Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016
1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan. Määritä suoran L yhtälö. 4. Missä pisteiden (1,-) ja (3,4) kautta kulkeva suora leikkaa suoran x + 5y = 6? 5. Mitkä suoran 3x + 4y = 5 suuntaisista suorista ovat pisteestä (,1) etäisyydellä 3? 6. Määritä k siten, että suorien y = kx + 1 ja x + 3y + 4 = 0 välinen kulma on 45. 1. Kun (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1), niin sen koordinaatit toteuttavat yhtälön -6 ± 36 + 64-6 ± 10 a(3 + a) = (3-1) ; a + 6a - 16 = 0 ; a = = ; a = tai a = -8. 6x + 7y - 19 = 0 ; 7y = - 6x + 19 ; y = -6/7 x + 19/7, jonka k = - 6/7, täten kn = 7/6 y - 1 = 7/6 (x - 5) 6 ; 6y - 6 = 7x - 35 ; -7x + 6y = -9 (-1) ; 7x - 6y = 9 4. Kulmakerroin: k = 4 + 3-1 = 3. Yhtälö: y + = 3(x - 1) ; y + = 3x - 3 ; y = 3x - 5 LP : y = 3x - 5 ; x + 5(3x - 5) = 6 ; x + 15x - 5 = 6 ; 17x = 51 ; x = 3 x + 5y = 6 y = 3 3-5 = 4 V: LP = (3,4) 5. Suoran 3x + 4y = 5 suuntaisten suorien parvi on 3x + 4y + c = 0 Määritetään c tiedosta "pisteen (,1) etäisyys suoralle = 3" 3 + 4 + c = 3 5 ; c + 10 = 15 ; c + 10 = ± 15 ; c = 5 tai c = -5 V: 3x + 4y + 5 = 0 tai 3x + 4y = 5 3 + 4 6. L1 : y = kx + 1 ; k1 = k ; L : x + 3y + 4 = 0 ; 3y = - x - 4 ; y = -/3 x - 4/3 ; k = -/3 tan 45 = k + /3 1 - k/3 ; 1 - k/3 = k + /3 ; 1 - k/3 = k + /3 3 tai 1 - k/3 = -k - /3 3 3 - k = 3k + tai 3 - k = - 3k - ; 5k = 1 tai k = - 5 ; k = 1 5 tai k = - 5. Mikä on ympyrän x + y - 6x + 8y + 1 = 0 keskipiste ja säde? Onko piste P(4,-3) ympyrän sisä- vai ulkopuolella? Mikä on pisteen P etäisyys ympyrän lähimpään pisteeseen? 00..6. Määritä ympyrän (x - ) + (y - 3) = 10 ne tangentit, jotka ovat suoran y = 3x suuntaiset.. x + y - 6x + 8y + 1 = 0 ; x - 6x + 9 + y + 8y + 16 = 9 + 16-1 ; (x - 3) + (y + 4) = 4 K = (3,-4) r =. PK = (4-3) +(-4 + 3) = 1 + 1 = < r, joten piste on sisäpuolella. Etäisyys lähimpään pisteeseen on säde - etäisyys keskipisteestä = - 6. Suoran y = 3x suuntaisten suorien parvi on y = 3x + c 3x - y + c = 0 Ympyrä (x - ) + (y - 3) = 10 ; K = (,3) ja r = 10 Parametri c ratkaistaan yhtälöstä : K:n etäisyys suoralle on = säde 3-3 + c = 10 10 ; c + 3 = 10 ; c + 3 = ± 10 ; c = 7 tai c = -13 9 + 1 V: y = 3x + 7 tai y = 3x - 13 1. Mikä on suoran 5x + y = 7 kulmakerroin ja kuinka suuren kulman se muodostaa x-akselin kanssa?. Suora L kulkee pisteen (-5,1) kautta ja on suoran 3x + 4y = 1 suuntainen. Määritä L:n yhtälö. 3. Millä a:n arvoilla yhtälö x + y - 6x + y + a = 0 esittää ympyrää? 4. Ympyrän keskipiste on (4,1) ja säde 5. Osoita, että piste (7,-3) on ympyrän kehällä. Määritä tähän pisteeseen piirretyn tangentin yhtälö.
