Taskuvit Pythagraan lause 133. Pythagraan lause surakulmaiselle klmille: a + b = c a c a) Klmin Pythagraan lauseita vat b ) = 6 + 7 3) 6 + 7 =. b) Klmin Pythagraan lauseita vat 1) u = s + t 3) t + s = u. 134. a) Pythagraan lause: = 6,8 + 9,6 = 138,4 = ± 138,4 Negatiivinen juuri ei käy. = 11,7643 11,8 (m) b) Pythagraan lause: + 18 = 1 + 34 = 441 34 = 117 = ± 117 Negatiivinen juuri ei käy. = 10,8166 11 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 5
c) Pythagraan lause: + 19,7 = 30,1 + 388,09 = 906,01 388,09 = 517,9 = ± 517,9 Negatiivinen juuri ei käy. =,7578,8 (cm) 135. Klmi n surakulmainen, js sille pätee Pythagraan lause. a) Kateettien neliöiden summa: 6 + 8 = 100 Hyptenuusan neliö: 10 = 100 Pythagraan lause pätee, jten klmi n surakulmainen. b) Kateettien neliöiden summa: + 1,5 = 6,5 Hyptenuusan neliö:,5 = 6,5 Pythagraan lause pätee, jten klmi n surakulmainen. c) Kateettien neliöiden summa: 3 + 1 = 153 Hyptenuusan neliö: 15 = 5 Kska 153 5, Pythagraan lause ei päde eikä klmi le surakulmainen. 136. Lävistäjä n surakulmaisen klmin hyptenuusa. = 4, + 4, = 17,64 + 17,64 = 35,8 = ± 35,8 Negatiivinen juuri ei käy. = 5,9396 5,9 (cm) 4, cm 4, cm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 53
137. Surakulmin mutisen hiekkakentän mitat vat 100 m 150 m. Ukri kävelee surakulmin lävistäjää pitkin: 100 m = 150 + 100 150 m = 500 + 10 000 = 3 500 = ± 3 500 Negatiivinen juuri ei käy. = 180,775 180 (m) Aarni kävelee 150 m + 100 m = 50 m. Ukrin matka n 50 180 = 0,8 = 8 % 50 lyhyempi kuin Aarnin. 138. a) Kateettien neliöiden summa: 7 + 8 = 10 Hyptenuusan neliö: 11 = 11 10 10, jten luvut eivät tteuta Pythagraan lauseen ehta. b) Kateettien neliöiden summa: 4 + 10 = 676 Hyptenuusan neliö: 6 = 676 Luvut tteuttavat Pythagraan lauseen ehdn. c) Kateettien neliöiden summa: 35 + 46 = 3341 Hyptenuusan neliö: 58 = 3364 3341 3364, jten luvut eivät tteuta Pythagraan lauseen ehta. 139. Näyttöpäätteen mitat vat 41 cm 6 cm. Merkitään päätteen lävistäjää :llä. = 41 + 6 = 1 681 + 676 = 357 41 cm 6 cm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 54
= ± 357 Negatiivinen juuri ei käy. = 48,5489 (cm) 1 tuuma n,54 cm. Päätteen lävistäjä n tuumina 48,5489 = 19,11... 19' '.,54 140. Digikameran nestekidenäyttö n,5 tuumaa. Sivujen pituuksien suhde n 4 : 3. Muutetaan näytön halkaisijan pituus senttimetreiksi.,5 =,5,54 = 6,35 (cm) Merkitään sivujen pituuksia 3:llä ja 4:llä. Pythagraan lauseesta saadaan: (4) + (3) = 6,35 4 4 + 3 3 = 40,35 16 + 9 = 40,35 5 = 40,35 : 5 = 1,619 = ± 1,619 Negatiivinen juuri ei käy. = 1,7 (cm) Sivut vat 3 = 3 1,7 = 3,81 3,8 (cm) 4 = 4 1,7 = 5,08 5,1 (cm). 6,35 4 3 141. Tasasivuisen klmin sivun pituus n 16 cm. Krkeusjana pulittaa klmin kannan ja jakaa klmin kahdeksi surakulmaiseksi klmiksi. h + 8 = 16 h + 64 = 56 64 h = 19 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 55
h = ± 19 Negatiivinen juuri ei käy. = 13,8564 14 (cm) 14. Kissa kulkee 94 askelta phjiseen, kääntyy sitten itään ja kulkee 73 askelta. 73 = 94 + 73 = 8 836 + 5 39 = 14 165 = ± 14 165 Negatiivinen juuri ei käy. = 119,01 10 askeleen päässä 94 143. Merkitään pisteiden A = (, 5) ja B = ( 3, 1) välistä etäisyyttä :llä. = 4 + 5 = 41 = ± 41 Negatiivinen juuri ei käy. = 6,4031 6,4 144. Surakulmaisen klmin tinen kateetti n 5,0 cm. Hyptenuusa n 1,0 cm pitempi kuin tinen kateetti. Merkitään tista kateettia :llä. Sillin hyptenuusa n + 1,0. Pythagraan lauseesta saadaan: + 5,0 = ( + 1,0) + 5,0 = ( + 1,0)( + 1,0) + 5,0 = + + + 1,0 5,0 = + 1,0 1 = 4,0 : = 1,0 (cm) 5,0 + 1 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 56
145. Sänky n 10 cm leveä ja,10 m = 10 cm pitkä. Huneen leveys n,40 m ja pituus 3,90 m. Lasketaan sängyn lävistäjä. = 10 + 10 = 58 500 10 cm = ± 58 500 = 41,86 4 (cm) Negatiivinen juuri ei käy. 10 cm 4 cm =,4 m Kska,4 m n suurempi kuin huneen leveys,40 m, Eelis ei vi kääntää sänkyään lattiaa pitkin. 146. Pienen taulun takana n kireä lanka, jnka pituus n 13,0 cm. Kun taulu pannaan rikkumaan naulasta, se laskeutuu 1,0 cm:n. = 1,0 + 6,5 = 43,5 = ± 43,5 Negatiivinen juuri ei käy. = 6,5764 (cm) Langan kknaispituus ripustuksessa: = 6,5764 = 13,158 13,15 (cm) Langan venymä n 13,15 13,0 = 0,15 (cm) 0,15 cm = 1,5 mm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 57
147. Pythagraan lauseesta saadaan: ( 5) + ( 10) = ( 5)( 5) + ( 10)( 10) = 5 5 + 5 + 10 10 + 100 = 30 + 15 = 0 a = 1, b = 30 ja c = 15 = ( 30) ± ( 30) 4 1 15 1 30 ± 400 = 30 ± 0 = b ± = b 4ac a 30 + 0 30 0 = = 5 tai = = 5 (ei käy, kska kateetin pituus ei vi lla pienempi kuin nlla) Kateettien pituudet vat 5 = 5 5 = 0 10 = 5 10 = 15. 148. Surakulmaisen klmin kateettien pituudet vat 7a ja 14a. Hyptenuusan pituus saadaan Pythagraan lauseesta. = (14a) + (7a) = 196a + 49a = 45a ± = 45a Negatiivinen juuri ei käy. 7a 14a = a 45 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 58
149. Tasakylkisen klmin kyljen pituus n klme kertaa niin suuri kuin klmin krkeus. Kannan pituus n 80 cm. Lasketaan klmin krkeus Pythagraan lauseella. (3) = + 40 9 = + 1 600 8 = 1 600 : 8 = 00 = ± 00 Negatiivinen juuri ei käy. = 14,141 14,14 (cm) Klmin pinta-ala n 80 3 A = a h = 80 14,14 = 565,6 570 (cm ) 570 cm = 5,7 dm. 150. Leppäkerttupariskunta kulkee huneen lattian nurkasta keskellä katta levaan lamppuun. Naaras kävelee lyhyintä reittiä, ja urs lentää. Hune n 3,30 m leveä, 5,10 m pitkä ja,90 m krkea. Urksen lentreitti (sininen) Lasketaan y. z,90,90 y =,55 + 1,65 y 1,65 3,30 y = 9,5 5,10 Lasketaan. = y +,90 = 9,5 + 8,41 = 17,635 = ± 17,635 Negatiivinen juuri ei käy. = 4,1994 4,0 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 59
Naaraan kävelyreitti. Kuvassa reitti n avattu tasn. z 1,65 m,90 m,55 m Lasketaan z. z =,55 + (,90 + 1,65) z = 6,505 + 0,705 z = 7,05 z = ± 7,05 Negatiivinen juuri ei käy. Naaraan kävelymatka n 5, 4,0 4,0 z = 5,158 5, (m) = 0,48... 4 % pidempi. 151. a) = 10 + 83,10 m = 10 cm = 50 989 = ± 50 989 Negatiivinen juuri ei käy. = 5,80 30 (cm) 30 cm =,3 m b) Lasketaan tikkaiden krkeus h. h + 60 = 154 h + 3 600 = 3 716 3600 h = 0 116,10 m h 10 cm 83 cm 154 cm h = ± 0 116 Negatiivinen juuri ei käy. 14 cm = 1,4 m h = 141,83 14 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 60
