Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi
Jatkuvuuden avulla voimme määritellä käsitteen derivaatta. Määritelmä (Funktion differentioituvuus pisteessä) Funktio f (x) on differentioituva määrittelyalueensa sisäpisteessä x 0 jos erotusosamäärän f (x) f (x 0 ) x x 0, x x 0 raja arvo on olemassa, kun x x 0. Tällöin sanotaan, että kyseinen raja arvo on funktion f (x) derivaatta pisteessä x 0 eli f (x 0 ) = lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0. Usein merkitään x = x 0 + h, jolloin derivaatan määritelmä saa muodon f (x 0 ) = lim h 0 f (x 0 +h) f (x 0 ) h
Jos f (x) on differentioituva avoimen välin kaikissa pisteissä, sanotaan, että f (x) on differentioituva tällä välillä. Tunnetusti f (x) eli f (x):n defivaattafunktio on x:n funktio.
Jos f (x) on differentioituva avoimen välin kaikissa pisteissä, sanotaan, että f (x) on differentioituva tällä välillä. Tunnetusti f (x) eli f (x):n defivaattafunktio on x:n funktio. Oletetaan tunnetuksi erilaiset derivaatan merkinnät: f 0 = f (x), D(f ) = f (x) = df dx = f (1), D 2 (f ) = f (x) = d2 f = f (2), D 3 (f ) = f (x) = d3 f dx 2 dx 3 D n (f ) = dn f dx = f (n). n = f (3) ja
Jos f (x) on differentioituva avoimen välin kaikissa pisteissä, sanotaan, että f (x) on differentioituva tällä välillä. Tunnetusti f (x) eli f (x):n defivaattafunktio on x:n funktio. Oletetaan tunnetuksi erilaiset derivaatan merkinnät: f 0 = f (x), D(f ) = f (x) = df dx = f (1), D 2 (f ) = f (x) = d2 f = f (2), D 3 (f ) = f (x) = d3 f dx 2 dx 3 D n (f ) = dn f dx = f (n). n Jos erityisesti f (x) on jatkuva, sanotaan, että f (x) on jatkuvasti derivoituva/differentioituva. = f (3) ja
Jos f (x) on differentioituva avoimen välin kaikissa pisteissä, sanotaan, että f (x) on differentioituva tällä välillä. Tunnetusti f (x) eli f (x):n defivaattafunktio on x:n funktio. Oletetaan tunnetuksi erilaiset derivaatan merkinnät: f 0 = f (x), D(f ) = f (x) = df dx = f (1), D 2 (f ) = f (x) = d2 f = f (2), D 3 (f ) = f (x) = d3 f dx 2 dx 3 D n (f ) = dn f dx = f (n). n Jos erityisesti f (x) on jatkuva, sanotaan, että f (x) on jatkuvasti derivoituva/differentioituva. = f (3) ja Johdetaan malliksi derivoimissääntö D(x 3 ) = 3x 2 (liitutaululla)
Jos f (x) on differentioituva avoimen välin kaikissa pisteissä, sanotaan, että f (x) on differentioituva tällä välillä. Tunnetusti f (x) eli f (x):n defivaattafunktio on x:n funktio. Oletetaan tunnetuksi erilaiset derivaatan merkinnät: f 0 = f (x), D(f ) = f (x) = df dx = f (1), D 2 (f ) = f (x) = d2 f = f (2), D 3 (f ) = f (x) = d3 f dx 2 dx 3 D n (f ) = dn f dx = f (n). n Jos erityisesti f (x) on jatkuva, sanotaan, että f (x) on jatkuvasti derivoituva/differentioituva. = f (3) ja Johdetaan malliksi derivoimissääntö D(x 3 ) = 3x 2 (liitutaululla) Oletetaan tunnetuksi lukiosta tutut derivoimiskaavat, jotka kohta kerrataan. Tarkastellaan ensin derivaatan geometrista merkitystä. [Erillinen Maple animaatio]
Jos suoralle T (x) = f (x 0 ) + m(x x 0 ) on voimassa lim x x0 f (x) T (x) x x 0 = 0, sanomme, että suora T (x) on funktion f (x) tangenttisuora eli sivuajasuora pisteessä x = x 0.
