Mekaniikka, osa 2. Perttu Lantto. Luentokalvot

Mekaniikka, osa 2 Perttu Lantto Luentokalvot perustuvat kirjaan: University physics, 13 th International Edition H. D. Young & R. A. Freedman (Pearson, 2012) 21. maaliskuuta 2016

Osa VI Luku 14: Jaksollinen liike

Jaksollinen liike Luku 14: Jaksollinen liike (L10) amplitudilla, periodilla, taajuudella ja kulmataajuudella. (YHL) on tärkeä värähtelyn tyyppi. Miten sitä käsitellään laskennallisesti? -kappale esittelee, miten energiaa käytetään YHL:n analysointiin. esittelee muutamia fysikaalisia tilanteita, joita voi kuvata YHL:llä. 14.5 Yksinkertainen heiluri ja sen liike analysoidaan. 14.6 Fysikaalinen heiluri määritelmä ja kuinka sen liikkeen ominaisuuksia lasketaan. 14.7 Vaimennetut värähtelyt kappale kuvaa värähtelyn vaimenemista ja katoamista. 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi -kappale kuvaa, miten sopiva taajuuksinen ajava voima voi aiheuttaa erittäin suuren vasteen eli resonanssin.

Useat liikkeet ovat toistuvia ja niitä kutsutaan jaksolliseksi liikkeeksi (periodic motiion) tai oskillaatioiksi eli värähtelyiksi (oscillation). Kuva 14.1 esittelee yksinkertaisinta periodista liikettä tekevää systeemiä: m massainen kappale liikkuu kitkatta horisontaalitasossa x-akselilla kiinnitettynä massattomaan jouseen, joka voi joko venyä tai puristua. Jousivoima on ainoa horisontaalinen voima; vertikaaliset normaali- ja gravitaatiovoimat summautuvat aina nollaksi. Asetetaan kappale origoon O, kun kappale on tasapainossa eli jousivoima on nolla. x-koordinaatti on siten kappaleen poikkeaman (displacement) x-komponentti ja samalla jousen pituuden muutos. Jousen x-suuntainen voima F x aiheuttaa x-kiihtyvyyden a x = F x/m ja pyrkii palauttamaan systeemin tasapainoon eli on ns. palauttava voima (restoring force). Se saa tasapainoasemastaan poikkeutetun kappaleen oskilloimaan tasapainoasemansa ympärillä, mikä jatkuu ilman kitkavoimia ainiaan. 14.1 Jaksollista liikettä suorittava systeemi.

Amplitudi, jakso, taajuus ja kulmataajuus Liikkeen amplitudi (amplitude) on poikkeaman (displacement) maksimisuuruus tasapainopisteestä eli x]:n maksimiarvo. Jos kuvassa 14.2 jousi on ideaalinen, liike ulottuu 2A-levyiselle aluelle. Kokonainen värähdys eli sykli (cycle) on esim. A:sta A:han ja takaisin A:han. A:sta A:han on vain puolikas sykli. Jakso (period) eli värähdysaika T,([T] = s) on sykliin käytetty aika. Taajuus (frequency) on syklien lukumäärä tietyssä ajassa (SI: [f] = 1 Hz = 1 s 1 ) eli se on käänteinen (reciprocal) suure periodin kanssa: f = 1 T T = 1 f (14.1) Kulmataajuus (angular frequency) on 2π kertaa taajuus: ω = 2πf ([ω] = rad/s) eli se kuvaa kulmamuuttujan muutosnopeutta ja riippuu myös käänteisesti periodista: ω = 2πf = 2π (14.2) 14.2 Jaksollisen liikkeen T malli.

Amplitudi, jakso, taajuus ja kulmataajuus Esimerkki 14.1: Jakso, taajuus ja kulmataajuus Ultraääniä tuottava lääketieteen diagnoosilaite oskilloi taajuudella 6.7 MHz. Kuinka kauan jokainen värähdys kestää ja mikä on värähtelyn kulmataajuus? Värähdyksen kesto eli periodi on: T = 1 f = 1 6.7 10 6 Hz = 1.5 10 7 s = 0.15µs Kulmataajuudeksi saadaan: ω = 2πf = 2π(6.7 10 6 Hz) = 4.2 10 7 rad/s Kyseessä on siis hyvin nopea värähtely, jolle T on pieni ja f ja ω vastaavasti suuria.

Yksinkertaisemmillaan värähtely on, kun siinä vaikuttava palauttava voima on suoraan verrannollinen poikkeutuskoordinaatin x suuruuteen tasapainopisteestä. Tämä toteutuu, kun kuvien 14.1 ja 14.2 jouset ovat ideaalisia eli totauttavat Hooken lain (kts. kappale 6.3) ja voiman F x ja poikkeaman x välinen suhteellisuuskerroin on (aina positiivinen) voimavakio k ([k] = N/m). Tasapainopisteen molemmin puolin F x ja x ovat aina erimerkkisiä (kuva 14.3). Kappaleessa 6.3 jouseen kohdistettiin voima F x = kx, joten jousen kappaleeseen kohdistama palauttava voima on vastakkaismerkkinen: F x = kx (14.3) Jos kitkavoimat oletetaan olemattomiksi, yhtälö (14.3) antaa nettovoiman kaikilla x:n arvoilla (kuva 14.3). 14.3 Ideaalinen jousi kohdistaa palauttavan voiman, joka noudattaa Hooken lakia.

Kun palauttava voima on suoraan verrannollinen poikkeaman suuruuteen tasapainosta yhtälön (14.3) mukaisesti, värähtelyä kutsutaan yksinkertaiseksi harmoniseksi liikkeeksi, YHL (simple harmonic motion, SHM). Kappaleen kiihtyvyydeksi YHL:ssä (a x = d2 x dt 2 = Fx m ): a x = d2 x dt 2 = k m x (14.4) Miinusmerkki tarkoittaa, että kiihtyvyys ja poikkeama ovat aina eri suuntaan. Kiihtyvyys ei ole vakio, joten vakiokiihtyvyyden yhtälöitä kappaleesta 2 ei saa käyttää! Kappaletta, joka suorittaa yksinkertaista harmonista liikettä, kutsutaan harmoniseksi oskillaattoriksi (harmonic oscillator). Vaikka monet jaksolliset liikkeet eivät ole yksinkertaista harmonista liikettä (kuva 14.4), voidaan useissa tapauksissa niitä approksimoida pienen poikkeaman (liikkeen amplitudin) tapauksessa YHL:llä. 14.4 Useimmat oikeat värähtelijät toteuttavat Hooken lain, jos värähtelyn amplitudi on pientä.

Ympyräliike ja YHL-yhtälöt Harmonisen liikkeen kuvaamiseksi, värähtelevän kappaleen poikkeutuskoordinaatti pitää riippua ajasta, x(t). Tämän funktion toinen derivaatta d 2 x/dt täytyy olla vakio ( k/m) kertaa funktio itse. Kuva 14.5a esittää vaakatasossa pyörivää A-säteistä levyä, jonka kehälle on kiinnitetty pallo kohtaan Q. Levy pyörii kulmanopeudella ω, joten pallo on tasaisessa pyörivässä liikkeessä. 14.5 (a) Tasaisen ympyräliikkeen ja yksinkertaisen harmonisen liikkeen suhde. (b) Pallon varjo liikkuu täsmälleen kuten kappale kytkettynä ideaaliseen jouseen.