15. Klmi n surakulmainen, js sille pätee Pythagraan lause. a) Kateettien neliöiden summa: 9,5 + 8,0 = 154,5 Hyptenuusan neliö: 11,5 = 13,5 Kska 154,5 13,5, Pythagraan lause ei päde eikä klmi le surakulmainen. b) Kateettien neliöiden summa: 4,5 + 6,0 = 56,5 Hyptenuusan neliö: 7,5 = 56,5 Pythagraan lause pätee, jten klmi n surakulmainen. c) Kateettien neliöiden summa: 0 + 48 = 704 Hyptenuusan neliö: 5 = 704 Pythagraan lause pätee, jten klmi n surakulmainen. 153. Neliön mutisen kasvimaan sivun pituus n,50 m. Kasvimaan lävistäjälle istutetaan krkuksen sipuleita 5 cm:n välein. Lasketaan kasvimaan lävistäjän pituus Pythagraan lauseella. =,50 +,50 = 1,5 = ± 1,5 Negatiivinen juuri ei käy. = 3,5355 3,54 (m) 3,54 m = 354 cm Sipuleita mahtuu lävistäjälle,50 m,50 m 354 = 70,8 eli 70 sipulia. 5 154. Lumi Kins alitti aarteen piilttamisen suuren kuusen juurelta. Hän kulki 75 askelta etelään, kääntyi sitten länteen ja kulki 37 askelta eteenpäin, kääntyi tämän jälkeen vielä etelään ja kulki 16 askelta. 75 + 16 = 91 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 61
= 37 + 91 = 9 650 = ± 9 650 Negatiivinen juuri ei käy. 75 = 98,3 98 askeleen päässä 16 155. Tasakylkisen klmin kannan pituus n 4 cm ja kyljen pituus n 18 cm. Klmin krkeus h lasketaan Pythagraan lauseella. h + 1 = 18 h + 144 = 34 144 h = 180 h = ± 180 Negatiivinen juuri ei käy. h = 13,41 13 (cm) 156. a) 37 h 4 18 Pisteiden välinen etäisyys d saadaan Pythagraan lauseesta. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
d = (7 + 6) + (1 + 4) d = 13 + 5 d = 194 d = ± 194 Negatiivinen juuri ei käy. d = 13,98 13,9 b) Pisteen A = (1, 7) etäisyys rigsta: d = 7 + 1 d = 50 d = ± 50 Negatiivinen juuri ei käy. d = 7,0716 7,07 Pisteen B = ( 4, 6) etäisyys rigsta. d = 4 + 6 d = 5 d = ± 5 Negatiivinen juuri ei käy. d = 7,111 7,1 Piste A n lähempänä riga. 157. Tasakylkisen klmin krkeus n 18 cm ja kanta 10 cm. =18 + 5 = 349 = ± 349 Negatiivinen juuri ei käy. = 18,6815 18,68 (cm) Klmin piiri n 10 + 18,68 = 47,36 47 (cm). 18 cm 5 cm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 63
158. Jalkapallkentän sivujen pituuksien suhde n 7 : 5. Kentän lävistäjän pituus n 19 m. (5) + (7) = 19 5 + 49 = 16 641 74 = 16 641 : 74 = 4,878 19 7 5 = ± 4,878 Negatiivinen juuri ei käy. = 14,99 15 (m) Sivut vat 5 = 5 15 = 75 (m) 7 = 7 15 = 105 (m). 159. Klmin sivujen pituudet vat 8, 8 ja 1. Lasketaan klmin krkeus. h + 6 = 8 h + 36 = 64 36 h = 8 h = ± 8 Negatiivinen juuri ei käy. 8 h 8 h = 5,9150 5,91 (cm) Klmin pinta-ala n 1 1 8 A = = 6 8 = 31,74... 3. Likiarvilla: 1 5,91 A = = 31,746 3. 160. 7-tuumaisen laajakuvatelevisin sivujen pituuksien suhde n 16 : 9. Muutetaan näytön halkaisijan pituus senttimetreiksi. 7 = 7,54 = 18,88 (cm) Merkitään sivujen pituuksia 9:llä ja 16:llä. Pythagraan lauseesta saadaan: Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 64
(9) + (16) = 18,88 81 + 56 = 33 445 337 = 33 445 : 337 = 99,433 18,88 16 9 = ± 99,433 Negatiivinen juuri ei käy. = 9,96 (cm) Sivut vat 9 = 9 9,96 = 89,64 90 (cm) 16 = 16 1,7 = 159,36 159 (cm). 161. Surakulmaisen klmin tinen kateetti n 10,0 cm. Tisen kateetin pituus n,0 cm lyhyempi kuin hyptenuusa. ( + ) = + 10 ( + )( + ) = + 10 10 + + + + 4 = + 100 4 4 = 96 : 4 = 4 (cm) 16. Tasakylkisen klmin piiri n 98 cm. Klmin krkeus n 7 cm. + y = 98 = 98 y Surakulmaisen klmin lyhyempi kateetti n y 7 y 98 y = 49 y. Pythagraan lause: (49 y) + 7 = y (49 y)(49 y) + 7 = y 401 49y 49y +y + 49 = y y 49 401 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 65
98y = 450 : 98 y = 5 (cm) Kanta n = 98 y = 98 5 = 48 (cm). 163. Punaisesta askartelupunksesta tehdään julukrttiin tnttulakki, jka n tasakylkinen klmi. Tnttulakin alasa n 1,0 cm lyhyempi kuin krkeus. Lakin reunan pituus n 6,5 cm. Lasketaan krkeus h Pythagraan lauseella. Surakulmaisen klmin lyhyempi kateetti n h 1 = 0,5h 0,5. Pythagraan lause: (0,5h 0,5) + h = 6,5 (0,5h 0,5)(0,5h 0,5)+ h = 6,5 0,5h 0,5h 0,5h + 0,5 + h = 4,5 4,5 h h 1 6,5 1,5h 0,5h 4 = 0 a = 1,5, b = 0,5 ja c = 4 h = ( 0,5) ± ( 0,5) 4 1,5 ( 4) 1,5 b ± = b 4ac a 0,5 ± 14,5 h =,5 0,5 + 14,5 0,5 14,5 h = = 6 tai h = = 5, 6 (negatiivinen juuri ei käy),5,5 Piiri: 6,5 + (6 1) = 18 Punsta tarvitaan: 18 5 = 450 (cm) 450 cm = 4,5 m Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 66
Trignmetriaa 164. a) tan35 = 0,700 b) sin7 = 0,951 c) cs5 = 0,996 165. a) sinα = 0,13 α = 7,065 7,1 b) csα = 0,765 α = 40,093 40,1 c) tanα = 1,853 α = 61,645 61,6 166. a) tan α = 7 4 b) c) sin α = cs α = 7 5 4 5 167. a) tanβ = k h k α l b) sinβ = k l c) csβ = h l h β 168. a) sin0 = 6,8 6,8 = 6,8 sin0 =,35...,3 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 67
b) tan51 = 15 15 =15 tan51 =18,53... 19 (cm) c) cs55 = 31 cs55 = 31 : cs55 = 31 cs55 = 54,04 54 (cm) 169. a) tanα = 8 5 α = 57,99... 58 b) csα = 15,7 18,0 α = 9,8... 9,3 c) sinα = 1 6 α = 7,48... 7 170. Α = α B = β C = γ Α : tanα = 4 6 = 3 B : tanβ = 6 4 =1,5 α = 33,690... 33,7 C : 90 β = 56,309... 56,3 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 68
171. tanα = 5 44 α = 9,60... 30 5 cm α 44 cm 17. sin30 = h,5,5 h =,5 sin30 h =1,5 1,3 (km) 173. sin5 = 85 sin5 = 85 : sin5 = 85 sin5 = 01,1... 01 (cm) 01 cm =,01 m 174. sinα = 1,8,1 α = 58,99... 59 175. csα = 1,70 3,50 α = 60,940... 60,9 176. tan78 = 10 = 10 tan78 = 47,04... 47 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 69
177. tanα = 13,0 11,5 α = 48,503... 48,5 178. sin15 = 91 sin15 = 91 : sin15 = 91 sin15 = 351,5... 350 (m) 179. sin6 = 1,6 sin6 =1,6 : sin6 = 1,6 sin6 =15,306...=15,3 (m) puu: 1,6 +15,3 =16,9 17 (m) 180. csα = 15 70 α = 37,1... 37, tan37, = h 70 70 h = 70 sin37, h =163,31... 163 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 70
181. I: tanβ = 5 4 β = 51,34 III: tanγ = 3 3 γ = 45 α =180 45 51,34 = 83,66 84 18. sin47 = h 190 190 A = h =190 sin47 h =138,957... 138,96 (mm) 60 138,96 18 100 mm = 181 cm = 18 064,8 18 100 (mm ) 183. sin40 = 6,5 6,5 = 6,5 sin40 = 4,17811... 4,178 (cm) 10,0 4,178 A = = 0,89 1 (cm ) 184. α =180 90 65 = 5 185 + 45 = 30 cs65 = 30 cs 65 = 30 : cs65 30 = cs65 = 544,63... 544,3 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 71
y = 544,3 185 = 359,3 sin5 = h 359,3 359,3 h = 359,3 sin5 h =151,81... 150 (cm) 150 cm =1,5 m 185. ( 3) h h A = = 8 h 3h = 8 h 3h = 56 56 h 3h 56 = 0 a = 1, b = 3 ja c = 56 h = 3 ± ( 3) 4 1 56 1 ( ) h = 3 ± 33 h = 3 + 33 = 9,1316... 9,13 tai h = 3 33 Lasketaan kannan pituus h 3 = 9,13 3 = 6,13 tanα = 9 3,066 = 6,1316... 6,13 Negatiivinen juuri ei käy. α = 71,1877... 71,19 β =180 71,19 = 37,6 38 Kulmat vat 71, 71 ja 38. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
186. a) cs34 = 18 18 = 18 cs34 =14,9... 15 (m) b) tan68 = 7 y y y tan68 = 7 : tan68 c) csα = 38 53 y = 7 tan68 y =10,90... 11 (cm) α = 44,19... 44 187. sin5 = 50 sin5 = 50 : sin5 = 10 cm = 1, m 50 sin5 =118,31... 10 (cm) 188. sin4 = 37 sin4 = 37 : sin4 = 37 sin 4 = 55,9... 55 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 73
189. tanα 1 = 7 α 1 =15,9453... 15,95 β 1 =180 90 15,95 = 74,05 tanα = 3 5 = 0,6 α = 30,9637... 30,96 tanβ = 4 3 β = 53,1301... 53,13 α = 90 α 1 α = 90 15,95 30,96 = 43,09 43,1 β =180 β 1 β =180 74,05 53,13 = 5,8 5,8 γ =180 43,09 5,8 = 84,09 84,1 190. tan16 = 6 h h h tan16 = 6 : tan16 A = h = 6 tan16 h = 90,677... 90,67 (cm) 5 90,67 400 cm = 4 dm = 357,4 400 (cm ) 191. cs64 = 4, cs64 = 4, : cs64 = 9,58... 9,6 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 74
