Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics
Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin yksi nolla kohta välillä [a, b], ts. on olemassa α [a, b] siten, että f(α) = 0. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 2 / 27
Puolitusmenetelmä Algoritmi 3.1 1. Laske x mid = a+b 2. 2. Jos f(x mid )f(a) < 0, niin muutoin a = a b = x mid, a = x mid b = b. 3. Jos b a < ǫ, niin STOP; muutoin palaa kohtaan (1). Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 3 / 27
Konvergenssinopeus Puolitusmenetelmässä k:n iteraation jälkeen nollakohta on välillä, jonka pituus on b a 2 k. Approksimaatio k:n iteraation jälkeen on : Virhe: x (k) b a mid α 0 2 k+1 Puolitusmenetelmä on siten globaalisti konvergoiva Kuinka monta askelta tarvitaan tarkkuuteen x (k) mid α ǫ? Vastaus: k log 2 ( b a ǫ ) 1 = log(b a ǫ ) 1. log(2) Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 4 / 27
Kiintopisteiteraatio Määritelmä Luku α on funktion Φ(x) kiintopiste, jos α = Φ(α). Olkoon g(x) 0 kaikilla x [a, b]. Tällöin x [a, b] on funktion f( ) nollakohta täsmälleen silloin, kun se on funktion kiintopiste. Algoritmi 3.2 (Kiintopisteiteraatio) Φ(x) = x g(x)f(x) Määritellään lukujono (x n ) seuraavasti: 1. x (0) [a, b] 2. Kun x (k) on annettu, niin x (k+1) = Φ(x (k) ) 3. STOP, jos x (k+1) x (k) < ǫ. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 5 / 27
Kiintopisteiteraation geometria Esim. 1 Tutki kiintopisteiteraation suppenemista funktiolle φ(x) = 2.8x x 2. 2.5 2 0.1000 0.270 0.6831 1.4461 x = 1.9579 1.6488 1.8981 1.7119 1.8627 1.7459 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 6 / 27
Kiintopistelause Lause 3.2 Olkoon funktio Φ(x) jatkuva ja oletetaan, että Φ toteuttaa Lipschitz-ehdon: Φ(x) Φ(y) L x y, 0 < L < 1, suljetussa ja rajoitetussa joukossa [a, b]. Lisäksi oletetaan, että Φ([a, b]) [a, b]. Tällöin on olemassa yksikäsitteisesti määrätty kiintopiste x [a, b], ja kiintopisteiteraatiot suppenevat kohti kiintopistettä jokaisella alkuarvauksella x 0 [a, b]. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 7 / 27
Huomioita Reaalilukujono {x n n = 0,1,2,3,...} on Cauchy-jono, jos lim x m x k = 0. m,k Lause 3.3 Jokaisella reaalilukujen Cauchy-jonolla {x n n = 0,1,2,3,...} on raja-arvo, ts on x siten, että lim x n = x. n Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 8 / 27
Kiintopistelauseen todistus Olkoon {x n n = 0,1,2,3,...} : x n+1 = φ(x n ). (1) Oletuksen (2) nojalla x n+j+1 x n+j = φ(x n+j ) φ(x n+j 1 ) L x n+j x n+j 1 (2) Kolmioepäyhtälö m 1 x n+m x n = L 2 x n+j 1 x n+j 2 L n+j x 1 x 0 j=0 [x n+j+1 x n+j ] 1. askel ja geometrisen sarjan summa m 1 lim m,n j=0 m 1 j=0 m 1 x n+j+1 x n+j lim m,n j=0 x n+j+1 x n+j. L n+j x 1 x 0 m 1 = lim L n+j 1 x 1 x 0 = lim m,n m,n LnLm L 1 x 1 x 0 = 0. j=0 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 9 / 27
Tod. jatkuu (3) Siten kiintopisteiteraatiojono on Cauchy-jono, ja siksi jonolla on raja-arvo α. Jatkuvuuden ja kiintopisteiteraation nojalla α = lim n x n+1 = lim n φ(x n) = φ( lim n x n) = φ(α). (4) Olkoon α 1 ja α 2 kaksi kiintopistettä. Tällöin α 1 α 2 = φ(α 1 ) φ(α 2 ) L α 1 α 2. Induktiivisesti jatkamalla saadaan, että kaikille n α 1 α 2 L n x y 0, kun n. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 10 / 27
