Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli, joten sen maksimi saadaan derivaatan nollakohdassa f (x) = 5(300 + 50x) + (60 5x)50 = 1500 500x = 0 x = 3. Ratkaisuksi tulee x = 3 eli perunat kannattaa nostaa heinäkuun neljännellä viikolla. Tällöin tuotoksi saadaan 202.50 euroa. Kohdefunktio on epälineaarinen, joten tehtävä ei tietenkään ole lineaarinen. Lasketaan myyntihinta, jolla perunat kannattaisi nostaa ensimmäisellä viikolla (herkkyysanalyysiä). Merkitään myyntihintaa 60 + y. Nyt kohdefunktio on muotoa ja sen derivaatta x:n suhteen f(x) = (60 + y 5x)(300 + 50x) f (x) = 5(300 + 50x) + (60 + y 5x)50 = 1500 + 50y 500x = 0 x = 3 + 0.1y. Nyt halutaan tietää millä y:n arvolla x = 0 eli x = 3 + 0.1y = 0 y = 30. Myyntihinnan pitäisi olla 60 30 = 30 (pienempi kuin 30 käy myös, mutta silloin perunat olisi oikeastaan pitänyt myydä jo). 2. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x 1 + 5x 2 300 x 1 50 x 2 35 0.6x 1 + 1.5x 2 63 x 1 0, x 2 0. Kun piirretään tehtävä saadaan kuva 1. Nyt rajoitusepäyhtälöt ilmoittavat sallitun alueen ja tasa-arvokäyrät saadaan yhtälöstä 200x 1 +350x 2 = h. Kuvasta 1 nähdään, että ratkaisu löytyy pisteestä, jossa rajoitukset 5x 1 + 5x 2 300 0.6x 1 + 1.5x 2 63 1
x 2 50 40 5x 1 5x 2 300 x 2 35 30 20 optimi x 1 30 ja x 2 30 18 500 16 500 14 500 x 1 50 0.6x 1 1.5x 2 63 12 500 10 10 500 10 20 30 40 50 60 70 80 x 1 Kuva 1: Sallittu alue ja optimi ovat aktiivisia eli 5x 1 + 5x 2 = 300 0.6x 1 + 1.5x 2 = 63. Yhtälöryhmästä voidaan nyt ratkaista päätösmuuttujat 5x 1 + 5x 2 = 300 ( 3) 5 0.6x 1 + 1.5x 2 = 63 2 1.8x 1 = 54 x 1 = 30 ja x 2 = 30. Optimipiste on siis x 1 = 30 ja x 2 = 30 ja kohdefunktion arvoksi siinä saadaan 16500 euroa. Jos tehtävää muutetaan siten, että maksimointava kohdefuntkio muuttuu muotoon max 120x 1 + 300x 2, niin saatava ratkaisu ei ole enää yksikäsitteinen, vaan tehtävällä on äärettömän monta ratkaisua. Tämä nähdään kuvasta 2. Nyt esimerkiksi pisteissä (17.5, 35), (20, 34), (30, 30) ja (25, 32) saadaan kohdefunktion optimiarvo 12600 euroa. 2
x 2 50 40 5x 1 5x 2 300 16 000 x 2 35 30 20 optimiratkaisut 10 000 14 000 12 000 x 1 50 0.6x 1 1.5x 2 63 10 8000 10 20 30 40 50 60 70 80 x 1 Kuva 2: Sallittu alue ja optimiratkaisut 3. Tarkastellaan optimointitehtävää max x 1 + x 2 s. t. ax 1 + x 2 x 1 0, x 2 0 missä a, R ja > 0. Ratkaisujen lukumäärä riippuu kertoimien a ja arvoista seuraavasti: kertoimet sallittu alue ratkaisut a = 0, = 0 x 1, x 2 0 (+, + ) a = 0, < 0 x 1, x 2 0 ((+, + ) ) a = 0, > 0 x 1 0 ja 0 x 2 +, a < 0, = 0 x 1, x 2 0 (+, + ) a < 0, < 0 x 1, x 2 0 (+, + ) a < 0, > 0 x 1 0 ja 0 x 2 ax 1 (+, + ) a > 0, = 0 0 x 1 ja x ( a 2 0, a + ) a > 0, < 0 0 x 1 x 2 ja x a 2 0 (+, + ) a > > 0 Pisteiden (0, 0), ( ( 0, ) ja, ( ) a 0) määräämä kolmio 0, > a > 0 Pisteiden (0, 0), ( ( 0, ) ja, ( a 0) määräämä kolmio, a 0) a = > 0 Pisteiden (0, 0), ( ( 0, ) ja, ( ) ( a 0) määräämä kolmio 0,, a 0) Jos a, a, > 0 ja on äärellinen, niin tehtävän ratkaisu on yksikäsitteinen. Jos a = ja a, > 0, niin ratkaisuja on ääretön määrä. Kaikissa muissa tapauksissa tehtävällä ei ole lainkaan äärellisiä ratkaisuja. Kuvan piirtäminen auttaa hahmottamaan tilannetta! 3
