alkuperäiseen muuttujaan. Siis sin x cos 3 x dx cos x {}}{ sin x ( sin x) cos x dx [ [ [ t 3 ] t ( t ) dt t sin x ] (t t 4 ) dt t sin x 3 t5 5 + C ] t sin x sin3 x 3 sin5 x 5 + C. Derivoimalla havaitaan, että tulos on voimassa kaikilla reaalilukuväleillä. 4.5.3 Palautuskaava Yksi mahdollisuus on osittaisintegrointi ja sen avulla johdetut palautuskaavat. Tästä oli jo esimerkki osittaisintegrointia käsittelevässä luvussa (esimerkki 4., s. 6). Alla vielä lisäesimerkki. Esimerkki 4.34. Määritetään palautuskaavamenettelyä käyttäen I n cos n x dx (n N). Kun n, niin käyttämällä osittaisintegrointia ja kaavaa sin x + cos x 88

saadaan I n cos n x dx cos n x cos x dx {, kun n }} { / cos n x sin x + (n ) (n ) (n ) cos n x ( sin x) sin x dx cos n x sin x dx cos n x ( cos x) dx (n ) I n (n ) I n. Siis Edelleen ja Siis I I n n n cos x dx I / I n, kun n. dx I, I 4 3 4,..., I n sin x sin sin. I 3 3 3, I 5 3 4 5,..., I n+ 3... (n ) 4... n, 4... n 3 5... (n + ). Voidaan myös helposti osoittaa (ks. esimerkki 4., s. 64), että sin n x dx cos n x dx I n. 89

4.6 Algebralliset funktiot Luvussa 4.4 todettiin, että rationaalifunktion määräämätön integraali voidaan aina esittää alkeisfunktioiden avulla. Algebrallisten funktioiden osalta tämä ei valitettavasti pidä paikkaansa. Ei myöskään ole olemassa yhtenäistä menetelmää, jonka avulla algebrallisia funktioita voitaisiin yleisesti integroida. Algebrallisten funktioiden integrointia on käsitelty jonkin verran aiemmissa luvuissa. Huomautuksessa 4.3 (s. 54) esitettiin funktion x integrointikaava ja esimerkissä 4.5 (s. 57) kyseinen kaava yleistettiin. Funktioiden x + ja x integrointia käsiteltiin huomautuksessa 4.7 (s. 58) ja esimerkissä 4.5 (s. 67). Lisäksi esimerkissä 4.3 (s. 64) algebrallisen funktion integrointi palautettiin sopivalla sijoituksella rationaalifunktion integroinniksi. Vastaavaa menettelyä käytettiin itse asiassa myös esimerkissä 4.5. Tarkastellaan seuraavaksi muutamia yksinkertaisia tapauksia, jolloin irrationaalifunktioiden integrointi voidaan sopivalla sijoituksella palauttaa rationaalifunktioiden tai trigonometristen funktioiden integrointiin. Menettelyt ovat tietysti sovellettavissa vain, jos funktiot täyttävät kaikki sijoitusmenettelyltä vaadittavat ehdot. Merkintä R( ) huomautuksissa 4.3 4.5 tarkoittaa rationaalifunktiota R. Huomautus 4.3. Jos niin muotoa g(x) n ax + b cx + d, R(x, g(x)) dx oleva integraali voidaan palauttaa rationaalifunktion integroinniksi sijoituksella t g(x) n ax + b cx + d, sillä tällöin x b dtn ct n a ja dx (ad bc) ntn (ct n a) dt. 9

Huomautus 4.4. Jos huomautuksessa 4.3 on c ja d, niin jolloin x tn b a t g(x) n ax + b, ja dx n a tn dt. Esimerkki 4.35. Määritetään (x ) dx (x >, x ) x + käyttämällä huomautuksen 4.4 sijoitusta. Nyt t x +, x t ja dx t dt, joten (x ) x + dx [ ] t dt (t ) t t x+ [ [ ( ] dt t t x+ t t + ) ] dt t x+ [ ( log t log t + ) + C ] t x+ ( log x + log x + + ) + C x + log + C x + + kaikilla väleillä I ], [, jotka eivät sisällä pistettä x. Esimerkki 4.36. Olkoon x < tai x >. Muunnetaan x x dx rationaalifunktion integroinniksi käyttämällä huomautuksen 4.3 sijoitusta x t x. 9

Tällöin ja t x x t (x ) x x(t ) t x t t dx t(t ) t t (t ) Siis [ x ] x dx t t (t ) dt x t x t (t ) dt. [ t ] (t ) dt. x t x Tästä integrointia voidaan jatkaa tekemällä osamurtokehitelmä tai ehkä kätevämmin käyttämällä ensin osittaisintegrointia. Huomautus 4.5. Muotoa R ( x, ax + bx + c ) olevassa funktiossa toisen asteen polynomi voidaan ensin täydentää neliöksi ja sitten sijoittaa neliöosaksi muuttuja t. Tällöin päädytään johonkin muodoista R(t, t + α ), R(t, t α ) tai R(t, α t ). Näitä lausekkeita on yleensä helpompi integroida sopivalla (esimerkiksi trigonometrisella) sijoituksella. Esimerkki 4.37. Määritetään funktion 5 + 8x 4x kuvaajan ja x-akselin rajoittaman alueen pinta-ala välillä [, 5 ] eli A 5 5 + 8x 4x dx. Neliöimällä saadaan 5 + 8x 4x 9 (4x 8x + 4) 9 (x ). Tehdään nyt sijoitus t x, jolloin Rajoiksi saadaan x t + ja dx dt. t (alaraja) ja t 5 3 (yläraja). 9

Siis 5 5 + 8x 4x dx 3 9 t dt 3 9 t dt. Tehdään saatuun integraaliin vielä sijoitus t 3 sin u, jolloin dt 3 cos u du. Rajoiksi saadaan 3 sin u sin u u (alaraja), 3 sin u 3 sin u u (yläraja). Käyttämällä kaavaa saadaan sin u + cos u 3 9 t dt 9 9 sin u 3 cos u du Esimerkin 4.34 (s. 88) perusteella 3 9 9 cos u 9 ( sin u) du cos u cos u du cos u du. cos u du 4, joten A 9 4 9 8. 93