pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-7 2 Merkintöjä 0-9 2.1 Lukujoukot................... 0-9 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-10 2.3 Porrasfunktiot................. 0-12 2.4 Tärkeitä kaavoja................ 0-15 3 Kokonaislukurengas Z 0-16 3.1 Jaollisuus, alkuluvut.............. 0-16 3.2 Jakoalgoritmi.................. 0-21 3.3 Eukleideen algoritmi.............. 0-25 3.4 Kongruenssi.................. 0-35 3.5 Euler-Fermat.................. 0-44 3.6 Eräs kongruenssiryhmä............ 0-46 3.7 Kiinalainen jäännöslause............ 0-47
4 Kertomat, binomikertoimet 0-51 4.1 Palautuskaava, Pascalin kolmio......... 0-54 4.2 p-valuaatio kokonaisluvuille........... 0-58 4.3 Binomisarja, Binomikehitelmä......... 0-64 5 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) 0-66 5.1 Perusteita................... 0-66 5.2 Wolstenholmen lause............. 0-84 5.3 (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )........... 0-93 6 Polynomien kongruenssi 0-98 6.1 Sovelluksia lukujen kongruensseihin...... 0-105 7 Summausmenetelmiä 0-109 7.1 Polynomialgebran sovelluksia......... 0-109 7.2 Teleskoopit................... 0-110 8 Fibonaccin ja Lucasin luvut 0-113 8.1 Rekursio ja Binet n kaava............ 0-113 0-1
8.2 Matriisiesitys.................. 0-118 8.3 Generoiva sarja................ 0-126 8.4 Laajennus negatiivisiin indekseihin/todistuksia EI kysytä kokeessa................ 0-129 8.5 Jaollisuustuloksia............... 0-133 8.6 f n (mod k)................. 0-135 8.7 f n (mod p)................. 0-139 9 Lucasin jonot/ei kysytä kokeessa 0-145 9.1 Rekursio ja ratkaisu yritteellä.......... 0-145 10 Antiikin lukuja 0-152 10.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut......... 0-152 10.2 Pythagoraan luvut............... 0-153 10.2.1 Geometrinen ratkaisu/ei tule kokeeseen. 0-158 10.3 Heronin luvut/ei tule kokeeseen........ 0-158 11 Irrationaaliluvuista 0-158 0-2
12 Ketjumurtoluvut/EI kysytä kokeessa 0-162 13 Bernoullin luvut/ei tule kokeeseen 0-170 13.1 Generoiva funktio ja sarja........... 0-170 13.2 Palautuskaava................. 0-174 13.3 Potenssisummia................ 0-176 14 p-valuaatio/todistuksia EI kysytä kokeessa 0-180 15 Bernoullin lukujen jaollisuudesta/ei tule kokeeseen0-185 16 Työkaluja 0-196 16.1 Hieman polynomialgebraa........... 0-196 16.2 Lisää polynomialgebraa............ 0-201 16.2.1 Symmetriset peruspolynomit...... 0-201 16.3 Formaaleista potenssisarjoista......... 0-204 17 Osamääräkunta/EI kysytä kokeessa 0-215 0-3
KORJAUKSIA JA MUUTOKSIA: Kaavaan (3.142) tehty muutos 21.11.2012. Kohtaan (5.136) tehty korjaus 5.12.2012. Lisätty määritelmä 6.2, 5.12.2012. Lisätty lauseet 6.1,6.2 ja Wolstenhomeen lauseen II todistus 6 5.12.2012. Lauseeseen 8.5 tehty muutoksia 5.12.2012. Lisätty Lause 8.3 10.12.2012. Huomaa Luvun 8 uusi kappalejako 8.5 (tulee kokeeseen) 12.12.2012. Lisätty Lause 8.16 (aikaisempi tulos ja todistus on nyt esitetty teoreeman muodossa) 12.12.2012. Huomaa, että Luvun 8 kaava- ja lausenumeroinnit ovat muuttuneet. Voit ilmoittaa löytämäsi painovirheet ja muut töpeksinnät E-mail osoitteeseen: etunimi.sukunimi@oulu.fi Tapani Matala-aho 0-4
LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES 802328A Lukuteorian perusteet (5 op) [=Aikaisempi Lukuteoria I (5op)] Luennoilla tarkastelemme matematiikan ja erityisesti lukuteorian tutkimuksessa usein esiintyvien lukujen aritmeettisia ominaisuuksia sekä aiheeseen liittyviä menetelmiä. Tutkittavia lukuja ovat esimerkiksi binomikertoimet, ketjumurtoluvut, potenssisummat sekä eräät matemaatikkojen Bernoulli, Fibonacci, Heron, Lucas, Neper, Pythagoras, Wilson ja Wolstenholme mukaan nimitetyt luvut. Sovellettavista työkaluista mainittakoon generoivat sarjat, irrationaalisuustarkastelut, matriisiesitykset, rationaalilukujen ja polynomien kongruenssit, rekursiot ja teleskoopit. 0-5
Pohjatietoina oletetaan 1. vuoden kurssit, erityisesti Lukuteoria ja ryhmät. Aluksi tosin kerrataan nopesti ilman todistuksia kurssin Lukuteoria ja ryhmät jaollisuuteen ja kongruenssiin liittyviä tuloksia, kappaleessa 3. 0-6
1 Johdanto Lukuteoria eli aritmetiikka tutkii erityisesti kokonaislukuihin liittyviä kysymyksiä. Aritmetiikan määritelmästä: Ensinnäkin, alkeisaritmetiikka eli alkeismatematiikka voidaan käsittää kokonaislukujen ja niiden laskutoimitusten-yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku ja jakolasku-muodostamaksi järjestelmäksi. Esimerkiksi korttipeli voidaan ajatella matemaattiseksi järjestelmäksi, jossa lukuja vastaavat kortit ja laskutoimituksia pelin säännöt. Toisaalta aritmetiikka laajasti katsottuna sisältää myös tutkimukselliset kysymykset ja niiden tarkasteluun kehitetyt työkalut. Tällöin termit lukuteoria ja aritmetiikka samaistetaan-kuten voi nähdä alan päälehtien Acta Arithmetica ja Journal of Number Theory nimistä. 0-7
LÄHTEITÄ: G.H. Hardy & E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Number Theory Web American Mathematical Monthly 0-8
2 Merkintöjä 2.1 Lukujoukot N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaislu P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. Z + = {1, 2, 3,...} = N {0} = {positiiviset kokonaisluvut}. Z = { 1, 2, 3,...} = Z N = {negatiiviset kokonaisluvu Q = { m n m Z, n Z+ } = {rationaaliluvut}. R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. R 0 = {r R r 0},... Q = Q {0}, R = R {0}, C = C {0}, 0-9
2.2 Sekalaisia merkintöjä Olkoot a, b lukuja sekä A, J lukujoukkoja: aj + b = {aj + b j J} a J = {a j j J} A J = {a j a A, j J} ESIM: J = Z, b Z, n Z +, tällöin merkitään b = nz + b, joka on jakojäännösluokka (mod n) ja Z/nZ = {b b {0, 1,..., n 1}}, joka on jakojäännösrengas (mod n).! täsmälleen yksi. A B A B ja A = B. #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. 0-10
Olkoon A = {a 1,..., a m }, tällöin f(a) = f(a 1 ) +... + f(a m ), a A a A f(a) = f(a 1 ) f(a m ). Jos A =, niin f(a) = 0, f(a) = 1 a A a A (tyhjä summa ja tulo). Edelleen "Summaus n. tekijöiden yli" f(d) = f(d 1 ) +... + f(d k ), d n missä d i Z + ovat n:n erilliset tekijät. "Summaus n. alkutekijöiden yli" f(p) = p n "Tulo n. alkutekijöiden yli" f(p) = p n f(p). p n,p P f(p). p n,p P 0-11
2.3 Porrasfunktiot Määritelmä 2.1. Lattiafunktio (eli porrasfunktio) : R Z saadaan asettamalla x = [x] = max{n Z n x} aina, kun x R. Esimerkki 1. Jos x R 0, niin tällöin x on x:n kokonaisosa, mutta esimerkiksi 1.2 = 2. Määritelmä 2.2. Kattofunktio : R Z saadaan asettamalla aina, kun x R. x = min{n Z x n} 0-12
