Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: <. b) < ( + ) ( ) < + + < + 8 + < 8+ < : ( > ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( ) < ( ) < < 8 < < + < : ( > ) < < Vastaus: < 9. ( > ) ( ) ( ) + : ( > ) Vastaus: Kertoma! MAB
. a) Tehtävän epähtälö on tosi niillä muuttujan arvoilla, joiden kohdalla epähtälön vasemman puolen funktion kuvaaja kulkee -akselin läpuolella (tai -akselilla). Epähtälö siis toteutuu, kun, tai. Vastaus:, tai b) Tehtävän epähtälö on tosi niillä muuttujan arvoilla, joiden kohdalla epähtälön vasemman puolen funktion kuvaaja kulkee -akselin läpuolella (mutta ei -akselilla). Epähtälö toteutuu, kun <, < < tai >. Vastaus: <, < < tai >,,,,,,,,,, 8 8 8 8. a) Ratkaistaan epähtälö f( ) > + > > : ( > ) > Vastaus: > b) Ratkaistaan epähtälö + > > :( ) merkki käänt! < < Vastaus: < < c) Ratkaistaan ensin funktion nollakohdat: + = = ± ( ) = ± = ± = ± = = Funktion kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli, jonka ainoa nollakohta on =. Tästä voidaan päätellä, että funktion arvot ovat positiivisia kaikilla muuttujan arvoilla lukuun ottamatta nollakohtaa =. Vastaus:. Kertoma! MAB
d) Ratkaistaan epähtälö > > ( > ) > : ( > ) > >. a) Ratkaistaan ensin funktion f() = nollakohdat ja piirretään mallikuva. = = ± =± Päätellään epähtälön > vastaus mallikuvasta: Funktio on siis positiivinen, kun < tai >, jolloin tehtävän epähtälö on siis tosi. Vastaus: < tai > b) Ratkaistaan ensin funktion f() = + nollakohdat: + = = aina epätosi, sillä kaikilla reaaliluvuilla Yhtälöllä + = ei ole ratkaisua eli funktiolla f() = + ei ole nollakohtia. Piirretään mallikuva. c) Ratkaistaan ensin funktion f() = + nollakohdat ja piirretään mallikuva: + = = ± ( ) = ± = = tai = = Mallikuvasta päätellään, että tehtävän epähtälö + toteutuu silloin, kun. Vastaus: d) Ratkaistaan ensin funktion f() = + 7 nollakohdat: + 7= 7 = ± ( ) = ± Yhtälöllä + 7 = ei ole ratkaisua, sillä juurrettava on negatiivinen. Piirretään mallikuva. Funktion f() kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia. Funktion f() kuvaaja on siis löspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia. Tällöin se voi saada vain positiivisia arvoja, joten tehtävän epähtälö + < ei toteudu millään :n arvolla. Vastaus: Epähtälö ei toteudu millään muuttujan arvolla. Mallikuvasta päätellään, että funktio saa vain positiivisia arvoja, joten tehtävän epähtälö + 7 > toteutuu aina riippumatta muuttujan arvosta. Vastaus: Epähtälö toteutuu kaikilla muuttujan arvoilla. Kertoma! MAB
. a) Tät siis ratkaista epähtälö ( ) <. Lasketaan funktion f() = ( ) = nollakohdat ja piirretään mallikuva. = ( ) = = tai = = Funktio f() on toisen asteen polnomifunktio, jonka kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli. Mallikuvan avulla päätellään, että f() saa negatiivisia arvoja, kun < <, jolloin siis tehtävän epähtälö mös toteutuu. Vastaus: < < b) Tät siis ratkaista epähtälö ( ) >. Lasketaan funktion g() = ( ) = nollakohdat. = ( ) = = tai = = : = =± Funktio g() on siis kolmannen asteen funktio, jolla on kolme nollakohtaa. Tutkitaan, saako funktio nollakohtien välillä positiivisia vai negatiivisia arvoja: Väli < : Valitaan piste = : g( ) = ( ) [( ) ] = = 8 < Väli < < : Valitaan piste =,: g(,) = (,) [(,) ] =, (,7) =, > Väli < < : Valitaan piste =,: g(,) =, [, ] =, (,7) =, < Väli > : Valitaan piste = : g() = [ ] = = 8 > Voidaan laatia funktion merkkikaavio f() + + Funktio g() voi vaihtaa etumerkkiään vain nollakohdissaan. Tämän perusteella tiedetään, että g() = ( ) saa positiivisia arvoja, kun < < tai >. Vastaus: < < tai >. Avataan sulkeet: ( + ) ( ) > 9 + + 9+ > + > : ( > ) + > Saadaan toisen asteen epähtälö. Funktion f() = + kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli. Ratkaistaan sen nollakohdat ja piirretään mallikuva. + = = ± + = ± = tai = Funktio f() saa siis positiivisia arvoja, kun < tai >, jolloin mös tehtävän epähtälö toteutuu. Vastaus: < tai > Kertoma! MAB
. a) Merkitään f() = +. Ratkaistaan ensin nollakohdat: + = ( + ) = = tai + = = tai = ± 9 8 = ± = tai = tai = Tutkitaan laskemalla, millä nollakohtien muodostamilla väleillä funktio f() saa positiivisia arvoja: Väli < : f( ) = < Väli < < : f(,), > Väli < < : f(,7), < Väli > : f() = > Voidaan laatia funktion merkkikaavio f() + + Epähtälö + toteutuu siis silloin, kun tai. Vastaus: tai Tehtävän a funktion kuvaaja:,,,,,,,,,, b) Merkitään g() = + 7 +. Ratkaistaan ensin nollakohdat soveltamalla tulon nollasääntöä ja toisen asteen htälön ratkaisukaavaa: + 7 + = ( + 7 + ) = = tai + 7 + = 7 9 8 7 = tai = ± = ± = tai= tai = Tutkitaan, millä nollakohtien muodostamilla väleillä funktio saa positiivisia arvoja: Väli < : g( ) = > Väli < < : g(,), < Väli < < : g( ) = > Väli > : g() = > Voidaan laatia funktion merkkikaavio f() + Epähtälö + 7 + > toteutuu siis silloin, kun <, < < tai >. (Huomaa, että = ei kuulu mukaan vastaukseen!) Vastaus: <, < < tai > Tehtävän b funktion kuvaaja: 8 8 8 8 Kertoma! MAB
. Yhtälö ( + p) = toteutuu, kun =. Ratkaistaan siis vakio p sijoittamalla htälöön ( + p) = arvo =, jolloin saadaan htälö, jossa on muuttujana p: ( + p)= ( + p) = ( ) 9 p = 9 p = 8 8 p = = Sijoitetaan p = tehtävän epähtälöön: ( + p) < ( + ) < Ratkaistaan epähtälö. + < + < + < Ratkaistaan nollakohdat ja piirretään mallikuva. + = ( + ) = = tai + = = Kuvaajana on löspäin aukeava paraabeli, jolla on kaksi nollakohtaa. Päätellään epähtälön + < vastaus mallikuvasta. + <, kun < <. Vastaus: < < Funktion kulku 7. a) Funktio muuttaa kulkusuuntaa pisteissä,,, ja,. Laaditaan näiden tietojen avulla funktion kulkukaavio: fʹ() f(),,, + + minimi maksimi minimi b) Kulkukaavion perusteella nähdään, että funktio on kasvava, kun,, tai,. c) Funktio on vähenevä, kun, tai,,. d) Funktion ääriarvokohdat ovat samat kohdat, joissa sen kuvaaja vaihtaa kulkusuuntaa. Ääriarvokohdat ovat siis: minimikohta,, maksimikohta, ja minimikohta,. e) Kun =, funktion kuvaajan vastaavan pisteen -koordinaatti (eli funktion arvo, kun = ) on noin. Siis f( ). f) Yhtälön f() = ratkaisu kertoo funktion nollakohdat eli ne muuttujan arvot, joissa funktion kuvaaja leikkaa -akselin. Nämä arvot ovat:,, ja. Siis htälön f() = ratkaisu on,, tai. 8. Funktion f() kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli. Siispä funktio f() on kasvava sitä kuvaavan paraabelin huippukohtaa suuremmilla arvoilla. Määritetään paraabelin huippukohta sen nollakohtien avulla: = ( ) = = tai = = Paraabelin huippukohta on sen nollakohtien keskiarvo + =. Siispä funktio f() on kasvava, kun. Vastaus: Kun. Kertoma! MAB 7
