Mat-C.1 harj2 21.3. 2012 Alustuksia 1. a) f d 1 C sin 1 C 2 f := 1 C sin 1 C 2 subs =K2.0, f ; evalf % # Sijoita :n paikalle -2.0 lausekkeessa f. 1 C 0.2000000000 sin K2.0 eval f, =K2.0 plot f, =K5..5 ; 0.8181405146 # Evaluoi f, ehdolla =K2.0 0.8181405146 (2.1) (2.2) (2.3)
1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 plot f, =K5..5 K4 K2 0 2 4 b) M"a"aritell"a"an f funktioksi: f d /1 C sin 1 C 2 f := /1 C sin 1 C 2 f K2.0 0.8181405146 (2.4) (2.5)
1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 plot f,k5..5 0.6 K4 K2 0 2 4
1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 K4 K2 0 2 4 read "/Users/heikki/opetus/peruskurssi/v2-3/maple/v202.mpl" ; print linspace proc a) local i, n, a, b; a := args 1 ; b := args 2 ; if nargs = 2 then n := 10 else n := args 3 end proc seq a C i * b K a / n K 1, i = 0..n K 1 end if; 4. (Osder, Laplacen DY, harmoniset fkt.) LapDy d diff u, y,, C diff u, y, y, y = 0 LapDy := v2 v 2 u, y C v2 vy 2 u, y = 0 (1) (3.1)
u d arctan y u := arctan y (3.2) subs u, y = u, LapDy ; v 2 v 2 arctan y C v2 vy 2 arctan y = 0 (3.3) eval % ; 3 simplify(%); 2 y 1 C y2 2 K 5 2 y 3 1 C y2 2 0 = 0 2 K 2 y 3 1 C y2 2 2 = 0 (3.4) (3.5) b restart : CR1 d v v u, y = v vy v, y ; CR1 := v v u, y = v vy v, y (3.6) CR2 d v vy u, y =K v v v, y ; CR2 := v vy u, y = K v v v, y (3.7) diff~ CR1, v 2 v 2 u, y = v 2 vy v v, y (3.8) diff~ CR2, y v 2 v2 u, y = K 2 vy vy v v, y (3.9) (3.8)C~(3.9); v 2 v 2 v2 u, y C vy 2 u, y = 0 (3.10) Jonot ja listat 3. DokuT Ellipsin 9$ 2 C 16$y 2 = 144 sisään piirrettävä suorakulmio, jonka ala = ma.
restart : ellipsi d 9$ 2 C 16$y 2 = 144 ellipsi := 9 2 C 16 y 2 = 144 A d 4$$y Y d solve ellipsi, y ; Y := 3 4 A := 4 y K 2 C 16, K 3 4 K 2 C 16 (5.1) (5.2) (5.3) y d Y 1 y := 3 4 K 2 C 16 (5.4) A; # y:n arvo sijoittui A:n lausekkeeseen Muista Sokrates! da d diff A, ; simplify % ; solve % = 0, ; 0 d ma % ; subs = 0, A ; simplify % ; da := 3 3 K 2 C 16 K 2 C 16 K ; y d'y'; # Katsotaan ja vapautetaan y with plots ellipsi K 6 2 K 8 K 2 C 16 K2 2, 2 2 0 := 2 2 6 2 8 24 y := y 3 2 : # Lisägrafiikkapakkaus, tarvitaan display 9 2 C 16 y 2 = 144 K 2 C 16 ellkuva d implicitplot ellipsi, =K5..5, y =K5..5, scaling = constrained ; ellkuva := PLOT... ellkuva (5.5) (5.6) (5.7) (5.8) (5.9) (5.10) (5.11) (5.12) (5.13) (5.14)
2 y 1 K3 K2 K1 0 1 2 3 K1 K2 y # Tarkistetaan y:n arvo. y (5.15) y0 d subs = 0, Y 1 ; y0 := 3 4 8 (5.16) suorak d 0, y0, K0, y0, K0,Ky0, 0,Ky0, 0, y0 ; 3 3 suorak := 2 2, 8, K2 2, 8, K2 2, K 3 8, 2 2, K 3 4 4 4 4 2 2, 3 4 8 skkuva d plot suorak, filled = true, color = yellow : display ellkuva, skkuva, scaling = constrained ; # scaling=.. ei tarvitse toistaa, jos(kun) annettiin yllä. 8, (5.17)
2 y 1 K3 K2 K1 0 1 2 3 K1 K2 2. Paraabelin y 2 = ja suoran K y = 3 rajoittaman alueen pinta-ala? plot,k, K 3, = 0..9