19. p = 8,0 cm p = + ( +,0) = 8,0 + + 4,0 = 8,0 4,0 3 = 4,0 : 3 = 8,0 Kannan pituus n 8,0 cm ja kyljen pituus 10,0 cm. Lasketaan kulmien suuruudet. csα = 4 10 = 0,4 α = 66,418 66,4 β =180 66,4 = 47,16 47 tan66,4 = h 4 4 h = 4 tan66,4 h = 9,16435... 9,164 A = 9,164 8,0 = 36,656 37 (cm ) 193. Piirretään mallikuva. Kulman α suuruus n α = 180 150 = 30 sin30 = h 9,0 9,0 h 9,0 cm α 150 15,0 cm h = 9,0 sin30 h = 4,5 Klmin pinta-ala n 15,0 4,5 A = = 33,75 34 (cm ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 75
194. tanα = 1 3 = 1 3 α =18,43... 18 β =180 90 18 = 7 195. sin15 = 7 sin15 = 7 : sin15 = 7 sin15 = 7,045... 7 (cm) p = 7 +14 = 68 (cm) 196. csα = 95 150 α = 3,34... 3 197. Kaukputken näkökentän pulikas n β. tan β = 57,5 1 000 β = 3,908... 3,9 Kk näkökentän suuruus n α = β = 3,9 = 6,58 6,6 198. = tan40 6,5 6,5 = 6,5 tan40 = 5,454147... 5,4541 Piharakennuksen krkeus n 5,4541 + 1,55 = 7,0041 7,0 (m). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 76
199. 1) cs1 = 5,0 5,0 = 5,0 cs1 = 4,89073... 4,891 ) sin1 = y 5,0 5,0 y = 5,0 sin1 y =1,03955... 1,040 3) z = 4,891 +,84 z = ± 31,987481 Negatiivinen juuri ei käy. z = 5,65574... 5,65574 Puun krkeus n 1,8 + 5,656 = 7,455 7,5 (m). 00. sin46 = h 5,0 5,0 h = 5,0 sin46 h = 17,983 cs46 = y 5,0 5,0 y = 5,0 cs46 y = 17,366 (cm) 31,0 17,366 =13,634 =17,983 +13,634 = 509,7445 = ± 509,7445 =,567...,6 (cm) Klmannen sivun pituus n,6 cm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 77
Mnikulmit 01. Suunnikkaan pinta-ala n A = ah, missä a n suunnikkaan kanta ja h kantaa vasten piirretty krkeus. a) A = ah = 6,0 3,5 = 1 (cm ) b) A = ah =,0 6,5 = 13 (cm ) 0. 6,1 sin α = 8,3 α = 47,30 47 β = 180 47 90 = 43 β = 90 + 43 = 133 γ = β = 133 δ = α = 47 03. Suunnikkaan pinta-ala n 8,0 m ja kanta 3, m. A = ah 3,h = 8,0 : 3, h = 8,0 =,5 (m) 3, 04. Suunnikkaan mutinen levy halutaan maalata vain tiselta pulelta. Levyn sivujen pituudet vat 130 cm ja 190 cm. Levyn terävän kulman suuruus n 48º. Maalia riittää 1,5 m :n maalaamiseen. sin 48 h = 130 130 h = 130 sin48 h = 96,6088 96,608 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 78
A = ah = 190 96,608 = 18 355,5 18 400 (cm ) 18 400 cm = 184 dm = 1,84 m Maali ei riitä. 05. Neljäkkään sivun pituus n 11,5 cm ja terävän kulman suuruus n 4º. Neljäkäs n suunnikas, jnka kaikki sivut vat yhtä pitkät. sin 4 h = 11,5 11,5 h = 11,5 sin4 h = 7,69500 7,695(cm) A = ah = 11,5 7,695 = 88,495 88 (cm ) 06. Suunnikkaan sivut vat 13 cm ja 11 cm. Suunnikkaan ala n 89 cm. Lasketaan suunnikkaan krkeus h. 13 h = 89 : 13 h = 6,84615... 6,846(cm) Kulman α suuruus n sinα = 6,846 11 α = 38,48 38 β = 180 38 90 = 5 β = 90 + 5 = 14 γ = β = 14 δ = α = 38 07. Salmiakin mutisen betnilaatan lävistäjien pituudet vat 33 cm ja 19 cm. 16,5 9,5 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 79
Lävistäjät jakavat kaakelin neljään yhdenmutiseen klmin. Klmin kateetit vat 33 =16,5 (cm) 19 = 9,5 (cm) Kaakelin pinta-ala n A = 4 16,5 9,5 = 313,5 (cm ) 313,5 cm = 3,135 dm 3,1 dm a + b 08. Pulisuunnikkaan pinta-ala n A = h, missä a ja b vat pulisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet ja h n pulisuunnikkaan krkeus. a) A = a + b 8,0 +16,0 h = 5, = 6,4 6 (cm ) b) A = a + b 4,5 + 31,0 h = 1,0 = 58,75 583 (cm ) 09. a) sin 84 h = 4,0 4,0 h = 4,0 sin84 h = 3,97808 3,978 (m) h A = a + b 4,5 + 3,7 h = 3,978 =16,3098 16 (m ) b) sin60 = h 6,0 h = 6 sin60 6 h h = 5,19615 5,196 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 80
A = a + b h = 11+14 5,196 = 64,95 65 (m ) 10. tan60 = 400 1400 + 31 tan60 = 400 : tan60 = 400 tan 60 A = a + b = 30,940 31 1400 + (1400 + 31) h = 400 = 606 00 610 000 (mm ) 610 000 mm = 0,61 m 11. Suklaaharkn pikkipinta n tasakylkinen pulisuunnikas, jnka yhdensuuntaiset sivut vat 1,0 cm ja 9,0 cm ja terävä kulma n 45º. tan 45 A = a + b h = 1,5 1,5 h = 1,5 tan45 h = 1,5 (cm) 9,0 +1,0 h = 1,5 =15,75 16 (cm ) 1. Salajia varten juduttiin kaivamaan ja, jnka pikkileikkaus li pulisuunnikkaan mutinen. Pikkileikkauksen pinta-ala n 0,65 m. Ojan phjan leveys n 0,60 m ja kaivannn yläreunan leveys n 1,0 m. A = a + b 1,8 h = 0,65 0,6 +1, h = h = 0,65 0,9h = 0,65 : 0,9 h = 0,7 0,7 (m) h 1, 0,6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 81
13. Säännöllisen 10-kulmin sivun pituus n 5 cm. 10-kulmi mudstuu kymmenestä tasakylkisestä klmista. Tarkastellaan yhtä klmita. 360 = 10 36 tan18 = 1,5 h h h tan18 = 1,5 : tan18 h 18 5 cm h = 1,5 tan18 h = 38,4710 38,47 (cm) Yhden klmin pinta-ala: A k = 5 38,47 10-kulmin pinta-ala: = 480,875 (cm ) 10 480,875 = 4 800,875 4 800 (cm ) 4 800 cm = 48 dm 14. Kndiittri haluaa valmistaa säännöllisen kuusikulmin mutisen suklaaknvehdin. Suklaaknvehdin kahden vastakkaisen sivun etäisyys n 3,4 cm. 360 = 6 tan30 60 = 1,7 1,7 = 1,7 tan30 = 0,981495 0,9815 (cm) Sivun pituus n = 0,9815 = 1,963,0 (cm). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
15. Perinteisessä leijassa n kaksi ristikkäistä vartta, jtka mudstavat suran kulman. Lyhyempi varsi leikkaa pidemmän varren suhteessa 1 :. Leikkauskhta n lyhyemmän varren pulivälissä. Varsien päälle n pingtettu nelikulmin mutinen kangas. Varsien pituudet vat 58 cm ja 87 cm. Ylemmän klmin pinta-ala n A 1 = 58 9 = 841 (cm ). Alemman klmin pinta-ala n A 1 = 58 58 Leijan pinta-ala n =168 (cm ). A 1 + A = 841 + 1 68 = 53 500 (cm ) 500 cm = 5 dm. 9 58 9 16. Haminan vanhaa keskustaa ympäröi tähden mutinen 1700-luvun linnitus. Sen sisällä n kahden ympyräkadun, ja niitä leikkaavan kahdeksan sädekadun asemakaava. Pikkuympyräkatu n 1,0 km:n mittainen säännöllinen kahdeksankulmi. 360 = 8 45 45 Kahdeksankulmin sivun pituus: 1000 = 15 m 8 6,5 Merkitään :llä matkaa Pikkuympyräkadun ja Kasarmikadun kulmauksesta keskukseen. 6,5 tan,5 = tan,5 = 6,5 : tan,5 = 6,5 tan,5 = 150,888 150 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 83
17. Klmin kulmien summa n 180º ja nelikulmin 360º. a) 360 = 6 60 Kuusikulmin yksi kulma n 60º = 10º. Kuusikulmin kulmien summa: 6 10º = 70º. b) 360 = 1 30 1-kulmin yksi kulma n 180º 30º = 150º. 1-kulmin kulmien summa: 1 150º = 1 800º. c) 3-kulmi: 180º 4-kulmi: 360º = 180º 6-kulmi: 70º = 4 180º 1-kulmi: 1 800º = 10 180º Mnikulmin kulmien summaa kuvaa lauseke (n ) 180º 18. 360 = 5 7 0,5 tan 36 = h h h 36 0,5 h tan36 = 0,5 : tan36 h = 0,5 tan 36 Yhden klmin ala n A k = 0,5 tan 36 = 0,5 tan 36 Säännöllisen viisikulmin ala n 1,0 m. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 84
