Sisältö MONISTEESTA KOMPLEKSILUVUT4 JOHDANNOKSI4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA 4 HUOMAUTUS5 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY 5 HUOMAUTUS8 ARGUMENTTI 9 KOMPLEKSILUVUN ITSEISARVO9 LIITTOLUKU 0 VASTALUKU KOMPLEKSILUKUJEN LASKUSÄÄNNÖT KOMPLEKSIYHTÄLÖT5 TEHTÄVIÄ 0 RATKAISUJA3
Monisteesta Tämä moniste on ensisijaisesti tarkoitettu johdannoksi kompleksilukujen opiskeluun lukion pitkän matematiikan opiskelijoille Sen suunnittelu alkoi tammikuussa 003 Jyväskylän Normaalikoululla suorittaessamme opettajan pedagogisia aineopintojen viimeistä harjoittelujaksoa Sen tarkoitus on johdattaa lukija kompleksilukujen teoriaan selkeällä tavalla siten, että esitiedoiksi riittävät lukion pitkän matematiikan pakollisten kurssien tiedot Näin ollen moniste toimii myös itseopiskelumateriaalina Monisteen sisältämä teoria on sen tarkoitusta ajatellen pyritty esittämään pääasiassa seikkaperäisesti, kysymyksiä herättäen Lisäksi teorian omaksumisen helpottamiseksi monisteeseen on lisätty useita kuvia selityksineen Esimerkit, sekä tehtäväosiot on pyritty laatimaan siten, että ne tukevat teorian oppimista mahdollisimman monipuolisesti, ja useat vaikeusasteet huomioiden Lisäksi näiden avulla opiskelijalle herätetään kysymyksiä, jotka vaativat enemmän tarkastelua Itseopiskelun tueksi tehtävien ratkaisut ovat merkitty monisteen loppuosaan Ylioppilastehtävät ovat myös huomioitu tehtäväosioissa, ja ne ovat merkitty oppikirjoista tutulla hakasuljemerkinnällä, esimerkiksi [K97/6] Muita tekstin joukossa esiintyviä merkintöjä ovat kirjaviitteet, kuten (MT ), joka tarkoittaa esimerkiksi WSOY:n Matematiikan taito -kirjasarjan teoksia, jotka ovat monisteen kirjoittamisen hetkellä käytössä Jyväskylän Normaalikoululla Tulevaisuudessa tarkoituksenamme olisi lisätä monisteeseen napakoordinaattien käsittelyä, jolloin kompleksiluvuille saataisiin lisää esitystapoja, sekä näiden avulla johdettavia tuloksia Myös tehtävien ratkaisuiden esittäminen sähköisessä muodossa kuuluu suunnitelmiin Huomautuksena mainittakoon, että moniste on todellakin vain johdatus kompleksilukujen teoriaan Kompleksilukujen teoriaa löytyy useista matematiikan perusteoksista, joita suosittelemme kaikille lukijoille tietojen syventämistä varten Suositeltavista kirjoista
mainittakoon Tom M Apostol n teos Mathematical Analysis (second edition), sekä Richard Courant n ja Frit John n kirjoittama Introduction to Calculus and Analysis - kirja Jyväskylässä keväällä 003 Tekijät Pertti Pitkänen, Lauri Horttanainen 3
