LTP++ Lämmönsiirron perusteet Pauli Jaakkola 12. toukokuuta 2014
Sisältö lyhyesti Johdanto 1 0 Suureita 5 1 Perussuureita 9 2 Yksinkertaisia johdannaissuureita 15 3 Monimutkaisempia johdannaissuureita 19 1 Lämmönsiirto 23 4 Lämmönsiirtotavat 27 5 Johtuminen 29 6 Konvektiivinen lämmönsiirto 31 7 Säteilylämmönsiirto 33 I
II SISÄLTÖ LYHYESTI
Sisältö Johdanto 1 1 Lämpötieteet ja lämpötekniikka................. 1 2 Suureet, luonnonlait ja kaavat; ymmärrys ja tulokset..... 2 3 Miksi nämä tieteet?........................ 3 4 Merkinnöistä........................... 4 0 Suureita 5 1 Perussuureita 9 1.1 Avaruus ja aika.......................... 9 1.1.1 Avaruus.......................... 9 1.1.1.1 Pituus L..................... 9 1.1.1.2 Pinta-ala A................... 9 1.1.1.3 Tilavuus V................... 10 1.1.1.4 Yksiulotteinen sijainti s............ 10 1.1.1.5 Kolmiulotteinen sijainti r........... 10 1.1.2 Aika t........................... 11 1.2 Aineen määrä........................... 11 1.2.1 Ainemäärä n....................... 11 1.2.2 Massa m.......................... 11 1.2.3 Moolimassa M....................... 12 2 Yksinkertaisia johdannaissuureita 15 2.1 Aikaderivaattasuureet....................... 15 2.1.1 Nopeus v......................... 15 2.1.2 Kiihtyvyys ā........................ 16 2.1.3 Tilavuusvirta V...................... 16 2.1.4 Moolivirta ṅ........................ 17 2.1.5 Massavirta ṁ....................... 17 2.2 Ekstensiivi- ja intensiivisuureet................. 17 III
IV SISÄLTÖ 2.2.1 Ominaissuureet...................... 17 2.2.2 Molaariset ominaissuureet................ 18 3 Monimutkaisempia johdannaissuureita 19 3.1 Voima F.............................. 19 3.2 Paine p.............................. 20 3.3 Työ W............................... 20 3.4 Teho Ẇ.............................. 21 1 Lämmönsiirto 23 4 Lämmönsiirtotavat 27 4.1 Johtuminen............................ 27 4.2 Konvektio............................. 27 4.3 Säteily............................... 28 5 Johtuminen 29 6 Konvektiivinen lämmönsiirto 31 6.1 Johtuminen ja konvektio..................... 31 7 Säteilylämmönsiirto 33
Johdanto 1 Lämpötieteet ja lämpötekniikka On helppo ajatella suoraviivaisesti, että tieteet lähtevät liikkeelle kiinnostuksesta johonkin luonnossa tapahtuvaan ilmiöön. Sitten tehdään perustutkimusta laaditaan teorioita ja testataan niitä kokeellisesti. Lopulta kun teoria on riittävän yleispätevä, joku käyttää sitä ja luovuuttaan teknisen tai muun käytännön sovelluksen luomiseen. Ollaan edetty soveltavaan tutkimukseen. Lämpötieteet, kuten tässä kirjassa käsiteltävät Termodynamiikka Virtausoppi Lämmönsiirto ovat kuitenkin suurelta osin ns. teknisiä tieteitä eli insinöörien työkaluja. Ne ovat syntyneet pikemminkin tutkittaessa, miten lämpöteknisiä sovelluksia, kuten Lämpövoimakoneita (voimalaitokset) Lämpöpumppuja (jäähdytys ja lämmitys) Virtauskoneita (pumppuja, puhaltimia, kompressoreja ja turbiineja) Lämmönsiirtimiä (monien prosessien osana) voitaisiin parantaa. Vaikka lämpötieteet ovat sittemmin monin osin kehittyneet maailmaa syleilevän yleispäteviksi, niiden keskeisin tai ainakin hyvödyllisin sovellusalue on edelleen juuri lämpötekniikka. 1