5. Laske suorien 4x + 7y = 8 ja y = 8x + 9 välisten kulmien puolittajien yhtälöt. 1. 5x + y = 7 y = -5x + 7 y = -½x + 3½ ; k = - ½ ; tan = - ½ ; = -68,. L 3x + 4y = 1 ; L on 3x + 4y = c. P = (-5,1) L ; 3 (-5) + 4 1 = c ; -11 = c ; L : 3x + 4y = -11 3. x + y - 6x + y + a = 0 x - 6x + 9 + y + y + 1 = 9 + 1 - a (x - 3) + (y + 1) = 10 - a, jonka kuvaaja on ympyrä, kun 10 - a > 0 a < 10 4. K = (4,1) ja P = (7, -3) ; KP = (4-7) + (1 + 3) = 9 + 16 = 5 = r P on kehällä kr = 1 + 3 4-7 = - 4 3 kt = ¾ Tangentin yhtälö on y + 3 = ¾(x - 7) 4 ; 4y + 1 = 3x - 1 ; 3x - 4y = 33 5. Olkoon piste P(x,y) suorien 4x + 7y = 8 ja y = 8x + 9 välisen kulman puolittajalla. 4x + 7y - 8 8x - y + 9 P:stä on yhtä pitkä matka kummallekin suoralle. = 65 16 + 49 64 + 1 4x + 7y - 8 = 8x - y + 9 ; 4x + 7y - 8 = 8x - y + 9 tai 4x + 7y - 8 = - 8x + y - 9 4x - 8y + 17 = 0 tai 1x + 6y + 1 = 0 1. Määritä paraabelin y = - x + x + ja suoran x - y - = 0 yhteiset pisteet. 3. Ympyrän halkaisijan päätepisteet ovat (-3, 4) ja (5, -). Määritä ympyrän yhtälö. 4. Laske suorien x - 6y - 1 = 0 ja - x + 3y + 3 = 0 etäisyys. 5. Määritä ympyrän x + y - 4y - 1 = 0 pisteeseen (-, 1) piirretyn tangentin yhtälö. 6. Ratkaise yhtälöryhmä x - 3y - = 0 x + y - z = 0. y + z + 7 = 0 7. Määritä vakiot a ja b siten, että suora ax + y + b = 0 kulkee pisteen (-1, ) kautta ja on suoran 3x + y - = 0 suuntainen. 10. Määritä sellaisen käyrän yhtälö, jonka jokaisen pisteen etäisyys pisteestä (0, ) on kaksinkertainen verrattuna pisteen etäisyyteen origosta. Mikä käyrä on kyseessä? 1. y = - x + x + x - y - = 0 ; x - (- x + x + ) - = 0 ; x = 4 ; x = ; y = ja x = - ; y = -6 V: (,) ja (-,-6) 3. K: x = ½(-3 + 5) = 1 ; y = ½(4 - ) = 1 K = (1,1) Halkaisija = (-3-5) +(4 + ) = 64 + 36 = 10 r = 5 Yhtälö : (x - 1) + (y - 1) = 5 4. Suorat ovat yhdensuuntaiset, sillä : (-1) = -6 : 3, joten suorien etäisyys on sama joka kohdassa. Valitaan jälkimmäiseltä suoralta piste x = 0 ; y = -1 0-6 (-1) - 1 5 d = = + 6 40 = 5 10 = 5 10 10 = 10 4 5. x + y - 4y - 1 = 0 ; x + y - 4y + 4 = 1 + 4 ; (x - 0) + (y - ) = 5 K = (0,) kr = 1 - - - 0 = ½ kt = - Tangentin yhtälö : y - 1 = -(x + ) ; y - 1 = -x - 4 ; y = -x - 3 6. x - 3y - = 0 x + y - z = 0 x - 3y = ; x + y - z = 0 ; x - 3y = 4x + 3y = -7 ; 5x = -5 ; x = -1 y + z + 7 = 0 y + z = - 7 1-1 - 3y = ; -3y = 3 ; y = -1 ; -1 + z + 7 = 0 ; z = -6 ; z = -3 Tasot leikkaavat pisteessä (-1,-1,-3) 7. ax + y + b = 0 y = -½ax - ½b ; 3x + y - = 0 ; y = -3x + Suorat yhdensuuntaisia -½a = -3 ; a = 6 Piste (-1,) suoralla 6 (-1) + + b = 0 ; b = V: a = 6, b = 10. Olkoon P(x,y) mielivaltainen kysytyn käyrän piste, A = (0,) ja O = (0,0). PA = PO ; (x - 0) + (y - ) = x + y ( ) ; x + (y - ) = 4(x + y )