Ympyräliike ja YHL-yhtälöt Horisontaalinen valonsäde heittää varjostimelle pallon varjon, joka oskilloi edestakaisin välillä A ja A, kun pallo pyörii ympyrää. Osoitetaan, että pallon varjon ja kuvien 14.1 ja 14.2 esittämien ideaalisten jousisysteemien liikkeet ovat identtisiä, jos jälkimmäisen amplitudi on A ja sen kulmataajuus 2πf vastaa pyörivän levyn kulmavauhtia ω. Yksinkertainen harmoninen liike on tasaisen pyörivän liikkeen projektio sen halkaisijalle. 14.5 (a) Tasaisen ympyräliikkeen ja yksinkertaisen harmonisen liikkeen suhde. (b) Pallon varjo liikkuu täsmälleen kuten kappale kytkettynä ideaaliseen jouseen.

Ympyräliike ja YHL-yhtälöt Sijoitetaan yllä mainittu ns. referenssiympyrää (reference circle) ja sitä referenssipisteessä Q kiertävä pallo xy-tasolle origon O ympärille (kuva 14.5b). OQ-vektori tekee ajanhetkellä t kulman θ positiivisen x-akselin suhteen. OQ-vektori, ns. vaihevektori (phasor, phase vector), liikkuu samalla kulmanopeudella ω kuin piste Q liikkuu ympäri referenssiympyrää. OQ-vektorin x-komponentti ajanhetkellä on Q-pisteen x-koordinaatin arvo ja samalla varjon P, joka on Q:n projektio x-akselille, x-koordinaatti: x = Acosθ (14.5) Siten myös P:n x-nopeus x-akselia pitkin on Q-pisteen nopeusvektorin x-komponentti (kuva 14.6a). Samoin varjon x-kiihtyvyys vastaa Q:n kiihtyvyysvektorin x-komponenttia (kuva 14.6b). 14.6 (a) x-nopeus ja (b) x-kiihtyvyys ovat Q-pallon nopeus- ja kiihtyvyysvektoreiden x-komponentit.

Ympyräliike ja YHL-yhtälöt Tasaisen ympyräliikkeen kiihtyvyysvektori a Q osoittaa kohti ympyrän keskipistettä ja sen suuruus on vakio: a Q = ω 2 A (14.6) Sen x-komponentti on a x = a Q cosθ (kuva 14.6b), joka yhdistämällä yhtälöön (14.6) antaa: a x = a Q cosθ = ω 2 Acosθ (14.7) a x = ω 2 x (14.8) Eli kiihtyvyys pisteessä P on suoraan verrannollinen poikkeaman x arvoon ja on aina vastakkaismerkkinen, aivan kuten YHL:säkin. Yhtälö (14.8) on täsmälleen harmonisen oskillaattorin kiihtyvyyden yhtälö (14.4), jos ω riippuu värähtelijän voimavakiosta ja massasta: 14.6 (a) x-nopeus ja (b) ω 2 = k x-kiihtyvyys ovat k m ω = (14.9) Q-pallon nopeus- ja m kiihtyvyysvektoreiden x-komponentit.

Ympyräliike ja YHL-yhtälöt Kun Q pyörähtää koko ympyrän ajassa T, myös piste P tekee täyden värähdyssyklin, joten T on P:n värähdysperiodi. Q:n kulmavauhti on tällöin ω = 2π/T, mikä on sama kuin P:n kulmataajuus yhtälössä (14.2) eli kulmataajuus yhdistää värähtelyn ja ympyräliikkeen. YHL:n kulmataajuutta ei voi siis valita vapaasti vaan se riippuu värähtelevän kappaleen massasta ja siihen vaikuttavasta k:hon verrannollisesta palauttavasta voimasta: ω = k m (14.10) YHL:n taajuudeksi ja periodiksi saadaan: f = ω 2π = 1 k 2π m T = 1 f = 2π ω = 2π m k (14.11) (14.12) Mitä suurempi m sitä pienempi kiihtyvyys, hitaampi vauhti ja pidempi periodi. Mitä suurempi k (jäykempi jousi) sitä suurempi kiihtyvyys ja vauhti sekä lyhyempi periodia.

YHL:n periodi ja amplitudi Yhtälöiden (14.11) ja (14.12) mukaan yksinkertaisen harmonisen liikkeen periodi ja taajuus määräytyvät pelkästään massan m ja voimavakion k arvoista. Yksinkertaisen harmonisen liikkeen periodi ja taajuus eivät riipu liikkeen amplitudista A. Yhden värähdyksen aika on sama riippumatta sen amplitudin suuruudesta. Mitä suurempi amplitudi on sitä suurempia palauttavia voimia kappaleeseen kohdistuu, jolloin keskimääräinen vauhti kasvaa, mikä kompensoi kasvavan matkan. Ilman YHL:ää vakiotaajuudesta riippuvat laitteet (esim. äänirauta, mekaaniset ja elektroniset kellot) eivät olisi mahdollisia (kuva 14.7). Jos värähtelijän periodi riippuu sen amplitudista, kyseessä ei ole yksinkertainen harmoninen liike (harmoninen oskillaattori). 14.7 Erimassaiset ääniraudat tuottavat eri taajuuksia: f = 1 2π km

Ympyräliike ja YHL-yhtälöt Esimerkki 14.2: YHL:n kulmataajuus, taajuus ja jakso Jousivaaka on kiinnitetty toisesta päästä seinään kytkettyyn horisontaaliseen jouseen (kuva 14.8a). Kun sitä vedetään, venytysvoima on verrannollinen poikkeamaan ja F x = 6.0N voima tarvitaan x = 0.030 m poikkeamaan. Vaihdetaan jousivaaka m = 0.50 kg massaiseen liukujaan, joka vedetään x = 0.020m kitkatonta pintaa pitkin ja päästetään levosta liikkeelle (kuva 14.8b). (a) Lasketaan jousen voimavakio k sekä (b) oskillaation kulmataajuus ω, taajuus f ja periodi T. (a) Liike on YHL, koska jousivoima on verrannollinen venymään. Jousen jousivaakaan kohdistama voima on F x = 6.0N eli voimavakio on k = Fx x = 6.0N 0.030m = 200N/m(kg/s2 ) (b) Yhtälöstä (14.10) saadaan: k ω = m = 200kg/s 2 = 20rad/s 0.50kg f = ω 2π = 20rad/s = 3.2Hz 2π T = 1 f = 1 3.21/s = 0.31s YHL:n värähdysamplitudi on määrätty alussa (0.020 m) eivätkä kulmataajuus, taajuus ja periodi riipu siitä. 14.8 (a) Jouseen kohdistuva voiman x-komponentti F x = +6.0N ja jousen kohdistama voima on F x = 6.0N. (b) Jouseen kiinnitetty liukuja oskilloi.

