10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö



Samankaltaiset tiedostot
pienempää, joten vektoreiden välinen kulma voidaan aina rajoittaa välille o. Erikoisesti on

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????

RATKAISUT: 8. Momentti ja tasapaino

MAA5. HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit a) AB

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

4.3 Liikemäärän säilyminen

VEKTORIT paikkavektori OA

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

S FYSIIKKA IV (ES), Koulutuskeskus Dipoli, Kevät 2003, LH2. f i C C. λ 2, m 1 cos60,0 1, m 1,2 pm. λi λi

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2002

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I

Lisämateriaalia: tilayhtälön ratkaisu, linearisointi. Matriisimuuttujan eksponenttifunktio:

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Pakkauksen sisältö: Sire e ni

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A

RATKAISUT: 3. Voimakuvio ja liikeyhtälö

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.


Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Ongelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy?

Mat. tukikurssi 27.3.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Fy06 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/6

Mikroskooppi yksinkertaisimmillaan muodostuu kahdesta positiivisesta linssistä. Lähellä tutkittavaa esinettä eli objektia sijaitsee

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Ongelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy?

Geometrinen piirtäminen

Juuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

VIRTAPIIRILASKUT II Tarkastellaan sinimuotoista vaihtojännitettä ja vaihtovirtaa;

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k

MoViE- sovelluksen käyttöohjeet

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

SOSIALIDEMOKRAATTINEN PUOLUE SAARINIEMENKATU HELSINKI POSTISIIRTOTILI VAIHDE

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

1 x 2 1 x 2 C 1 D. 1 x 2 C 1. x 2 C 1 C x2 D x 2 C 1; x 0: x 2 C 1 C 1. x 2 x 4 C 1 ja. x 4 C 1 D.x4 1/.x 4 C 1/

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

gallup gallup potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

N p Katseluavaruudessa tehtävät operaatiot. Karsinta eli takasivueliminointi. Katselutilavuus

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

HENKKARIKLUBI. Mepco HRM uudet ominaisuudet vinkkejä eri osa-alueisiin 1 (16) Lomakkeen kansiorakenne

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

RISTIKKO. Määritelmä:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

1 LAMMIMUURIN RAKENNE JA OMINAISUUDET 2 2 KÄYTTÖKOHTEET 2 3 MUURITYYPIT 2 4 LASKENTAOTAKSUMAT Materiaalien ominaisuudet Maanpaine 3 4.

SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 2(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset

7.lk matematiikka. Geometria 1. Janne Koponen versio 2.0

Physica 9 1. painos 1(8) 20. Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2012

Ratkaisut vuosien tehtäviin

12. laskuharjoituskierros, vko 16, ratkaisut

LH9-1 Eräässä prosessissa kaasu laajenee tilavuudesta V1 = 3,00 m 3 tilavuuteen V2 = 4,00 m3. Sen paine riippuu tilavuudesta yhtälön.

Bridgen peruskurssi/eto Harjoitusjaot 1(5) Raija Tuomi 2. oppitunti

Forssan kaupunki Osavuosikatsaus YHDYSKUNTAPALVELUT. Arviointik r iteeri tr mittarit ja tavoitetaso ja t a v o i t e t a s o

Usean muuttujan funktiot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

RATKAISUT: 17. Tasavirtapiirit

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.

Fysiikan labra Powerlandissa

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

3. Kolmiulotteisten kohteiden esitys ja mallintaminen: jatkoa

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

RATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

PYHÄJÄRVI. Turri. Kyösti. Niilonsaari. Rajaniemi Rajasalmi. Soukonlahti. Sankilanlahti PYHÄJÄRVEN RANTAREITIN YLEISSUUNNITELMA.

Lisää unkarilaisia matematiikan tehtäviä koululaisille

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli

Ajankohtaiskatsaus, Peltotuki

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

TALOUSARVION 2015 MUUTOS / HUOVILAN KOULUN ILTAPÄIVÄTOIMINTA / OPETUS- JA VARHAISKASVATUSPALVELUT

Lineaarisista taikaneliöistä ja niiden konstruoinnista

RFID-tunnistus rengastuotannossa pilotin kokemuksia

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

MAA 9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

NEN PAINOVOIMAMITTAUS N:o OU 10/7b

Kenguru 2011 Student (lukion 2. ja 3. vuosi)

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Transkriptio:

