Tiedon esittäminen ja päättely Kognitiivinen mallintaminen I Symbolinen mallintaminen 3. luento Tiedon esittäminen ja päättely Merkitys: kompositionaalisuus Malliteoria Loogisen päättelyn malleja Tiedon esittäminen: ontologiat Merkitys Kieli viittaa jollain tavalla kielen ulkoiseen todellisuuteen. Lauseen kirjaimellinen merkitys kertoo, mihin asiaan, ilmiöön tai tapahtumaan lause viittaa. Kielen teorian lisäksi tarvitsemme teorian kielen ulkoisesta todellisuudesta, "maailmasta" teorian kielen suhteesta kielen ulkoiseen todellisuuteen Merkitys Merkitysteoria jakaantuu kahteen komponenttiin: primitiivisten ilmaisujen merkitys monimutkaisten ilmaisujen merkitys Mitä ovat primitiiviset ilmaisut? sanat? morfeemit? Saara Huhmarniemi 1
Komposationaalisuus Esimerkiksi termin "ruskea lehmä" merkitys määräytyy termien "ruskea" ja "lehmä" merkitysten perusteella: RUSKEA_LEHMÄ(x) jos ja vain jos LEHMÄ(x) ja RUSKEA(x) Säännöllä voidaan tuottaa merkitys äärettömälle ilmaisujoukolle. Kompositionaalisuus "ruskea lehmä" syntaktinen sääntö, joka yhdistää AP:n nominipääsanaansa (yksinkertaisesti: [A N]) semanttinen sääntö, joka vastaa loogista jafunktiota. Tässä esimerkissä syntaktinen ja semanttinen sääntö yhdistyvät. Tätä ominaisuutta, että kielellä ja maailmalla on hyvin samanlainen rakenne kutsutaan kompositionaalisuudeksi. Kompositionaalisuus Kompleksisen ilmauksen merkitys on sen osien merkitysten ja niiden yhdistämiseen käytetyn syntaktisen säännön funktio. (Frege) Gottlob Frege (1848-1925), Alfred Tarski (1901/2-83), Richard Montague (1930-71).. Lisäksi: merkitykseen ei vaikuta mikään muu seikka. Esimerkiksi lausekonnektiivien (ja, tai, josniin, että, jotta,..) semantiikka voidaan kuvata kompositionaalisesti. Kompositionaalisuus Montaguen mukaan syntaksi ja semantiikka ovat homomorfisessa suhteessa keskenään. Ajatus on, että jokaista syntaktista operaatiota vastaa jokin semanttinen operaatio. Kielioppi on merkityksen "peilikuva". Saara Huhmarniemi 2
Kompositionaalisuus Semantiikka ilman kompositionaalisuusperiaatetta? Kompleksisen ilmaisun merkitykseen vaikuttaa myös jokin muu kuin ainoastaan sen osien merkitykset ja yhdistelysäännöt Ilmaisun merkitys voi riippua esimerkiksi kontekstista. Tällöin lauseen totuusarvo eli merkitys voi muuttua vaikka ilmaisu olisi korvattu synonyymillään. Tulkintafunktio Pekka uskoo että 1+1 on kaksi Pekka uskoo että 10-8 on kaksi --> ei kompositionaalinen ilmaus Primitiivisten ilmaisujen merkitys: tulkintafunktio µ yhdistää ilmaisun kielenulkoiseen olioon tai asiaan, johon se viittaa. nimeäminen, esim. Pekka kategoriat ja käsitteiden käyttö, esim. ihminen Tulkintafunktio Termiä, joka ilmaisee käsitteen tai kategorian, kutsutaan predikaatiksi. Predikaatin ilmaisema joukko on sen ekstensio. Kun tunnemme lauseen subjektin ja predikaatin, voimme määrittää lauseen totuuden: jos a ilmaisee lauseen subjektin ja P predikaatin, niin lause Pa on tosi jos ja vain jos µ(a) kuuluu joukkoon µ(p). Malliteoria Predikaattilogiikan lauseen totuusarvo riippuu sen vakioiden (kuten a) ja predikaattien (P) semanttisista arvoista sekä kontekstista. Kun nämä on hyvin määritelty, sanotaan että meillä on predikaattilogiikan malli. Malli = joukko olioita (universumi) yhdessä vakio- ja predikaattisymbolien tulkintojen kanssa. Määritellään predikaattilogiikan kieli K= {F(x), M(x),L(x,y),s,a,m,b,p,t}. Tarkastellaan kielen mallia (D, µ). Saara Huhmarniemi 3
