Funktion raja-arvo ja jatkuvuus

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktion raja-arvo Monisteen määritelmässä 32 s 55 määritellään funktion f) raja-arvo f) ja sitä selitetään huomautuksen 33 kohdassa a) Seuraavassa on a hiukan tarkempi versio Määritelmä Olkoon funktio f) määritelt jossain pisteen a mpäristössä a r, a + r), r > 0, mahdollisesti pistettä a lukuun ottamatta Olkoon A R Sanotaan, että funktion f raja-arvo, kun lähest a:ta, on A, jos jokaista positiivilukua ϵ kohti on sellainen positiiviluku δ ϵ, että f) A < ϵ kun 0 < a < δ ϵ ; merkitään f) A tai f) a A a Kun kirjoitetaan δ ϵ eikä vain δ, niin tarkoitus on korostaa sitä, että δ riippuu ϵ:sta Määritelmän sanallinen selits on monisteen huomautuksessa 33 Ehto f) A < ϵ, missä ϵ > 0 saa olla kuinka pieni tahansa, tarkoittaa, että f):n etäiss luvusta A saadaan kuinka pieneksi tahansa Ehto 0 < a < δ ϵ tarkoittaa, että on valittava kllin läheltä a:ta Smboleilla määritelmä kirjoitetaan seuraavasti: a f) A, jos ϵ > 0 δ ϵ : f) A < ϵ kun 0 < a < δ ϵ sin Monisteessa todistetaan sivulla 60, että 0 Funktio sin ei ole määritelt, kun 0, joten kuvaajassa on aukko Raja-arvo, kun 0, on siis kuitenkin olemassa ja on sin π π 2 π 2 π Kuviossa on - ja -akseleilla eri mittakaavat Kun R, merkitään suurin kokonaisluku Esimerkiksi π 3 ja 2 Tämä on ns lattiafunktio f) : R R

2 2 2 3 2 Funktio f) on määritelt esimerkiksi pisteessä 2, koska f2) 2 Sen sijaan raja-arvo 2 f) ei ole olemassa, sillä ei ole sellaista htä lukua A, että f) A kun 2 Kuitenkin f:llä on pisteessä 2 ns toispuoliset raja-arvot: Vasemmanpuolinen raja-arvo on, merkitään f), 2 ja oikeanpuolinen raja-arvo on 2, merkitään f) 2 2+ Toispuolisten raja-arvojen idea on varmaan selvin eo esimerkin valossa, mutta tässä on vielä tarkat määritelmätkin: Sanotaan, että a f) A, jos ϵ > 0 δ ϵ : f) A < ϵ kun a δ ϵ < < a Sanotaan, että a+ f) A, jos ϵ > 0 δ ϵ : f) A < ϵ kun a < < a + δ ϵ Kätännössä usein raja-arvon voi ottaa sijoittamalla Esimerkiksi 2 2 + 22 2 + Näin on, jos funktio on jatkuva ko kohdassa; jatkuvuudesta tulee möhemmin puhe tarkemmin Sen sijaan esimerkiksi raja-arvoa sin 0 ei voi laskea sijoittamalla, vaan sijoittaminen antaisi lausekkeen 0 0, joka ei ole määritelt Sanotaan, että tämä raja-arvo on epämääräistä muotoa 0 0 Näistäkin puhutaan möhemmin 2

Tällä kurssilla ei raja-arvon ϵ-määritelmää kätetä, mutta otetaan ksi esimerkki valaisemaan määritelmää Todistetaan määritelmän avulla, että 2 2 + : 2 + 2 2 + 2) + ) + 2 < ϵ kun 0 < 2 < ϵ Tässä tapauksessa siis δ ϵ :ksi kelpaa δ ϵ ϵ Yleensä näin mukavasti ei kä Monisteen sivuilla 58 59 on raja-arvon laskusääntöjä ei todisteta tässä kurssissa) Otetaan tässä esimerkki säännöstä 3) joka sanoo: Jos raja-arvot a f) ja a g) ovat olemassa, niin raja-arvo a f)g) voidaan ottaa tekijöittäin, eli ) ) f)g) f) g) a a a a) Ilmeisesti 0 4 + 3 + 2 + + ) ja 0 2 + 2 + 3) 3, joten 4 + 3 + 2 + + ) 2 + 2 + 3) ) 3 3 0 b) Oletetaan tunnetuksi, että 0 2 ) ja 0 sin Silloin saadaan 2 ) sin 0 2 ) sin ) 0 ) c) Varoitus: Jos säännössä 3) tekijöiden f) ja g) raja-arvot eivät ole kumpikin olemassa, niin sääntöä ei saa kättää Esimerkiksi, jos ritettäisiin sin laskea raja-arvo 0 näin: sin ) ) 0 sin ), 0 0 }{{}}{{} 0 ei olemassa niin mikä on tulos onko raja-arvo 0 vai eikö raja-arvo ole olemassa? sin Oikeaa tulosta 0 ei näin saada edes esille! Kohdassa ) teht hajottaminen ei ollut luvallista Seuraavassa on esimerkki säännöstä 9) eli Sandwich-periaatteesta ei ole olemassa, mikä nähdään funktion kuvaa- a) Raja-arvo 0 sin jasta 3

