6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran x = 3 + τ y = z = 4 τ koordinaattitasojen leikkauspisteet. 0,, 10), zx-tasolla ei ole, 5,, 0). 57. Määritä suorien leikkauspiste. 1,). x = 3 + τ y = 1 3τ x = 1 σ y = 1 + σ) 58. Millä luvun α arvoilla suorat ovat yhdensuuntaiset? α =. x = 1 + ατ y = τ x y + 5 = 0 59. Määritä luku α siten, että suorat x 1) = 1 y = z 3 x = 17 y = 7 + 3τ z = τ vektori i + j + αk ovat saman tason suuntaiset. α = 11 3.
60. Olkoon s 1 xy-tason suora, jonka yhtälö on x + y 1 = 0 olkoon s suora x = y = z = τ. Määritä pisteet P 1 s 1 P s siten, että vektori P 1 P on yhdensuuntainen vektorin i j + k kanssa. P 1 = 0,1,0), P = 1, 1, 1 ). 61. Kolmion kaksi kärkeä ovat origo piste,, 1). Yksi sivu on suoralla x = y = z. Määritä kolmas kärki, kun kolmannen sivun tiedetään olevan i j + αk, missä α on eräs luku. Mikä luku α on? 3 8, 4 3, 8 11 3 ), α =. 6. Suora s kulkee pisteen 1,1,3) sen nan keskipisteen kautta, jonka zx- xy-tasot leikkaavat suorasta x 1 = y + 1) = z + 3. Määritä suoran s suuntavektori. 18i 3j 14k. 63. Määritä α siten, että suorat x 1) = y + 1 = αz 1) x + 1 = y 1 = z leikkaavat. α = 4 5. 64. Tason koordinaatistosta O,b 1,b } tiedetään, että b 1 : b = α. Tämän koordinaatiston pisteen 1,1) kautta kulkeva suora leikkaa koordinaattiakselit so. origon kautta kulkevat kantavektoreriden suuntaiset suorat) pisteissä A B siten, että OA = OB. Missä pisteessä tämä suora leikkaa suoran ξ η+3 = 0 so. suoran, jonka pisteiden koordinaatit ξ,η) toteuttavat em. yhtälön)? Piirrä kuvio tapauksessa b 1 = i, b = i + j. Pisteen 1, 1) kautta kulkevia suoria on enintään) kolme, joista ensimmäinen leikkaa annetun suoran pisteessä α+ α ), toinen pisteessä ) kolmas on annetun suoran suuntainen. 65. α 1, 4α 1 α 1 α+1, 4α+1 α+1 Taso kulkee pisteiden 0,,1) 3,4,1) kautta sekä on vektorin i k suuntainen. Määritä tason yhtälö parametrimuodossa. x = 3σ + τ, y = + σ, z = 1 τ. 66. Tason parametrimuotoinen yhtälö on x = + σ + τ y = 1 + 3σ + τ. z = 3 σ + τ Esitä yhtälö muodossa ax + by + cz = d. Mikä on tason normaalivektori? 5x 3y + z = 16; normaalivektori 5i 3j + k. 67. Osoita, että piste P = 3i j + k siitsee tasossa, joka kulkee pisteen P 0 = i 13j 5k kautta on vektoreiden s = i j t = i + j + k suuntainen.
68. Taso kulkee pisteiden 1, 1,) 3,1,) kautta sekä on vektorin i + 3j k suuntainen. Määritä tason yhtälö muodossa ax + by + cz = d. x y z = 0. 69. Määritä muodossa ax + by + cz = d sen tason yhtälö, joka kulkee suoran x = 3 + τ y = 1 τ z = + τ kautta sekä a) pisteen 0,,1) kautta, b) on vektorin 3i + j k suuntainen. a) 7x + 6y + 5z = 17, b) 3x + 5y + 7z = 0. 70. Määritä tasojen x y + z = 5 x + 3y 5z + 7 = 0 yhteiset pisteet. x = τ, y = 11 14τ, z = 8 8τ, τ R. 71. Millä arvoilla α, β, γ tasot x+αy+βz = α γ+1 αx+α+)y+γz = γ+β ovat yhdensuuntaiset? Voidaanko luvut valita siten, että tasot yhtyvät? α =, γ = β tai α = 1, γ = β; tasot yhtyvät, jos α =, β = 10 9, γ = 0 9. 7. Määritä seuraavien tasojen yhteiset pisteet: a) Ei ole, b) 1,,3). 73. a) x + y z + = 0, x + y + z 4 = 0, x + 3z = 0, b) x + y + z 6 = 0, x + y z = 0, x y + z 3 = 0. Olkoon annettuna kaksi suoraa parametriesityksen avulla: r = 1 + τ)i + 1 + τ)j + 1 + 3τ)k r = 1 + τ)i + 1 + τ)j + k. Esitä muodossa ax + by + cz = d sen tason yhtälö, joka kulkee edellisen suoran kautta on jälkimmäisen suuntainen; esitä vastaavasti jälkimmäisen suoran kautta kulkeva edellisen suoran suuntainen taso. 74. Suoran x = 3 + τ, y = + τ, z = 1 τ kautta asetetaan taso, joka on vektorin i j k suuntainen. Esitä taso sekä parametrimuodossa että yhden yhtälön avulla. Mikä on tason normaalivektori?