Lause 2.1. Olkoon x R muotoa x = k + c, k Z, 0 c < 1. (2.1) Tällöin k = x. (2.2) Edelleen x = x x R, (2.3) x x < x + 1 x R (2.4) x + k = x + k x R, k Z, (2.5) x + y x + y x, y R, (2.6) x y xy x, y R 0. (2.7) 0-13
Todistus: Luennolla (2.2), loput laskareissa. Merkintä: {x} = x x. (2.8) Huomataan, että 0 {x} < 1 (2.9) ja että {x} antaa positiivisen luvun x R + desimaaliosan. Esimerkki 2. {1.2} = 0.2 (2.10) mutta { 1.2} = 0.8 (2.11) 0-14
2.4 Tärkeitä kaavoja n k = k=0 n(n + 1) ; (2.12) 2 n k=0 n k=0 a k = an+1 1, a = 1; (2.13) a 1 ( ) n t k = (1 + t) n, n N. (2.14) k a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). (2.15) a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1), 2 n. (2.16) A n B n = (A B)(A n 1 +A n 2 B+ +AB n 2 +B n 1 ). (2.17) 0-15
3 Kokonaislukurengas Z 3.1 Jaollisuus, alkuluvut Määritelmä 3.1. Olkoot a, b Z. Tällöin b a c Z : a = bc. (3.1) Kun b a, niin b jakaa (divides) a:n eli b on a:n tekijä (factor) eli a on b:n monikerta (multiple). Käytetään merkintää b a, kun b ei jaa a:ta. Lause 3.1. Jaollisuuden laskusääntöjä. Olkoot k, m, n, r, s Z. Tällöin ±1 k, ±k k; (3.2) 0 k k = 0; (3.3) k 0; (3.4) 0-16
k 1 k = ±1; (3.5) m n, n m n = ±m; (3.6) k m, m n k n; (3.7) k m, k n k rm + sn; (3.8) k m, k n k m ± n; (3.9) k m, k n k 2 mn; (3.10) k m k m h, k h m h, h Z + (3.11) 0-17
Huom 1. Sääntö 3.5 otetaan aksiomiksi, sillä sen todistamiseen tarvitaan itseisarvon ja järjestyksen ominaisuuksia. Katso myöhemmin esitettävä renkaan yksikköryhmä. Todistus. Kohta (3.6): Ehdoista m n m saadaan n = hm = hln h, l Z. (3.12) Tapaus n = 0. Tällöin (1 hl)n = 0 hl = 1 h = l = ±1 (3.13) Tapaus n = 0. Tällöin n = ±m. (3.14) m 0 m = 0 n = ±m. (3.15) Esimerkki 3. 0 0, 0 a = 0. (3.16) 0-18
Merkintöjä: Olkoot d, n Z, d 2, tällöin d s n d s n ja d s+1 n, s N. (3.17) Olkoon k Z, tällöin kz = {ka a Z} = (3.18) k:lla jaollisten kokonaislukujen joukko eli k:n monikerrat. Esimerkki 4. 3 4 162, 1Z = Z, 0Z = {0}. (3.19) Määritelmä 3.2. Olkoon q Z annettu ja olkoon d q, d Z. Jos d {1, 1, q, q}, niin d on luvun q triviaali tekijä. Jos d / {1, 1, q, q}, niin d on luvun q aito tekijä. Määritelmä 3.3. Luku q Z on jaoton (irreducible) Jos d q, niin d = ±1 tai d = ±q. Siten jaottomalla kokonaisluvulla q on vain triviaalit tekijät 1, 1, q, q. 0-19
Määritelmä 3.4. Luku p Z, p 2 on alkuluku (prime) Jos d p, niin d = ±1 tai d = ±p. Merkintä: Alkulukujen joukko P = {p p on alkuluku}. Siten p P p on jaoton ja p 2, joten P = {p 2, 3, 5, 7, 11,..., 101,...}. Alkutekijä=alkulukutekijä=(prime factor). Määritelmä 3.5. Luku n Z, on yhdistetty (composite) luku n:llä on ainakin 2 alkutekijää. Esimerkki 5. 4 on yhdistetty. 0 on yhdistetty. 3 ei ole yhdistetty eikä alkuluku mutta on jaoton. Määritelmä 3.6. Luvun n Z 2 esitys n = p r 1 1 pr t t, p i P, r i Z + (3.20) 0-20
on luvun n luonnollinen alkulukuesitys, alkutekijäesitys (kanoninen alkutekijähajotelma, prime factorization). Jos, m/n Q, niin m n = pr 0 0 pr 1 1 pr t t, p i P, p 0 = 1 r i Z. (3.21) Esimerkki 6. 1 = ( 1) 1 2 0 3 0, 40 128 = 23 5 2 7 = 2 4 5 1 (3.22) 3.2 Jakoalgoritmi Lause 3.2. Olkoot a, b Z ja b = 0. Tällöin! q Z ja! r N : a = qb + r, 0 r < b. (3.23) 0-21
Kun b Z +, niin q = a b. (3.24) Esimerkki 7. b = 3, a = 13 = ( 5) 3 + 2, q = 5, r = 2, a b = 5 (3.25) a = 13 = 4 3 + 1, q = 4, r = 1, a b = 4 (3.26) Määritelmä 3.7. Jaettaessa luku a luvulla b, on jakoalgoritmista saatu luku r jakojäännös (remainder) ja osamäärän (quotient) a/b kokonaisosa (integral part) on luku q, kun a/b 0 ja b 1. Määritelmä 3.8. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin luku d N on lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä (greatest common 0-22
divisor) eli d =syt(a, b) = (a, b) mikäli d a ja d b; [Y T ] c a ja c b c d. [S] Jos (a, b) = 1, niin sanotaan, että a ja b ovat keskenään jaottomia (relatively prime) ja merkitään a b. Esimerkki 8. a) 23 32 (23, 32) = 1 (3.27) b) (0, a) = a a Z, (3.28) erityisesti (0, 0) = 0. (3.29) HUOM: Usein esiintyy myös määritelmä, jossa vaaditaan, 0-23
että d Z +, jolloin (0, 0) (Muutoin saadaan samat tulokset). Määritelmä 3.9. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin luku f N on lukujen a ja b pienin yhteinen jaettava (least common multiple) eli f =pyj[a, b] = [a, b] mikäli a f ja b f; [Y J] a g ja b g f g. [P ] Esimerkki 9. [0, 0] = 0 (3.30) Lause 3.3. Olkoot a = m i=1 p r i i, b = m i=1 p s i i, p i P, r i, s i N. Tällöin syt(a, b) = m i=1 p min(r i,s i ) i, (3.31) 0-24
pyj(a, b) = m i=1 p max(r i,s i ) i. (3.32) Esimerkki 10. Olkoot a = 3 5 2 7, b = 3 2 5 7, nyt syt(a, b)pyj(a, b) = 3 5 7 3 2 5 2 7 = ab. (3.33) Lause 3.4. Olkoot a, b Z +, tällöin ab = syt(a, b)pyj(a, b) = (a, b)[a, b]. (3.34) TOD: (Harj.) Osoita ensin, että min(r i, s i ) + max(r i, s i ) = r i + s i. (3.35) 3.3 Eukleideen algoritmi Jakoalgoritmin nojalla saadaan E.A.=Eukleideen algoritmi. 0-25
E.A. Olkoot a, b Z + annettu ja 1 b < a. r 0 = a, r 1 = b 0 r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n n N : r n = 0, r n+1 = 0 0 r k+2 < r k+1 0 r n < r n 1 r n 1 = q n r n r n = syt(a, b). Tässä n = Eukleideen algoritmin pituus (length), jolle pätee n a 1. (3.36) Myöhemmin todistetaan Fibonaccin lukujen avulla, että n log a/ log((1 + 5)/2)). (3.37) 0-26
Asetetaan nyt R k = r k r k+1, Q k = q k 1, k N, (3.38) 1 0 jolloin det Q k = 1, Q k 1 = 0 1. (3.39) 1 q k Nähdään, että E.A. R k = Q k+1 R k+1, k = 0,..., n 1, (3.40) jolloin pätee R 0 = Q 1 Q 2 Q k R k. (3.41) Merkitään S 0 = s 0 t 0 = s 1 t 1 1 0 0 1 (3.42) 0-27
ja S k = jolloin s k s k+1 t k t k+1 = Q 1 k Q 1 2 Q 1 1, (3.43) R k = S k R 0. (3.44) Nyt S k+1 = Q 1 k+1 S k (3.45) eli s k+1 t k+1 s k+2 t k+2 = 0 1 s k 1 q k+1 s k+1 s k q k+1 s k+1 t k+1 s k+1 t k q k+1 t k+1 t k t k+1 = (3.46) Palautuskaavat eli rekursiot (recurrence): s k+2 = s k q k+1 s k+1, k = 0, 1,... t k+2 = t k q k+1 t k+1, k = 0, 1,... (3.47) 0-28
Yhtälöstä (3.44) saadaan r n = s n a + t n b, (3.48) josta edelleen saadaan Lause 3.5. syt(a, b) = s n a + t n b, (3.49) missä n on E.A:n pituus. Esimerkki 11. Olkoot a = 909 ja b = 309. Tällöin Eukleideen algoritmilla saadaan q 1 = 2, q 2 = 1, q 3 = 16, q 4 = 6, r 4 = 3, n = 4. (3.50) Seuraavaksi käytetään rekursioita (3.47) lähtien alkuarvoista (3.42). Laskemalla saadaan s 4 = 17, t 4 = 50 s 4 a + t 4 b = 3. (3.51) 0-29
