Joukko-opin aksioomat

Joukko-opin aksioomat (JAx1): a x y[[x y x a] y a], missä a, x, y ovat muuttujia. (JAx2): a bm({a,b}), missä a ja b ovat muuttujia. (JAx3): am( a ), missä a on muuttuja. (JAx4): a y 1... y n y x[x y [ϕ w (x) x a]], missä a,x,y ovat eri muuttujia ja y 1,...,y n ovat kaavan ϕ muuttujista w ja u eroavat vapaat muuttujat. Oletetaan lisäksi, että a,x,y y 1,...,y n. (JAx5): am(p(a)), missä a on muuttuja. (JAx6): a[a x[x a x a ]], missä x a. (JAx6 V ): A x[x A x A ], missä A on luokka ja muuttuja x ei esiinny luokassa A. (JAx7): a y 1... y n [ x y z[[ϕ w,u (x,y) ϕ w,u (x,z)] y z] b y[y b x[x a ϕ w,u (x,y)]]], missä a,b,x,y,z ovat eri muuttujia ja y 1,...,y n ovat kaavan ϕ muuttujista w ja u eroavat vapaat muuttujat. Oletetaan lisäksi, että a,b,x,y,z y 1,...,y n. (JAx8): M(ω). (AC): a f x[[x a x ] f[x] x], missä a,f,x ovat eri muuttujia. i

Hakemisto (AC), 359 (AH), 465 (CH), 464 (CLT), 444 (GCH), 464 (JAx1), 14 (JAx2), 33 (JAx3), 44 (JAx4), 49 (JAx5), 55 (JAx6), 58 (JAx6 V ), 62 (JAx7), 74 (JAx8), 148 (WOP), 444 (ZL), 446 A B, 44 A B, 41 A \ B, 50 A B, 46 A B, 46 A B, 65 A 2, 68 A 1, 68 Ako(G), 367 Cl B (R,A), 306 E, 91 F G, 72 Fin(a), 366 Fnc(G), 69 Fnc 1 1 (G), 73 G(A), 72 G : A B, 83 G : A 1 1 B, 83 G : A 1 1 B, 83 onto G : A B, 83 onto G[b], 80 G A, 71 G Fn 1 1 A, 83 G Fn A, 83 Inf(a), 366 Isom, 106 K I, 141 K II, 141 Le, 380 Lex, 381 On, 125 Ord(A), 115 Pr(A), 29 R-edeltäjä, 88 R-funktio, 316 R-minimaalinen, 90 Reg(α), 436 Rel(A), 68 Ru, 30 R HMin A, 93 R JMin A, 94 R Min A, 90 R Or A, 88 Sing(α), 436 St(A), 315 Tr(A), 114 Tr Cl(a), 305 Un(A), 69 Un 1 1 (G), 73 V, 60 ℵ, 414 ℵ α, 414 α β, 223 α β, 226 α β, 194 α 1, 138 α β, 129 α β, 129 α β, 258, 13, 24 A, 151 A, 42 β α F[β], 168, 51 1 xϕ w (x), 80, 5 a,b, 35 a 1,a 2,...,a n, 40 D(A), 70 ii

K, 361 K T, 407 M(A), 29 P(A), 55 W(A), 70 max(a,a), 445 max A, 135 max{α,β}, 131 min A, 152 ω, 143 a, 361 supa, 133 0, 137 1, 137 n, 137 ϕ x (a), 7 ϕ w,u (x,y), 74, 6 L, 6 {a,b}, 33 {a}, 33 {a 1,a 2,...,a n }, 39 {x ϕ z (x)} {x ψ y (x)}, 23 {x ϕ z (x)} a, 23 arb, 87 a {x ϕ z (x)}, 22 a b, 340 a b, 391 cf(α), 433 ch(b), 445 ch(b,a), 445 cof(α, β), 418 rank, 326 aidosti kasvava ordinaalifunktio, 367 aito luokka, 29 alef-hypoteesi, 465 alkio, 3 alkusegmentti, 93 arvoluokka, 70 bijektio, 83 Cantor-Schröder-Bernstein, 341, 369 Cantorin trikotomia, 444 finiittinen induktio, 145 finiittinen ordinaali, 144 finiittinen rekursio, 173 funktio, 69 hyvin järjestyvyys, 444 identtinen funktio, 107 indusoitu relaatio, 112 injektio, 73 isomorfismi, 106 järjestämätön n-vektori, 39 järjestämätön pari, 33 järjestetty n-vektori, 40 järjestetty pari, 35 järjestysrelaatio, 88 joukko, 29 äärellinen, 366 ääretön, 366 joukon mahtavuus, 361 käänteisluokka, 68 kardinaaliluku, 361 säännöllinen, 436 singulaarinen, 436 transfiniittinen, 407 karteesinen tulo, 65 ketju, 445 kofinaalinen, 418 kontinuumihypoteesi, 464 yleistetty, 464 kuva, 72 leikkaus, 151 luokka, 24 määrittelyluokka, 70 maksimaalinen alkio luokassa, 445 maksimi, 131, 135 minimaalirelaatio, 90 hyvin määritelty, 93 järjestävä, 94 minimi, 152 ordinaaliluku, 125 ordinaaliluokka, 115 osaluokka, 46 iii

aito, 46 potenssijoukko, 55 rajaordinaali, 141 rajoittuma, 71 rankifunktio, 326 relaatio, 68 relaatiosysteemi, 106 Russellin luokka, 30 Russellin paradoksi, 21 sanakirjajärjestys, 380 parannettu, 381 seuraajaordinaali, 141 singulaarinen, 433 sopiva totuusarvofunktio, 7 suljettu relaation suhteen, 306 sulkeminen, 7 supertransitiivinen, 315 supremum, 133 surjektio, 83 teoreema, 6 termi, 24 transfiniittinen induktio, 128, 157 transfiniittinen rekursio, 160, 169 transitiivinen, 114 transitiivinen sulkeuma, 305 tyhjä joukko, 51 valinta-aksiooma, 359 yhdiste, 42 yhtä mahtava, 340 yhtenevyys, 13 yksiö, 33 yksiarvoinen, 69 Zornin lemma, 446 iv

Sisältö 1 Johdanto 2 2 Joukko-opin kieli 5 3 Aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus 10 4 Yhtenevyys 13 5 Luokat 20 6 Luokkien perusominaisuuksia 33 7 Relaatio ja funktio 65 8 Ordinaaliluvut 112 9 Funktiot ordinaalilukujen luokassa 152 10 Ordinaaliaritmetiikkaa 193 10.1 Yhteenlasku.............................. 193 10.2 Kertolasku.............................. 226 10.3 Potenssiinkorotus........................... 258 11 Transitiivinen sulkeuma ja rankifunktio 300 12 Kardinaaliluvut 340 13 Kardinaalilukuluokan ominaisuuksia 406 14 Aksioomia, hypoteeseja ja sen sellaisia 444 1

1 Johdanto Tässä luentomonisteessa esitetään nykyisen joukko-opin aksiomaattinen perusta. Asioiden ymmärtämiseksi on välttämätöntä hallita predikaattilogiikka, erityisesti mallien ja niihin liittyvien tulkinta- eli totuusarvofunktioiden käyttäytyminen. Asioita voi kerrata luentomonisteesta Kurittu: Propositio- ja predikaattilogiikka, joka löytyy myös osoitteesta http://www.maths.jyu.fi/ lkurittu/ johdlogiikkaan.pdf. Johdantovaiheessa viitataan myös asioihin, joita ei tuosta monisteesta löydy esimerkiksi RA-kieleen ja Gödelin epätäydellisyyslauseisiin, näihin tarinoihin voi puolestaan tutustua osoitteessa http://www.maths.jyu.fi/ lkurittu/matlog.pdf. Yleisesti ottaen kuitenkin tälle kurssille riittävät mainiosti tuon predikaattilogiikkakurssin tiedot. Nykyaikaisen joukko-opin voi katsoa alkaneen Georg Cantorin (1845-1918) 1800- luvun lopulla julkaisemista tuloksista. Cantorin havainnot aiheuttivat melkoisen mullistuksen matematiikan kentässä, eikä niitä aluksi yksimielisesti hyväksytty. Cantor teki hypyn äärellisestä äärettömään, eikä tätä ainakaan heti voitu tunnustaa matematiikan perustaksi. Vastustajista mainittakoon erityisesti Kronecker, joka oli sitä mieltä, että matematiikka on ja sen täytyy olla luonteeltaan finitististä. Cantorin työ poiki kuitenkin useita matematiikan perusteissa havaittavia paradokseja, joista erityisesti ns. Russellin paradoksia käsitellään tuonnempana. Russellin paradoksi sai aikaan muun muassa sen, että Dedekind pysäytti teoksensa Was sind und was sollen die Zahlen julkaisun. Erityisesti Frege, jolle osoittamassaan kirjeessä Russell paradoksinsa esitti, koki, että hänen elämäntyöltään on pudonnut pohja pois. Nämä paradoksit olivat toisaalta myös erittäin hedelmällisiä: ruvettiin pohtimaan joukko-opin perusteiden kunnollista selvittämistä, jotta asia saataisiin out of the realm of psychology eli vapaasti suomentaen pois psykologisen ajattelun valtapiiristä. Ensimmäiset tämän suuntaiset joukko-opin perusteiden selvittäjät olivat Zermelo ja Russell. Joukko-opin aksiomatisoinnissa on (ainakin) kolme eri päälinjaa. Jos hetkeksi palataan tuonne psykologian valtakuntaan ja ajatellaan joukkoja tietyn ominaisuuden omaavien alkioiden kokoelmina, niin on olemassa kahdenlaisia perusobjekteja: joukkoja ja alkioita. Tässä tulee heti vastaan ongelma, sillä joukkokin voi olla alkio. Esimerkiksi yksiö A = { } on joukko, jossa on yksi ainoa alkio eli, mutta toisaalta A:kin on alkiona joukossa {A}. Russell ja Whitehead ratkaisivat tämän pulman laajassa kolmiosaisessa teoksessaan Principia Mathematica (1910) luomalla eräänlaisen objektien hierarkiasysteemin. Äskeisessä esimerkissä A on yhtä pykälää korkeammalla hierarkiatasolla kuin ja {A} on vastaavasti A:ta korkeammalla tasolla. Tämä ajattelu johtaa siihen, että hierarkiatasoja on äärettömän monta (eli ainakin, A, {A}, {{A}}, {{{A}}},...), mistä sitten aiheutuu omat ongelmansa. 2