2 SISÄLTÖ 2 Suureet, luonnonlait ja kaavat; ymmärrys ja tulokset Mielikuvamme luonnontieteistä ja teknisistä tieteistä on usein sellainen, että ne koostuvat pääosin kaavoista. Itse asiassa kaavat ovat kuitenkin vain korkealle abstraktiotasolle jalostettuja yhteenvetoja siitä ymmärryksestä, joka on saavutettu teoreettisten mallien ja kokeellisen tutkimuksen vuorovaikutuksessa. Kaavoja suositaan luonnontieteissä myös sen takia, että ne ovat kvantitatiivisia tieteitä, jotka pyrkivät tarkkuuteen ja yksiselitteisyyteen eli eksaktiuteen 1 Useimmiten kaavat kertovat joidenkin suureiden välisen yhteyden matemaattisessa muodossa. Yhteys sinänsä saattaa olla syvällinen ajatus, jopa luonnonlaki monet kaavat kuvaavat esimerkiksi energian säilymistä: Q + Ẇ ṁ ( = h + 1 ) V 2 2 + gz (1) ρc v dt dt = k 2 T + Q (2) Kuitenkin ehkä suurempi osa luonnontieteen oivalluksista on käsitteellistetty itse suureisiin. Monet kaavatkin ovat itse asiassa vain suureiden määritelmiä: H = U + pv (3) G = H T S (4) Niinpä jos tämän kirjan punainen lanka ovat luonnonlait, niin ehkä suureet ovat toinen yhtälailla tärkeä vihreä lanka 2. Kaavat ovat toki tärkeitä, sillä niillä saadaan tuloksia, mutta vasta niiden taustalla vaikuttavien suureiden ja luonnonlakien ymmärtäminen mahdollistaa luovuuden. Tai edes oikeiden kaavojen käytön oikeassa tilanteessa ja siten tulosten oikeellisuuden. 1 Luonnontieteilijät pitävät joskus tai useinkin itseään jotenkin ihmistieteilijöitä parempina tällä perusteella. Tämä näkyy teekkarien ja humanistien välisessä vastakkainasettelussa mutta myös siinä, että englannin kielen tiedettä tarkoittava sana science voi yksinään tarkoittaa nimenomaan luonnontiedettä, jopa erotuksena ihmistieteistä. Todellisuudessa luonnontieteiden kvantitatiivisuus ja eksaktius johtuu kuitenkin siitä, että tarkasteltavat ilmiöt ovat oikeastaan hyvin yksinkertaisia verrattuna vaikkapa ihmisen käyttäytymiseen. 2 Myös erään puolueen lehti. Tämän alaviitteen tarkoitus on kuitenkin huomauttaa, ettei tässä ole kyse tuotesijoittelusta tai poliittisesta propagandasta.
3. MIKSI NÄMÄ TIETEET? 3 3 Miksi nämä tieteet? Lämpötieteellisten ilmiöiden ja -teknisten laitteiden analyysi on käytännössä useimmiten monitieteellistä. Mietitäänpä vaikkapa lämmönsiirrintä, joka siirtää lämpötehoa Q vesivirtauksesta a vesivirtaukseen b. Seuraavassa esiintyviä kaavoja ei tietenkään tarvitse tässä vaiheessa vielä ymmärtää. Ensinnäkin meitä tietenkin kiinnostaa lämmönsiirron suunta. Termodynamiikan toisen pääsäännön mukaan lämpö siirtyy spontaanisti 3 korkeammasta lämpötilasta matalampaan. Tämä on kokeellinen havainto, mutta klassinen termodynamiikka selittää sen niin, että entropian täytyy kasvaa. Tilastollinen termodynamiikka selittää, miksi näin on. Matemaattisesti: T a > T b (5) Q a < 0 (6) Q b > 0 (7) Kun lämmönsiirron suunta on nyt selvillä, meitä tietenkin kiinnostaa kummankin vesivirran lämpötilan muutos. Termodynamiikan ensimmäisen pääsäännön mukaan energia säilyy eli virtausten entalpiat muuttuvat lämmön verran. Oletetaan että kaikki lämpö siirtyy a:sta b:hen (eikä esim. lämmönsiirtimen rakenteisiin): Q b = Q a (8) H a = Q a (9) H b = Q b (10) Käyttämällä entalpiavirran ja ominaisentalpian (Ḣ = ṁh) sekä ominaisentalpian ja lämpötilan ( h = c p T ) välisiä yhteyksiä saadaan virtausten lämpötilojen muutoksen lämmönsiirtimessä: T a = T b = Q a c p ṁ a (11) Q b c p ṁ b (12) Tässä vaiheessa ongelmaksi tulee tietenkin sen määrittäminen, miten suuri siirtyvä lämpöteho on. Tähän tarvitaan lämmönsiirtoa. Lämpö siirtyy 3 itsestään, luonnostaan
