Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197

Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava päätellä, onko se tietyn joukon alkio vai ei. Esimerkki 1 Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2, 3,...}. Kokonaislukujen joukko Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. JYM, Syksy 2014 2/197

Joukko ja alkio Määritelmä Jos a on joukon A alkio, sanotaan, että a kuuluu joukkoon A, ja merkitään a A. Jos a ei ole joukon A alkio, sanotaan, että a ei kuulu joukkoon A, ja merkitään a A. Esimerkki 2 2 N, 3 N, 3 Z, 6 7 Z. JYM, Syksy 2014 3/197

Joukkojen määritteleminen Joukkoja voidaan määritellä eri tavoin: Luettelemalla joukon alkiot, jos joukko on pieni tai selkeästi ymmärrettävä: kokonaisluvut, joiden itseisarvo on enintään 2: parilliset kokonaisluvut: { 2, 1, 0, 1, 2} {..., 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,...} JYM, Syksy 2014 4/197

Joukkojen määritteleminen Ehdon avulla, jolloin merkintä on muotoa {alkioiden tyyppi ehto, joka alkioilta vaaditaan}. kokonaisluvut, joiden itseisarvo on enintään 2: { z Z : z 2 } parilliset kokonaisluvut: { m Z m = 2n missä n Z } JYM, Syksy 2014 5/197

Joukkojen määritteleminen Vakiintuneiden symbolien avulla kuten esimerkiksi tyhjä joukko, jossa ei ole yhtään alkiota. Sitä merkitään joskus { }. rationaalilukujen joukko Q = { m/n m, n Z ja n 0 }. reaalilukujen joukko R (lukusuoran luvut, ks. Analyysi I). kompleksilukujen joukko C (opiskellaan tällä kurssilla). avoin väli ]a, b[ = { x R a < x < b }. suljettu väli [a, b] = { x R a x b }. 0 1 2 3 4 5 Kuvassa suljettu väli [0, 1], avoin väli ]2, 3[ ja puoliavoin väli [4, 5[. JYM, Syksy 2014 6/197

Joukko Esimerkki 3 Toinen alla olevista joukoista ei täytä joukon määritelmää. Kumpi? Miksi? A = { n N n on alkuluku } B = { x R x 2 B } Havaitaan, että ei voida päätellä, päteekö esimerkiksi 2 B. Se nimittäin riippuu siitä, päteekö 4 = 2 2 B, mikä taas riippuu siitä, päteekö 4 2 B... Toisaalta ei voida myöskään päätellä, päteekö esimerkiksi 1 B. Se nimittäin riippuu siitä, päteekö 1 2 B eli 1 B. JYM, Syksy 2014 7/197

Näin ollen B ei täytä joukon määritelmän vaatimuksia. Se ei siis ole joukko. Tämä esimerkki muistuttaa Selvillan parturi -paradoksia, joka on yksi havainnollistus Russellin paradoksista. Periaatteessa on mahdollista tutkia, onko jokin luonnollinen luku alkuluku (jos luku on hyvin iso, voi vastauksen saaminen kestää kauan mutta se ei haittaa). Näin ollen A täyttää joukon määritelmän vaatimukset ja on joukko. JYM, Syksy 2014 8/197

Joukkojen samuus Määritelmä Joukot A ja B ovat samat, jos niillä on täsmälleen samat alkiot eli x A, jos ja vain jos x B. Merkintä A = B tarkoittaa, että joukot A ja B ovat samat. Esimerkki 4 Mitkä seuraavista joukoista ovat samoja? { x Z 3 < x < 1} {0, 2, 1} { 2, 1, 0} {0, 1, 0, 1, 2, 1} JYM, Syksy 2014 9/197

Alkioiden luettelujärjestyksellä ei ole merkitystä. Saman alkion toistaminen luettelossa useaan kertaan ei sekään muuta joukkoa. Näin ollen kaikki esimerkin joukot ovat samoja: { x Z 3 < x < 1} = {0, 2, 1} = { 2, 1, 0} = {0, 1, 0, 1, 2, 1}. JYM, Syksy 2014 10/197

Osajoukko Määritelmä Joukko A on joukon B osajoukko, jos kaikilla x A pätee myös x B. Tällöin sanotaan, että A sisältyy joukkoon B, ja merkitään A B. Merkintä A B tarkoittaa, että A ei ole joukon B osajoukko. Esimerkki 5 {6, 9, 11} Q, N R, { 3, 0, 3} N. JYM, Syksy 2014 11/197

Osajoukko Esimerkki 6 Olkoon C = {2, 3, {1}, {4, 2}}. (a) Luettele joukon C alkiot. Alkiot ovat luku 2 luku 3 joukko {1} eli ykkösen ns. yksiö joukko {4, 2} eli lukujen 4 ja 2 ns. kaksio. JYM, Syksy 2014 12/197

(b) Mitkä seuraavista joukoista ovat joukon C osajoukkoja? {2, 3} {1} {{1}, 3} {4, 2, {1}} {3} {{4, 2}} {3, 2, {4, 2}, {1}}. JYM, Syksy 2014 13/197

Perustellaan kaikki kohdat huolellisesti: {2, 3} C, sillä 2 C ja 3 C. {1} C, sillä 1 C. {{1}, 3} C, sillä {1} C ja 3 C. {4, 2, {1}} C, sillä 4 C. C, sillä joukossa ei ole yhtään alkiota, joka ei kuuluisi joukkoon C. {3} C, sillä 3 C. {{4, 2}} C, sillä {4, 2} C. {3, 2, {4, 2}, {1}} C, sillä 3 C, 2 C, {2, 4} C ja {1} C. JYM, Syksy 2014 14/197

Osajoukko Esimerkki 7 Perustele, että (a) {0, 1} { x R x 4 5x 3 x 2 + 5x = 0 }. (b) { x R : sin 3x = x } { x R : (sin 3x x) cos 4x = 0 }. (c) {1, 2} { x Z x 2 x = 0 }. (d) tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko. JYM, Syksy 2014 15/197

(a) Merkitään A = { x R x 4 5x 3 x 2 + 5x = 0 }. Havaitaan, että molemmat luvut 0 ja 1 toteuttavat joukon A ehdon: 0 4 5 0 3 0 2 + 5 0 = 0 0 0 + 0 = 0 1 4 5 1 3 1 2 + 5 1 = 1 5 1 + 5 = 0. Siten 0 A ja 1 A. Siis {0, 1} A. JYM, Syksy 2014 16/197

(b) Merkitään B = { x R : sin 3x = x } C = { x R : (sin 3x x) cos 4x = 0 }. Oletetaan, että b B (eli kuvitellaan, että b B). Tällöin voidaan päätellä, että b R, ja sin 3b = b eli sin 3b b = 0. Havaitaan, että b toteuttaa joukon C ehdon: Siis b C. (sin 3b b) cos 4b = 0 cos 4b = 0. Edellä tehty päättely toimii mille tahansa joukon B alkiolle. Siten B C. JYM, Syksy 2014 17/197

(c) Havaitaan, että 2 {1, 2} mutta 2 { x Z x 2 x = 0 }. Tämä johtuu siitä, että 2 2 2 = 4 2 = 2 0. Siis {1, 2} { x Z x 2 x = 0 }. JYM, Syksy 2014 18/197

(d) Oletetaan, että D on joukko. Tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota, joka ei kuuluisi joukkoon D. Siis D. JYM, Syksy 2014 19/197

Yhdiste, leikkaus ja erotus Määritelmä Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Joukkojen A ja B yhdiste on joukko A B = { x x A tai x B }, leikkaus on joukko A B = { x x A ja x B }, erotus on joukko A B = { x x A ja x B }. Huom. Matematiikan tai ei ole poissulkeva; yhdisteen A B muodostavat kaikki alkiot, jotka kuuluvat ainakin toiseen joukoista A ja B. Merkintä A B luetaan A pois B. JYM, Syksy 2014 20/197

Yhdiste, leikkaus ja erotus Joukkoja voidaan havainnollistaa ns. Vennin kaavioiden avulla: A B A B A B A \ B Kuvassa tummennettuna mainitut joukot. JYM, Syksy 2014 21/197

Esimerkki 8 Yhdiste, leikkaus ja erotus Olkoon A = {0, 2, 4} ja B = {1, 2, 3}. Määritä A B, A B, A B ja B A. Yhdisteen, leikkauksen ja erotuksen määritelmiä käyttämällä saadaan A B = {0, 1, 2, 3, 4} = { n N n 4}, A B = {2} (ns. kakkosen yksiö), A B = {0, 4} B A = {1, 3}. JYM, Syksy 2014 22/197