YHL:n poikkeama, nopeus ja kiihtyvyys Yhtälö (14.5), x = Acosθ), siis kuvaa sekä YHL:n että tasaisen ympyräliikkeen referenssipisteen x-koordinaattia, joka liikkuu kulmavauhdilla k ω = m. Jos vaihevektorin OQ kulma +x-akselin suhteen on φ ajanhetkellä t, niin millä tahansa myöhemmällä ajanhetkellä t kulma on θ = ωt+φ, jolloin yhtälöstä (14.5) saadaan (kuva 14.9): Kosini toistaa itseään, kun sen argumentti kasvaa 2π verran eli jos aloitetaan ajanhetkellä t = 0, saadaan yhtälö (14.12): k ωt = m T = 2π T = 2π m k x = Acos(ωt+φ) (14.13) joka voidaan kirjoittaa myös sinin avulla, koska cosα = sin(α+π/2). Yksinkertaisen harmonisen liikkeen paikka on periodinen, sinusoidinen ajan funktio. Kosini-funktio (kuten sinikin) on aina välillä [ 1, 1], joten x on välillä [ A,A] eli A on liikkeen amplitudi. 14.9 Paikka x ajan t funktiona yksinkertaisella harmonisella liikkeellä (nyt φ = 0).

YHL:n poikkeama, nopeus ja kiihtyvyys Voimavakion k tai massan m muuttaminen vaikuttaa värähtelyn periodiin (kuvat 14.10a ja 14.10b) mutta amplitudi A ei (kuva 14.10c). Vakio φ on ns. vaihekulma (phase angle), joka kertoo missä syklin (Q:n paikka) kohdassa (x 0 ) värähtelijä on ajanhetkellä t = 0: x 0 = Acosφ (14.14) Kun φ = 0 : x 0 = Acos0 = A eli kappale aloittaa positiivisesta maksimiarvosta. Kun φ = π : x 0 = Acosπ = A aloittaa kappale negatiivisesta poikkeamasta. Kun φ = π/2 : x 0 = Acos(π/2) = 0, joten kappale on alussa origossa (kuva 14.11). 14.10 YHL:n muutokset, kun φ = 0. 14.11 YHL:n vaihemuutokset.

YHL:n poikkeama, nopeus ja kiihtyvyys Nopeus v x ja kiihtyvyys a x saadaan ottamalla aikaderivaatat yhtälöstä (14.13): v x = dx = ωasin(ωt+φ) (14.15) dt a x = dvx dt = d2 x dt 2 = ω2 Acos(ωt+φ) (14.16) v x oskilloi välillä v max = +ωa ja v max = ωa ja a x välillä a max = +ω 2 A ja a max = ω 2 A (kuva 14.12). Yhtälöitä (14.16) ja (14.13) vertaamalla saadaan: a x = ω 2 x = k m x mikä on YHL:n yhtälö (14.4), joten paikan aikariippuvuus yhtälössä (14.13) on oikein. Paikan muutos ajan suhteen (kuva 14.12a) eroaa neljäsosaperiodin verran nopeuden (kuva 14.12b) ja puolikkaan periodin verran kiihtyvyyden (kuva 14.12c) muutoksista. 14.12 YHL:n paikan, nopeuden ja kiihtyvyyden kuvaajat (φ = π/3).

Poikkeama, nopeus ja kiihtyvyys YHL:ssä Jos alkupaikka x 0 ja vauhti v 0x tiedetään, voidaan amplitudi A ja vaihekulma φ määrittää. Vauhti ajanhetkellä t = 0 on: v 0x = ωasinφ (14.17) Jaetaan tämä paikan yhtälöllä (14.14), mikä eliminoi A:n ja saadaan yhtälö, josta voidaan ratkaista vaihekulma (φ): v 0x = ωasinφ x 0 Acosφ = ωtanφ ( φ = arctan v ) 0x (14.18) ωx 0 Yhtälöistä (14.14) ja (14.17) korottamalla neliöön ja summaamalla saadaan: x 2 0 + v2 0x ω 2 = A2 (cos 2 φ+sin 2 φ) A = x 2 0 + v2 0x ω 2 (14.19) Jos alkupaikka ja -nopeus eivät ole nollia, amplitudi ei ole sama kuin alkupoikkeutus. Eli jos aloitetaan +x-akselilta mutta kappaleelle annetaan positiivinen alkunopeus, se menee kauemmaksi ennen kääntymistään takaisin.

Poikkeama, nopeus ja kiihtyvyys YHL:ssä Esimerkki 14.3: YHL:n kuvaileminen Poikkeutetaan Esimerkin 14.2 liukujaa x 0 = +0.015m ja annetaan sille alkunopeus v 0x = +0.40m/s. (a) Mikä on syntyvän liikkeen periodi, amplitudi ja vaihekulma? (b) Kirjoitetaan poikkeaman, nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt ajan funktiona. (a) YHL:ssä period ja kulmataajuus ovat systeemin ominaisuuksia, jotka riippuvat vain k:sta ja m:stä, eivät amplitudista, joten ne ovat samat kuin Esimerkissä 14.2 (T = 0.31s ja ω = 20rad/s). Yhtälöstä (14.19) saadaan amplitudi: A = x 2 0 + v2 0x ω 2 = (0.015m) 2 + (0.40m/s)2 (20rad/s) 2 = 0.025m (a) Vaihekulma ( saadaan ) yhtälöstä (14.18): φ = arctan v 0x ωx ( 0 ) 0.40 m/s = arctan = 53 (20 rad/s)(0.015 m) = 0.93rad (b) Yhtälöt (14.13) - (14.15) antavat poikkeaman, nopeuden ja kiihtyvyyden lausekkeet, kun sijoitetaan niihin ω, A ja φ: x = Acos(ωt+φ) = (0.025m)cos[(20rad/s)t 0.93rad] v x = ωasin(ωt+φ) = (0.50m/s)sin[(20rad/s)t 0.93rad] a x = ω 2 Acos(ωt+φ) = (10m/s 2 )cos[(20rad/s)t 0.93rad] Ne voi tarkistaa ajanhetkellä t = 0, jolloin niiden pitää antaa alkuarvot x 0 ja v 0x.

Kuvan 14.13 tilanteessa, jousivoima on ainoa kappaleeseen kohdistuva horisontaalinen voima. Ideaalisen (massattoman) jousen voima on konservatiivinen ja koska vertikaaliset voimat eivät tee työtä, mekaaninen kokonaisenergia E = K +U säilyy: E = 1 2 mv2 x + 1 2 kx2 = vakio (14.20) Kokonaisenergia riippuu myös suoraan liikkeen amplitudista A, sillä kun x = A (tai A), kappale pysähtyy hetkeksi ja kääntyy tulosuuntaansa. Tällöin v x = 0 ja kaikki energia on potentiaalienergiaa eli E = U = 1 2 ka2. Mekaaninen kokonaisenergia E on suoraan riippuvainen liikkeen amplitudista A (ω 2 = k/m ja cos 2 α+sin 2 α = 1) E = 1 2 mv2 x + 1 2 kx2 = 1 2 m[ ωasin(ωt+φ)]2 + 1 2 k[acos(ωt+φ)]2 = 1 2 ka2 sin 2 (ωt+φ)+ 1 2 ka2 cos 2 (ωt+φ) E = 1 2 mv2 x + 1 2 kx2 = 1 2 ka2 = vakio (14.21) Eli kokonaisenergia säilyy ja on kaikissa kohdissa E = 1 2 ka2.