75. Johda sen tason yhtälö, joka puolittaa pisteen P 0 = x 0,y 0,z 0 ) tason T x,y,z) = 0 väliset nat. T x,y,z) 1 T x 0,y 0,z 0 ) = 0. 76. Olkoon O,b 1,b,b 3 } avaruuden E 3 koordinaatisto. Olkoon annettuna taso T suora s parametrimuotoisten yhtälöiden avulla: r = ub 1 + vb + ub 3, r = 1 + t α )b 1 + t )b + α t)b 3, missä u, v, t ovat parametrit α on vakio. Määritä α siten, että tason T suoran s leikkauspiste puolittaa vektoreiden b 1, b b, b 3 määräämien koordinaattitasojen suorasta s leikkaaman nan. α = 1. 77. Koordinaatiston O,b 1,b,b 3 } kantavektoreista tiedetään, että b 1 : b : b 3 = : 3 : 5. Taso T kulkee pisteen 1,1,1) kautta leikkaa positiiviset koordinaattiakselit pisteissä, joiden etäisyydet origosta ovat yhtä suuret. Johda em. koordinaatistossa tason T yhtälö määritä piste, jossa origon kautta kulkeva vektorin b 1 + 3b + 5b 3 suuntainen suora leikkaa sen. ξ + 3η + 5ζ = 10; 10 19, 15 19, 5 19 ). 78. Osoita, että pisteiden x k,y k,z k ), k = 1,,3, jotka eivät ole samalla suoralla) kautta kulkevan tason yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon x x 1 x x 3 y y 1 y y 3 z z 1 z z 3 = 0. 1 1 1 1 79. Määritä suorilta x = 7 + 3τ y = 6 + τ z = 7 + 4τ x = τ y = 10 3τ z = 17 + 5τ sellaiset pisteet, että niiden yhdysna on kohtisuorassa molempia suoria vastaan. Esitä yhteisen normaalin parametrimuotoinen yhtälö. 1,, 1), 3,1, ), x = 1 + τ, y = τ, z = 1 τ. 80. Määritä pisteen 3, 4, ) kohtisuora projektio sillä tasolla, joka kulkee pisteen 1, 0, 1) kautta on kohtisuorassa vektoria i j + k vastaan. 5 6, 5 3, 5 6 ).
81. Määritä pisteen 3,4, ) kohtisuora projektio tasolla x = 1 + σ τ y = 1 + τ z = σ. 0, 1, 1). 8. Määritä ne suorat, jotka leikkaavat suorat y = 0 z = 0, x = 0 y = 1 sekä muodostavat kummankin kanssa 60 kulman. Neljä ratkaisua: x = ± 1 1 τ), y = τ, z = ± 1 τ. 83. Määritä sen tason yhtälö, joka on suorien x + y = 3 suuntainen yhtä etäällä näistä. x + y z = 0 3x 7y 3z + 6 = 0 6x + y + 3z + 3 = 0 84. Laske tasojen x + y z 4 = 0 3x + 6y z 1 = 0 välisen terävän diedrikulman kosini. 16 1. 85. Määritä tasojen x + y + 3z = 1 r = i σi 3k) τj k) välinen pienempi) kulma asteen tarkkuudella. Määritä jokin piste tasojen leikkaussuoralta suoran suuntavektori. 86. Määritä pisteen 3,, 4) symmetrinen piste tason x + y z + 5 = 0 suhteen. 3, 4, 8). 87. Määritä pisteen 3,, 1) symmetrinen piste suoran x 1 = 1 y) = z + 3 suhteen. 3 9, 5 9, 31 9 ).
