LEVYRESONTTORIN MTEMTTINEN LTTMLLINNUS Matti. Ranta 1, Petri Ranta, Laila Hosia 3 1 alto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos PL 11100, 00076 alto University matti.ranta@aalto.fi Waveray Friitalantie 13B 8400 Ulvila petri.ranta@waveray.fi 3 Nallenpolku C 38 0110 Espoo laila.hosia@gmail.com Tiivistelmä Levyresonaattoria käytetään vaimentamaan erityisesti bassoäänten resonanssia huonetilassa. Resonaattorin toimintaa voidaan teoreettisesti tarkastella soveltamalla yleisesti tunnettua laatan kimmopinnan biharmoonista osittaisdifferentiaaliyhtälöä resonaattorin kansilaatan värähtelyyn. Mallinnuksessa oletetaan resonaattorin olevan ilmatäytteinen laatikkomainen kotelo, paineen vaikuttavan kohtisuorasti kanteen eikä painesiirtymiä kannen suunnassa oteta huomioon. Kannen reunat oletetaan joko jäykiksi tai nivelkiinnitetyiksi. Taipuman osittaisdifferentiaaliyhtälö voidaan ratkaista muuttujat erottamalla. Ratkaisusta nähdään, mikä osuus on kotelon kansirakenteen värähtelyllä ja mikä osuus on kotelon sisällä olevan ilman värähtelyllä resonaattorin ominaisvärähtelyyn. Kotelon sisällä oleva eristemateriaali ja kannen suuntaiset voimat vaikuttavat käytännössä resonaattorin toimintaan. Mikäli kansi on jännitetty kalvo, laattateoriaa ei voi soveltaa, koska ominaisvärähtely riippuu kalvon vetojännityksistä 1 JOHDNTO Levyresonaattoria käytetään vaimentamaan erityisesti bassoäänten resonanssia huonetilassa. Levyresonaattori on yleensä suorakulmainen laatikkomainen kotelo, jonka sisällä on suljetussa tilassa ilmaa ja mahdollisesti myös jotain eristemateriaalia.
LEVYRESONTTORI Kun ääniaalto kohtaa resonaattorin kannen, rupeaa kansi värähtelemään, mikä saa myös kotelon sisällä olevan ilman värähtelemään. Kannen ja ilman värähtely yhdessä määräävät levyresonaattorin ominaisvärähtelyn. Olettamalla, että äänenpaine kohdistuu kotelon kanteen kohtisuoraan eikä ilmanpaineen kannensuuntaisia siirtymiä laatikon sisällä tarvitse ottaa huomioon, ilmatäytteiseen levyresonaattoriin voidaan soveltaa yleistä laattateoriaa [1]. LTTYHTÄLÖ Levyresonaattorin ominaisvärähtelyn teoreettisen tarkastelun lähtöyhtälöksi voidaan ottaa laatan kimmopinnan differentiaaliyhtälö ([1] kaava (917)). Valitaan koordinaattiakseleiksi kotelon kannen kohtisuorat symmetria-akselit. Kannen mitat ovat a b, kotelon syvyys d sekä kannen materiaalin tiheys ja paksuus h. Kansilaatan kimmokerroin on E. Laatan jäykkyysluku D saadaan kaavasta ([1] kaava (914)). D Eh 3 1 1 on suppeumakerroin eli Poissonin vakio. Kotelon kantta kohottava kokoon puristuneen ilman paine on c d w ([]), jossa w on laatan taipuma, c on äänen nopeus ilmassa ja on ilman tiheys. Kotelon kannen taivutusvärähtelyistä ([1] 45) aiheutuu hitausvoima h w t. Materiaalin taivutuksesta aiheutuva vaimennus h w t referoidaan resonanssikotelon alimpaan ominaiskulmanopeuteen, on vaimennusvakio. Sijoittamalla termit yleiseen yhtälöön ([1] kaava (917)) saadaan levyresonaattorin ominaisvärähtely-yhtälö. (1) 4 4 4 w w c D w w w w 0 4 4 t t hd h x x y y () 3 RESONTTORIN OMINISVÄRÄHTELY J MUUTTUJIEN EROTTMINEN Ominaisvärähtely-yhtälö ratkaistaan erottamalla muuttujat ([3] kappale C),, T t X xy y w t x y (3) Sijoittamalla kaavaan () ja järjestelemällä termejä saadaan T T c D X X Y Y 0 T T hd h X X Y Y (4) Lähteen [4] perusteella päädytään, että symmetriasyistä ratkaisu esim. X:lle on
LEVYRESONTTORI cosh cos X x x a B x a (5) Tässä on ns. separoimisparametri, jonka arvo määrittyy reunaehdoista. 4 REUNEHDOT Tapaus 1 on Jäykästi kiinnitetty laatan reuna. ([1] 31 k. (94)) Taipuman reunalla tulee hävitä X a 0 B cos cosh Kaltevuuden tulee reunoilla hävitä Xa 0 B sin sinh Ehdot toteutuvat jos parametri on yhtälön tan tanh 0 juuri, ja n juuret ovat 1,365 n 1 4 kun n 3,5,7,... (6) Lisäksi jos ehto X 0 1 toteutuu, ratkaisu on sin cosh sinh cos sin sinh X x x a x a (7) Tapaus on Niveltyvästi kiinnitetty laatan reuna. ([1] 31 k. (95a)) Taipuman reunalla tulee hävitä X a 0 B cos cosh Momentin tulee reunoilla hävitä eli X a 0 B cos cosh. Koska vain nolla on vastalukunsa suuruinen, on parametri yhtälön cos 0 juuri, ja juuret ovat 1 1,571 n n1 n 1,,3,... (8) Lisäksi jos ehto X 0 1 toteutuu, ratkaisu on cos x a X x (9) 5 ERI TEKIJÖIDEN VIKUTUS OMINISKULMNOPEUTEEN r t Sijoitetaan kaavaan (4) yleiset koefunktiot T t e /, X x e xa / ja Tällöin saadaan ns. separoimislauseke, jossa termien merkitys selviää Y y e yb.