9. Funktion f() kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli, joten se saa pienimmän arvonsa paraabelin huipussa. Lasketaan paraabelin huipun koordinaatit. Nollakohdat + = = ± ( ) = ± = ± = ± = On vain ksi nollakohta, joten paraabeli sivuaa -akselia pisteessä, kohdassa =. Pisteen -koordinaatti on f() = + =. Paraabelin huippu on pisteessä (, ). Siis funktion pienin arvo on. Vastaus: Funktion pienin arvo on. Funktion muutosnopeus. Ensimmäisen asteen polnomifunktion kuvaajana on suora, jonka keskimääräinen muutosnopeus on suoran kulmakerroin. Funktion keskimääräinen muutosnopeus k on siis sen kuvaajan pisteiden -koordinaattien muutos jaettuna -koordinaattien muutoksella: k = = ( ) =. 7 9 Vastaus: Polnomin keskimääräinen muutosnopeus on 9.. Taulukoidaan funktion f() = kuvaajan pisteitä ja piirretään kuvaaja niiden avulla: 8 8 Funktion arvo kohdassa = on 8 ja kohdassa = se on. Siispä funktion keskimääräinen muutosnopeus välillä [, ] on 8 = =. Vastaus: Funktion keskimääräinen muutosnopeus välillä [, ] on. b) Kuvaajan tangentti pisteessä (, ) on -akselin suuntainen. Siispä sen kulmakerroin ja funktion hetkellinen muutosnopeus on. Vastaus: Funktion hetkellinen muutosnopeus kohdassa = on.. Funktioiden kuvaajat ovat suoria. Niistä nopeimmin kasvaa se, jonka kulmakerroin on suurin. Funktion i() kuvaajan kulmakerroin, on tehtävän funktioiden kuvaajien kulmakertoimista suurin. Vastaus: i() (, 8) 8 9 8 7 (, ) (, ) (, ) tangentti pisteessä (, ) (, 8) Kertoma! MAB 8
. Muodostetaan ensin kulkukaavio funktioille, jotka toteuttavat tehtävänannon ehdot. Hahmotellaan tämän avulla kaksi kuvaajaa.. Esimerkiksi 7 7 Funktion derivaatta. Taulukoidaan funktion pisteiden koordinaatteja ja piirretään funktio niiden avulla: = + 9 9 a) Kuvasta luetaan f() ja f() b) Kuvaan on piirrett kuvaajan tangentit kohdissa = ja =. Kohdan = tangentti kulkee pisteiden (, ) ja (, ) kautta, joten sen kulmakerroin on =. Kohdan = tangentti on -akselin suuntainen, joten sen kulmakerroin on. Siis f () = ja f () =. Vastaus: f () ja f (). 9 8 7 (, ) (, ) (, ) Kertoma! MAB 9
. a) D( + ) = D( ) D() + D() = = Vastaus: b) D( 7 + 9 ) = 7 + 9 8 = 7 78 + 9 8 c) Vastaus: 7 78 + 9 8 D + = D D ( )+ ( ) = + Vastaus: + d) D[( + )( + ) ] = D[( + )( + + )] = D( + + + + + ) = D( + + + + ) = + 8 + 9 + 8 + Vastaus: + 8 + 9 + 8 + e) Derivoidaan muuttujan suhteen (Oletetaan, että a on vakio.) D(a a + a) = a a Vastaus: a a 7. a) Taulukoidaan funktion pisteiden koordinaatteja: = 8 Piirretään funktioiden f() ja f () kuvaajat samaan koordinaatistoon: b) f ( ) = = = = Vastaus: = 8. Polnomin f() = 7 + derivaattafunktio f () = 7 +. Pisteessä =, f ( ) = 7 ( ) ( ) + = 7 + + =. Vastaus: 9. Määritetään ensin derivaattafunktio: f () =. Tällöin f ( )= = =. Vastaus: 8 8 Määritetään derivaattafunktio: f () =. Tämän kuvaaja on suora. Kertoma! MAB 7
. Muokataan funktion lauseke polnomifunktioksi: ( ) ( )( ) f( ) = ( ) = + = = 9 = ( + 9 ) Nt f ( ) = D ( + ) = ( ). 9 9 ( ) Lasketaan derivaatan nollakohdat: ( ) = 9 = = = = Vastaus: Derivaatalla on nollakohta =.. f( ) = f ( ) + = D( + ) + = + + = = 7 = ± ( ) ( ) = ± = 7 = + 7,8 tai,78 Vastaus: = 7 = + 7,8 tai,78. Sievennetään ensin funktion lauseke: f() = ( ) ( ) + = ( )( ) + + = + + + = + a) f( ) = ( ) + = 8 + = 8 Vastaus: f( ) = 8 b) Määritetään derivaattafunktio: f () =. Tällöin f ( ) =. Vastaus: f ( ) =. Derivoidaan funktio: f () = a 8. Halutaan, että derivaatta on nolla, kun =, joten f () =. Saadaan htälö, josta voidaan ratkaista a: a 8= a = 8 a = ± a =± =± Vastaus: a = tai a =. Derivoidaan funktio: f () = a + +. Tapa Koska derivaatta toteuttaa ehdon f () = f() a, saadaan htälö: a + + = a + + + a Ratkaistaan htälöstä vakion a arvo: a + + = a + + + a a + + = a = a = Kertoma! MAB 7
Tapa Jos derivaatta toteuttaa ehdon f () = f() a kaikilla muuttujan arvoilla, niin sen tulee toteuttaa ehto muuttujan arvolla =. Tällöin saadaan htälö: f () = f() a a + + = a + + + a a + = a = a = = Tämä ei vielä tarkoita välttämättä sitä, että a = toteuttaisi tehtävän htälön kaikilla muuttujan arvoilla. Tarkistetaan siis vielä, että vakio a todella toteuttaa htälön kaikilla arvoilla sijoittamalla se htälöön: Yhtälön vasen puoli saa muodon: + + = + + Yhtälön oikea puoli saa muodon: + + + = + + Vasen ja oikea puoli htälöstä täsmäävät, joten htälö on tosi, kun a = Vastaus: a =. a) Esim. f() = + 99 b) Esim. g() = + 9 c) Esim. h ( )= Polnomifunktion kulku. Lasketaan funktion derivaatta: f ( ) =. Ratkaistaan derivaatan nollakohta: = = = Tapa Kulkukaavion avulla: Derivaatan kuvaaja on nouseva suora, jonka nollakohtana on = Kulkukaaviosta päätellään, että funktio on kasvava, kun. fʹ() f() + + Tapa Tarkastelemalla paraabelia: f() on toisen asteen polnomifunktio, joten sen kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli. Paraabelin huippukohta on derivaatan nollakohta eli =. Ylöspäin aukeava paraabeli on kasvava huipun jälkeen, joten funktio f() on kasvava, kun. : Vastaus: Kun. Kertoma! MAB 7