Gödel ja Bernays lähestyvät ongelmaa vain kahden hierarkiatason kautta: on olemassa joukkoja ja luokkia. Näillä on se ero, että joukko voi olla toisen joukon (tai luokan) alkio, mutta luokka ei voi. Tähän teoriaan ei tässä tekstissä sen yksityiskohtaisemmin mennä. Matemaatikkojen keskuudessa yleisen hyväksynnän (ja tätä joukko-opin aksiomatisointimallia nykyään yleensä käytetäänkin) sai Zermelon ja Fraenkelin joukko-oppi, ns. ZF-teoria. Tässä teoriassa on vain kaksi peruskäsitettä: joukko ja sisältyminen (x sisältyy y:hyn, eli x on y:n alkio ). Tosin tässäkin teoriassa esiintyy luokkia (kuten tullaan näkemään), mutta ne eivät ole varsinaisia peruskäsitteitä, vaan ne tullaan määrittelemään noiden kahden peruskäsitteen avulla. Loppujen lopuksi ZF-teorialla ja Gödel-Bernays-teorialla ei ole suurtakaan eroa, sillä jokainen kaava, joka voidaan todistaa teoreemaksi ZF-teoriassa, voidaan todistaa teoreemaksi myös Gödel-Bernays-teoriassa ja kääntäen. Tässä esityksessä pohjana on nimenomaan ZF-teoria. On merkillepantavaa, että jatkossa joukko ja alkio ovat täysin tasavertaisessa asemassa. Joukko on joukko an sich, ja siitä tulee alkio, jos se sattuu sisältymään johonkin toiseen joukkoon (ja näinhän aina on: x {x}). ZF-teoria koostuu (peruskäsitteittensä lisäksi) kokoelmasta aksioomia, joita on vähän laskentatavasta riippuen noin kahdeksan kappaletta. Kutsutaan näitä yhteisnimellä ZF-aksioomat. Näiden perusaksioomien lisäksi mukaan kuuluu vielä ns. valinta-aksiooma (axiom of choice, AC), jota ei pidetty niin itsestäänselvyytenä kuin muita aksioomia, vaan sen asemaa vähän kyseenalaistettiin. Oma aksioomansa se kuitenkin on, ja nykymatematiikassa sen käyttö on yleisesti hyväksytty. Valinta-aksiooma sanoo intuitiivisesti seuraavaa: Oletetaan, että {A α } α I on annettu kokoelma epätyhjiä joukkoja. Nyt tämä aksiooma kertoo, että näistä kaikista voidaan valita jokin alkio. Tämä on tietenkin löysää puhetta; vähän täsmällisemmin: tuo valinta voidaan tehdä samanaikaisesti, ja vielä vähän täsmällisemmin: on olemassa kuvaus ϕ : I α I A α siten, että ϕ(α) A α kaikille α I. Tässä siis ϕ ikään kuin toimii valintakuvauksena, joka poimii jokaiselle α I jonkin alkion ϕ(α) kustakin (epätyhjästä) joukosta A α. Pointti tässä on se, että kyseistä alkiota ei ole mitenkään ennalta määrätty tai spesifioitu. ZFteoriaa, johon on lisätty valinta-aksiooma AC, kutsutaan yleisesti ZFC-teoriaksi. Tähän ZFC-teoriaan liittyy läheisesti ns. kontinuumihypoteesi. Selvitetään tässä lyhyesti (ja vähän epätäsmällisesti), mistä on kyse. Joukoilla on tietty mahtavuus; tämä tarkoittaa sitä, että joukot ovat yhtä mahtavia, jos niiden välillä on bijektio. Jos on olemassa injektio f : A B, niin B on mahtavampi kuin A; jos B on mahtavampi kuin A ja A ei ole mahtavampi kuin B, niin sanotaan, että B on aidosti mahtavampi kuin A. Jokainen joukko on tietenkin mahtavampi kuin mikä tahansa sen osajoukoista, joskus aidosti, 3

joskus ei. Esimerkiksi R on aidosti mahtavampi kuin sen osajoukko N, koska N on numeroituva, mutta R on ylinumeroituva. Toisaalta Q on yhtä mahtava kuin N, koska molemmat ovat numeroituvia. Jos A on joukko, niin merkitään symbolilla P(A) sen potenssijoukkoa eli kaikkien osajoukkojen joukkoa. Siis B P(A) B A. Voidaan melko helposti osoittaa, että kaikille joukoille A joukko P(A) on aidosti mahtavampi kuin A. Ja nyt kysymys kuuluu: onko näiden välissä mitään joukkoa B? Siis onko olemassa joukkoa B, joka olisi aidosti mahtavampi kuin A, mutta P(A) olisi aidosti mahtavampi kuin B? Äärelliselle joukolle A, jossa on vähintään kaksi alkiota, tällainen B on helposti löydettävissä, koska jos A:ssa on n 2 alkiota, niin P(A):ssä on 2 n alkiota, ja voidaan valita m siten, että n < m < 2 n, jolloin B:ksi käy B = {1,...,m}. Äärettömälle joukolle A kysymys onkin sitten paljon vaikeampi. Kuuluisa kontinuumihypoteesi sanoo, että äärettömälle joukolle A tällaista välijoukkoa B ei ole olemassa. Kuten nimi hypoteesi indikoi, tämä on todellakin vain hypoteesi eli oletus, eikä asiaa tiedetä. Kurt Gödel osoitti 1938, että kontinuumihypoteesia ei voi ZFC-teoriassa osoittaa vääräksi tämä tarkoittaa sitä että ei ole olemassa sellaista joukkoa A, jolle tuo välijoukko B olisi konstruoitavissa tai ylipäätään todistettavissa, että B olisi olemassa. Tämä antaa tietysti vahvan uskon siihen, että kontinuumihypoteesi voitaisiin todistaa oikeaksi. Uskomus on tällä kertaa väärä, sillä Paul Cohen osoitti vuonna 1963, ettei kontinuumihypoteesia voi ZFC-teoriassa todistaa myöskään oikeaksi edes siinä tapauksessa, että joukko A on N. Näin siis tuo yllä oleva tekstinpätkä eikä asiaa tiedetä tarkoittaa todellakin, mitä se kirjaimellisesti sanoo: tiedetään, että asiaa ei tiedetä. Tämän kontinuumihypoteesin ihmeellisyyttä voi havainnollistaa R:ssä. On melko helppo osoittaa, että R on yhtä mahtava joukon P(N) kanssa. Tällöin R:lle vietynä kontinuumihypoteesi väittää, että ei ole olemassa sellaista joukkoa B R, joka olisi ylinumeroituva (eli aidosti mahtavampi kuin N), mutta itse R olisi aidosti mahtavampi kuin B. Väitteen paikkansapitävyyteen eli tällaisen B:n olemassaolokysymykseen ei siis tiedetä vastausta. (Ja tämä tiedetään.) Pelkistetysti siis: Onko R:ssä ylinumeroituvaa osajoukkoa, joka ei olisi yhtä mahtava R:n kanssa? Oikea vastaus on, että tiedän, etten tiedä. Tuossa edellä vedettiin vähän mutkia suoriksi; kontinuumihypoteesista puhutaan tarkemmin luvussa 3, jossa käsitellään aksioomajärjestelmän ristiriidattomuutta. Seuraavat tehtävät eivät ole oikeaa aksiomaattista joukko-oppia, vaan käytetään tavanomaista naiivia joukko-oppia, mitä nyt yleensäkin matematiikassa käytetään. Tuo ensimmäinen tehtävä tultaneen todistamaan jatkossa oikeana joukko-opillisena lauseena, jos tällä kurssilla koskaan niin pitkälle päästään. 4