Kompleksiluvut Johdannoksi Olkoon tehtävänä ratkaista seuraavat yhtälöt: a ) 4 4 0, b ) 4 + 4 0, c ) 4 3 0, d ) 4 + π 0, e ) + 0 Mihin lukujoukoista N, Z, Q ja R edellä olevien yhtälöiden ratkaisut kuuluvat? Kertausta lukujoukoista Johdantotehtävä käsittelee perinteisten yhtälöiden ratkaisemisen lisäksi lukujoukkoja Niistä ensimmäinen on luonnollisten lukujen joukko N, joka sisältää ei-negatiiviset kokonaisluvut siis N {0,,, 3, } Lisäämällä luonnollisten lukujen joukkoon kaikki negatiiviset kokonaisluvut, saadaan kokonaislukujen joukko Z {, -, -, 0,,, } Edellä saatua kokonaislukujen joukkoa voidaan edelleen laajentaa rationaalilukujen p joukoksi Q { : p, q Z, q 0} Voimme kuitenkin johdantotehtävän d) -kohdan q tavalla muodostaa yhtälön, jolla ei ole ratkaisua missään edellä mainituista joukoista Lisäämällä tällaiset ei-rationaaliset ratkaisut, kuten saadaan reaalilukujen joukko R π ja rationaalilukujen joukkoon, Näin lukujoukkojen laajentaminen on edennyt luonnollisten lukujen joukosta N reaalilukujen joukkoon R Uudet luvut on aina lisätty edelliseen lukujoukkoon, jolloin uusi lukujoukko on laajempi kuin edellinen sisältäen edeltävän lukujoukon Seuraavan sivun kaavio selvittää lukujoukkojen laajentamista vielä rakenteellisesti: 4
Lukujoukkojen laajentaminen Huomautus Luonnollisten lukujen joukkoon kuuluvat edellä kirjoitetun mukaan kaikki ei-negatiiviset kokonaisluvut siis myös nolla kuuluu tähän joukkoon Kuitenkin asiayhteydestä riippuen, matematiikan kirjallisuudessa nollaa ei toisinaan sisällytetä luonnollisten lukujen joukkoon, jolloin lukujoukon alkioita ovat pelkästään positiiviset kokonaisluvut Kompleksilukujen määrittely Tarkastellaan vaiheittain johdantotehtävän e) -kohdan yhtälön + 0 ratkaisemista: + 0 ± Kuten huomaamme, yhtälöllä + 0 ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa R, koska neliöjuurta ei ole määritelty negatiivisille luvuille Lukualueiden laajennuksen rakenteesta johtuen edellä mainitulla yhtälöllä ei siis myöskään ole ratkaisua missään joukoista N, Z tai Q Näin syntyy luonnollinen tarve reaalilukujen joukon R laajentamiselle Tämä laajentaminen tapahtuu muodollisesti juuri edellä kirjoitetun yhtälön ratkaisun avulla: Määritellään nyt muodollisesti, että i Määritelmästä seuraa heti, että i R (kuten edellä totesimme) ja se toteuttaa ehdon i Tätä lukua i kutsutaan imaginaariyksiköksi 5
Heti seurauksien huomaamisen jälkeen määritelmästä herää useita kysymyksiä, kuten mihin joukkoon tämä luku i kuuluu? ja Miten luku i sijaitsee lukusuoraan nähden? Vastaukset näihin kysymyksiin saadaan laajentamalla reaalilukujen joukko R kompleksilukujen joukoksi C ottamalla käyttöön imaginaarilukujen joukko I {a + bi : a, b R, b 0} Jos ilmaisemme reaalilukujen joukon R samanlaisessa muodossa kuin imaginaarilukujen joukon I, niin saamme esityksen R { a + bi : a R, b 0}{ a : a R} Tällöin kompleksilukujen joukko on reaalilukujen joukon R ja imaginaarilukujen joukon I yhdiste, toisin sanoen C R I { a + bi : a, b R} Tästä nähdään, että reaaliluvut todellakin kuuluvat kompleksilukujen joukkoon