5 0,5 tan 36 =1,0 tan36 1,5 = tan36 : 1,5 = tan36 1,5 = ± tan36 1,5 Vain psitiivinen juuri kelpaa. = 0,763 0,76 (m) 0,76 m = 76 cm 19. a) Suunnikkaan pinta-ala n A = ah, missä a n suunnikkaan kanta ja h kantaa vasten piirretty krkeus. A = ah = 11,0 5,8 = 63,8 64 (cm ) a + b b) Pulisuunnikkaan pinta-ala n A = h, missä a ja b vat pulisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet ja h n pulisuunnikkaan krkeus. A = a + b (11,0 + 7,5) +11,0 h = 5,8 = 85,55 86 (cm ) 0. Musta: 00 00 Keltainen: + 00 00 + 400 00 00 00 + 00 00 = 80 000 (mm ) Pinta-ala yhteensä: 80 000 = 160 000 (mm ) = 80 000 (mm ) Mustan suus: Keltaisen suus: 80 000 160 000 = 0,5 = 50 % 80 000 = 0,5 = 50 % 160 000 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 85
1. Tasasivuisen klmin kulmat vat 60 ja piiri n 30 cm. Merkitään klmin sivun pituutta :llä. Piiri n 3 = 30, jsta ratkaistaan. 3 = 30 : 3 h 30 = 10 Lasketaan krkeus h. cs30 h = 10 10 h = 10 cs30 h = 8,660... 8,66 (cm) 10 8,66 A = = 43,3 43 (cm ). Suunnikkaan sivujen pituudet vat 19,0 m ja 7,0 m, ja sivujen välisen tylpän kulman suuruus n 135º. Lasketaan tylpän kulman vieruskulman suuruus. 180 135 = 45. sin 45 h = 7,0 7,0 h = 7,0 sin45 h = 4,94974 4,950 (m) A = ah = 19,0 4,950 = 94,05 94 (m ) 3. a) Musta nuli mudstuu pulisuunnikkaasta ja klmista. Pulisuunnikkaan pinta-ala n A = 130 + 300 510 =109 650 (mm ). Klmin pinta-ala n Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 86
A = (15 +15 +130) 50 Mustan nulen pinta-ala n = 47 500 (mm ). 109 650 + 47 500 = 157 150 160 000 mm 160 000 mm = 16 dm b) Nulen pinta-ala n 160 000 mm = 0,16 m. 100 liikennemerkin mustan alueen pinta-ala n 100 0,16 =16 (m ). 1 litra maalia riittää 6 m :lle, jten maalia tarvitaan 16 =,666...,7 (l). 6 4. Säännöllisen seitsemänkulmin sivun pituus n 18 cm. 360 = 7 51,43 h α α = 51,43 = 5,71 18 cm 9 tan 5,71 = h h h tan5,71 = 9 : tan5,71 9 h = tan 5,71 h = 18,69 18,69 (cm) Seitsemänkulmin pinta-ala n A = 7 18 18,69 1 00 cm = 1 dm. =1 177,47 1 00 (cm ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 87
5. Pulijukkueteltan phja n säännöllinen kahdeksankulmi, jnka pisin lävistäjä n 5,0 m. a) 360 = 8 45 α = 45 = sin,5,5 =,5,5 h 45,5 5 =,5 sin,5 = 0,956708 0,9567 Sivun pituus n = 0,9567 = 1,913 1,9 (m). b) Lasketaan ensin teltan phjan kk pinta-ala. cs,5 h =,5,5 h =,5 cs,5 h =,30969,310 (m) 8-kulmin pinta-ala n A = 8 1,913,310 =17,66761 17,68 (m ). Teltassa yöpyy 1 elämysmatkailijaa. Kullakin n käytössään 17,68 1 =1,473... 1,5 (m ). 6. Klmin ABC kärjet vat A = (3, 1), B = (, ) ja C = ( 4, 3). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 88
a) Klmin pisin sivu n klmin A 3 hyptenuusa. Sen pituus saadaan laskettua Pythagraan lauseella. Merkitään AC =. = 4 + 7 = 65 = ± 65 Negatiivinen juuri ei käy. = 8,06 8,1 b) Klmin suurin kulma n γ. 3 tan α = 1 6 tan β = 1 α = 71,5650 71,56 β = 80,5376 80,54 γ = 360 90 71,56 80,54 = 117,9 c) A 1 : 1 1 = 1 A : 6 1 = 3 A 3 : 4 7 = 14 A 4 : 1 3 = 1, 5 Kk surakulmin pinta-ala n 7 4 = 8. Klmin ABC pinta-ala n 8 (1 + 3 + 14 + 1,5) = 8 19,5 = 8,5. 7. Säännöllisen viisikulmin ja kahdeksankulmin sivujen pituus n 50 cm. Lasketaan kummankin kuvin pinta-ala. 5-kulmi: 8-kulmi: 360 = 5 7 360 = 45 8 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 89
7 = = 36 45 = =,5 α α h 36 h,5 5 5 tan36 = 5 h h 5 tan,5 = h h h tan36 = 9 : tan36 h tan,5 = 9 : tan,5 5 h = tan 36 5 h = tan,5 h = 34,4095 34,41 (cm) h = 60,3553 60,36 (cm) Viisikulmin ala n A 5 = 5 50 34,41 = 4 301,5 (cm ) Kahdeksankulmin ala n A 8 = 8 50 60,36 Pinta-aljen vertailu =1 07 (cm ) A 8 A 5 1 07 4301 = =1,8067... 181 % a 5 4301 Kahdeksankulmi n 181 % suurempi kuin viisikulmi. 8. Ilmastintikanavan pikkileikkaus n pulisuunnikas, jnka pinta-ala n 0,50 m = 5 000 cm. Yhdensuuntaiset sivut vat 6 cm ja 80 cm pitkät. a + b Pulisuunnikkaan pinta-ala n A = h, missä a ja b vat pulisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet ja h n pulisuunnikkaan krkeus. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 90
80 + 6 h = 5000 14h = 10 000 : 14 h = 70,4 70 (cm) 9. Hangan tanssilava n säännöllinen 1-kulmi, jnka pinta-ala n 97 m. 360 = 1 30 0,5 tan15 = h h 0,5 = h tan15 : tan15 h 15 h = 0,5 tan15 0,5 h 1 = 97 0,5 6h = 97 Sijitetaan h = tan15 0,5 6 97 tan15 = 3 tan15 = 97 tan15 3 = 97 tan15 : 3 = 99 tan15 = ± 99 tan15 Negatiivinen juuri ei käy. = 5,150 5, (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 91
Ympyrä 30. Ympyrän kehän pituus n p = πd tai p = πr, missä d n halkaisija ja r säde. a) p = π = 69,11 69 (cm) b) p = π 40 = 753,98 750 (mm) 31. Linnanmäen Rinkelin kahdelle ulkkehälle asennetaan juluvalt. Rinkelin halkaisija n 35 m ja kehän pituus n p = π 35 = 109,95 110 (m) Juluvalja tarvitaan 110 = 0 (m). 3. Ympyrän mutisen piirakkavuan ympärysmitta n 88 cm. p = πd Vuan halkaisija n π d = 88 : π d = 88 π = 8,01... 8 (cm). 33. Vannerenkaan ympärysmitta n 36 cm. p = πr Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
Vanteen säde n πr = 36 : π r = 36 π = 37,56... 38 (cm). 34. Plkupyörän pyörä, jnka säde n 35 cm, pyörähtää kerran ympäri. a) Pyörän kulkema matka n sen kehän pituus. p = πr = π 35 = 19,91 0 (cm). b) 1 km:n matkalla pyörä tekee 1000 = 454,5... 450 pyörähdystä., 35. Lumi Kinksen jalkapallvalmentaja käskee alkulämmittelyksi justa 450 m kentän keskiympyrää (säde 9,15 m) pitkin. Ympyrän kehän pituus n p = πr = π 9,15 = 57,4911 57,49 (m). Lumi juksee 450 57,49 = 7,8... 8kierrsta. 36. Pyryn kihlasrmuksen halkaisija n 1 mm ja Piin 18,5 mm. Lasketaan kummankin srmuksen kehän pituus. Pyry: p = πd = π 1 = 65,9734 65,97 (m) Pii: p = πd = π 18,5 = 58,1194 58,1 (m) Verrataan Pyryn srmuksen ympärysmittaa Piin srmuksen ympärysmittaan. Tarkilla arvilla: 1π 18,5π 18,5π = 0,1351... 14 % Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 93
Likiarvilla: 65,97 58,1 58,1 = 0,1350... 14 % 37. a-säteisen ympyrän kehän pituus: p 1 = πa a-säteisen ympyrän säde kasvaa yhdellä. Uuden ympyrän kehän pituus: p = π(a + 1) = πa + π Uuden ympyrän kehä n πa + π πa = π pidempi kuin alkuperäisen ympyrän. 38. Ympyrän pinta-ala n A = πr, missä r n ympyrän säde. a) A = πr = π 11 = 380,13 380 (cm ) b) Halkaisija n 37 cm. Säde n r = 37 =18,5 Pinta-ala n A = πr = π 18,5 =1 075,1... 1 100 (cm ) 1 100 cm = 11 dm 39. Pyöreä pikkuleipä, jnka halkaisija n 4,5 cm, päällystetään tmuskerilla. Pikkuleivän säde n r = 4,5 =,5 Päällysteen pinta-ala. n A = πr = π,5 =15,90... 16 (cm ). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 94
