alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Luento 5 Yhteisvikojen analyysi S:n sovelluksia hti Salo Systeemianalyysin laboratorio alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu L 11100, 00076 alto ahti.salo@aalto.fi 1
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Leikkausjoukkojen lukumäärä 1/3 Lähtökohtia soissa järjestelmissä perustapahtumia voi olla satoja Näistä muodostuvia katkosjoukkoja voi olla miljoonia tai peräti miljardeja tuloksena laskennallisia haasteita äähuomio kohdistuu yleensä tn:ltään suurimpiin leikkausjoukkoihin esim. tn > 10-7 Miten tarkasteltavien leikkausjoukkojen määrää voidaan rajoittaa siten, että tn:ltään kynnysarvon alittavia leikkausjoukkoja ei välttämättä generoida? Lähestymistapa Järjestetään perustapahtumat tn:nsä mukaan alenevaan järjestykseen Rakennetaan puu, jossa» kullakin tasolla lisätään yksi vikaantuva perustapahtuma aiempien tasojen tapahtumiin» kullakin rivillä perustapahtumat esitetään em. tnjärjestyksen mukaisesti so. tn:ltään suurin ensin, sitten toiseksi suurin jne. MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Leikkausjoukkojen lukumäärä /3 Huomioita Olkoon i i:nnen perustapahtuman tn ikajoukko FS failure set on joukko toteutuvia perustapahtumia Jos perustapahtumat ovat riippumattomia, niin vikajoukon tn on ifs FS i 1 ifs i MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo 3
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Leikkausjoukkojen lukumäärä 3/3 Tapahtuman lisääminen vikajoukkoon Jos FS on vikajoukko, joka saadaan lisäämällä vikajoukkoon FS perustapahtuma j, niin FS' ifs ' i ifs ' 1 j j i 1 i FS 1 j ifs ifs 1 Kerrointermi j /1- j pienempi kuin 1 joss j < 0.5 Ts. jos FS:n tn on alle kynnysarvon, sama pätee tn-ehdon mukaisesti laajennetulle vikajoukolle vikajoukkojen määrää voidaan rajata Tapahtuman vaihtaminen toiseksi Jos FS saadaan vaihtamalla vikajoukossa FS perustapahtuma j tapahtumaksi k, niin FS" 1 k 1 j j j Kerrointermi pienempi kuin 1 joss k < j Ts. jos FS:n tn on alle kynnysarvon, sama pätee näin tehdyn vaihdon kautta saadulle vikajoukolle vikajoukkojen määrää voidaan rajata i k 1 FS 1 i ifs FS " ifs FS " k i Huom! Modarres 3.4 väärin! j MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo 4
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Toisistaan riippuvat vikaantumiset Riippuvuuksien huomiointi erustapahtumien taustalla voi olla yhteisiä syitä Nämä on pyrittävä huomioimaan muutoin saadut riskiarviot ovat alakanttiin, koska yhteisten syiden vaikutukset eivät näy tuloksissa Edellyttää tilastojen rakentamista ja käyttöä siten, että yhteiset vikaantumissyyt tunnistetaan» Tämä voi olla käytännössä haasteellista Esimerkki Järjestelmässä kolme komponenttia, ja Järjestelmä toimii, jos komponenteista vähintään kaksi toimii so. /3 portti Komponentit voivat vikaantua toisistaan riippumatta Lisäksi komponentit, ja voivat vikaantua yhteisistä syistä joko pareittain tai kaikki kolme Merkitään tapahtumia» = komponentti vikaantuu vast.,» = vikaantuu mistään muista syistä riippumatta vast.,» = komponentit ja vikaantuvat yhteisestä syystä, joka ei vikaannuta :tä vast.,» = kaikki kolme komponenttia vikaantuvat yhteisestä syystä MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo 5
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu ikapuuesitys ikapuuesitys T /3 + + + -komponentin vikaantuminen ikaantumissyyt toisensa poissulkevia MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo 6
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 7 MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo ikaantumisen minimikatkosjoukot ikaantuminen tapahtuu, kun Edellisen kalvon tulosten perusteella muiden parien leikkaukset tyhjiä Minimikatkosjoukoiksi saadaan siis Saadaan siis riippumattomille tapahtumille =, leikkauksen tn paljon pienempi kuin parien T T T