4 SISÄLTÖ virtauksissa konvektiolla ja johtumalla ja putkien läpi johtumalla. Lämmön johtumisen teoria on melko yksinkertainen ja tarkka. Konvektiivisesta lämmönsiirrosta saadaan kohtuullinen arvio dimensiottomien lukujen avulla ilmaistuilla kokeellisilla korrelaatioilla. Konvektiivisen lämmönsiirron tarkempi määrittäminen vaatisi virtausopin tuntemusta. Sitä tarvitaan myös sen määrittämiseen, miten suuren mekaanisen tehon Ẇ virtauksen pumppaaminen lämmönsiirtimen läpi vaatisi. Nämä kolme ovat siis keskeisimmät lämpötekniikassa tarvittavat tieteet. Tietenkään poikkitieteellisyys ei välttämättä lopu vielä tähän. Esimerkiksi lämmönsiirtimen rakenteiden mitoittamiseen lämpötilaeroista johtuvat mekaaniset rasitukset kestäviksi tarvittaisiin lujuuslaskentaa. Usein voimalaitoksissa lämpö saadaan joko polttoprosessista tai ydinreaktiosta, joiden analysoimiseen tarvitaan fysikaalista kemiaa tai ydinfysiikkaa jne. 4 Merkinnöistä Lämpötieteiden kirjallinen perinne on vanha ja julkaisujen määrä valtava. Tämän seikan valossa on täysin ymmärrettävää, että käytetyt merkinnätkin vaihtelevat melkoisesti: Esimerkiksi q:lla voidaan merkitä ominaislämpöä (J/kg), lämpövirran tiheyttä (W/m 2 ) tai jopa tilavuusvirtaa (m 3 /s). Samaten u, v ja h voivat merkitä sisäenergiaa, ominaistilavuutta ja entalpiaa tai sitten nopeusvektorin x- ja y-komponentteja sekä lämmönsiirtokerrointa. Tämän tilanteen syntyä on edesauttanut myös se, että jo lämpötieteiden sisällä saati sitten fysiikassa yleensä on käytössä niin monta suuretta, että latinalaiset tai kreikkalaisetkaan aakkoset eivät tahdo riittää. Kun teoria on hyvin hallussa, suureet menevät harvoin sekaisin sekalaisista merkinnöistä huolimatta. Laskentatilanteesta, kaavojen muodosta ja yksiköistä näkee, mistä suureista on kyse. Mutta tätä kirjaa lukevat ainakin toivottavasti ne, joilla teoria ei ole vielä juuri ollenkaan hallussa. Niinpä olen pyrkinyt yksiselitteiseen merkintätapaan, jossa eri suureita ei merkitä samalla merkinnällä. Mikäli eri kirjaimen käyttäminen olisi täysin yleisen käytännön vastaista käytän vektorimerkkejä tai aikaderivaattoja suureiden erottelemiseksi: ominaistilavuus v, vauhti eli nopeusvektorin pituus v tilavuus V, tilavuusvirta V
Osa 0 Suureita 5
Ennen kuin alamme varsinaisesti käsitellä termodynamiikkaa tai muitakaan lämpötieteitä on syytä palauttaa mieleen muutama perussuure yksiköineen ja määritelmineen. Luultavasti suureet ovat ennestään tuttuja etkä halua käyttää niihin juurikaan aikaa mutta perusteelliseen ymmärrykseen on hyvä pyrkiä pidemmällä tähtäimellä sitä kautta pääsee vähemmällä. Ja mistäpä muualta perusteellinen ymmärrys lähtisi kuin perusteista, perusasoista. 7
8
Luku 1 Perussuureita 1.1 Avaruus ja aika Lämpötieteissä ulottuvuuksia käsitellään klassisen fysiikan tapaan eli avaruusulottuvuuksia on kolme ja ne ovat toisistaan sekä ajan yhdestä ulottuvuudesta erillisiä. Syitä tähän on pohjimmiltaan kaksi: 1. Lämpötieteet syntyivät ennen suhteellisuusteoriaa ja muuta modernia fysiikkaa. 2. Käytännön sovelluksissa on harvinaista joutua käsittelemään tilanteita joissa tarvittaisiin suhteellisuusteorian aika-avaruutta 1 tai ylimääräisiä avaruusulottuvuuksia. 1.1.1 Avaruus 1.1.1.1 Pituus L Pituuden (usein L) yksikkönä käytetään SI-perusyksikkö metriä: [L] = m (1.1) ( Metri on sellaisen matkan pituus, jonka valo kulkee tyhjiössä aikavälissä 1/299 792 458 sekuntia (17. CGPM, 1983). ) 1.1.1.2 Pinta-ala A Pinta-alan (usein A) yksikkönä käytetään neliömetriä: 1 Miksi tämä on englanniksi spacetime ja suomeksi aika-avaruus? 9