Luonnolliset luvut Luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla: Luonnollisten lukujen joukko N tarkoittaa joukkoa, jolla on seuraavat ominaisuudet: 1. 0 on luonnollinen luku; ts. 0 N. 2. Jokaista luonnollista lukua n kohti on olemassa täsmälleen yksi luonnollinen luku s(n), jota sanotaan luvun n seuraajaksi. 3. 0 ei ole minkään luonnollisen luvun seuraaja; ts. 0 s(n) kaikilla n N. 4. Eri luvuilla on eri seuraajat; ts. jos m n, niin s(m) s(n). 5. (Induktioaksiooma) Oletetaan, että A N ja 0 A, jos n A, niin s(n) A. Tällöin A = N. JYM, Syksy 2014 23/197

Induktiotodistus Induktioaksioomasta saadaan I induktioperiaate, jonka avulla voidaan todistaa väitteitä, jotka ovat muotoa Todistukset vaiheet: kaikille luonnollisille luvuille n pätee asia P. 1. Alkuaskel: Osoitetaan, että asia P pätee luvulle 0. 2. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että k N ja asia P pätee luvulle k. Näytetään, että induktio-oletuksesta ja mahdollisista muista oletuksista seuraa, että tällöin asia P pätee myös seuraavalle luonnolliselle luvulle k + 1. 3. Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella asia P pätee kaikille luonnollisille luvuille. JYM, Syksy 2014 24/197

Induktiotodistus Esimerkki 9 Osoita induktiolla, että 0 + 2 + 4 + + 2n = n(n + 1) kaikilla n N. Huom. yhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa summamerkin avulla: n 0 + 2 + 4 + + 2n = 2k. k=0 JYM, Syksy 2014 25/197

1. Alkuaskel: Luvun 0 tapauksessa yhtälön vasen puoli on 0 ja yhtälön oikea puoli on 0 1 = 0. Siis yhtälö pätee. 2. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus: Oletetaan, että k N ja 0 + 2 + 4 + + 2k = k(k + 1). Pyritään todistamaan, että tällöin myös induktioväite pätee, ts. että 0 + 2 + 4 + + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2). JYM, Syksy 2014 26/197

Induktioväitteen todistus: Muokataan induktioväitteen yhtälön vasenta puolta induktio-oletusta käyttäen 0 + 2 + 4 + + 2k + 2(k + 1) (IO) = k(k + 1) + 2(k + 1) = k 2 + k + 2k + 2 = k 2 + 3k + 2. Kohdassa (IO) käytettiin induktio-oletusta. Muokataan induktioväitteen yhtälön oikeaa puolta: (k + 1)(k + 2) = k 2 + 2k + k + 2 = k 2 + 3k + 2. Havaitaan, että induktioväitteen yhtälön vasen ja oikea puoli ovat samat, joten yhtälö pätee. JYM, Syksy 2014 27/197

3. Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella yhtälö pätee kaikilla n N. 0 + 2 + 4 + + 2n = n(n + 1) Huom. Induktioväitteen yhtälö voidaan todistaa myös yhtälöketjun avulla: 0 + 2 + 4 + + 2k + 2(k + 1) (IO) = k(k + 1) + 2(k + 1) ( ) = (k + 1)(k + 2). Kohdassa (IO) käytetään induktio-oletusta ja kohdassa ( ) otetaan yhteinen tekijä (k + 1). JYM, Syksy 2014 28/197

Kokonaislukujen jaollisuus Määritelmä Sanotaan, että kokonaisluku z on jaollinen kokonaisluvulla a, jos on olemassa b Z, jolla z = ab. Tällöin merkitään a z ja sanotaan, että luku a jakaa luvun z. Jos luku z ei ole jaollinen luvulla a, merkitään a z. Esimerkki 10 Osoita induktiolla, että luku 5 2n 3 n on jaollinen luvulla 11 kaikilla n N. JYM, Syksy 2014 29/197

1. Alkuaskel: Havaitaan, että 5 2 0 3 0 = 1 1 = 0 = 11 0, missä 0 Z. Siis luku 5 2 0 3 0 on jaollinen luvulla 11. 2. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus: Oletetaan, että k N ja luku 5 2k 3 k on jaollinen luvulla 11. Pyritään todistamaan, että tällöin myös induktioväite pätee, ts. että myös luku 5 2(k+1) 3 k+1 on jaollinen luvulla 11. JYM, Syksy 2014 30/197

Induktioväitteen todistus: Muokataan tarkasteltavaa lukua potenssisääntöjen avulla 5 2(k+1) 3 k+1 = 5 2k+2 3 k+1 = 5 2k 5 2 3 k 3 = 25 5 2k 3 3 k. Induktio-oletuksesta seuraa, että 5 2k 3 k = 11b, missä b Z. Tästä saadaan ratkaistua 5 2k = 11b + 3 k. JYM, Syksy 2014 31/197

Sijoittamalla saadaan 5 2(k+1) 3 k+1 = 25 5 2k 3 3 k = 25 (11b + 3 k ) 3 3 k = 25 11b + 25 3 k 3 3 k = 11 25b + (25 3) 3 k = 11 25b + 22 3 k = 11 (25b + 2 3 k ), missä 25b + 2 3 k Z. Siis luku 5 2(k+1) 3 k+1 on jaollinen luvulla 11. JYM, Syksy 2014 32/197

3. Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella luku 5 2n 3 n on jaollinen luvulla 11 kaikilla n N. JYM, Syksy 2014 33/197

Induktiotodistus Induktiotodistus voidaan aloittaa luvun 0 sijaan myös luonnollisesta luvusta m > 0: Esimerkki 11 Osoita induktiolla, että 3 n > n 3 kaikilla luonnollisilla luvuilla n 4. JYM, Syksy 2014 34/197

1. Alkuaskel: Havaitaan, että 3 4 = 81 ja 4 3 = 64, joten 3 4 > 4 3. Siis väitetty epäyhtälö pätee luvun 4 tapauksessa. 2. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus: Oletetaan, että luonnolliselle luvulle k pätee k 4 ja 3 k > k 3. Pyritään todistamaan, että tällöin myös induktioväite pätee, ts. että myös 3 k+1 > (k + 1) 3. JYM, Syksy 2014 35/197

Induktioväitteen todistus: Kertomalla induktio-oletuksen epäyhtälöä puolittain luvulla 3 saadaan uusi epäyhtälö 3 3 k > 3k 3, joka voidaan kirjoittaa myös muotoon 3 k+1 > k 3 + k 3 + k 3. (1) Arvioidaan epäyhtälön (1) oikeaa puolta varovasti alaspäin käyttäen toistuvasti oletusta k 4: 3 k+1 > k 3 + k 3 + k 3 = k 3 + k k 2 + k 2 k > k 3 + 3k 2 + 4k = k 3 + 3k 2 + 3k + k > k 3 + 3k 2 + 3k + 1 = (k + 1) 3. JYM, Syksy 2014 36/197

3. Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella 3 n > n 3 kaikilla luonnollisilla luvuilla n 4. JYM, Syksy 2014 37/197

Virheellinen päättely Mitä vikaa on seuraavassa päättelyssä? Väite: 5. Todistus : 5 N 5 N tosi. JYM, Syksy 2014 38/197

Virheellinen päättely Mitä vikaa on seuraavassa päättelyssä? Väite: 7 9 Z. Todistus : 7 9 Z kahden kokonaisluvun tulo on kokonaisluku, joten 9 7 9 Z 7 Z tosi. JYM, Syksy 2014 39/197

Virheellinen päättely Mitä vikaa on seuraavassa päättelyssä? Väite: 3 = 4. Todistus : 3 = 4 0 3 = 0 4 0 = 0 tosi. JYM, Syksy 2014 40/197

Selitys Kaikissa päättelyissä on sama vika: Päättelyn suunta on väärä! Väite oli edellä päättelyn lähtökohta, vaikka sen pitäisi olla päättelyn johtopäätös! Epätodestakin väitteestä voidaan päätellä jokin tosiasia, kuten edellä nähtiin. Väitteen ottaminen päättelyn lähtökohdaksi ei siten todista mitään. JYM, Syksy 2014 41/197

Osajoukoksi osoittaminen ja vastaesimerkin käyttö Esimerkki 12 (a) Osoita, että (A B) B A kaikilla joukoilla A ja B. (b) Pitääkö paikkansa, että (A B) B = A kaikilla joukoilla A ja B? Huom. Väite X Y saadaan todistettua päättelemällä, että mille tahansa x X pätee x Y. Voit osoittaa vastaesimerkin avulla, että jonkin asia ei päde yleisesti. JYM, Syksy 2014 42/197