Yhtälöstä (14.21) voidaan ratkaista nopeus, joka riippuu poikkeutuskoordinaatista x: k v x = ± A 2 x 2 (14.22) m missä ±-merkki tarkoittaa, että kappale voi liikkua kumpaankin suuntaan samalla vauhdilla. Esimerkiksi kohdissa x = ±A/2: ( k v x = ± A 2 ± A ) 2 = ± m 2 3 4 k m A Yhtälöstä (14.22) nähdään, että maksimivauhti saavutetaan kohdassa x = 0 ja käyttämällä yhtälöä (14.10) (ω = k/m), sille saadaan arvo: v max = k A = ωa (14.23) m Tämä vastaa yhtälöä (14.15) eli että nopeus v x oskilloi välillä ωa ja ωa.

E, K, ja U yksinkertaisessa harmonisessa liikkeessä 14.14 Kokonais- E, kineettinen K ja potentiaalienergia U eri poikkeutuskoordinaatin arvoilla yksinkertaiselle harmoniselle liikkeelle (YHL).

YHL:n E, K, jau tulkinta Kuvan 14.15a parabolinen käyrä kuvaa potentiaalienergiaa U = 1 2 kx2. Horisontaalinen viiva kuvaa kokonaisenergiaa E = 1 2 ka2, joka on vakio ja ei siis muutu x:n funktiona. Parabolin etäisyys x-akselista kuvaa siis U:n suuruutta ja koska E = K +U, parabolin etäisyys horisontaalisesta E-viivasta kuvaa kineettisen energian K suuruutta. E:n ja U:n käyrät risteävät kohdissa x = ±A, jolloin siis kaikki energia on potentiaalienergiaa U (K = 0) ja kappale on hetken levossa ja vaihtaa liiikesuuntaansa. Energia siis muuttuu jatkuvasti kineettisestä ja potentiaaliseksi energiaksi ja päinvastoin. Koska ei voi olla K < 0, U ei voi olla suurempi kuin E = 1 2 ka2, joten ei voi olla x > A tai x < A Kuvassa 14.15b U:n lisäksi on piirrettu K:n parabolinen x:n funktio, joka leikkaa U:n pisteissä x = ± 1 2 A. 14.15 U ja K poikkeutuskoordinaatin funktiona yhtälön (14.21) mukaisesti.

Esimerkki 14.4: Nopeus, kiihtyvyys ja energia YHL:ssä (a) Lasketaan maksimi- ja miniminopeudet sekä (b) minimi- ja maksimikiihtyvyydet Esimerkin 14.2 värähtelevälle kelkalle (k = 200 N/m, m = 0.50kg, A = 0.020m). (c) Lasketaan nopeus v x ja kiihtyvyys a x, kun kelkka on puolessa matkassa alkupisteen ja tasapainopisteen x = 0 välillä. (d) Lasketään tässä pisteessä kokonais-, potentiaali- ja kineettinen energia. k (a) Yhtälö (14.22), v x = ± m A 2 x 2 antaa maksimivauhdin tasapainopisteessä k x = 0: v max = A = 0.40m/s eli m maksimi- ja miniminopeudet ovat tasapainopisteessä +0.40 m/s ja 0.40 m/s, kun kelkka on menossa oikealle ja vasemmalle. (b) Maksimikiihtyvyys saadaan kohdassa x = A = 0.020m: a max = k m ( A) = +8.0m/s2 ja minimikiihtyvyys, kun x = +A = +0.020m: a min = k (+A) = 8.0m/s2 m (c) Kun kelkka liikkuu vasemmalle pisteiden +A ja 0 puolivälissä (x = +0.010m), on nopeus: 200N/m v x = 0.50 kg (0.020m) 2 (0.010) 2 = 0.35 m/s ja kiihtyvyys: a x = k m (x) = 4.0m/s2. (d) Energioiksi saadaan: E = 1 2 ka2 = 1 2 (200 N m )(0.020m)2 = 0.040J, U = 1 2 kx2 = 1 2 (200 N m )(0.010m)2 = 0.010J K = 1 2 mv2 x = 1 2 (0.50kg)( 0.35 m s )2 = 0.030J Eli kokonaisenergiast 1 on potentiaali ja loput 4 kineettistä energiaa kohdassa x = A 2.

Esimerkki 14.5: YHL:n energia ja liikemäärä Jouseen (k) kiinnitetty kappale (M) tekee YHL:ää amplitudilla A 1. Kun se ohittaa tasapainopisteensä, sen päälle putoaa massa m. (a) Lasketaan liikkeen uusi amplitudi ja periodi. (b) Toistetaan sama kun massa putoaa kappaleen päälle toisessa kääntöpisteessä. (a) Alussa E 1 = 1 2 ka2 1 ja kohdassa x = 0 ennen törmäystä U = 0, joten E 1 = K 1 1 2 ka2 1 = 1 2 Mv2 1 v k 1 = M A 1 (a) Lyhyen törmäyksen jälkeen systeemi jatkaa tasapainoasemasta pienemmällä kineettisellä energialla (U = 0): E 2 = 1 2 (M +m)v2 2 = 1 M 2 2 M+m v2 1 = M M+m ( 1 2 Mv2 1) = ( M M+m ) E 1 (a) Koska E 2 = 1 2 ka2 2, amplitudiksi saadaan: ( ) 1 2 ka2 2 = M 1 M+m 2 ka2 1 A 2 = A M 1 M+m (a) Yhtälöstä (14.2) saadaan periodiksi: M+m T 2 = 2π k (a) Liikemäärän x-komponentti säilyy törmäyksessä ja putoavan massan liikemäärä on x-suunnassa nolla, joten saadaan: Mv 1 +0 ( = (M +m)v ) 2 v 2 = M v M+m 1 14.16 Ongelman luonnostelma.

Esimerkki 14.5: YHL:n energia ja liikemäärä (b) Kun massa putoaa, kappale on hetkellisesti levossa (kuva 14.16b), joten liikemäärän x-komponentti on nolla sekä ennen että jälkeen törmäyksen. (b) Kappaleen K 1 = 0 ennen törmäystä ja K 2 = 0 törmäyksen jälkeen. (b) Energia on kokonaan jousen potentiaalienergiaa E 1 = U 1. (b) Massan lisäys ei muuta kokonaisenergiaa eli E 1 = E 2 = 1 2 ka2 1 ja amplitudi pysyy samana A 2 = A 1. (b) Kuitenkin periodi muuttuu samoin kuin (a)-kohdassa: T 2 = (M +m)/k (a)-kohdassa energiaa häviää kitkavoimiin, koska kappaleet liukuvat toistensa suhteen. (b)-kohdassa näin ei ole, koska poikittaissuuntaista liikettä ei ole. 14.16 Ongelman luonnostelma.