10 LUKU 1. PERUSSUUREITA [A] = m 2 (1.2) (Suorakaiteen pinta-alaa voi kuvata kertomalla sen sivujen pituudet toisillaan. Koska minkä muotoisen tasokuvion tahansa voi ajatella muodostuvan esimerkiksi mielivaltaisen pienistä neliöistä, on neliömetri pätevä mittaamaan mielivaltaisen muotoisia pinta-aloja). 1.1.1.3 Tilavuus V Tilavuuden (usein V) yksikkönä käytetään kuutiometriä: [V ] = m 3 (1.3) (Suorakulmaisen särmiön tilavuutta voi kuvata kertomalla sen sivujen pituudet toisillaan. Koska minkä muotoisen avaruuskappaleen tahansa voi ajatella muodostuvan esimerkiksi mielivaltaisen pienistä kuutioista, on kuutiometri pätevä mittaamaan mielivaltaisen muotoisia tilavuuksia). 1.1.1.4 Yksiulotteinen sijainti s Ensimmäisenä on syytä mainita, että jos tilannetta voidaan kuvata yksiulotteisena 2, käytetään joskus ainoana avaruuskoordinaattina sijaintia s. 1.1.1.5 Kolmiulotteinen sijainti r Avaruuden ulottuvuuksia on siis kolme ja ne muodostavan kolmiulotteisen avaruuden. Mikä tahansa piste tässä avaruudessa voidaan määrittää kolmen koordinaatin avulla. Ensin koordinaatit täytyy kalibroida määrittämällä niille nollakohdat sekä yksiköt. Kartesiolainen eli suorakulmainen (x, y, z)- koordinaatisto on yleisin, mutta lämpötieteissä eivät ole erityisen harvinaisia tilanteet joissa esimerkiksi sylinterikoordinaatisto (z, r, θ) tai pallokoordinaatisto (r, θ, φ) on kätevämpi. Origo sijaitsee koordinaattien nollakohtien leikkauspisteessä (0, 0, 0). Minkä tahansa pisteen sijainti voidaan ilmoittaa paikkavektorilla r origosta kyseiseen pisteeseen. Kartesiolaisessa koordinaatistossa 2 ajattele vaikkapa raiteillaan pysyvää junaa x r = y (1.4) z
1.2. AINEEN MÄÄRÄ 11 1.1.2 Aika t Ajan t yksikkönä käytetään SI-perusyksikkö sekuntia: [t] = s (1.5) ( Sekunti on 9 192 631 770 kertaa sellaisen säteilyn jaksonaika, joka vastaa cesium 133 -atomin siirtymää perustilan ylihienorakenteen kahden energiatason välillä (13. CGPM, 1967). ) 1.2 Aineen määrä 1.2.1 Ainemäärä n Ainemäärä n kertoo kuinka monta kappaletta jotain hiukkasta (yleensä molekyylia) on. Se on siis itse asiassa puhdas luku, mutta koska yleensä käsitellään niin suuria molekyylimääriä, on sille määritetty SI-perusyksikkö mooli: [n] = mol (1.6) Mooli on sellaisen systeemin ainemäärä, joka sisältää yhtä monta keskenään samanlaista perusosasta kuin 0,012 kilogrammassa hiili 12:ta on atomeja. Perusosaset voivat olla atomeja, molekyylejä, ioneja, elektroneja, muita hiukkasia tai sellaisten hiukkasten määriteltyjä ryhmiä. (14. CGPM, 1971) 0,012 kilogrammassa hiili-12:ta eli yhdessä moolissa olevien hiukkasten lukumäärä on Avogadron luku N A : [N A ] (6, 02214129 ± 0, 00000027) 10 23 (1.7) Ainemäärä on hyödyllinen yleensä kemiassa (koska reaktioissa väliä on molekyylien määrällä) ja kaasuja käsiteltäessä (koska mm. tilavuudet ja paineet riippuvat molekyylien määristä). 1.2.2 Massa m Mekaniikassa meitä kiinnostaa kuitenkin yleensä pikemminkin se, miten painava tai hidas käsiteltävä systeemi on. Tätä mitataan massalla m. Klassisessa fysiikassa esiintyy itse asiassa kahdenlaista massaa: Hidas massa on Newtonin II laissa esiintyvä massa. Se mittaa siis sitä miten suuri voima tarvitaan kappaleen kiihdyttämiseen.