Osajoukoksi osoittaminen (a) Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Väite: (A B) B A. Todistus. Oletetaan, että a (A B) B. Tällöin a A B ja a B (erotuksen määritelmä). Koska a A B, niin a A tai a B (yhdisteen määritelmä). Tarkastellaan tapaukset: Oletetaan, että a A. Tällöin a A eikä enempää tarvitse päätellä. Oletetaan, että a B. Toisaalta alussa pääteltiin, että a B. Tämä vaihtoehto ei siten ole mahdollinen. Siis a A. Tämä päättely voidaan tehdä mille tahansa joukon (A B) B alkiolle, joten jokainen joukon (A B) B alkio kuuluu joukkoon A. JYM, Syksy 2014 43/197

Vastaesimerkin käyttö (b) Väite: (A B) B = A kaikilla joukoilla A ja B. Vastaesimerkki: Valitaan vaikkapa A = {1, 2} ja B = {2, 3}. Tällöin (A B) B = {1, 2, 3} {2, 3} = {1}. Siten (A B) B A. Näin ollen väite ei pidä paikkaansa. Huom. Väite saattaa kuitenkin päteä jossain erityistapauksessa, esimerkiksi jos B =. JYM, Syksy 2014 44/197

Joukkojen osoittaminen samaksi Esimerkki 13 Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. (a) Tutki Vennin kaavioiden avulla, kumpi seuraavista yhtälöistä näyttäisi pätevän yleisesti: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C). (b) Osoita, että toinen yhtälöistä pätee yleisesti. (c) Osoita, että toinen yhtälöistä ei aina päde. JYM, Syksy 2014 45/197

Joukkojen osoittaminen samaksi Huom. Väite X = Y saadaan todistettua päättelemällä sisältyminen molempiin suuntiin; ts. päättelemällä, että mille tahansa x X pätee x Y, ja päättelemällä, että mille tahansa y Y pätee y X. JYM, Syksy 2014 46/197

(a) Vennin kaaviot: C C A B A B Joukot B C ja A (B C). JYM, Syksy 2014 47/197

C C A B A B Joukot A B ja (A B) C. JYM, Syksy 2014 48/197

Näyttää siltä, että A (B C) (A B) C: C C A B A B JYM, Syksy 2014 49/197

C C C A B A B A B Joukot A B, A C ja (A B) (A C). JYM, Syksy 2014 50/197

Näyttää siltä, että A (B C) = (A B) (A C): C C A B A B JYM, Syksy 2014 51/197

(b) Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Todistus. Väite: A (B C) = (A B) (A C). : Oletetaan, että x A (B C). Tällöin x A tai x B C (yhdisteen määritelmä). Tarkastellaan tapaukset: Oletetaan, että x A. Tällöin x A B ja x A C. Siis x (A B) (A C). Oletetaan, että x B C. Tällöin x B ja x C (leikkauksen määritelmä). Koska x B, niin x A B. Toisaalta koska x C, niin x A C. Näin ollen x (A B) (A C). Tämä päättely pätee mille tahansa joukon A (B C) alkiolle, joten mikä tahansa joukon A (B C) alkio kuuluu joukkoon (A B) (A C). JYM, Syksy 2014 52/197

: Oletetaan, että x (A B) (A C). Tällöin x A B ja x A C (leikkauksen määritelmä). Ettei päättely menisi liian sekavaksi, ajatellaan seuraavasti: Joka tapauksessa pätee joko x A tai x A. Tutkitaan nämä vaihtoehdot erikseen. Oletetaan, että x A. Tällöin x A (B C) (yhdisteen määritelmä). Oletetaan, että x A. Koska kuitenkin x A B, voidaan päätellä, että x B. Vastaavasti koska kuitenkin x A C, niin x C. Siis x B ja x C, joten x B C. Näin x A (B C) (yhdisteen määritelmä). Tämä päättely pätee mille tahansa joukon (A B) (A C) alkiolle, joten mikä tahansa joukon (A B) (A C) alkio kuuluu joukkoon A (B C). JYM, Syksy 2014 53/197

(c) Osoitetaan, että yhtälö A (B C) = (A B) C ei aina päde. Huom. Laaditaan vastaesimerkki: Valitaan vaikkapa A = {1, 2}, B = {2, 3} ja C = {1, 3}. Tällöin A (B C) = {1, 2} {3} = {1, 2, 3} ja (A B) C = {1, 2, 3} {1, 3} = {1, 3} Siten A (B C) (A B) C. Yhtälö saattaa kuitenkin päteä jossain erityistapauksessa, esimerkiksi jos A = B = C. JYM, Syksy 2014 54/197

Perusjoukko ja komplementti Usein tarkastellaan jonkin tietyn joukon eri osajoukkoja ja alkioita. Tätä joukkoa, jonka osajoukkoja ja alkoita tutkitaan, sanotaan perusjoukoksi. Määritelmä Olkoon X tarkasteltava perusjoukko. Joukon A X komplementti on joukko A = { x X x A }. Huom. Toisin sanottuna A = X A. Joukon A komplementille käytetään myös merkintää A c. JYM, Syksy 2014 55/197

Perusjoukko ja komplementti Havainnollistuksia: A A A B (A B) JYM, Syksy 2014 56/197

Esimerkki 14 Perusjoukko ja komplementti Tarkastellaan joukon N osajoukkoja A = {0, 1, 2, 3} ja B = { n N n = 2k missä k N }. Määritä A ja B. Havaitaan, että A = {4, 5, 6, 7,...} = { n N n 4 } B = {1, 3, 5, 7,...} = { m N m = 2k + 1 missä k N }. Huom. Joukko B on parillisten luonnollisten lukujen joukko ja sen komplementti B on parittomien luonnollisten lukujen joukko. JYM, Syksy 2014 57/197

de Morganin lait Lause 15 (de Morganin lait) Oletetaan, että X on joukko ja A, B X. Tällöin (A B) = A B ja (A B) = A B. Huom. Muista, että joukkojen identtisyys saadaan todistettua päättelemällä sisältyminen molempiin suuntiin. JYM, Syksy 2014 58/197

de Morganin lait Ensimmäisen de Morganin lain perustelu: Väite: (A B) = A B. Todistus. : Oletetaan, että x (A B). Tällöin x X ja x A B (komplementin määritelmä). Koska x A B, niin x A. Vastaavasti koska x A B, niin x B. Koska x X ja x A, niin x A. Toisaalta x X ja x B, joten x B. Näin x A ja x B, joten x A B. : Oletetaan, että x A B. Tällöin x A ja x B (leikkauksen määritelmä). Näin ollen x X ja x A ja x B (komplementin määritelmä). Koska x A ja x B, niin x A B. Näin x X ja x A B, mikä tarkoittaa, että x (A B). JYM, Syksy 2014 59/197

Jos..., niin... -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 16 Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että jos A B, niin A B = B. Huom. Väite muotoa jos P, niin Q voidaan osoittaa todeksi seuraavasti: - Oletetaan, että P pätee. - Päätellään tämän ja mahdollisten muiden oletusten avulla, että myös Q pätee. Kysymyksessä on yksi erikoistapaus ns. suorasta todistuksesta. JYM, Syksy 2014 60/197

Oletus: A ja B ovat joukkoja. Väite: jos A B, niin A B = B. Perustelu: Oletetaan, että väitteen jos... -osa pätee eli A B. Yritetään osoittaa, että väitteen niin... -osa pitää paikkansa. Koska kysymyksessä on joukkojen identtisyys, osoitetaan sisältyminen molempiin suuntiin. : Oletetaan, että x A B. Tällöin x A tai x B (yhdisteen määritelmä). Tapaukset: Oletetaan, että x A. Lisäksi alun oletuksen mukaan A B, joten x B. Oletetaan, että x B. Tämän enempää ei tarvita. Molemmissa tapauksissa x B. : Oletetaan, että x B. Tällöin yhdisteen määritelmän nojalla x A B. Päättelyt ja yhdessä osoittavat, että A B = B. JYM, Syksy 2014 61/197

Järjestetty pari Joukossa alkioiden järjestyksellä ei ole väliä: esimerkiksi {3, 8} = {8, 3}. Jos alkioiden järjestyksellä on väliä, voidaan kahden alkion tapauksessa käyttää ns. järjestettyä paria. Sille käytetään merkintää (a, b) ja sille pätee: (a, b) = (c, d) jos ja vain jos a = c ja b = d. Siis esimerkiksi (3, 8) (8, 3). Huom. Esimerkiksi lineaarialgebrasta tutut avaruuden R 2 vektorit ovat järjestettyjä pareja. JYM, Syksy 2014 62/197

Määritelmä Joukkojen karteesinen tulo eli tulojoukko Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Joukkojen A ja B karteesinen tulo eli tulojoukko on joukko A B = { (a, b) a A ja b B }. Esimerkki 17 (a) Määritä joukkojen C = {0, 4, 7} ja D = {4, 9} karteesinen tulo C D. C D = {(0, 4), (0, 9), (4, 4), (4, 9), (7, 4), (7, 9)}. (b) Havainnollista koordinaatistossa. JYM, Syksy 2014 63/197