Seuraus 1. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a bc ja a c, (3.52) niin a b. (3.53) Seuraus 2. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a c ja b c ja a b, (3.54) niin ab c. (3.55) Seuraus 3. Olkoot a, b Z ja p P. Tällöin, jos p ab, (3.56) niin p a tai p b. (3.57) 0-30
Seuraus 4. Olkoot a Z, p P ja k, n Z +. Tällöin p a n p a p n a n ; (3.58) p k a n p a n. (3.59) Määritelmä 3.10. Olkoot a 1,..., a m Z annettu. Tällöin luku d m N on lukujen a 1,..., a m suurin yhteinen tekijä eli d m =syt(a 1,..., a m ) = (a 1,..., a m ) mikäli a) d m a i i = 1,..., m; b) c a i i = 1,..., m c d m. Huom 2. Olkoot a 1,..., a m Z pareittain keskenään jaottomia (pairwise relatively prime) eli a i a j i = j. (3.60) 0-31
Tällöin (a 1,..., a m ) = 1. (3.61) Huom 3. Edellinen ei päde välttämättä vastakkaiseen suuntaan, sillä esimerkiksi (6, 9, 5) = 1 mutta (6, 9) = 3. (3.62) Määritelmä 3.11. Olkoot a 1,..., a m Z annettu. Tällöin luku f m N on lukujen a 1,..., a m pienin yhteinen jaettava eli f m =pyj[a 1,..., a m ] = [a 1,..., a m ] mikäli a) a i f m i = 1,..., m; b) a i c i = 1,..., m f m c. Lause 3.6. Olkoon d m = (a 1,..., a m ), tällöin on olemassa sellaiset l 1,..., l m Z, että d m = l 1 a 1 +... + l m a m. (3.63) 0-32
Todistus: Induktiolla. Perusaskel: m = 2 (3.49). Induktio-oletus: Väite tosi, kun m = k. Induktioaskel: Olkoon m = k + 1. 1. Osoitetaan ensin, että d k+1 = (d k, a k+1 ). (3.64) a.) Koska d k+1 a 1,..., a k, a k+1, (3.65) niin d k+1 d k, d k+1 a k+1 (3.66) eli on yhteinen tekijä. b.) Jos c d k, a k+1, (3.67) niin c a 1,..., a k, a k+1. (3.68) 0-33
Siten c d k+1, (3.69) joten on suurin tekijä. a.)+b.) d k+1 = (d k, a k+1 ). 2. Induktio-oletuksesta saadaan, että h i Z : d k = h 1 a 1 +... + h k a k (3.70) ja j i Z : (d k, a k+1 ) = j 1 d k + j 2 a k+1. (3.71) Siten d k+1 = (d k, a k+1 ) = j 1 (h 1 a 1 +... + h k a k ) + j 2 a k+1 = l 1 a 1 +... + l k+1 a k+1. (3.72) Joten induktioaskel on todistettu ja induktioperiaatteen nojalla alkuperäinen lauseen väite on tosi. 0-34
3.4 Kongruenssi Esimerkki 12. Huomataan, että 17 = 3 5+2, 12 = 2 5+2, 7 = 1 5+2,..., (3.73) jolloin on sovittu merkinnästä 17 2 (mod 5), 12 7 2 (mod 5). (3.74) Määritelmä 3.12. Olkoon n Z + annettu ja a, b Z. Jos n a b, (3.75) niin tällöin asetetaan a b (mod n) (3.76) eli a on kongruentti b:n kanssa modulo n. Edelleen, luku n on kongruenssin (3.76) modulus. Merkitään a b (mod n), (3.77) kun a ei ole kongruentti b:n kanssa modulo n. 0-35
Huom 4. Työkaluja: a b (mod n) a b 0 (mod n); (3.78) a 0 (mod n) n a. (3.79) Lause 3.7. Kongruenssi on ekvivalenssirelaatio. Olkoon n Z +, a, b, c Z. Tällöin pätee a a; (3.80) a b b a; (3.81) a b, b c a c; (3.82) kaikki kongruenssit (mod n). Lause 3.8. Kongruenssin laskusääntöjä. Olkoon n Z +, a, b, c, d, r, s Z, h N ja P (x) Z[x]. 0-36
Jos a b, c d, (3.83) niin ra + sc rb + sd; (3.84) a ± c b ± d; (3.85) ac bd; (3.86) a h b h ; (3.87) P (a) P (b); (3.88) kaikki kongruenssit (mod n). Todistus. Käytetään työkaluja (3.78) ja (3.79) sekä jaollisuuden laskusääntöjä. 0-37
Kohta (3.84): Oletuksista (3.83) seuraa n a b, n c d (3.89) ra+sc (rb+sd) = r(a b)+s(c d) 0 (mod n), (3.90) jolloin tuloksen (3.78) nojalla saadaan väite. Esimerkki 13. a a + ln (mod n) l Z. (3.91) Lause 3.9. Muita tuloksia. Olkoon n Z +, a, b, m Z. Tällöin pätee ma mb (mod n), m n (3.92) a b (mod n). (3.93) 0-38
a b (mod mn) (3.94) a b (mod n). (3.95) Huom 5. a b (mod n) (3.96) n a b a = b + l n, jollakin l Z (3.97) a b + nz = b, (3.98) missä b on edustajan b määräämä jakojäännösluokka (mod n). Lause 3.10. A. Keskenään kongruenteilla luvuilla on samat jakojäännökset ja Vice Versa. B. Kongruentit luvut kuuluvat samaan jakojäännösluokkaan eli a b (mod n) a = b. (3.99) 0-39
Siispä joukkoa Z/nZ = {a a = 0, 1, 2,..., n 1} = Z n (3.100) kutsutaan jakojäännösrenkaaksi, missä on laskutoimitukset a + b = a + b, (3.101) ab = ab. (3.102) Huom 6. Jakojäännösluokalle b voidaan käyttää myös merkintää [b] (Ryhmäteoreettinen sivuluokka). Huom 7. Usein kuitenkin lasketaan vain pelkillä edustajilla eli jakojäännöksillä 0, 1, 2,..., n 1 = 1 (mod n). Esimerkki 14. 1+1 = n 1+1 = n = 0, ( 1) 1 = 1 (mod n), (3.103) 0-40
2 1 = 1 2 = p + 1 2 (mod p), p P p 3. (3.104) Määritelmä 3.13. Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko R = {yksiköt} = {u R u 1 R : uu 1 = 1} (3.105) on renkaan R yksikköryhmä. Esimerkki 15. Jos R = K-kunta, niin K = K {0}. (3.106) Lause 3.11. Joukko Z = {±1}. (3.107) {a Z n a n} on renkaan Z n yksikköryhmä eli Z n = {a Z n a n}. (3.108) 0-41
Huomaa,että ehdosta a n seuraa Eukleideen algoritmin kohdan 5) nojalla, että 1 = s m a + t m n, (3.109) missä m on E.A:n pituus. Siten s m a 1 (mod n) a 1 = s m. (3.110) Erityisesti, jos p P, niin Z p on kunta ja Z p = {a Z p a p} = {1, 2,..., p 1}. (3.111) Määritelmä 3.14. Olkoon n 2. Jos a n, niin a on alkuluokka (mod n) ja Z n = {a Z n a n} on renkaan Z n kertolaskuryhmä (multiplication group of the ring). 0-42
Määritelmä 3.15. Eulerin funktio φ : Z + Z + saadaan asettamalla φ(n) = #{k Z + 1 k n, k n} (3.112) aina, kun n Z +. Siten, ryhmän Z n kertaluku (order) on #Z n = φ(n), n Z 2. (3.113) Lemma 3.1. φ(mn) = φ(m)φ(n), M N. (3.114) Eli φ on multiplikatiivinen ja koska ( φ(p m ) = p m 1 1 ), p P, m Z +, (3.115) p niin saadaan 0-43
Lemma 3.2. Olkoon n = p a 1 1... pa k φ(n) = p 1 a 1... p k a k ( 1 1 p 1 )... k, p i P. Tällöin ) (1 1pk (3.116) eli φ(n) = n p n ( 1 1 ). (3.117) p 3.5 Euler-Fermat Lause 3.12. EULER-FERMAT: Olkoot a Z, n Z 2 annettu ja a n. Tällöin a φ(n) 1 (mod n). (3.118) Lause 3.13. FERMAT N PIKKULAUSE: Olkoon p P annettu. Tällöin a p 1 1 (mod p), jos p a Z; (3.119) a p a (mod p), a Z. (3.120) 0-44
Olettaen (3.119) todistetaan (3.120): Jos syt(a, p) = 1, niin Pikku Fermat n (3.119) nojalla a p a (mod p). (3.121) Jos p a, niin a 0 (mod p) a p 0 (mod p) (3.122) a p a (mod p). (3.123) 0-45
3.6 Eräs kongruenssiryhmä Lause 3.14. A) Olkoot p, q P ja p = q. Tällöin yhtälöistä a b (mod p) seuraa a b (mod q) (3.124) a b (mod pq). (3.125) B) Olkoot m i Z ja m i m j kaikilla i = j. Tällöin yhtälöistä a b (mod m i ) i = 1,..., r (3.126) seuraa a b (mod m 1 m r ). (3.127) Todistus. A) kohta: Oletuksista (3.124) seuraa p a b, q a b. (3.128) 0-46
Koska p q, niin Seurauksen 2 nojalla pq a b a b (mod pq). (3.129) B) kohta induktiolla. Esimerkki 16. Olkoot p, q P ja p = q. Tällöin p q 1 + q p 1 1 (mod pq). (3.130) 3.7 Kiinalainen jäännöslause Lause 3.15. KIINALAINEN JÄÄNNÖSLAUSE. Olkoot m 1,..., m r Z + pareittain keskenään jaottomia ja olkoot a 1,..., a r Z annettu. Tällöin yhtälöryhmän x a 1 (mod m 1 ),. x a r (mod m r ) (3.131) 0-47
