Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no chance. Jos harkitset kansista sivuaineeksi, opettele tämä niin että osaat tehdä sen ajattelematta ja erehtymättä. Opetteluun pätee sama nyrkkisääntö kuin kansiksen ja matematiikan opiskeluun yleensäkin: kuluta paljon paperia. Piirtäminen on tärkeää, piirrosten säilyttäminen ei. Aluksi yksinkertainen esimerkki: Kuvaan on piirretty suora, jonka yhtälö on : Tarkemmin sanoen, kuvaan on piirretty (1) mustalla koordinaattiakselit eli x- ja y-akseli, sekä (2) punaisella suora, jonka yhtälö on. Yhtälö merkitsee, että esim. jos mennään x-akselilla kohtaan, jossa, niin kyseisessä kohdassa suoran korkeus lasketaan kaavalla eli. Tämä näkyy kuvassa siten, että suora kulkee pisteen (2, 2) kautta (merkitty sinisellä). Vastaavasti x:n arvoa 2 vastaa piste eli. Tämä näkyy kuvassa siten, että suora kulkee pisteen ( 2, 0) kautta (merkitty vihreällä). 1
Miten suoran kuva voidaan piirtää yhtälön avulla? Yhtälöstä näkee välittömästi kaksi asiaa: a) miltä korkeudelta suora alkaa, eli millä korkeudella se leikkaa y-akselin; b) mihin suuntaan suora kulkee, eli mikä on sen kulmakerroin. Asia (a) nähdään vakiotermistä, joka esimerkin yhtälössä on 1. Asia (b) eli kulmakerroin on yksinkertaisesti x:n kerroin eli se luku, jolla x on kerrottu, siis esimerkissämme. Kysymys: miten niin vakiotermi kertoo, millä korkeudella suora leikkaa y-akselin? Vastaus: koska siinä kohdassa, jossa suora leikkaa y-akselin, x on nolla. Nyt korkeus tässä kohtaa, eli y:n arvo, saadaan sijoittamalla yhtälöön x:n paikalle nolla:. Kysymys: miten niin kulmakerroin kertoo, mihin suuntaan suora kulkee? Vastaus: yhtälöstä nähdään, että jos x kasvaa yhdellä, niin yhtälön oikea puoli kasvaa :lla(pohdi tätä, kunnes olet vakuuttunut). Siispä y:nkin on kasvettava :lla, jotta yhtälö pätisi. Sama lyhyemmin ilmaistuna: yhtälö kertoo, että kun x kasvaa yhdellä, niin y kasvaa :lla. Graafisesti se merkitsee, että kun mennään yksi ruutu oikealle, mennään ruutua ylöspäin. Jos vakiotermi olisi negatiivinen, suora leikkaisi y-akselin kuvan alaosassa, x-akselin alapuolella. Jos kulmakerroin olisi negatiivinen, x:n kasvua vastaisi y:n pieneneminen. Tällöin suora olisi oikealle laskeva. Toinen esimerkki: suuri kulmakerroin ja negatiivinen vakiotermi Kuvassa on suora. Nyt kulmakerroin on edellistä esimerkkiä suurempi. Se merkitsee, että suora on jyrkempi, sillä nyt kun mennään 1 oikealle, mennään 3 ylös. Vakiotermi on tässä negatiivinen, minkä johdosta suoran ja y-akselin leikkauskohta on x-akselin alapuolella. 2
Kolmas esimerkki: kun vakiotermi on nolla Tässä kuvassa on kaksi suoraa, L 1 ja L 2. L 1 : L 2 : Kummassakaan ei nyt ole vakiotermiä (tai tavallaan on, mutta se on nolla). Tästä seuraa, että nämä suorat kulkevat origon kautta. Kumpi suora on kumpi? Neljäs esimerkki: kun kulmakerroin on nolla Jos kulmakerroin on nolla, suora on vaakasuora. Tässä kuvassa on suorat L 3 : L 4 : Kumpi on kumpi? 3
Viides esimerkki: mitä jos yhtälö kirjoitetaan eri tavalla? Kuvassa on suora, jonka määrittelee yhtälö. Jos tämä yhtälö järjesteltäisiin uudestaan esim. jakamalla yhtälö puolittain luvulla, tuloksena olisi yhtälö. Määritteleekö tämä yhtälö jonkin suoran? Kyllä se määrittelee saman suoran kuin alkuperäinen yhtälö. Jos tästä uudesta yhtälöstä edelleen vähennettäisiin puolittain 2, saataisiin se muotoon. No määritteleekö tämä yhtälö jonkin suoran? Kyllä se määrittelee edelleen saman suoran kuin alkuperäinen yhtälö. Itse asiassa tämä sama suora kuvaa äärettömän montaa eri yhtälöä, jotka ovat keskenään ekvivalentteja eli yhtäpitäviä. Tämä asia on tärkeä tietää! Nimittäin, jos tehtävänä on esim. piirtää