(b) Havainnollistus koordinaatistossa: JYM, Syksy 2014 64/197

Joukkojen karteesinen tulo eli tulojoukko Esimerkki 18 (a) Osoita, että A (B C) = (A B) (A C) kaikilla joukoilla A, B ja C. (b) Havainnollista kuvan avulla. JYM, Syksy 2014 65/197

Havainnollistus: C B C B A Tässä joukkoa A (B C) vastaa keskelle jäävä valkoinen alue. Havaitaan, että se on myös joukkojen A B (keltainen & valkoinen alue) ja A C (violetti & valkoinen alue) leikkaus. JYM, Syksy 2014 66/197

(a) Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Väite: A (B C) = (A B) (A C). Todistus. : Oletetaan, että x A (B C). Tällöin x = (s, t), missä s A ja t B C. Koska t B C, niin t B ja t C. Koska s A ja t B, niin x = (s, t) A B. Vastaavasti koska s A ja t C, niin x = (s, t) A C. Leikkauksen määritelmän mukaan tällöin x (A B) (A C). : Oletetaan, että y (A B) (A C). Tällöin y A B ja y A C. Siten y = (a, d), missä a A, d B ja d C. Tällöin d B C. Koska a A ja d B C, niin tulojoukon määritelmän mukaan y = (a, d) A (B C). JYM, Syksy 2014 67/197

jos ja vain jos -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 19 Oletetaan, että X on joukko ja A, B X. Osoita, että A B, jos ja vain jos A B = X. Huom. Väite muotoa P jos ja vain jos Q voidaan osoittaa todeksi kahdessa osassa: - Oletetaan, että P pätee. Päätellään tämän ja mahdollisten muiden oletusten avulla, että tällöin myös Q pätee. - Oletetaan, että Q pätee. Päätellään tämän ja mahdollisten muiden oletusten avulla, että tällöin myös P pätee. Perustelu rakentuu siis kahdesta osasta: osoitetaan todeksi sekä väite jos P, niin Q että väite jos Q, niin P. Kysymyksessä on yksi erikoistapaus ns. suorasta todistuksesta. JYM, Syksy 2014 68/197

Oletetaan, että X on joukko ja A, B X. Väite: A B, jos ja vain jos A B = X. Todistus. : Oletetaan, että A B. Pitää osoittaa, että tällöin A B = X. : Oletetaan, että s A B. Tällöin s A tai s B. Tapaukset: Oletetaan, että s A. Tällöin s X ja s A. Siis s X. Oletetaan, että s B. Lisäksi B X, joten s X. Molemmissa tapauksissa s X. :Oletetaan, että m X. Periaatteessa on kaksi vaihtoehtoa: joko m A tai m A. Tapaukset: Oletetaan, että m A.Lisäksi A B, joten m B. Oletetaan, että m A. Kuitenkin m X. Näin m A. Molemmissa tapauksissa m A B. JYM, Syksy 2014 69/197

: Oletetaan, että A B = X. Pitää osoittaa, että tällöin A B. Oletetaan, että a A. Oletuksen mukaan A X, joten a X. Lisäksi X = A B, joten a A B. Tämä tarkoittaa, että a A tai a B. Koska oletuksen mukaan a A, niin a A. Näin ollen välttämättä a B. JYM, Syksy 2014 70/197

Potenssijoukko Määritelmä Oletetaan, että X on joukko. Joukon X potenssijoukko tarkoittaa sen kaikkien osajoukkojen muodostamaa joukkoa P(X) = { A A X }. Huom. Potenssijoukon alkioiden lukumäärää ja erilaisten osajoukkojen alkioiden lukumääriä käsitellään tällä kurssilla tietojenkäsittely- ja tilastotieteen matematiikan osuudessa. JYM, Syksy 2014 71/197

Potenssijoukko Esimerkki 20 (a) Olkoon X = {3, 1, 4}. Määritä P(X). P(X) = {, {3}, {1}, {4}, {3, 1}, {3, 4}, {1, 4}, X }. (b) Olkoon Y = {, {3, 1, 4}}. Määritä P(Y ). P(Y ) = P({, X}) = {, { }, {X}, Y }. JYM, Syksy 2014 72/197

Esimerkki 21 Potenssijoukko Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että Todistus. P(A B) = P(A) P(B). : Oletetaan, että X P(A B). Tällöin X A B. Tästä voidaan päätellä (ks. seuraava kalvo, lemma 22), että X A ja X B. Toisin sanottuna X P(A) ja X P(B). Siis X P(A) P(B). : Oletetaan, että Y P(A) P(B). Tällöin Y P(A) ja Y P(B). Tämä tarkoittaa, että Y A ja Y B. Tästä voidaan päätellä (ks. seuraava kalvo, lemma 22), että Y A B. Siis Y P(A B). JYM, Syksy 2014 73/197

Lemma 22 (eli apulause) X A B, jos ja vain jos X A ja X B. Todistus. : Oletetaan, että X A B. Pitää osoittaa, että X A ja X B. Oletetaan, että x X. Koska X A B, niin x A B. Tämä tarkoittaa, että x A ja x B. Saatiin osoitettua, että mikä tahansa joukon X alkio kuuluu joukkoon A. Siis X A. Vastaavasti saatiin osoitettua, että mikä tahansa joukon X alkio kuuluu joukkoon B. Siis X B. : Oletetaan, että X A ja X B. Pitää osoittaa, että X A B. Oletetaan, että x X. Koska X A, niin x A. Vastaavasti koska X B, niin x B. Näin x A B. JYM, Syksy 2014 74/197

Esimerkki 23 Epäsuora päättely Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Osoita, että jos A B ja A C, niin B C. Huom. Epäsuoran todistuksen rakenne on seuraava: - Kirjoitetaan näkyviin oletukset ja väite. (Huomio esimerkin jos..., niin... -rakenne.) - Muotoillaan väitteen (eli teesin) negaatio. Sitä kutsutaan vastaoletukseksi eli antiteesiksi. - Oletetaan, että vastaoletus (eli antiteesi) on totta. Johdetaan siitä ristiriita käyttäen apuna mahdollisia muita oletuksia. - Koska vastaoletuksesta (eli antiteesistä) päädyttiin ristiriitaan, ei se voikaan olla totta. Siis alkuperäinen väite on tosi. JYM, Syksy 2014 75/197

Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Väite: jos A B ja A C, niin B C. Todistus. Oletetaan, että A B ja A C. Pitää osoittaa, että tällöin B C. Vastaoletus eli antiteesi: Oletetaan, että B C. Yhdistämällä alkuperäinen oletus A B ja vastaoletus B C saadaan näytettyä, että A C: Oletetaan, että a A. Koska A B, niin a B. Lisäksi vastaoletuksen mukaan B C, joten a C. Äskeinen päättely osoittaa, että A C. Tämä on kuitenkin ristiriidassa alkuperäisen oletuksen A C kanssa. Siis vastaoletus ei olekaan tosi, vaan alkuperäinen väite B C pätee. JYM, Syksy 2014 76/197

Esimerkin 23 voi todistaa myös suoralla todistuksella: Oletetaan, että A, B ja C ovat joukkoja. Väite: jos A B ja A C, niin B C. Todistus. Oletetaan, että A B ja A C. Pitää osoittaa, että tällöin B C. Koska oletuksen mukaan A C, niin on olemassa a A, jolla pätee a C. Edelleen oletuksen mukaan A B, joten a B. Näin on olemassa alkio a B, jolla pätee a C. Siis B C. JYM, Syksy 2014 77/197

jos ja vain jos -muotoisen väitteen todistaminen Esimerkki 24 Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Osoita, että A B = B, jos ja vain jos A B =. Huom. Muista, että jos ja vain jos - muotoinen väite perustellaan osoittamalla todeksi kaksi erilaista jos..., niin... -väitettä. Muista, että joukot osoitetaan samoiksi osoittamalla sisältyminen molempiin suuntiin. Tyhjää joukkoa koskevien väitteiden tapauksessa epäsuora päättely on usein kätevä. JYM, Syksy 2014 78/197

Oletetaan, että A ja B ovat joukkoja. Väite: A B = B, jos ja vain jos A B =. Todistus. : Oletetaan, että A B = B. Pitää osoittaa, että tällöin A B =. Vastaoletus eli antiteesi: oletetaan, että A B. Tämä tarkoittaa, että on olemassa x A B. Tällöin x A ja x B. Koska x A, niin x A B. Oletuksen mukaan A B = B, joten x B. Päädyttiin ristiriitaan: x B ja x B. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite A B = pätee. JYM, Syksy 2014 79/197