Laajennus näkyy kaavion muodossa seuraavasti: Reaalilukujen laajentaminen kompleksiluvuiksi Kompleksiluvut ovat siis muotoa a + bi, missä kertoimet a ja b ovat reaalilukuja kerrointa a sanotaan kompleksiluvun reaaliosaksi, ja sitä merkitään usein Re( ) a Vastaavasti kerrointa b kutsutaan kompleksiluvun Im( ) b imaginaariosaksi, ja sitä merkitään Kompleksilukujen joukkoa C kuvaa lukusuoran sijasta -ulotteinen taso, jonka akseleina ovat reaalilukujen joukko ja niiden imaginaarilukujen joukko, joiden reaaliosa on nolla (siis toinen akseli on joukko { a + bi : a, b R, a 0} { bi : b R} ): 6
Kompleksilukujen joukko C Geometrisesti kuvasta näkee, että reaalilukujen joukko R on todellakin osa kompleksilukujen joukkoa C Yleinen kompleksiluku a + bi voidaan esittää tason pisteparina ( a, b), mutta tämä ei ole kovinkaan havainnollinen ja käytännöllinen esitystapa Usein kirjallisuudessa kompleksiluvut esitetään muodossa a + bi, jolloin lukua ajatellaan geometrisesti pisteen ( a, b) paikkavektorina Seuraavat kuvat havainnollistavat kompleksilukujen esitystapoja: Kompleksiluku pisteparina Kompleksiluku vektorina 7
Lisäksi kompleksiluku a + bi voidaan esittää reaali- ja imaginaariosien avulla muodossa Re( + i 3 ) Im( 3 ) Jatkossa käytämme selvyyden vuoksi pääsääntöisesti a b kompleksiluvusta esitystä a + bi Muutkin esitystavat on hyvä muistaa, koska niitäkin käytetään yleisesti kirjallisuudessa Huomautus Edellä määrittelimme muodollisesti, että i ja totesimme, että tämä toteuttaa yhtälön i Tämän saman yhtälön toteuttaa myös luku Siis tämän nojalla kompleksiluku i ei olisi yksikäsitteinen! Tätä edellä kuvattua yksikäsitteisyyden ongelmaa ei tule, jos määrittelemme, että imaginaariyksikkö i on kompleksitason piste (0,) (ks MT 3, ensimmäinen painos, s 69) Esimerkki olkoon i (0,), (,0 ) ja + 3 i (,3) Tällöin nämä kompleksiluvut sijaitsevat kompleksitasossa seuraavasti: 3 Kompleksiluvut, ja kompleksitasossa 3 Jatkossa jätämme kertomerkin pois kompleksilukujen esityksestä Seuraavaksi tutustumme kompleksilukuihin liittyviin käsitteisiin ja määritelmiin: 8
Argumentti Kompleksiluvun a + bi argumentiksi sanotaan kulmaa, jonka kompleksilukua vastaava vektori muodostaa reaaliakselin kanssa Kirjallisuudessa kompleksiluvun argumentti ilmaistaan usein merkinnällä arg( ) ϕ Kompleksiluvun argumentti ei ole yksikäsitteinen, koska reaaliakselin kanssa samanarvoisen kulman muodostaa ϕ :n π pituiset monikerrat, toisin sanoen argumentti on jaksollinen, ja jakso on π Laskuissa argumentista käytetään kulmaa, joka on välillä ] π,π ] päähaaraksi Tätä kutsutaan argumentin Kompleksiluvun argumentti Kuvasta katsottuna kompleksiluvun a + bi argumentti arg() saadaan määritetyksi tangentin avulla: b b tan(ϕ ) ϕ arctan( ) Siis kompleksiluvun a + bi a a b argumentti arg( ) arctan( ) a Kompleksiluvun itseisarvo Kompleksiluvun a + bi itseisarvo eli moduli määritellään yhtälönä a + b Tämä tarkoittaa geometrisesti tulkittuna pisteen ( a, b) etäisyyttä origosta ja 9