x 2 x 2 0 a x 1 0 x 1 Kuva 3: Tehtävän 3 kuva 4. Oletetaan, että q = 251 = timanttierän koko r = 85 = varaston taso, joka aiheuttaa lisätilauksen. Algoritmi: 1. Saapuuko MM Antwerenistä mukanaan q karaatin timanttierä? 2. Onko varaston koko r, jolloin tarvitaan täydennysmatka? 3. Timanttien määrän vähentäminen varastosta. Laaditaan vastaavanlainen taulukko kuin monisteen timanttiesimerkissä. viikko alkuvarasto kysyntä myyntimäärä varastointi- täydennys- 200 $/karaatti kustannus kustannus menetetty tuotto 1 100 94 94 185,50 2 6 54 6 1,20 2 000 9 600 3 251 52 52 787,50 4 199 64 64 584,50 5 135 69 69 351,80 6 66 69 66 110,50 2 000 600 7 251 68 68 759,50 8 183 47 47 558,30 3 338,8 4 000 10 200 Taulukossa varastointikustannus on laskettu kaavalla 3,5 alkuvarasto+(alkuvarasto kysyntä), kun alkuvarasto > kysyntä 2 = 3,5 alkuvarasto, kun alkuvarasto < kysyntä, alkuvarasto 2 kysyntä 4
missä 3,5 on varastointikulut karaatilta viikossa. Kustannukset ovat yhteensä 3 338,8 + 4 000 + 10 200 = 17538,8 dollaria. Luentomonisteen esimerkissä kustannukset 8 ensimmäisen viikon ajalta dollareina ovat Jäädään siis plussalle 13 081,9 dollaria. menetetty myynti 23 800,0 täydennyskustannukset 4 000,0 varasto 2 820,7 yhteensä 30 620,7 5. EOQ-mallin muuttujat ovat missä d = viikottainen kysyntä (55) a = varaston täydennysnopeus, a > d f = varaston kiinteä täydennyskustannus (2000) h = varastointikustannus karaatilta viikossa (3,5) q = tilauserän koko l = varastotäydennyksen toimitusaika m = pienin tilaus. Yhden kauden kustannus on varastokustannus täydennyskustannus {}}{ { }} { f + h z 2 (t 1 + t 2 ) = f + h 1 ( 1 d ) q q 2 a d, t 1 + t 2 = q d = jakson pituus z = (a d)t 1 = (a d) q a. kk d kk a d Kuva 4: Tehtävän 5 varastotilanne Jakamalla kauden kustannus jakson pituudella q saadaan keskimääräinen kustannus d aikayksikössä (q) = f d q + h ( 1 d ) q. 2 a 5
q z kk d kk a d t 1 t 2 Kuva 5: Tehtävän 5 sykli Derivoimalla (q) saadaan (q) = fd q + h ( 1 d ) = 0. 2 2 a Ratkaistaan yhtälöstä q, jolloin saadaan optimaalinen tilauserän koko. Ottamalla rajaarvo, kun a, vielä varmistetaan, että lasku on oikein: q = ± 2fd h ( ) 1 d a 2fd, kun a. h Edellä olevista vaihtoehtoisista merkeistä ± miinus ei kelpaa, koska timanttierän koko q ei voi olla negatiivinen. Sijoittamalla ratkaisu q kohdefunktioon saadaan ( (q ) = 2fdh 1 d ) a 2fdh, kun a. 6
Sovellus: Nyt otetaan mukaan myös tavaran valmistus/ostohinta. Koska kysyntä aikayksikössä on d, niin osto/valmistus maksaa d riippumatta tilauserän koosta. Edellä määritellyt muuttujat saavat nyt arvot Muodostetaan epäyhtälö h = 1 = varastointikustannukset/kpl/vuosi d = 2000 = vuotuinen kysyntä a = 3000 = valmistusnopeus/vuosi f 1 = 200 = valmistuksen aloituksen kiinteä kustannus = 36,75 = valmistushinta/kpl f 2 = 40 = ostoerän kiinteä kustannus. ( d + 2f 1 dh 1 d ) x d + 2 f 2 dh, a } {{ } } {{ } ostetaan tehdään itse missä x on hinta, joka ostettavasta tavarasta kannattaa maksaa. Sijoitetaan muuttujille edellä annetut arvot ja ratkaistaan epäyhtälö ( 36,75 200 + 2 200 2000 1 1 2000 ) x 2000 + 2 40 2000 1 3000 74 016,39778 2000x + 400 x 36,808 Siis ostettaessa kannattaa maksaa vain vähän enemmän kuin jos osan tekee itse. 7