: Oletetaan, että A B =. Pitää osoittaa, että tällöin A B = B. : Oletetaan, että x A B. Tällöin x A tai x B. Tapaukset: Oletetaan, että x A. Päätellään epäsuorasti: Jos x B, niin x A B. Kuitenkin oletuksen mukaan A B =. Siis välttämättä x B. Oletetaan, että x B. Enempää ei tarvitse päätellä. Molemmissa tapauksissa x B. : Oletetaan, että x B. Tällöin x A B yhdisteen määritelmän nojalla. JYM, Syksy 2014 80/197

Määritelmä Kuvaus (eli funktio) Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus (eli funktio) joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä f : X Y tarkoittaa, että f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Sama asia voidaan merkitä myös X f Y. Tässä X on kuvauksen f lähtö (eli määrittelyjoukko) ja Y on kuvauksen f maali. Oletetaan, että x X. Sitä yksikäsitteistä joukon Y alkiota, jonka kuvaus f liittää alkioon x, merkitään f (x) ja kutsutaan alkion x kuva-alkioksi. JYM, Syksy 2014 81/197

Havainnollistuksia: X Y Y x f f(x) f(x) x X JYM, Syksy 2014 82/197

Kuvaus Esimerkki 25 Määritellään g : R R asettamalla g(x) = x + 1. Tällä tavalla saadaan kuvaus, sillä jos x R, niin x + 1 on olemassa, x + 1 on yksikäsitteisesti määrätty, x + 1 R. Huom. Tässä x + 1 tarkoittaa luvun x + 1 itseisarvoa. Reaaliluvun a itseisarvo on { a, jos a 0; a = a, jos a < 0. Esimerkiksi 4 = 4 ja 7 = ( 7) = 7. JYM, Syksy 2014 83/197

Kaksi havainnollistusta kuvauksesta g: R g R t g(t) a 1 0 a + 1 0 1 g(t) 1 2 7 2 t JYM, Syksy 2014 84/197

Kuvaus Merkintöjä Merkintä g(x) = x + 1 tarkoittaa, että alkion x kuva-alkio on x + 1. Sama asia voidaan merkitä myös x x + 1. Esimerkin kuvaukselle g : R R pätee g( 4) = 4 + 1 = 3 = 3 eli 4 3 g(12) = 12 + 1 = 13 = 13 eli 12 13. JYM, Syksy 2014 85/197

Kuvauksien samuus Määritelmä Kuvaukset f : X Y ja g : V W ovat samat, jos niillä on sama lähtö eli X = V, niillä on sama maali eli Y = W, f (z) = g(z) kaikilla yhteisen lähdön alkioilla z. Huom. Tällä kurssilla käytetään tätä tiukkaa määritelmää, jotta vältytään epämääräisyyksiltä myöhemmin injektion ja surjektion käsitteiden yhteydessä. JYM, Syksy 2014 86/197

Esimerkki 26 Kuvauksien samuus Tarkastellaan kuvauksia f : R R, g : R [0, [ ja h : N N, joilla kaikilla x x 2. Nämä ovat kaikki eri kuvauksia, sillä niillä kaikilla on eri maali. Lisäksi kuvauksella h on eri lähtö kuin kuvauksilla f ja g. Myöhemmin nähdään, että g on surjektio ja h on injektio mutta f ei ole kumpaakaan. JYM, Syksy 2014 87/197

Kuvaus Esimerkki 27 Oletetaan, että a, b Z ja b 0. Määritellään h : Q Q asettamalla a b ab b 2a. Onko h kuvaus? JYM, Syksy 2014 88/197

Havaitaan ongelmia: (a) Alkioon 1 2 Q ei liitetä yhtään alkiota, sillä ei ole määritelty. 1 2 2 2 1 = 2 0 (b) Alkioon 2 6 = 3 9 Q liitetään useampi kuin yksi alkio: Siis h ei ole kuvaus. Huom. 2 6 2 6 6 2 2 = 6 ja 3 9 3 9 9 2 3 = 9. Kumpi tahansa ongelma riittäisi jo yksinkin osoittamaan, että h ei ole kuvaus. JYM, Syksy 2014 89/197

Kuvaus Esimerkki 28 Olkoon X kaikkien tälle kurssille viime syksynä ilmoittautuneiden opiskelijoiden joukko. Määritellään g : X N asettamalla g(x) = opiskelijan x tästä kurssista saama arvosana. Onko g kuvaus? Havaitaan, että g on kuvaus, sillä se liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden luvun, joka kuuluu maaliin N. JYM, Syksy 2014 90/197

Kuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että A X. Joukon A kuva kuvauksessa f on joukko fa = { y Y y = f (a) missä a A }. Huom. Kuvan fa muodostavat siis ne maalin alkiot, jotka ovat joukon A alkioiden kuva-alkoita. Määritelmä tarkoittaa, että w fa, jos ja vain jos w Y ja w = f (a) jollakin a A. Lyhyesti sanottuna fa = { f (a) a A }. JYM, Syksy 2014 91/197

Havainnollistuksia: X Y A f Y fa fa X A JYM, Syksy 2014 92/197

Kuva Esimerkki 29 Olkoon f : Z Z kuvaus, jolle z z 2 + 1. Merkitään A = { 1, 0, 1, 2}. Määritä fa ja f [A {1, 2}]. Huom. Kuvan merkinnässä tarvitaan joskus sulkuja, kuten edellä merkinnässä f [A {1, 2}]. Tällöin tällä kurssilla käytetään hakasulkuja, jotta käsitteet kuva ja kuva-alkio eivät menisi sekaisin. Alkion C kuva-alkio h(c). Osajoukon C kuva hc tai h[c]. JYM, Syksy 2014 93/197

Kuvan määritelmän mukaan fa = {n Z n = f (a) missä a A} = {f (a) a A} = {f ( 1), f (0), f (1), f (2)} = {2, 1, 2, 5} = {1, 2, 5} JYM, Syksy 2014 94/197

Kaksi havainnollistusta joukon A kuvalle kuvauksessa f : Z Z fa A 2 1 0 1 5 fa 2 1 A 2 JYM, Syksy 2014 95/197

Kuvan määritelmän mukaan f [A {1, 2}] = {n Z n = f (a) missä a A {1, 2}} = {f (a) a { 1, 0}} = {f ( 1), f (0)} = {2, 1}. JYM, Syksy 2014 96/197

Kuva Esimerkki 30 Olkoon g : R R kuvaus, jolle g(x) = x 2 + 1 kaikilla x R. Merkitään B = [ 1, 2]. Määritä kuva gb. gb B JYM, Syksy 2014 97/197

Kuvan määritelmän mukaan gb = {y R y = g(x) missä x B} = {g(x) x B} = {x 2 + 1 1 x 2} Ehdon epäyhtälöstä saadaan pääteltyä: 1 x 2 0 x 2 4 1 x 2 + 1 5 Toisin sanottuna jos x B, niin g(x) [1, 5]. Näin gb [1, 5]. JYM, Syksy 2014 98/197

Osoitetaan vielä sisältyminen toiseen suuntaan. Ratkaistaan x yhtälöstä g(x) = y eli yhtälöstä x 2 + 1 = y: x 2 + 1 = y x 2 = y 1 x = y 1 x = y 1 Nyt voidaan päätellä seuraavasti: 1 y 5 0 y 1 4 0 y 1 2. Siis jos y [1, 5], niin on olemassa x = y 1 [0, 2], jolla y = g(x). Toisin sanottuna jokainen välin [1, 5] luku on välin [ 1, 2] jonkin alkion kuva-alkio. Näin [1, 5] gb. JYM, Syksy 2014 99/197

Havainnollistus joukon B kuvalle kuvauksessa g: gb B JYM, Syksy 2014 100/197

Alkukuva Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Oletetaan lisäksi, että B Y. Joukon B alkukuva kuvauksessa f on joukko f B = { x X f (x) B }. Huom. Alkukuvan f B muodostavat siis ne lähdön alkiot, joiden kuva-alkiot kuuluvat joukkoon B. Määritelmä tarkoittaa, että t f B, jos ja vain jos t X ja f (t) B. JYM, Syksy 2014 101/197

Havainnollistuksia: X f Y Y f B B B X f B JYM, Syksy 2014 102/197

Alkukuva Esimerkki 31 Olkoon f : Z Z kuvaus, jolle z z 2 + 1. Merkitään A = { 1, 0, 1, 2}. Määritä f A ja f [A {1, 2}]. Huom. Alkukuvan merkinnässä tarvitaan joskus sulkuja, kuten edellä merkinnässä f [A {1, 2}]. Tällöin tällä kurssilla käytetään hakasulkuja. JYM, Syksy 2014 103/197