Harjoitustehtävä 1.1 Osoita, että kaikille joukoille A joukko P(A) on aidosti mahtavampi kuin A. Harjoitustehtävä 1.2 Osoita, että R on yhtä mahtava joukon P(N) kanssa. 2 Joukko-opin kieli Joukko-opin kieli on pohjimmiltaan predikaattikieli L(S), jossa on tasan yksi kaksipaikkainen predikaattisymboli P; siis predikaattisymbolien joukko S on S = {P }. Kielen muuttujat ovat tavalliseen tapaan x n, n N ja vastaavasti vakiosymbolit ovat v n, n N. Jos a ja b ovat kielen muuttujia tai vakioita, niin tavallisestihan vastaavan atomikaavan symbolina on P(a, b). Tässä esityksessä kuitenkin predikaattisymbolia P merkitään pysyvästi symbolilla ja atomikaavaa P(a, b) merkitään symbolilla a b. Tämä merkintätavan muutos ei aiheuttane sekaannuksia. Tässä joukko-opin kielessä muuttujat ja vakiot imitoivat joukkoja tai niiden alkioita ja intuitiivinen tulkinta merkinnälle a b on tavanomainen: a on b:n alkio tai a kuuluu joukkoon b. Yleensä muuttujille käytetään symboleja x, y, z,... Vakioille käytetään yleensä symboleja u,v,w,... ja muuttujille tai vakioille symboleja a,b,c,... Tavallisesti predikaattikielen kaavoja merkitään isoilla aakkosilla A, B, C,..., mutta nyt isot aakkoset on varattu muuhun käyttöön, joten merkitään kaavoja kreikkalaisilla aakkosilla. Kreikan kielen aakkoston alkupää α,β,γ,... on sekin varattu muuhun käyttöön, joten nyt kaavoja merkitään symboleilla ϕ,ψ,η,... Nämä kaikki merkinnät siis pääsääntöisesti; toki poikkeuksiakin sallitaan kuten predikaattikielissä yleensä. Mikään ei siis estä merkitsemästä esimerkiksi jotakin kaavaa vaikkapa symbolilla x, kunhan asia vain tehdään selväksi. Tästä yleisestä merkintäperiaatteesta on se etu, että aina ei tarvitse sanoa esimerkiksi, että x on muuttuja, kun jokin uusi muuttuja x tuodaan peliin mukaan, vaan lähtökohtaisesti oletetaan, että x on muuttuja, ellei muuta mainita. Vastaava oletus pätee symbolien u, v, w,... ja ϕ, ψ, η,... suhteen. Tähän samaan sarjaan liittyvät jatkossa myös symbolit A, B, C,... ja α, β, γ,..., kunhan asiassa edetään. Tässä aluksi on syytä esittää pari predikaattikielistä perustulosta, joita jatkossa tarvitaan. Jätetään nämä harjoitustehtäviksi. Nämä väitteet on (ehkä) helpointa todistaa käyttäen hyväksi Gödelin täydellisyyslausetta muitakin vaihtoehtoja on. Harjoitustehtävä 2.1 Olkoon ϕ predikaattikielinen kaava ja x muuttuja. Olkoon z x toinen muuttuja, joka ei esiinny kaavassa ϕ. Olkoon K x z (ϕ) kaava, joka syntyy intuitiivisesti ajatellen niin, että kaikki x:n sidotut esiintymät ϕ:ssa korvataan z:lla. Esitä nyt kaavan K x z (ϕ) tarkka rekursiivinen määritelmä. Osoita sitten tähän määritelmään perustuvalla induktiolla, että K x z (ϕ) ϕ. 5

Harjoitustehtävä 2.2 Olkoot ϕ, ψ ja η predikaattikielisiä kaavoja sekä x muuttuja siten, että x ei esiinny vapaana kaavassa ϕ. Oletetaan, että pätee Osoita, että tällöin pätee myös ϕ [ψ η]. ϕ [ xψ xη]. Joukko-opin kielen teoreemoja ϕ merkitään kuten predikaattikielissä yleensä ja myös edellisissä tehtävissä symbolilla ϕ. Tällä merkinnällä, kuten koko teoreemakäsitteellä, on nyt kuitenkin vähän toinen merkitys kuin puhtaassa predikaattikielessä. Joukko-opin pohjaksi näet asetetaan tiettyjä lisäaksioomia (JAx1),...,(JAxn) predikaattikielen tavallisten viiden aksiooman (Ax1),...,(Ax5) jatkoksi. Nämä lisäaksioomat eivät ole predikaattikielen teoreemoja. Nyt kun jotakin kaavaa sanotaan teoreemaksi, tarkoitetaankin itse asiassa sitä, että se voidaan päätellä käyttäen näitä lisäaksioomia (mahdollisesti) hyväksi. Tällöin kaikki loogiset teoreemat (eli ne jotka pätevät puhtaassa predikaattikielessä) ovat edelleen teoreemoja, mutta joukkoopissa syntyy uusia, nimen omaan näistä lisäaksioomista periytyviä teoreemoja, jotka eivät ole teoreemoja tässä loogisessa mielessä, sillä niitä ei voi todistaa pelkästään predikaattikielen aksioomien nojalla. Jos tarvetta on, käytetään merkintää L ϕ, jolla tarkoitetaan ja korostetaan sitä, että ϕ on teoreema loogisessa mielessä. Tämä teoreemojen ero saattaa tuntua mitättömältä, mutta sillä on joskus ihan oikeaakin merkitystä: esimerkiksi ekvivalenssin sijoitussääntöä (ks. Propositioja predikaattilogiikka, tehtävät 3.1.34-35) voi huoletta käyttää vain siinä tapauksessa, että sijoitettavien kaavojen ekvivalenssi on looginen teoreema. Kun tässä nyt todistetaan näitä uusia ei-loogisia teoreemoja; sanotaan vaikkapa, että ϕ on todistettava teoreema eli väitetään, että ϕ, (1) ja (JAx1),...,(JAxn) ovat käytettävissä olevat joukko-opilliset aksioomat, niin loogisessa mielessä väitetäänkin, että päättely (JAx1),...,(JAxn) L ϕ (2) on pätevää. Näiden päättelyiden syntaktinen suorittaminen eli päättelyjonojen kirjoittaminen menee nopeasti hyvin vaikeaksi teoreemojen monimutkaistuessa ja aksioomien lisääntyessä. Sen takia turvaudutaan melkein aina semantiikkaan ja erityisesti täydellisyyslauseeseen. Päättely (2) on pätevää, jos pätee L [(JAx1)... (JAxn)] ϕ. (3) 6

Gödelin täydellisyyslauseen nojalla väitteen (3) ja siten myös väitteen (1) todistamiseksi riittää osoittaa, että kaava (3) on validi. Siispä riittää osoittaa, että pätee t([(jax1)... (JAxn)] ϕ) = 1, kun t on mielivaltainen totuusarvofunktio. Predikaattikielen totuusarvokäsitteen määritelmän mukaisesti kaava (3) on ensin suljettava eli sen mahdolliset vapaat muuttujat on korvattava mielivaltaisilla vakioilla. Tämän sulkemisen jälkeen totuusarvo käyttäytyy kuten propositiokielessä ja riittää osoittaa, että jos t((jax1)... (JAxn)) = 1 (eli t((jaxi)) = 1 kaikille i = 1,...,n), niin t(ϕ) = 1, missä ϕ on se kaava, joka ϕ:sta syntyy, kun se suljetaan. Aksioomat ovat suljettuja, joten niitä ei tarvitse erikseen sulkea. Merkintöjen yksinkertaistamiseksi jätetään yleensä kaavan ϕ ylleviivaus tekemättä ja vain kylmästi oletetaan, että ϕ on suljettu. Tästä ei yleisesti aiheudu mitään ongelmia ja jos jotain erikoista ilmenee, käytetään sitten tarkempia merkintöjä. Tämä kaikki tehdään siis pääsääntöisesti tulevien todistusten alussa ilman, että siitä joka kerta erikseen mainitaan. Käytetään myös sanontaa t on sopiva totuusarvofunktio, millä tarkoitetaan sitä, että t((jaxi)) = 1 kaikille i = 1,...,n. Tässä luku n vaihtelee riippuen siitä, missä vaiheessa tekstiä ollaan menossa, eli siitä, mitkä aksioomat ovat siinä vaiheessa pelissä mukana. Tässä esityksessä näet aksioomat tulevat mukaan pikkuhiljaa; ei suinkaan niin, että kaikki aksioomat annettaisiin heti kerralla. Tämä johtuu siitä, että loppupään aksioomissa tarvitaan aika kehittyneitä määritelmiä, eikä niiden ymmärtäminen ilman kyseisten määritelmien sisäistämistä ole mahdollista. Kaavaan ϕ tehtävä sijoitus S x a(ϕ) määritellään kuten predikaattikielessä yleensä. Nyt tarvitaan kuitenkin myös vähän toisenlaista sijoitusta (jota sijoitusta sitten jatkossa lähes poikkeuksetta käytetään). Tärkein syy tähän muutokseen on siinä, että näin saadaan näiden luentojen keskeisimmät aputulokset eli lauseet 4.5 ja 5.11 toimimaan; ks. myös tehtävät 2.9 ja 2.10. Tämä uusi sijoitus määritellään intuitiivisesti seuraavasti. Olkoon ϕ kaava ja x muuttuja sekä a muuttuja tai vakio. Yleensähän S x a(ϕ) tarkoittaa kaavaa, jossa x:n vapaat esiintymiset kaavassa ϕ on korvattu a:lla. Nyt korvataan ensin kaavassa ϕ esiintyvät a:n mahdolliset sidotut esiintymiset jollakin sellaisella muuttujasymbolilla y, joka ei esiinny lainkaan kaavassa ϕ ja sitten tässä syntyvässä kaavassa vaihdetaan x:n vapaat esiintymiset a:ksi. Näin syntyvää kaavaa merkitään symbolilla ϕ x (a). Yleissääntö, joka tästä menettelystä syntyy, on se, että kaavassa ϕ x (a) ei koskaan kvantifioida muuttujan a suhteen. Esimerkki. Olkoot a,x ja w eri muuttujia sekä olkoon ϕ = a w[w x w a]. 7