LEVYRESONTTORI c D 1 0 hd h a b 0 1 1 r r r r vaimennusosuus i k 0 (10) Vaimennuksen vaikutus värähtelyihin saadaan yhtälön (10) ratkaisusta r t i 1, jolloin T t e sin t 1 laskee ja amplitudi pienenee. eli värähtelyjen kulmanopeus Resonaattorissa voi esiintyä yliharmonisia värähtelyjä ja eri värähtelymuotojen resonointia, mitä yhtälö (10) ei huomioi. 6 LSKETUT ESIMERKKITPUKSET Laattamallinnuslausekkeesta (10) lasketaan ensimmäisen moodin vaimentumattoman värähtelyn ominaisarvo muutamalle erilaiselle levyresonaattorille. Laskelmissa käytetyt vakioarvot: ilman tiheys: -3 1,196 kgm äänennopeus: -1 c 345,0 ms Poissonin vakio 0,3 ensimmäiset moodit: jäykkä reuna 1,365 nivelreuna 1 1,571 Esimerkki I Kansi on kumimatto, h 0,005 m kotelo a 3,00m kansimateriaali 1, 10 kgm 3-3 b 0,70m E 6 5,0 10 Pa D d 0,15m 3 5710 Nm - i s jäykkä 158000 nivel 158000 s - k 4 - s f 158000 63Hz 158000 63Hz Esimerkki II Kansi on puolikova lastulevy, kotelo kansimateriaali a,80 m 0,7 10 kgm 3-3 b 0,80 m, 1,4m E 9 4,0 10 Pa d 0, 05m, 0,10m, 0,15m D 633Nm
LEVYRESONTTORI b 0,8 m b 1,4 m - d 0,05m i s jäykkä 340000 nivel 340000 - - k s s 108000 448000 1000 361000 f 107 Hz 96Hz - - k s s 15000 355000 3000 343000 f 95Hz 93 Hz d 0,10m jäykkä nivel 170000 170000 108000 1000 78000 191000 84 Hz 70 Hz 15000 3000 185000 173000 68Hz 66 Hz d 0,15m jäykkä 113000 nivel 113000 108000 1000 1000 134000 75Hz 58Hz 15000 3000 18000 116000 57 Hz 54 Hz 7 JOHTOPÄÄTÖKSET Todelliset kiinnitykset ovat jossain ääritapausten jäykkäkiinnitys ja nivelkiinnitys välillä. Kiinnityksen jäykkyys nostaa ominaisvärähtelytasoa tuntuvasti, kun kansilevy on jäykkä. Ilmavälin pienentäminen nostaa värähtelytasoa. Kiinnitysvälin kasvattaminen vähentää kannen kiinnityksen vaikutusta. Käytännössä levyresonaattorin toimintaan vaikuttaa muitakin tekijöitä kuin mitä teoreettisessa laattamallinnuksessa on otettu huomioon. VIITTEET [1] rvo Ylinen, Kimmo- ja lujuusoppi, osa II, Neljäs luku WSOY Porvoo 1970. [] M. Feuerbacher, The resonance frequency of a membrane absorber. pril 005. http://dogbreath.de/misc/planebsorberresonance.pdf [3] Väisälä, TKK, Moniste n:o 141, Matematiikka IV, Jälkimmäinen osa, Helsinki 1956. [4] EqWorld Biharmonic Equation http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde503.pdf