Yksinkertainen vertikaalinen harmoninen värähtely YHL pätee kaikkiin tilanteisiin, joissa palauttava voima on suoraan verrannollinen poikkeutuksen suuruudesta tasapainoasemasta eli F x = kx [yhtälö (14.3)]. Voimavakio k riippuu tilanteesta ja kun se on määritetty, oskillaattorin ominaisuudet ω, f, ja T saadaan suoraan aiemmin esitetyistä yhtälöistä (14.10)-(14.12). Kun kappale roikkuu jousesta tasapainoasemassaan, vertikaalinen jousivoima on tasapainossa painon kanssa: k l = mg 14.17 Jousessa roikkuva kappale.

Yksinkertainen vertikaalinen harmoninen värähtely Otetaan tasapainopiste x = 0 ja suunta ylöspäin positiiviseksi. Kun kappale on etäisyyden x verran tasapainopisteen yläpuolella, jousen venymä on l x ja se kohdistaa kappaleeseen ylöspäin voiman k( l x). Tällöin siihen kohdistuu palauttava alaspäin suuntautuva nettovoima, jonka magnitudi on kx: F net = k( l x)+( mg) = kx Samoin, jos kappale on tasapainokohdan alapuolella, siihen kohdistuu ylöspäin suuntautuva nettovoima kx. Jousesta roikkuva kappale suorittaa siis YHL-oskillaatiota, kuten vaakatasossakin, joten sen kulmataajuus on ω = k/m. Vertikaalinen YHL on siis käytännössä sama kuin horisontaalinen YHL, ainoa ero on, että tasapainopiste ei ole enää venymättömän jousen kohdassa. Tilanne on sama, jos kappale on jousen yläpuolella ja puristaa sitä l verran.

Yksinkertainen vertikaalinen harmoninen värähtely Esimerkki 14.6: Vertikaalinen YHL vanhassa autossa Vanhan auton (m = 1000 kg) iskunvaimentimet ovat loppuun kuluneet. 980 N painoinen henkilö nousee hitaasti autoon, jolloin sen massakeskipiste tipahtaa 2.8 cm. Auto osuu töyssyyn, jolloin se alkaa suorittaa yksinkertaista harmonista liikettä. Mallinnetaan auton ja henkilön systeemiä kappaleena, joka painaa jousta ja lasektaan värähtelyn periodi ja taajuus. Tilanne vastaa kuvaa (12.18) ja jousen voimavakio saadaan henkilön aiheuttamasta lisäpainumasta: k = Fx x = 980N 0.028m = 3.5 104 kg/s 2 Henkilön massa on w/g = 980N/9.80m/s 2 = 100kg, joten auton ja henkilön yhteisen oskillaation periodi on: T = 2π m k = 2π ja taajuus f = 1/T = 1/1.11s = 0.90Hz 1100kg 3.5 10 4 kg/s 2 = 1.11s Iskunvaimentimien tehtävä on vaimentaa tällaiset hyvin epämiellyttävät taajuudet. 14.18 Jousta painava kappale.

Yksinkertainen harmoninen kiertovärähtely Mekaaninen kello pitää aikansa tasapainorattaan (kuva 14.19) oskillaatioiden avulla. Rattaalla on hitausmomentti I akselinsa suhteen ja kierrejousen palauttava vääntömomentti τ z = κθ on verrannollinen kulmamuutokseen θ tasapainoasemasta ja κ on torsiovakio (torsional constant). Käyttämällä Newtonin 2. lain rotaatioanalogiaa jäykälle kappaleelle τ z = Iα z = I d2 θ dt 2, saadaan liikeyhtälö κθ = Iα d2 θ dt 2 = κ I θ Yhtälön muoto vastaa täsmälleen yhtälöä (14.4) YHL:n kiihtyvyydelle, kun x θ ja k/m κ/i, joten kyse on yksinkertaisesta harmonisesta kiertovärähtelystä (angular SHL). Samalla analogialla saadaan myös kulmataajuus ja taajuus: κ ω = I f = 1 κ 2π I (14.24) Jos liike ei olisi YHL:ää, se voisi riippua amplitudista, jolloin kello ei kävisi tasaisesti. Liikettä kuvaa funktio θ = Θcos(ωt+φ), missä Θ on kulma-amplitudi. 14.19 Kellon tasapainoratas.

Molekyylien värähtelyt Muutaman atomin halkaisijan etäisyydestä lähtien atomit yleensä kohdistavat toisiinsa vetovoimia (attractive forces) mutta kun niiden elektronirakenteet ovat riittävän päällekkäin voimat muuttuvat työntäviksi (repulsive forces). Kun systeemin kokonaisenergia on alempi kuin erillisten atomien energioiden summa, kaksi atomia muodostaa molekyylin. Se värähtelee tasapainoaseman ympärillä, kun atomit poikkeutetaan siitä. Eräs atomeja molekyyleiksi yhdistävä voima on ns. van der Waals (vdw)-vuorovaikutus, jonka kvanttimekaaniseen taustaan ei tässä mennä. Kun atomien keskipisteet ovat etäisyydellä r ja tasapainoetäisyys on R 0, kokeellista dataa melko hyvin kuvaava vdw-vuorovaikutuksen potentiaalienergiafunktio on (U 0 on positiivinen vakio, [U 0 ] = J): [ (R0 ) 12 ( ) ] 6 R0 U = U 0 2 (14.25) r r

Molekyylien värähtelyt Kun atomit ovat kaukana toisistaan U = 0 ja kun r = R 0 U = U 0. Toiseen atomiin kohdistuva vdw-voima on: F r = du [ 12R 12 ] [ dr = U 0 0 r 13 2 6R6 0 r 7 = 12 U (R0 ) 13 ( ) ] 7 0 R0 (14.26) R 0 r r Voima on positiivinen kun r < R 0 ja negatiivinen kun r > R 0, joten se on palauttava (restoring) voima. 14.20 Kahden etäisyydellä r olevan atomin vuorovaikutus.