D={Sokrates, Aristoteles, Plato, Mozart, Beethoven, Tolstoi} µ(s)=sokrates, µ(a)=aristoteles, µ(m)=mozart, µ(b)=beethoven, µ(p)=plato, µ(t)=tolstoi µ(f)={sokrates,aristoteles,plato} µ(m)=d µ(l)={(sokrates,sokrates),(sokrates,aristoteles), (Mozart,Beethoven),(Beethoven,Mozart),(Tolstoi,Plato), (Plato,Mozart),(Aristoteles,Tolstoi)} Mitkä näistä ovat mallissa totta, mitkä epätotta? F(s),F(a),F(m),F(b),F(t),M(s),M(b),L(s,s),L(t,p), L(a,s),L(m,m) Malliteoria Esimerkiksi lauseet "kaikki kissat ovat nisäkkäitä" "jotkut kissat ovat nisäkkäitä" Tulkitaan mallissa, joka käsittelee reaalimaailmaa (universe of discourse) Tietokanta Rakennetaan tietokanta loogisista lausekkeista. TELL(KB, kuningas(pekka)) TELL(KB, kuningas(x) --> henkilö(x)) ASK(KB, kuningas(pekka)) ASK(KB, henkilö(pekka)) ASK(KB, ) Päättely Jos tietokannan aksioomat kokonaan ja oikein kuvaavat maailman toiminnan ja havainnot, niin loogisen päättelyn avulla saavutetaan vahvin kuvaus maailman tilasta annetuilla havainnoilla. Saara Huhmarniemi 4
Robotti on matkalla Aradista Bukarestiin. Perustoiminto on: mene(x,y), joka tarkoittaa siirtymistä kaupungista x kaupunkiin y. SuoraReitti(x,y), tarkoittaa että kaupungista x on reitti kaupunkiin y. Tämä tieto on jo tietokannassa. Anna looginen muotoilu robotin alkutilalle. Anna looginen kysely, jolla saat selville mahdolliset polut lopputilaan. Kirjoita lause, joka kuvaa mene-toiminnon. Päättely Logiikassa kolme päättelyn muotoa: induktiivinen päättely Tunnetuista faktoista yleistetään sääntö. Voi johtaa epätosiin lopputuloksiin. deduktiivinen päättely Tunnetuista faktoista tehdään johtopäätös säilyttäen totuus. abduktiivinen päättely Lopputuloksesta johdetaan sitä selittäviä alkuehtoja, parasta selitystä. Ei säilytä totuutta. Ihmisen deduktiivinen päättely Tarkastellaan muutamaa päättelyyn liittyvää ongelmatyyppiä Transitiivinen päättely taller(a,b) & shorter(c,b) -->???(A,C) Päättely ehtolauseista IF pimeää THEN katuvalot ovat päällä & katuvalot ovat päällä -->??? Syllogistinen päättely Kaikki leijonat ovat petoja & Kaikki leijonat ovat kissoja --> onko petojen ja kissojen välillä relaatiota Transitiivinen päättely visuaalista vai verbaalista päättele A:n ja C:n suhde: A on parempi kuin B ja C on huonompi kuin B B on huonompi kuin A ja B on parempi kuin C C on huonompi kuin B ja B on huonompi kuin A A on parempi kuin B ja B on parempi kuin C Järjestyksellä ja käytetyillä sanoilla on väliä. Saara Huhmarniemi 5