Jos suoralle T (x) = f (x 0 ) + m(x x 0 ) on voimassa lim x x0 f (x) T (x) x x 0 = 0, sanomme, että suora T (x) on funktion f (x) tangenttisuora eli sivuajasuora pisteessä x = x 0. Esimerkiksi funktion f (x) = 1 2 x 2 + 3x + 2 tangenttisuora pisteessä x = 0 on T (x) = 3x + 2 [todistus liitutaululla]
Jos suoralle T (x) = f (x 0 ) + m(x x 0 ) on voimassa lim x x0 f (x) T (x) x x 0 = 0, sanomme, että suora T (x) on funktion f (x) tangenttisuora eli sivuajasuora pisteessä x = x 0. Esimerkiksi funktion f (x) = 1 2 x 2 + 3x + 2 tangenttisuora pisteessä x = 0 on T (x) = 3x + 2 [todistus liitutaululla] Harjoitustehtävänä on osoittaa, että tanttisuoran yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon T (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ).
Jos suoralle T (x) = f (x 0 ) + m(x x 0 ) on voimassa lim x x0 f (x) T (x) x x 0 = 0, sanomme, että suora T (x) on funktion f (x) tangenttisuora eli sivuajasuora pisteessä x = x 0. Esimerkiksi funktion f (x) = 1 2 x 2 + 3x + 2 tangenttisuora pisteessä x = 0 on T (x) = 3x + 2 [todistus liitutaululla] Harjoitustehtävänä on osoittaa, että tanttisuoran yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon T (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Osoittaaksemme, että funktion differentioituvuudesta seuraa funktion jatkuvuus, tarvitsemme seuraavaa Teoreema Jos f (x) on differentioituva pisteessä x 0, niin f (x) on muotoa f (x) = f (x 0 ) + [f (x 0 ) + E(x)](x x 0 ) ; lim x x0 E(x) = E(x 0 ) = 0
Edellisestä teoreemasta seuraa, että lim x x0 f (x) = f (x 0 ), joten Teoreema Jos f on differentioituva pisteessä x 0, niin f (x) on myös jatkuva pisteessä x 0
Edellisestä teoreemasta seuraa, että lim x x0 f (x) = f (x 0 ), joten Teoreema Jos f on differentioituva pisteessä x 0, niin f (x) on myös jatkuva pisteessä x 0 Käänteinen tulos ei yleisesti päde, esimerkkinä funktio f (x) = x pisteessä x 0 = 0 [liitutaululla].
Edellisestä teoreemasta seuraa, että lim x x0 f (x) = f (x 0 ), joten Teoreema Jos f on differentioituva pisteessä x 0, niin f (x) on myös jatkuva pisteessä x 0 Käänteinen tulos ei yleisesti päde, esimerkkinä funktio f (x) = x pisteessä x 0 = 0 [liitutaululla]. Teoreema (Derivoimiskaavoja) Jos f ja g ovat differentioituvia pisteessä x 0, niin myös f + g, f g, fg ja f g ovat differentioituvia pisteessä x 0, ja niille on voimassa derivoimissäännöt (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ) (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 ) f g (x 0) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) [g(x 0 )] 2 edellyttäen, että g (x 0 ) 0.
Todistetaan liitutaululla malliksi kaava D(fg) = f g + fg. Kaava on laskuharjoitus. f g (x 0) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) [g(x 0 )] 2
Todistetaan liitutaululla malliksi kaava D(fg) = f g + fg. Kaava f g (x 0) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) [g(x 0 )] 2 on laskuharjoitus. Oletamme nämä derivoimissäännöt lukiosta tunnetuksi, samoin kuin seuraavan, ilman todistusta esitettävän Teoreema (Derivoinnin ketjusääntö) Jos g ovat differentioituvia pisteessä x 0 ja f ovat differentioituvia pisteessä g(x 0 ), niin yhdistetty funktion fog(x) on differentioituvia pisteessä x 0, ja sille on voimassa derivoimissääntö (fog) (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 )
Todistetaan liitutaululla malliksi kaava D(fg) = f g + fg. Kaava f g (x 0) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) [g(x 0 )] 2 on laskuharjoitus. Oletamme nämä derivoimissäännöt lukiosta tunnetuksi, samoin kuin seuraavan, ilman todistusta esitettävän Teoreema (Derivoinnin ketjusääntö) Jos g ovat differentioituvia pisteessä x 0 ja f ovat differentioituvia pisteessä g(x 0 ), niin yhdistetty funktion fog(x) on differentioituvia pisteessä x 0, ja sille on voimassa derivoimissääntö (fog) (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ) Lasketaan liitutaululla esimerkkinä (fog) (x), kun f (x) = sin(x) ja g(x) = 1 x.