Kaava ϕ x (a) syntyy siis seuraavasti: Vaihdetaan ensin a:n sidotut esiintymät (eli tässä tapauksessa kaikki) joksikin muuksi, vaikkapa y:ksi, missä y x, w, a. Tällöin tuloksena on kaava y w[w x w y]. Tässä vaihdetaan sitten x:n vapaat esiintymät a:ksi ja tuloksena on kaava ϕ x (a) = y w[w a w y]. Huomaa, että jos tehdään sijoitus predikaattikielistä tuttuun tavalliseen tapaan, tuloksena on kaava S x a(ϕ) = a w[w a w a]. Huomaa, että syntyvät kaavat ϕ x (a) ja S x a(ϕ) ovat paitsi eri näköisiä, myös loogiselta kannalta eri kaavoja eli ne eivät ole ekvivalentteja. Tämä näkyy vaikkapa siitä, että S x a(ϕ) on looginen teoreema, kun taas ϕ x (a) ei sitä ole. Huomautus. Yllä olevassa määritelmäyrityksessä on ilmiselvä vika: valittu muuttuja y ei ole yksikäsitteinen, joten syntyvä kaavakaan ei sitä ole. Tämä puute voitaisiin korjata sopimalla vaikkapa, että y = x n, missä n on pienin sellainen indeksi, jolle x n ei esiinny kaavassa ϕ, mutta tällä ei ole loogiselta kannalta mitään merkitystä, kuten harjoitustehtävästä 2.5 ilmenee. Tästä syystä sovitaan (vähän epämääräisesti), että ϕ x (a) tarkoittaa mitä hyvänsä kaavaa, joka on syntynyt yllä kuvatulla tavalla (mille hyvänsä y). Harjoitustehtävä 2.3 Anna kaavan ϕ x (a) tarkka määritelmä. Harjoitustehtävä 2.4 Osoita, että kaavan ϕ x (a) määritelmässä käytetty muuttuja y ei esiinny vapaana ϕ x (a):ssa. Osoita myös, että a ei esiinny sidottuna ϕ x (a):ssa. Harjoitustehtävä 2.5 Oletetaan, että kaavan ϕ x (a) määritelmässä on käytetty y:n sijalla jotain toista muuttujaa z, joka ei sekään esiinny kaavassa ϕ. Merkitään näin syntyvää kaavaa symbolilla ϕ x (a). Osoita, että pätee L ϕ x (a) ϕ x (a). Harjoitustehtävä 2.6 Olkoon ϕ kaava, x muuttuja ja u vakio. Osoita, että L ϕ x (u) S x u(ϕ). Huomautus. Predikaattikielessä kaava ϕ on looginen teoreema jos ja vain jos kaava S x u(ϕ) on looginen teoreema kaikille vakioille u tämä on helppo todistaa. Tehtävän 2.6 nojalla tällöin ϕ on looginen teoreema jos ja vain jos ϕ x (u) on looginen teoreema kaikille vakioille u. Sijoitukselle ϕ x (a) saadaan myös seuraava tulos: 8

Harjoitustehtävä 2.7 Olkoon ϕ kaava ja x,a muuttujia. Oletetaan, että a ei esiinny vapaana kaavassa ϕ. Osoita, että ϕ on looginen teoreema jos ja vain jos ϕ x (a) on looginen teoreema. Harjoitustehtävä 2.8 Osoita esimerkeillä, että tehtävän 2.7 tulos ei päde kumpaankaan suuntaan tavalliselle sijoitukselle. Konstruoi siis kaava ϕ, jolle S x a(ϕ) on looginen teoreema, mutta ϕ ei sitä ole, ja toisaalta kaava ϕ, joka on looginen teoreema, mutta S x a(ϕ) ei sitä ole. Harjoitustehtävä 2.9 Osoita, että tehtävän 2.6 tulos pätee myös ilman sanaa looginen. Todista siis, että ϕ on teoreema jos ja vain jos ϕ x (a) on teoreema tässä siis a on muuttuja. Harjoitustehtävä 2.10 Osoita, että myös seuraava väite (vertaa tehtävän 2.6 jälkeiseen huomautukseen) pätee: ϕ on teoreema jos ja vain jos ϕ x (u) on teoreema kaikille vakioille u. Jatkossa on pienessä (tätä käytetään vain kahdesti), mutta tärkeässä roolissa seuraava tulos: Lause 2.11 Olkoot ξ ja ψ kaavoja, w muuttuja, a ja b muuttujia tai vakioita sekä x a,b muuttuja, joka ei esiinny vapaana kaavassa ξ. Olkoon ϕ = xψ. Oletetaan, että L ξ [ψ w (a) ψ w (b)]. (1) Tällöin pätee L ξ [ϕ w (a) ϕ w (b)]. (2) Todistus. Jos w = x, niin sijoituksen määritelmän (ks. tehtävä 2.3) mukaisesti ϕ w (a) = xk a z (ψ) ja ϕ w (b) = xk b z(ψ), missä K on kuten tehtävässä 1.1 ja z jokin sopivasti valittu muuttuja. Väite (2) tulee tällöin muotoon Nyt tehtävän 2.1 nojalla saadaan teoreema L ξ [ xk a z (ψ) xk b z(ψ)]. (3) L K a z (ψ) K b z(ψ). Tästä saadaan kvantifioimalla ja päättelylausetta käyttäen teoreema jolloin väite (3) seuraa triviaalisti. L xk a z (ψ) xk b z(ψ), Näin siis tapaus w = x on käsitelty, joten voidaan olettaa, että w x. 9

Koska x a,b, niin sijoituksen määritelmän mukaisesti ϕ w (a) = xψ w (a) ja ϕ w (b) = xψ w (a). Väite (2) tulee tällöin muotoon Kvantifioimalla oletus (1) saadaan teoreema L ξ [ xψ w (a)) xψ w (a)]. (4) L x[ξ [ψ w (a) ψ w (b)]]. (5) Koska x ei esiinny oletuksen mukaan vapaana kaavassa ξ, saadaan teoreemasta (5) predikaattikielen aksiooman (Ax5) nojalla teoreema Käyttämällä päättelylausetta saadaan teoreema L ξ x[ψ w (a) ψ w (b)]. (6) L x[ψ w (a)) ψ w (b)] [ xψ w (a) xψ w (b)], jolloin väite (4) seuraa teoreemasta (6). 3 Aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus On tärkeää huomata, että kun joukko-opin aksioomat lisätään predikaattikielen aksioomiin, ei synny ristiriitaista joukkoa. Jos nimittäin näin kävisi, kaikki kaavat voisi todistaa teoreemoiksi, eikä koko teoriassa olisi paljon mieltä. Kuten predikaattikielten yhteydessä on opittu, kaavakokoelman ristiriidattomuuden voi todistaa konstruoimalla jonkin mallin, jossa näiden kaikkien kaavojen totuusarvo on 1. Predikaattikielessä predikaattisymbolit mallitetaan kuvaamalla ne sopiviksi N n :n osajoukoiksi. Nyt pelissä on vain yksi kaksipaikkainen predikaattisymboli, joka pitää kuvata N 2 :n osajoukoksi, ja tutkia sitten aksioomien totuusarvoa tämän mallin suhteen. Tällä tavallahan osoitettiin predikaattilogiikassa, että viisi perusaksioomaa ovat ristiriidattomia; myös RA-kielen (ks. logiikan jatkokurssi) aksioomien ristiriidattomuus todistettiin näin. Nyt on valitettavasti niin, että tällaista toivottua N 2 :ssa elävää mallia ei ole onnistuttu konstruoimaan. Mallin määritelmää voidaan laajentaa (ja näin yleensä tehdäänkin) sillä tavalla, että joukko N korvataan jollakin isommalla joukolla I ja mallitetaan symboli joukon I 2 osajoukoksi. Tämäkään ei ole tuottanut toivottua tulosta, ja lisävaikeutena on tuo joukko I: mikä se on, onko se todella joukko, miten sen joukko-opissa pelataan jne. 10