Virhe-arviot Lause 3.4 Olkoon (x n ) suppeneva kiintopisteiteraatiojono. Tällöin jonon alkioille on voimassa seuraavat virhe-arviot: A priori-arvio A posteriori-arvio Lipschitz-ehto on voimassa, jos x (k) x Lk 1 L x(1) x (0) x (k) x L 1 L x(k) x (k 1) Φ (x) L < 1, x [a, b]. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 11 / 27
Konvergenssiaste Määritellään aluksi kiintopisteiteraation konvergenssiaste: Määr. 3.2 Iteraatiojonon (x n ) konvergenssiaste on vähintäin p, jos missä lim sup k x n+1 x x n x p = K, 0 < K <, p > 1 K < 1, p = 1. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 12 / 27
Konvergenssiaste Lause 3.5 Kiintopisteiteraation konvergenssiaste on vähintäin k, jos kiintopisteessä on voimassa φ (j) (α) = 0, j = 1,...,k 1, φ (k) (α) 0. Merkitään e n = x n α x n+1 = α+e n+1 = φ(x n ) = φ(α+e n ). Taylorin kehitelmä α+e n+1 = φ(α)+φ (α)e n + + + 1 k! φ(k) (ζ)e k n. Virheen asymptoottinen kehitelmä e n+1 = 1 k! φ(k) (ζ)e k n. 1 (k 1)! φ(k 1) (α)en k 1 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 13 / 27
Newtonin menetelmä Oletukset f(x) on ainakin kaksi kertaa jatkuvasti differentioituva. Nollakohdan likiarvot x k, k = 0,1,...,n laskettu; Taylorin kehitelmä pisteen x n ympäristössä: f(x) = f(x n )+f (x n )(x x n )+ 1 2 f (ζ)(x x n ) 2 ; Jos x x n 2 << 1, niin funktion approksimaation nollakohta f(x n+1 ) = f(x n )+f (x n )(x n+1 x n ) = 0 on uusi "tarkempi"likiarvo. x n+1 = x n f(x n) f (x n ). Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 14 / 27
Newtonin menetelmä Algoritmi 3.3 1. Alkuarvaus x 0 [a, b]; 2. n = 0,1,2, : x n+1 = x n f(xn) f (x n) ; 3. x n x n+1 < ǫ Lopeta; Newtonin menetelmä on kiintopisteiteraatio, jonka iteraatiofunktio F(ξ) = ξ f(ξ) f (ξ). Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 15 / 27
Newton-Ostrowskin lause Lause 3.6 Olkoon f : [a, b] R kolme kertaa jatkuvasti differentioituva välillä, ja s [a,b] funktion nollakohta siten, että f (s) 0. Silloin on olemassa väli I δ = [s δ,s +δ], δ > 0, jossa Newtonin menetelmän iteraatiofunktio F : I δ I δ on kontraktio, ja siten Newtonin menetelmä suppenee jokaisella alkuarvauksella x 0 I δ. Lisäksi konvergenssiaste on ainakin kaksi. Todistus sivuutetaan tällä kurssilla. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 16 / 27
Biasointipiirin toimintapiste Kuvion 1 biasointipiiri koostuu vastuksesta R, jännitelähteestä E ja tunnelidiodista D. Tunnelidiodin läpi kulkee virta j ja jännite-ero komponentin yli on v. Tunnelidiodin jännite-virta-ominaiskäyrä on g(v) = a(e bv 1) µv(v γ). Sovelluksissa tavallisesti parametrit R ja E valitaan siten, että jännite v on ominaiskäyrän vähenevällä osalla so. g (v) < 0. Tehtävänä on määrittää biasointipiirin toimintapiste v, kun E ja R on annettu. Kirchhoffin jännitelain nojalla päädytään yhtälöön g(v) E v R = 0. Määrää toimintapiste v, kun a = 10 12 [A], b = 40[V 1 ], µ = 10 3 [AV 2 ], γ = 0.4[V], E = 0.4[V], R = 1/3 10 4 [Ω]. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 17 / 27
Ominaiskäyrän kuvaaja 5 x 10 4 4 3 2 1 0 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 18 / 27
Aitkenin δ 2 -prosessi Funktion φ(x) kiintopisteiteraatiot {x n n N}ja α kiintopiste. Tällöin x n+2 α lim n x n+1 α = lim φ(x n+1 ) φ(α) = φ (α). n x n+1 α Riittävän suurilla n:n arvoilla Likiarvon korjaus: x n+2 α x n+1 α φ (α) x n+1 α x n α x n+2 x x n+1 x = x n+1 x x n x x = x n (x n+1 x n ) 2 x n+2 2x n+1 + x n. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 19 / 27