40. Vähennetään CD-levyn halkaisijasta muvireunus: 10 = 118 (mm). CD-levyn säde n r = 118 = 59 Kk levyn pinta-ala n A = πr = π 59 =10 935,88... 10 935 (mm ) Keskiympyrän halkaisija n 4 cm = 40 mm ja säde r = 40 = 0. Pinta-ala n A = πr = π 0 =1 56,56... 1 57 (mm ) Metallisan pinta-ala n 10 935 1 57 = 9 678 9 700 (mm ) 9 700 mm = 97 cm. 41. Ympyrän mutisen karvalankamatn kehän pituus n 4,4 m. a) p = πr Matn säde n πr = 4,4 : π r = 4,4 π = 0,700... 0,70 (m) 0,70 m = 70 cm. b) Matn pinta-ala n A = πr = π 70 = 15 393,8 15 000 (cm ) 15 000 cm = 150 dm = 1,5 m. 4. Tervapata-leikissä ympyrän pinta-ala n 0 m. a) A = πr Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 95
Tervapata-ympyrän säteen pituus saadaan pinta-alan avulla. πr = 0 r = ± 0 π : π Negatiivinen juuri ei käy. r =,531...,5 (m). b) Ympyrän kehän pituus n p = πr = π,5 = 15,83 16 (m). 43. Helsingin Hakaniemessä sijaitsevan Ympyrätaln yhden kerrksen pinta-ala n 670 m². a) Taln säteen pituus saadaan pinta-alan avulla. πr = 670 : π r = ± 670 π Negatiivinen juuri ei käy. r = 9,158... 9,15 (m). Halkaisija n d = r = 9,15 = 58,30 58 (m). b) Taln kehän pituus n p = πd = π 58,30 = 183,15 180 (m). 44. Neliön pinta-ala n 50 ja ympyrän pinta-ala sama 50. Neliön pinta-ala n sen sivun neliö. Ratkaistaan sivun pituus a. a = 50 a = ± 50 Vain psitiivinen juuri kelpaa. a = 15,81138 15,811 Neliön piiri n 4a = 4 15,811 = 63,44. Ratkaistaan ympyrän säde r. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 96
πr = 50 : π r = ± 50 π Negatiivinen juuri ei käy. r = 8,906... 8,91 Ympyrän kehän pituus n p = πr = π 8,91 = 56,059 56,05 Ympyrän kehän pituuden ja neliön piirin suhde: 56,05 = 0,886 89 % 63,44 45. Ympyrän sisään piirretään mahdllisimman suuri neliö. Ympyrän säde n r. Lasketaan neliön sivun pituus Pythagraan lauseella. + = (r) = 4r : = r ± = r Negatiivinen juuri ei käy. Neliön pinta-ala n = ( r ) = r. Ympyrän pinta-ala n A = πr. Ympyrän pinta-alasta jää neliön ulkpulelle πr r (r = r (π ) = π = 0,3633... 36 %. πr πr π 46. Taitlentäjän silmukka n likimain ympyrän mutinen. Silmukan kehän pituus n 630 m. p = πd Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 97
Silmukan halkaisija saadaan kehän pituuden avulla. π d = 630 : π d = 630 π = 00,53... 00 (m). 47. Mudstelmaluistelussa luistelijiden mudstama piiri n likimain ympyrän mutinen. Kska piirissä n 16 luistelijaa ja jkainen tarvitsee 75 cm tilaa, ympyrän kehän pituus n p = 16 75 = 1 00 (cm). p = πr Ympyrän säde saadaan kehän pituuden avulla. πr = 1 00 : π r = 1 00 π 190 cm = 1,9 m. =190,98... 190 (cm) 48. Jalkapallkentän keskiympyrän säde n 9,15 m. Lasketaan ympyrän pinta-ala. A = πr = π 9,15 = 63,0 63 (m ) 49. Pihakivun ympärysmitta n 97 cm. Puun halkaisija saadaan kehän pituuden avulla. π d = 97 : π d = 97 π = 30,87... 31 (cm). Säde n r = 97 = 48,5 Pihakivusta tehdyn pölli-istuimen pinta-ala n A = πr = π 48,5 = 754,76... 750 (cm ) 750 cm = 7,5 dm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 98
50. Jääkiekkkaukaln keskiympyrän säde n 4,5 m. a) Keskiympyrän pinta-ala n A = πr = π 4,5 = 63,617 64 (m ). b) Jalkapallkentän keskiympyrän säde n 9,15 m ja pinta-ala A = πr = π 9,15 = 63,019 63 (m ). Jääkiekkkaukaln keskiympyrän ja jalkapallkentän keskiympyrän suhde: 63,0 63,6 63,0 = 0,7618... 76 % 51. Kk ympyrän säde n 30 mm = 3, dm. Kk ympyrän pinta-ala n A = πr = π 3, = 10,4π =3,1699 3,17 (dm ) Keltaisen keskustan säde n 3,0 1,15 0,10 = 1,95 (dm). Punaisen alueen pinta-ala n A = π 3,1 π 1,95 = 5,8075π = 18,447... 18,4 (dm ) Keltaisten alueiden pinta-alat vat A = π 1,95 = 3,805π = 11,9459 11,95 (dm ) A = π 3,0 π 3,10 = 0,63π = 1,97903 1,979 (dm ) eli yhteensä 11,95 + 1,979 = 13,99 (dm ). Keltaisen alueen pinta-alan vi laskea myös kk ympyrän pinta-alan avulla. Punaisen suus n 18,4 = 0,5669... 57 %. 3,17 Keltaisen suus n 13,99 3,17 = 0,439... 43 %. Keltaisen suus n myös 100 % 57 % = 43 %. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 99
5. Kaksi muurahaista kävelee uimarenkaassa, tinen sisäpinnalla ja tinen ulkpinnalla. Sisäpinnan halkaisija n 50 cm ja ulkpinnan 75 cm. Tarkilla arvilla: Sisäympyrän kehän pituus: p = πd = π 50 Ulkympyrän kehän pituus: p = πd = π 75 Vertailu: 75π 50π 50π = 0,5 = 50 % Ulkkehää kiertävä muurahainen kävelee pulet pidemmän matkan. Likiarvilla: Sisäympyrän kehän pituus: p = πd = π 50 = 157,0796 157,08 (cm) Ulkympyrän kehän pituus: p = πd = π 75 = 35,6194 35,6 (cm) Vertailu: 35,6 157,08 157,08 = 0,5 = 50 % 53. Lampi n likimain ympyrän mutinen, ja sen pinta-ala n 9 800 m. Lampea kiertää rannassa pururata, jnka leveys n m. Pururadan ulkreuna reunustetaan pyöreillä rantakivillä (d = 15 cm). a) A = πr Ratkaistaan lammen säde r. πr = 9 800 : π r = 9 800 π r = ± 9800 π Negatiivinen juuri ei käy. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 100
r = 55,8519 55,85 (m) Lammen ympärysmitta n p = πr = π 55,85 = 350,91 350 (m). b) Säde kasvaa metrillä: r = 55,85 + = 57,85 (m). Lammen ympärysmitta n sillin p = πr = π 57,85 = 363,48 363 (m) 363 m = 36 300 cm. Kiviä tarvitaan 36 300 15 = 40 400 Kiviä tarvitaan nin 400. 54. Maapalln ympäri kierretään naru. Maapalln säde n 6 370 km. Kun naru kulkee metrin krkeudella, sitä tarvitaan π 6370,001 π 6370 = 0,0068318 0,00683 (km) 0,00683 km = 6,83 m 6,3 m enemmän kuin sillin, kun se kulkee maan pinnalla. 55. Ympyrän ala n 400b. Ympyrän säde saadaan pinta-alan kaavasta: πr = 400b : π 400b r = π r = ± 400b π Negatiivinen juuri ei käy. r = 0b π Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 101
Halkaisija n d = r = 0b π = 40b π. Piiri n p = πd = π 40b π = 40b π. 56. Merkitään neliön sivun pituutta a:lla. Neliön piiri n sillin 4a. Ympyrän kehän pituus n yhtä suuri kuin neliön piiri. 4a = πr : 4 πr a = Neliön pinta-ala: a r πr = Ympyrän ala: πr π = 4 Neliön alan ja ympyrän alan suhde: πr π r 4 πr = πr πr π r 4πr =1 π = 0,146... 1 % 4 Sektri 57. a) Sekuntiviisarin kärki n liikkunut pulet kelln ympärysmitasta eli 18 = 9,0 (cm). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 10
b) Sekuntiviisarin kärki n liikkunut neljässan kelln ympärysmitasta eli 18 = 4 4,5 (cm). 58. Kaaren b pituus n b eli α = 360 p α b = πr, 360 missä α n keskuskulman suuruus, p ympyrän kehän pituus ja r säde. a) b = 65 π 1 =13,61... 14 (m) 360 b) b = 143 π 5 = 6,39... 6 (cm) 360 59. Jalkapallssa kulmaptkualue n pelikentän jkaisessa kulmassa 1 m:n säteellä kulmalipputangsta. Kulmaptkualueen kaari n b = 90 π 1 =1,570... 1,6 (m). 360 60. Kiekka heitetään betniympyrästä, jnka halkaisija n d =,5 m. Ympyrän säde n r = 1,5 m. Kiekn n laskeuduttava kentälle piirretyn sektrin sisäpulelle. Sektrin keskuskulma n 50. Yliastumiskaari n b = 50 π 1,5 =1,0908... 1,1 (m). 360 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 103