ratkaisut ovat x = x 0 + l M, l Z, M = m 1... m r = m k M k, missä (3.132) x 0 = n 1 M 1 a 1 +... + n r M r a r, (3.133) n k M k 1 (mod m k ). (3.134) Tod: Aluksi huomataan, että M k m k, (3.135) sillä, jos olisi 1 < d = (M k, m k ) p P : p d (3.136) 0-48
p m k, p M k = i =k m i p m i, i = k (3.137) p (m k, m i ) Ristiriita. (3.138) Niinpä M k Z m k M k 1 := nk Z m k (3.139) n k M k = 1 Z m k (3.140) n k M k 1 (mod m k ). (3.141) Seuraavaksi huomataan, että M j = i =j m i 0 (mod m k ) j = k, (3.142) 0-49
joten laskemalla saadaan x 0 = n 1 M 1 a 1 +... + n r M r a r (3.143) n k M k a k 1 a k = a k (mod m k ) k = 1,..., r (3.144) ja siten x 0 on eräs ratkaisu. Olkoon x ratkaisu, tällöin x x 0 0 (mod m k ) k = 1,..., r. (3.145) Koska m i m j i = j, niin Lauseen 3.14 kohdan B) nojalla x x 0 0 (mod m 1 m r ) (3.146) eli x x 0 (mod M). (3.147) 0-50
4 Kertomat, binomikertoimet Määritellään luvun n N kertoma n! induktiivisesti asettamalla Määritelmä 4.1. 0! = 1, (4.1) n! = n (n 1)!, n Z +. (4.2) Ja kertoman yleistys, Pochammerin symboli (a) n, seuraavasti. Määritelmä 4.2. Olkoon a C. Tällöin (a) 0 = 1, (4.3) (a) n = (a + n 1) (a) n 1, n Z +. (4.4) 0-51
Erityisesti (1) n = n!. (4.5) Määritelmä 4.3. Olkoot a C ja k N. Tällöin luvut ( ) a k = ( 1) k ( a) k k! (4.6) ovat binomikertoimia "a yli k:n". Tutkitaan erikoistapauksia. Olkoon aluksi k = 0. Tällöin ( ) a k = ( ) a 0 = ( a) 0 0! = 1 a C. (4.7) Kun k Z +, niin ( ) a k k ( a)( a + 1) ( a + k 1) = ( 1) k! = a(a 1) (a k + 1) k! a C. (4.8) 0-52
Olkoon vielä a = n Z +, jolloin ( ) n n(n 1) (n k + 1) = k k! = n(n 1) (n k + 1)(n k)!, (4.9) k!(n k)! joten ( ) n k = n! k!(n k)! 0 k n. (4.10) Jos k n + 1, niin ( ) n k ( n) ( n + j) ( n + k 1) = ( 1), k k! (4.11) missä 0 j k 1. Siten, kun j = n, niin n + j = 0 ja ( ) n = 0 k n + 1. (4.12) k Olkoon a = n Z, jolloin ( ) n k n(n + 1) (n + k 1) = ( 1) k k! = 0-53
k (n + k 1)! ( 1) k!(n 1)!, (4.13) joten ( ) n k ( ) n + k 1 = ( 1) k k k 0. (4.14) 4.1 Palautuskaava, Pascalin kolmio Lause 4.1. Olkoon a C. Tällöin ( ) ( ) ( ) a + 1 a a = + k + 1 k + 1 k k N. (4.15) Todistus. Lasketaan väitteen oikea puoli käyttäen binomikertoimien esitystä (4.8), jolloin ( a ) k + 1 + ( ) a k = a(a 1) (a (k + 1) + 1) a(a 1) (a k + 1) + (k + 1)! k! a(a 1) (a k + 1)(a k) a(a 1) (a k + 1) + k!(k + 1) k! = = 0-54
a(a 1) (a k + 1) k! ( ) a k k + 1 + 1 = (a + 1)(a + 1 1) (a + 1 (k + 1) + 1) (k + 1)! Siis saatiin väitteen vasen puoli. Erikoistapauksena saadaan = ( ) a + 1. k + 1 (4.16) Lause 4.2. ( ) n + 1 k + 1 = ( n ) k + 1 + ( ) n k k, n N. (4.17) Jonka avulla (I tapa) voidaan todistaa. Lause 4.3. ( ) n k Z + 0 k n N. (4.18) Todistus. Induktio n:n suhteen. Aluksi n = 0, 1. (0 ) 0 = ( ) 1 0 = ( ) 1 1 = 1. (4.19) 0-55
Induktio-oletus: Väite tosi, kun n = l. Induktioaskel: Olkoon n = l + 1. Tällöin ( ) l + 1 k + 1 = ( ) ( ) l l + k + 1 k 1 k+1 l, (4.20) missä induktio-oletuksen nojalla oikea puoli Z +, joten ( ) l + 1 k + 1 Z + 1 k + 1 l. (4.21) Lisäksi ( ) l + 1 l + 1 = Tuloksen (4.18) nojalla ( ) l + 1 0 = 1. (4.22) (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n k! Z +, (4.23) joten k! (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n, (4.24) mistä saadaan. 0-56
Lause 4.4. k! (m + 1)(m + 2) (m + k) k, m N. (4.25) Edelleen Lause 4.5. Olkoon p P, tällöin ( ) p p 1 k p 1. (4.26) k Todistus. Tuloksen (4.24) nojalla k! (p k + 1)(p k + 2) (p 1)p, (4.27) Koska p k!, niin (4.27) johtaa relaatioon k! (p k + 1) (p 1) = l k!, (4.28) jollakin l Z. Siten ( ) p (p k + 1)(p k + 2) (p 1)p = k k! = (4.29) l p 0 (mod p). (4.30) 0-57
4.2 p-valuaatio kokonaisluvuille Tarkastellaan alkuluvun p esiintymistä kokonaisluvussa k (myöhemmin esitetään p-valuaation määritelmä rationaaliluvulle). Määritelmä 4.4. Olkoot p P, k Z {0}, r N ja p r k. (4.31) Tällöin asetetaan v p (k) = r. (4.32) Kertaa vielä, että p r k k = p r c, p c Z {0}. (4.33) Lause 4.6. Laskusääntöjä. Olkoon p P ja n, m Z {0}, tällöin v p (1) = 0; (4.34) v p (n) 0; (4.35) 0-58
v p (nm) = v p (n) + v p (m); (4.36) v p (n!) = v p (1) + v p (2) +... + v p (n), n 1; (4.37) n = p n p v p(n) = p n p v p(n) = p P p v p(n), n 1. (4.38) Määritelmä 4.5. Olkoot p P, k Z {0}, l Z +. Asetetaan tällöin w p l(k) = 1 jos p l k; (4.39) w p l(k) = 0 jos p l k. (4.40) 0-59
Lause 4.7. Olkoot p P, k Z {0}, r N ja v p (k) = r. Tällöin v p (k) = r w p i(k) = i=1 w p i(k). (4.41) i=1 Lause 4.8. Olkoot n Z + ja Tällöin A p = i=1 n p i, p P. (4.42) v p (n!) = A p. (4.43) p A p n! p n!. (4.44) n! = p n p A p. (4.45) Huomaa, että n/p i = 0, kun p i > n. Siten summat A p ovat äärellisiä. 0-60
Todistus. Laskarit: Välillä [1, n] olevien luvulla p i jaollisten lukujen lkm= #{k Z + 1 k n, p i k} = n p i. (4.46) Toisaalta #{k Z + 1 k n, p i k} = w p i(1)+w p i(2)+...+w p i(n). Esimerkiksi 1,..., 1 p,..., 2 p,..., p p,..., missä pätee (4.47) n p,..., n (4.48) p w p (1) = w p (2) =... = w p (p 1) = w p (p+1) =... = 0 (4.49) w p (p) = w p (2p) =... = w p ( n p ) p = 1. (4.50) 0-61
Siten w p (1) + w p (2) +... + w p (n) = n ; (4.51) p... w p 2(1) + w p 2(2) +... + w p 2(n) = w p r(1) + w p r(2) +... + w p r(n) = n p 2 ; (4.52) n p r, (4.53) missä p r n < p r+1, n p r+1 = 0. (4.54) Lasketaan yhtälöt (4.51 4.53) puolittain yhteen, jolloin saadaan v p (1)+v p (2)+...+v p (n) = n n n + p p 2 +...+ p r. (4.55) 0-62
Siten Edelleen v p (n!) = i=1 n p i = A p, p P. (4.56) n! = p n p v p(n!). (4.57) Lauseen 4.3 II todistus. Kertomien alkutekijäkehitelmien nojalla n! k!(n k)! = p n p B p, (4.58) missä B p = Tuloksen (2.6) i=1 n p i k p i n k p i. (4.59) a + b a + b (4.60) avulla saadaan k p i + n k p i k p i + n p i k p i = n p i. (4.61) 0-63
Siten B p N ja p n p B p Z +, (4.62) joka identiteetin (4.58) kanssa todistaa, että ( ) n k Z + 0 k n N. 4.3 Binomisarja, Binomikehitelmä Sarjaa (1 + t) a = k=0 ( ) a t k, a C (4.63) k sanotaan Binomisarjaksi. Olkoon a = n N, jolloin (1 + t) n = n k=0 ( ) n t k. (4.64) k Asetetaan t = A/B, jolloin yhtälöstä (4.64) saadaan Binomikehitelmä: (A + B) n = n k=0 ( ) n A k B n k = (4.65) k 0-64
k+l=n 0 k,l n n! k!l! Ak B l. (4.66) Kun, a = 1 ja t = x, niin saadaan Geometrinen sarja: 1 1 x = k=0 x k. (4.67) Ja yleisemmin, jos a = n Z ja t = x, niin 1 (1 x) n = identiteetin (4.14) nojalla. k=0 ( n + k 1 k ) x k (4.68) 0-65
