igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu (22).9.2 e = + = ( + ) = + = Espresso
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 2 (22).9.2 e Johdanto Tässä luvussa esitetään perusteet lausekemuodossa esitettyjen kytkentäfunktioiden sieventämiselle esitetään Karnaugh n karttamenetelmä, jolla lausekkeita sievennetään mahdollisimman pienellä porttipiirimäärällä toteutettaviksi käydään läpi kaksi esimerkkiä Karnaugh'n kartan käytöstä funktion mahdollisimman yksinkertaisen SOP-muotoisen lausekkeen etsimiseen etsitään samojen funktioiden mahdollisimman yksinkertaiset POSmuotoiset lausekkeet Karnaugh'n karttamenetelmällä esitetään epätäydellisesti määritellyt kytkentäfunktiot ja niiden sieventäminen Karnaugh'n karttamenetelmällä Luku on melko teoreettinen, mutta oppimiseen käytetään käytännön esimerkkejä Luvussa esitettäviä käsitteitä ja menettelyjä sovelletaan jatkossa, kun suunnitellaan käytännön digitaalipiirejä
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 3 (22).9.2 e Pyritään piirin koon, hinnan ja tehonkulutuksen minimointiin mahdollisimman pieni määrä portteja mahdollisimman yksinkertaisia portteja vähän tuloja yksinkertainen sisäinen rakenne Mitä yksinkertaisempi lauseke, sitä pienempi piiri Kytkentäfunktion lauseke sievennetään (simplify, optimize) mahdollisimman yksinkertaiseen SOP- tai POS-muotoon Kytkentäalgebran teoreemat (jos kaksi muuttujaa) esimerkki: = ( + ) = + = + = Karnaugh n karttamenetelmä (jos 3-6 muuttujaa) Tietokoneella erikseen tehtävä sievennys Quinen-Mcluskeyn menetelmä Espresso-menetelmä Suunnittelutyökaluihin sisältyvät sievennys- ja sovitusalgoritmit = +
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 4 (22).9.2 e Lausekkeen sieventäminen SOP-muotoon Jokainen SOP-lausekkeen tulotermi antaa funktiolle arvon yhdellä tai usealla (2 n ) muuttujien arvoyhdistelmällä sanotaan, että tulotermi peittää (cover) tietyn määrän funktion ykkösiä mitä vähemmän muuttujia tulotermissä on, sitä useampia ykkösiä se peittää Lausekkeen tulotermien tulee peittää funktion kaikki ykköset ja vain ne Mahdollisimman yksinkertaisessa SOP-lausekkeessa on mahdollisimman vähän tulotermejä ja ne ovat mahdollisimman yksinkertaisia Sievennyksen tehtävänä on löytää tällainen lauseke eli funktion SOP-minimipeitto Esimerkki: (,, ) = + Usea tulotermi saa peittää saman ykkösen
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 5 (22).9.2 e Lausekkeen sieventäminen POS-muotoon Jokainen POS-lausekkeen summatermi antaa funktiolle arvon yhdellä tai usealla (2 n ) muuttujien arvoyhdistelmällä sanotaan, että summatermi peittää tietyn määrän funktion nollia mitä vähemmän muuttujia summatermissä on, sitä useampia nollia se peittää Lausekkeen summatermien tulee peittää funktion kaikki nollat ja vain ne Mahdollisimman yksinkertaisessa POS-lausekkeessa on mahdollisimman vähän summatermejä ja ne ovat mahdollisimman yksinkertaisia Sievennyksen tehtävänä on löytää tällainen lauseke eli funktion POS-minimipeitto Esimerkki: (,, ) = ( + ) ( + ) Usea summatermi saa peittää saman nollan
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 6 (22).9.2 e Karnaugh'n karttamenetelmä Manuaalinen sievennysmenetelmä K-MP Soveltuu 3-6:lle muuttujalle Helppo 3-4:lle muuttujalle Perustuu kytkentäfunktion totuustaulun piirtämiseen muotoon, jossa voidaan visuaalisesti soveltaa kytkentäalgebran teoreemaa K (,, ) + K (,, ) = (K + K) (,, ) = (,, ) jopa useita kertoja yhtä aikaa ja löytää näin funktion SOP-minimipeitto Esimerkki: G = + + = ( + ) + = + unktion POS-minimipeitto löydetään vastaavasti soveltamalla visuaalisesti teoreemaa (K + (,, )) (K + (,, )) = (K K) + (,, ) = (,, ) Karnaugh n kartta on myös hyödyllinen kytkentäfunktioiden sievennyksen ja digitaalitekniikan käsitteiden ymmärtämisen apuväline