7. a) Määritetään derivaatta: g () = ja ratkaistaan sen nollakohta: = = = = Tämä kuuluu tarkasteluvälille [, ]. Tapa Selvitetään suurin arvo kulkukaavion avulla. Derivaatan kuvaaja on laskeva suora, jonka nollakohtana on =. Rajataan kulkukaavio välille [, ]. gʹ() g() Nt kulkukaaviosta nähdään, että funktion suurin arvo saadaan, kun =. + Funktion suurin arvo on siis g ( ) = ( ) = =. Vastaus: Funktion suurin arvo on. Tapa Kun tarkastellaan polnomifunktiota suljetulla välillä, sen suurin (ja pienin) arvo löt joko välillä olevista derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä. Derivaatan nollakohta = kuuluu tarkasteluvälille [, ]. Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä = ja =, ja derivaatan nollakohdassa =, ja valitaan näistä arvoista suurin. + g() = g( ) = ( ) ( ) = g() = = ( ) = ( ) g = = suurin arvo Vastaus: Funktion suurin arvo on. Tapa. Funktion g() kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli ja sen huippukohta on derivaatan nollakohta =. Tämä on siis funktion maksimikohta ja se saa siinä mös suurimman arvonsa välillä [, ]. Tämä arvo on ( ) = ( ) = = g Vastaus: Funktion suurin arvo on. b) Määritetään derivaatta: h ( ) = ja ratkaistaan sen nollakohta: = = = :( ) = = Derivaatan nollakohta = ei kuulu tarkasteluvälille [, ]. Kertoma! MAB 7
Tapa Selvitetään suurin ja pienin arvo kulkukaavion avulla. Derivaatan kuvaaja on laskeva suora, jonka nollakohtana on =. Rajataan kulkukaavio välille [, ]. hʹ() h() Nt kulkukaaviosta nähdään, että funktion suurin arvo saadaan, kun = ja pienin arvo saadaan, kun =. Funktion suurin arvo on h( ) 8 8 = = = = Funktion pienin arvo on h( ) = ( ) ( ) = = Vastaus: Funktion pienin arvo on ja suurin arvo on 8 Tapa Kun tarkastellaan polnomifunktiota suljetulla välillä, sen suurin ja pienin arvo löt joko välillä olevista derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä. Derivaatan nollakohta ei kuulu tarkasteluvälille. Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä = ja =, ja valitaan näistä arvoista suurin ja pienin. h( ) 8 8 = = = = suurin arvo h( ) = ( ) ( ) = = pienin arvo Vastaus: Funktion pienin arvo on ja suurin arvo on 8 c) Määritetään derivaatta: f () = ja ratkaistaan sen nollakohdat: = ( ) = = tai = = tai = : = tai = = Molemmat nollakohdat kuuluvat tarkasteluvälille [, ]. Tapa Selvitetään suurin ja pienin arvo kulkukaavion avulla. Derivaatan kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli, jolla on kaksi nollakohtaa. Rajataan kulkukaavio välille [, ]. fʹ() f() Nt kulkukaaviosta nähdään, että funktion suurin arvo saadaan, kun = tai = ja pienin arvo saadaan, kun = tai =. f() = f() = 9 f( ) = 8 f ( ) = 9 + + (, ) suurin arvo pienin arvo Vastaus: Funktion suurin arvo on 9 ja pienin arvo on 8. Kertoma! MAB 7
Tapa Kun tarkastellaan polnomifunktiota suljetulla välillä, sen suurin ja pienin arvo löt joko välillä olevista derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä. Lasketaan funktion arvot derivaatan nollakohdissa ja tarkasteluvälin päätepisteissä ja katsotaan, mikä niistä on funktion suurin ja mikä pienin arvo: f( ) = 8 f() = f ( ) = 9 (, ) f() = 9 Siispä välillä [, ] funktion pienin arvo on 8 ja suurin arvo on 9. Vastaus: Funktion suurin arvo on 9 ja pienin arvo on 8. 8. Lasketaan ensin derivaatan nollakohdat. g() = g () = = Tai näin: = : ± ( ) ( ) ± 8+ 7 = = ± ± = = + 7 = = = = tai = = = 7= = ( ) ± ( ) ( 7) ± + 8 ± 7 = = + 7 8 7 = = 7 = = tai = = = Derivaattafunktion kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli. Muodostetaan derivaatan merkkikaavio ja sen avulla funktion kulkukaavio, jotta nähdään, ovatko derivaatan nollakohdat mös funktion ääriarvokohtia: fʹ() f() Kulkukaavion avulla nähdään, että molemmat derivaatan nollakohdat ovat funktion f() ääriarvokohtia. Vastaus: Maksimikohta on = ja minimikohta on = 7 9. Määritetään ensin derivaatta: f () = +. Tutkitaan, milloin funktio on vähenevä ratkaisemalla ensin derivaatan nollakohdat ja laatimalla sitten funktion kulkukaavio. fʹ() f() + maksimi 7 + minimi + = = ± ( ) = ± = tai= + Kulkukaavion avulla nähdään, että f() on vähenevä silloin, kun. Vastaus: Funktio on vähenevä, kun 7 + Kertoma! MAB 7
7. Tutkitaan polnomin P() kasvavuutta ja vähenevttä laatimalla funktion kulkukaavio. Ratkaistaan ensin derivaatan nollakohdat. P() = + + P () = + + = = ± ( ) = ± + = ± = + = 8 =,, tai =, 8, fʹ() f() Kulkukaaviosta nähdään, että P() on kasvava, kun, tai,. Vastaavasti P() on vähenevä, kun,,. Vastaus: P() on kasvava, kun, tai,. Vastaavasti P() on vähenevä, kun,,. 7. Merkitään nimittäjä funktioksi g() = +. Tällöin f( ) = 9. g ( ) Funktion f() arvo riippuu nt vain nimittäjän, polnomifunktion g() arvoista. Funktio f() saa suurimman arvonsa, kun g() saa pienimmän arvonsa ja vastaavasti funktio f() saa pienimmän arvonsa, kun g() saa suurimman arvonsa. Nimittäjä g() ei kuitenkaan saa olla nolla, mikä toteutuu, koska g saa vain positiivisia arvoja. Funktio g() malliksi: Tapa Määritetään ensin nimittäjän, funktion g() = +, suurin ja pienin arvo välillä [, ]. Derivaatta g () = Derivaatan nollakohta: = = = Derivaatan kuvaaja on nouseva suora, jonka nollakohtana on =. Rajataan kulkukaavio tarkasteluvälille [, ]. +,, +,, fʹ() 8 f() Lasketaan funktion g() = + arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa: g( ) = ( ) ( ) + = g() = + = g() = + = Funktion g() = + suurin arvo on g( ) =, joten funktion 9 9 f() pienin arvo on f ( ) = = g( ) Funktion g() = + pienin arvo on g() =, joten funktion f() suurin arvo on f () = 9 9 g() = = 9 Vastaus: Funktion f() suurin arvo on 9 ja pienin arvo on 9. Kertoma! MAB 7
