Malliratkaisut Demo 1



Samankaltaiset tiedostot
Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot

Harjoitus 5 ( )

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

Malliratkaisut Demo 4

Talousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla

Malliratkaisut Demot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

Harjoitus 5 ( )

Malliratkaisut Demot 6,

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 6 ( )

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla

Malliratkaisut Demot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Malliratkaisut Demot 5,

1. Lineaarinen optimointi

Matematiikan tukikurssi

Lineaarinen optimointitehtävä

Talousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta

Matematiikan tukikurssi

Varastonhallinnan optimointi

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

1 Rajoitettu optimointi I

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

Yksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi.

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Harjoitus 6 ( )

Malliratkaisut Demot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi

Tekijä Pitkä matematiikka

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

Demo 1: Simplex-menetelmä

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!

Malliratkaisut Demot

origo III neljännes D

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

1 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Integrointi ja sovellukset

Matemaattinen optimointi I

Matematiikan tukikurssi

Malliratkaisut Demo 4

Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely)

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

Matematiikan tukikurssi

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö

Sähköinen koe (esikatselu) MAA A-osio

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

Demo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät

Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin.

LP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

Matematiikan tukikurssi

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Transkriptio:

Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli, joten sen maksimi saadaan derivaatan nollakohdassa f (x) = 5(300 + 50x) + (60 5x)50 = 1500 500x = 0 x = 3. Ratkaisuksi tulee x = 3 eli perunat kannattaa nostaa heinäkuun neljännellä viikolla. Tällöin tuotoksi saadaan 202.50 euroa. Kohdefunktio on epälineaarinen, joten tehtävä ei tietenkään ole lineaarinen. Lasketaan myyntihinta, jolla perunat kannattaisi nostaa ensimmäisellä viikolla (herkkyysanalyysiä). Merkitään myyntihintaa 60 + y. Nyt kohdefunktio on muotoa ja sen derivaatta x:n suhteen f(x) = (60 + y 5x)(300 + 50x) f (x) = 5(300 + 50x) + (60 + y 5x)50 = 1500 + 50y 500x = 0 x = 3 + 0.1y. Nyt halutaan tietää millä y:n arvolla x = 0 eli x = 3 + 0.1y = 0 y = 30. Myyntihinnan pitäisi olla 60 30 = 30 (pienempi kuin 30 käy myös, mutta silloin perunat olisi oikeastaan pitänyt myydä jo). 2. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x 1 + 5x 2 300 x 1 50 x 2 35 0.6x 1 + 1.5x 2 63 x 1 0, x 2 0. Kun piirretään tehtävä saadaan kuva 1. Nyt rajoitusepäyhtälöt ilmoittavat sallitun alueen ja tasa-arvokäyrät saadaan yhtälöstä 200x 1 +350x 2 = h. Kuvasta 1 nähdään, että ratkaisu löytyy pisteestä, jossa rajoitukset 5x 1 + 5x 2 300 0.6x 1 + 1.5x 2 63 1

x 2 50 40 5x 1 5x 2 300 x 2 35 30 20 optimi x 1 30 ja x 2 30 18 500 16 500 14 500 x 1 50 0.6x 1 1.5x 2 63 12 500 10 10 500 10 20 30 40 50 60 70 80 x 1 Kuva 1: Sallittu alue ja optimi ovat aktiivisia eli 5x 1 + 5x 2 = 300 0.6x 1 + 1.5x 2 = 63. Yhtälöryhmästä voidaan nyt ratkaista päätösmuuttujat 5x 1 + 5x 2 = 300 ( 3) 5 0.6x 1 + 1.5x 2 = 63 2 1.8x 1 = 54 x 1 = 30 ja x 2 = 30. Optimipiste on siis x 1 = 30 ja x 2 = 30 ja kohdefunktion arvoksi siinä saadaan 16500 euroa. Jos tehtävää muutetaan siten, että maksimointava kohdefuntkio muuttuu muotoon max 120x 1 + 300x 2, niin saatava ratkaisu ei ole enää yksikäsitteinen, vaan tehtävällä on äärettömän monta ratkaisua. Tämä nähdään kuvasta 2. Nyt esimerkiksi pisteissä (17.5, 35), (20, 34), (30, 30) ja (25, 32) saadaan kohdefunktion optimiarvo 12600 euroa. 2

x 2 50 40 5x 1 5x 2 300 16 000 x 2 35 30 20 optimiratkaisut 10 000 14 000 12 000 x 1 50 0.6x 1 1.5x 2 63 10 8000 10 20 30 40 50 60 70 80 x 1 Kuva 2: Sallittu alue ja optimiratkaisut 3. Tarkastellaan optimointitehtävää max x 1 + x 2 s. t. ax 1 + x 2 x 1 0, x 2 0 missä a, R ja > 0. Ratkaisujen lukumäärä riippuu kertoimien a ja arvoista seuraavasti: kertoimet sallittu alue ratkaisut a = 0, = 0 x 1, x 2 0 (+, + ) a = 0, < 0 x 1, x 2 0 ((+, + ) ) a = 0, > 0 x 1 0 ja 0 x 2 +, a < 0, = 0 x 1, x 2 0 (+, + ) a < 0, < 0 x 1, x 2 0 (+, + ) a < 0, > 0 x 1 0 ja 0 x 2 ax 1 (+, + ) a > 0, = 0 0 x 1 ja x ( a 2 0, a + ) a > 0, < 0 0 x 1 x 2 ja x a 2 0 (+, + ) a > > 0 Pisteiden (0, 0), ( ( 0, ) ja, ( ) a 0) määräämä kolmio 0, > a > 0 Pisteiden (0, 0), ( ( 0, ) ja, ( a 0) määräämä kolmio, a 0) a = > 0 Pisteiden (0, 0), ( ( 0, ) ja, ( ) ( a 0) määräämä kolmio 0,, a 0) Jos a, a, > 0 ja on äärellinen, niin tehtävän ratkaisu on yksikäsitteinen. Jos a = ja a, > 0, niin ratkaisuja on ääretön määrä. Kaikissa muissa tapauksissa tehtävällä ei ole lainkaan äärellisiä ratkaisuja. Kuvan piirtäminen auttaa hahmottamaan tilannetta! 3