käyttämässämme esitystavassa kompleksilukua a + bi vastaavan paikkavektorin pituutta Siis kompleksiluvun itseisarvo on reaaliluku (siis R ) Kompleksiluvun itseisarvo eli moduli Liittoluku Kompleksiluvun a + bi liittoluku eli kompleksikonjugaatti on kompleksiluku a bi Geometrisesti tämä tarkoittaa kompleksiluvun a + bi peilaamista reaaliakselin suhteen Liittoluvun argumentti on alkuperäisen kompleksiluvun argumentin vastaluku, toisin sanoen arg( ) arg( ) ja itseisarvo on sama kuin alkuperäisen kompleksiluvun itseisarvo, siis Lisäksi liittoluvulle pätee yhtälö (miksi?) Kompleksiluvun liittoluku (kompleksikonjugaatti) 0
Vastaluku Kompleksiluvun a + bi vastaluku on ( a + bi) a bi Kompleksiluvulle ja sen vastaluvulle pätee luonnollinen yhtälö + ( ) 0 ja vastaluvun itseisarvo on sama kuin alkuperäisen kompleksiluvun itseisarvo, Lisäksi arg( ) arg( ) + π (itse asiassa arg( ) arg( ) + ( n + ) π, missä n on kokonaisluku eli n Z ) Geometrisesti vastaluku saadaan peilaamalla alkuperäinen kompleksiluku origon suhteen: Kompleksiluvun vastaluku Esimerkki Määritä kompleksiluvulle a ) arg() b ) c ) Ratkaisu: 3 + i a ) Yllä olevan teorian nojalla arg( ) ϕ arctan( ), joten ϕ 0, 588 rad 3 b ) 3 + 3 c ) 3 i
Kompleksilukujen laskusäännöt Seuraavassa määritellään kompleksilukujen summan ja tulon laskusäännöt Lisäksi tarkastellaan kompleksilukujen osamäärän laskemista Olkoon nyt a + bi ja c + di Tällöin :n ja :n summa on + ( a + bi) + ( c + di) a + c + bi + di ( a + c) + ( b d) i, + eli kompleksilukujen summassa reaali- ja imaginaariosat summataan keskenään Kompleksilukujen erotus määritellään kuten vastaavien tason vektoreiden, + ( ) Geometrisesti kompleksilukujen summa ja erotus on mielekästä ajatella niitä vastaavien paikkavektorien summana ja erotuksena: Kompleksilukujen ja summa Vastaavasti :n ja :n tulo saadaan määriteltyä seuraavasti (vrt binomien tulo) ( a + bi)( c + di) ac + bdi + ( ad + bc) i ac bd + ( ad + bc) i Tulo poikkeaa etumerkkiensä puolesta hieman tavanomaisesta binomien tulosta Tämä johtuu imaginaariyksikön i toteuttamasta yhtälöstä (ominaisuudesta) i
Kompleksilukujen ja tulon itseisarvolle, sekä argumentille on voimassa seuraavat ominaisuudet:, arg( ) arg( ) + arg( ) Sekä kompleksilukujen tulo että yhteenlasku voidaan kirjoittaa myös pisteparien muodossa, mutta se ei välttämättä havainnollista laskusääntöjen määrittelemisen perusteita (ks tehtävä ) Kompleksilukujen summan ja tulon määrittelemisen jälkeen herää kysymys: Miten lasketaan kompleksilukujen ja osamäärä? Pohditaan aluksi, miten lasketaan osamäärä, eli luvun käänteisluku Olemme edellä todenneet, että kompleksiluvun