Tapa Määritetään funktion g() = + derivaattafunktion g () = nollakohta: = = = Tämä on siis mös funktion f() derivaatan nollakohta. Lasketaan funktion f() arvot tarkasteluvälin [, ] päätepisteissä sekä derivaatan nollakohdassa = ja katsotaan, mikä niistä on funktion pienin ja mikä suurin arvo tarkasteluvälillä: f ( 9 9 ) = = ( ) ( ) + 8 = 9 9 9 f () = = = 9 + 9 9 f () = = = + Siis funktion f() suurin arvo välillä [, ] on 9 ja pienin arvo on Vastaus: Funktion f() suurin arvo on 9 ja pienin arvo on 9. 7. Määritetään ensin funktion f() = + π + 7 derivaattafunktio: f () = + π ja lasketaan sen nollakohta: + π = = π : π = 9. Derivaatan nollakohta kuluu tarkasteluvälille. Lasketaan funktion arvot tarkasteluvälin [ π, π] päätepisteissä sekä derivaatan nollakohdassa ja katsotaan mikä niistä on funktion suurin ja mikä pienin arvo. f( π) = ( π) + π ( π) + 7 = 9π π + 7 =,7 ( ) = ( ) + ( ) + = + π π π π π f π 7 7 π = 7 =, 9 pienin arvo f(π) = (π) + π π + 7 = 9π + π + 7 = π + 7 =, suurin arvo Siis funktion suurin arvo välillä [ π, π] on π + 7 ja pienin arvo on 7 π Vastaus: Funktion suurin arvo on π + 7 ja pienin arvo on 7 π. 7. Määritetään funktion f( )= + + a derivaattafunktio f () = + ja lasketaan sen nollakohdat: + = = ± ( ) = ± = tai = Laaditaan kulkukaavio tarkasteluvälillä [, ]., f'() + + f() Kulkukaaviosta nähdään, että funktio f() saa suurimman arvonsa suljetulla välillä [, ] joko välin päätepisteessä = tai derivaatan nollakohdassa = (maksimikohta). Lasketaan funktion arvot ja katsotaan, mikä niistä on suurin: Kertoma! MAB 77
f( )= + + a f( ) = ( ) + ( ) ( ) + a= + a = + a f() a a a = + + = + + = + Koska a on vakio, niin luku + a on suurempi kuin luku + a, joten funktion suurin arvo on f( ) = + a. Funktion suurimman arvon pitää olla, joten saadaan htälö, josta voidaan ratkaista a: + a = a = = Vastaus: a = 7. Funktion F() derivaattafunktion f() = + kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli. Lasketaan sen nollakohdat ja muodostetaan niiden avulla funktion F() kulkukaavio, josta nähdään, mitkä derivaatan nollakohdista ovat mös ääriarvokohtia. + = = ± ( ) = ± = tai = = fʹ() f() + maksimi, + minimi Kulkukaaviosta nähdään, että molemmat derivaatan nollakohdat ovat funktion F() ääriarvokohtia eikä muita ääriarvokohtia ole. Vastaus: Funktion F() maksimikohta on = ja minimikohta on =., 7. a) Piirretään tangentti kuvaajan pisteeseen =. ( 7, ) Tangentti kulkee pisteiden ( 7, ) ja (, 7) kautta. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo kohdassa =. f '( ) = k= 7 ( 7) = (, 7) 9 8 7 Vastaus: Derivaatan arvo kohdassa = on likimain. b) Toisen asteen polnomin kuvaaja on paraabeli. Paraabelin lauseke = a + b + c. Kuvaajasta nähdään, että paraabeli kulkee esimerkiksi pisteiden (, ), (, ) ja (, ). Nämä pisteet toteuttavat paraabelin lausekkeen. Sijoitetaan pisteet paraabelin htälöön. Piste (, ): a + b + c =, josta saadaan c = Piste (, ): a ( ) + b ( ) + c =, josta saadaan htälö a b + c = Piste (, ): a ( ) + b ( ) + c =, josta saadaan htälö a b + c = Koska c =, niin saadaan htälöpari a b + = a b + = 9 8 7 Kertoma! MAB 78
Ratkaistaan htälöpari kättämällä hteenlaskukeinoa. { a b = a b = a b= { a b= ( ) a b= + { 9a + b = 8a = : 8 a = = 8 Sijoitetaan a = htälöön a b = ja ratkaistaan muuttuja b. a b= ( ) b = 8 b = b = 8 :( ) b = Paraabelin lauseke on siis = a + b + c =, joten P ( )=. Vastaus: P ( )= c) P( ) = ( ) ( ) =. P () =, joten P ( ) = ( ) = Vastaus: P( ) = ja P ( ) =. d) P() = = = ( ) = = ± = ± = + =, 79, 7 tai = =,, P () = = = Vastaus: P() =, kun, tai,7 ja P () =, kun =. e) Paraabelin huipun -koordinaatti on derivaatan nollakohta. P () = = = Huipun -koordinaatti on 9 P( ) = ( ) ( ) = = =, Vastaus: Paraabelin huipun koordinaatit ovat (, 9 ). Kertoma! MAB 79
Sovelluksia 7. Keihään muodostama lentorata on paraabeli = a + b + c. Selvitetään kertoimet a, b ja c. Hahmotellaan tehtävän tietojen perusteella paraabelin kuvaaja koordinaatistoon: (,; ),9 8 7 7 8 8 9, 8 Merkitään f() = a + b + c. Keihäs lähtee korkeudelta,9 m, joten paraabeli kulkee pisteen (;,9) kautta. Saadaan f() =,9 f() = a + b + c =,9, josta c =,9 Paraabelin kulkee huippupisteen (,; ) kautta, joten saadaan f(,) = f(,) = a, + b, + c =. Sijoitetaan tähän c =,9 jolloin saadaan,a +,b +,9 =,a +,b, = (ensimmäinen htälöparin htälö) Tällöin derivaattafunktio on f () = a + b. Derivaatan nollakohta on =,m, joten saadaan f (,) = a, + b = siis 8a + b = (toinen htälöparin htälö) Muodostetaan htälöistä htälöpari ja ratkaistaan se., a+, b, = 8a+ b= 8a+ b= b = 8a, a+, ( 8a), =, a 8, a, =, a =, a =, 779, 78 b= 8a= 8 (, 77 ) =, 97, 98 Keihään lentorata on täten paraabeli =,77 +,97 +,9. Heitto lähtee, kun =. Määritetään f (). f() =,77 +,97 +,9. f () =,7 a +,97. f () =,97. Derivaatta kohdassa = kertoo siihen kohtaan piirretn tangentin kulmakertoimen (k =,97 ). Suuntakulma α ilmoittaa keihään lähtökulman. Näiden välillä on voimassa htälö tan α = k. Ratkaistaan kulma α. tan α =,97 α =,8 Vastaus: Teron heitto lähtee asteen kulmassa. 77. Lasketaan kaksi funktion arvoa f() = + = < f() = + = > Siis ratkaisu on välillä ], [, koska polnomifunktio voi vaihtaa merkkiään vain nollakohdassa. Taulukoidaan arvoja ja puolitetaan väliä, kunnes päästään kahden desimaalin tarkkuuteen. Kertoma! MAB 8