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu ikaantumistodennäköisyys Oletettakoon, että Kukin komponenteista vikaantuu muista syystä riippumatta samalla todennäköisyydellä Q 1 areittaiset samasta syystä aiheutuvat vikaantumiset tapahtuvat kukin tn:llä Q Kaikki kolme vikaantuvat yhteisestä syystä tn:llä Q 3 Tällöin järjestelmä vikaantuu siis tn:llä T 3 Q Q Q 1 3 Jos esimerkiksi Q 1 =0.05, Q =0.0, Q 3 =0.01, niin T 30.05 Yhteisten riskitekijöiden osuus kokonaisriskistä siis Riippumattomien vikojen vaikutus on siis verraten vähäinen, koska näiden lausekkeissa tulotermejä 30.0 0.01 0.0075 0.06 0.01 0.0775 0.06 0.01 0.0775 90.3% 3 MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo 8
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Riippuvuudet ja ehdolliset tn:t Lähtökohtia iime luennolla perustapahtumat oletettiin riippumattomiksi ks. pumppujärjestelmä Jos perustapahtumilla yhteisiä vikaantumissyitä, niin yhden perustapahtuman tn kasvaa, jos toisen perustapahtuman tiedetään tapahtuneen Esim. jos perustapahtumia, on kaksi kuten edellä siten, että nämä voivat toteutua joko riippumatta, tai yhteisestä syystä, niin Merkitään p =, p =, x= f x p p x x 1 p x p p f ' x 0 p x p x p x Minimi saavutetaan kohdassa x= =0, mikä vastaa riippumattomuutta MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo 9
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu -faktorimalli Lähtökohtia Järjestelmän komponentit tuplataan m-kertaiseksi Yhteisen common vikaantumissyyn tapahtuessa kaikki komponentit vikaantuvat -parametri ilmaisee, miten suuressa osassa vikaantuminen aiheutuu yhteisestä syystä, ts. missä c c c on yhteisen syyn aiheuttama vikaantumistaajuus ja on riippumaton vikaantumistaajuus Jos Q t on järjestelmän kokonaisvikaantumistn, niin järjestelmä vikaantuu siis» riippumattomien komponenttivikaantumisten tuloksena tn:llä Q 1 = 1 - Q t» yhteisestä syystä kaikkien komponenttien vikaantuessa tn:llä Q m = Q t Tarkalleen k komponenttia 1 < k < m ei voi vikaantua yhteisestä syystä, koska yhteinen syy vikaannuttaa kaikki komponentit k valitua komponenttia 1 < k < m vikaantuu todennäköisyydellä Q k = 0, k =,...,m-1 MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo 10
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Esimerkki Jäähdytysjärjestelmä Jäähdytys edellyttää sekä pumpun että venttiilin toimivan umppu- ja venttiiliosasysteemikokonaisuudet tuplataan luotettavuuden parantamiseksi umppu saattaa olla käynnistymättä S, pump failure to start tai käydä liian vähän aikaa R, pump failure to run enttiili saattaa olla avaumatta O, valve failure to open q R Käynnissä olevan pumpun vikaantumistaajuus R» Jos pumppu käy ajan T, niin se vikaantuu tänä aikana todennäköisyydellä T 0 R e R t dt R T 0 R e t R 1 e R T MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo 11
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo Jäähdytysjärjestelmän vikapuu Rakennetaan vikapuu Minimikatkosjoukoiksi saadaan 6 5 4 3 1,,,,
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu ikaantumistn:n laskenta 1/3 rvioidaan yhteisistä syistä aiheutuvat vikaantumistaajuudet -faktorimallilla S = miten suuressa osassa tapauksista pumppu jää käynnistymättä yhteisestä syystä? R = miten suuressa osassa pumppu ei käy tavoiteaikaa T yhteisestä syystä? O = miten suuressa osassa venttiili ei avaudu yhteisestä syystä? Minimikatkosjoukkojen tn:t S O 1 q q S 1 O 1 S S O R q q q S S q R O 1 1 1 O R R q q q O R R MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo 13