88. Määritä origon suurin mahdollinen etäisyys pisteiden 0, 1, 0) 1, 0, ) kautta kulkevasta tasosta. Mikä taso antaa maksimietäisyyden? ; x + 5y + z = 5. 89. 5 6 Tarkastellaan niitä tason x + y + z 3 = 0 pisteitä, joiden kohtisuora projektio suoralla x + 1 = y 1 = z on,4,3). Määritä näistä se, joka on lähinnä origoa. 15 15, 6, ). 90. Määritä se suoran r = i+j+τ i+k) tasolla x+y+z = 0 olevan kohtisuoran projektion piste, jonka kohtisuora projektio suoralla x = y = z on origo. 0, 4 5, 4 5 ). 91. Määritä suoran x y + z + 3 = 0 x y z + 1 = 0 xy-tasolla olevan kohtisuoran projektion tason x y z + 1 = 0 välisen kaltevuuskulman sini. 10. 9. Vektorin i j + 3k kanssa samansuuntainen valonsäde kohtaa heistavan tason pisteessä 1,, 1). Heistunut säde kulkee pisteen,5, 3) kautta. Johda tason yhtälö. x 4y + 5z + 1 = 0. 93. Positiivisen z-akselin suunnasta tuleva valonsäde osuu pisteessä 1,,3) tasolla 3x + y + z = 10 olevaan peiliin heistuu tästä. Määritä heistuneen säteen suunta. Kohtaako heistunut säde xy-tasoa? Jos, niin missä pisteessä? 94. Painovoima vaikuttakoon negatiivisen z-akselin suuntaan. Pisara putoaa pisteestä 1, 1, 3) tasolle 3x 4y+1z = 1 alkaa valua tasoa pitkin alaspäin. Missä pisteessä se kohtaa xy-tason? 64 5, 7 5,0). 95. Määritä pisteen, 3,1) kohtisuora projektio suoralla a) r = i + 3j k + τi + j + k), b) 3x + y z 5 = 0 x y z + 5 = 0.
a) 9, 7 9, 19 9 ); b) 9 35, 178 35, 3 7 ). 96. Laske pisteen,3, 1) etäisyys suorasta 13 a) 3; b) 4 15. a) r = i + j + 3k + τi j + k), b) 3x y + z 6 = 0 x y + 8 = 0 97. Määritä suorien lyhin etäisyys. 1 10. r = i + j + 3k) + τi j + k) 3x y = 1 x y z = 3 98. Määritä suorien r = i + 5k) + τi j + k) lyhin etäisyys lähinnä toisiaan olevat pisteet. 99. 3x y = 1 x + z = 6 Massapisteistön hitausmomentti on J = n k=1 m kd k, missä indeksi k numeroi pisteet, m k on pisteen massa d k sen kohtisuora etäisyys pyörähdysakselista. Pisteessä 3,, 1) on massa 5 pisteessä 3, 1, 4) massa 17. Laske hitausmomentti, kun akselina on suora 5x = 3y = z. Tarkka arvo likiarvo. 300. Olkoot a, b c kolme nollasta eroavaa avaruuden E 3 vektoria. Tutki, millä ehdolla pistejoukko P = r a r) b = c} on a) tyhjä, b) suora, c) taso. a) a b 0 b c 0) tai a b = 0 a c o); b) a b 0 b c = 0; c) a b = 0 a c = o. 301. Osoita, että tasot x + y + z 1 = 0, x y = 0 x + y 5z + 5 = 0 voidaan valita uuden ortonormeeratun oikeakätisen koordinaatiston y z -, z x - x y -tasoiksi. Johda koordinaattien muunnoskaavat, kun tiedetään, että pisteen x,y,z) = 1, 1,1) uudet koordinaatit x,y,z ) ovat positiiviset. T = 1 30 5 5 5 6 6 0 1 5, x 0 = 1 30 5 0. 5
30. Pistejoukko on avaruuden R 4 hypersuora pistejoukko T = x x = 3 3 ) T s = x x = 1 4 3 ) T + σ 1 4 3 3 ) T } + τ 1 1 1 3 3 ) T + τ 0 3 ) T + τ3 0 3 4 3 ) T } 1) sen kolmiulotteien hypertaso. Laske suoran s tason T leikkauspiste. 11 6 3 1 1 ) T. 303. Todista, että hypertasot x = 1 4 3 ) T ) T ) T + σ1 1 0 3 1 + σ 5 4 6 x = 3 3 ) T ) T ) T ) T + τ1 1 1 3 3 + τ 0 3 + τ3 0 3 4 3 ovat yhdensuuntaiset. Vertaa: Milloin avaruudessa E 3 suora on tason suuntainen?) 304. Todista, että hypersuora x = 1 1 1 1 ) T ) T + σ 0 1 3 ei ole hypertason x = 1 0 0 ) T ) T ) T + τ1 1 1 1 + τ 1 0 1 1 suuntainen. Onko näillä leikkauspisteitä? Ei ole leikkauspisteitä. 305. Määritä dimensioltaan pienin hypertaso, joka sisältää pisteet P 1 = 1 1 1 1 ) T, P = 0 3 ) T, P 3 = 0 3 1 ) T, P4 = 1 3 4 ) T. x = 1 1 1 1 ) T + τ1 1 3 1 4 ) T + τ 1 1 0 ) T + τ3 0 1 3 ) T. 6.. Painopistekoordinaatit 306. Suora kulkee pisteiden P 1 =,1,3) P = 1,,1) kautta. Tutki, ovatko pisteet 8, 1,5) 7,4, 3) suoralla. Määritä myönteisessä tapauksessa painopistekoordinaatit päättele näistä pisteen siinti pisteisiin P 1 P nähden.