f(,) =, +, =,87 <, joten ratkaisu välillä ],; [ f(,7) =,7 +,7 =,87 >, joten ratkaisu on välillä ],;,7[ f(,) =, +, =,9 < joten ratkaisu on välillä ],;,7[ f(,87) =,87 +,87 =, > joten ratkaisu on välillä ],;,87[ f(,) =, +, =,9 > joten ratkaisu on välillä ],;,[ f(,) =, +, =,97 > joten ratkaisu on välillä ],;, [ f(,8) =,8 +,8 =,87 < joten ratkaisu on välillä ],8;,[ f(,787) =,787 +,787 =, > joten ratkaisu on välillä ],8;,787[ f(,787) =,787 +,787 =,7 > joten ratkaisu on välillä ],8;,787 [ Molemmat arvot pöristvät,, joten kahden desimaalin tarkkuudella funktion nollakohta on,. Tai jos haluaa, niin prosessin vaiheissa voi jakoa pienentää muutenkin kuin puolittamalla: f(,),7. Nollakohta kuuluu siis välille ],; [. Puolitetaan tämäkin väli: f(,7),9. Nollakohta kuuluu siis välille ],;,7[. Puolitetaan edelleen: f(,),. Nollakohta kuuluu siis välille ],;,7[. Lasketaan nt f(,),. Nollakohta kuuluu siis välille ],;,[. Valitaan sitten f(,),. Nollakohta kuuluu siis välille ],;,[. Valitaan f(,), ja f(,),. Nollakohta kuuluu siis välille ],;,[. Nollakohta on siis kahden desimaalin tarkkuudella =, Vastaus:,. 78. Merkitään ksttä funktiota f():llä. Funktion derivaatta on nollasta poikkeava vakio vain, jos funktio on ensimmäisen asteen polnomifunktio, jolloin sen kuvaaja on suora. Siis f() = k + b. Tiedetään, että f () = k =. Lisäksi tiedetään, että f() = eli + b = eli b = 9. Siis funktion lauseke on f() = 9. Vastaus: 9 79. Määritetään ensin derivaatta: p ( ) = +. Lasketaan molempien derivaattojen arvot kohdassa =,. p (,) =,... f (,) =,8... Lasketaan prosentuaalinen ero: p (,) f (, ) % =,..., 8 %, % f (,), 8... Vastaus: p (,) on n., % suurempi kuin f (,). 8. Derivoidaan kustannusfunktio. K() =,7,79 +, + K () =,,9 +, Lasketaan derivaatan nollakohdat:,, 9+, =, 9±, 9,, =,, 7tai 7, Kustannukset saavat siis suurimman ja pienimmän arvonsa joko tarkasteluvälin päätepisteissä = ja = tai derivaatan nollakohdissa. Lasketaan vastaavat arvot: K() = 8, K(7,) 9,7 K(,7) = 79,8 K() = 7,9 Kustannukset ovat siis pienimmät, kun tuotteita valmistetaan,7 tunnissa, jolloin kustannukset ovat 79,8 euroa, ja suurimmat, kun tuotteita valmistetaan tunnissa, jolloin kustannukset ovat 7,9 euroa. Vastaus: Pienin arvo: K(,7) = 79,8; suurin arvo: K() = 7,9 Kertoma! MAB 8
Pikaosio. = + = + = = = Vastaus: =. = = ± =± =± Vastaus: = tai =. ( ) = = tai = = Vastaus: = tai =. D( + ) = D( ) D() + D() = + = Vastaus:. D( ) = D( ) D() = = 9 Vastaus: 9. D(,7,9,) =,7,9 =,,9 Vastaus:,,9 ( ) = + = 7. D + Vastaus: + + 8. > > : ( > ) > Vastaus: > 9. Siirretään termit hdelle puolelle epähtälöä: 9 <, ja tutkitaan, milloin funktio f() = 9 saa negatiivisia arvoja. Funktion f() kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli. Määritetään sen nollakohdat ja piirretään mallikuva. 9= = 9 ± =± 9 =± Funktio f() saa siis negatiivisia arvoja eli 9 <, kun < <, jolloin mös tehtävän epähtälö toteutuu. Vastaus: < <. + f( )= = + = + = + f ( ) = = Vastaus:. g() = a + a g () = a Vastaus: g () = a. Funktion kuvaajan kulkusuunta muuttuu kohdissa,7,, ja,. Kuvan mukaan funktio f() on vähenevä, kun,7, tai,. Vastaus: Kun,7, tai,. Kertoma! MAB 8
Harjoituskoe. f () = g () = 9 7 +,7 h ( ) = + = + i () = D[( )( + )] = D( + ) = +. a) ( + ) ( + ) + + + : ( > ) Vastaus: b) Siirretään termit hdelle puolelle epähtälöä: > ja tutkitaan, milloin funktio f() = saa positiivisia arvoja. Funktion kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli. Ratkaistaan funktion nollakohdat ja piirretään funktion kuvaajan mallikuva: = = ± =± =± Mallikuvasta nähdään, että > eli funktio f() saa positiivisia arvoja, kun < tai >. Vastaus: < tai > c) Siirretään termit hdelle puolelle epähtälöä, jolloin se saadaan muotoon + >. Ratkaistaan funktion f() = + nollakohdat ja piirretään mallikuva: + = = ± ( ) = ± = tai = Mallikuvasta nähdään, että tehtävän epähtälö pätee, kun < tai >. Vastaus: < tai >. Paraabelin huipussa derivaatta on nolla. Määritetään funktion f() = + derivaattafunktio: f () = + ja ratkaistaan sen nollakohta: + = = = = Tämä on mös paraabelin huipun -koordinaatti. Huipun -koordinaatti on tällöin f ( ) = ( ) + = + =. Siis huipun koordinaatit ovat (, ). Vastaus: ( ), Kertoma! MAB 8
. a) Määritetään funktion g() = + derivaattafunktio g () = ja lasketaan sen nollakohdat: = Tai näin: = ± ( ) ( ) 88 = ± + = ± = ± 8 = tai = = : 8= 8 = ± ( ) ( ) = ± = ± = ± = tai = Laaditaan kulkukaavio. gʹ() + + g() b) gʹ() g() + maksimi + Kulkukaavion perusteella nähdään, että derivaatan nollakohdat ovat funktion g() ääriarvokohdat, joista maksimikohta = ja minimikohta =. Vastaus: Funktion maksimikohta = ja minimikohta =. c) Derivaatan nollakohdista vain = kuuluu tarkasteluvälille [, ]. Funktio saa siis tällä välillä suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdassa =. Lasketaan arvot: g( ) =, g( ) =, g() = 7. Vastaus: Funktion suurin arvo on ja pienin arvo on 7.. a) Huom. tehtävässä on virhe! Pitää olla V() = ( ). Metallilev on aluksi neliö, jonka sivun pituus on cm. Levstä leikataan jokaisesta kulmasta pois neliöt, joiden sivun pituus on cm. Jäljelle jäänt lev taitellaan laatikoksi nostamalla sivut lös, jonka jälkeen laatikon pohjaneliön sivun pituus on ja laatikon korkeus on. Suorakulmaisen särmiön tilavuuden kaavan mukaan V() = A pohja korkeus = ( ) = ( ). cm minimi cm Funktio on siis kasvava, kun tai. Vastaus: Kun tai. cm cm pohja cm Kertoma! MAB 8
b) Sievennetään tilavuusfunktion lauseketta: V() = ( )( ) = ( 8 8 + ) = 8 + 7. Derivoidaan: V () = + 7 Ratkaistaan derivaatan nollakohdat: + 7 = Tai näin: + 7 = : 8+ 7 = ± ( ) 7 = ± 89 8 7 = ± 8 = ± 8 = = tai = 7 8± ( 8) 7 = 8± 78 88 = 8± 9 = 8± = = tai = 7 Levn kulmista voi leikata maksimissaan neliöt, joiden sivun pituus on = cm, joten on oltava <. Lisäksi on oltava >, jotta snt laatikko. Kätetään suljettua väliä, joten muuttujan tät kuulua välille [, ]. Tilavuusfunktio V saa suurimman arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa. Tarkasteluvälin päätepisteissä tilavuusfunktio saa arvon. (koska V() = ( ) = ja V() = ( ) = ). Lasketaan tilavuusfunktion arvo derivaatan nollakohdassa. V(7) = 7( 7) = 88. Tämä on tilavuusfunktion suurin arvo, joten tilavuus saa suurimman arvonsa, kun = 7. Vastaus: Kun leikattavan neliön sivun pituus = 7 cm, saa laatikko suurimman tilavuutensa.. Tapa Merkitään :llä sentin hinnankorotusten lukumäärää. Alussa Möhemmin Hinta ( ) +, Mnnin määrä (kpl) mntituotto = hinta määrä = ( +,) ( ) = + ( ) +, +, ( ) = + = = + Merkitään mntituottoa funktiolla M() = +. On selvitettävä tämän funktion suurin arvo. Derivoidaan ja lasketaan derivaatan nollakohdat. M() = + M () = = = : ( ) = 7, Määritetään ehdot: Hinta ei voi olla negatiivinen, joten on oltava +,, :, Möskään mnnin kappalemäärä ei voi olla negatiivinen, joten on oltava : ( ) Saadaan suljettu väli [, ] Kertoma! MAB 8