4x + 4y - x - y + 4y - 4 = 0 ; 3x + 3y + 4y - 4 = 0 : 3 ; x + y + 4/3 y - 4/3 = 0 x + y + 4/3 y + 4/9 = 4/3 + 4/9 ; (x - 0) + (y + /3) = 16/9, joka on ympyrä, jonka keskipiste on (0,/3) ja säde = 4/3 1. Määritä suoralle x - 4y - 7 = 0 pisteestä (-, 3) piirretyn normaalin yhtälö. 3. Laske kulma, jonka suorat y + x - 5 = 0 ja 3x - 4y = -7 muodostavat. 4. Laske pisteen (-1, ) etäisyys pisteiden (5, ) ja (-, 9) kautta kulkevasta suorasta. 7. Millä vakion a arvoilla yhtälön x - x + y + 4y + a = 0 kuvaaja on ympyrä? Millä a:n arvolla piste (1, 3) on ympyrän kehällä? Mikä on tällöin ympyrän säde? 1. Suora: x - 4y - 7 = 0. Normaalien parvi: 4x + y + C = 0 ; Piste (-,3) on normaalilla 4 (-) + 3 + C = 0 ; C =. 4x + y + = 0 x + y + 1 = 0. Paraabelin yhtälö on muotoa y = ax. Piste (6,1) on paraabelilla. 1 = a 6 ; a = 1/3 V: y = x /3 3. y + x - 5 = 0 y = -x + 5 ; k1 = -. 3x - 4y = -7 y = ¾x + 1¾ ; k = ¾ k1 - k tan = 1 + = - - 3/4 k1k 1 + (-) 3/4 = -11 - = 5½ ; = 79,7 4. k = 9 - - - 5 = -1. Suoran yhtälö: y - = -1(x - 5) ; y - = -x + 5 ; x + y - 7 = 0 d = -1 + - 7 1 + 1 = 6 = 6 = 3 5. LP: y = -x + x + 1 - ± 4 + 3 y = 4x - 7 ; 4x - 7 = -x + x + 1 ; x + x - 8 = 0 ; x = = - ± 6 x = tai x = -4 V: (,1) ja (-4,-3) 7. x - x + y + 4y + a = 0 x - x + 1 + y + 4y + 4 = 1 + 4 - a(x - 1) + (y + ) = 5 - a Ympyrä, kun 5 - a > 0 a < 5. (1,3) on kehällä, kun (1-1) + (3 + ) = 5 - a ; a = -0 r = 5 - a = 5 + 0 = 5 ; r = 5 1. Määritä suorien y = 4x + 1 ja x - y = leikkauspiste ja laske suorien välinen kulma.. Laske ympyrän x + y - 6x - 4y + 8 = 0 ala. 4. Laske pisteen (-1, 0). etäisyys suorasta x + y - 4 = 0. Onko tämä suora ympyrän (x + 1) + y = 6 tangentti? 5 7. Millä vakion a arvoilla yhtälö x + y + ax - 4ay + 4a = 0 esittää ympyrää? Määritä parametri a siten, että ympyrän keskipiste on suoralla x + y + 1 = 0. y = 4x + 1 1. LP: x - y = x-(4x + 1) = ; x - 4x - 1 = ; -3x = 3 ; x = -1 ; y = 4 (-1) + 1 = -3 V:(-1,-3) k - k1 tan = 1 + k1k = 4-1 1 + 4 1 = 3 5 ; = 31. x + y - 6x - 4y + 8 = 0 x - 6x + 9 + y - 4y + 4 = 9 + 4-8 (x - 3) + (y - ) = 5 r = 5, joten A = r = 5 = 5 4. Pisteen (-1, 0). etäisyys suorasta x + y - 4 = 0 on d = (-1) + 0-4 = 6 4 + 1 5 Piste (-1,0) on ympyrän (x + 1) + y = Täten suora on ympyrän tangentti. 6 5 keskipiste ja sen etäisyys suorasta = säde. 7. x + y + ax - 4ay + 4a = 0 x + ax + a + y - 4ay + 4a = a + 4a - 4a
(x + a) + (y - a) = a, Kuvaaja on ympyrä, kun a > 0 eli a 0 Keskipiste on (-a,a) on suoralla x + y + 1 = 0 kun -a + a + 1 = 0 ; a = -1 1. Suora, jonka kulmakerroin on ½, kulkee pisteen (1,1) kautta. Missä pisteessä suora leikkaa a) y -akselin, b) x -akselin?. Olkoon annettu suorat y = 1 - px ja y = x + 1. Määritä luku p siten, että suorat ovat a) yhdensuuntaiset, b) kohtisuorassa toisiaan vastaan. 3. Janan päätepisteet ovat (1,3) ja (5, -1). Mikä on janan keskinormaalin yhtälö? 4. Laske ympyrän x + y - 6x + 8y + 9 = 0 keskipiste ja säde. Miten kaukana keskipiste on suorasta 4x - 3y + 1 = 0? Miten pitkä on ympyrän ja suoran lyhin etäisyys? 7. Paraabeli, jonka akseli on y -akselin suuntainen, kulkee pisteiden (3, -9), (4, -3) sekä (5, -1) kautta. Määritä paraabelin yhtälö. 