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 7 (22).9.2 e Karnaugh'n kartta Karnaugh'n kartan (Karnaugh map) kukin ruutu vastaa yhtä totuustaulun riviä Ruutujen lukumäärä vastaa rivien lukumäärää K-MP Muuttujia Ruutuja 3 8 4 6 5 2 x 6 6 4 x 6 Kuhunkin ruutuun merkitään sitä vastaavalla totuustaulun rivillä oleva funktion arvo Kartassa yhden muuttujan suhteen erilaisia rivejä vastaavat ruudut ovat vierekkäin Vierekkäisyys tulkitaan siten, että reunimmaiset ruudut ovat myös keskenään vierekkäisiä
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 8 (22).9.2 e Kolmen muuttujan Karnaugh n kartta Kolmen muuttujan kartta esitettynä kaikkine merkintöineen 3 Nimet (,,,) :n ykkösalue Vierekkäiset rivit 2 6 4 3 7 5 :n ykkösalue Totuustaulun rivin numero unktion arvot totuustaulusta (sivu 4) :n ykkösalue Piirretään yleensä yksinkertaistettuna: U-sääntö
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 9 (22).9.2 e Neljän muuttujan Karnaugh n kartta Kuvassa yksinkertainen esitystapa Huomaa vierekkäisyydet 4 Vierekkäiset rivit Silmukkasääntö Vierekkäiset rivit
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu (22).9.2 e Viiden muuttujan Karnaugh n kartta Kaksi erillistä karttaa, jotka ajatellaan asetetuiksi päällekkäin Vierekkäisyys kuten neljän muuttujan kartassa, lisäksi päällekkäiset ruudut ovat vierekkäisiä Lisä = = E Vierekkäiset ruudut E 5
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu (22).9.2 e Karnaugh n kartan käyttö, tulojen summa (SOP) Laaditaan toteutettavan funktion totuustaulu Piirretään muuttujien määrän mukainen Karnaugh n kartta SOP Siirretään totuustaulusta nollat ja ykköset karttaan Muodostetaan vierekkäisistä ykkösistä kaikki mahdollisimman suuret :n, 2:n, 4:n tai 8:n ykkösen ryhmät; tietty ykkönen saa kuulua useaan ryhmään Valitaan muodostettuja ryhmiä, kunnes kaikki ykköset ovat ainakin yhdessä ryhmässä: joskus on valittava kaikki ryhmät, joskus vain osa ryhmistä Kutakin ryhmää vastaa tulotermi, jossa ovat mukana ne muuttujat sellaisinaan, joiden ykkösalueella kaikki ryhmän ykköset ovat invertoituina, joiden -alueen ulkopuolella kaikki ryhmän ykköset ovat Muodostetaan valittuja ryhmiä vastaavien tulotermien looginen summa se on yksinkertaisin totuustaulua vastaava tulojen summa (SOP) -muotoinen lauseke eli SOP-minimipeitto
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 2 (22).9.2 e Esimerkkejä ryhmistä ja vastaavista tulotermeistä?
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 3 (22).9.2 e Perustermit ja olennaiset perustermit? 2 Tulotermiä, joka vastaa mahdollisimman suuren määrän ykkösiä sisältävää ryhmää, nimitetään perustermiksi (prime implicant) Perustermiä, jota vastaava ryhmä ainoana peittää ainakin yhden ykkösen, nimitetään olennaiseksi perustermiksi (essential prime implicant) Mikäli yksinkertaisin lauseke voidaan muodostaa pelkästään olennaisista perustermeistä, se on yksikäsitteinen Mikäli tarvitaan lisäksi muita perustermejä, on useita yhtä yksinkertaisia lausekkeita Olennaiset perustermit Ei perustermi! Muut perustermit = + + + tai = + + +
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 4 (22).9.2 e Esimerkki : SOP-muotoinen lauseke, 3 muuttujaa? 3 = + Molemmat tulotermit olennaisia perustermejä SOP Huom! Järjestyksen vaihto
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 5 (22).9.2 e Esimerkki 2: SOP-muotoinen lauseke, 4 muuttujaa Huom! Järjestyksen vaihto Vaihtoehtoinen perustermi Vain ja olennaisia perustermejä SOP = + + +