12 LUKU 1. PERUSSUUREITA Painava massa taas on Newtonin gravitaatiolaissa esiintyvä massa. Se mittaa siis sitä miten suuren voiman gravitaatiokenttä aiheuttaa kappaleeseen 3. Hidas ja painava massa ovat kuitenkin saman suuruiset, mikä ei ollut klassisen fysiikan teorioiden perusteella mitenkään itsestään selvää. Kuitenkin jo Galileo Galilei huomasi kokeellisesti, että kaikkien kappaleiden kappaleen putoamiskiihtyvyys g on sama. Näin voi olla vain, mikäli hidas ja painava massa ovat yhtä suuret. Suppea suhteellisuusteoria pätee vain vakionopeudella liikkuville koordinaatistoille (arkisemmin tarkkailijoille ). Se sai alkunsa sähkömagneettisten aaltojen teoriassa tehdystä havainnosta että valon nopeus tyhjiössä on koordinaatiston nopeudesta riippumaton vakio. Yleinen suhteellisuusteoria pätee myös kiihtyvässä liikkeessä oleville koordinaatistoille. Sen perustava oivallus oli nimenomaan se, että hidas ja painava massa tuskin ovat sattumalta täsmälleen yhtä suuret. Putoamiskiihtyvyys on kiihtyvyys, joka aiheutuu aika-avaruuden kaareutumisesta massan ympärillä. Massan SI-perusyksikkö on kilogramma kg: [m] = kg (1.8) Kilogramma on yhtä suuri kuin kansainvälisen kilogramman prototyypin massa (1. ja 3. CGPM, 1889 ja 1901). Kilogramma on ainoa SI-perusyksikkö, joka vielä perustuu tällaiseen prototyyppiin. Tämä on ongelmallista ensinnäkin siksi, että prototyyppi ei ole toistettavissa ja toisekseen siksi että - kauhistus sentään - prototyypin massa ei mittausten mukaan ole vakio. Alun perin kilogramma piti määritellä 1 litra vettä on massaltaan kilogramman 4 C:n lämpötilassa. Vesipohjaiseen määritelmään siirtymistä on myöhemminkin ehdotettu, joskin niin että määritelmä vastaisi nykyistä kilogramman määritelmää paremmalla tarkkuudella. 1.2.3 Moolimassa M Systeemin massa ja ainemäärä riippuvat toisistaan moolimassan M kautta: M = m n (1.9) Moolimassan SI-yksiköksi tulee 3 Vrt. varaus sähkömagneettisissa kentissä.
1.2. AINEEN MÄÄRÄ 13 [ m ] [M] = n = [m] [n] = kg mol (1.10) Tämä on kuitenkin niin suuri yksikkö että helpommin käsiteltäviä lukuja saadaan käyttämällä yksikkönä joko g/mol (yleisin) tai kg/kmol.