Mntituottofunktion M() kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli ja tarkasteluvälille [, ] osuu derivaatan nollakohta = 7,. Tällöin funktion suurin arvo saadaan paraabelin huipussa eli kun = 7,. Mntituotto on siis paras silloin, kun hinnankorotusten lukumäärä on 7,. Tämä tarkoittaa että hintaa on laskettava 7, kertaa senttiä. Hinnaksi saadaan tällöin +, ( 7,) =,. Kappalehinta on siis, euroa. Tällöin tuotteita mdään = ( 7,) = kappaletta. Tuottoa saadaan tällöin, = euroa. (tai M( 7,) = ( 7,) ( 7,) + = ) Vastaus: Mntihinnalla, euroa saadaan paras mntituotto. Tapa Merkitään :llä tuotteen kappalehintaa euroissa ja f():llä hinnalla mtävien tuotteiden määrää. Tällöin tiedetään, että f() =. Lisäksi tiedetään, että kun kasvaa, euroa, niin pienenee kappaletta. Kuvaaja = f() on siis suora, jonka kulmakerroin on k = = =., Kuvaaja = f() on siis suora, jonka kulmakerroin on k = = =. Funktio f() on muotoa f() = k + b, mistä, vakiotermi b voidaan ratkaista sijoittamalla tieto f() = : f() = k + b = + b = + b b = Siis f() = +. Tämän avulla voidaan määrittää tuotteiden kappalehinnalle rajat. Tuotteen maksimihinta saavutetaan, kun tuotteella ei enää ole ostajia eli kun f() =. Tällöin + = = = = Siis tuotteen maksimihinta on euroa. Toisaalta tuotteen hinnan tät olla ei-negatiivinen luku, joten tät olla. Tuotteen mntituotto g() on kappalehinta kerrottuna mtjen tuotteiden lukumäärällä eli g() = f() = ( + ) = +. Etsitään mntituoton suurin arvo. Derivoidaan: g () = +. Ratkaistaan sitten derivaatan nollakohta: + = = = =, Koska tuottofunktion g() kuvaaja on paraabeli ja tarkasteluvälille osuu derivaatan nollakohta on paraabelin huippu kohdassa =,. Suurin arvo saadaan siis kohdassa =,. Mntituotto on siis paras silloin, kun kappalehinta on, euroa. Tällöin tuotteita mdään f(,) = kappaletta ja niistä saadaan siis tuottoa, = euroa. Vastaus: Mntihinnalla, euroa saadaan paras mntituotto. 7. Määritetään funktion f() = + derivaatta: f ( ) = +. On määritettävä tämän derivaattafunktion suurin ja pienin arvo. Nimetään derivaattafunktio g ( ) = f ( ) = +, ja määritetään funktion g() suurin ja pienin arvo. Funktion g() kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli, joten se saa mielivaltaisen suuria arvoja, ts. sillä ei ole suurinta arvoa. Pienimmän arvonsa se saa huippukohdassaan, joka on sen derivaatan nollakohta. g ( ) =. = = = 8 Kertoma! MAB 8
Funktio g() saa siis pienimmän arvonsa kohdassa =. Tämä arvo on: 8 g 8 8 8 8 ( ) = ( ) + = + = + = =. Derivaattafunktion g() pienin arvo on ja sillä ei ole suurinta arvoa. Vastaus: Derivaatta voi saada arvoja väliltä,. 8. Kartion pohjamprän säde voi saada arvoja. Selvitetään, millä muuttujan arvolla tilavuusfunktio saavuttaa suurimman arvonsa välillä [, ]. Muokataan funktion lauseke polnomifunktioksi: π V ( ) = ( 9 )( + ) = ( + ) = ( 9 7 π π + 9 + 7) π π Derivoidaan: V ( ) = D( + 9+ 7) = ( + ) 9 Selvitetään derivaatan nollakohdat: π ( + 9) = + 9= ( ) ( ) = ± 9 = ± = ± ( ) = tai = Näistä arvo = ei kelpaa, sillä on oltava. Lasketaan tilavuusfunktion arvot tarkasteluvälin [, ] päätepisteissä sekä derivaatan nollakohdassa = ja katsotaan, missä niistä se on suurin: V( ) = π ( 9 )( ) 9 8, 7 8 + = π = π V( ) ( )( ), 9 π = + = = V( ) = π( 9 9)( + ) = Tilavuus saavuttaa siis suurimman arvonsa, kun =. Tällöin tilavuus on V( ) π = Vastaus: Harjoituskoe. f() = + a) f( ) = ( ) ( ) + = + + = Vastaus: f( ) = b) Määritetään derivaattafunktio: f () =. Siis f ( ) = ( ) = = Vastaus: f ( ) = c) Ratkaistaan htälö f ( ) = = = = = Vastaus: =. a) f() = + Derivoidaan funktio: f () =. Funktio on kasvava, kun sen derivaatta on ei-negatiivinen. Ratkaistaan epähtälö f ( ) :( ) merkki käänt! < Vastaus: f() on kasvava, kun. Kertoma! MAB 87
b) g() = Derivoidaan funktio: g () =. Tapa Ratkaistaan epähtälö. Ratkaistaan ensin htälö = ja piirretään mallikuva. = ( ) = = tai = + = tai = = Mallikuvasta päätellään epähtälön vastaus:, kun. Tapa Laaditaan funktion kulkukaavio. Ratkaistaan ensin derivaatan nollakohdat: = ( ) = = tai = = tai = = fʹ() f() + Funktion kulkukaaviosta nähdään, että derivaatta saa ei-negatiivisia arvoja, kun, jolloin mös funktio g() on kasvava. Vastaus: g() on kasvava, kun. +. Huom. tehtävässä virhe: b) kohdassa pitää olla 98 ja c-kohdassa 9. Merkitään f(t):llä asukaslukua ajan hetkellä t. a) Kuvaajan mukaan f(9) ja f(98) 7. Siis asukasluvun keskimääräinen muutos tällä aikavälillä oli f( 98) f( 9) 7 =. 98 9 Vastaus: Asukasluku pieneni n. 7 ihmisellä vuodessa. b) f() 7. Siis asukasluvun keskimääräinen muutos vuosina 98 oli f( ) f( 98 ) 7 7 =, 98 Vastaus: Asukasluku pieneni n. 7 ihmisellä vuodessa. c) Asukasluvun keskimääräinen muutos vuosina 9 oli f( ) f( 9) 7 = 9 Vastaus: Asukasluku pieneni n. ihmisellä vuodessa. Kuvaajan perusteella asukasluku on vähentnt koko ajan. Asukasluku väheni nopeimmin 7-luvulla. Väheneminen hidastui 8-luvulla, jonka jälkeen väheneminen on ollut melko tasaista.. f() = + + Derivoidaan funktio: f () = +. Laaditaan funktion kulkukaavio. Ratkaistaan derivaatan nollakohdat: + = 8 = ± ( ) = ± + ± 8 8 = + =, 8, tai = =,, Kertoma! MAB 88