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 6 (22).9.2 e Karnaugh n kartan käyttö, summien tulo (POS) Laaditaan toteutettavan funktion totuustaulu Piirretään muuttujien määrän mukainen Karnaugh n kartta Siirretään totuustaulusta nollat ja ykköset karttaan Muodostetaan vierekkäisistä nollista kaikki mahdollisimman suuret :n, 2:n, 4:n tai 8:n nollan ryhmät; tietty nolla saa kuulua useaan ryhmään Valitaan muodostettuja ryhmiä, kunnes kaikki nollat ovat ainakin yhdessä ryhmässä: joskus on valittava kaikki ryhmät, joskus vain osa ryhmistä Kutakin ryhmää vastaa summatermi, jossa ovat mukana ne muuttujat sellaisinaan, joiden nolla-alueella kaikki ryhmän nollat ovat invertoituina, joiden nolla-alueen ulkopuolella kaikki ryhmän nollat ovat nolla-alue on muuttujan ykkösalueen ulkopuolinen alue Muodostetaan valittuja ryhmiä vastaavien summatermien looginen tulo; se on yksinkertaisin totuustaulua vastaava summien tulo (POS) -muotoinen lauseke eli POS-minimipeitto POS :n nolla-alue
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 7 (22).9.2 e Esimerkki : POS-muotoinen lauseke, 3 muuttujaa POS Huom! Järjestyksen vaihto = ( + ) ( + ) Molemmat summatermit olennaisia perustermejä
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 8 (22).9.2 e? 4 Esimerkki 2: POS-muotoinen lauseke, 4 muuttujaa Huom! Järjestyksen vaihto Kaikki summatermit olennaisia perustermejä = ( + + ) ( + + ) ( + + ) POS Esittele Karnaugh'n karttaohjelma
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 9 (22).9.2 e Epätäydellisesti määritellyt kytkentäfunktiot Toisinaan kytkentäfunktion arvolla tietyllä tai tietyillä muuttujien arvoyhdistelmillä ei ole merkitystä yhdistelmä ei koskaan voi esiintyä: esimerkiksi kolmiasentoinen kytkin arvolla ei muutoin ole merkitystä: esimerkiksi lyhytaikainen virhekoodi Vastaavaa funktion arvoa nimitetään hälläväliä-arvoksi (don't care) Tällöin arvo voidaan jättää määrittelemättä: sanotaan, että kytkentäfunktio on epätäydellisesti määritelty (incompletely specified) Totuustauluun kyseiseen kohtaan merkitään X Jos kytkentäfunktio määritellään minimi- tai maksimitermien avulla, määritellään erikseen hälläväliä-termit Esimerkki: (,, ) = m (, 2, 3, 6); d (,, ) = m (, 5) (,, ) = Π M (4, 7); d (,, ) = Π M (, 5) on't are! Hälläväliä-termit X X
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 2 (22).9.2 e Hälläväliä-arvot sieventämisessä Hälläväliä-arvot merkitään Karnaugh n karttaan X:llä rvot tulkitaan kukin erikseen :ksi tai :ksi sen mukaan, kumpi johtaa yksinkertaisempaan lausekkeeseen Lausekkeena määritelty kytkentäfunktio on aina täysin määritelty: funktiolla on aina joko arvo tai on t care!
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 2 (22).9.2 e Esimerkki hälläväliä-arvoista sieventämisessä? 5 SOP X X X X Huom! Järjestyksen vaihto X toteutuu :nä X X = + on t care! X toteutuu :na
igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 22 (22).9.2 e Yhteenveto Mahdollisimman yksinkertaisen lausekkeen löytämistä kytkentäfunktiolle nimitetään sen sen sieventämiseksi Sievennys voidaan tehdä tehdä esimerkiksi Karnaugh'n karttamenetelmällä Karnaugh'n kartta kartta on on ruudukon muotoon piirretty piirretty funktion totuustaulu Menetelmä on on helppo helppo kolmen ja ja neljän neljän muuttujan funktioille ja ja käyttökelpoinen myös myös viiden viiden ja ja kuuden kuuden muuttujan funktioille Menetelmässä Karnaugh'n kartan kartan ykkösistä (SOP) (SOP) tai tai nollista (POS) (POS) muodostetaan mahdollisimman suuria suuria ryhmiä ryhmiä Kutakin Kutakin ryhmää ryhmää vastaa vastaa tulotermi (SOP) (SOP) tai tai summatermi (POS) (POS) Näistä Näistä saadaan yksinkertaisin mahdollinen SOP- SOP- tai tai POS-lauseke Mikäli Mikäli kaikki kaikki lausekkeen termit termit ovat ovat olennaisia perustermejä, lauseke on on yksikäsitteinen, muutoin on on useita useita yhtä yhtä yksinkertaisia lausekkeita unktio unktio on on epätäydellisesti määritelty, jos jos osalla osalla sen sen saamista arvoista ei ei ole ole merkitystä Epätäydellisesti määritellyn funktion sievennys voidaan myös myös tehdä tehdä Karnaugh'n kartalla kartalla