61. Hanna-mumm staa kaupasta pyöreään pöytäänsä pöytäliinan. Liina n taiteltu pakkaukseen kahdeksaan saan, jllin liinan reunasta n näkyvissä 19,8 cm. Mumm haluaa laittaa liinaan pitsireunuksen. Pitsireunusta tarvitaan 19,8 8 = 158,4 160 (cm) 160 cm = 1,6 m 6. Ympyrän kehän pituus n p = 33 m ja kaaren pituus b = 10 m. Kaarta vastaavan keskuskulman suuruus saadaan kaaren kaavasta. b α = 360 p α 33 = 10 360 360 33α = 3 600 : 33 α = 109,09 109 63. Ympyrän säde n r = cm ja kaaren pituus b = 6 cm. Kaarta vastaavan keskuskulman suuruus saadaan kaaren kaavasta. b = α πr 360 α π = 6 360 44πα = 160 360 : 44π α = 160 44π α = 15,66 16 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 104
64. Lulu-kira n kiinnitetty 14 m pitkällä hihnalla surakulmin mutisen taln nurkkaan. Taln mitat vat 9,0 m ja 13,0 m. α = 360 90 = 70 b 1 = 70 π 14 = 65,97344... 360 65,973 (m) b = 90 π 1 =1,57079... 1,571 (m) 360 b 3 = 90 π 5 = 7,85398... 7,854 (m) 360 Lulu pystyy kulkemaan matkan b 1 + b + b 3 = 65,973 + 1,571 + 7,854 = 75,398 75 (m). 65. a) Pulet ympyrästä n punaista. 80 = 40 (cm ). b) Klme neljässaa ympyrästä n punaista. 3 80 = 60 (cm 4 ). 66. a) Sektrin pinta-ala n A s α = 360 A eli A s α = 360 πr, missä α n keskuskulman suuruus, A ympyrän pinta-ala ja r säde. A s = 75 360 π 13 =110,61... 110 (m ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 105
b) A s = 50 360 π 3 = 34,0... 00 (cm ) 00 cm = dm 67. Metallinen kaulakru n mudltaan sektri, jnka säde n r = 3,1 cm ja keskuskulma α = 7. Krun pinta-ala n A s = 7 360 π 3,1 =,64...,3 (cm ) 68. Merivartistn valvntatutkan valvntasektri n 45. Tutka havaitsee enintään 14, km:n päässä levat khteet. Tutkan valvma pinta-ala n A s = 45 360 π 14, = 79,18... 79 (km ) 69. Jääkiekkkaukalssa maalialue n puliympyrä, jnka säde n 1,8 m = 180 cm. a) Kska maalialue n puliympyrä, sen keskuskulma n 180. Maalialueen pinta-ala n A s = 180 360 π 1,8 = 5,08938... 5,1 (m ). b) Puliympyrän reunat n tehty 5 cm leveällä punaisella maalilla. Sisäsan pinta-ala n A s 180 = π (180 5) = 48105,6... 48110 (cm ). 360 48 110 cm = 481,1 dm = 4,811 m Maalialueesta n maalattu punaisella viivalla 5,089 4,811 = 0,0546... 5,5 %. 5,089 70. Sisu leikkaa pyöreästä tskakakusta sektrin mutisen 8 cm :n kkisen palan. Kakun halkaisija n 4 cm, jten säde n r = 1 cm. a) Kakkupalan keskuskulman vi laskea sektrin pinta-alan kaavasta. α A s = πr 360 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 106
α 360 π 1 = 8 360 144πα = 10 080 : 144π 10 080 α = 144π α =,8 b) Kk kakun pinta-ala n A = πr = π 1 = 45,38 45 (cm ). Yhden kakkupalan kk n 8 cm, jten samankkisia kakkupalja saa 45 = 16,14... 16. 8 71. Neliön mutisesta kartngista leikataan mahdllisimman suuri sektri. Neliön pinta-ala n A N = r. Sektrin pinta-ala n r 90 A s = πr. 360 Sektrin suus neliöstä n A S A N = 90 360 πr r = 0,7853... 79 %. Neliöstä leikataan pis 100 % 79 % = 1 %. 7. Sektrin ala n A S = 460 cm ja kaaren pituus b = 37 cm. Sektrin säde lasketaan sektrin kaaren kaavasta. b = α πr 360 α π r = 37 360 360 α π r =13 30 : π Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 107
13 30 r = πα = 6 660 πα Sektrin keskuskulma lasketaan sektrin pinta-alan kaavasta. α A s = πr 360 α 360 π 6 660 πα = 460 α 6 660 (α,π π = 460 360 π α 6 660 360πα = 460 360πα 165 600α = 6660 : 165 600 α = 85,6 85 73. a) Kaulakrun kristesuuden pituus n b = 55 π 7,0 = 6,719... 6,7 (cm). 360 b) Sektreita n kaikkiaan 4, jten yhden sektrin keskuskulma n 360 = 15. 4 Ympyrän säde n 1 r = = 61(cm). Onnenpyörän rsvsektrin pinta-ala n A s = α 360 π r = 15 360 π 61 = 487,07... 490 (cm ). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 108
74. Majakan valkisen valn sektri kert kulkukelpisen suunnan väylällä. Val valaisee 3 asteen kulmassa ja näkyvyys nrmaalilsuhteissa n 1 meripeninkulmaa. Yksi meripeninkulma n 1 85 m. r = 1 185 = 4 m =,4 km Kulkukelpisen alueen pinta-ala n A s = 3 360 π,4 = 99,133... 99 (km ). 75. Kinksen perhe tilasi perhepitsan, jnka halkaisija li 38 cm. Pitsa jaettiin tasan viiteen saan. a) Pitsan säde n r = 38 =19 (cm).kk pitsan pinta-ala n A = πr = π 19 =1134,11... 1134 (cm ). Yhden palan pinta-ala n viidessa kk pitsasta. 1134 5 = 6,8... 30 (cm ). b) Pitsapalan keskuskulman suuruus saadaan sektrin pinta-alan kaavasta. α A s = πr 360 α 360 π 19 = 6,8 360 361 πα = 81 648 : 361π α = 81 648 361π α = 71,99 7 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 109
76. Sasun autn npeusmittarin aukeamiskulma n 64º, jllin mittari näyttää lukemat 0 0 km/h. Sasu kiihdyttää npeudesta 80 km/h npeuteen 10 km/h. Osittimen pituus n 8,5 cm. Lasketaan ensin kulma, kun sitin siirtyy 10 80 = 40 km/h. 0 64 40 = Kerrtaan ristiin. 0 = 10 560 : 0 = 48 Lasketaan kulmaa vastaava kaaren pituus. b = 48 π 8,5 = 7,10... 7,1 (cm) 360 77. Kierrslukumittarin käyttösektrin säde n,3 cm ja pinta-ala n 11,1 cm. Keskuskulman suuruus saadaan sektrin pinta-alan kaavasta. α A s = πr 360 α 360 π,3 =11,1 360 5,9 πα = 3 996 : 5,9π α = 40,44 40 78. Sisun veneen tuulilasinpyyhin n 45 cm pitkä, ja sen timintakulma n 1º. Pyyhkimen sulka n 35 cm pitkä. Kk sektrin ala: A s = 1 360 π 45 = 155,91... 156 (cm ) Sulan kärjen rajaama ala: A s = 1 360 π 10 =106,465... 106,5 (cm ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 110
Sulan pyyhkimä ala: 156 106,5 = 049,5 000 (cm ) 000 cm = 0 dm 79. Hpeinen rannerengas n mudltaan ympyrä. Sen halkaisija n 5,8 cm. Renkaan kehästä puuttuu, cm, jtta renkaan saisi pujtettua käteen. Puuttuvan kaaren keskuskulman suuruus saadaan laskettua kaaren pituuden kaavasta. α b = πd 360 α π 5,8 =, 360 360 5,8πα = 79 : 5,8π α = 43,46 43 80. Vuhi n kytketty surakulmin mutisen ladn nurkkaan 13 m pitkällä köydellä. Ladn mitat vat 10,0 m ja 7,0 m. α = 360 90 = 70 Lasketaan sektreiden pintaalat. A 1 = 70 360 π 13,0 = 398,1968... 398,0 (cm ) A = 90 360 π 6,0 = 8,743... 8,7 (cm ) A 3 = 90 360 π 3,0 = 7,06858... 7,069 (cm ) Vuhen ulkilualue n A 1 + A + A 3 = 398,0 + 8,7 + 7,069 = 433,539 430 (m ). 81. Sektrin keskuskulma n 5, ja sektrin kaaren pituus n 16 cm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 111
a) Ratkaistaan ympyrän säde sektrin kaaren pituuden kaavasta. b = α πr 360 5 360 π r = 16 360 50πr = 5 760 b) Ympyrän ala n : 50π r = 36,669 37 (cm) A = πr = π 36,67 = 4 4,46 4 00 (cm ) 4 00 cm = 4 dm. c) Sektrin ala n A s = 5 360 π 36,67 = 93,36... 90 (cm ). 8. Pienen ympyrän säde n r. Lasketaan pinta-ala sellaiselle ympyrälle, jnka säde n yhtä pitkä kuin pienen ympyrän kehän pituus. Pienen ympyrän kehän pituus n p = πr. Ympyrän pinta-ala n A = π (πr) = π 4π r = 4π 3 r. 83. Ympyrän sektrin keskuskulma kaksinkertaistuu ja säde pienenee puleen. Säde alussa n r ja keskuskulma α. Sektrin pinta-ala: α A s 1 = πr 360 Muutksen jälkeen säde n 0,5r ja keskuskulma α Sektrin pinta-ala muutksen jälkeen: A s = α 360 π( 0,5r ) = α 360 π 0,5r = α 360 π r 0,5 Pinta-ala pienenee pulella. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 11
