POHDIN projekti Logaritminen asteikko tarkoittaa mitta-asteikkoa, jossa esitetään suureen määrän todellisen arvon sijasta suureen määrän logaritmi. Logaritminen asteikko on hyödyllinen, kun mitattavan suureen arvojen vaihteluväli on erityisen suuri ja varsinkin kun suureen arvot muuttuvat eksponentiaalisesti tai jos ollaan kiinnostuneita suureen suhteellisesta muutoksesta absoluuttisen muutoksen sijaan. Logaritmisella asteikolla yksi askelväli tarkoittaa mitattavan suureen moninkertaistumista toisin kuin tavallisemmalla lineaarisella asteikolla. Askelvälin suuruuden määrää logaritmin kantaluku. Esimerkiksi 10-kantaisella logaritmisella asteikolla jokainen askelväli vastaa mitattavan suureen kymmenkertaistumista. Esimerkiksi äänenvoimakkuus, vahvistus, maanjäristysten voimakkuus on tapana esittää pääsääntöisesti logaritmisella asteikolla. Myös kemiassa käytetty ph-asteikko on logaritminen asteikko. Richter Ricterin-asteikko perustuu kymmenkantaiseen logaritmiin, ts. arvon kasvaessa yhdellä järistyksen voimakkuus on kasvanut kymmenkertaiseksi. Kuitenkin vapautuva energiamäärä nousee aina 32-kertaisesti. Varsinaisesti Richterin-asteikolla mitataan vapautuvaa energiamäärää. Maanjäristyksen voimakkuus on Richterin asteikolla 2 R (lg E 4,8), 3 missä E on järistyksessä vapautunut energia jouleina.
Tehtävä 1. Maanjäristyksen voimakkuus Japanissa Sendain lähistöllä 11.3.2011 oli 8,9 ja Haitissa Port-au-Princen lähistöllä 12.1.2010 oli 7,0. Laske näissä maanjäristyksissä vapautuneiden energioiden suhde. Ilmoita vastauksena myös arvio siitä, kuinka monikertainen Japanin maanjäristys oli Haitin maanjäristykseen verrattuna järistyksessä vapautuneen energian suhteen. Desibeli (db) Desibeli on suhdeyksikkö, jolla ilmaistaan sähköisen tai akustisen signaalin tasoa verrattuna johonkin määrättyyn vertailutasoon. Desibeliarvojen määrittäminen perustuu lukualueiden logaritmiseen esittämiseen. Ääni etenee ilmassa äänen taajuuteen ja voimakkuuteen verrannollisina painevaihteluina ja äänet, jotka kuulemme, aiheutuvat kuuloelimiimme vaikuttavista ilmakehän ilmanpaineen vaihteluista. Kun tällainen painevaihtelu saavuttaa jonkin sähkömagneettisen muuntimen, esimerkiksi mikrofonin, sen vaikutus synnyttää muuntimessa jännitteen ja samalla myös sähkövirran, joka on näin ollen verrannollinen painevaihtelun suuruuteen. Syntynyt jännite johdetaan jatkokäsittelyä varten johonkin laitteeseen, jossa sen ominaisuuksia voidaan muokata. Muokkausketjuun kuuluu tehovahvistin, jonka avulla sähköisessä muodossa käsitellyn signaalin tehoa voidaan kasvattaa. Lopuksi kaiutin muuttaa siihen syötetyn signaalijännitteen takaisin kuultavaksi ilmanpainevaihteluksi, jonka suuruuden määrää kaiuttimeen syötetty teho. Audiotekniikassa on siis kaksi keskeistä laiteryhmää, mikrofonit ja kaiuttimet, joiden toiminta perustuu ilmanpaineen vaihteluun. Mikrofonit muuttavat siihen kohdistuvat ilmanpainevaihtelut sähköiseksi signaaliksi ja kaiutin muuttaa sähköisen signaalin ilmanpainevaihteluksi. Varsinaiselta mekaaniselta perusperiaatteeltaan mikrofoni ja kaiutin ovat samankaltaiset. Audiotekniikan keskeinen käsite on ns. korvan kuulokynnys eli hiljaisin ääni, jonka ihminen keskimäärin kykenee kuulemaan. Korvan kuulokynnys vastaa sitä minimi äänenpainevaihtelua vallitsevasta perusilmanpaineesta, jonka ihminen kykenee erottamaan.