Derivoinnin ketjusääntön avulla voidaan johtaa myös funktion f (x) käänteisfunktion derivaatalle lauseke:
Derivoinnin ketjusääntön avulla voidaan johtaa myös funktion f (x) käänteisfunktion derivaatalle lauseke: Merkitään f 1 (x) = g(x), jolloin gof (x) = x.
Derivoinnin ketjusääntön avulla voidaan johtaa myös funktion f (x) käänteisfunktion derivaatalle lauseke: Merkitään f 1 (x) = g(x), jolloin gof (x) = x. Derivoidaan nyt puolittain, jolloin saadaan g (f (x 0 )) f (x 0 ) = 1.
Derivoinnin ketjusääntön avulla voidaan johtaa myös funktion f (x) käänteisfunktion derivaatalle lauseke: Merkitään f 1 (x) = g(x), jolloin gof (x) = x. Derivoidaan nyt puolittain, jolloin saadaan g (f (x 0 )) f (x 0 ) = 1. Siis g (f (x 0 )) = 1 f (x 0 )
Derivoinnin ketjusääntön avulla voidaan johtaa myös funktion f (x) käänteisfunktion derivaatalle lauseke: Merkitään f 1 (x) = g(x), jolloin gof (x) = x. Derivoidaan nyt puolittain, jolloin saadaan g (f (x 0 )) f (x 0 ) = 1. Siis g (f (x 0 )) = 1 f (x 0 ) Lasketaan liitutaululla esimerkkinä funktion f (x) = x 3 + 3x + 2 käänteisfunktion derivaatan arvo argumentin arvolla 2.
Derivoinnin ketjusääntön avulla voidaan johtaa myös funktion f (x) käänteisfunktion derivaatalle lauseke: Merkitään f 1 (x) = g(x), jolloin gof (x) = x. Derivoidaan nyt puolittain, jolloin saadaan g (f (x 0 )) f (x 0 ) = 1. Siis g (f (x 0 )) = 1 f (x 0 ) Lasketaan liitutaululla esimerkkinä funktion f (x) = x 3 + 3x + 2 käänteisfunktion derivaatan arvo argumentin arvolla 2. Samalla tavalla kuin määriteltiin toispuoleiset raja arvot, määritellään toispuoleiset derivaatat ja asetetaan Määritelmä (Funktion differentioituvuus suljetulla välillä) Funktio f (x) on differentioituva suljetulla välillä [a, b] jos se on differentioituva avoimen välin (a, b) jokaisessa pisteessä ja vastaavat toispuoleiset derivaatat f (a + ) ja f (b ) ovat olemassa.
Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset:
Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, a x a+1
Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x,
Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, x 2
Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3
Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset:
Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a,
Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a, D(log a x) = 1 x ln a,
Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a, D(log a x) = 1 x ln a, D(sinh x) = cosh x,
Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a, D(log a x) = 1 x ln a, D(sinh x) = cosh x, D(cosh x) = sinh x,
Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a, D(log a x) = 1 x ln a, D(sinh x) = cosh x, D(cosh x) = sinh x, D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x ja niiden johdannaiset:
Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a, D(log a x) = 1 x ln a, D(sinh x) = cosh x, D(cosh x) = sinh x, D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x ja niiden johdannaiset: D(tan x) = 1, D(cot x) = 1 cos 2 x sin 2 x.
Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a, D(log a x) = 1 x ln a, D(sinh x) = cosh x, D(cosh x) = sinh x, D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x ja niiden johdannaiset: D(tan x) = 1, D(cot x) = 1 cos 2 x sin 2 x. Funktion f (x) paikalliset ääriarvot on jo lukiossa totuttu etsimään määrittelyalueen reunoilta, derivaatan nolla kohdista ja epäjatkuvuuskohdista. Ne ovat funktion kriittisiä pisteitä.
Kerrataan derivoimissääntöjä: D(x a ) = ax a 1 ja tämän johdannaiset: D( 1 x ) = a, D( x) = 1 a x a+1 2 x, D( 1 x ) = 1, D( 1 ) = 2, jne. x 2 x 2 x 3 D(e x ) = e x, D(ln x ) = 1 x ja niiden johdannaiset: D(a x ) = a x ln a, D(log a x) = 1 x ln a, D(sinh x) = cosh x, D(cosh x) = sinh x, D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x ja niiden johdannaiset: D(tan x) = 1, D(cot x) = 1 cos 2 x sin 2 x. Funktion f (x) paikalliset ääriarvot on jo lukiossa totuttu etsimään määrittelyalueen reunoilta, derivaatan nolla kohdista ja epäjatkuvuuskohdista. Ne ovat funktion kriittisiä pisteitä. Muista kuitenkin: vaikka f (x 0 ) = 0, ei piste x 0 välttämättä ole funktion (paikallinen) ääriarvo, esim. f (x) = x 3 ja x 0 = 0.
Esimerkkinä funktion 2x 6 kun x [ 4, 2], f (x) = x 2 kun x ( 2, 2), x 6 kun x [2, 5] ääriarvot [liitutaululla].
Esimerkkinä funktion 2x 6 kun x [ 4, 2], f (x) = x 2 kun x ( 2, 2), x 6 kun x [2, 5] ääriarvot [liitutaululla]. Sovellutusten kannalta tärkeitä ovat seuraavat Teoreema (Rollen lause) Jos funktio f (x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b] ja differentioituva avoimella välillä (a, b) ja f (a) = f (b), niin on olemassa piste c (a, b) siten, että f (c) = 0.
Esimerkkinä funktion 2x 6 kun x [ 4, 2], f (x) = x 2 kun x ( 2, 2), x 6 kun x [2, 5] ääriarvot [liitutaululla]. Sovellutusten kannalta tärkeitä ovat seuraavat Teoreema (Rollen lause) Jos funktio f (x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b] ja differentioituva avoimella välillä (a, b) ja f (a) = f (b), niin on olemassa piste c (a, b) siten, että f (c) = 0. Teoreema (Derivaatan väliarvolause) Jos funktio f (x) on differentioituva suljetulla välillä [a, b], ja f (a) f (b) ja piste µ on arvojen f (a), f (b) välissä, niin on olemassa piste c (a, b) siten, että f (c) = µ.
Teoreema (Lagrangen väliarvolause) Jos funktio f (x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b] ja differentioituva avoimella välillä (a, b), niin on olemassa piste c (a, b) siten, että f (c) = f (b) f (a) b a.
Teoreema (Lagrangen väliarvolause) Jos funktio f (x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b] ja differentioituva avoimella välillä (a, b), niin on olemassa piste c (a, b) siten, että f (c) = f (b) f (a) b a. Emme todista näitä kolmea keskeistä analyysin perustulosta, toteamme vain, että ilman raja arvon käsitettä näitä (intuitiivisesti ajatellen) ilmeisiä tosiasioita ei voitaisi pitävästi todistaa.
Teoreema (Lagrangen väliarvolause) Jos funktio f (x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b] ja differentioituva avoimella välillä (a, b), niin on olemassa piste c (a, b) siten, että f (c) = f (b) f (a) b a. Emme todista näitä kolmea keskeistä analyysin perustulosta, toteamme vain, että ilman raja arvon käsitettä näitä (intuitiivisesti ajatellen) ilmeisiä tosiasioita ei voitaisi pitävästi todistaa. Paneutuminen raja arvon syvällisimpiin ominaisuuksiin johdattaa meidät L Hospital in sääntöön raja arvon laskemiseksi, johon tutustunne (ilman todistusta!) esimerkkien kautta.