5 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) 5.1 Perusteita Olkoon p P. Jokaisella a/b Q on yksikäsitteinen esitys a b = pr c d, c Z, d Z+, c d, p cd, r Z. Asetetaan nyt (5.1) Määritelmä 5.1. Rationaaliluku a/b (osoittaja) on p:llä jaollinen eli p a b r 1. (5.2) Edelleen a b 0 (mod p) p a b (5.3) Esimerkki 17. 5 20 3 20 3 0 (mod 5). (5.4) 0-66
Esimerkki 18. 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 = 50 4! 0 (mod 5). (5.5) Laajennetaan Määritelmä 5.1 vapaastivalittavalle modulukselle n Z 2. Määritelmä 5.2. Olkoon n Z 2 annettu ja olkoon rationaaliluvun a/b Q alkutekijäesitys a b = ±pr 1 1 pr k k q v 1 1 qv l l ; (5.6) p i, q j P r i Z +, v i Z, (5.7) missä q j / {p 1,..., p k }. Jos n = p s 1 1 ps k k, s i N, (5.8) ja 0 s i r i i = 1,..., k, (5.9) 0-67
niin n a b (5.10) ja sanotaan, että n jakaa rationaaliluvun a/b (osoittajan). Huom 8. Käytetään myös merkintää a n Q b, (5.11) jolloin a n Q b n b, n a. (5.12) Z Määritelmä 5.3. Olkoon n Z 2 annettu ja a/b, c/d Q. Jos n a b c d, (5.13) niin a b c d (mod n) (5.14) ja sanotaan, että luvut a/b ja c/d ovat kongruentteja (mod n). 0-68
Huom 9. a b 0 (mod n) a 0 (mod n), b 0 (mod n). (5.15) Lause 5.1. Olkoot n Z 2 ja a/b, c/d Q sekä polynomi P (x) Q[x]. Tällöin, jos a b c d (mod n), (5.16) niin P ( a b ) P ( c ) (mod n), (5.17) d mikäli kongruenssi (5.17) on määritelty. Lause 5.2. Olkoot n Z 2 ja a/b, c/d Q sekä rationaalifunktio R(x) Q(x). Tällöin, jos a b c d (mod n), (5.18) niin R( a b ) R( c ) (mod n), (5.19) d 0-69
mikäli kongruenssi (5.19) on määritelty. Todistus. Esimerkki 19. 20 3 = 22 5 1 3 1 0 (mod 2 5); (5.20) 20 3 0 (mod 20), (5.21) missä p 1 = 2, p 2 = 5, q 1 = 3 ja r 1 = 2, r 2 = 1, v 1 = 1. Esimerkki 20. 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 = 50 4! 0 (mod 52 ). (5.22) Esimerkki 21. 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 25 7 (mod 5 3 ). (5.23) Esimerkki 22. Olkoon p P, p = 5, tällöin 1 p + 5 1 5 (mod p). (5.24) 0-70
Huomaa, että kongruenssi (5.24) ei ole määritelty (mod 5). Esimerkki 23. Olkoon p P, tällöin (2p 1)(2p 2) (p + 2)(p + 1) (p 1)(p 2) 2 1 = (p 1)! (mod p), (5.25) joten ( ) 2p p 2 (mod p). (5.26) Lause 5.3. Kongruenssi (mod n) on ekvivalenssirelaatio joukossa { c d Q d n}. Määritelmä 5.4. Olkoot n Z 2 ja a/b Q annettu ja n b. Tällöin a/b = { c d Q c d a b (mod n)} (5.27) 0-71
on edustajan a/b määräämä jakojäännösluokka (mod n) ja Q n = {a/b a/b Q, n b}. (5.28) Asetetaan vielä laskutoimitukset (binary operations) x + y = x + y, x y = xy (5.29) aina, kun x, y Q n. Lause 5.4. a) Laskutoimitukset { + : Q n Q n Q n, (5.30) ovat hyvinmääriteltyjä (well defined) eli binäärioperaatiot ovat funktioita. b). Nolla-alkio (zero) on 0 = { ln d l, d Z, d n} (5.31) 0-72
ja vasta-alkio x = x x Q n. (5.32) c). Ykkösalkio (unity) 1 = { ja käänteisalkio (inverse) d + ln l, d Z, d n} (5.33) d x 1 = x 1 x, x 1 Q n. (5.34) d) Kolmikko (Q n, +, ) muodostaa ykkösellisen kommutatiivisen renkaan. Lause 5.5. Olkoon n Z 2. Tällöin kuvaus F (a/b) = a ( b ) 1 (5.35) on rengasisomorfia eli Q n = Z n. F : Q n Z n (5.36) 0-73
Todistusta EI kysytä kokeessa. Todistus: Laskemalla saadaan 1) F ( a b + c ) d = F ( ) ad + bc bd = ad + bc ( bd ) 1 = (ad + bc) ( b ) 1 ( d ) 1 = a ( b ) 1 + c ( d ) 1 = F ( ) a b + F ( ) c, (5.37) d joten F on ryhmien (Q n, +) ja (Z n, +) välinen homomorfia. 2) F ( a b c ) d = F ( ) ac bd = ac ( bd ) 1 = a ( b ) 1 c ( d ) 1 = F ( ) a F b ( ) c. (5.38) d 0-74
3) Kohtien 1),2) ja 3) nojalla F : Q n Z n on rengasmorfismi. F ( 1 ) = F ( ) 1 1 = 1 ( 1 ) 1 = 1. (5.39) joten 4) Asetetaan nyt F ( ) a b = 0, (5.40) a ( b ) 1 = 0. (5.41) Kerrotaan 5.41 puolittain alkiolla b, jolloin saadaan a ( b ) 1 b = 0 b a = 0. (5.42) Siten F : Q n Z n on injektio. 5) Olkoon vielä k Z n. Tällöin, jos valitaan a = k, b = 1, niin F ( ) a b = F ( ) k 1 = k ( 1 ) 1 = k. (5.43) 0-75
Siispä F : Q n Z n on surjektio. Kohtien 4) ja 5) nojalla F : Q n Z n on bijektio ja edelleen rengasisomorfia. Siten Q n ja Z n voidaan samaistaa, jolloin merkitään Q n a/b = ab 1 Z n. (5.44) ESIM: Lasketaan 2/3 renkaassa Q 7. Aluksi saadaan 2 3 2 + l 7 3 (mod 7) l Z. (5.45) Valitaan l = 4, jolloin 2 3 2 + 4 7 3 = 10 3 (mod 7). (5.46) Täten 2/3 = 3. (5.47) 0-76
Toisaalta Z 7 :ssa. 2 3 1 = 2 5 = 10 = 3. (5.48) Lemma 5.1. Olkoon G ryhmä ja a G. Tällöin kuvaukset ι : G G, ι(x) = x 1 (5.49) ja τ : G G, τ(x) = ax (5.50) ovat bijektioita. Todistus: Asetetaan ι(x 1 ) = ι(x 2 ) x 1 1 = x 1 2, (5.51) josta saadaan x 1 = x 2. Siten ι on injektio. Olkoon sitten y G annettu. Valitaan nyt x = y 1, jolloin ι(x) = ι(y 1 ) = (y 1 ) 1 = y. (5.52) 0-77
Täten ι on surjektio ja edelleen bijektio. Seuraus: Olkoon äärellinen ryhmä. Tällöin ι(h) = H eli H = {a 1,..., a m } (5.53) {a 1 1,..., a 1 m } = {a 1,..., a m }. (5.54) ESIM: Olkoon H = Z 11, missä 1 1 = 1, 2 1 = 6, 3 1 = 4,, 4 1 = 3, 5 1 = 9, 6 1 = 2, 7 1 = 8, 8 1 = 7, 9 1 = 5, 10 1 = 10. (5.55) Tällöin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 1 2 2 1 3 3 1 5 5 1 7 7 1 10 = 1. (5.56) 0-78
Lause 5.6. WILSONIN LAUSE: Olkoon p P. Tällöin (p 1)! 1 (mod p). (5.57) 1. Välikokeen alue tähän asti. Lause 5.7. Olkoot p P 3. Tällöin 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 0 (mod p). (5.58) Todistus. Lemman 5.1 nojalla ι(z p) = Z p eli {1 1,..., p 1 1 } = {1,..., p 1}. (5.59) Täten p 1 a=1 a 1 = p 1 b=1 b, (5.60) Seuraavassa käytetään samaistusta (5.44). Yhtälön V.P. (vasen puoli)= 1/1 + 1/2 +... + 1/p 1 = 0-79
1 + 1/2 +... + 1/(p 1) = 1 + 1/2 +... + 1/(p 1). (5.61) Toisaalta Yhtälön O.P. (oikea puoli)= 1 +... + p 1 = 1 + 2 +... + p 1 = p(p 1)/2 = 0, (5.62) missä p p(p 1)/2, sillä p 3. Ekvivalenssiluokkien (5.61) ja (5.62) identtisyydestä seuraa edustajien välinen kongruenssi (5.58). Lause 5.8. EULER-FERMAT: Olkoot a Z, m Z 2 annettu ja a m. Tällöin a φ(m) 1 (mod m). (5.63) Todistus. Asetetaan τ(x) = a x. Koska a Z m, niin Lemman 5.1 nojalla τ(z m) = Z m eli {a a 1,..., a a φ(m) } = {a 1,..., a φ(m) }. (5.64) 0-80
Siten a a 1 a a φ(m) = a 1 a φ(m) (5.65) eli a φ(m) a 1 a φ(m) = a 1 a φ(m), (5.66) josta a φ(m) = 1. (5.67) SEURAUS: Lause 5.9. FERMAT N PIKKULAUSE: Olkoot a Z, p P annettu ja p a. Tällöin a p 1 1 (mod p). (5.68) Todistetaan seuraavaksi eräs Wilsonin lauseen yleistys. Lause 5.10. Olkoot p P 3 ja r Z +. Tällöin p r 1 k=1,p k k 1 (mod p r ). (5.69) 0-81