Ympyrän svelluksia 84. a) Lasketaan tasakylkisen klmin kantakulmat. 180 115 = 65 65 = 3,5 Lasketaan jänteen pituus. 3,5 0,5 5,3 cs3,5 = 0,5 5,3 0,5 = 5,3 cs3,5 : 0,5 = 10,6 cs3,5 = 8,939 8,9 (cm) b) 5,5 cs 0,5α = 6, 0,5α 6, 0,5α = 57,86 : 0,5 α = 115,7 116 5,5 85. Ympyrään, jnka säde n 14 cm, n piirretty jänne. Jännettä vastaava keskuskulma n 100. Lasketaan tasakylkisen klmin kantakulmat. 180 100 = 80 80 = 40 Lasketaan jänteen pituus. 0,5 14 40 cs40 0,5 = 14 0,5 = 14 cs40 : 0,5 = 1,44 1 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 113
86. Ympyrään n piirretty 17,0 cm pitkä jänne. Jänteen keskikhdan etäisyys ympyrän kaaresta n,0 cm. Lasketaan säteen pituus Pythagraan lauseella. (r,0) + 8,5 = r (r,0)(r,0) + 7,5 = r r r r + 4 + 7,5 = r r 4r + 76,5 = 0 76,5 4r = 76,5 : ( 4) r = 19,06 19,1 (cm) 87. Jetr löytää maasta muvikaaren, jka leveys n 18,7 cm ja syvyys 4,0 cm. Lasketaan säteen pituus Pythagraan lauseella. (r 4,0) + 9,35 = r (r 4,0)(r 4,0) + 87,45 = r r 4r 4r + 16 + 87,45 = r r 8r + 103,45 = 0 103,45 8r = 103,45 : ( 8) r = 1,9781 1,98 (cm) Halkaisija n d = r = 1,98 = 5,856 5,9 (cm). 88. Ympyrästä, jnka säde n 15,0 cm, leikataan segmentti. Segmentin krkeus n klmassa ympyrän halkaisijasta. Lasketaan Pythagraan lauseella. + 5 = 15 + 5 = 5 5 = 00 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 114
= ± 00 Negatiivinen juuri ei käy. = 14,1413 14,14 (cm) Lasketaan kulman α suuruus. cs α = 5 15 α = 70,587 70,53 Keskuskulma n α = 70,53 = 141,06. Klmin pinta-ala n A k = 14,14 5 Sektrin pinta-ala n = 70,71 (cm ). A s = 141,06 360 π 15 = 76,9706... 76,97 (cm ). Segmentin pinta-ala n A = 76,97 70,71 = 06,6 06 (cm ). 06 cm =,06 dm 89. Laske kuvasta keskuskulman α suuruus. Lasketaan säteen pituus Pythagraan lauseella. (r 1,5) + 6,0 = r (r 1,5)(r 1,5) + 36 = r r 1,5r 1,5r +,5 + 36 = r r 3r + 38,5 = 0 38,5 3r = 38,5 : ( 3) r = 1,75 (cm) Lasketaan kulman α suuruus. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 115
sin α = 6 1,75 α = 8,074 8,07 Huippukulman suuruus n α = 8,07 = 56,14 56. 90. Ympyrän halkaisija n 13,0 cm. 7,4 cm:n pituinen jänne jakaa ympyrän kahteen segmenttiin. Lasketaan klmin krkeus h Pythagraan lauseella. 3,7 + h = 6,5 13,69 + h = 4,5 13,69 h = 8,56 h = ± 8,56 Negatiivinen juuri ei käy. h = 5,34415 5,344 (cm) Lasketaan kulman α suuruus. 3,7 sin α = 6,5 α = 34,6966 34,70 Huippukulman suuruus n α = 34,70 = 69,40. Klmin pinta-ala n A k = 7,4 5,344 =19,774 (cm ). Sektrin pinta-ala n A s = 69,40 360 π 6,5 = 5,58783... 5,588 (cm ). Segmentin pinta-ala n A = 5,588 19,774 = 5,814 5,8 (cm ). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 116
91. Ympyrän segmentin krkeus n 9 mm ja jänne 96 mm. Lasketaan säteen pituus Pythagraan lauseella. (r 9) + 48 = r (r 9)(r 9) + 304 = r r 9r 9r + 841 + 304 = r r 58r + 3 145 = 0 3 145 Lasketaan kulman α suuruus. 48 sin α = 54 α = 6,7339 6,73 Huippukulman suuruus n α = 6,73 = 15,46. Klmin pinta-ala n A k = 96 (54, 9) Sektrin pinta-ala n 58r = 3 145 : ( 58) r = 54,41 54, (mm) =1 10,56 1 11 (mm ). A s = 15,46 360 π 54, = 3 18,63... 3 19 (mm ). Segmentin pinta-ala n A = 3 19 1 11 = 008 000 (mm ) 000 mm = 0 cm. 9. Lasketaan kulman β suuruus sinin avulla. Surakulmaisen klmin hyptenuusa n 0 + 1 = 3 (cm). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 117
sin β = 1 3 β =,043... β = 44,0486 44 Kulman α suuruus n α =360 44,05 90 90 = 135,95 136 93. Pesäpallssa rajat mudstuvat syöttölautasen tangenteista. Syöttölautasen halkaisija n 600 mm ja lautasen keskipisteen etäisyys kulmasta n 569 mm. α sin = 300 569 α = 31,819... α = 63,6384 64 94. cs α =,1 9,5 α = 77,91 77,3 Huippukulman suuruus n α = 77,3 = 154,46. Kaaren pituus n α b = 154,46 360 π,1 = 5,661... 5,7 (m). 95. Satelliitti kiertää Maata 3 00 km:n krkeudella. Maan ympärysmitta n 40 000 km. Lasketaan maapalln säde. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 118
πr = 40 000 : π r = 40 000 π r = 6 366,1977 6 366,198 (km) = 6 366,198 + 3 00 = 9566,198 (km) sin α = 6 366,198 9 566,198 α = 41,71983... α = 83,43967 83 96. Sinuhe seis Kapkaupungin Pöytävurella ja katselee merelle. Maapalln säde n 6 370 km, ja Pöytävuri n nin 1086 m merenpinnan yläpulella. Sinuhen silmät vat 1,5 metrin krkeudella. Lasketaan kulman α suuruus. cs α = 6370 6371,086 α = 1,057917 1,0579 b = 1,0579 360 π 6370 =117,614... 118 (km) 97. Ympyrän halkaisija n 8,6 cm, jten säde n 4,3 cm. a) Lasketaan pisteen P etäisyys ympyrän keskipisteestä. sin5 = 4,3 sin5 = 4,3 : sin5 = 4,3 sin5 = 10,1746 10, (cm) b) Lasketaan pisteen P etäisyys ympyrän kehästä. d = 10,17 4,3 = 5,93 5,9 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 119
98. Autn renkaan säde lasketaan Pythagraan lauseella. (3 r) +,5 = r (3 r) (3 r) + 506,5 = r 104 3r 3r + r + 506,5= r r 64r + 1 530,5 = 0 1 530,5 64r = 1 530,5 : ( 64) r = 3,9101 3,91 (cm) Halkaisija n d = r = 3,91 = 47,8 48 (cm). 99. Ympyrään, jnka säde n 5 cm, n piirretty 35 cm pitkä jänne. 17,5 sin α = 5 α = 44,470 44,43 Huippukulman suuruus n α = 44,43 = 88,86. Kaaren pituus n b = 88,86 π 5 = 38,77... 39 (cm). 360 300. Helsingin Kaivpuistssa hypätään Benji-hyppyjä 155 m:n krkeudelta. Maan ympärysmitta n 40 000 km. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 10
Lasketaan maapalln säde. πr = 40 000 r = 6366,19877 6366,198 (km) = 6366,198 + 0,155 = 6366,353 (km) csα = 6366,198 6366,353 α = 0,399814 0,3998 b = 0,3998 360 40 000 = 44,4... 44 (km) Trnin juurelta näkee 44 km:n päähän. Hrisntissa vi näkyä Tallinnan krkeimpia rakennuksia. 301. Lasketaan keskuskulman suuruus kaaren pituuden kaavasta. α 40 000 = 1018 360 α 360 = 1018 40 000 : 40 000 360 α = 9,16 Käytetään maapalln säteenä 6366 km. Lasketaan. 6366 cs9,16 = cs9,16 = 6366 : cs9,16 = 6366 cs9,16 = 6 448,6643 6 448,66 (km) y = 6 366 = 6 448,66 6 366 = 8,66 8 (km) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 11
30. Päiväkdissa askarrellaan purjeveneitä, jtka vat ympyrän sektrin mutisia. Veneen alasa n ympyrän segmentti. Sen krkeus n 4,5 cm ja pituus 16,0 cm. a) Lasketaan säteen pituus Pythagraan lauseella. (r 4,5) + 8 = r (r 4,5)(r 4,5) + 64 = r r 4,5r 4,5r + 0,5 + 64 = r r Purjeen pinta-ala n 9r + 84,5 = 0 84,5 9r = 84,5 : ( 9) r = 9,36111 9,361 (cm) 16 (9,361 4,5) A k = = 38,888 39 (cm ). b) Lasketaan kulman α suuruus. sinα = 8 9,361 α = 58,7166 58,7 Huippukulman suuruus n α = 58,7 = 117,44. Kk veneen pinta-ala n A s = 117,44 360 π 9,361 = 89,80... 90 (cm ). Veneen alasan pinta-ala n A = 90 39 = 51 (cm ). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 1