6 5 4 3 2 1 0 K1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 K2 K3 paraabeli d y 2 = suora d K y = 3 paraabeli := y 2 = suora := K y = 3 solve paraabeli, suora,, y = RootOf _Z 2 K _Z K 3 C 3, y = RootOf _Z 2 K _Z K 3 ratk d map allvalues, % ; ratk := = 7 2 K 1 2 13, = 7 2 C 1 2 13, y = 1 2 K 1 2 13, y = 1 2 C 1 2 13 (6.1) (6.2) (6.3) (6.4) ratk1 d ratk 1, 3 ratk1 := = 7 2 K 1 2 13, y = 1 2 K 1 2 13 (6.5) ratk2 d ratk 2, 4 ratk2 := = 7 2 C 1 2 13, y = 1 2 C 1 2 13 (6.6)
Valittiin sill"a perusteella, ett"a pienemm"an :n kanssa on negat. y. Huom! Tyoarkkia uudelleen ajettaessa ratk-joukon alkioiden j"arjestys saattaa vaihtua! a d subs ratk1, ; b d subs ratk1, y ; a := 7 2 K 1 2 13 b := 1 2 K 1 2 13 (6.7) c d subs ratk2, ; d d subs ratk2, y ; c := 7 2 C 1 2 13 d := 1 2 C 1 2 13 (6.8) ala d ala := K 1 3 K 1 2 b d y C 3 K y 2 1 2 C 1 2 1 2 K 1 2 13 13 dy 3 C 1 3 2 C 3 13 1 2 K 1 2 13 3 C 1 2 1 2 C 1 2 13 2 (6.9) simplify ala ; 13 6 13 (6.10) 7. DokuT read "/Users/heikki/opetus/peruskurssi/v2-3/maple/v202.mpl" ;?interp with plots : d d linspace 0, 3, 7 ; d := 0, 1 2, 1, 3 2, 2, 5 2, 3 d d evalf d ; d := 0., 0.5000000000, 1., 1.500000000, 2., 2.500000000, 3. f d /cos 1 C 2 f := /cos 1 C 2 yd d f~ d yd := 0.5403023059, 0.3153223624, K0.4161468365, K0.9941296761, 0.2836621855, 0.5679241733, K0.8390715291 p d interp d, yd, ; p := 1.093073361 6 K 9.689758380 5 C 31.38122493 4 K 44.99979274 3 (7.1) (7.2) (7.3) (7.4) (7.5)
C 27.62003430 2 K 6.361230612 C 0.5403023059 datakuva d plot d, yd, style = point, symbol = cross, symbolsize = 18 datakuva := PLOT... fkuva d plot f, p, =K.1..3.1, y =K2..2, color = black, blue fkuva := PLOT... display datakuva, fkuva 2 (7.6) (7.7) y 1 0 1 2 3 K1 K2 plot cos 1 C 2, =K5..5
1 0.5 K4 K2 0 2 4 K0.5 K1 d7f d diff f, $7 d7f := 128 sin 1 C 2 7 K 1344 cos 1 C 2 5 K 3360 sin 1 C 2 3 C 1680 cos 1 C 2 lprint d7f ; 128*sin(1+^2)*^7-1344*cos(1+^2)*^5-3360*sin(1+^2)*^3+1680* cos(1+^2)* $7,,,,,, plot abs d7f, = 0..3 ; (7.8) (7.9)
250000 200000 150000 100000 50000 0 0 1 2 3 plot abs d7f, = 2..3, y = 200000..300000 ;
290000 270000 y 250000 230000 210000 mader7 d 276000 7! kerroin d mader7 7! evalf % 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 tulo d product a j, j = 1..2 7 tulo := 2 K 1 2 mader7 := 276000 5040 kerroin := 1150 21 54.76190476 13 tulo d /product K d j, j = 1..7 ; 7 tulo := /? j = 1 1 7 2 K 1 2 K d j 13 2 (7.10) (7.11) (7.12) (7.13) (7.14) (7.15)
tulo ; K 0.5000000000 K 1. K 1.500000000 K 2. K 2.500000000 K 3. dt d diff tulo, dt := K 0.5000000000 K 1. K 1.500000000 K 2. K 2.500000000 K 3. C K 1. K 1.500000000 K 2. K 2.500000000 K 3. C K 0.5000000000 K 1.500000000 K 2. K 2.500000000 K 3. C K 0.5000000000 K 1. K 2. K 2.500000000 K 3. C K 0.5000000000 K 1. K 1.500000000 K 2.500000000 K 3. C K 0.5000000000 K 1. K 1.500000000 K 2. K 3. C K 0.5000000000 K 1. K 1.500000000 K 2. K 2.500000000 nollak d solve dt = 0 ; nollak := 0.1609812071, 2.839018793, 0.7021089813, 2.297891019, 1.234672665, 1.765327335 tulo~ nollak 0.7487648688, K0.7487648684, K0.1808515128, 0.1808515126, 0.09655295638, K0.09655295646 abs~ % 0.7487648688, 0.7487648684, 0.1808515128, 0.1808515126, 0.09655295638, 0.09655295646 matulo d ma % matulo := 0.7487648688 plot tulo, = 0..3 ; (7.16) (7.17) (7.18) (7.19) (7.20) (7.21)