Jos mallin tekeminen ei onnistu, pitää yrittää jotain muuta. Jos aksioomajoukko on ristiriitainen, kaikki kaavat (erityisesti kaava f) voidaan todistaa teoreemoiksi. Riittää siis löytää kaava, joka ei ole teoreema. Kuulostaa yksinkertaiselta, mutta on kaikkea muuta. Nyt nimittäin Gödelin toinen epätäydellisyyslause toimii myös tässä joukko-opin kielessä, ja tuo lausehan sanoo, että kielen ristiriidattomuutta ei voi syntaktisesti todistaa. Siispä ristiriidattomuudelle ei löydy todistusta kielen sisältä, vaan on keksittävä jotain ulkoa tuotua, kuten esimerkiksi siis semantiikka ja sitä kautta N n :n tunnetut(?) ominaisuudet puhtaissa predikaattikielissä. Tuntuu hankalalta, koska semantiikka ei tässä tunnu siis auttavan. No, tämä ei ainoastaan tunnu hankalalta, vaan oikeasti on sitä, sillä kukaan ei ole vielä tähän päivään mennessä osoittanut joukko-opin aksioomien ristiriidattomuutta millään konstilla. Tässä on oiva tilaisuus päästä jos ei maailmanniin ainakin matematiikan historiaan: osoita, että joukko-opin aksioomat ovat ristiriidattomia. Vielä varmempi paikka historiassa on taattu, jos osoitat, että ne ovat ristiriitaisia. Silloinhan koko järjestelmä romahtaa, ja koska joukko-oppi on tavalla tai toisella lähes kaiken matematiikan pohjana, myös koko matematiikan järjestelmä romahtaa. Joskus puhutaan savijaloilla seisovista jättiläisistä, mutta matematiikkaa parempaa esimerkkiä ei tässä valossa varmaan ole: kuka tahansa nokkela opiskelija voi sen jonain päivänä romahduttaa. Tarkkaavainen lukija voi tässä vaiheessa protestoida, sillä edellä todettiin, että riittää löytää yksikin kaava, joka ei ole teoreema, ja toisaalta johdannossa todettiin, että Cohenin työn perusteella tiedetään, että kontinuumihypoteesi ei ole teoreema. Eikös tämä riitä ristiriidattomuuden todistukseksi? Voi tietysti vastaprotestoida sillä, että kontinuumihypoteesi ei ole kaava, mutta se on huono argumentti, koska kontinuumihypoteesi on kirjoitettavissa ihan oikeaksi kaavaksi (ja näin kurssin lopulla tehdäänkin, ks. s.465). Mikäs tässä sitten mättää? Vastaus on siinä, että johdannossa oltiin epätäsmällisiä eli mutkia oiottiin, kuten jo oli puhetta. (Näinhän valitettavan usein logiikassa käy; on raflaavaa esittää vaikkapa Gödelin epätäydellisyyslause muutamalla rivillä ilman sen kummempia oletuksia, mutta, mutta...) Mikäs sitten oli tällä kertaa epätäsmällistä? Tarkkaan ottaen Gödel todisti johdannossa mainitussa tuloksessaan seuraavaa: (tässä KH=kontinuumihypoteesi) Jos ZFC-järjestelmä on ristiriidaton, niin ZFC+KH on ristiriidaton. Nyt kun sanotaan, että Gödel osoitti, että KH:ta ei voi todistaa vääräksi 11

tarkoitetaan sitä että ei voida esittää todistusta ZFC KH. (1) Jos nimittäin päättely (1) onnistuisi, niin päättelylauseen nojalla saataisiin [ZFC KH] f, mikä tarkoittaa sitä, että järjestelmä ZFC+KH olisi ristiriitainen, mitä se ei siis mainitun Gödelin tuloksen mukaan ole edellyttäen, että ZFC sinällään on ristiriidaton. Vastaavasti Cohen todisti tuloksessaan seuraavaa: Jos ZFC-järjestelmä on ristiriidaton, niin ZFC+ KH on ristiriidaton. Nyt kun sanotaan, että Cohen osoitti, että KH:ta ei voi todistaa oikeaksi tarkoitetaan sitä että ei voida esittää todistusta ZFC KH. (2) Jos nimittäin päättely (2) onnistuisi, niin päättelylauseen nojalla saataisiin [ZFC KH] f, mikä tarkoittaa sitä, että järjestelmä ZFC+ KH olisi ristiriitainen, mitä se ei siis mainitun Cohenin tuloksen mukaan ole edellyttäen taas, että ZFC sinällään on ristiriidaton. Nyt kaava ZFC KH (3) ei voi olla teoreema, sillä jos se sitä olisi, saataisiin predikaattikielen perustulosten nojalla myös päättely (2), mikä siis ei ole mahdollista. On siis löydetty kaava, joka ei ole teoreema. Mutta, nyt pitää muistaa (ja toistaa), että Cohen (samoin kuin Gödel) tuloksessaan oletti, että ZFC on ristiriidaton, joten tämän todistumattoman kaavan (3) löytyminen ei todista silloin mitään ZFC (tai ZF) järjestelmän ristiriidattomuudesta. Tässä monisteessa menetellään samoin kuin Gödel ja Cohen yllä: oletetaan, että ZFC-järjestelmä on ristiriidaton. Tähän joudutaan vetoamaan jatkuvasti, kun todistuksissa käytetään totuusarvofunktioita: niiden taustallahan on aina malli, jonka oletetaan toteuttavan sillä hetkellä pelissä olevat aksioomat. Nyt nimittäin on niin, että jos ZFC todella on ristiriidaton, niin sillä on malli, jonka suhteen jokaisen aksiooman totuusarvo on 1, ks. tehtävä 3.1. Nyt siis joudutaan olettamaan sellaisen mallin olemassaolo, josta ei ole mitään käsitystä, eikä varmuutta edes sen olemassaolosta. Tätä menettelyä voi tietysti kritisoida: miten todistettaville väitteille käy, jos tämä oletus (savijaloilla seisova jättiläinen) ei olekaan kunnossa? No, silloinhan 12

kaikki kaavat ovat teoreemoja, mukana joukossa myös juuri todistettava kaava, joten ei hätää ainakaan tämän monisteen mittakaavassa. Tietysti kaikki nämä esitetyt teoreemat ovat sen jälkeen roskaa, mutta jos se yhtään lohduttaa niin on lähes kaikki muukin matematiikka. Tässä kokonaiskonkurssissa eivät siis tämän monisteen oikeat tai väärät oletukset paljon paina. Harjoitustehtävä 3.1 Osoita (käyttäen hyväksi sitä, että aksioomat ovat suljettuja), että aksioomajärjestelmä (JAx1),...,(JAxn) on ristiriidaton jos ja vain jos on olemassa malli ja siihen liittyvä totuusarvofunktio t, jolle pätee t((jaxi)) = 1 kaikille i = 1,...,n. (Ohje: Ristiriidattomuuden määritelmähän voidaan esittää niin, että aksioomajoukkoa sanotaan ensin ristiriitaiseksi, mikäli pätee L [(JAx1) (JAxn)] f. Sen jälkeen sanotaan, että aksioomajoukko on ristiriidaton, mikäli se ei ole ristiriitainen. Tee antiteesi ja käytä predikaattikielen eheys- sekä täydellisyyslauseita. Missäs vaiheessa tuota aksioomien sulkeutuneisuutta oikein tarvitaankaan vai tarvitaanko sitä ollenkaan?) 4 Yhtenevyys Halutaan nyt määritellä, milloin joukot ovat samoja käytetään tässä kuitenkin selvyyden vuoksi termiä yhteneviä. Intuitiivinen idea tämän takana on se, että joukot ovat yhteneviä, mikäli niillä on täsmälleen samat alkiot. Tämä voidaan formalisoida näin: joukot a ja b ovat yhteneviä, mikäli kaava x[x a x b] on teoreema. Tarkka määritelmä on seuraava: Määritelmä 4.1 Olkoot a ja b muuttujia tai vakioita. Sovitaan, että symboli a b on lyhennysmerkintä kaavasta x[x a x b] eli a b := x[x a x b], missä muuttuja x on valittu niin, että x a,b. Sanotaan, että a ja b ovat yhteneviä, jos kaava a b on teoreema. Tässä kaavan a b määritelmässä on sama ongelma kuin edellä sijoituksen määritelmässä, sillä valittu muuttuja x ei ole yksikäsitteinen, joten syntyvä kaavakaan ei sitä ole. Sovitaan taas, että kaava a b tarkoittaa mitä hyvänsä vastaavaa kaavaa, jossa x on valittu niin, että x a,b. Loogiselta kannalta tässä ei taaskaan tule mitään ongelmia, kuten seuraava harjoitustehtävä kertoo. Harjoitustehtävä 4.2 Olkoot a, b muuttujia tai vakioita ja x, y muuttujia siten, että x,y a,b. Osoita, että L x[x a x b] y[y a y b]. 13