x 2 x 2 0 a x 1 0 x 1 Kuva 3: Tehtävän 3 kuva 4. Oletetaan, että q = 251 = timanttierän koko r = 85 = varaston taso, joka aiheuttaa lisätilauksen. Algoritmi: 1. Saapuuko MM Antwerenistä mukanaan q karaatin timanttierä? 2. Onko varaston koko r, jolloin tarvitaan täydennysmatka? 3. Timanttien määrän vähentäminen varastosta. Laaditaan vastaavanlainen taulukko kuin monisteen timanttiesimerkissä. viikko alkuvarasto kysyntä myyntimäärä varastointi- täydennys- 200 $/karaatti kustannus kustannus menetetty tuotto 1 100 94 94 185,50 2 6 54 6 1,20 2 000 9 600 3 251 52 52 787,50 4 199 64 64 584,50 5 135 69 69 351,80 6 66 69 66 110,50 2 000 600 7 251 68 68 759,50 8 183 47 47 558,30 3 338,8 4 000 10 200 Taulukossa varastointikustannus on laskettu kaavalla 3,5 alkuvarasto+(alkuvarasto kysyntä), kun alkuvarasto > kysyntä 2 = 3,5 alkuvarasto, kun alkuvarasto < kysyntä, alkuvarasto 2 kysyntä 4

missä 3,5 on varastointikulut karaatilta viikossa. Kustannukset ovat yhteensä 3 338,8 + 4 000 + 10 200 = 17538,8 dollaria. Luentomonisteen esimerkissä kustannukset 8 ensimmäisen viikon ajalta dollareina ovat Jäädään siis plussalle 13 081,9 dollaria. menetetty myynti 23 800,0 täydennyskustannukset 4 000,0 varasto 2 820,7 yhteensä 30 620,7 5. EOQ-mallin muuttujat ovat missä d = viikottainen kysyntä (55) a = varaston täydennysnopeus, a > d f = varaston kiinteä täydennyskustannus (2000) h = varastointikustannus karaatilta viikossa (3,5) q = tilauserän koko l = varastotäydennyksen toimitusaika m = pienin tilaus. Yhden kauden kustannus on varastokustannus täydennyskustannus {}}{ { }} { f + h z 2 (t 1 + t 2 ) = f + h 1 ( 1 d ) q q 2 a d, t 1 + t 2 = q d = jakson pituus z = (a d)t 1 = (a d) q a. kk d kk a d Kuva 4: Tehtävän 5 varastotilanne Jakamalla kauden kustannus jakson pituudella q saadaan keskimääräinen kustannus d aikayksikössä (q) = f d q + h ( 1 d ) q. 2 a 5

q z kk d kk a d t 1 t 2 Kuva 5: Tehtävän 5 sykli Derivoimalla (q) saadaan (q) = fd q + h ( 1 d ) = 0. 2 2 a Ratkaistaan yhtälöstä q, jolloin saadaan optimaalinen tilauserän koko. Ottamalla rajaarvo, kun a, vielä varmistetaan, että lasku on oikein: q = ± 2fd h ( ) 1 d a 2fd, kun a. h Edellä olevista vaihtoehtoisista merkeistä ± miinus ei kelpaa, koska timanttierän koko q ei voi olla negatiivinen. Sijoittamalla ratkaisu q kohdefunktioon saadaan ( (q ) = 2fdh 1 d ) a 2fdh, kun a. 6

Sovellus: Nyt otetaan mukaan myös tavaran valmistus/ostohinta. Koska kysyntä aikayksikössä on d, niin osto/valmistus maksaa d riippumatta tilauserän koosta. Edellä määritellyt muuttujat saavat nyt arvot Muodostetaan epäyhtälö h = 1 = varastointikustannukset/kpl/vuosi d = 2000 = vuotuinen kysyntä a = 3000 = valmistusnopeus/vuosi f 1 = 200 = valmistuksen aloituksen kiinteä kustannus = 36,75 = valmistushinta/kpl f 2 = 40 = ostoerän kiinteä kustannus. ( d + 2f 1 dh 1 d ) x d + 2 f 2 dh, a } {{ } } {{ } ostetaan tehdään itse missä x on hinta, joka ostettavasta tavarasta kannattaa maksaa. Sijoitetaan muuttujille edellä annetut arvot ja ratkaistaan epäyhtälö ( 36,75 200 + 2 200 2000 1 1 2000 ) x 2000 + 2 40 2000 1 3000 74 016,39778 2000x + 400 x 36,808 Siis ostettaessa kannattaa maksaa vain vähän enemmän kuin jos osan tekee itse. 7