Molekyylien värähtelyt Muutetaan tarkastelu poikkeutukseksi tasapainoetäisyydestä: x = r R 0 r = R 0 +x: [ ( F r = 12 U ) 13 ( ) ] 7 0 R0 R0 = 12 U [ ] 0 1 R 0 R 0 +x R 0 +x R 0 (1+x/R 0 ) 13 1 (1+x/R 0 ) 7 x Jos rajoitutaan pienen amplitudin liikkeeseen eli << 1, jolloin voidaan ottaa R 0 binomikehitelmän (1+u) n = 1+nu+ n(n 1) u 2! 2 +... pari ensimmäistä termiä: F r 12 U ) )] ( ) 0 [(1+( 13) xr0 (1+( 7) xr0 72U0 = R 0 R0 2 x (14.29) Saadaan Hooke n laki voimavakiolla k = 72U 0 /R 2 0 ([k] = J/m2 = N/m) eli vdw-molekyylin värähtely tasapainoetäisyyden ympärillä voi olla pienillä amplitudeilla harmonista. Binomikehitelmällä voidaan myös osoittaa, että potentiaalienergia on muotoa U 1 2 kx2 +C, C = U 0, k = 72U 0 /R 2 0. Koska vakiotermillä C ei ole vaikutusta systeemin fysiikkaan eli se voidaan valita vapaasti nollaksi, ei kahden atomin värähtelijä eroa horisontaaliseen jouseen kytketystä massasta, jolle U = 1 2 kx2.

12.5 Yksinkertainen heiluri 14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Yksinkertainen heiluri (simple pendulum) on idealisoitu malli, jossa pistemassa on ripustettu massattomaan ja venymättömään lankaan. Sillä voidaan mallintaa tasapoinopisteen ympärillä tapahtuvaa heilumista, kuten esimerkiksi keinumista (kuva 14.21a). Pistemassan rata on L-säteisen (langan pituus) ympyrän kaari, joten luonnollinen koordinaatti on etäisyys tällä radalla eli x = Lθ. Jotta pistemassa tekisi yksinkertaista harmonista liikettä, palauttavan voiman pitää olla suoraan verrannollinen poikkeamaan x. Palauttava voima on pistemassaan kohdistuvan nettovoiman tangentiaalinen komponentti (kuva 14.21b): F θ = mgsinθ (14.30) Jännitysvoima T pitää ainoastaan pisteen radallaan, joten palauttava voima on gravitaatiovoiman aiheuttama. Palauttava voima ei ole suoraan verrannollinen poikkeamaan (θ) vaan sen siniin (sinθ) eli kyseessä ei ole YHL. 14.21 Yksinkertaisen heilurin dynamiikka.

12.5 Yksinkertainen heiluri Kuitenkin jos poikkeama θ on pieni on sinθ = θ θ3 3! + θ5 θ, esim. 5! θ = 0.1rad( 6 ) sinθ = 0.0998, eli: F θ = mgθ = mg x L = mg L x (14.31) Palauttava voima on suoraan verrannollinen poikkeamaan voimavakiolla k = mg/l, ja yksinkertaisen heilurin kulmataajuus, taajuus ja periodi ovat: 14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Koska palauttava voima on paino, yhtälön F = m a kummallakin puolella esiintyy kappaleen massa m, joka siis kumoutuu pois eli edellisissa yhtälöissä sitä ei esiinny. Tietyllä arvolla g heilurin pienen heilahduksen periodi (sekä kulmataajuus ja taajuus) riippuu ainoastaan L:stä. Pitkällä heilurilla on pidempi periodi ja toisaalta suurempi g kasvattaa palauttavaa voimaa, mikä lyhentää periodia. ω = k mg/l m = f = ω 2π = 1 2π g L m = T = 2π ω = 1 f = 2π L g g L (14.32) (14.33) (14.34) 14.22 Pienillä poikkeamilla θ palauttava voima on siihen suoraan verrannollinen, joten heiluri on yksinkertaisessa harmonisessa liikkessä.

12.5 Yksinkertainen heiluri 14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi On hyvä muistaa, että heilurin liike on vain approksimatiivisesti yksinkertaista harmonista. Kun amplitudi ei ole pieni, liike voi erota yksinkertaisesta harmonisesta liikkeestä varsin paljon. Sen, milloin amplitudi on pieni ja liike siis yksinkertaista harmonista, voi arvioida yleisesti voimassa olevasta äärettömästä sarjasta periodille (Θ on kulmamuutoksen maksimi eli amplitudi): T = 2π L g (1+ 12 Θ 2 2 sin2 2 + 12 3 2 Θ ) 2 2 4 2 sin4 2 +... (14.35) Kun amplitudista Θ riippuvat termit ovat riittävän pieniä, voidaan liikettä pitää yksinkertaisena harmonisena liikkeenä. Esimerkiksi, kun Θ = 15 oikea periodi on n. 0.5% pidempi kuin pelkän ensimmäisen termin eli yhtälön (14.35) antama YHL:n periodi. Yhtälöllä (14.35) voidaan laskea periodi haluttuun tarkkuuteen mille tahansa kulmalle, kunhan termejä otetaan tarpeeksi. 14.22 Pienillä poikkeamilla θ palauttava voima on siihen suoraan verrannollinen, joten heiluri on yksinkertaisessa harmonisessa liikkessä.

12.5 Yksinkertainen heiluri 14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Esimerkki 14.8: Yksinkertainen heiluri Lasketaan L = 1.000 m pitkän yksinkertaisen heilurin periodi ja taajuus paikassa, jossa g = 9.800m/s 2. Yksinkertaiselle heilurille voidaan käyttää edellä johdettuja jaksonajan ja taajuuden yhtälöitä. Periodi saadaan yhtälöstä (14.34): Ja taajuus suoraan jaksonajasta: Periodi on melkein tasan 2s. L T = 2π g = 2π 1.000 m 9.800m/s 2 = 2.007s f = 1 T = 1 2.007s = 0.4963Hz Metrisen systeemin alkuvaiheessa sekunti oli määritelty kaksimetrisen yksinkertaisen heilurin jaksonajan puolikkaaksi. Määritelmä oli huono, koska g:n arvo muuttu paikasta toiseen.

14.6 Fysikaalinen heiluri 14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Fysikaalinen heiluri (physical pendulum) on mikä tahansa todellinen heiluri, jossa yksinkertaisen heilurin massapisteen sijasta laajempi kappale heilahtelee. Kuvan 14.23 epäsäännöllisen muotoinen kappale on ripustettu tappiin kohdasta O, jonka ympäri se voi heilahdella kitkatta. Tasapainossa kappaleen painopiste on suoraan ripustuspisteen alapuolella. m-massainen kappale on poikkeutettu tasapainoasemasta kulman θ verran (kuva 14.23), d on painopisteen (cg) etäisyys tapista O ja kappaleen hitausmomentti O:n rotaatioakselin suhteen on I. Tällöin painovoima aiheuttaa vääntömomentin: τ z = (mg)(dsinθ) (14.36) missä negatiivinen etumerkki kertoo, että palauttava vääntömomentti on myötäpäivään kun poikkeama on vastapäivään ja päinvastoin. 14.23 Fysikaalisen heilurin dynamiikka.