Laaditaan funktion f() kulkukaavio: fʹ() f() +, maksimi Kulkukaaviosta nähdään, että derivaatan nollakohdat ovat funktion ääriarvokohdat. Maksimikohta on, ja minimikohta on,. Vastaus: Funktion f ääriarvokohdat ovat, maksimikohta, ja minimikohta,.. Merkitään aitauksen joensuuntaisen sivun pituutta :llä ja kahden muun sivun pituutta :llä. Piirretään mallikuva. Koska aitamateriaalia on kätössä metriä, saadaan htälö + =. Tapa Ratkaistaan muuttujan suhteen ja muodostetaan funktio muuttujan avulla. + = = Ehdot: On oltava ja, + minimi,, Tästä saadaan tarkasteluväliksi suljettu väli [, ]. Aitauksen pinta-ala on nt A() = = ( ) = = + [, ]. Tämän suurin arvo saadaan derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä. Derivoidaan: A () = +. Ratkaistaan derivaatan nollakohta: + = = :( ) = Nollakohta kuuluu tarkasteluväliin [, ]. Lasketaan pinta-alan arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa: A() = A() = + = suurin A() = joten pinta-ala saa suurimman arvonsa, kun =, jolloin = =. Vastaus: Aitauksen joen suuntaisen sivun pituuden tulee olla metriä ja kahden muun sivun pituuksien metriä. Tapa Ratkaistaan muuttujan suhteen ja muodostetaan funktio muuttujan avulla. + = = : = = Ehdot: On oltava ja ( ) Kertoma! MAB 89
Tästä saadaan tarkasteluväliksi suljettu väli [, ] (Tai voidaan päätellä, että aitaus ei voi olla joen suunnassa li metriä pitkä, joten on oltava.) Aitauksen pinta-ala on nt A ( ) = = ( ) = = +, [, ]. Tämän suurin arvo saadaan derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä. Derivoidaan: A () = +. Ratkaistaan derivaatan nollakohta: + = = = Nollakohta kuuluu tarkasteluväliin. Lasketaan pinta-alan arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa: A() = A( ) = + = suurin A() = joten pinta-ala saa suurimman arvonsa, kun =, jolloin = =. Vastaus: Aitauksen joen suuntaisen sivun pituuden tulee olla metriä ja kahden muun sivun pituuksien metriä.. Merkitään funktioksi = f() = + +. Paraabelille pisteeseen piirretn tangentin kulmakerroin, on derivaatan arvo tässä pisteessä. Lasketaan mös derivaatta: f () = +. Suuntakulman α ja kulmakertoimen k välillä on htes: k = tan α. Jos tangentin suuntakulma on, niin sen kulmakerroin on k = tan =. Toisin sanoen, kun derivaatta saa arvon, niin tangentin suuntakulma on. Selvitetään, milloin derivaatta saa arvon. Tät siis ratkaista htälö f ( ) = + = = = = Funktion kuvaajan -koordinaatti tässä kohdassa on f ( ) = ( ) + + = = (Muista sijoittaa alkuperäiseen funktion lausekkeeseen!) Vastaus: Pisteeseen (, ) piirretn tangentin kulmakerroin suuntakulma on. 7. f() = + 9. a) Funktion kulkua varten muodostetaan funktion kulkukaavio. f () = 8 + 8. Derivaatan nollakohdat: 8 + 8 = Tämä on kolmannen asteen htälö, joka voidaan ratkaista ottamalla hteiseksi tekijäksi ja kättämällä tulon nollasääntöä. ( 8 + 8) = tulon nollasääntö = tai 8 + 8 = 8± 8 8 8± 8 = = = = Nollakohdat ovat = tai =. Selvitetään derivaatan merkki kulkukaaviota varten. Derivaatta voi vaihtaa merkkiään vain nollakohdissaan: f ( ) = ( ) 8 ( ) + 8 ( ) = 8 <. f () = () 8 () + 8 () = > f () = () 8 () + 8 () = > fʹ() f() + minimi + Kertoma! MAB 9
Kulkukaavion perusteella funktio on vähenevä, kun ja funktiolla on minimikohta =, jossa funktio saa minimiarvon f() = + 9 = 9. Tämä on mös funktion pienin arvo, koska funktio on kasvava, kun. Funktiolla ei ole ääriarvoa kohdassa =, koska derivaatta ei vaihda merkkiä nollakohdan mpäristössä. b) Funktion kuvaajaa varten lasketaan riittävän paljon arvoja välillä,,. Eritisesti lasketaan funktion arvot derivaatan nollakohdissa. f() = + 9,,8,788,,88,,9, 7,97 9, 8,,,7,,7,8,,,,8,,8,,8,8,98, 7, 7,88, 7,888 Nt voidaan hahmotella funktion kuvaaja. 8 8 7 8. R ( ) = + Merkitään nimittäjä f() = +. Tällöin R ( ) = 7 f( ) Funktio R() saa suurimman arvonsa, kun jakaja f() saa pienimmän arvonsa (ja vastaavasti R() saa pienimmän arvonsa, kun jakaja f() saa suurimman arvonsa). Etsitään funktion f() pienin arvo. Määritetään ensin derivaatta: f () =. Etsitään sitten derivaatan nollakohta: = = = Funktion f() kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli, joten sen derivaatan nollakohta on sama kuin sen huipun -koordinaatti, jossa se siis saavuttaa pienimmän arvonsa. Funktion f() pienin arvo on f ( ) = ( ) ( ) + = 8 Kun f() saavuttaa pienimmän arvonsa, saa funktio R() suurimman arvonsa. Funktion R() suurin arvo on R 7 8 ( ) = =7: 8 = 7 = = 8 Vastaus: Suurin arvo on. Kertoma! MAB 9
Harjoituskoe. f() = + a) f( ) = ( ) ( ) + = + + = 8. Vastaus: 8 b) f() = + = = ( ) = = tai = = : = Vastaus: = tai = c) Määritetään derivaattafunktio: f () = 8. f ( ) = 8 ( ) =. Vastaus:. a) ( ) < ( ) ( > ) < ( ) < < + < + < : ( > ) < Vastaus: < b) Siirretään termit epähtälön vasemmalle, jolloin epähtälö saadaan muotoon: <. Ratkaistaan nollakohdat: = = ± =± =± Kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli, joten d) f ( ) = 8 = 8 = = 8 Vastaus: = 8 Epähtälö toteutuu, kun < <. Vastaus: < < c) Siirretään termit epähtälön vasemmalle, jolloin epähtälö saadaan muotoon: +. Ratkaistaan nollakohdat + = 8 = ± ( ) = ± = tai = Kertoma! MAB 9
Kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli: Epähtälö toteutuu, kun tai. Vastaus: tai.. Taulukoidaan funktion pisteiden koordinaatteja, ja piirretään funktion kuvaaja niiden avulla. (voidaan laskea ensin mös nollakohdat) = + (, ) Piirretään funktion kuvaajalle kohtaan = tangentti. Tangentti kulkee pisteiden (, ) ja (, ) kautta. Määritetään tangentin kulmakerroin, joka on derivaatan arvo kohdassa = k = ( ) (Huom, kannattaa tarkistaa tulos mös laskemalla.) Vastaus: f () 8 8 (, ) (, ). f() = a + Määritetään ensin derivaattafunktio: f () = a +. Ratkaistaan sitten vakio a htälöstä: f () = a + = a + = a = a = Vastaus: a =. a) Merkitään paraabeli funktioksi h() =,7 +, +. Pallo on korkeimmillaan paraabelin huipussa, joka saadaan selville derivaatan nollakohdasta. Derivoidaan lentoratafunktio: h () =,7 +,. Lasketaan derivaatan nollakohta:, 7 +, =, 7 =,, = =, 88, 7 Tämä on siis paraabelin huipun -koordinaatti. Lasketaan huipun -koordinaatti, joka kertoo millä korkeudella pallo kä. h(,88 ) =,7 (,88 ) +, (,88 ) + =, (metriä) Vastaus: Pallo kä metrin korkeudella. b) Heittokulma saadaan määrittämällä heittokohdan tangentin suuntakulma Lasketaan lentoratafunktion derivaatta heittokohdassa = : h () =,7 +, =,. Siis lentorataparaabelin tangentin kulmakerroin heitettäessä on,. Kertoma! MAB 9