Todistus. Olkoon a Z pr oma käänteisalkionsa eli a = a 1 a 2 = 1. (5.70) Siten josta a 2 1 = 0, (5.71) (a 1)(a + 1) = l p r, (5.72) jollakin l Z. Välttämättä p a 1 tai p a + 1. (5.73) Jos niin p a 1 ja p a + 1, (5.74) p 2a p a. (5.75) Mutta a p, joten joudutaan ristiriitaan. Tarkastellaan siis tapaukset 1.) p a 1 ja p a + 1 (5.76) 0-82
ja 2.) p a 1 ja p a + 1. (5.77) Tapaus 1. Yhtälön (5.72) nojalla p r a 1 a = 1. (5.78) Tapaus 2. Yhtälön (5.72) nojalla p r a + 1 a = 1. (5.79) Siten a Z pr on oma käänteisalkionsa täsmälleen silloin, kun a = ±1. Edelleen Z pr = {1, 1} B, (5.80) missä joukon B = {b 1,..., b m }, m = φ(p r ) 2, (5.81) alkioille pätee b i 1 = bi, i = 1,..., m. (5.82) 0-83
Täten B = {c 1,..., c m/2, c 1 1,..., c m/2 1 } (5.83) ja siten a Z p r a = 1( 1)c 1 c 1 1 c m/2 c m/2 1 = 1. (5.84) ESIM: 3 2 = p r. Jolloin 1 2 4 5 7 8 1 (mod 3 2 ). (5.85) 5.2 Wolstenholmen lause Lause 5.11. WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon p P 5. Tällöin 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 0 (mod p2 ). (5.86) (Tätä todistusta EI kysytä kokeessa.) Todistus, I tapa: 0-84
Tarkastellaan polynomia G(x) = (x 1)(x 2) (x (p 1)) Z[x]. (5.87) Aukaistaan tulo, jolloin G(x) = x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p 3... +W 2 x 2 W 1 x + W 0, (5.88) missä W i Z. Välittömästi saadaan x(x 1)(x 2) (x (p 1)) = x p W p 2 x p 1 + W p 3 x p 2 W p 4 x p 3 +... +W 2 x 3 W 1 x 2 + W 0 x, (5.89) johon sijoitetaan x = y 1 ja siten (y 1)(y 2) (y (p 1))(y p) = (y 1) p 0-85
W p 2 (y 1) p 1 +W p 3 (y 1) p 2 W p 4 (y 1) p 3 +... +W 2 (y 1) 3 W 1 (y 1) 2 + W 0 (y 1). (5.90) Yhtälössä (5.90) V.P.= (y p)g(y) = (y p)(y p 1 W p 2 y p 2 +W p 3 y p 3... +W 2 y 2 W 1 y + W 0 ) = y p (p + W p 2 )y p 1 + (pw p 2 + W p 3 )y p 2 (pw p 3 + W p 4 )y p 3 +... (pw 2 + W 1 )y 2 + (pw 1 + W 0 )y pw 0. (5.91) Toisaalta yhtälön (5.90) O.P.= ( ) ( ) ( ) p p p 1 y p ( +W p 2 )y p 1 +( +W p 2 +W p 3 )y p 2 1 2 1 0-86
( ) ( ) ( ) p p 1 p 2 ( +W p 2 +W p 3 +W p 4 )y p 3 3 2 1 ( ) ( ) ( ) p p 1 2 +...+( +W p 2 +...+W 1 +W 0 )y p 1 p 2 1 (1 + W p 2 +... + W 1 + W 0 ). (5.92) Verrataan seuraavaksi vastinpotenssien kertoimia yhtälöissä (5.91) ja (5.92), jolloin y p : 1 = 1, (5.93) y p 1 : p + W p 2 = ( ) p 1 + W p 2, (5.94) y p 2 : pw p 2 + W p 3 = (5.95) ( ) ( ) p p 1 + W p 2 + W p 3, 2 1 0-87
( ) p 3 y p 3 : pw p 3 + W p 4 = (5.96) ( ) ( ) p 1 p 2 + W p 2 + W p 3 + W p 4, 2 1... ( p ) p 1 y 1 : pw 1 + W 0 = (5.97) ( ) ( ) p 1 2 + W p 2 +... + W 1 + W 0, p 2 1 y 0 : pw 0 = 1 + W p 2 +... + W 1 + W 0. (5.98) Kaksi ensimmäistä ovat triviaali-identiteettejä mutta seuraavista saadaan palautuskaavat: W p 2 = ( ) p 2, (5.99) 2W p 3 = ( ) p 3 + ( ) p 1 W p 2, (5.100) 2 0-88
3W p 4 = ( ) p 4 + ( p 1 3 ) W p 2 + ( p 2 2 ) W p 3,... (5.101) (p 2)W 1 = ( ) ( ) ( ) p p 1 3 + W p 2 +...+ W 2, p 1 p 2 2 (5.102) (p 1)W 0 = 1 + W p 2 +... + W 1. (5.103) Huomaa, että nämä yhtälöt ovat muotoa jw p j 1 = ( p ) j + 1 +... 1 j p 1. (5.104) Käytetään tulosta (4.26), jolloin ( ) p p 2 (5.105) ja siten j = 1. p W p 2. (5.106) 0-89
Seuraavaksi joten ( ) p p 3 ja p W p 2, (5.107) j = 2. p W p 3. (5.108) Edelleen ( ) p p, p W p 2 ja p W p 3, (5.109) 4 joten j = 3. p W p 4. (5.110)... j = p 2. p W 1. (5.111) Siten p W 1, W 2,..., W p 2, (5.112) josta tuloksen (5.103) kanssa seuraa j = p 1. (p 1)W 0 1 (mod p) (5.113) 0-90
eli W 0 1 (mod p). (5.114) Mutta W 0 = (p 1)!, (5.115) joten saadaan II todistus Wilsonin lauseelle. Sijoitetaan nyt x = p yhtälöön G(x) = p 1 (x j) = j=1 p 1 ( 1) i W i x i, W p 1 = 1, i=0 (5.116) josta saadaan W 1 = W 2 p W 3 p 2... + p p 2. (5.117) Koska p 5, niin p W 2 ja siten p 2 W 1. (5.118) Toisaalta W 1 = p 1 p 1 j=1 i=1,i =j i = 0-91
Siten 2 3 (p 1) + 1 3 4 (p 1) +... +1 2 (p 3) (p 1) + 1 2 (p 2) = (p 1)! ( 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 ). (5.119) p 1 p 2 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 (5.120) II todistus Fermat n pikkulauseelle. Olkoot p P, a Z ja p a. Tällöin a j (mod p), (5.121) jollakin j = 1, 2,..., p 1. Sijoitetaan x = a yhtälöön (5.116), jolloin a p 1 W p 2 a p 2 +W p 3 a p 3...+W 2 a 2 W 1 a+w 0 0 (mod p), (5.122) 0-92
missä W p 2,..., W 1 0 (mod p). (5.123) Siten a p 1 W 0 (p 1)! 1 (mod p). (5.124) 5.3 (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 ) Tiedetään, että (p 1)! 1 (mod p 2 ), (5.125) kun p = 5, 13, 563,... (Wilsonin alkulukuja) ja a p 1 1 (mod p 2 ), (5.126) kun p = 1093, 3511,... Mutta yleisellä tasolla kohtien (5.125) ja (5.126) jakojäännöksien (mod p 2 ) käyttäytymistä ei tunneta. Ehdon (5.126) tutkiminen on ollut tärkeää liittyen Fermat n suuren lauseen todistusyrityksiin, sillä jos p P 3 ja 2 p 1 1 (mod p 2 ), (5.127) 0-93
niin x p + y p = z p x, y, z Z +. (5.128) Tosin Andre Wiles [Annals of Mathematics 141 (1994)] on todistanut, että (5.128) pätee ilman lisäoletusta (5.127). Wilesin todistus perustuu mm. elliptisten käyrien ominaisuuksiin. että Olkoon p P 3, tällöin Pikku Fermat n nojalla tiedetään, 2 p 1 1 = l p, (5.129) jollakin l Z, joten on luonnollista tutkia Fermat n osamääriä q p (2) = 2p 1 1 p Z. (5.130) Lause 5.12. Olkoon p P 3. Tällöin q p (2) = 2p 1 1 p 1+ 1 3 + 1 5 +...+ 1 p 2 (mod p). (5.131) 0-94
Huomaa, että (5.131) on yhtäpitävää ehdon 2 p 1 1 + p ( 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 p 2 ) (mod p 2 ) (5.132) kanssa. Todistus. Aluksi binomikaavalla saadaan 2 p = p i=0 ( ) p i = 2 + p 1 i=1 ( ) p, (5.133) i jossa tuloksen (4.26) nojalla ( ) p i = ph i, (5.134) jollakin h i Z aina, kun i = 1,..., p 1. Edelleen h i = (p 1)(p 2) (p i + 1) i! ( 1) i 1 (i 1)! i! = ( 1)i 1 i (5.135) (mod p) eli h i = ( 1)i 1 i 0-95 + m i p, (5.136)
jollakin m i = a/b Q, p b. Siten (5.134) ja (5.136) antavat ( ) p i ( ( 1) i 1 = p i ) + m i p ( 1) i 1 p i (mod p 2 ). (5.137) Yhtälöiden (5.133) ja (5.137) nojalla 2 p 2+p ( 1 1 2 + 1 3... + 1 p 2 1 p 1 ) (mod p 2 ). (5.138) Toisaalta 1 1 2 + 1 3... + 1 p 2 1 2 ( 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 p 2 p 1 = ) ( 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 2 + 1 p 1 ) 2 ( 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) p 2 (mod p 2 ) (5.139) 0-96
tuloksen (5.86) nojalla. Yhdistämällä (5.138) ja (5.139) saadaan 2 p 2 + 2p ( 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) p 2 (mod p 2 ), (5.140) missä p 2, joten (5.132) seuraa. Esimerkki 24. Olkoon p = 7. Nyt 2 p 1 = 2 6 = 1 + 63 = 1 + 7 9 (5.141) 1 + 7 ( 1 + 1 3 + 1 ) 5 (mod 7 2 ). (5.142) Huomaa, että 1/3 = 5 ja 1/5 = 3 (mod 7). 0-97