1. Suoran yhtälö: y - 1 = ½(x - 1) ; y - 1 = ½x - ½ ; y = ½x + ½. y-akselin leikkauspiste: (0, ½) x-akselin leikkauspiste: y = 0 ; ½x + ½ = 0 ; ½x = -½ ; x = -1 ; (-1, 0). k1 = -p ; k = ; a) L1 L ; k1 = k : -p = ; p = -1 ; L1 L : k1 k = -1 ; -p = -1 ; -4p = -1 ; p = ¼ 3. Keskipiste: x = ½(1 + 5) = 3 ; y = ½(3-1) = 1 ; kl = -1-3 5-1 = -1 ; kn = 1 Normaalin yhtälö: y - 1 = 1 (x - 3) ; y = x - 4. x - 6x + 9 + y + 8y + 16 = 16 ; (x - 3) + (y + 4) = 4 ; K = (3, -4) r = 4 4 3-3 (-4) + 1 etäisyys suoralle: d = = 5 16 + 9 5 = 5 ; Lyhin etäisyys = d - r = 5-4 = 1 7. Paraabelin yhtälö on muotoa y = ax + bx + c (3, -9) P 9a + 3b + c = -9 (4, -3) P ; 16a + 4b + c = -3 ; 7a + b = 6 (5, -1) P 9a + b = ; a = -4 ; a = -; -14 + b = 6 ; b = 0 5a + 5b + c = -1-18 + 60 + c = -9 ; c = -51. Paraabelin yhtälö on y = -x + 0x - 51 *************************************************************************************************************************** 7. Ratkaise epäyhtälö x + 1 + > 3x - 4 x + 1 + > 3x - 4 ; x + 1 > 3x - 6 ; x + 1 > 3x - 6 TAI x + 1 < - 3x + 6 -x > -7 TAI 4x < 5 ; x < 3½ TAI x < 1¼ V: x < 3½. Ratkaise epäyhtälö x < x - 1 x < x - 1 ; - x + 1 < x < x - 1 - x + 1 < x JA x < x - 1 ; - 3x < - 1 JA -x < -1 ; x > 1/3 JA x > 1 ; x > 1 6. Ratkaise epäyhtälö x + 1 < 3x - 6. x + 1 < 3x - -3x + < x + 1 < 3x - -3x + < x + 1 JA x + 1 < 3x - -5x < -1 JA -x < -3 x > 1/5 JA x > 3 x > 3 8. Ratkaise yhtälö x 1 = 3 x. 8. x - 1 = 3 - x ; x - 1 = 3 - x TAI x - 1 = -3 + x ; 3x = 4 TAI = x ; x = 4/3 TAI x =
8. Ratkaise epäyhtälö x - 7 < x + 1 8. x - 7 < x + 1 -x - 1 < x - 7 < x + 1 -x - 1 < x - 7 JA x - 7 < x + 1-3x < -6 JA x < 8 x > JA x < 8 < x < 8 7. Ratkaise epäyhtälö x - 1 > 3x + 6 7. x - 1 > 3x + 6 x - 1 > 3x + 6 TAI x - 1 < -3x - 6 -x > 7 TAI 5x < - 5 x < -7 TAI x < -1 x < -1 *************************************************************************************************************************** 3. Ratkaise yhtälöpari a) x - y = 6 3x + y = b) + 14y = 6 1x 3x + y = 1 x - y = 6 3. a) 3x + y = 1 ; - y = 1 4x 3x + y = ; 7x = 14 ; x = ; 4 - y = 6 ; y = - 1x + 14y = 6 1 1x + 14y = 6 b) 3x + y = 1 (-7) ; -1x - 14y = -7 ; 0 = -1 ; V : L = 3x + y + z = 6. x - 3y - z = 10 3. Ratkaise yhtälöryhmä x + y + z = 7 x + y + z = 7 1 3. 3x - y = 17 (- 1) 3x + y + z = 6 1; 4x - y = 16 ; 5x = 15 ; x = 3 ;1 - y = 16 ; y = - 4 ; 6-4 + z = 7 ; z = 5 x - 3y - z = 10 1 1 3x - y + z = 8 4. Ratkaise yhtälöryhmä x + 3y - z = 17 4x + y + z = 33 3x - y + z = 8 1 4. x + 3y - z = 17 1 5x + y = 5 7 8x + 7y = 67 (-1) 4x + y + z = 33 1 1-10 + z = 8 ; z = 6 V: x = 4, y = 5, z = 6 ;7x = 108 ; x = 4 ; 0 + y = 5 ; y = 5 x - 3y = a - 6 6. Millä a:n arvolla yhtälöryhmällä x + y = a + 7 on ratkaisu ja mikä se on? x - y = -4 x - 3y - a = -6 6. x + y - a = 7 (-1) - 8y = -19 (-) 3x x - y = -4 3 ; 13y = 6 ; y = ; x - = -4 ; x = -1 x - y = - 4 1 - - 6 - a = -6 ; a = - V: a = -, jolloin x = -1 ja y =