Yhtenevyyden käsitteen avulla voidaan esittää joukko-opin ensimmäinen aksiooma. Intuitiivisesti tämä voidaan tulkita niin, että yhtenevät (eli samat ) alkiot kuuluvat täsmälleen samoihin joukkoihin eli vähän formaalimmin: jos x y ja x a, niin myös y a ja aivan täsmällisesti näin: (JAx1): a x y[[x y x a] y a], missä a, x, y ovat muuttujia. Huomautus. Kuten edellisessä luvussa oli puhetta, oletetaan nyt sitten ilman perusteluja, että aksioomajärjestelmä on ristiriidaton; erityisesti siis tämä aksiooma (JAx1) yksinään on ristiriidaton. Tälle yhdelle aksioomalle on toki helppo keksiä mallikin, jossa sen totuusarvo on 1. Jätetään tämä harjoitustehtäväksi. On myös tärkeää, että tämä uusi aksiooma ei ole predikaattikielen looginen teoreema jos se näet olisi, mitään oikeaa lisäystä aksioomajärjestelmään ei tapahtuisi, vaan samat kaavat olisivat teoreemoja kuin predikaattikielessä L(S), eli aksioomalla (JAx1) ei olisi mitään merkitystä. Tämän voi todistaa konstruoimalla jonkun toisen mallin ja siihen liittyvän totuusarvofunktion t, jolle pätee t((jax1)) = 0. Jatkossa muutamat aksioomat ovat kuitenkin teoreemoja (eivät toki loogisia teoreemoja, vaan todistettavissa muiden joukko-opin aksioomien avulla), mutta siihen, miksi niitä sitten aksioomina ylipäätään esitetään, palataan myöhemmin. Seuraava lause kertoo intuitiivisesti ajatellen, että yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio. Lause 4.3 Kaikille muuttujille tai vakioille a,b,c pätee 1) a a, 2) a b b a ja 3) [a b b c] a c. Todistus. Tässä nyt sitten oletetaan, kuten johdannossa sovittiin, että t on sopiva totuusarvofunktio, jolle siis pätee t((jax1)) = 1. (1) Oletetaan myös, että v, u ja w ovat mielivaltaisia vakioita. Koska yhtenevyyden määritelmässä 4.1 muuttuja x on valittu niin, että x a, b, niin predikaattikielen totuusarvon määritelmän mukaan riittää osoittaa, että 1) t(u u) = 1, 2) t(v u u v) = 1 ja 3) t([v u u w] u w) = 1. Voit huvin vuoksi miettiä, mitä tapahtuisi, jos yhtenevyyden määritelmä olisi annettu ilman tuota lisäoletusta x a, b. Tämä sama ilmiö (eli määritelmän 14

lisäoletuksen merkitys) toistuu useiden lauseiden todistuksissa, eikä siitä aina edes erikseen mainita. Jätetään viitseliäisyyden varaan tarkistaa joka kerta, että niissä suoritettavan vakiosijoituksen jälkeen kaavat todella muuttuvat sellaiseen muotoon kuin tekstissä väitetään. 1) Määritelmän mukaan pitää osoittaa, että t( x[x u x u]) = 1. Tämä on selvä asia, eikä tarvitse tuekseen edes oletusta (1), sillä kyseessä on looginen teoreema. 2) Tässä pitää osoittaa, että t( x[x u x v] x[x v x u]) = 1. Tämä on lähes yhtä selvä asia (samoin perustein kuin tapauksessa 1)), eikä tässäkään tarvita oletusta (1). 3) Väitteenä on nyt t([ x[x u x v] x[x v x w]] x[x u x w]) = 1. (2) Koska kyseessä on suljettu kaava, voidaan olettaa, että riittää osoittaa, että t( x[x u x v] x[x v x w]) = 1; (3) t( x[x u x w]) = 1. (4) Olkoon sitä varten a mielivaltainen vakio. Väite (4) seuraa, jos osoitetaan, että Oletuksen (3) nojalla pätee ja t(a u a w) = 1. (5) t(a u a v) = 1 (6) t(a v a w) = 1. (7) Koska kaavat a u, a v ja a w ovat suljettuja, niin näillä kaavoilla on ehtojen (6) ja (7) perusteella kaikilla sama totuusarvo t:n suhteen, joten väite (5) seuraa. Huomaa, että tässäkään ei tarvittu oletusta (1). Seuraavassa aputuloksessa vähän terävöitetään aksioomaa (JAx1). Samalla tämä lause toimii jonkinlaisena johdantona (ja aputuloksena) huomattavasti yleisempään tulokseen 4.5. 15

Lause 4.4 Kaikille muuttujille tai vakioille a,b,c pätee a b [a c b c]. Todistus. Olkoon taas t sopiva totuusarvofunktio ja olkoot u,v,w mielivaltaisia vakioita. Riittää osoittaa, että t(u v [u w v w]) = 1. (1) Huomaa taas, että yhtenevyyden määritelmän mukaan vakioiden sijoittaminen väitteenä olevaan kaavaan antaa juuri ehdossa (1) olevan kaavan. Väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että ja kääntäen jos t(u v) = 1 ja t(u w) = 1, niin t(v w) = 1 (2) jos t(u v) = 1 ja t(v w) = 1, niin t(u w) = 1. (3) Väite (2) seuraa suoraan aksioomasta (JAx1), sillä nythän t((jax1)) = 1. (Tämä on muuten ensimmäinen kerta, kun kyseistä aksioomaa käytetään.) Väitteessä (3) pitää huomata, että lauseen 4.3 kohdan 2) mukaan oletuksesta t(u v) = 1 saadaan ensin ehto t(v u) = 1, jonka jälkeen väite (3) seuraa suoraan aksioomasta (JAx1). Seuraava tulos on jatkossa aivan keskeisessä roolissa. Lause 4.5 Olkoot a,b muuttujia tai vakioita ja w muuttuja sekä ϕ kaava. Tällöin pätee a b [ϕ w (a) ϕ w (b)]. Todistus. Määritelmän mukaan ϕ w (a) = S w a (K a y(ϕ)) ja ϕ w (b) = S w b (Kb y(ϕ)), missä y ei esiinny kaavassa ϕ. Merkitään Tällöin ilmeisesti ψ = K a y(k b y(ϕ)). ψ w (a) = S w a (K a y(k b y(ϕ))) = S w a (K b y(k a y(ϕ))) = K b y(s w a (K a y(ϕ))) = K b y(ϕ w (a)) ja vastaavasti Tällöin harjoitustehtävän 2.1 nojalla ψ w (b) = K a y(ϕ w (b)). L ψ w (a) ϕ w (a) ja L ψ w (b) ϕ w (b). Silloin väite voidaan ekvivalenssin sijoitussäännön nojalla kirjoittaa muotoon a b [ψ w (a) ψ w (b)]. 16

Tämä on parempi väite kuin alkuperäinen, sillä kaavassa ψ ei kvantifioida a:n eikä b:n suhteen. Silloin riittää todistaa väite sillä lisäoletuksella, että kaavassa ϕ ei kvantifioida a:n eikä b:n suhteen. Tehdään induktio kaavan ϕ rakennejonon minimaalisen pituuden m suhteen. Kun m = 1 eli ϕ on atomikaava, on välttämättä ϕ = f tai ϕ = c d joillekin muuttujille tai vakioille c ja d. Tapauksessa ϕ = f väite tulee muotoon a b [f f], joka pätee triviaalisti, koska kaava f f on looginen teoreema. Oletetaan sitten, että ϕ = c d joillekin muuttujille tai vakioille c ja d. Tässä on nyt muuttujan w suhteen neljä vaihtoehtoa: 1) w c ja w d, 2) w c ja w = d, 3) w = c ja w d tai 4) w = c = d. Tapauksessa 1) saadaan sijoituksen määritelmän mukaan ϕ w (a) = c d = ϕ w (b), joten väite tulee muotoon a b [c d c d]. Tämäkin pätee triviaalisti, koska kaava c d c d on looginen teoreema. Tapauksessa 2) saadaan sijoituksen määritelmän mukaan ϕ w (a) = c a ja ϕ w (b) = c b, joten väite tulee muotoon a b [c a c b]. Tämä seuraa suoraan yhtenevyyden määritelmästä. Tapauksessa 3) saadaan sijoituksen määritelmän mukaan ϕ w (a) = a d ja ϕ w (b) = b d, joten väite tulee muotoon a b [a d b d]. Tämä seuraa suoraan lauseesta 4.4. Huomaa, että kyseessä ei enää ole looginen teoreema, siis todistettavissa pelkästään predikaattikielen aksioomista, vaan tässä tarvitaan aksioomaa (JAx1), joka on kudottu sisään lauseen 4.4 todistukseen. 17