a + bi itseisarvo määritellään yhtälönä + a b Käänteisluvun laskemiseksi tutkitaan ensin kompleksiluvun ja sen liittoluvun tuloa: ( a + bi)(a bi) a ( bi) a ( b i ) a ( b ) a + b Siis kompleksiluvun ja sen liittoluvun tulo on sama kuin kompleksiluvun itseisarvon neliö Tästä yhtälöstä saamme ratkaistua edellä kirjoitetun osamäärän (Jotta osamäärä olisi määritelty, täytyy muistaa, että ei saa olla nolla, siis 0 ), eli Tämän avulla yleisten kompleksilukujen ja osamäärä saa muodon Kompleksilukujen ja osamäärän itseisarvolle ja argumentille pätee lähes vastaavat ominaisuudet kuin niiden tulollekin: 3
, arg( ) arg( ) arg( ) Käytännössä kompleksilukujen ja osamäärä lasketaan laventamalla ensin lauseketta nimittäjässä olevan kompleksiluvun liittoluvulla ja sieventämällä saatu lopputulos Seuraava esimerkki havainnollistaa laskusääntöjen käyttämistä: Esimerkki olkoon 5i ja i Määritä kompleksiluvuille ja + a ) Summa +, b) tulo, c ) käänteisluku ja d ) osamäärä Ratkaisu: a ) b ) + ( + 5i) + ( i) ( + ) + (5 ) i 3 4i + ( + 5i)( i) i + 5i 5i + 3i 5( ) 7 3i + c ) Lasketaan ensin :n itseisarvon neliö ja määritetään tämän jälkeen osamäärä: ( i)( + i) i ( ), jolloin osamäärälle saadaan + i + i d ) Esitämme tässä kohdassa kaksi erilaista tehtävän ratkaisutapaa: Tapa Voimme tässä ratkaisutavassa hyödyntää edellisen kohdan vastausta Määritimme siinä osamäärän muodossa a + bi Nyt kysytty osamäärä voidaan esittää muodossa 4
, joten tulon laskusäännön nojalla 5 5 + + + + + ( i)( 5i) i i i 5 7 3 7 + i + i Tapa Lavennetaan osamäärää ensin nimittäjän liittoluvulla ja sievennetään saatu + 5i ( + i)( + 5i) + 5i + i + 5i 5 + 7i 3 + 7i lopputulos: i ( + i)( i) i + i i ( ) 3 7 + i Esitetyistä tavoista jälkimmäinen on yleensä käytännöllisin Kompleksiyhtälöt Pohditaan seuraavaksi kompleksiyhtälöiden ratkaisemista, joiden aste on korkeintaan kaksi Aluksi yhtälöiden ratkaisemista ajatellen mieleen tulee kysymys Milloin kompleksiluvut a + bi ja c + di ovat yhtä suuria? Vastaus tähän löytyy kertoimien keskinäisestä vertailusta (kompleksilukujen identtisyys): a c ja b d Siis kompleksiluvut ja ovat yhtä suuret täsmälleen silloin, kun niiden reaaliosat sekä imaginaariosat ovat yhtä suuria Useiden yhtälöiden ratkaisu perustuu juuri tähän kompleksilukujen identtisyyteen Olkoon a ja b kompleksilukuja (siis a, b C ) ehdolla a 0 Tarkastellaan nyt ensimmäisen asteen yhtälön a + b 0 ratkaisemista: a + b 0 a b b a 5