14 LUKU 1. PERUSSUUREITA
Luku 2 Yksinkertaisia johdannaissuureita 2.1 Aikaderivaattasuureet 2.1.1 Nopeus v Yksiulotteisen sijainnin muutoksen suhde ajan muutokseen on vauhti v : v = s (2.1) t Jos vauhti halutaan hetkellisesti eli mielivaltaisen lyhyenä ajanhetkenä tämä lähestyy aikaderivaattaa: v = ds dt (2.2) Kun tämä siirretään kolmiulotteiseen avaruuteen paikkavektorin r derivaataksi saadaan nopeus v joka on siis myös vektorisuure: v = d r dt Aikaderivaattaa on usein tapana merkitä pisteellä: (2.3) v = d r dt = r (2.4) Nopeuden yksiköksi tulee sama kuin vauhdinkin eli [ ] ds [ s ] [v] = = = m (2.5) dt t s 15
16 LUKU 2. YKSINKERTAISIA JOHDANNAISSUUREITA 2.1.2 Kiihtyvyys ā Vauhdin muutos ajan suhteen on kiihtyvyys a : a = v t (2.6) Jos vauhti halutaan hetkellisesti eli mielivaltaisen lyhyenä ajanhetkenä tämä lähestyy aikaderivaattaa: a = dv dt (2.7) Kolmiulotteisessa avaruudessa nopeusvektorin v derivaataksi saadaan kiihtyvyysvektori a: Kiihtyvyyden yksikkö on [a] = a = d v dt = v = r (2.8) [ ] dv = dt [ ] d 2 s [ s ] = = m (2.9) dt 2 t 2 s 2 2.1.3 Tilavuusvirta V Kun halutaan tietää, kuinka suuri tilavuus kulkee jonkin pinnan läpi aikayksikössä voidaan se määrittää vastaavalla menettelyllä kuin nopeus. Keskimääräinen tilavuusvirta V on ja hetkellinen V = V T (2.10) Tilavuusvirran SI-yksikkö on [ V ] = V = dv dt [ ] [ ] dv V = = m3 dt t s (2.11) (2.12) Tämänkaltaisista aikaderivoiduista suureista, jotka eivät ole nopeutta, kiihtyvyyttä eivätkä mekaanista tai lämpötehoa on tapana käyttää virtanimitystä.
2.2. EKSTENSIIVI- JA INTENSIIVISUUREET 17 2.1.4 Moolivirta ṅ Pinnan läpi aikayksikössä menevä ainemäärä on moolivirta ṅ: ṅ = n t ṅ = dn [ṅ] = dt [ dn dt ] [ n ] = t = mol s (2.13) (2.14) (2.15) 2.1.5 Massavirta ṁ Pinnan läpi aikayksikössä menevä massa on massavirta ṁ: ṁ = m t ṁ = dm dt [ ] dm [ m [ṁ] = = dt t ] = kg s (2.16) (2.17) (2.18) 2.2 Ekstensiivi- ja intensiivisuureet Ekstensiivisuureet ovat suureita, joiden arvo riippuu systeemin koosta 1 eli massasta tai ainemäärästä. Tyypillinen ekstensiivisuure on tilavuus V. Intensiivisuureiden arvot taas eivät riipu systeemin koosta. Tyypillisiä intensiivisuureita ovat paine p ja lämpötila T. 2.2.1 Ominaissuureet Intensiivisuureet ovat siinä mielessä toivottavampia, että niiden käyttö ei vaadi systeemin koon selvittämistä tai kiinnittämistä. Niistä saadaan jopa skalaarikenttiä (esim. T ( r, t)). Onneksi ekstensiivisuureet voidaan muuttaa intensiivisuureiksi jakamalla ne systeemin massalla. Näin syntyviä intensiivisuureita kutsutaan ominaissuureiksi ja merkitään vastaavaa ekstensiivisuureen suurta vastaavalla pienellä kirjaimella. Esimerkiksi ominaistilavuus on 1 extent
18 LUKU 2. YKSINKERTAISIA JOHDANNAISSUUREITA v = V m[ ] V [v] = = m3 m kg (2.19) (2.20) ja ominaissisäenergia u = U m[ ] U [u] = = J m kg (2.21) (2.22) 2.2.2 Molaariset ominaissuureet Toinen vaihtoehto ekstensiivisuureiden muuntamiseksi intensiivisiksi on niiden jakaminen systeemin ainemäärällä sen massan sijaan. Näin saadaan molaarisia ominaissuureita, joita merkitään alaindeksillä m. Esimerkiksi moolitilavuus on V m = V n [V m ] = [ V n ] = m3 mol (2.23) (2.24) ja molaarinen sisäenergia U m = U n[ ] U [U m ] = n = J mol (2.25) (2.26)