Tapauksessa 4) saadaan sijoituksen määritelmän mukaan ϕ x (a) = a a ja ϕ x (b) = b b, joten väite tulee muotoon Yhtenevyyden määritelmän nojalla saadaan ja toisaalta lauseen 4.4 nojalla saadaan a b [a a b b]. (1) a b [a a a b] (2) a b [a b b b]. (3) Väite (1) seuraa helposti teoreemoista (2) ja (3) joko pienellä päättelyjonolla tai totuusarvofunktioita käyttämällä. Näin induktion alkuaskel eli tapaus m = 1 on kokonaan selvitetty. Tehdään sitten induktio-oletus, että m 2 ja että väite pätee kaikille kaavoille, joilla on rakennejono, jonka pituus on korkeintaan m 1. Nyt joko 5) ϕ = ψ η joillekin kaavoille ψ ja η, joilla on rakennejono, jonka pituus on korkeintaan m 1 tai 6) ϕ = yψ jollekin muuttujalle y ja jollekin kaavalle ψ, jolla on rakennejono, jonka pituus on korkeintaan m 1. Koska kaavan ϕ rakennejonossa ei siis sallita kvantifiointia a:n eikä b:n suhteen, on tapauksessa 6) oltava y a,b. Tapauksessa 5) pätee sijoituksen määritelmän perusteella ϕ w (a) = ψ w (a) η w (a) ja vastaavasti ϕ w (b) = ψ w (b) η w (b), joten (induktio-)väite tulee muotoon a b [[ψ w (a) η w (a)] [ψ w (b) η w (b)]]. (4) Nyt kaavoilla ψ ja η on m:ää lyhyemmät rakennejonot, joten induktio-oletuksen nojalla saadaan teoreemat ja a b [ψ w (a) ψ w (b)] (5) a b [η w (a) η w (b)]. (6) Predikaattikielen päättelylauseen nojalla on helppo todistaa seuraava looginen teoreema: L [[ψ w (a) ψ w (b)] [η w (a) η w (b)]] [[ψ w (a) η w (a)] [ψ w (b) η w (b)]], 18

jolloin ehtojen (5) ja (6) nojalla väite (4) helposti seuraa. Näin induktioaskel on otettu tapauksessa 5). Tutkittavana on vielä vaihtoehto 6), jossa siis ϕ on muotoa ϕ = yψ jollekin kaavalle ψ ja jollekin muuttujalle y a,b. Jos y = w, niin sijoituksen määritelmän nojalla ϕ w (a) = wk a z (ψ) ja ϕ w (b) = wk b z(ψ), jolloin ekvivalenssin sijoitussääntöä ja harjoitustehtävää 2.1 käyttäen väite tulee muotoon a b [ϕ ϕ], mikä pätee triviaalisti, koska ϕ ϕ on looginen teoreema. Voidaan siis olettaa, että y w. Tällöin väite tulee muotoon Induktio-oletuksen nojalla saadaan teoreema eli looginen teoreema eli a b [ yψ w (a) yψ w (b)]. (7) a b [ψ w (a) ψ w (b)] L (JAx1) [a b [ψ w (a) ψ w (b)]] L [(JAx1) a b] [ψ w (a) ψ w (b)]. (8) Koska nyt (JAx1) on suljettu ja y a,b, niin y ei esiinny vapaana loogisen teoreeman (8) etujäsenessä (JAx1) a b, jolloin teoreeman (8) ja lauseen 2.11 nojalla saadaan looginen teoreema eli jolloin L [(JAx1) a b] [ yψ w (a) yψ w (b)] L (JAx1) [a b [ yψ w (a) yψ w (b)]], a b [ yψ w (a) yψ w (b)], mikä onkin väite (7). Näin induktioaskel on otettu ja lause siten todistettu. Huomautus. Kuten jo luvussa 2 mainittiin, lauseen 4.5 väite ei päde tavalliselle sijoitukselle S x a(ϕ). Esitetään vielä tämän luvun lopuksi lause, joka auttaa ymmärtämään seuraavassa luvussa asetettavia määritelmiä. Intuitiivisesti tämä lause sanoo, että a on joukon b alkio jos ja vain jos a on ekvivalentti jonkun b:n alkion kanssa. Tässä on oleellista nimenomaan lauseen 4.6 todistuksen ehto (2), joka ei päde ilman aksioomaa (JAx1). 19

Lause 4.6 Olkoot a ja b muuttujia tai vakioita ja x a,b muuttuja. Tällöin pätee a b x[x a x b]. Todistus. Olkoon t sopiva totuusarvofunktio ja u,v,w vakioita. Koska x a,b, niin riittää osoittaa, että Tähän riittää osoittaa, että ja t(u v x[x u x v]) = 1. Väitettä (1) varten voidaan olettaa, että pitää osoittaa, että Väite (4) seuraa, jos osoitetaan, että t(u v x[x u x v]) = 1. (1) t( x[x u x v] u v) = 1. (2) t(u v) = 1; (3) t( x[x u x v]) = 1. (4) t(w u w v) = 1 (5) jollekin vakiolle w. Oletuksen (3) ja lauseen 4.3 1) nojalla tällainen vakio on u. Siispä väite (4) ja siten myös väite (1) on todistettu. Väitettä (2) varten oletetaan, että ehto (4) pätee; riittää osoittaa, että tällöin pätee myös ehto (3). Ehdon (4) nojalla on olemassa vakio w siten, että ehto (5) pätee. Aksiooman (JAx1) nojalla saadaan t([w u w v] u v) = 1, jolloin ehto (3) seuraa ehdosta (5). Näin ehto (3) ja siten väite (2) ja näin koko lause on todistettu. Harjoitustehtävä 4.7 Osoita, että lauseen 4.6 väite ei päde ilman oletusta x a,b. 5 Luokat Koulussa joukko-oppia kaiketi opetetaan suurinpiirtein näin: Joukkoja ovat kokoelmat {x ϕ(x)}, missä ϕ on jokin ominaisuus, jonka alkion x on toteutettava kuuluakseen kyseiseen joukkoon. Tämä on tietenkin täysin epämääräistä puhetta ja sitä pitää kovasti täsmentää. Tuon ominaisuus -käsitteen kanssa on oltava varovainen. Esimerkkinä tästä on seuraava tarkastelu. 20

Olkoon ϕ(x) ominaisuus x ei sisällä itseään alkiona. Monilla (itse asiassa useimmilla) joukoilla näyttäisi tällainen ominaisuus olevan, mutta vastakkaisiakin esimerkkejä ilmeisesti(?) löytyy vaikkapa kaikkien joukkojen joukko. Vai onko tämä oikea esimerkki? Tarkastellaan sitten kaikkien niiden joukkojen x joukkoa a, joilla ominaisuus ϕ(x) on. Nyt kysymys kuuluu: Onko joukolla a ominaisuus ϕ(a) vai ei? Onko siis a itsensä alkio? Jos a on itsensä alkio, niin sillä siis on joukon a määrittelevä ominaisuus ϕ(a) eli se ei ole itsensä alkio. Näin päädytään ristiriitaan. Siispä a ei voi olla itsensä alkio. Silloin a ei myöskään toteuta joukon a määrittelevää ominaisuutta ϕ(a). Tämän ominaisuuden määrittelyn nojalla tällöin a on välttämättä itsensä alkio. Taas ollaan ristiriitatilanteessa, joten suo on edessä joka puolella. Tätä yllä kuvailtua ristiriitaista tilannetta kutsutaan Russellin paradoksiksi; tähänhän jo johdannossa viitattiin, sen on esittänyt Bertrand Russell kirjeessään Gottlob Fregelle vuonna 1902. Tyyppiä a = {x ϕ(x)} olevien joukkojen määrittelyssä on oltava siis tarkkana. Ensimmäinen ongelma on ominaisuuden ϕ määrittelyssä. Voidaan sopia, että ϕ on kaava ja z jokin tietty muuttuja. Tällöinhän ϕ z (x) on myös kaava kaikille muuttujille x. Voidaan edelleen sopia, että joukko {x ϕ z (x)} (1) koostuu tarkalleen niistä muuttujista x, joille kaava ϕ z (x) pätee. Tämä ajattelu voidaan formalisoida. Jos merkitään symbolilla a joukkoa (1) eli niin kaikille muuttujille x pitäisi kaavan a = {x ϕ z (x)}, (2) x a ϕ z (x) päteä eli tarkemmin sanottuna kaavan x[x a ϕ z (x)] (3) pitäisi olla teoreema. Ja nyt tulee peruskysymys. Onko a aina joukko? Intuitiivisella tasolla tämä kysymys tarkoittaa sitä kun muistetaan, että muuttujat symboloivat nimenomaan joukkoja, että onko merkintä (2) järkevä eli löytyykö muuttujaa a, jolle merkintä (2) olisi mielekäs eli tarkemmin sanottuna pätisikö kaava (2) eli olisiko kaava a[a {x ϕ z (x)}] (4) 21