sin Tarkemmin tämän voisi perustella huomaamalla, että funktio saa arvoja ja mielivaltaisen lähellä pistettä 0; nimittäin sin kun π/2+2nπ, ja sin kun 3π/2+2nπ n Z) b) Sen sijaan raja-arvo 0 sin on olemassa ja 0, mikä on funktion kuvaajasta aivan ilmeistä: sin Tarkka perustelu saadaan Sandwich-periaatteesta seuraavasti Koska sin sin, niin sin 0 Funktioiden ja raja-arvot, kun 0, ovat 0 Sandwich-periaatteen mukaan siis 0 sin 0 Säännöstä 0) saadaan 0 koska 0 sin 0 + sin + 0, Raja-arvokäsitteen laajentaminen Edellä määriteltiin raja-arvokäsite a f) A, kun a ja A ovat reaalilukuja siis tavallisia äärellisiä lukuja ) Laajennetaan nt tapaukseen a ± ja A ± Jatkossakaan äärettömät luvut ± eivät ole lukuja, vaan kun esimerkiksi kirjoitetaan a f), niin tällä ilmaistaan vain, että kun a, niin f) kasvaa li kaikkien rajojen 4

Hperbeli on jo esiintntkin Kun nimittäjässä 0, niin kasvaa li kaikkien rajojen Kun lähest nollaa positiiviselta puolelta, niin ps koko ajan positiivisena lähest siis positiivista ääretöntä ), ja kun lähest nollaa negatiiviselta puolelta, niin ps negatiivisena lähest siis negatiivista ääretöntä ) Näin ollen 0+, 0 Annetaankin nt :n kasvaa li kaikkien rajojen, siis tai ) Esimerkiksi funktion 2 + kuvaajasta 2 + on ilmeistä, että 2 + 0, 2 + 0 Ovathan nämä ilmeisiä funktion lausekkeestakin: Kun ±, niin nimittäjässä 2 + mutta osoittaja ps vakiona, joten funktion arvo lähest nollaa Näille raja-arvokäsitteen laajennuksille f), a f) A, f) jne pitäisi jokaiselle esittää muodollinen määritelmä Sitä ei tässä kuitenkaan tehdä vaan nätämme kseessä olevan ksinkertaisen idean esimerkeillä ja tdmme vetoamaan näissä asioissa intuitiiviseen käsitkseen Funktion f) + + 2 5

lausekkeesta nähdään helposti, että sen kuvaaja saadaan funktion 2 kuvaajasta siirtämällä sitä oikealle hden verran ja löspäin hden verran: 2 2 Siis sillä on vaakasuora amptootti ja pstsuora asmptootti Samat asiat nähdään raja-arvoista: f) + 2 ) + 0, f) + 2 ) + 0, ) f), + + f) + 2 }{{} + 2 }{{} ) e, e 0, ln, e ln ln 0+ Epämääräistä muotoa olevat raja-arvot Edellä mainittiin, että kätännössä raja-arvon a f) voi leensä laskea sijoittamalla a, jos fa) on määritelt; toisin sanoen a f) fa) jos funktion arvo fa) on olemassa Tarkkaan ottaen tämä on totta vain kun f) on jatkuva kohdassa a pkälä 34), mutta kätännössä kohdattavat funktiot ovat leensä jatkuvia siellä missä ne ovat määriteltjä Monisteen esimerkissä 36 on keinotekoisesti konstruoitu funktio, jolla 2 f) f2) 6

Mös sellaiset tapaukset kuin 0+ ovat selviä katso edellistä kohtaa) Ongelmia tässä keinossa tulee useimmiten silloin, kun fa) ei ole määritelt, kuten vaikkapa jo mainitussa raja-arvossa 0 sin Voisihan rittää laskea 0 sin sin 0 0 0 0, mutta mitä on 0 0? Tällaisia laskuja ei saa esiintä tenttipapereissa!) Tässä esimerkkitapauksessa sanotaan, että raja-arvo on epämääräistä muotoa 0 0 Mahdollisia epämääräisiä muotoja ovat: 0 0, 0,,, 0 0, Seuraavassa taulukossa on muutama epämääräistä muotoa oleva esimerkkiraja-arvo ja oikea vastaus Raja-arvo on epämääräistä muotoa Oikea vastaus 2 2 2 3 + 2 0 0 0 0 2 2 cot 0 0 0+ 0 0 ) + 2 ) cosh sinh 0 0 + ) e 2,7828 0+ 0 0 + 0 2 + 3 ln e 3 0 Joitakin näistä lasketaan möhemmin Kun vastaan tulee epämääräistä muotoa oleva raja-arvo, niin tärkein keino on muokata lauseketta niin että epämääräiss häviää Aina tämä ei onnistu; ajatellaan vaikka raja-arvoja 0 sin ja + ) 7