Luku 3 Monimutkaisempia johdannaissuureita 3.1 Voima F Olemme tottuneet ajattelemaan voimaa jonkinlaisena perussuureena, mutta itse asiassa se on vain hyvin kätevä johdannaissuure, joka on määritelty Newtonin II lain 1 perusteella: Niinpä sen yksiköksi tulee: F = d p dt = d(m v) dt [ ] [F ] = [ F d(m v ) ] = = dt Tämä on edelleen nimetty 2 Newtoniksi: [ mv ] = t [ ] ml t 2 (3.1) = kgm s 2 (3.2) [F ] = kgm s 2 = N (3.3) Voimia ei liene todellisuudessa olemassakaan. Ne ovat vain yksi ihmiskunnan historian hyödyllisimmistä abstraktioista. Tämä voiman eksakti muoto kuvaa vain sitä mitä arkikielen voima-sanakin: voimaa tarvitaan sitä enemmän mitä enemmän ja mitä nopeammin materiaa joudutaan kiihdyttämään (tai hidastamaan, a < 0). 1 Newtonin I laki on II lain erikoistapaus. 2 ilmeisistä syistä 19
20 LUKU 3. MONIMUTKAISEMPIA JOHDANNAISSUUREITA 3.2 Paine p Paineella p tarkoitetaan yksinkertaisimmillaan voimaa jaettuna pinta-alalle, jolle se kohdistuu. Paineen SI-yksikkö on Pascal P a. p = F (3.4) A[ F [p] = ] = N A m = P a (3.5) 2 Virtausaineissa tilanne ei kuitenkaan ole näin yksinkertainen. Paine voidaan nimittäin määrittää mille tahansa virtausaineen reunoilla tai sen sisällä olevalle todelliselle tai kuvitteelliselle pinnalle. Itse asiassa virtausopissa paine voidaan (infinitesimaalisten kontrollitilavuuksien dv avulla) määrittää virtausaineen jokaiselle pisteelle eli p = p( r, t)). 3.3 Työ W Mitä työ on? Mekaniikassa työn W yleinen määritelmä on W = F ds (3.6) S Mitä tämä sitten tarkoittaa? Arkisestikin voimme todeta, että jonkin kappaleen siirtämisen työläys on suoraan verrannollinen 1. Voimaan F, joka tarvitaan kappaleen liikuttamiseksi 2. Matkaan s, joka kappaletta siirretään Kun voima on vakio ja reitti koko ajan voiman suuntainen, nämä verrannollisuudet voidaan yhdistää tuloksi ja (valitsemalla määritelmässä verrannollisuuskertoimeksi 1) määritellä työ W = F s (3.7) Yleisessä tapauksessa ei päästä näin helpolla, sillä kappaleeseen vaikuttavan voiman suuruus ja suunta voivat riippua esimerkiksi ajasta ja kappaleen paikasta eikä reittikään ole välttämättä lähelläkään suoraa.
3.4. TEHO Ẇ 21 Onneksi mikä tahansa infinitesimaalisen lyhyt reitin pätkä ds voidaan katsoa hyvällä tarkkuudella suoraksi ja voiman reitin suuntainen komponentti saadaan pistetulolla eli dw = F ds (3.8) Kun nämä infinitesimaalisen lyhyet reitin pätkät sitten summataan eli integroidaan saadaan työn yleinen määritelmä 3.6. Työn määritelmä voitaisiin avata sanallisesti vaikka seuraavasti: Kun kappale, johon voima F vaikuttaa, kulkee reitin S tekee voima kaavasta 3.6 laskettavissa olevan määrän työtä. Huomioi, että tämä ei vaadi, että juuri voima F aiheuttaisi kappaleen liikkeen. 3.4 Teho Ẇ Jossain ajassa tehty työ tai hetkellisenä työn aikaderivaatta on teho Ẇ. Tehon SI-yksikkö on Watti W. Ẇ = W t Ẇ = dw dt [Ẇ ] = [ dw dt ] = [ W t (3.9) (3.10) ] = J s = W (3.11) Tehosta käytetään useimmiten merkintää P. Itse käytän kuitenkin merkintää Ẇ sekaannusten välttämiseksi paineen kanssa, jota joskus myös merkitään pienen sijaan isolla p:llä 3. Toisaalta näin korostan myös tehon yhteyttä työhön (lämmön sijasta). 3 Erityisesti paine ei ole ominaisteho p P m.
