Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 1 (15) A + 1 = 1 A + B C = (A + B) (A + C) F(A, B, C) = Σ m (2, 3, 5, 7) Maksimitermi A = A m0 A 0 = 0 M7 A + B = A B Minimitermi
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 2 (15) Johdanto Tässä luvussa esitetään kytkentäalgebra, jonka teoreemojen avulla kytkentäfunktioiden lausekkeita voidaan muokata esitetään käytännössä erityisen tärkeät De Morganin kaavat määritellään kytkentäfunktioiden standardimuodot SOP ja POS esitellään minimi- ja maksimitermit ja kytkentäfunktioiden kanoniset muodot esitetään, miten totuustaulusta voidaan johtaa saman kytkentäfunktion toteuttava kanonisessa muodossa oleva lauseke esitetään, miten kytkentäfunktion lausekkeesta voidaan johtaa saman funktion totuustaulu Luku on melko teoreettinen, mutta tärkeä; se muodostaa pohjan luvussa 5 käsiteltävälle lausekkeiden sieventämiselle Esitettäviä käsitteitä käytetään jatkossa, kun suunnitellaan käytännön digitaalipiirejä
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 3 (15) Kytkentäfunktioiden lausekkeita voidaan muuntaa toiseen muotoon ja yksinkertaistaa kytkentäalgebran (switching algebra) teoreemojen avulla sta käytetään myös nimitystä Boolen algebra Yhden muuttujan teoreemat: Samalla rivillä olevia teoreemoja nimitetään duaaliteoreemoiksi A + 0 = A A 1 = A A + 1 = 1 A 0 = 0 A + A = A A A = A A + A = 1 A A = 0 A = A Usean muuttujan teoreemat (pätevät myös n:lle muuttujalle): A + B = B + A A B = B A (vaihdantalaki) A + (B + C) = (A + B) + C A (B C) = (A B) C (liitäntälaki) A (B + C) = A B + A C A + B C = (A + B) (A + C) (osittelulaki) A B + A B = B (A + B) (A + B) = B A + A B = A A (A + B) = A A B + B = A + B (A + B) B = A B A B + A C + B C = A B + A C (A + B) (A + C) (B + C) = (A + B) (A + C)
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 4 (15) De Morganin kaavat Tärkeät usean muuttujan teoreemat Merkittävät erityisesti kytkentäfunktioita sievennettäessä A + B = A B A B = A + B kahdelle muuttujalle A + B + + N = A B... N A B N = A + B +... + N? 1 Käytännön nyrkkisääntö: viiva poikki merkit toisiksi n:lle muuttujalle +
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 5 (15) Kytkentäfunktioiden standardimuodot? 2 Kaikki kytkentäfunktiot voidaan esittää standardimuodoissa tulojen summamuoto eli SOP (Sum Of Products) lauseke muodostuu usean JA-funktion TAI-funktiosta summien tulomuoto eli POS (Product Of Sums) lauseke muodostuu usean TAI-funktion JA-funktiosta TAI-funktioita nimitetään summatermeiksi (sum term) G = C (A + B) (A + B + C) Summatermit SOP JA-funktioita nimitetään tulotermeiksi (product term) F = C + A B + A B C F saa saa arvon arvon 1, 1, kun kun yksikin yksikin tulotermi saa saa arvon arvon 1 Tulotermit POS G saa saa arvon arvon 0, 0, kun kun yksikin yksikin summatermi saa saa arvon arvon 0 Näistä tulojen summamuoto on käytännössä tärkeämpi ja yleisempi
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 6 (15) Minimi- ja maksimitermit SOP-lausekkeessa oleva tulotermi on minimitermi (minterm) ja POS-lausekkeessa oleva summatermi on maksimitermi (maxterm), jos termissä esiintyvät kaikki muuttujat muuttuja saa esiintyä sellaisenaan tai komplementtina? 3 F(A, B, C) = C + A B + A B C Minimitermi G(A, B, C) = C (A + B) (A + B + C) min MAX Maksimitermi Minimitermi saa arvon 1 vain yhdellä muuttujien arvoyhdistelmällä Maksimitermi saa arvon 1 kaikilla paitsi yhdellä muuttujien arvoyhdistelmällä; se saa siis arvon 0 vain yhdellä yhdistelmällä n:llä muuttujalla on 2 n erilaista minimitermiä ja 2 n erilaista maksimitermiä
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 7 (15) Kolmen muuttujan minimi- ja maksimitermit Minimitermi saa rivillä arvon 1 ja maksimitermi arvon 0 Muuttujat Minimitermit Maksimitermit A B C Lauseke Symboli Lauseke Symboli 0 0 0 A B C m0 A + B + C M0 0 0 1 A B C m1 A + B + C M1 0 1 0 A B C m2 A + B + C M2 0 1 1 A B C m3 A + B + C M3 1 0 0 A B C m4 A + B + C M4 1 0 1 A B C m5 A + B + C M5 1 1 0 A B C m6 A + B + C M6 1 1 1 A B C m7 A + B + C M7 mi Mi Jokainen kytkentäfunktio voidaan esittää minimitermiensä loogisena summana ja maksimitermiensä loogisena tulona