Alkukuvan määritelmän mukaan f A = {z Z f (z) A } = {z Z z 2 + 1 { 1, 0, 1, 2} } = {z Z z 2 { 2, 1, 0, 1} } ( ) = {0, 1, 1 } Kohdassa ( ) ratkaistaan yhtälöt z 2 = 2, z 2 = 1, z 2 = 0 ja z 2 = 1 käyttämällä seuraavia tietoja: z 2 0 kaikilla z Z; z 2 = 0, jos ja vain jos z = 0; z 2 = 1, jos ja vain jos z = ±1. JYM, Syksy 2014 104/197

Kaksi havainnollistusta joukon A alkukuvalle kuvauksessa f : Z Z A 2 1 0 f A 5 2 1 1 f A 2 A 0 1 JYM, Syksy 2014 105/197

Alkukuvan määritelmän mukaan f [A {1, 2}] = {z Z f (z) A {1, 2} } = {z Z z 2 + 1 { 1, 0} } = {z Z z 2 { 2, 1} } ( ) = Kohdassa ( ) ratkaistaan yhtälöt z 2 = 2 ja z 2 = 1 käyttämällä tietoa, että z 2 0 kaikilla z Z, minkä vuoksi näillä yhtälöillä ei ole ratkaisuja. JYM, Syksy 2014 106/197

Alkukuva Esimerkki 32 Olkoon g : R R kuvaus, jolle g(x) = x 2 + 1. Merkitään B = [ 1, 2]. Määritä g B. B g B JYM, Syksy 2014 107/197

Alkukuvan määritelmän mukaan g B = {x R g(x) B} = {x R 1 x 2 + 1 2}. Ratkaistaan ehdon epäyhtälö: 1 x 2 + 1 2 2 x 2 1 x 2 1 1 x 1. Huomaa, että tässä käytettiin tietoa x 2 0 kaikilla x R. Siis g B = {x R 1 x 1} = [ 1, 1]. JYM, Syksy 2014 108/197

Havainnollistus joukon B alkukuvalle kuvauksessa g: B g B JYM, Syksy 2014 109/197

Kuva Esimerkki 33 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus ja A, B X. Osoita, että f [A B] = fa fb. Huom. Käytä kuvan määritelmää: fv = { y Y y = f (v) missä v V }. Muista, että kaksi joukkoa osoitetaan samaksi osoittamalla sisältyminen molempiin suuntiin. JYM, Syksy 2014 110/197

Esimerkin 33 ratkaisu. Osoitetaan sisältyminen molempiin suuntiin: : Oletetaan, että y f [A B]. Tällöin y Y ja y = f (x) jollakin x A B (kuvan määritelmä). Koska x A B, niin x A tai x B. Tapaukset: Oletetaan, että x A. Tällöin f (x) fa (kuvan määritelmä). Koska y = f (x), niin y fa. Oletetaan, että x B. Tällöin f (x) fb (kuvan määritelmä). Koska y = f (x), niin y fb. Molemmissa tapauksissa y fa fb. JYM, Syksy 2014 111/197

: Oletetaan, että y fa fb. Tällöin y fa tai y fb. Tapaukset: Oletetaan, että y fa. Tällöin y = f (a) jollakin a A (kuvan määritelmä). Koska a A, niin a A B. Siten f (a) f [A B] (kuvan määritelmä). Koska y = f (a), niin y f [A B]. Oletetaan, että y fb. Tällöin y = f (b) jollakin b B (kuvan määritelmä). Koska b B, niin b A B. Siten f (b) f [A B] (kuvan määritelmä). Koska y = f (b), niin y f [A B]. JYM, Syksy 2014 112/197

Alkukuva Esimerkki 34 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus ja C, D Y. Osoita, että f [C D] = f C f D. Huom. Käytä alkukuvan määritelmää: f W = { x X f (x) W }. Muista, että kaksi joukkoa osoitetaan samaksi osoittamalla sisältyminen molempiin suuntiin. JYM, Syksy 2014 113/197

Esimerkin 34 ratkaisu. Osoitetaan sisältyminen molempiin suuntiin: : Oletetaan, että x f [C D]. Tällöin x X ja f (x) C D (alkukuvan määritelmä). Siis f (x) C ja f (x) D. Koska x X ja f (x) C, niin x f C (alkukuvan määritelmä). Koska x X ja f (x) D, niin x f D (alkukuvan määritelmä). Näin ollen x f C f D. JYM, Syksy 2014 114/197

: Oletetaan, että x f C f D. Tällöin x f C ja x f D. Koska x f C, niin x X ja f (x) C (alkukuvan määritelmä). Lisäksi x f D, joten f (x) D (alkukuvan määritelmä). Näin ollen f (x) C D. Koska x X ja f (x) C D, niin x f [C D] (alkukuvan määritelmä). JYM, Syksy 2014 115/197

Esimerkki 35 Kuva ja alkukuva Oletetaan, että f : X Y on kuvaus ja B Y. (a) Osoita, että f [f B] B. (b) Osoita, että sisältyminen toisinpäin ei päde yleisesti. Siis keksi sopivat joukot X ja Y, kuvaus f : X Y ja osajoukko B Y, ja osoita, että B f [f B]. Huom. Muista kuvan ja alkukuvan määritelmät: f W = { x X f (x) W } fv = { y Y y = f (v) missä v V }. JYM, Syksy 2014 116/197

Esimerkin 35 ratkaisu. (a) Oletetaan, että y f [f B]. Tällöin y Y ja y = f (x) jollakin x f B (kuvan määritelmä). Koska x f B, niin f (x) B (alkukuvan määritelmä). Lisäksi y = f (x), joten y B. (b) Tarkastellaan kuvausta f : R R, jolla x x 2. Valitaan B = { 1, 0}. Tällöin f B = { x R f (x) B } = { x R x 2 { 1, 0} } = {0} ja f [f B] = { f (x) x f B } = {f (0)} = {0}. Siis B = { 1, 0} {0} = f [f B]. JYM, Syksy 2014 117/197

Induktiotodistus II induktioperiaatetta käyttäen II induktioperiaate saadaan johdettua I induktioperiaatteesta (ks. Junnila, s. 39). Se poikkeaa I induktioperiaatteesta induktio-oletuksen osalta. Todistukset vaiheet: 1. Alkuaskel: Osoitetaan, että asia P pätee luvulle 0. 2. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että k N ja asia P pätee luvulle k ja sitä pienemmille luonnollisille luvuille (0,..., k 1). Osoitetaan, että induktio-oletuksesta ja mahdollisista muista oletuksista seuraa, että tällöin asia P pätee myös seuraavalle luonnolliselle luvulle k + 1. 3. Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella asia P pätee kaikille luonnollisille luvuille. JYM, Syksy 2014 118/197

Induktiotodistus II induktioperiaatetta käyttäen Esimerkki 36 Määritellään jono kokonaislukuja rekursiivisesti asettamalla z 0 = 2, z 1 = 1 ja z n+1 = z n + 2z n 1 kaikilla n 1. (a) Laske z 2, z 3 ja z 4. (b) Keksi kaava, jolla z n voidaan laskea, jos n on annettu. Osoita kaava oikeaksi induktiota käyttäen. JYM, Syksy 2014 119/197

(a) Lasketaan: z 2 = z 1 + 2z 0 = 5, z 3 = z 2 + 2z 1 = 7, z 4 = z 3 + 2z 2 = 17. (b) Arvaus: z n = 2 n + ( 1) n kaikilla n N. Osoitetaan arvaus oikeaksi induktiolla. JYM, Syksy 2014 120/197

1. Alkuaskel: Tiedetään, että z 0 = 2. Keksitty kaava antaa z 0 = 2 0 + ( 1) 0 = 1 + 1 = 2. Sama tulos, joten väite pätee luvun 0 tapauksessa. 2. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että k N ja z j = 2 j + ( 1) j luonnollisilla luvuilla 0 j k eli luonnollisilla luvuilla j {0, 1,..., k}. Pyritään näyttämään, että tällöin myös z k+1 = 2 k+1 + ( 1) k+1. JYM, Syksy 2014 121/197

Luvun z 1 laskemiseen ei voida käyttää rekursiokaavaa, joten tarkistetaan kaavan päteminen sen tapauksessa erikseen. Tiedetään, että z 1 = 1. Keksitty kaava antaa z 1 = 2 1 + ( 1) 1 = 2 1 = 1. Sama tulos, joten väite pätee luvun 1 tapauksessa. Lukujen z 2, z 3,... laskemisessa rekursiokaavaa voidaan käyttää. Siis jos k 1, niin z k+1 = z k + 2z k 1 (IO) = 2 k + ( 1) k + 2 (2 k 1 + ( 1) k 1) = 2 k + ( 1) k + 2 k + 2 ( 1) k 1. Kohdassa (IO) käytetään induktio-oletusta. JYM, Syksy 2014 122/197