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu ikaantumistn:n laskenta /3 Järjestelmän System vikaantumistn:n approksimoida ylhäältä summalla S 6 i1 i Huom! osa katkosjoukoista esim., osin päällekkäisiä, kyse siis approksimaatiosta ylhäältä Tarkastellaan parametrien arvoja q S =0.0, q O =0.01 R = 0.05/h, T = 1 h q R =1-exp-0.05= 0.0487 S = R = O = 0.1 Katkosjoukkojen todennäköisyydet 0.9 0.0 0.9 0.0487 0.10.0 0.10.0487 0.9 0.01 0.10.01 0.001 0.000081 0.99 0.01 0.9 0.0 0.9 0.0487 0. 000613 0.006877 0.003831 MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo 14
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu ikaantumistn:n laskenta 3/3 ikaantumistodennäköisyys siis 6 S i1 i 0.013014 Yhteisten syiden, osuus kokonaisriskistä S S Yhteisten syiden merkitys siis iso, vaikka -parametrit verraten pieniä tasolla 0.1 Huomioita Yhden pumppu-venttiililinjan luotettavuus 0.006877 0.013014 0.001 0.013014 5,8 % 7,7 % Jos voitaisiin tuplata ilman yhteisiä vikaantumisia so. - parametrit nollia, niin vikaantumistn olisi Ts. yhteiset vikasyyt alentavat luotettavuutta paljon! S 1 q q q S R S 1 0. 006194 O 0.0787 MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo 15
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Yhteisvikaantumisen estimointi -faktorimallin kritiikki Oletus siitä, että yhteinen vika aiheuttaa aina kaikkien komponenttien vikaantumisen on kovin vahva» Esim. kolmen komponentin /N-järjestelmässä ks. luennon alku yhteiset syyt voisivat vikaannuttaa joko kaksi esim. tai kolme komponenttia Yhteistodennäköisyydet estimoitavissa eri tavoin» -faktorimallissa kysytään, miten suurella tn:llä joku muu komponentti myös vikaantunut yhteisestä syystä, jos yhden komponentin tiedetään vikaantuneen» Jos komponentteja kaksi ja s.e. yhteisen vikaantuminen on tapahtuma, niin Multiple Greek Letter MGL-malli Yleistää -faktorimallin siten, että yhteinen syy ei vikaannuta välttämättä kaikkia komponentteja Kysymykset» - faktori: millä tn:llä ainakin yksi toinen komponentti vikaantuu yhteisestä syystä, jos ko. komponentti vikaantunut?» -faktori: millä tn:llä ainakin kaksi muuta komponenttia vikaantuu yhteisestä syystä, jos ko. komponentti on vikaantunut yhteisestä syystä vähintään yhden toisen komponentin kanssa? MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo 16
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu MGL-mallin estimointi 1/ lun esimerkin - ja -parametrit Komponenttien riippumattomat Q 1 ja pareittaiset Q vikaantumistn:t oletettiin samoiksi Q Q 0.0 0.01 Q Q Q 0.05 0.0 0.01 3 1 3 33% Q3 0% Q Q3 Tarkasteluissa ei kuitenkaan edetä näin päin, vaan niissä - ja - parametreista johdetaan pareittaisten, kolmittaisten jne. yhteisten syiden aiheuttamien vikaantumisten Q,Q 3,Q 4,... tn:t m:n komponentin järjestelmässä yhden komponentin kokonaisvikaantumistn Q t total muodostuu siitä, että komponentti vikaantuu joko riippumatta tai kahden, kolmen jne. komponentin vikaantumisen aiheuttamasta yhteisestä syystä Yhdelle komponentille saadaan siis summa Q t m m 1 Q k 1 k 1 k MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo 17
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu MGL-mallin estimointi / Saadaan Q k -parametrien yhtälöt Q Q3 Q1 Q Q3 Q1 1 Qt Q3 1 Q 1 Q t Q Q3 Q3 Qt Qt Q1 Q Q3 Ts. Q k -parametrit esitettävissä - ja -parametrien algebrallisina lausekkeina arametrit estimoidaan tarkastelemalla, miten usein useammat komponentin vikaantuvat yhteissyistä» Esim. -parametri saadaan jakamalla vähintään kolmen komponentin yhteisvikaantumisten lkm vähintään kahden komponentin yhteisvikaantumisten lkm:llä Yleinen tapaus Merkitään 1 =1, =, =,..., m+1 =0 Tällöin pätee Q k m 1 k 1 1 1 k 1 i Qt k i1 Huom! Modarres s. 78 virhe MS-E117 Riskianalyysi / hti Salo 18