0.6 0.4 0.2 0 K0.2 1 2 3 K0.4 K0.6 virhe d f K p virhe := cos 1 C 2 K 1.093073361 6 C 9.689758380 5 K 31.38122493 4 dvirhe d diff virhe, dvirhe := K2 sin 1 C 2 K 6.558440166 5 C 48.44879190 4 K 125.5248997 3 M d kerroin$matulo M := 41.00379043 C 44.99979274 3 K 27.62003430 2 C 6.361230612 K 0.5403023059 C 134.9993782 2 K 55.24006860 C 6.361230612 ma d fsolve dvirhe = 0, = 0.2 ; ma := 0.1701634433 plot dvirhe, = 0..3 (7.22) (7.23) (7.24) (7.25)
6 5 4 3 2 1 0 K1 1 2 3 plot virhe, = 0..3
0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 K0.1 K0.2 plot virhe, dvirhe, = 0..3, color = black, red
6 5 4 3 2 1 0 K1 1 2 3 subs = ma, virhe ; Tmav d evalf % # Todellinen ma-virhe. cos 1.028955597 K 0.0608406869 Tmav := 0.4548732428 (7.26) Virhearvio ma-virheen suhteen (ja muutenkin) on t"ass"a tapauksessa k"aytt"okelvottoman karkea, johtuen 7. derivaatan valtavasta maksimista. (Eih"an se v"altt"am"att"a (l"ahimainkaan) siihen makohtaan osu, mutta kun siit"a ei mit"a"an tiedet"a, ei yleisell"a kaavalla parempaa arviota ma-virheelle saada.) plot f K p, = 0..3
0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 K0.1 K0.2 plot f K p f, = 0..3, y =K1..1
1 y 0.5 0 1 2 3 K0.5 K1 8. N d /evalf K f D f N := /evalf K f D f f d /$cos K sin K 1; f := / cos K sin K 1 fkuva d plot f, = 0..3$Pi, color = black ; fkuva := PLOT... N ; 0 d PiC.3; C cos K 1. sin K 1. sin (8.1) (8.2) (8.3) (8.4) (8.5)
for k from 1 to 10 do k d N k K 1 end do 0 := p C 0.3 1 := 7.366983641 2 := 7.607183306 3 := 7.592100585 4 := 7.592056182 5 := 7.592056182 6 := 7.592056182 7 := 7.592056182 8 := 7.592056182 9 := 7.592056182 10 := 7.592056182 (8.5) (8.6) tangkuva d 0/plot 0, 0, 0, f 0, N 0, 0 tangkuva := 0/plot 0, 0, 0, f 0, N 0, 0 #tangd f, 0, /f 0 C D f 0 $ K 0 display seq display fkuva, tangkuva k K 1, k = 1..9, insequence = true (8.7)
5 0 p 2 p 3 p 2 2 p 5 p 2 3 p K5 K10 f d / 2 C sin K8 f := / 2 C sin K 8 (8.8) plot f, =K4.. 4
8 6 4 2 K4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4 K2 K4 K6 K8 0 dk1 0 := K1 (8.9) for k from 1 to 10 do k d N k K 1 end do 1 := K6.371982855 2 := K3.604384472 3 := K2.933318548 4 := K2.875234609 5 := K2.874675521 6 := K2.874675468 7 := K2.874675468 8 := K2.874675468 9 := K2.874675468 (8.10)
10 := K2.874675468 fkuva d plot f, =K7..4, color = black ; fkuva := PLOT... display seq display fkuva, tangkuva k K 1, k = 1..9, insequence = true 40 (8.10) (8.11) 30 20 10 K6 K4 K2 0 2 4 10. Diffyht. restart : diffyhtalo d d d y K y = cos diffyhtalo := d d y K y = cos (10.1) AE d y 0 = 1 AE := y 0 = 1 (10.2)