22 LUKU 3. MONIMUTKAISEMPIA JOHDANNAISSUUREITA
Osa 1 Lämmönsiirto 23
Termodynamiikassa energia voi siirtyä kahdella tavalla: työnä tai lämpönä. Energiaa siirtyy työnä systeemin rajojen yli kun systeemin ja ympäristön välillä vaikuttaa nettovoima. Työn osaamme laskea erinäisissä tapauksissa mekaniikasta mahdollisesti hyödyntäen myös esim. virtausoppia mekaniikan erityisalana tai sähkömagnetiikkaa toisena fysiikan alana. Lämpönä energiaa siirtyy systeemin rajojen yli kun systeemin ja ympäristön välillä on lämpötilaero. Termodynamiikan ensimmäisellä pääsäännöllä kykenemme selvittämään siirtyvän lämpömäärän vaikutuksen systeemiin ja toisella sen, miksi lämpöä siirtyy ja että se siirtyy spontaanisti vain korkeammasta lämpötilasta matalampaan. Siirtyvän lämmön tärkeimmän ominaisuuden eli määrän laskemiseen tietyn geometrian ja olosuhteiden vallitessa tarvitaan kuitenkin oma tieteensä eli lämmönsiirto. 25
26
Luku 4 Lämmönsiirtotavat Mitä suurempi on systeemin lämpötila, sitä suuremmalla todennäköisyydellä sen molekyylit ovat merkittävästi perustilaa korkeammalla energialla. Kun korkeammassa lämpötilassa olevat molekyylit vuorovaikuttavat matalammilla energiatasoilla olevien kanssa, ne vaihtavat energiaa ja pitkällä aikavälillä lämpötilaero pyrkii termodynamiikan toisen pääsäännön mukaisesti tasoittumaan. Lämmön siirtyminen johtuu aina lämpötilaerosta, mutta lämpö voi siirtyä kolmella eri tavalla: johtumalla ( conduction ), konvektiolla eli kulkeutumalla ( convection ) ja säteilemällä ( radiation ). 4.1 Johtuminen Kun molekyylit vuorovaikuttavat suoraan toisiinsa esimerkiksi törmäilemällä virtausaineessa tai hilavärähtelyiden kautta kiinteässä aineessa, siirtyy lämpö johtumalla. 4.2 Konvektio Kun sisäenergiaa kulkeutuu virtausaineen molekyylien mukana niiden virratessa siirtyy lämpö konvektiolla. Tähänhän ei välttämättä vaadita lämpötilaeroa ja virtausaineen siirtäminen systeemin rajojen yli voidaan käsitellä suoraan termodynaamisesti: Q = ṁh (4.1) Lämmönsiirrossa konvektiivisella lämmönsiirrolla tarkoitetaankin yleensä tilannetta, jossa virtausaine virtaa kiinteän aineen yli jolloin se kuljettaa 27
28 LUKU 4. LÄMMÖNSIIRTOTAVAT mukanaan sisäenergiaa. Systeemin rajojen yli (oli systeemi sitten kiinteä aine tai virtausaine) lämpö kuitenkin siirtyy itse asiassa johtumalla. 4.3 Säteily Kaikki kiihtyvässä liikkessä olevat varaukset lähettävät sähkömagneettista säteilyä. Jos varauksilla on keskimäärin suuri liike-energia, on niillä tilastollisen termodynamiikan mukaisesti myös korkea lämpötila. Itse asiassa kaikki, minkä lämpötila on yli 0K lähettää lämpösäteilyksi kutsuttua sähkömagneettista säteilyä. Arjessa kohtaamme yleensä lähinnä kappaleita, joiden lähettämä lämpösäteily on aallonpituudeltaan enimmäkseen infrapunasäteilyä. Riittävän kuumat kappaleet kuten taottava rauta tai aurinko kuitenkin voivat lämpösäteillä myös näkyvää valoa tai auringon tapauksessa ultraviolettisäteilyä jne. Itse asiassahan me vain näemme ne aallonpituudet, joiden intensiteetti auringonvalon aallonpituusjakaumassa on korkein. Vaikka säteilylämmönsiirrossa molekyylit vuorovaikuttavatkin kaukaa sähkömagneettisen säteilyn kautta, pätee termodynamiikan toinen pääsääntö myös sille. Eli vaihtaessaan energiaa lämpösäteilyn muodossa molekyylit lähestyvät toistensa lämpötiloja.
Luku 5 Johtuminen 29
30 LUKU 5. JOHTUMINEN
Luku 6 Konvektiivinen lämmönsiirto 6.1 Johtuminen ja konvektio 31
32 LUKU 6. KONVEKTIIVINEN LÄMMÖNSIIRTO
Luku 7 Säteilylämmönsiirto 33
34 LUKU 7. SÄTEILYLÄMMÖNSIIRTO
Liitteet 35