10 Suran vektrimutinen htälö J aluki tarkatellaan -tan kuuluvaa, rign kautta kulkevaa uraa, niin ura n täin määrätt, mikäli tunnetaan en uunta. Tavallieti tämä annetaan uuntakulman tangentin = kulmakertimen k avulla. Suran uunta vidaan antaa mö uuntavektrin avulla. Tällainen (ei -akelin uuntainen) ura = k kulkee iten eim. piteen (1,k) kautta, jten uuntavektriki vidaan valita î + kĵ tai mikä tahana tämän kana hdenuuntainen vektri. Merkitään tällaita vektria = î + ĵ. P O Välttämätön ja riittävä eht ille, että pite P = (,) n uralla L, n e, että löt reaaliluku t iten, että OP = r = t. Kun r n piteen P paikkavektri, ii r = î + ĵ, niin em. htälö kmpnenttimuda n î + ĵ = t î t ĵ, jta aadaan uran htälön n. parametrimut Niiä tapaukia, jia 0, aadaan eliminimalla t parametrimutieta htälötä uui htälö =, jta edelleen merkitemällä muuttujan kerrinta = k, pullahtaa ennetäänkin hvin tuttu htälö = k. Kannattaa tietenkin humata, että merkitemällä uuntavektria = î ĵ kelpaa mikä tahana tämän kana hdenuuntainen vektri uuntavektriki. Tällaieki 1 kelpaa vaikkapa vektri = î + ĵ = î + kĵ. Tällöin n = tan = k, miä n uran L ja pitiivien -akelin välinen terävä kulma. Tämä kulma tetaan + +

negatiiviena, mikäli en ikea klki n ntnt vektrin î kierteä mötäpäivään eli negatiivieen kiertuuntaan. Orign kautta kulkevaan avaruuuraan eitett tarkatelu pätee täin hvin. Kuitenkaan tällaielle uralle ei määritellä uuntakulmaa ja uuntavektriin tulee klmakin kmpnentti. Tällöin = î + ĵ kˆ, ja rign kautta kulkevan + uran parametrihtälöki aadaan klmen htälön rhmä miä t n mikä tahana reaaliluku. = t = t, = t Olktpa itten L1: r = t rign kautta kulkeva -tan kuuluva ura ja L 2 tämän uran uuntainen ura, jka kulkee piteen P = (, ) kautta. Jälkimmäien uran uuntavektriki vidaan ilman muuta valita vektri. r 0 P = (, ) r P = (, ) Välttämätön ja riittävä eht ille, että P = (,) n uran L 2 pite, n e, että löt reaaliluku t iten, että OP = OP + t, mikä merkitee vektrihtälöä minkä kmpnenttieit n r = r + t î + ĵ = î + ĵ+ tî + t ĵ, jta edelleen päätään parametrieitkeen

= + t = + t Mikäli n keeä erikitapau = 0, aadaan tätä -akelin uuntainen ura = 0, jnka uuntavektriki kä paiti ĵ, mö pelkkä ĵ. Ellei le keeä käitelt erikitapau, parametri t n helpp eliminida ja aadaan 0 = 0 = ( 0) 0 = k( 0). 0 Kun jhdettiin piteen etäittä urata, tdettiin, että uran nrmaalivektriki vitiin valita n = aî + bĵ ja uuntavektriki = bî + aĵ, ja aadaan ijituken nnä ievennken jälkeen jälleen kerran Laue 18 Mikä tahana -tan ura vidaan aina eittää muda a + b + c = 0 mikäli ainakin tinen kertimita a ja b eraa nllata. Olkt nt P = (,, ) avaruuden kiinteä pite ja = ai + bj + ck nllata erava vektri. Pite P = (,,) n P :n kautta kulkevalla, vektrin uuntaiella uralla tämälleen illin, kun löt reaaliluku t iten, että

P P OP = OP + t r = r + t Tätä päätään parametrimutn = = = + ta + tb + tc ja parametrin elimininnin jälkeen n. krdinaattimutn: Laue 19 Piteen P = (,, ) kautta kulkevan, vektrin = ai + b j+ ck uuntaien uran htälö vidaan eittää muda a edellttäen, että abc 0. = = b c Parametrimutinen eit ei tätä rajituta iällä, mutta vaatii en, että ainakin ki uuntavektrin kalaarikmpnenteita pitää lla nllata erava, kka nllavektrilla ei le uuntaa. Eim. 1 Sura kulkee piteiden A = (4, 3, 1) ja B = (6, 7, 5) kautta. Määritä uran htälö, ekä pite, ja ura khtaa -tan.

Tan uuntavektriki vidaan valita = AB = OB OA. = (6 4)î + (7 3) ĵ + ( 5 1)kˆ = 2î + 4ĵ 6kˆ. Sura kulkee piteen A kautta ja en uuntavektri n. Laue 5.19 antaa: 4 3 1 = =. 2 4 6 Sura leikkaa -taa piteeä, jnka -krdinaatti n nlla. Muiden krdinaattien määräämieki tarvitaan uran parametrimutita = + ta htälöä: = + tb = + tc Sijitetaan tähän uuntavektrin kalaarikmpnentit ja piteen A krdinaatit (htä hvin B:n krdit) = 4 + 2t = 3 + 4t = 1 6t J = 0, niin t = 2. Sijittamalla tämä muiden krdinaattien lauekkeiiin, päätään tietämään uran ja -tan leikkaupite: = 0 = 3 + 4( 2) = 5 = 1 6( 2) = 13 Vatau: Ktn uran htälö 4 3 nrmaalimuda = = 2 4 = 4 + 2t parametrimuda = 3 + 4t = 1 6t 1 6 Sura leikkaa -tan piteeä (0, 5, 13).