39 a) Lasketaan monisteen esimerkki tapauksessa a Kstään siis rajaarvoa Tämä on epämääräistä muotoa 0 0, niin kuin nähdään kun ritetään sijoittaa Sievennetään lauseketta: ) Supistettiin tekijä pois, jonka jälkeen voitiin sijoittaa Oikeastaan kätettiin funktion f) jatkuvuutta kohdassa ) b) Kstään raja-arvoa 2 4 2 6, joka on epämääräistä muotoa 0 0 Lasketaan hiukan toisin kuin monisteessa Idea on kuitenkin sama: Sievennetään niin että päästään supistamaan hankaluuksia tuottava tekijä pois, jolloin voidaankin jo sijoittaa: 2 2 2 6 4) + 4) 2 2) + 2) + 4) 4 + 2) + 4) 4 + 2)4 + 4) 32 Laskussa kätettiin kahdessa kohdassa kaavaa a 2 b 2 a b)a + b) Rationaalifunktion kohdalla tulee usein kseeseen supistaminen sopivalla :n potenssilla, kun raja-arvossa ± Epämääräistä muotoa oleva raja-arvo 2 2 + 3 + 4 3 2 + 2 + saadaan laskettua supistamalla 2 :lla: 2 2 + 3 + 4 3 2 + 2 + 2 + 3 + 4 2 3 + 2 + 2 2 + 0 + 0 3 + 0 + 0 2 3 8

Raja-arvo 0 ) 2 + on epämääräistä muotoa Siis sievennetään ensin: Raja-arvo 2 + + ) + ) + ) + ) + 0 0 + 2 2 3 + 2 on epämääräistä muotoa 0 0 Meneehän sekä osoittaja että nimittäjä nollaksi, kun Siispä kummastakin saadaan tekijäksi, mikä antaakin keinon ratkaista: Raja-arvo 2 2 3 + 2 0 ) + ) ) 2) + 2 + 2 2 on sekin epämääräistä muotoa 0 0 Kätetään temppua, joka usein sopii, kun lausekkeessa on muotoa f) g) oleva osa: lavennetaan vas- 9

taavalla summalla f) + g) Saadaan 0 ) + ) 0 + ) 0 2 2 + ) 0 ) + ) 0 + ) 0 + 0 + 2 Monisteessa kätetään samaa lavennustemppua esimerkissä 39b), jonka edellä laskimme toisin sin Monisteessa todistetaan s 60 että 0 Sen avulla saamme helposti lasketuksi muotoa 0 olevan raja-arvon 0 cot : Neperin luku e cot cos 0 0 sin 0 sin ) cos Voidaan todistaa muttei tehdä tällä kurssilla), että on voimassa raja-arvo + ) merk 2,7828 e, mitä lukua kutsutaan Neperin luvuksi Siis + ) e Voidaan todistaa mös, että + ) e Näitä kätetään tietn muotoisten raja-arvojen laskemiseen 0

On laskettava raja-arvo + 2 ) 3 + Ideana on muokata lauseke muotoon, jossa esiint + ) g), g) missä g) ±, jolloin päästään kättämään em raja-arvotulosta Lasketaan: + 2 ) 3 + e 3 + ) 3 + 3 {}}{ [ + ) + ] 3 + + }{{} e Ensin tehtiin jakolasku, minkä jälkeen eksponentiksi hankittiin sama + joka esiint nimittäjässä On laskettava raja-arvo 2 ) 3+ 2 + Suorittamalla jakolasku saadaan 2 ) 3+ ) 3+ 2 + 2 + Verrattuna äskeiseen esimerkkiin erona on miinusmerkki, joten aivan samalla tavalla ei voi nt edetä Monisteen esimerkissä 35b) on keino tähän: Kirjoitetaan ) 3+ ) 3+ + 2 + 2 + ) [ + ) ] 3+ 2+) 2+) 2 + ) Koska 2 + ), niin hakasulkulauseke lähenee lukua e, ja koska eksponentin raja-arvoksi tulee 3 + 2 + ) niin tulokseksi saadaan e 3/2 3 + 2 3 2,