Heittokorkeus m Tällöin heittokulma α eli tangentin suuntakulma saadaan htälöstä tan α =, α = 8,7.. 8. Vastaus: Heitto lähtee 8 kulmassa. Ohessa tehtävän kuva malliksi. 7 7 8 8 9. Merkitään ksttä lukua. Tällöin luvun neliö on. Luvun ja luvun neliön erotus voidaan kirjoittaa funktiona f() =. Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten se saa suurimman arvonsa paraabelin huippukohdassa. Huippukohdassa derivaatta saa arvon nolla. Derivoidaan: f () =. Selvitetään derivaatan nollakohta: = = = Tämä on paraabelin huippukohta, jossa siis funktio f() saa suurimman arvonsa. Luvun ja luvun neliön erotus on siis suurin silloin, kun luku on. Vastaus: 7. a) Merkitään suorakulmion sivujen pituuksia :llä ja :llä. Piirretään mallikuva. Koska aitamateriaalia on kätettävissä 8 metriä, saadaan + = 8 josta voidaan ratkaista toinen muuttuja =. Ehdot: Sivujen pituudet eivät voi olla negatiivisia, joten saadaan ja : ( ) = Tarkasteluväliksi saadaan [, ] (Tai päätellään näin: Jos Sepe kättää aitaa pelkästään toiseen pituuteen, hän voi muodostaa metriä pitkän aitauksen. Pituuksille saadaan siis rajoite.) Karsinan pinta-ala voidaan kirjoittaa muuttujan avulla: A() = = ( ) = +. Tämä saa suurimman arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan pinta-alafunktio: A () = +. Selvitetään derivaatan nollakohta: + = = = = Kertoma! MAB 9
Lasketaan pinta-alafunktion arvo tarkasteluvälin [, ] päätepisteissä ja välillä sijaitsevassa derivaatan nollakohdassa =. A() = A() = A() = + = (suurin) Pinta-alafunktio saa siis suurimman arvonsa derivaatan nollakohdassa =. Tällöin karsinan toisen sivun pituus on = =. Karsinan pinta-ala on siis suurimmillaan, kun karsina on neliön muotoinen. Vastaus: Sepen kannattaa valmistaa neliönmuotoinen karsina, jonka sivun pituus on metriä. b) Karsinat kannattaa rakentaa mallikuvan mukaisesti rinnakkain pitkien sivujen mukaisesti, jolloin kahdella vierekkäisellä karsinalla on ksi hteinen seinä. Merkitään muuttujalla hden karsinan lhen sivun pituutta ja muuttujalla pitkän sivun pituutta. Koska aitaa on kätettävissä 8 metriä, saadaan htälö + = 8. Ratkaistaan tästä toinen muuttuja: 8 = =. Koska sivujen pituudet eivät voi olla negatiivisia, on oltava > ja >, jolloin > > : <, Siis < <,. ( ) < Yhden karsinan pinta-ala on, joten kolmen karsinan hteispinta-ala on. Muodostetaan pinta-alalle funktio: A ( )= = ( ) = 9 + Määritetään pinta-alan suurin arvo. Tapa Valitaan tarkasteluväliksi suljettu väli [;, ] Suljetulla välillä polnomifunktiolla on aina suurin ja pienin arvo, jotka saadaan välin päätepisteissä tai välillä sijaitsevissa derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan: A () = 9 +. Ratkaistaan derivaatan nollakohta: 9 + = 9 = = 9 = 7, Lasketaan pinta-alafunktion arvo tarkasteluvälin [;, ] päätepisteissä ja välillä sijaitsevassa derivaatan nollakohdassa = 7,. 9 A ( )= + A() = A(, ) = A( ) = (suurin) Pinta-ala saa siis suurimman arvonsa derivaatan nollakohdassa = 7,. Kun toisen sivun pituus on = 7, (metriä), niin toisen sivun pituus on = = = (metriä). Vastaus: Karsinat kannattaa rakentaa mallikuvan mukaiseen järjestkseen siten, että hden karsinan lhen sivun pituudeksi tulee pitkän sivun pituudeksi m. 7, m ja Kertoma! MAB 9
Tapa Laaditaan kulkukaavio. Derivoidaan: A () = 9 +. Ratkaistaan derivaatan nollakohta: 9 + = 9 = = 9 = 7, Lasketaan derivaatan kulkukaavioita varten A () = 9 + = > A () = 9 + = < Tai päätellään derivaatan merkit derivaattafunktion A () = 9 + avulla. Derivaatan kuvaaja on laskeva suora, jonka nollakohtana on = Kulkukaavio A'() A() +,7,7, + 7,. Pinta-ala saa siis suurimman arvonsa derivaatan nollakohdassa = 7,. Kun lhemmän sivun pituus on = 7, on pidemmän sivun pituus = = = Vastaus: Karsinat kannattaa rakentaa mallikuvan mukaiseen järjestkseen siten, että kunkin karsinan lhen sivun pituudeksi tulee pitkän sivun pituudeksi m. 7, m ja 8. Kolmannen asteen polnomi on muotoa a + b + c + d. Olkoon P() = a + b + c + d tehtävän polnomifunktio. (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Kuvaajasta voidaan katsoa, että kuvaaja kulkee pisteiden (, ) (, ), (, ) ja (, ) kautta. Sijoitettaan jokainen piste funktion lausekkeeseen P() = a + b + c + d, jolloin muodostuu neljän muuttujan htälörhmä. Funktio kulkee origon (, ) kautta, joten sijoitetaan piste (,): P() = P() = a + b + c + d = eli d =. Sijoitetaan piste (, ): P( ) = P( ) = a ( ) + b ( ) + c ( ) = a + b c =, joten b = + a + c Sijoitetaan piste (, ): P() = P() = a + b + c = 8a + b + c = Sijoitetaan nt tähän edellä saatu b = + a + c 8a + (+ a + c) + c = 8a + + a + c + c = a + c = c = a Kertoma! MAB 9
Sijoitetaan piste (, ): P( ) = P( ) = a ( ) + b ( ) + c ( ) = 8a + b c = Sijoitetaan nt tähän ensin edellä saatu b = + a + c 8a + (+ a + c) c = ja sijoitetaan sitten edellä saatu c = a 8a + (+ a a) ( a) = 8a + + a 8a + a = 8a = 8 a = Nt tiedetään a: arvo, joten b ja c voidaan selvittää sijoittamalla: c = a = = b = + a + c = + = Näin saadaan a =, b =, c = ja d =. Siis P() = a + b + c + d = + + ( ) + =. P() =. Määritetään funktion derivaatta ääriarvokohtien laskemista varten: P () =. Ratkaistaan derivaatan nollakohdat: = = =± =±, 8... ± 8, Kulkukaavio: Pʹ() P() +,8 maksimi,8 + minimi,8 Maksimikohta,8 ja minimikohta,8. Vastaus: P() = ; ääriarvokohdat: maksimikohta,8 tai minimikohta,8.,8 Kertoma! MAB 97