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 8 (15) Kytkentäfunktion kanoniset muodot Kytkentäfunktion esitystä minimitermiensä loogisena summana nimitetään funktion kanoniseksi tulojen summamuodoksi (canonical SOP) Kytkentäfunktiolla on vain yksi kanoninen SOP F(A, B, C) = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C Minkä hyvänsä tulotermin arvo 1 antaa funktiolle arvon 1 mi Kytkentäfunktion esitystä maksimitermiensä loogisena tulona nimitetään funktion kanoniseksi summien tulomuodoksi (canonical POS) Kytkentäfunktiolla on vain yksi kanoninen POS F(A, B, C) = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) Minkä hyvänsä summatermin arvo 0 antaa funktiolle arvon 0 Mi
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 9 (15) Kytkentäfunktion kanonisten muotojen esitystavat Kanonisia muotoja esitetään kolmella eri tavalla muuttujien avulla minimi- ja maksimitermien symbolien summina ja tuloina kahdella eri merkintätavalla Esimerkki SOP-muodosta: F = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C F(A, B, C) = m0 + m2 + m3 + m4 + m6 F(A, B, C) = Σ m (0, 2, 3, 4, 6) Esimerkki POS-muodosta: F = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) F(A, B, C) = M1 M5 M7 F(A, B, C) = Π M (1, 5, 7) Yhteensä kaikki numerot
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 10 (15) Funktion totuustaulua vastaava kanoninen SOP? 4 Tunnetaan kytkentäfunktion totuustaulu Halutaan funktion määrittelevä SOP-lauseke Muodostetaan niiden minimitermien looginen summa, joille arvon 1 antavan rivin kohdalla funktion arvo on 1 Tämä on kytkentäfunktion kanoninen SOP-lauseke A B C F F(A, B, C) = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 F(A, B, C) = m0 + m1 + m4 + m5 + m6 F(A, B, C) = Σ m (0, 1, 4, 5, 6)
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 11 (15) Funktion totuustaulua vastaava kanoninen POS? 5 Tunnetaan kytkentäfunktion totuustaulu Halutaan funktion määrittelevä POS-lauseke Muodostetaan niiden maksimitermien looginen tulo, joille arvon 0 antavan rivin kohdalla funktion arvo on 0 Tämä on kytkentäfunktion kanoninen POS-lauseke A B C F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 F(A, B, C) = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) F(A, B, C) = M2 M3 M7 F(A, B, C) = Π M (2, 3, 7)
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 12 (15) Funktion lauseketta vastaava totuustaulu Tunnetaan kytkentäfunktion määrittelevä lauseke (mikä hyvänsä muoto) Halutaan funktion totuustaulu Sijoitetaan muuttujien arvot lausekkeeseen jokaisen rivin kohdalla erikseen Lasketaan vastaavat funktion arvot F(A, B, C) = B (A + C) A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 F(0, 0, 0) = 0 (A + C) = 1 F(0, 0, 1) = 0 (A + C) = 1 F(0, 1, 0) = 1 (0 + 0) = 1 (1 + 0) = 0 F(0, 1, 1) = 1 (0 + 1) = 1 (1 + 1) = 0 F(1, 0, 0) = 0 (A + C) = 1 F(1, 0, 1) = 0 (A + C) = 1 F(1, 1, 0) = 1 (1 + 0) = 1 (0 + 0) = 1 F(1, 1, 1) = 1 (1 + 1) = 1 (0 + 1) = 0 Tarvitsee laskea vain siihen asti, että arvo varmistuu!
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 13 (15) Funktion SOP-lauseketta vastaava totuustaulu Tunnetaan kytkentäfunktion määrittelevä SOP-lauseke Halutaan funktion totuustaulu Merkitään funktion arvoksi 1 riveille, joilla jokin tulotermi saa arvon 1 Muille riveille merkitään arvoksi 0? 6 A B C F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 F(A, B, C) = B + A C + A B C
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 14 (15) Funktion POS-lauseketta vastaava totuustaulu Tunnetaan kytkentäfunktion määrittelevä POS-lauseke Halutaan funktion totuustaulu Merkitään funktion arvoksi 0 riveille, joilla jokin summatermi saa arvon 0 Muille riveille merkitään arvoksi 1? 7 A B C F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 F(A, B, C) = (A + B) (B + C) (A + B + C)
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 15 (15) Yhteenveto Kytkentäfunktioita voidaan muokata kytkentäalgebran teoreemoilla Käytännössä tärkeät tärkeät teoreemat ovat ovat De De Morganin kaavat kaavat Kytkentäfunktio voidaan esittää esittää kahdessa eri eri standardimuodossa: tulojen tulojen summamuodossa (SOP) (SOP) ja ja summien tulomuodossa (POS) (POS) Minimi- ja ja maksimitermeissä esiintyvät kaikki kaikki muuttujat Minimitermien avulla avulla esitetty esitetty SOP SOP on on kanoninen SOP SOP Maksimitermien avulla avulla esitetty esitetty POS POS on on kanoninen POS POS Totuustaulusta saadaan helposti kanoninen SOP SOP ja ja POS POS Lausekkeesta saadaan totuustaulu sijoittamalla lausekkeeseen jokainen arvokombinaatio vuorollaan SOP- SOP- ja ja POS-lausekkeista saadaan totuustaulu suoraan tulo- tulo- tai tai summatermi kerrallaan