14.6 Fysikaalinen heiluri 14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Kun kappale vapautetaan, se oskilloi tasapainoaseman ympärillä. Liike ei ole yksinkertaista harmonista, sillä τ z sinθ, mutta kun θ on pieni sinθ θ (rad) liike on approksimatiivisesti YHL:tä ja: τ z = (mgd)θ Liikeyhtälö on τ z = Iα z, joten (mgd)θ = Iα z = I d2 θ dt 2 d2 θ dt 2 = mgd θ (14.37) I Vertaamalla yhtälöön (14.4), etutekijän (k/m) sijasta nyt on (mgd/i), joten kulmataajuus (f = ω/2π) ja periodi ovat: mgd ω = I I T = 2π mgd (14.38) (14.39) 14.23 Fysikaalisen heilurin dynamiikka. Yhtälöä (14.39) käyttämällä voidaan määrittää hitausmomentti monimutkaiselle kappaleelle (esim. eläinten biomekaniikka).

14.6 Fysikaalinen heiluri 14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Esimerkki 14.9: Yksinkertaisen ja fysikaalisen heilurin ero Jos kuvan (14.23) kappale olisi toisesta päästään riiputettu yhtenäinen L:n pituinen sauva, mikä sen heilumisperiodi olisi? Päästään ripustetun sauvan hitausmomentti löytyy taulukosta 9.2: I = 1 3 ML2. Ripustuspisteen ja sauvan painopisteen etäisyys on: d = L/2, joten periodiksi saadaan: I T = 2π mgd = 2π 1 3 ML2 2L = 2π 1 MgL 3g 2 Jos L = 1.00m ja g = 9.80m/s 2, periodi: 2(1.00 m) T = 2π 3(9.80m/s 2 ) = 1.64s Periodi on siis 2 verran pienempi kuin 3 yksinkertaisella heilurilla. Tämä kerroin johtuu kahdesta tekijästä: toisaalta sauvan hitausmomentti on 1 pienempi kuin 3 yksinkertaisella heilurilla ja lisäksi sauvan painopisteen etäisyys pyörimisakselista on puolet yksinkertaisen heilurin vastaavasta.

14.6 Fysikaalinen heiluri 14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Esimerkki 14.10: Tyrannosaurus Rex ja fysikaalinen heiluri Jokaiselle eläimellä on luonnollinen kavelytaajuus (esim. askelta/min), joka on helpompi ylläpitää kuin nopeampi tai hitaampi taajuus. Käsitellään jalkaa fysikaalisena heilurina, josta kävelytaajuuden oletetaan riippuvan. (a) Käsitellään jalkaa yhtenäisenä sauvana lonkasta jalkaterään. Kuinka jalan pituus L vaikuttaa kävelytaajuuteen? (b) Fossiilinäytteiden mukaan 65 miljoonaa vuotta sitten T. Rex:n jalan pituus oli L = 3.1m ja askelpituus S = 4.0m (kuva 14.24). Arvioi sen kävelyvauhti. (a) Jokainen askel tarkoittaa jalan heilautusta eli puolikasta fysikaalisen heilurin periodista, T = 2π 2L 3g L (b) Mallin mukaan T. Rex etenee askeleen S verran yhden kokonaisen periodin aikana: T = 2π 2L 3g = 2π 2(3.1m) 3(9.8m/s 2 ) = 2.9s (b) Kävelyvauhti on suunnilleen ihmisen: v = S T = 4.0m = 1.4m/s 5.0km/h 2.9s Koska eläinten jalat eivät ole tasapaksuja vaan massa on lähempänä lonkkaa painopisteen etäisyys on lyhyempi ( L/4) ja myös hitausmomentti on huomattavasti pienempi ( ML 2 /15). Periodi on siten huomattavasti lyhyempi ja kävelynopeus selvästi suurempi. (a) Joten kävelytaajuus on kaksi kertaa värähdystaajuus, f = 1/T 1/ L. Eli mitä pidempi L sitä hitaampi kävelytaajuus. 14.24 Tyrannosaurus Rex

14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Kappeleeseen kohdistuva nettovoima on: Fx = kx bv x (14.40) Newton:in 2. laki systeemille on: kx bv x = ma x kx b dx dt = md2 x dt 2 (14.41) Tämä on x:n differentiaaliyhtälö kuten yhtälö (14.4) mutta lisätermillä bdx/dt. Se voidaan kuitenkin ratkaista ja jos vaimentava voima on suhteellisen pieni, liikettä kuvaa yhtälö: Värähtelyn kulmataajuus on: x = Ae (b/2m)t cos(ω t+φ) (14.42) ω k = m b2 4m 2 (14.43) 14.25 Heilumaan jätetyn kellon oskillaatiot vaimenevat vähitellen ilmanvastuksen ja kitkavoimien ansiosta.

14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Yhtälön (14.42) kuvaama liike eroaa vaimentamattomasta värähtelystä kahdella tapaa. Ensinnäkin etutekijä Ae (b/2m)t ei ole vakio vaan se vaimenee eksponentiaalisesti ajan funktiona ja mitä suurempi b sitä nopeammin (kuva 14.26). b on kuitenkin kriittistä arvoaan (kts. alla) pienempi, jolloin kyseessä on alivaimennus (underdamping). Toisekseen kulmataajuus ω yhtälössä (14.43) on k hieman pienempi kuin ja menee nollaksi ehdolla: m k m b2 4m 2 = 0 b = 2 km (14.44) Tällöin kyseessä on kriittinen vaimennus (critical damping), jolloin systeemi ei enää värähtele vaan palaa tasapainoonsa ilman oskillaatiota, kun se poikkeutuksen jälkeen vapautetaan. 14.26 Vaimennetun värähtelyn amplitudin vaimeneminen kahdella eri vaimennusvakion b arvolla (vaihekulma φ = 0).

14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Jos b > 2 km, on kyseessä ylivaimennus (overdamping) ja systeemi ei edelleenkään oskilloi. Se kuitenkin palaa tasapainoonsa hitaammin kuin kriittisen vaimenemisen tapauksessa, sillä yhtälön (14.41) ratkaisu on tällöin: x = C 1 e a 1t +C 2 e a 2t missä C 1 ja C 2 ovat alkuehdoista riippuvia vakioita ja a 1 sekä a 2 vakiot riippuvat m, k, ja b. Soittimen kielen tai ääniraudan tapauksessa vaimennus pyritään yleensä minimoidaan. Vaimennus on kuitenkin tarpeen esim. kulkuneuvojen jousituksen värähtelyjen vaimentamisessa, joissa iskunvaimentimet aikaansaavat vauhdista riippuvan vaimennusvoiman (kuva 14.27). Kyyti on tasaista, jos iskunvaimennus on joko kriittisesti tai hieman alivaimennettu, sillä jousi ei jää oskilloimaan törmäyksen jälkeen. Ylivaimennuksella on vastakkainen vaikutus, sillä jousi ei tällöin ehdi palautua puristuksesta ennen seuraavaa iskua, eikä siis voi täysin absorboida sitä. 14.27 Iskunvaimentimessa viskoosin fluidin vaimentava voima riippuu kahden pään suhteellisesta vauhdista.