Tavanomaisesti kuulokynnys vastaa äänenpaineenvaihtelua suuruudeltaan 20 P ( P = mikropascal). Molemmille laiteryhmille ilmoitetaan datatietoina maksimi äänenpainetasoarvot (SPL = Sound Pressure Level), jotka ovat siis verrannollisia korvan kuulokynnystä vastaavaan minimi äänenpainevaihteluun itse perusilmanpaineesta. Mikrofoneilla arvo ilmaisee suurinta äänenpainetasoa, joka mikrofoniin voi kohdistua, ilman että mikrofonin tuottama sähköinen signaali säröytyy. Säröytyminen voi aiheutua esimerkiksi mikrofonin kelan liikeradan ylittymisestä, joka voi myös mekaanisesti vioittaa mikrofonia, tai mikrofonin magneettisuusominaisuuksien ns. kyllästymisestä, jolloin antojännite ei enää kasva vaikka ilmanpaineen painevaihtelu kasvaisikin. Kaiutimilla arvo ilmaisee, kuinka suuren äänenpainetason ne voivat maksimissaan tuottaa ympäröivään ilmaan. Laskentakaavat ovat muotoa x db 20 lg p db, p0 missä p0 20 P ja p mitattu ilmapaineen vaihtelu, ja edelleen sama asia toisin merkittynä eli laskettaessa desibeliarvot eri jännitteille x db 20 lg U 1 db, U2 tässä U1 jännite, jota verrataan, ja U2 jännite, johon verrataan. Esimerkki 1. Olkoon eräässä vahvistimessa sisään menevän jännitteen arvo Uin 19 mv ja vahvistimen lähtöjännite Uout 12 V. Nyt vahvistimen vahvistus desibeleinä voidaan laskea seuraavasti x db 20 lg U 1 db U2 12V 20 lg 19 10 3 V db 20 lg 631,5789 db 20 2,8004276 db 56 db
Tehtävä 2. Laske kuinka suuri on ollut vahvistimen sisään menevä jännite, kun lähtöjännite on 12V ja vahvistus on 81 db. Tehtävä 3. Kuin suuri on mikrofonissa mitattu ilmanpaineen vaihtelu, kun sen vahvistus on 86 db. Happamuus (ph) Happamuus kuvaa vetyionien H eli protonien aktiivisuutta liuoksessa. Sana hapan tarkoittaa alkujaan happamille aineille tyypillistä perusmakua. Vesiliuoksen happamuus ilmoitetaan tavallisesti logaritmisella ph-asteikolla. Lyhenteelle ph esitetään usein kaksi erilaista lähtökohtaa. Lyhenteen sanotaan tulevan latinan sanoista pondus hydrogenii eli vedyn potentiaali. Toisinaan muistutetaan, että lyhenteessä ph taustalla lienee logaritmisen määritelmän laskennallisia ominaisuuksia kuvaava saksan kielen sana potenz 1 ja että H tarkoittaa yksinkertaisesti vetyionia H. Itse happamuus voidaan ilmoittaa sekä happamalle että emäksiselle liuokselle. Liuoksen ph-arvo määritellään seuraavasti missä [ HO 3 ] ph log 10[ H30 ], on oksoniumionikonsentraatio mol/l. ph-asteikko on siis logaritminen eli se on Briggsin logaritmin vastaluku liuoksen oksoniumionien konsentraatiosta. ph:n laskiessa yhden yksikön liuoksen vetyionikonsentraatio [ H ] kymmenkertaistuu ja vastaavasti ph:n kasvaessa yhdellä yksiköllä vetyionien aktiivisuus eli tehollinen konsentraatio pienenee kertoimella kymmenen. Tarkkaan ottaen vesiliuoksissa ei kuitenkaan esiinny vapaita vetyioneja, vaan ne sitoutuvat vesimolekyyleihin muodostaen oksoniumioneja HO 3. Näistä kuitenkin vetyioni irtoaa helposti, joten useissa kemiallisissa reaktioissa ja myös ph-laskuissa sitä voidaan käsitellä ikään kuin kyseessä olisi pelkkä vetyioni, protoni. 1 Ensimmäisenä logaritmisen ph-asteikon otti käyttöön Søren Peter Lauritz Sørensen vuonna 1909.