Todistus jatkuu. Edellisen kalvon perusteella z k+1 = 2 k + ( 1) k + 2 k + 2 ( 1) k 1 = 2 2 k + ( 1) ( 1) k 1 + 2 ( 1) k 1 = 2 k+1 + ( 1 + 2) ( 1) k 1 = 2 k+1 + 1 ( 1) k 1 = 2 k+1 + ( 1) k+1. 3. Johtopäätös: Induktioperiaatteen nojalla voidaan päätellä, että kohtien 1. ja 2. perusteella z n = 2 n + ( 1) n kaikilla n N. JYM, Syksy 2014 123/197

Injektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on injektio, jos kaikilla x 1, x 2 X yhtälöstä f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2. Lause 37 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvaus f on injektio, jos ja vain jos lähdön eri alkioilla on eri kuva-alkiot; ts. kaikilla x 1, x 2 X pätee: jos x 1 x 2, niin f (x 1 ) f (x 2 ). JYM, Syksy 2014 124/197

Lauseen 37 todistus. : Oletetaan, että f on injektio. Pitää osoittaa, että kaikilla x 1, x 2 X pätee: jos x 1 x 2, niin f (x 1 ) f (x 2 ). Oletetaan, että x 1, x 2 X ja x 1 x 2. Tehdään vastaoletus, että f (x 1 ) = f (x 2 ). Koska oletuksen mukaan f on injektio, tästä seuraa, että x 1 = x 2. Ristiriita! Siis f (x 1 ) f (x 2 ). : Oletetaan, että kaikilla x 1, x 2 X pätee: jos x 1 x 2, niin f (x 1 ) f (x 2 ). Pitää osoittaa, että f on injektio. Osoitetaan, että f toteuttaa injektion määritelmän. Oletetaan, että a, b X ja f (a) = f (b). Tehdään vastaoletus, että a b. Tällöin oletuksen mukaan f (a) f (b). Ristiriita! Siis a = b. JYM, Syksy 2014 125/197

Injektio Esimerkki 38 Ovatko seuraavat kuvaukset injektioita? (a) f : R {1} R, jolle x x x 1. JYM, Syksy 2014 126/197

(a) Oletetaan, että x 1, x 2 R {1} ja f (x 1 ) = f (x 2 ). Tällöin x 1 x 1 1 = x 2 x 2 1. Kertomalla yhtälön molemmat puolet nimittäjillä saadaan x 1 (x 2 1) = x 2 (x 1 1). Tästä seuraa, että x 1 x 2 x 1 = x 1 x 2 x 2 ja edelleen x 1 = x 2. Siis x 1 = x 2. Näin ollen kuvaus f on injektio. JYM, Syksy 2014 127/197

(b) g : R R, jolle g(x) = x 2. Kuvaus g ei ole injektio, sillä esimerkiksi 2, 2 R ja 2 2, mutta g( 2) = 4 = g(2). JYM, Syksy 2014 128/197

(c) ρ: N R, jolle ρ(x) = x 2. Oletetaan, että m, n N ja lisäksi ρ(m) = ρ(n). Tällöin m 2 = n 2 eli m 2 n 2 = 0. Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa (m n)(m + n) = 0. Tulon nollasäännön nojalla se toteutuu, jos ja vain jos m n = 0 tai m + n = 0. Toisin sanottuna yhtälö toteutuu, jos ja vain jos m = n tai m = n. Koska m, n N, niin jälkimmäinen ehto m = n tarkoittaa, että m = 0 ja n = 0. Siis joka tapauksessa m = n. Näin on osoitettu, että ρ on injektio. JYM, Syksy 2014 129/197

(d) h : R R, jolle h(x) = 1 2 x + 1. Oletetaan, että x 1, x 2 R ja lisäksi h(x 1 ) = h(x 2 ). Tällöin 1 2 x 1 + 1 = 1 2 x 2 + 1 eli 1 2 x 1 = 1 2 x 2. Tästä seuraa, että x 1 = x 2. Siis h on injektio. JYM, Syksy 2014 130/197

Surjektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on surjektio, jos jokaisella y Y on olemassa ainakin yksi sellainen x X, että f (x) = y. Lause 39 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvaus f on surjektio, jos ja vain jos f X = Y. JYM, Syksy 2014 131/197

Lauseen 39 todistus. : Oletetaan, että f on surjektio. Pitää osoittaa, että f X = Y. : Oletetaan, että b f X. Tällöin b = f (x) jollakin x X. Koska kuvauksen f maali on Y, niin f (x) Y. Koska b = f (x), niin b Y. : Oletetaan, että y Y. Oletuksen mukaan f on surjektio, joten on olemassa sellainen x X, jolla f (x) = y. Siis y f X. : Oletetaan, että f X = Y. Pitää osoittaa, että f on surjektio. Osoitetaan, että f toteuttaa surjektion määritelmän. Oletetaan, että y Y. Oletuksen mukaan Y = f X, joten y f X. Tällöin on olemassa sellainen x X, että f (x) = y. JYM, Syksy 2014 132/197

Surjektio Esimerkki 40 Ovatko seuraavat kuvaukset surjektioita? (a) f : R {1} R, jolle x x x 1. JYM, Syksy 2014 133/197

Tutkitaan asiaa: Oletetaan, että y R ja tutkitaan yhtälöä f (x) = y: x = y x = y(x 1) x = yx y x 1 x yx = y (1 y)x = y. Havaitaan, että jos y = 1, päädytään yhtälöön 0x = 1, jolla ei ole ratkaisua. Ongelmallinen maalin alkio on siis y = 1. Näin vaikuttaa siltä, että f (x) 1 kaikilla x R {1}. JYM, Syksy 2014 134/197

Varsinainen perustelu: Osoitetaan, että f ei ole surjektio. Vastaoletus: Oletetaan, että f on surjektio. Tällöin on olemassa erityisesti sellainen x R {1}, että f (x) = 1 eli x x 1 = 1. Tästä seuraa, että x = x 1 ja edelleen 0 = 1. Tämä on ristiriita. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite pätee. Näin ollen f ei ole surjektio. JYM, Syksy 2014 135/197

(b) g : R R, jolle g(x) = x 2. Kuvaus g ei ole surjektio: Havaitaan, että g(x) = x 2 0 kaikilla x R. Siten esimerkiksi g(x) 1 kaikilla x R. JYM, Syksy 2014 136/197

(c) τ : R [0, [, jolle τ(x) = x 2. y y Oletetaan, että y [0, [. Tällöin y on määritelty ja y R. Lisäksi Siis τ on surjektio. τ( y) = ( y) 2 = y. JYM, Syksy 2014 137/197

(d) h : R R, jolle h(x) = 1 2 x + 1. y Huom. 2y 2 Oletetaan, että y R. Tällöin 2y 2 R ja lisäksi h(2y 2) = 1 (2y 2) + 1 = y 1 + 1 = y. 2 Siis h on surjektio. Alkio 2y 2 R löydetään ratkaisemalla x yhtälöstä h(x) = y eli yhtälöstä 1 2 x + 1 = y. JYM, Syksy 2014 138/197

Yhdistetty kuvaus Määritelmä Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f tarkoittaa kuvausta X Z, jolla x g(f (x)). Toisin sanottuna yhdistetty kuvaus g f : X Z määritellään asettamalla (g f )(x) = g(f (x)) kaikilla x X. Huom. Huomaa kuvausten järjestys: ensimmäinen kuvaus kirjoitetaan oikealle puolelle lähimmäs lähdön alkiota. JYM, Syksy 2014 139/197

Esimerkki 41 Yhdistetty kuvaus Määritä yhdistetyistä kuvauksista g f, f g ja f f ne, jotka ovat määriteltyjä, jos (a) f : R R, f (x) = 1 + 2x ja g : R R, g(x) = (x 1) 2. Kuvaukset g f ja f g : R R on määritelty. Oletetaan, että x R. Tällöin (g f )(x) = g(f (x)) = g(1 + 2x) = (1 + 2x 1) 2 = (2x) 2 = 4x 2 (f g)(x) = f (g(x)) = f ((x 1) 2 ) = 1 + 2(x 1) 2 = 1 + 2(x 2 2x + 1) = 1 + 2x 2 4x + 2 = 2x 2 4x + 3 JYM, Syksy 2014 140/197

Havaitaan, että g f f g, sillä esimerkiksi (g f )(0) = 0 3 = (f g)(0). Myös kuvaus f f : R R on määritelty. Sille pätee (f f )(x) = f (f (x)) = f (1 + 2x) = 1 + 2(1 + 2x) = 1 + 2 + 4x = 4x + 3. JYM, Syksy 2014 141/197