Edellinen piste ei ole suoralla. Jälkimmäinen on; se siitsee nan P 1 P ulkopuolella, lähempänä pistettä P kuin pistettä P 1. 307. Kolmion kärjet ovat A = α,0), B = β,0) C = 0,γ). Johda keskinojen parametrimuotoiset yhtälöt. 308. Tutki, ovatko pisteet α, β), α + β, α β) α + β, α β) samalla suoralla. Ovat. 6.3. Suora- tasoparvista 309. Määritä tason suorien 1 + 5)x 7 13)y = 1 3)x + 4 7)y = leikkauspisteen origon kautta kulkevan suoran yhtälö. 310. Määritä suorien 3x y + 1 = 0 x + y = 0 leikkauspisteen kautta kulkeva suora, joka a) kulkee pisteen, 1) kautta, b) on vektorin i j suuntainen. a) x + y = 1; b) x + y = 1. 311. Määritä tason suorien y = 7x x + y = 8 leikkauspisteen kautta kulkevat suorat, joiden etäisyys origosta on 5. 3x 4y + 5 = 0, 4x + 3y 5 = 0. 31. Kolmion sivut ovat tason suorilla y = 0, 3x + 4y = 1 5x = 1y. Määritä kulmanpuolittat, niiden leikkauspiste sisäänpiirretyn ympyrän säde. x + 3y = 4, 16x y = 39, x = 5y; leikkauspiste 5, 1 ); säde = 1. 313. Määritä tasojen x + y + z = 3 3x y + z = 7 leikkaussuoran sekä origon kautta kulkevan tason yhtälö. 314. Määritä se tasojen x + y + z = x + y z = 1 leikkaussuoran kautta kulkeva taso, joka sisältää pisteen 1, 1, 1).
y z + 1 = 0. 315. Määritä tasojen 3x 5y + z + 9 = 0 x 3y 5z 1 = 0 välisten diedrikulmien puolittatasot. x y + 3z + 5 = 0, x y z + = 0. 316. Määritä se tasojen x + y + z = x + y z = 1 leikkaussuoran kautta kulkeva taso, joka on suoran x y + z 1 = 0 suuntainen. x + 7y 11z + 4 = 0. x + y 3z + 3 = 0 317. Määritä luvut α β siten, että tasot 3x + 3y 4z + 7 = 0, x + 6y + z 6 = 0 x + αy + βz = 0 kulkevat saman suoran kautta. Esitä suoran yhtälö parametrimuodossa. α = 1 5, β = 5 ; 318. x = 1 3τ, y = τ, z = 1 5 3τ). Johda sen tason yhtälö, joka kaa tasojen x y + z = 3x 6y + 3z = 17 väliset nat suhteessa : 3. 15x 30y + 15z = 5. 319. Määritä tasojen x = y+3 y+z+3 = 0 leikkaussuoran kautta kulkeva taso, joka puolittaa ne tasojen yhdysnat, jotka ovat suoran x = y = z suuntaiset. x y + z = 0. 30. Suoran x = 3 + τ y = + τ z = 1 τ kautta asetetaan taso, joka on vektorin i + j + k suuntainen. Määritä tämän tason z-akselin leikkauspiste. 0,0, 11 3 ). 31. Koordinaatiston O,b 1,b,b 3 } kantavektoreista tiedetään, että b 1 = b. Määritä ne suoran r = 1+τ)b 1 +3 τ)b + + τ)b 3 kautta kulkevat tasot, jotka leikkaavat b 1 - b -koordinaattiakselit yhtä etäällä origosta. Kolme ratkaisua: 5ξ + η 4ζ = 0, ξ + η 4 = 0, ξ η ζ + 6 = 0.
3. Määritä suoran 3x 4y + z 1 = 0 4x 7y + 3z + 4 = 0 kautta kulkevat tasot, joiden etäisyys origosta on 4. x y 8 = 0, 5x 1y + 16z + 15 = 0.