ratk d dsolve diffyhtalo, y 0 = 1, y ; ratk := y = K 1 2 cos C 1 2 sin C 3 2 e (10.3) Y d subs ratk, y ; Y := K 1 2 cos C 1 2 sin C 3 2 e (10.4) b) subs y = Y, diffyhtalo ; d d eval % ; K 1 2 cos C 1 2 sin C 3 2 e eval Y, = 0 ; C 1 2 cos K 1 2 sin K 3 2 e = cos cos = cos ratk d dsolve diffyhtalo, y 0 = c, y ; ratk := y = K 1 2 cos C 1 2 sin C e c C 1 2 1 (10.5) (10.6) (10.7) (10.8) Y d rhs ratk Y := K 1 2 cos C 1 2 sin C e c C 1 2 (10.9) C d seq K1 C 0.1$k, k = 1..10 C := K0.9, K0.8, K0.7, K0.6, K0.5, K0.4, K0.3, K0.2, K0.1, 0. Yparvi d seq Y, c = C Yparvi := K 1 2 cos C 1 2 sin K 0.4000000000 e, K 1 2 cos C 1 2 sin (10.10) (10.11) K 0.3000000000 e, K 1 2 cos C 1 2 sin K 0.2000000000 e, K 1 2 cos C 1 2 sin K 0.1000000000 e, K 1 2 cos C 1 2 sin, K1 2 cos C 1 2 sin C 0.1000000000 e, K 1 2 cos C 1 2 sin C 0.2000000000 e, K 1 2 cos C 1 2 sin C 0.3000000000 e, K 1 2 cos C 1 2 sin C 0.4000000000 e, K 1 2 cos C 1 2 sin C 0.5000000000 e varit d "AliceBlue", "Aqua", "Azure", "Black", "Brown" varit := "AliceBlue", "Aqua", "Azure", "Black", "Brown" #plot Yparvi, = 0..5, color = varit, varit plot Yparvi, = 0..5 (10.12)
60 40 20 0 1 2 3 4 5 K20 K40 with plots : kayra d display kayra 1, 0, 5 K, a, b /plot subs c = K, Y, = a..b kayra := K, a, b /plot subs c = K, Y, = a..b (10.13)
200 150 100 50 0 1 2 3 4 5 display seq kayra K, 0, 5, K = C, insequence = true
60 40 20 0 1 2 3 4 5 K20 K40 14. DokuT restart : with plots : #read "/Users/heikki/opetus/peruskurssi/v2-3/maple/v202.mpl" ; linspace d a, b, n / seq a C iii * b K a / n K 1, iii = 0..n K1 linspace := a, b, n / seq a C iii b K a n K 1, iii = 0..n K 1 td d linspace 1900, 1990, 10 td := 1900, 1910, 1920, 1930, 1940, 1950, 1960, 1970, 1980, 1990 yd d 76, 92, 106, 122, 132, 150, 179, 203, 226, 248 yd := 76, 92, 106, 122, 132, 150, 179, 203, 226, 248 Digits d 20 Digits := 20 (11.1) (11.2) (11.3) (11.4)
p d interp td, yd, t 31 p := K 181440000000000 t9 C K 257218344031 864000000 C 20471669634936287 33600 1993 672000000000 t8 K 6918319 302400000000 t7 C 3293971 32000000 t6 t 5 C 5509840052131 9600000 t 2 K 1849388550341790551 6300 t 4 K 33456538331517239 45360000 t 3 t C 62853427235011914 display plot p, t = 1900..1999, plot td, yd, style = point, symbol = circle, symbolsize = 20 250 (11.5) 200 150 100 50 0 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 t Tarkkuudella Digits:10 menee aivan pipariksi. with CurveFitting : Digits; 20 Digits d 10 Digits := 10 LP d PolynomialInterpolation td, yd, t, form = Lagrange : polykuva d plot LP, t = 1900..1990 polykuva := PLOT... (11.6) (11.7) (11.8)
datakuva d plot td, yd, style = point, symbol = cross, symbolsize = 16 datakuva := PLOT... display polykuva, datakuva (11.9) 240 220 200 180 160 140 120 100 80 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 t T"ass"a riitti Maplen perustarkkuus, kun k"aytettiin Lagrangen muotoa.