Aitkenin δ 2 -prosessi Algoritmi 3.4 1. x 0 alkuarvaus; 2. Lasketaan kiintopisteiteraatiolla lukujono (x n ) n 0 ; 3. Korjataan Aitkenin δ 2 -prosessilla uudet likiarvot Lause 3.7 z n = x n (x n+1 x n ) 2 x n+2 2x n+1 + x n. Oletetaan, että jono (x n ) n 0 suppenee lineaarisesti, ts. virheelle e n = x n x on voimassa: e n+1 qe n, q < 1. Tällöin Aitkenin δ 2 -prosessilla konstruoidulle jonolle on voimassa z n x lim n x n x = 0. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 20 / 27
Kiintopisteiteraatio Vektoriarvoisen kuvauksen kiintopiste x 1 Φ 1 (x 1,x 2,,x n ) x 2 x =. = Φ 2 (x 1,x 2,,x n ). = Φ(x) x n Φ n (x 1,x 2,...,x n ) Algoritmi 3.5 1. Alkuarvaus x (0) R n ; 2. Kaikille k 0 : x (k+1) = Φ(x (k) ) R n ; 3. If x (k+1) x (k) < ǫ, then STOP. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 21 / 27
Suppenemisehto Lause 3.8 Oletetaan, että seuraavat ehdot ovat voimassa 1. Suljettu ja rajoitettu joukko A R n s.e. 2. Lipschitz-ehto: kaikilla x, y A Φ(A) A; Φ(x) Φ(y) L x y < x y Tällöin joukossa A on olemassa yksikäsitteisesti määrätty kiintopiste x A, ja kiintopisteiteraatiot suppenevat. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 22 / 27
Huomioita Lipschitz-ehto on tosi, jos Φ:n funktionaalimatriisille l. derivaatalle Φ 1 (x) Φ Φ 2 (x) (x) =. Φ n (x) on voimassa Φ (x) L < 1, x A, jonkin matriisinormin suhteen (kts. liite A). Tämä on yhtäpitävä sen ehdon kanssa, että funktionaalimatriisin spektraalisäde ρ(φ (x)) < 1. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 23 / 27
Yhtälöryhmä Yhtälöryhmä: F 1 (x 1,...,x n ) 0 F(x) =. =. F n (x 1,...,x n ) 0 Funktion F(x) derivaatta: F 1 (x) F. (x) = F i (x) =. F n (x) F 1 F 1 x 1 F 2 F 2 x 1. F n x 1 F 1 x n F 2 x n x 2... x 2........ F n x 2... F n x n Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 24 / 27
Oletukset ja algoritmi Yhtälöryhmän ratkaisulle ζ R n : det(f (ζ)) 0. Algoritmi 3.6 1. Alkuarvaus x (0) R n ; 2. Ratkaise δx R n : F (x (k) )δx = F(x (k) ); 3. Uusi approksimaatio x (k+1) = x (k) +δx; 4. Lopetuskriteerio: δx < ǫ ja F(x (k+1) ) < ρ. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 25 / 27
Ostrowski n lause Lause 3.9 Olkoon funktion F(x) koordinaattifunktiot kolmesti jatkuvasti differentioituvia suorakaiteessa A = {x R n a i x i b i }, joka sisältää F:n nollakohdan, ja funktionaalimatriisi F (x) on säännöllinen matriisi nollakohdassa. Silloin Newtonin menetelmä suppenee kvadraattisesti kohti nollakohtaa, jos alkuarvaus on riittävän hyvä: x (k+1) ζ lim k x (k) ζ 2 = α <. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 26 / 27
Yksinkertaistettu Newtonin menetelmä Newtonin menetelmässä ratkaistaan lineaarinen yhtälöryhmä jokaisella iteraatiokierroksella. Jos jono (x (k) ; k = 0,1,2,...) suppenee ja funktio F(x) on riittävän sileä, niin lim k F (x (k) ) = F (x) Riittävän suurilla k:n arvoilla F (x (m) ) F (x (k) ), m = k + 1,k + 2,... Näin ollen seuraavan algoritmin käyttö on perusteltua Algoritmi 3.7 1. Alkuarvaus x (0) R n ; 2. Ratkaise δx R n : F (x (0) )δx = F(x (k) ); 3. Uusi approksimaatio x (k+1) = x (k) +δx; 4. Lopetuskriteerio: δx < ǫ ja F(x (k+1) ) < ρ. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 27 / 27