303. Ympyrä, jnka säde n 19 cm, jaetaan 6 cm pitkällä jänteellä kahteen saan. Lasketaan kulma α. 13 sin α = 19 α = 43,1735 47,17 Huippukulman suuruus n α = 43,17 = 86,34. Ympyrän kknaispinta-ala n A kk = πr = π 19 = 1 134,1149 1 134,11 (cm ). Sektrin pinta-ala n A s = 86,34 360 π 19 = 71,9985... 7,00 (cm ). Klmin krkeus n 13 + h = 19 169 + h = 361 169 h = 19 h = ± 19 Negatiivinen juuri ei käy. h = 13,8564 13,86 (cm) Klmin pinta-ala n A k = 6 13,86 =180,18 (cm ). Pienen segmentin pinta-ala n A = 7,00 180,18 = 91,8 9 (cm ). Isn segmentin pinta-ala n A = 1 134,11 91,8 = 1 04,9 1 000 (cm ) 1 000 cm = 10 dm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 13
304. Lasketaan säteen pituus. sin 5 r = 0 r (0 r) (0 r)sin5 = r 0 sin5 r sin5 = r r 0 sin5 r sin5 r = 0 sin5 r ( sin5 1) = 0 sin5 : ( sin5 1) r r 0 r r = Halkaisija n 0 sin5 1 sin5 r = 5,941414 5,9414(cm) d = r = 5,9414 = 11,888 11,9 (cm). 305. Ympyrän segmentin jänne n yhtä pitkä kuin ympyrän säde, ja segmentin pinta-ala n 8,5 cm. Mudstuu tasasivuinen klmi, jnka kaikki kulmat vat 60. Klmin krkeus n r h + = r r 4 h + = r r 4 h r = r 4 h = ± r r 4 Negatiivinen juuri ei käy. r 3 h =. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 14
Segmentin pinta-alasta saadaan laskettua ympyrän säde. 60 360 πr r r 3 = 8,5 0,54r 0,433r = 8,5 0,091r = 8,5 : 0,091 r = 8,5 0,091 r = ± 8,5 0,091 Negatiivinen juuri ei käy. r = 9,664 9,7 (cm) Kertaustehtäviä 306. Ertumari juksee jalkapallkentän nurkasta nurkkaan. Kuinka pitkän matkan hän juksee? Kentän mitat vat 64 m 100 m. Ertumari kävelee surakulmin lävistäjää pitkin: = 64 + 100 = 14 096 100 m 64 m = ± 14 096 Negatiivinen juuri ei käy. = 118,7 10 (m) 307. Ympyrän mutisen hpeisen kaulakrun ympärysmitta n 4,0 cm. p = πr Krun säde n πr = 4,0 : π r = 4,0 = 6,684... 6,7 (cm). π Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 15
308. Teltan pääty n tasakylkinen klmi. Se n 3,6 m leveä ja reunjen pituus n,4 m. h + 1,8 =,4 h + 3,4 = 5,76 3,4 h =,5 h = ±,5 h = 1,58745 1,587 (m) Negatiivinen juuri ei käy. h,4 Klmin pinta-ala n 3,6 A k = 3,6 1,587 =,8566,9 (m ). 309. Sisu peri isäidiltään pulisuunnikkaan mutisen metsäpalstan. Sen yhdensuuntaisten sivujen pituudet vat 1, km = 1 00 m ja 1,5 km = 1 500 m ja sivujen välinen etäisyys 310 m. A = a + b 100 +1500 h = 310 = 418 500 40 000 (m ) 40 000 m = 4 00 a = 4 ha 1500 100 310 310. Taulun sivujen pituuksien suhde n 6 : 8 ja lävistäjän pituus 1,7 m. Lasketaan Pythagraan lauseesta. (6) + (8) = 1,7 6 6 + 8 8 =,89 36 + 64 =,89 100 =,89 : 100 = 0,089 1,7 6 8 = ± 0,089 Negatiivinen juuri ei käy. = 0,17 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 16
Sivut vat 6 = 6 0,17 = 1,0 (m) 8 = 8 0,17 = 1,36 (m). Pulikkaan pinta-ala n 1,0 1,36 A k = = 0,6936 (m ). Kk taulun pinta-ala n 0,6936 = 1,387 1,4 (m ). 311. Ihmisen näkökenttä n pystysuunnassa nin 130º. 1 m krkea hieskivu peittää rinteessä seisvan Visan näkökentän. Lasketaan puun etäisyys Visasta. 130 = 65 tan65 = 10,5 tan65 = 10,5 = 10,5 tan65 : tan65 130 1 = 4,896 4,9 (m) 31. Säännöllisen 10-kulmin mutisen pulijukkueteltan pisin lävistäjä n 4,8 m. 360 = 10 36 36 α = = 18 sin18 =,4,4 18,4 m =,4 sin 18 = 0,74164 0,741 (m) Teltan sivun pituus n = 0,741 = 1,48 1,5 (m). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 17
313. Säilyketölkin phja n ympyrän mutinen. Phjan pinta-ala n 38 cm. Lasketaan säde. πr = 38 : π 38 r = π 38 r = ± Vain psitiivinen juuri kelpaa. π r = 3,47789 3,477 (cm) d = r = 3,477 = 6,954 7,0 (cm) 314. Pesäpallssa ktipesä n puliympyrä, jnka säde n 5,0 m. Ktipesän turvaksi n tehty,0 m leveä suja-alue. Kk ympyrän pinta-ala n A tt = πr = π 7. Sisäympyrän pinta-ala n A sis = πr = π 5. Suja-alueen pinta-ala n A suja 1 = ( π 7 π 5 ) = 37,69... 38 (m ). 315. Tasakattiseen maktitaln tehdään harjakatt. Taln leveys n 7, m ja pituus 9,1 m. Katn reunat mudstavat 33 asteen kulman vaakatasn suhteen. Reunjen halutaan jatkuvan 35 cm seinien yli. Lasketaan. 3,6 cs33 = cs 33 = 3,6 : cs 33 3,6 = cs33 = 4,950... 4,93 (m) 35 cm 33 3,6 m Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 18
Pellin mitat: 4,93 + 0,35 = 9,86 (m) 9,1 + 0,35 = 9,8 (m) Pellin pinta-ala: 9,86 9,8 = 91,008 91 (m ) 316. Maailman suurimman puun ympärysmitta n 5,1 m. Oletetaan, että puun pikkipinta n likimain ympyrä. a) Ympärysmitta n p = πd Puun halkaisija n πd = 5,1 : π d = 5,1 π = 7,98957... 8,0 (m). b) Puun pikkipinta-ala n A = πr = π 3,995 = 50,1398 50,14 (m ). 50,14 m = 5014 m = 501 400 m Yksi lapsi vie tilaa keskimäärin 700 cm, jten lapsia mahtuu 501 400 700 = 716,8... 70. 317. Lumin mpn npeusmittarissa n lukemat 0 60 km/h. Kun hän kiihdyttää mpnsa npeuteen 40 km/h, 3,5 cm pitkän sittimen kärki n kulkenut 6,3 cm:n matkan. Lasketaan kulma α sektrin kaaren kaavasta. b = α πr 360 α π 3,5 = 6,3 360 360 7πα = 68 68 α = 7π : 7π α = 103,13 103 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 19
318. Lasketaan ala apukuviiden avulla. 6 6 A 1 : = 18 1 10 A : = 5 4 7 A 3 : = 14 Kk surakulmin pinta-ala n A = 7 10 = 70. Klmin pinta-ala n A k = 70 (18 + 5 + 14) = 70 37 = 33. 7 tanα 1 = 4 α 1 = 60,551 60,6 6 tan β 1 = 6 β 1 = 45 α = 180 45 60,6 = 74,74 74,7 α = 90 45 = 45 10 tan β = 1 β = 84,894 84,9 β = 180 45 84,9 = 50,71 50,7 γ = 180 74,7 50,7 = 54,6 319. Kuru seis Rapajen rannalla. Hän näkee jen vastarannan 1 vaakatasn alapulella. Oman rannan pulella jki n 48 hrisntin alapulella. Kuru tekee havaintnsa 1,75 m:n krkeudelta. = 1,75 tan 78 1,75 1,75 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 130 1 y
= 1,75 tan78 = 8,331 8,33 (m) y = 1,75 tan 4 1,75 y = 1,75 tan4 y = 1,5757 1,576 (m) Jen leveys n 8,33 1,576 = 6,657 6,7 (m). 30. Ympyrän sektrin keskuskulma pienenee puleen ja säde kaksinkertaistuu. Keskuskulma alussa α ja säde r. Sektrin pinta-ala ennen muutsta: α A s 1 = πr 360 Sektrin pinta-ala muutksen jälkeen: A s = 1 α 360 π(r) = α 1 360 π 4r = α π r 360 Pinta-ala kaksinkertaistuu. 31. Ympyrän kaaren pituus n 1,3 cm ja säteen 14,0 cm. Lasketaan kaarta vastaavan jänteen pituus. α π 14,0 = 1,3 360 360 8πα = 7 668 : 8π 7668 α = 8π α = 87,1714 87,17 Surakulmaisen klmin kulma n 87 = 43,585 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 131
sin43,585 = 14 = 14 sin 43,585 14 = 9,6501 9,65 (cm) Jänteen pituus n = 9,65 = 19,304 19,3 (cm). 3. Kartin sisään laitettiin pall kuvan mukaisesti. sin7,5 = 3,5 3,5 sin7,5 = 3,5 : sin7,5 = 3,5 sin7,5 7,5 = 7,57988 7,580 (cm) Kartin krkeus n 3,5 + 7,580 = 11,079 11,1 (cm). 33. Kynnysmatt n ympyrän segmentin mutinen. Sen krkeus n 35 cm ja leveys 90 cm. Lasketaan säteen pituus Pythagraan lauseella. r = (r 35) + 45 r = (r 35)(r 35) + 05 r = r 35r 35r + 1 5 + 05 r = r 70r + 3 50 + 05 : +70r 70r = 3 50 : 70 r = 46,485 46,43 (cm) Lasketaan kulman α suuruus. sinα = 45 46,43 α = 75,7430 75,74 α = 151,48 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 13