6 Polynomien kongruenssi Määritelmä 6.1. Olkoot n Z 2 ja n P (x) = p k x k Q[x], jolloin asetetaan k=0 n Q(x) = q k x k Q[x], k=0 P (x) Q(x) (mod n) p k q k (mod n) k = 0, 1,..., n. (6.1) Seuraavassa käytetään jakojäännösluokkia a Z n. Huomaa, että kun p P, niin Z p on kunta. Määritelmä 6.2. Olkoon n Z 2 ja a(x) = a 0 + a 1 x +... + a d x d Z[x]. Kuvaus r n (a 0 +a 1 x+...+a d x d ) = a 0 +a 1 x+...+a d x d (6.2) 0-98
r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), on reduktio (mod n). Lause 6.1. Reduktio r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), on rengasmorfismi. Lause 6.2. a 0 +... + a d x d = b 0 +... + b d x d (6.3) a 0 +... + a d x d b 0 +... + b d x d (mod n) (6.4) Lause 6.3. WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon p P 5. Tällöin 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 0 (mod p2 ). (6.5) 0-99
Todistus. II tapa. Nojautuu Fermat n pikkulauseeseen 5.9. Tarkastellaan polynomeja G(x) = (x 1)(x 2) (x (p 1)) Z[x]; (6.6) F (x) = x p 1 1 Z[x] (6.7) ja niiden reduktioita (mod p) G(x), F (x) Z p [x]. (6.8) Välittömästi G(j) = 0, j = 1, 2,..., p 1; (6.9) F (j) 5.9 = 0, j = 1, 2,..., p 1. (6.10) Koska polynomirenkaassa Z p [x] ei-vakiopolynomilla on korkeintaan asteen verran nollakohtia, niin Lauseen 16.4 nojalla 0-100
saadaan polynomien identtisyys G(x) = F (x). (6.11) Kirjoitetaan G(x) = jolloin p 1 (x j) = j=1 p 1 ( 1) i W i x i, W p 1 = 1, i=0 (6.12) x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p 3... +W 2 x 2 W 1 x + W 0 x p 1 1 (mod p). (6.13) eli W k 0 (mod p), k = 1, 2,..., p 2, W 0 1 (mod p). (6.14) 0-101
Sijoitetaan nyt x = p yhtälöön (6.12), jolloin p 1 (p j) = j=1 p 1 ( 1) i W i p i. (6.15) i=0 Tällöin saadaan W 1 = W 2 p W 3 p 2... + p p 2. (6.16) Koska p 5, niin p W 2 ja siten p 2 W 1. (6.17) Toisaalta W 1 = p 1 p 1 j=1 i=1,i =j i = 2 3 (p 1) + 1 3 4 (p 1) +... +1 2 (p 3) (p 1) + 1 2 (p 2) = (p 1)! ( 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 ). (6.18) p 1 0-102
Siten p 2 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 (6.19) Lause 6.4. Olkoon p P, tällöin (x + 1) p x p + 1 (mod p). (6.20) polynomirenkaassa Q[x]. Todistus. Binomisarjan ja Lauseen 4.5 nojalla (x + 1) p = p k=0 ( ) p x k (6.21) k x p +0 x p 1 +0 x p 2 +...+0 x+1 = x p +1 (mod p). Lause 6.5. Olkoot n Z 2 ja f(x), g(x), h(x) Q[x] ja g(x) h(x) (mod n). (6.22) Tällöin f(g(x)) f(h(x)) (mod n). (6.23) 0-103
Lause 6.6. Olkoot p P ja r N. Tällöin (x + 1) pr x pr + 1 (mod p). (6.24) polynomirenkaassa Q[x]. Todistus. Induktiolla. r = 1. Lause 6.4. Induktioaskeleessa lasketaan V.P.= (x + 1) pr+1 = ((x + 1) pr ) p (x pr + 1) p (6.25) (x pr ) p + 1 = x pr+1 + 1 (mod p) (6.26) =O.P. Kohdassa (6.25) sovellettiin induktio-oletusta ja Lausetta 6.5 sekä kohdassa (6.25) Lausetta 6.4. Seurauksena saadaan Lause 6.7. Olkoot p P ja r Z +. Tällöin ( ) p r 0 (mod p) k = 1,..., p r 1. (6.27) k 0-104
Lause 6.6 voidaan yleistää kahdenmuuttujan polynomeille. Lause 6.8. Olkoot p P ja r N. Tällöin (x + y) pr x pr + y pr (mod p) (6.28) polynomirenkaassa Q[x, y]. Ja edelleen useanmuuttujan tapaukseen. Lause 6.9. Olkoot p P ja r N. Tällöin (x 1 +... + x m ) pr x pr 1 +... + xpr m (mod p) (6.29) polynomirenkaassa Q[x 1,..., x m ]. 6.1 Sovelluksia lukujen kongruensseihin Määritelmä 6.3. Rationaaliluku A = a/b Q on supistetussa muodossa, kun a b. Edelleen, den(a) = b on A:n nimittäjä. 0-105
Määritelmä 6.4. Olkoon p P ja A = a b = c pr, p cd. (6.30) d Tällöin asetetaan v p (A) = r, (6.31) joka on luvun A eksponentiaalinen p-valuaatio. Siten, jos v p (A) 0, niin p b ja jos p A, niin p b. Sovelletaan Lausetta 6.9 antamalle muuttujille rationaalilukuarvot. Lause 6.10. Olkoot p P, r N ja A i Q, v p (A i ) 0 aina, kun i = 1,..., m. Tällöin (A 1 +... + A m ) pr A pr 1 +...+Apr m (mod p). (6.32) Huomaa, että (6.32) on Pikku-Fermat n yleistys. Olkoot p P ja n N. Tiedetään, että p-kantakehitelmä n = i 0 n i p i, 0 n i p 1 (6.33) 0-106
on yksikäsitteinen. Lause 6.11. LUCASIN (BINOMIKERROIN)LAUSE. Olkoot p P, n, k N sekä n = i 0 n i p i, k = i 0 k i p i, 0 k i, n i p 1. Tällöin ( ) n k i 0 ( ni k i ) (6.34) (mod p). (6.35) Todistusta EI kysytä kokeessa. Todistus: Aluksi huomataan, että (1 + x) n = (1 + x) n 0 (1 + x) pn 1 (1 + x) p2 n 2 (1 + x) n 0 (1 + x p ) n 1 (1 + x p2 ) n 2 (mod p) (6.36) Lauseen 6.6 nojalla. Sama binomikehitelmillä n k=0 ( ) n x k k 0-107
n 0 ( n0 i i 0 =0 0 p 1 ( n0 i 0 =0 0 j i 0 ) x i 0 ) x i 0 0 i j p 1 n 1 ( n1 i i 1 =0 1 p 1 ( n1 ) x pi 1 ) x pi 1 n 2 i i 1 =0 1 i 2 =0 ( )( )( ) n0 n1 n2 i 0 i 1 i 2 ( n2 i i 2 =0 2 p 1 ( n2 i 2 ) x p2 i 2 = ) x p2 i 2 = x i 0+i 1 p+i 2 p 2 +... (mod p). (6.37) Tutkitaan V.P. polynomin termiä x k ja sen O.P. polynomin vastintermiä x i 0+i 1 p+i 2 p 2 +..., joka saadaan, kun k = k 0 +k 1 p+k 2 p 2 +... = i 0 +i 1 p+i 2 p 2 +... (6.38) Luvun k yksikäsitteisen p-kantaesityksen nojalla havaitaan, että i 0 = k 0, i 1 = k 1,.... Täten vertaamalla kongruenssin (6.37) V.P. ja O.P. termejä x k, saadaan kongruenssi ( ) n k i 0 ( ni k i ) (mod p). (6.39) 0-108
Esimerkki 25. p = 7, n = 11 = 4+1 7, k = 5 = 5+0 7, joten ( ) 11 5 ( )( n0 n1 k 0 k 1 ) = ( )( ) 4 1 5 0 = 0 1 = 0 (mod 7). (6.40) Esimerkki 26. ( 3 100 + 2 3 10 ) + 2 3 10 + 2 2 (mod 3) (6.41) 7 Summausmenetelmiä 7.1 Polynomialgebran sovelluksia ESIM: Lähdetään identiteetistä (1 + x) n (1 + x) m = (1 + x) n+m, (7.1) josta n j=0 ( ) n x j j m l=0 ( ) m x l = l n+m k=0 ( ) n + m x k. (7.2) k 0-109
Caychyn kertosäännöllä n+m k=0 j+l=k ( n j )( ) m x k = l n+m k=0 ( ) n + m x k, k (7.3) josta j+l=k,0 j,l k ( n j )( ) m l = ( ) n + m k (7.4) Edelleen, asettamalla n = m = k, saadaan m j=0 ( )( n m ) j m j = ( ) 2m ; m m ( ) 2 m = j j=0 ( ) 2m. m (7.5) 7.2 Teleskoopit Teleskooppisumma n (a i+1 a i ) = a n+1 a 0 (7.6) i=0 0-110
ja teleskooppitulo n i=0 a i+1 a i = a n+1 a 0 (7.7) soveltuvat hyvin muunmuassa seuraavantyyppisten tulosten johtamiseen. n k = k=0 n(n + 1) 2 (7.8) n k 2 = k=0 n(n + 1)(2n + 1) 6 (7.9) n k 3 = k=0 ( n(n + 1) 2 ) 2 (7.10) n (2k + 1) = (n + 1) 2 (7.11) k=0 Johdetaan (7.11) valitsemalla a k = k 2 ja lähtemällä identiteetistä a k+1 a k = (k + 1) 2 k 2 = 2k + 1. (7.12) 0-111
Otetaan summat (7.12) molemminpuolin, jolloin n (2k +1) = k=0 n (a k+1 a k ) = a n+1 a 0 = (n+1) 2. k=0 (7.13) Johdetaan vielä j=0 j 1 j! = 0 (7.14) lähtemällä erotuksesta 1 k! 1 (k + 1)! = k (k + 1)!. (7.15) Summataan (7.15) puolittain, jolloin saadaan n k=0 ( ) 1 k! 1 (k + 1)! = n k=0 k (k + 1)!. (7.16) Yhtälön (7.16)vasemmanpuolen summassa on teleskooppi ja siten n k=0 k (k + 1)! = 1 1 (n + 1)!, (7.17) 0-112