Huomaamme, että ensimmäisen asteen yhtälö on ratkaistavissa edellä esitettyjen laskusääntöjen avulla Esimerkki Ratkaise yhtälö ( + i) + i 0 Ratkaisu: Esitämme yhtälön ratkaisemiseen kaksi erilaista tapaa: Tapa : ( + i ) + i 0 ( + i) i i Sievennetään nyt saatu osamäärä yllä + i olevalla laskusäännöllä: i + i ( i)( i) i ( i)( + i) 5 i Nyt siis yhtälön 5 5 ( + i) + i 0 Tapa ratkaisu on kompleksiluku i 5 5 Merkitään kompleksiluku muotoon c + di ja sijoitetaan tämä yhtälöön :n paikalle Sievennetään saatu yhtälö muotoon, jossa tuntemattomat parametrit ovat yhtälön vasemmalla puolella ja loput tekijöistä oikealla puolella Tällöin voimme vertailla kertoimia identtisyyden nojalla: ( + i ) + i 0 ( + i )( c + di) + i 0 c + di + ci + di + i 0 ( c d) + ( c + d) i i ( c d) + ( c + d) i 0 i c d c + d 0 c 5 d 5 Siis yhtälön toteuttaa kompleksiluku i 5 5 Esimerkki Ratkaise yhtälö + + 3 + 3i 6
Ratkaisu: Merkitään a + bi a bi Sijoitetaan nämä yhtälöön ja vertaillaan lopuksi kertoimia: a + bi + ( a bi) + 3 + 3i 3 a bi + 3i 3a b 3 a 3 b 3 Siis yhtälön ratkaisu on 3i 3 Tutkitaan nyt toisen asteen yhtälöä a + b + c 0, jonka diskriminantti on D b 4ac Jos yhtälössä esiintyvät kertoimet ovat reaaliset, niin myös D on reaalinen, ja lisäehdolla D 0 yhtälön ratkaisut ovat myös reaaliset Jos taas D < 0, niin toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa juuriksi b ± D b ± ( )( D) b ± ( ) ( D) b ± i ( D) a a a a b ± i a ( D) a Siis yhtälön a + b + c 0 ratkaisuiksi saadaan kompleksiluvut, jotka ovat toistensa liittolukuja Toisen asteen ratkaisukaava on voimassa myös, kun kertoimet a, b ja c ovat kompleksilukuja ( a 0 ): a + b + c 0 + b a c a korotetaan vasen puoli neliöön (ks MT ), jolloin yhtälö saadaan muotoon b b c b b 4ac b b 4ac ( + ) ( + ) + ± a 4a a a 4a a 4a b b 4ac ± a a b ± b 4ac a 7
Usein kertoimien ollessa kompleksilukuja, myös diskriminantti on kompleksiluku, jonka neliöjuuren ratkaiseminen onnistuu yllä esitetyllä kertoimien vertailulla Ratkaisukaavan johtamisen tarkempi tarkastelu jää harjoitustehtäväksi Esimerkki Ratkaise yhtälö + ( i) i 0 Ratkaisu: Käytetään ratkaisukaavaa: Yhtälön + ( i) i 0 kertoimet ovat a, b i ja ( i) ± ( i) 4 ( i) c i Tällöin ratkaisuksi saadaan + i ± 3 + 4i Saamme ratkaistua yhtälön muodossa c + di, jos pystymme lausumaan neliöjuuren 3 + 4i muodossa 3 + 4i u + vi, missä u ja v ovat reaalilukuja ( u, v R ) Edellä olevasta yhtälöstä saamme 3 + 4i ( u + vi), josta sievenee muotoon u v u v 3 + uvi 3 + 4i Tästä saamme yhtälöparin uv 4 u v u v 3, josta sijoittamalla saadaan v 3 Tämä sievenee niin sanotuksi bikvadraattiseksi v yhtälöksi v 4 + 3v 4 0, jonka ratkaisut ovat v ± Tällöin u ± Valitsemme näistä ratkaisuparin u v (Miksi valitsemme näin?) Siis 3 + 4i + i, joten alkuperäinen yhtälömme ratkaisu saadaan muotoon + i ± 3 + 4i + i ± ( + i), joten i tai Tämä esimerkki ei varsinaisesti kuulu pitkän matematiikan syventävien kurssien oppimäärään 8