Voisi tehdä toisellakin tavalla: 2 ) 3+ 2 + Funktion jatkuvuus e 3/2 2 + ) 3+) 2 + ) 3+) 2 [ + ) ] 3+) 2 2 2 Monisteessa s 65 66 määritellään joukko jatkuvuuskäsitteitä Lattiafunktio f) on jatkuva jokaisessa pisteessä a / Z, epäjatkuva jokaisessa pisteessä n Z, oikealta jatkuva jokaisessa pisteessä n Z, vasemmalta epäjatkuva jokaisessa pisteessä n Z, jatkuva jokaisella välillä [n, n + ), missä n Z välin vasemmassa päätepisteessä kseessä on oikealta jatkuvuus) 2 2 2 3 2 Huomautus Tavalliset funktiot ovat leensä jatkuvia niissä pisteissä, joissa ne ovat määriteltjä Tämä pitäisi oikeastaan todistaa jokaiselle funktiolle erikseen, mutta sitä ei tehdä tällä kurssilla Esimerkiksi polnomit ovat kaikkialla jatkuvia; 2

rationaalifunktiot, esimerkiksi 3 +2)+3), ovat jatkuvia muualla paitsi nimittäjän nollakohdissa; sin, cos, e, a ovat kaikkialla jatkuvia; tan on jatkuva pisteissä π 2 + nπ n Z), joten tan on jatkuva jokaisella avoimella välillä π 2 + nπ, π 2 + n + )π ) n Z); log a on jatkuva välillä 0, ) sinh, cosh ja tanh ovat kaikkialla jatkuvia, ja coth on jatkuva väleillä, 0) ja 0, ); arkusfunktiot ovat jatkuvia kukin omalla määrittelvälillään Jos funktio f) on jatkuva pisteessä a, niin a f) fa) Tämä selittää sen, että raja-arvo saadaan tällaisissa pisteissä ottaa sijoittamalla Esimerkiksi, koska on jatkuva pisteissä 2, 3, niin esimerkiksi 2 3 +2)+3) 3 + 2) + 3) 2 3 2 + 2)2 + 3) 7 20 Funktio f) sin on jatkuva kaikissa pisteissä 0 Kohdassa 0 funktio ei ole määritelt, joten se ei ole siinä sen enempää jatkuva kuin epäjatkuvakaan; katso huomautus 39 sin Tädentämällä siitä saadaan kaikkialla jatkuva funktio g) { sin kun 0, 0 kun 0, sillä nt 0 g) g0) Suljetulla välillä jatkuva funktio Otetaan ksinkertainen esimerkki Bolzanon lauseesta s 67) 3

Funktio f) 5 + + on kaikkialla jatkuva polnomi), ja koska f) ja f), niin on sellaiset a ja b, ettå fa) < 0 ja fb) > 0 Bolzanon lauseesta seuraa, että f):llä on ainakin ksi nollakohta Lisäksi kättämällä derivaattaa nähtäisiin, että koska f ) 4 4 + > 0, niin f on kaikkialla kasvava, joten nollakohtia on vain ksi) Nollakohtaa ei psttä ratkaisemaan tarkasti Bolzanon lauseesta saadaan seuraava helppo keino likiarvon lötämiseksi Tämä ns puolitushaku olisi helppo ohjelmoidakin Tosin parempiakin keinoja on) Koska f ) < 0 ja f0) > 0, niin Bolzanon lauseen mukaan on nollakohta välillä, 0) Otetaan välin keskipiste 2 ja lasketaan, että f 2 ) 32 2 + > 0; koska lisäksi f ) < 0, niin on nollakohta välillä, 2 ) Otetaan tämän välin keskipiste 3 4 ja lasketaan f 3 4 ) > 0, jolloin nähdään, että on nollakohta välillä, 3 4 ) Näin jatkamalla lödetään kuinka pieni väli tahansa, jossa nollakohta sijaitsee Sellaisen välin keskipiste kä nollakohdan likiarvosta Monisteen sivulla 68 on lause 324, joka tulee meillä möhemmin kättöön, kun puhumme funktioiden maksimi- ja minimiarvoista: Lause 324 Suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio f) saa tällä välillä pienimmän arvon m ja suurimman arvon M ja kaikki niiden väliset arvot; toisin sanoen f [a, b] ) [m, M] Huomautus M m a f) b Lause 324 ei pidä paikkaansa jos jätetään pois joitakin sen oletuksista: tarkasteluväli on suljettu ja rajoitettu eli muotoa [a, b] ); f on jatkuva ko välillä välin päätepisteissä on toispuolinen jatkuvuus) Tästä vakuuttuu sopivia esimerkkikuvioita piirtelemällä Huomautus Lause 324 nättää kuviosta aivan ilmeiseltä Se, kuten leensä muutkin kurssin tulokset, leist tilanteisiin, joissa se ei enää olekaan niin ilmeinen Esimerkiksi lauseen 324 leists topologisten avaruuksien välisiä funktioita koskevaksi kuuluu: Kahden topologisen avaruuden välisessä jatkuvassa kuvauksessa htenäisen kompaktin joukon kuva on htenäinen ja kompakti 4