teoreema. Nythän tämä on täysin mieletön kysymys, koska kyseessä ei ole edes kaava, sillä {x ϕ z (x)} ei ole sana siinähän on predikaattikieleen kuulumattomia aakkosia. Kun muistellaan yhtenevyyden määritelmää, kaavayritelmä (4) voidaan kaavan (3) valossa yrittää kirjoittaa muotoon a x[x a x {x ϕ z (x)}]. (5) No, ei tilanne vieläkään paljon parane, koska edelleenkään kyseessä ei ole sana. Nyt muistetaan edellä sanottu eli se, että x sisältyy joukkoon {x ϕ z (x)} jos ja vain jos pätee ehto ϕ z (x). Lisäämällä tämä idea kaavayritelmään (5) voidaan kyseinen viritys kirjoittaa muotoon a x[x a ϕ z (x)]. Tällöin kysymys (4) voidaan esittää muodossa: Onko kaava a x[x a ϕ z (x)] (6) teoreema? Tämä on lopultakin järkevä kysymys, johon vastaus voi olla joko myöntävä tai kieltävä. Ennen kuin lähdetään hakemaan vastausta tähän ongelmaan, täytyy ensin tarkkaan määritellä, mitä nämä symbolit {x ϕ z (x)} oikeastaan ovat, so. miten ne saadaan sopimaan kielen aakkostoon, niin että niiden käyttö on järkevää ja niitä voidaan pitää sanoina, vaikkeivät ne sitä oikeasti olekaan. Sovitaan ensin pysyvästi, että merkintää {x ϕ z (x)} käytettäessä muuttuja x ei esiinny kaavassa ϕ vapaana. Tästä on muun muassa se välitön etu, että tällöin kaavasta ϕ w (x) voidaan nähdä, mikä kaava ϕ on alunperin ollut kaavassa ϕ w (x) muuttuja x tietysti yleensä (vapaana) esiintyy, mutta jos tiedetään, että se ei ϕ:ssä alunperin ole ollut, kaava ϕ saadaan luettua kaavasta ϕ w (x) korvaamalla kaikki siinä esiintyvät vapaat x:t w:llä. Huomaa myös, että kaavassa ϕ z (x) ei koskaan kvantifioida x:n suhteen mikä johtuu tämän sijoituksen määritelmästä, joten x esiintyy (jos esiintyy) ainoastaan vapaana kaavassa ϕ z (x). Sovitaan sitten merkinnästä a {x ϕ z (x)}, joka on eräs oikea kaava. Merkintä 5.1 Olkoon ϕ kaava, x,z muuttujia ja a muuttuja tai vakio. Merkitään a {x ϕ z (x)} := ϕ z (a). Nyt siis häkkyrä a {x ϕ z (x)} toimii ikään kuin lyhennysmerkintänä (tai oikeastaan pidennys-) kaavalle ϕ z (x), joten sekin on kaava. Huomaa, että laite {x ϕ z (x)} ei yksinään ole kaava ainakaan tässä tulkinnassa, eikä kyllä jatkossakaan. Tässä on ideana tuoda nämä symbolit {x ϕ z (x)} peliin mukaan ikään kuin korvaamaan muuttujia, jotka siis symboloivat joukkoja. Koska muuttujat voivat symboloida myös alkioita (siis periaatteellisella tasollahan joukolla ja alkiolla ei tässä esityksessä ole mitään eroa: merkintä a b on aina järkevä), täytyy nyt 22

sopia myös merkinnästä {x ϕ z (x)} a. Tämä onkin vähän ongelmallisempaa. Tässä kannattaa muistaa lause 4.6, joka sanoo, että a b x[x a x b]. Siis a on b:n alkio jos (ja vain jos) a on yhtenevä jonkin b:n alkion kanssa. Nyt intuitiivisella tasolla voidaan sopia, että {x ϕ z (x)} on a:n alkio, jos (ja vain jos) {x ϕ z (x)} on yhtenevä jokin a:n alkion kanssa. Tämä yhtenevyyskäsite pitää vielä sopia. Joukoille (eli muuttujille) a ja b yhtenevyys määriteltiin näin: a b := x[x a x b], missä x on muuttuja siten, että x a,b. Tämä käsite voidaan nyt yleistää sopimalla, että b {x ϕ z (x)} := y[y b y {x ϕ z (x)}]. Tässä täytyy taas olettaa (vrt. määritelmä 4.1), että y b ja y ei esiinny kaavassa ϕ z (x). Huomaa, että kyseessä on ihan oikea kaava, koska y {x ϕ z (x)} on merkinnän 5.1 mukaisesti kaava. Tämän jälkeen ollaankin valmiita asettamaan symbolin {x ϕ z (x)} a määritelmä: Merkintä 5.2 Olkoon ϕ kaava, x,z muuttujia ja a muuttuja tai vakio. Merkitään {x ϕ z (x)} a := y[y {x ϕ z (x)} y a], missä y a on muuttuja, joka ei esiinny kaavassa ϕ. Harjoitustehtävä 5.3 Kirjoita auki lyhennysmerkintä {x ϕ z (x)} a. Huomaa samalla, että kyseessä todella on kaava. Nyt on siis määritelty merkinnät a {x ϕ z (x)} ja {x ϕ z (x)} a, mutta ei tämä vielä tähän lopu. Pitää nimittäin vielä määritellä käsite {x ϕ z (x)} {x ψ y (x)}. Idea on edellisestä jo selvillä ja voidaan heti sopia seuraavaa. Merkintä 5.4 Olkoot ϕ, ψ kaavoja ja x, y, z muuttujia. Merkitään {x ϕ z (x)} {x ψ y (x)} := w[w {x ϕ z (x)} w {x ψ y (x)}], missä w on muuttuja, joka ei esiinny kaavoissa ϕ eikä ψ. Harjoitustehtävä 5.5 Kirjoita auki lyhennysmerkintä {x ϕ z (x)} {x ψ y (x)}. Huomaa samalla, että kyseessä todella on kaava. 23

Symboleja {x ϕ z (x)} kutsutaan jatkossa luokiksi. Luokat vastaavat muuttujia ja esiintyvät (jos esiintyvät) kaavoissa intuitiivisesti ajatellen samalla tavalla. Oikeastaan ainoa ero on siinä, että luokkien suhteen ei koskaan kvantifioida. Jatkossa merkitään luokkia suurilla aakkosilla A, B, C,... Huomaa, että luokat eivät ole kaavoja (eiväthän muuttujatkaan ole sitä) eivätkä oikeastaan edes sanoja, koska niissä esiintyy luvattomia aakkosia. Sen sijaan luokat ikään kuin heräävät eloon, kun ne ovat osana jotakin oikeaa kaavaa siis muodossa a A, A a tai A B. Jos ϕ on kaava ja x muuttuja sekä A = {x ψ y (x)} luokka, niin sijoitus ϕ x (A) voidaan määritellä aivan analogisesti sijoituksen ϕ x (a), missä a on muuttuja tai vakio, kanssa. Kuten muistetaan, sijoituksessa ϕ x (a) piti ensin vaihtaa ϕ:n mahdolliset a:n suhteen tehdyt kvantifikaatiot jonkun uuden muuttujan suhteen tehdyiksi ja sitten vasta korvattiin x:n vapaat esiintymät a:lla. Tässä vaihdetaan ensin ϕ:ssä tehdyt kvantifikaatiot, joissa kvantifioivana muuttujana on jokin kaavassa ψ y (x) oleva muuttuja, joidenkin uusien muuttujien suhteen tehdyiksi ja vasta sitten korvataan ϕ:ssä olevat vapaat x:t A:lla. Esimerkki. Olkoot x,y,a eri muuttujia ja ϕ = y[y a x y] sekä A = {y y a}. Nyt ϕ:n kvantifikaatio on kiellettyä laatua, koska y esiintyy kaavassa y a, joten se pitää ensin vaihtaa. Valitaan siis uusi muuttuja z x,y,a ja korvataan ϕ kaavalla K y z (ϕ) = z[z a x z]. Tähän sitten vaihdetaan vapaiden x:ien paikalle A, jolloin tuloksena on kaava ϕ x (A) = z[z a {y y a} z]. Harjoitustehtävä 5.6 Anna sijoituksen ϕ x (A), missä ϕ on kaava, x muuttuja ja A luokka, tarkka määritelmä. Osoita samalla, että ϕ x (A) on aina kaava. Luokkien välille voidaan luontevasti määritellä myös yhtenevyys: Määritelmä 5.7 Olkoot A ja B luokkia, muuttujia tai vakioita. Merkitään A B := x[x A x B] missä x on muuttuja, joka ei esiinny luokissa A tai B. Sanotaan, että A ja B ovat yhteneviä, mikäli kaava A B on teoreema. Huomautus. Jos A ja B ovat muuttujia tai vakioita, tämä on sama määritelmä kuin ennenkin. Jos A on muuttuja tai vakio, tämä määritelmä on sama kuin ennen merkintää 5.2 esitetty. Uuttahan tässä on sitten kokonaan ne tapaukset, joissa A on luokka ja B luokka, muuttuja tai vakio. Lause 4.5 yleistyy välittömästi koskemaan kaikkia luokkia. Tässä ja jatkossakin kutsutaan mukavuussyistä ja kirjoitusvaivan helpottamiseksi luokkia, muuttujia ja vakioita yhteisnimellä termi. 24