Koska kompleksiluvuille ei voida järkevästi määritellä suuruusjärjestystä, niin pelkästään kompleksilukuja sisältäviä epäyhtälöitä ei voida myöskään ratkaista (ks tehtävä X) Koska esimerkiksi kompleksilukujen itseisarvot ovat reaalilukuja, niin näiden avulla voidaan määritellä epäyhtälöitä, jotka voidaan ratkaista normaalien reaalisien epäyhtälöiden tapaan Tarkastellaan nyt erään tällaisen epäyhtälön ratkaisua esimerkin avulla: Esimerkki Millä kompleksiluvuilla luku ( i ) on positiivinen? Piirrä kuvio [K97/6] Ratkaisu: Ratkaistavana on epäyhtälö ( i ) > 0 Koska > 0 aina kun 0, niin ( i ) > 0, jos i > 0 i < ( 0 ) Siis epäyhtälön toteuttavat kaikki kompleksitason pisteet, joiden etäisyys kompleksiluvusta i on pienempää, kuin Merkitään a + bi ja sijoitetaan tämä yhtälöön: a + bi i < a + ( b ) < a + ( b ) < ( a 0) + ( b ) < Epäyhtälön toteuttaa kaikki kompleksiluvut, jotka ovat -säteisen, ( 0,) -keskisen ympyrän sisällä olevat kompleksiluvut, nollaa (origoa) lukuun ottamatta Epäyhtälön ( i ) > 0 ratkaisujoukko 9
Tehtäviä Tehtävissä * merkatut tehtävät eivät kuulu lukion pitkän matematiikan syventävien kurssien oppimääriin p Miksi rationaalilukujen joukkoa Q { : p, q q Z, q 0} ei voida esittää järjestetyssä muodossa, kuten luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen joukkoja? Olkoon 3 + i Määritä a ) arg( ) b ) c ) d) 3 Olkoon, w C Osoita, että w w 4 Määritä + 3i, kun 3 i 3 + i 5 Määritä vakio a siten, että kompleksiluku ai on a ) reaalinen b ) puhtaasti + 3ai imaginaarinen 6 Mille kompleksitason pisteille 7 Määritä kompleksiluku, jolle π arg( )? (Piirrä kuva) 4 π arg( ) ja 3 3 8 Mitkä kompleksitason pisteet toteuttavat yhtälön i 4? Piirrä kuva 9 Ratkaise epäyhtälö < 0 Mitkä kompleksitason pisteet toteuttavat yhtälön + i 6 + i Kirjoita kompleksilukujen summa ja tulo pisteparien avulla * Ratkaise yhtälö ( + 3i) + 6i 0 3 Laske kompleksilukujen i ja + 3i summa ja erotus Tarkista tulos geometrisesti vektoreiden avulla 4 Ratkaise yhtälö 0 +, kun a) R, b) C 0
4 5 Laske ( i ) 6 Millä ehdolla kompleksiluvulle pätee 7 Ratkaise yhtälö i( + )? 8 Ratkaise kompleksiluku yhtälöstä 4 i + 9 Millä :n arvoilla lauseke + + 3 + i saa reaalisen arvon? Milloin erityisesti tämä arvo on? [K69] 0 Missä kompleksitason alueessa? Esitä alue myös graafisesti Miksi kompleksiluvuille ei voida määritellä järjestystä? Onko i > 0? Missä kompleksitason pisteissä + on reaalinen? [K74] 3 a) Laske kompleksilukujen i ja + 3i tulo b) Johda lausekkeet kompleksilukujen a+ bija c+ diosamäärän reaali- ja imaginaariosalle c) Sovella edellisen kohdan tulosta kompleksilukujen + i ja i osamäärän laskemiseen 5 [S0/4] 4 Millä kompleksiluvuilla luku ( i) on positiivinen? Piirrä kuvio[k97/6b] 5 Määritä kompleksiluvut + iy, joille i [K94/4b] 6 Olkoon w i Määritä kompleksiluku, jolle + w on puhtaasti imaginaarinen ja w reaalinen [K93/4b] 7 Ajan hetkellä t 0 ovat pisteet () t ja () t kompleksitasolla paikoissa t t () t t+ ie, () t 3+ t+ ie Määritä pisteiden välinen etäisyys hetkellä t Milloin etäisyys on suurin? Määritä lim ( t) ( t ) [K95/9a] t 8 Määritä lausekkeen + i suurin ja pienin arvo, kun on kompleksitason käyrällä [K96/7b]