(b) f : R R, f (x) = 2 x ja g : [0, [ R, g(x) = x 1. Kuvaus g f ei ole määritelty, koska kuvauksen f maali R on eri kuin kuvauksen g lähtö [0, [. Kuvaus f g : [0, [ R on määritelty.oletetaan, että x [0, [. Tällöin (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x 1) = 2 ( x 1) = 2 x + 1 = 3 x. Myös kuvaus f f : R R on määritelty. Sille pätee (f f )(x) = f (f (x)) = f (2 x) = 2 (2 x) = 2 2 + x = x. JYM, Syksy 2014 142/197

Yhdistetty kuvaus Huom. Joskus vain toinen kuvauksista g f ja f g on määritelty. Usein g f f g, vaikka molemmat ovat määriteltyjä. JYM, Syksy 2014 143/197

Identtinen kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X on mikä tahansa joukko. Joukon X identtinen kuvaus id X tarkoittaa kuvausta X X, jolla x x kaikilla x X. Toisin sanottuna joukon X identtinen kuvaus id X : X X määritellään asettamalla id X (x) = x kaikilla x X. Huom. Esimerkin 41 b-kohdan kuvaus f f : R R on joukon R identtinen kuvaus id R, sillä (f f )(x) = x kaikilla x R. JYM, Syksy 2014 144/197

Identtinen kuvaus Esimerkki 42 (a) Oletetaan, että f : X X on kuvaus. Määritä yhdistetyt kuvaukset f id X : X X ja id X f : X X. Oletetaan, että x X. Tällöin Havaitaan, että (f id X )(x) = f (id X (x)) = f (x) (id X f )(x) = id X (f (x)) = f (x) f id X = f ja id X f = f. JYM, Syksy 2014 145/197

(b) Huomataan vastaavuus: Operaatio Otus kuvausten yhdistäminen identtinen kuvaus reaalilukujen yhteenlasku luku 0 reaalilukujen kertolasku luku 1 JYM, Syksy 2014 146/197

Yhdistetyt kuvaukset, injektiot ja surjektiot Esimerkki 43 Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. (a) Oletetaan, että g f : X Z on injektio. Osoita, että f on injektio. Oletetaan, että x 1, x 2 X ja f (x 1 ) = f (x 2 ). Tällöin g(f (x 1 )) = g(f (x 2 )) ja yhdistetyn kuvauksen määritelmän mukaan edelleen (g f )(x 1 ) = (g f )(x 2 ). Oletuksen mukaan yhdistetty kuvaus g f on injektio, joten saadusta yhtälöstä seuraa, että x 1 = x 2. Näin on osoitettu, että f on injektio. JYM, Syksy 2014 147/197

Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. (b) Oletetaan, että g f : X Z on surjektio. Osoita, että g on surjektio. Oletetaan, että z Z. Koska g f : X Z on surjektio, niin on olemassa sellainen x X, että (g f )(x) = z. Koska f on kuvaus X Y, niin f (x) Y. Lisäksi g(f (x)) = (g f )(x) = z. Siis löydettiin joukon Y alkio f (x), joka kuvautuu alkioksi z kuvauksessa g. Näin on osoitettu, että g on surjektio. JYM, Syksy 2014 148/197

Määritelmä Käänteiskuvaus Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Jos on olemassa sellainen kuvaus g : Y X, että g f = id X ja f g = id Y, niin sanotaan, että kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Kuvauksen f käänteiskuvausta merkitään f 1. Huom. Voidaan osoittaa, että jokaisella kuvauksella on enintään yksi käänteiskuvaus. Sen vuoksi merkintä f 1 on yksikäsitteinen ja siten mielekäs. JYM, Syksy 2014 149/197

Lause 44 Kuvauksella f : X Y on enintään yksi käänteiskuvaus. Todistus. Oletetaan, että g : Y X ja h : Y X ovat kumpikin kuvauksen f käänteiskuvauksia. Käänteiskuvauksen määritelmän nojalla g f = id X, f g = id Y, h f = id X ja f h = id Y. Käyttämällä näitä yhtälöitä ja esimerkkiä 42 saadaan h = h id Y = h (f g) ( ) = (h f ) g = id X g = g. Siis käänteiskuvauksia ei voi olla enempää kuin yksi. Kohdassa ( ) käytetään kuvausten yhdistämisen liitännäisyyttä, jonka todistaminen jää toistaiseksi lukijan tehtäväksi. JYM, Syksy 2014 150/197

Käänteiskuvaus Esimerkki 45 Oletetaan, että f : R R ja g : R R ovat kuvauksia, joilla f (x) = 4 3x ja g(x) = 4 3 1 3 x. Osoitetaan, että g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Oletetaan, että x R. Tällöin (g f )(x) = g(f (x)) = g(4 3x) = 4 3 1 (4 3x) 3 = 4 3 4 3 + 3 3 x = x = id R(x). JYM, Syksy 2014 151/197

Tämä tarkoittaa, että kuvaukset g f : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Lisäksi ( 4 (f g)(x) = f (g(x)) = f 3 1 ) ( 4 3 x = 4 3 3 1 ) 3 x = 4 4 + x = x = id R (x). Tämä tarkoittaa, että kuvaukset f g : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Siis g f = id R ja f g = id R, joten g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Voidaan merkitä g = f 1. JYM, Syksy 2014 152/197

Käänteiskuvaus Esimerkki 46 Oletetaan, että h : R {1} R {2} on kuvaus, jolle x 2x x 1. Määritä kuvauksen h käänteiskuvaus tai perustele, että sitä ei ole olemassa. JYM, Syksy 2014 153/197

Oletetaan, että y R {2} ja tutkitaan yhtälöä h(x) = y: h(x) = y 2x = y 2x = y(x 1) x 1 2x = yx y 2x yx = y (2 y)x = y x = y 2 y. Huomaa, että viimeisessä askeleessa tarvittiin oletusta y R {2}. JYM, Syksy 2014 154/197

Esimerkin 46 varsinainen ratkaisu: Määritellään g : R {2} R {1} asettamalla t t 2 t. Huomaa, että tässä käytetään lauseketta, joka saatiin edellä ratkaisemalla x yhtälöstä h(x) = y. Näin saadaan hyvin määritelty kuvaus, sillä jos t R {2}, niin osamäärä t/(2 t) on määritelty; on yksikäsitteinen; kuuluu maaliin R {1}: jos olisi t/(2 t) = 1, niin t = 2 t eli 0 = 2, ristiriita! JYM, Syksy 2014 155/197

Osoitetaan, että g on kuvauksen h käänteiskuvaus. Oletetaan, että x R {2}. Tällöin ( x (h g)(x) = h(g(x)) = h 2 x = 2x 2 x x 2 x 2 x 2 x = ( ) ) = 2 x 2x 2 x x (2 x) 2 x 2 x x 2 x 1 = 2x 2 x 2 x x 2 + x = 2x 2 = x = id(x). Näin ollen kuvaukset h g : R {2} R {2} ja id: R {2} R {2} ovat sama kuvaus. JYM, Syksy 2014 156/197

Oletetaan, että x R {1}. Tällöin ( 2x ) (g h)(x) = g(h(x)) = g = 2x x 1 x 1 2 2x x 1 = 2(x 1) x 1 2x x 1 2x x 1 = 2x x 1 2x 2 2x x 1 = 2x x 1 x 1 2 = x = id(x). Näin ollen kuvaukset g h : R {1} R {1} ja id: R {1} R {1} ovat sama kuvaus. JYM, Syksy 2014 157/197

Näin on osoitettu, että h g = id R {2} ja g h = id R {1}. Siis kuvaus g on kuvauksen h käänteiskuvaus eli g = h 1. JYM, Syksy 2014 158/197

Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Jos kuvaus f on sekä injektio että surjektio, niin sanotaan, että kuvaus f on bijektio. Esimerkki 47 Esimerkeissä 38 ja 40 tarkasteltu kuvaus h : R R, jolle h(x) = 1 2x + 1, on bijektio. JYM, Syksy 2014 159/197

Bijektio ja käänteiskuvaus Lause 48 Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Kuvauksella f on käänteiskuvaus, jos ja vain jos kuvaus f on bijektio. Todistus. : Oletetaan, että on olemassa f 1 : Y X. Osoitetaan, että f on bijektio. Osoitetaan, että f on injektio. Oletetaan, että x 1, x 2 X ja f (x 1 ) = f (x 2 ). Soveltamalla kuvausta f 1 alkioon f (x 1 ) = f (x 2 ) Y saadaan f 1 (f (x 1 )) = f 1 (f (x 2 )). JYM, Syksy 2014 160/197