josta raja-arvona saadaan eli (7.14). k=0 k (k + 1)! = 1 (7.18) 8 Fibonaccin ja Lucasin luvut 8.1 Rekursio ja Binet n kaava Määritelmä 8.1. Luvut f 0 = 0, f 1 = 1 ja palautuskaava (eli rekursio) f n+2 = f n+1 + f n, n N, (8.1) muodostavat Fibonaccin luvut ja luvut l 0 = 2, l 1 = 1 sekä palautuskaava l n+2 = l n+1 + l n, n N, (8.2) muodostavat Lucasin luvut. 0-113
Siten Fibonaccin lukuja ovat f 0 = 0, f 1 = 1, f 2 = 1, f 3 = 2, f 4 = 3, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 = 1 (8.3) ja Lucasin lukuja ovat l 0 = 2, l 1 = 1, l 2 = 3, l 3 = 4, l 4 = 7, l 5 = 11, l 6 = 18, l 7 = 29, (8.4) Ratkaistaan rekursio v n+2 = v n+1 + v n, n N, (8.5) yritteellä Rekursiosta (8.5) saadaan v n = x n, x C. (8.6) x n+2 = x n+1 + x n x 2 x 1 = 0, (8.7) jonka ratkaisut ovat α = 1 + 5 2, β = 1 5. (8.8) 2 0-114
Lause 8.1. Olkoot a, b C. Tällöin F n = aα n + bβ n (8.9) on rekursion (8.5) ratkaisu. Todistus. Suoraan laskemalla saadaan F n+2 = aα n+2 +bβ n+2 = a(α n+1 +α n )+b(β n+1 +β n ) = aα n+1 + bβ n+1 + aα n + bβ n = F n+1 + F n. (8.10) Siten Fibonaccin luvut ovat muotoa f n = aα n + bβ n, (8.11) mistä saadaan f 0 = aα 0 + bβ 0, f 1 = aα 1 + bβ 1. (8.12) 0-115
Sijoitetaan alkuarvot f 0 = 0 ja f 1 = 1 yhtälöön (8.12), josta a + b = 0, a 1 + 5 2 + b 1 5 2 = 1 (8.13) ja siten a = 1/ 5 ja b = 1/ 5. Vastaavasti Lucasin luvuille ja siten saadaan. Lause 8.2. Fibonaccin ja Lucasin luvut voidaan esittää Binet n kaavoilla f n = 1 5 (( 1 + ) n ( 5 2 1 ) n ) 5, (8.14) 2 l n = ( 1 + ) n ( 5 + 2 1 ) n 5. (8.15) 2 Siis f n = 1 5 (α n β n ), (8.16) l n = (α n + β n ), (8.17) 0-116
missä α = 1 + 5 2, β = 1 5. (8.18) 2 Huomaa, että αβ = 1, α + β = 1, α β = 5. (8.19) Lause 8.3. l n = f 2n f n. (8.20) Todistus. Suoraan laskemalla f 2n f n = α2n β 2n α n β n = αn + β n = l n. (8.21) HUOM: Rekursioilla saadaan tarkat arvot nopeasti (laskennallinen kompleksisuus), mutta eksplisiittisistä esityksistä (8.14) ja (8.15) saadaan likiarvo nopeasti. Lause 8.4. f 2k = α 2k 5 k N, (8.22) 0-117
f 2k+1 = α 2k+1 5 k N. (8.23) Todistus. Aluksi haetaan likiarvot. Koska α = 1 + 5 2 = 1.6180..., (8.24) ja α 1 = α 1 = 0.6180..., niin β = 1 5 2 = 1 α = 0.6180... (8.25) Siten β n / 5 < 1 n N. (8.26) Tarkemmin laskareissa. 8.2 Matriisiesitys Olkoon F = 1 1 = 1 0 f 2 f 1. (8.27) f 1 f 0 0-118
Lasketaan potensseja F 2 = 2 1 = 1 1 f 3 f 2, (8.28) f 2 f 1 F 3 = 3 2 = 2 1 f 4 f 3. (8.29) f 3 f 2 Jolloin huomataan, että alkioiksi tulee Fibonaccin lukuja. Sovitaan vielä, että f 1 = 1, sillä tällöin pätee f 1 = f 0 + f 1. (8.30) Nyt F 0 = I = 1 0 = 0 1 f 1 f 0 f 0 f 1. (8.31) Lause 8.5. Olkoon F n = f n+1 f n f n f n 1. (8.32) 0-119
Tällöin F n = F n n N. (8.33) Todistus. Induktiolla. Tapaukset n = 0 ja n = 1 kohdista (8.27) ja (8.31). Induktio-oletus: Identiteetti (8.33) pätee, kun n = k. Induktioaskel; Lasketaan F k+1 = F 1 F k = 1 1 f k+1 1 0 f k f k f k 1 = (8.34) f k+1 + f k f k + f k 1 = f k+2 f k+1 = F k+1. f k+1 f k f k+1 f k (8.35) Lause 8.6. Olkoot n, m N, tällöin f n+m+1 = f n+1 f m+1 + f n f m, (8.36) f 2m+1 = f 2 m+1 + f 2 m, (8.37) 0-120
f 2m = f m (f m+1 + f m 1 ). (8.38) Todistus. Sovelletaan identiteettiä F n+m = F n+m = F n F m = F n F m, (8.39) jolloin f n+1 f n f n+m+1 f n+m f n+m f n+m 1 f n f m+1 f n 1 f m f m 1 = (8.40) f m = (8.41) f n+1f m+1 + f n f m f n f m+1 + f n 1 f m f n+1 f m + f n f m 1. (8.42) f n f m + f n 1 f m 1 Vertaamalla matriisien (8.40) ja (8.42) vastinalkioita saadaan (8.36), josta edelleen saadaan (8.37) ja (8.38). 0-121
Lause 8.7. Olkoon n N, tällöin f n+1 f n 1 f 2 n = ( 1) n. (8.43) Todistus. Otetaan determinantit tuloksesta (8.33), jolloin f n+1 f n f n f n 1 = 1 1 1 0 n. (8.44) Lause 8.8. Olkoon n N, tällöin lukujen f n+2 ja f n+1 Eukleideen algoritmin pituus on n. Edelleen syt(f n+1, f n ) = 1. (8.45) 0-122
Todistus. Olkoot a = f n+2 ja b = f n+1, jolloin r 0 = a, r 1 = b 0 r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 = 1 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1 sillä f n+2 = 1 f n+1 + f n r 1 = q 2 r 2 + r 3 = 1 r 2 + r 3 0 r 3 < r 2 sillä f n+1 = 1 f n + f n 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2 = 1 r k+1 + r k+2 0 r k+2 < r k+ sillä f n+2 k = 1 f n+1 k + f n k. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n = 1 r n 1 + r n 1 = r n < r n 1 sillä f 4 = 1 f 3 + f 2 r n 1 = q n r n = 2 1 siten r n = syt(a, b) = 1. (8.46) 0-123
Edelleen saadaan r n = s n a + t n b 1 = s n f n+2 + t n f n+1, (8.47) missä s n ja t n saadaan palautuskaavoista s k+2 = s k q k+1 s k+1 = s k s k+1, (8.48) t k+2 = t k q k+1 t k+1 = t k t k+1 0 k n 2 (8.49) lähtien alkuarvoista s 0 = t 1 = 1, s 1 = t 0 = 0. ESIM: Olkoot n = 5, f 7 = 13, f 6 = 8, jolloin q 1 =... = q 4 = 1 ja q 5 = 2. Siten s 2 = 1, s 3 = 1, s 4 = 2, s 5 = 3,... t 5 = 5 ja 1 = ( 3) 13 + 5 8 = f 5 f 6 f 4 f 7. (8.50) Lause 8.9. Olkoon a, b Z + annettu, tällöin Eukleideen al- 0-124
goritmin pituudelle n pätee n log a/ log((1 + 5)/2)). (8.51) Eukleideen algoritmissa r 0 = a, r 1 = b 0 < r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 < r 2 < r 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n r n 1 = q n r n + 0 0 < r k+2 < r k+1 0 < r n < r n 1 osamäärien kokonaisosille pätee q k 1 kaikilla k. Täten r n 1 = f 2, (8.52) r n 1 2 = f 3, (8.53) 0-125
r n 2 1 r n 1 + r n f 3 + f 2 = f 4. (8.54) Edelleen induktiolla saadaan r n h f h+2 h = 0, 1,..., n (8.55) ja siten a = r 0 f n+2 ((1 + 5)/2) n. (8.56) Epäyhtälön (8.56) todistus laskareissa. 8.3 Generoiva sarja Olkoon F (z) = f k z k (8.57) k=0 sarja, jolle haetaan lauseke tunnettujen funktioiden avulla. Vaihdetaan aluksi summausindeksi k = n + 2, jolloin F (z) = f n+2 z n+2 + f 1 z + f 0. (8.58) n=0 0-126
Seuraavaksi käytetään rekursiota (8.1), jolloin F (z) = z f n+1 z n+1 + z 2 n=0 n=0 f n z n + f 1 z + f 0 = z f k z k + z 2 k=1 k=0 f k z k + f 1 z + f 0 = z(f (z) f 0 ) + z 2 F (z) + z. (8.59) Yhtälöstä (8.59) saadaan ratkaisu F (z) = z 1 z z 2. (8.60) Lause 8.10. Sarjalla F (z) = f k z k (8.61) k=0 on esitys rationaalifunktiona F (z) = z 1 z z 2. (8.62) 0-127
Määritelmä 8.2. Sarja F (z) = f k z k (8.63) k=0 on Fibonaccin lukujen generoiva sarja ja funktio F (z) = z 1 z z 2 (8.64) on Fibonaccin lukujen generoiva funktio. Määritelmä 8.3. Polynomi K(x) = K f (x) = x 2 x 1 (8.65) on rekursion (8.1) karakteristinen polynomi. Huomaa, että K f (x) = (x α)(x β), (8.66) joten F (z) = 1/z (1/z) 2 1/z 1 = 1/z K(1/z) = 0-128