ph-arvo on yleensä väliltä 0 14, mutta voi erittäin happamilla tai emäksisillä liuoksilla olla jonkin verran näiden rajojen ulkopuolellakin. ph < 7 hapan ph = 7 neutraali ph > 7 emäksinen Vesimolekyylit reagoivat keskenään siten, että puhtaassakin vedessä on jonkin verran oksonium- ja hydroksidi-ioneja ( OH ) ts. H2O H2O H3O OH. Mittaukset ovat osoittaneet, että puhtaan neutraalin veden ph 25 C:ssä on 6,998 ± 0,001. Näin ph = 7 on määritelty neutraaliksi. Veden ph laskee lämpötilan noustessa, koska veden aktiivisuus muuttuu. Talousveden ph on 6,5 8,8. Luonnontilaiset pintavedet ovat yleensä lievästi happamia ts. ph = 6-7. Virtaavien vesien havaintopaikoilla 6,6 ja järvisyvänteiden havaintopaikoilla 6,9. Vesien eliöstö on sopeutunut elämään lähinnä ph-alueella 6-8. pharvoissa tapahtuu kuitenkin vuotuista ja vuorokautista vaihtelua. Talvelle ph-arvo on tavallisesti hieman alhaisempi kuin kesällä, koska levätuotanto kohottaa hieman pintavesien ph-arvoja. Voimakas levätuotanto voi nostaa pintaveden ph-arvon jopa yli 8:aan. Myös yöaikaan ph-arvo on jonkin verran alempi kuin päivällä. Esimerkki 2. Suolahappoliuoksen konsentraatio on 0,012 mol/l. Koska kyseessä on vahva happo ja vahvat hapot protolysoituvat vedessä melkein täydellisesti, niin liuoksen oksoniumkonsentraatio voidaan merkitä samaksi kuin hapon alkukonsentraatio. Tulos voidaan kirjoittaa muotoon HCl( aq) H2O( l) Cl ( aq) H3O ( aq). Vahvan hapon säännön perusteella voidaan todeta, että oksoniumionikonsentraatio on sama kuin hapon alkukonsentraatio ts. [ H3O ] c( HCl) 0,012 mol / l. Nyt märitelmän nojalla voidaan laskea liuoksen ph seuraavasti ph log 10[ H30 ] log10 0,012 1,9. Tehtävä 4. Suolahappoliuoksen konsentraatio on 0,006 mol/l. Määritä liuoksen ph. Tehtävä 5. Erään typpihappoliuoksen ph on 2,1. Määritä liuoksen [ HO 3 ].
Tehtävä 6. Eräässä rikkihappoliuoksessa konsentraatio on 0,004 mol/l. Määritä liuoksesta [ HO 3 ], ph ja [ OH ]. (Huom. Liuoksen hydroksidi-ionikonsentraatio voidaan selvittää veden ionitulon avulla.) PS. Osa tämän monisteen asioista ja tehtävistä ovat viitteellisesti samankaltaisia kuin kurssin MAA12 Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä käsiteltävät asiat ja tehtävät. Toki kurssilla käsitellään varsin laajasti myös ns. puhtaasti matemaattisia perusteita numeerisille menetelmille.