Vaimennetun värähtelyn energia 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Vaimentava voima ei ole konservatiivinen eli systeemin mekaaninen energia ei ole vakio vaan vähenee jatkuvasti ja lähestyy nollaa pitkällä aikavälillä. Energian muutosnopeudelle saadaan yhtälö ottamalla kokonaisenergian lausekkeesta E = 1 2 mv2 x + 1 2 kx2 derivaatta ajan suhteen ja kun muistetaan, että v x = dx dvx ja ax = dt dt, saadaan: de dt = dv x mvx dt +kxdx = vx(max +kx) dt Koska yhtälö (14.41) voidaan kirjoittaa ma x +kx = b dx = bvx, saadaan E:n dt muutosnopeus: de dt = vx( bvx) = bv2 x (14.45) Oikea puoli on aina negatiivinen, kun kappale on liikkeessä, riippumatta x-nopeuden v x etumerkistä. Energia siis pienenee aina, kun kappale liikkuu, muttei vakionopeudella. Termi bv 2 x = (bv x)v x (voima kertaa nopeus) on vaimennusteho eli se kertoo minkä verran vaimentava voima tekee (negatiivista) työtä systeemiin (vrt. induktanssi, kapasitanssi ja resistanssi sähköpiireissä).

14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Vaimennettu värähtely ja periodinen käyttövoima 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Itsekseen jätetty vaimennettu oskillaattori lopulta pysähtyy. Se voidaan kuitenkin pitää vakio-amplitudin liikkeessä, jos siihen kohdistetaan periodisesti ajan suhteen muuttuva liikettä ajava voima eli käyttövoima eli pakottava voima (driving force). Kun vaimennettuun värähtelijään kohdistetaan periodisesti muuttuva voima, jonka kulmataajuus on ω d, saadaan aikaan pakotettu eli ajettu värähtely (forced or driven oscillation). Tällöin liike eroaa vapaasti vaimenevasta värähtelystä, jolla on yhtälön (14.43) mukaan ns. luonnollinen kulmataajuus ω k = m b2 4m 2. Pakotetussa värähtelyssä kulmataajuus on sama kuin sitä ajava kulmataajuus ω d, jonka ei tarvitse olla sama kuin ω. 14.28 Pakotetun värähtelyn amplitudi A ajavan voiman kulmataajuuden ω d funktiona eri vaimennusvakioilla b. x-akselilla suhteellinen muutos ω d /ω, missä ω = k/m vaimentamattomalle oskillaattorille.

14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Vaimennettu värähtely ja periodinen käyttövoima 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Toisaalta, kun ω d ω, värähtely vahvistuu verrattuna tilanteeseen, jossa kulmataajuudet ovat hyvin erilaisia. Jos ajan suhteen sinimuotoisen (sinusoidal) pakottavan periodisen voiman, F(t) = F maxcosω d t, kulmataajuutta muutellaan, pakotetun värähtelyn taajuuden amplitudi muuttuu kuten kuvassa 14.28. Kun vaimennusta on vähän (pieni b), amplitudilla on terävä piikki, kun ω d ω. Jos vaimennusta kasvatetaan (suurempi b), amplitudipiikki levenee ja mataloituu sekä siirtyy kohti matalampia taajuuksia. Amplitudille saadaan differentiaaliyhtälön ratkaisuna muoto: A = F max (k mωd 2)2 +b 2 ωd 2 (14.46) A:n maksimi ( 1 ) on kohdassa b k mωd 2 = 0 ω d = k/m. Matalan taajuuden alueella (ω d = 0) ajava voima on vakio F max eli saadaan vakiopoikkeama A = Fmax k 14.28 Pakotetun värähtelyn amplitudi A ajavan voiman kulmataajuuden ω d funktiona eri vaimennusvakioilla b (x-akseli: ω d /ω, missä ω = k/m vaimentamattomalle oskillaattorille).

Resonanssi ja sen seuraukset 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi 14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Amplitudipiikkiä luonnollisen oskillaattorin taajuuden lähellä olevilla ajavan kulmataajuuden ω d arvoilla sanotaan resonanssiksi (resonance). Resonanssia hyödynnetään, kun heilurisysteemille annetaan lisävauhtia kohdistamalla siihen voima sen lähellä sen luonnollista taajuutta (esim. vauhdin antaminen lapselle keinussa). Samaa resonanssi-ilmiötä haetaan, kun sähköinen piiri pyritään säätämään siten, että se reagoi voimakkaasti tiettyihin sähkömagneettisen säteilyn taajuuksiin. Tällöin vastaanotin (receiver) saadaan havaitsemaan vain haluttuja taajuuksia resonanssitaajuuden lähettyviltä (esim. radio, kännykkä, NMR-spektrometri). Toisaalta resonanssi-ilmiöitä havaitaan silloinkin, kun ei olisi tarvis (esim. äänen korostumat kaiuttimissa, moottoreiden tärinät tietyillä kierosluvuilla jne.) Se voi myös aiheuttaa kappaleiden hajoamista, kun ajavan voiman taajuus osuu kappaleen resonanssitajuudelle (esim. tuuli tai marssivat joukot saavat sillan hajoamaan, sopivan taajuuksinen ääni saa kristallilasin hajoamaan).

14. luvun yhteenveto 14.5 Yksinkertainen heiluri 14.6 Fysikaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi Jaksollinen liike ƒ = 1 T T = 1 ƒ v = 2pƒ = 2p T a x n mg x = 2A x = 0 x,0 x.0 y F x x y n mg x x x = A y F x (14.1) (14.2) a x n x mg Yksinkertainen harmoninen liike F x =-kx a x = F x m =- k m x k v = A m ƒ = v 2p = 1 k 2pA m T = 1 ƒ = 2p A m k x = A cos1vt +f2 A O 2A x T 2T (14.3) (14.4) (14.10) (14.11) (14.12) (14.13) t Yksinkertaisen harmonisen liikkeen energia E = 1 2 mv x 2 + 1 2 kx 2 = 1 2 ka2 = constant 2A U Energy K O (14.21) E5K1U Yksinkertainen harmoninen kiertovärähtely k v = A I and ƒ = 1 2pA Balance wheel Spring A k I x (14.24) tz u Spring torque tz opposes angular displacement u. Yksinkertainen heiluri v = A g L ƒ = v 2p = 1 g 2pA L T = 2p v = 1 ƒ = 2p L A g B L u mg sinu mg T Fysikaalinen heiluri mgd v = B I I T = 2p A mgd O u d d sinu cg mg sinu mg (14.32) (14.33) (14.34) mg cos u z (14.38) (14.39) mg cosu Vaimennetut värähtelyt x = Ae -1b>2m2t cos1v t +f2 k v = B m - b2 4m 2 x A Ae 2(b/2m)t O 2A T0 2T0 3T0 4T0 5T0 b50.1 km b50.4 km Pakotetut värähtelyt ja resonanssi A = 4Fmax/ 3Fmax/ k 2Fmax/ k Fmax/ k k F max 21k - mv d 2 2 2 + b 2 v d 2 5Fmax/ k A 0 b 5 0.2 km (14.42) (14.43) b 5 0.4 km t (14.46) b 5 0.7 km b 5 1.0 km b 5 vd 0.5 1.0 1.5 2.0 / v 2.0 km