Päättely ehtolauseesta Jos P niin Q piirrä totuustaulu Jos P niin Q ymmärretään yleensä muodossa: Jos P niin Q & jos Q niin P Eri asioiden päättely vie ihmisiltä eri ajan: Jos P niin Q & P on totta --> Q? Jos P niin Q & Q on epätotta --> P? Syllogistinen päättely kahdesta joukko-opillisesti hyvinmääritellystä alkuehdosta päätellään vastaavanlainen lopputulos, esim: Jotkut taiteilijat ovat baarimikkoja Kukaan baarimikko ei ole kemisti ------ Jotkut taiteilijat eivät ole kemistejä Syllogismi on varhaisin looginen systeemi (Aristoteles) Syllogistinen päättely Syllogismien ratkaisu ei vaadi harjoittelua, joten niitä voidaan helposti tutkia. Ihmiselle osa syllogismeista on helppoja kaikki A:t ovat B:tä kaikki B:t ovat C:tä ---- kaikki A:t ovat C:tä. osa vaikeita mikään A ei ole B kaikki B:t ovat C:tä ----?? Syllogistinen päättely Myös tässä jokin päättely tehdään helpommin kuin toinen: jotkut A:t ovat B:tä kaikki B:t ovat C:tä --- jotkut A:t ovat C:tä Sen sijaan yleensä ei päätellä yhtä validia johtopäätöstä: jotkut C:t ovat A:ta Vaikeus voi riippua ongelmasta, johon syllogismi liittyy Saara Huhmarniemi 6
Syllogistisen päättelyn mallit Mentaaliset mallit ympyrädiagrammit (Euler circles) symbolitaulukot Sääntöpohjaiset mallit sama lähestymistapa kuin loogisessa päättelyssä Tekevät vain valideja johtopäätöksiä ja kattavat koko päättelykyvyn. Päättelyvirheet selitetään muistirajoituksilla ja sopivalla vinoumalla (bias) Mentaalisten mallien teoria Mentaalisten mallien teoria (Johnson- Laird & Byrne 1991) Alunperin tarkoitettu laajemmaksi teriaksi, kuitenkin keskittyi syllogismeihin. Malli perustuu joukkoihin yksilöitä, joilla on eri ominaisuusyhdistelmiä. Mentaalisten mallien teoria malliin lisätään yksilöitä jotka täyttävät alkuehdot: jotkut A:t ovat B:tä a a b b... kaikki B:t ovat C:tä a b c a b c... tämä ei riitä päättelyyn Mentaalisten mallien teoria jotkut A:t ovat B:tä & kaikki B:t ovat C:tä lisätään malliin yksilöitä, kuitenkin pitäen alkuehdot valideina: a b c a b c b c a c Voidaan päätellä: jotkut A:t ovat C:tä ja jotkut C:t ovat A:ta. Saara Huhmarniemi 7
Ympyrädiagrammit Ympyrädiagrammit Ympyrät, jotka esittävät joukkoa yksilöitä. (Euler Circles, Leonhard Euler 1707-1783, Gottlieb Wilhelm von Leibniz 1646-1716) Diagrammin eri alueet esittävät yksilöitä, jotka ovat mahdollisia alkuehtojen perusteella. Ovat olemassa ainakin yhdessä loogisessa mallissa. Lisäksi merkitään niitä alueita, jotka ovat välttämättömiä Ovat olemassa kaikissa malleissa. Ympyrädiagrammit Tehtävä Anna ympyrädiagrammi alkuehdoille: Jotkut taiteilijat ovat baarimikkoja Kukaan baarimikko ei ole kemisti Miten päättelet johtopäätöksen? Jotkut taiteilijat eivät ole kemistejä Anna ympyrädiagrammit: 1. Mikään A ei ole B ja mikään B ei ole C 2. Mikään A ei ole B ja jokin B ei ole C Saara Huhmarniemi 8
Teorioiden vertailua Mentaalisiin malleihin ja ympyrädiagrammeihin perustuvat päättelyteoriat esiteltiin tässä vain osittain. Molemmat ovat malliteoreettisia, eli käsittelevät päättelyä semanttisesta näkökulmasta. Malleilla on erilainen totuusteoreettinen lähtökohta päättelyyn. Tehtävä Vertaile teorioita, mitä eroja niillä on? Mitä loogista päättelyä tekevältä yksilöltä odotetaan? Miten teoriat yleistyvät uusiin tehtäväalueisiin? Saara Huhmarniemi 9