yhtälön määrittelemä suora, niin piirtämisestä ei tule mitään, ellet ensin muokkaa yhtälöä sellaiseen muotoon, josta näet vakiotermin ja kulmakertoimen! Lopuksi: mikä on suora? (Tämän voi skipata jos ei kiinnosta.) Suora on pistejoukko, siis joukko pisteitä. Suoran yhtenäisyys on tavallaan illuusiota. Suorat muistuttavat taivaan pilviä ne näyttävät konkreettisilta esineiltä, mutta tarkemmin katsoen pilvi on vain kokoelma vesipisaroita, joilla on varsin vähän tekemistä keskenään paitsi että ne ovat sattuneet ajautumaan tietylle alueelle; huomenna ne ovat taas hajaantuneet mikä minnekin. Suoran pisteet ovat samalla tavalla toisistaan erillisiä yksilöitä, eikä niillä ole mitään sidosta keskenään. (Itse asiassa jokainen piste kuuluu äärettömän moneen eri suoraan samanaikaisesti.) Suora on siis pistejoukko, ja siihen kuuluu äärettömän monta pistettä ne pisteet, joiden kautta suora kulkee. Jokainen piste on mallia (x, y), missä x ja y ovat lukuja. Mutta vain jotkut (x, y)- koordinaatiston pisteet kuuluvat suoraan: siihen kuuluvat vain ne pisteet (x, y), jotka toteuttavat tietyn yhtälön, esim. yhtälön. Piste (1, 1) ei toteuta yhtälöä, joten se ei kuulu suoraan. Sanomme, että yhtälö määrittelee suoran, jos niiden pisteiden joukko, jotka toteuttavat yhtälön, on koordinaatistossa suora. Tietenkään kaikki yhtälöt eivät määrittele mitään suoraa. Toiset yhtälöt määrittelevät aivan toisenlaisia pistejoukkoja, esim. ympyröitä; mutta se on jo kokonaan toinen tarina. 4
Tehtäviä Seuraavaksi piirretään suoria. Mutta ensin annan pari ohjetta, jotka perustuvat kokemuksiini sekä oppijana että opettajana. Ohje 1: käytä ruutupaperia ja mielellään viivoitinta äläkä tee sitä virhettä, että ratkot ongelmia vain päässä tekemättä mitään fyysisesti. Lahjakkailla ihmisillä on usein paha taipumus olla tarttumatta kynään fyysisesti, mutta se on hybristä ja hidastaa oppimista. Ohje 2: suorien piirtämiseen on kaksi näppärää menetelmää. Menetelmä 1: valitse mitkä tahansa kaksi x:n arvoa, x 1 ja x 2. Laske niitä vastaavat y:n arvot, y 1 ja y 2. Piirrä nämä kaksi pistettä, (x 1, y 1) ja (x 2, y 2), koordinaatistoon, ja sitten vedä viiva niiden kautta voilà. Menetelmä 2: katso millä korkeudella suora leikkaa y-akselin (vakiotermi); sitten mieti, mihin suuntaan suora lähtee, eli kuinka monta ruutua pitää mennä ylöspäin tai alaspäin, jos mennään x-akselilla yksi ruutu oikealle (tämän näet kulmakertoimesta). Suositeltavinta on kokeilla molempia menetelmiä. 1. Mikä on vakiotermi yhtälössä? 2. Mikä on kulmakerroin yhtälössä? 3. Piirrä suora. 4. Piirrä suora. 5. Piirrä suora. 6. Piirrä suora. 7. Piirrä suora. 8. Piirrä suora. 9. Piirrä suora. (Huom, tämä tehtävä edellyttää oivaltamista, koska tästä et voi ratkaista vakiotermiä etkä kulmakerrointa!) 10. Piirrä suora. 11. Piirrä suora. 12. Piirrä suora. 13. Mikä on sellaisen suoran yhtälö, joka leikkaa y-akselin korkeudella 2 ja x-akselin kohdassa? (Oikeita vastauksia on ääretön määrä, mutta riittää kun annat yhden näistä.) 14. Mikä on sellaisen suoran yhtälö, joka leikkaa y-akselin korkeudella 4 ja x-akselin kohdassa? 15. Mikä on sellaisen suoran yhtälö, joka leikkaa y-akselin korkeudella 4 ja x-akselin kohdassa? 5
Tehtävien vastaukset 1. 3 2. 300 3. 4. 5. 6
6. 7. 8. 9. 7
10. 11. 12. Kannattaa ratkaista ensin yhtälöstä y: 13..(Kulmakerroin tulee siitä, että kun mennään yksi oikealle, pitää päästä kaksi alaspäin kulmakerroin on eli 2.) 14..(Kulmakerroin tulee siitä, että kun mennään kaksi oikealle, pitää päästä neljä alaspäin kulmakerroin on eli jälleen 2.) 15.. (Kulmakerroin tulee siitä, että kun mennään kolme oikealle, pitää päästä neljä alaspäin kulmakerroin on.) 8