9 Kompleksiluku + iy on myös vektori i + y j Määritä kaikki kompleksiluvut,, joille pätee Tässä tarkoittaa vektoreiden ja skalaarituloa ja kompleksilukujen ja tuloa [S98/7b] 30 Miten määritellään kompleksiluvun + iy liittoluku? Osoita määritelmän perusteella, että kahden kompleksiluvun ja tulolle pätee yhtälö + + 0 [K0/4] Ratkaise
Ratkaisuja Seuraavassa ratkaisuja ylioppilastehtäviin 3 a) ( i )( + 3i) + 3i i 3 i + i + 3 5 + i b) Määritellään a + bi ja c + di Nyt a + bi c + di Lavennetaan nimittäjän liittoluvulla c di, jolloin nimittäjästä tulee reaalinen a + bi ( a + bi)( c di) ac + bd adi + bci ac + bd + ( bc ad i c + di ( c + di)( c di) c + d c + d ) ac + bd c + d bc ad + i c + d ac + bd bc ad Siis Re ja Im c + d c + d c) 5 + i ja i 5 + ( ) Re + ( ) 5 ( ) ja Im 3 + ( ) Siis + 3i 4 Tarkastellaan epäyhtälöä ( i ) > 0, joka toteutuu, kun > 0 0 ja i > 0 i < Olkoon + iy Nyt + iy i < + ( y ) i < Tarkastellaan siis kompleksiluvun + ( y ) i itseisarvoa, joka saadaan laskettua helposti kaavalla + Re( ) Im( ) Saadaan ehto ( ) + ( y ) < + ( y ) < 4, jonka toteuttava pisteparien joukko on sellaisen ympyrän sisus, jonka keskipiste on (0,) ja säde on 3
Vastaus: { : i < ; 0} 5 ( + iy) ( + iy)( + iy) y + yi i Jotta kaksi kompleksilukua olisivat samat, täytyy niiden reaali- ja imaginaariosien olla keskenään samat Yhtälöstä y + yi i saadaan yhtälöpari: y 0 ± y Tarkastellaan vaihtoehdot erikseen y y ) y, sijoitetaan y yy y y Ei ratkaisuja, koska y R y ) sijoitetaan y y yy y y ± ja y m (Huom Ylemmät ja alemmat etumerkit vastaavat toisiaan) 4
Vastaus: i tai + i 6 Olkoon + yi + w + yi + i + + ( y ) i Re( + w) + ja Im( + w) y + w on puhtaasti imaginaarinen, kun Re( + w) + 0 w ( + yi)( i) + y + ( y ) i Re( w) + y ja Im( w) y w on puhtaasti reaalinen, kun Im( w) y 0 y Sijoituksella saadaan siis y Vastaus: i 7 Seuraavassa kolme eri tapaa ratkaista tehtävä ) Etäisyys t + ie + t + ie ie t t t t (3 ) 3 (3) ( ) 9 + e + e t e t Koska on aidosti vähenevä, kun t 0, niin etäisyys on suurin, kun t 0 t t lim ( t) ( t) lim 9 + e 9 0 3, koska e 0 t t t Vastaus: Etäisyys on 9 + e t Etäisyys on suurin, kun 0 t Raja-arvo on 3 ) Määritellään etäisyysfunktio f ( t) t 9 + e Funktion f kulkua tutkimalla voidaan selvittää suurin etäisyys Derivoimalla saadaan f ( t) 9 + e t ( e t ) e t 9 + e t, joka on negatiivinen kaikilla t 0 Siispä f on aidosti vähenevä kaikilla t 0 ja f on suurin, kun t 0 3) Funktion f ( t) t 9 + e sijasta voidaan tarkastella juurrettavaa 9 + e t t t Määritellään g( t) 9 + e g ( t) e, joka on negatiivinen kaikilla t 0 5
Siis g (t) on aidosti vähenevä, josta seuraa, että myös g (t) on aidosti vähenevä ja g (t) on suurin, kun t 0 8 Olkoon + yi ( + yi)( yi) + y y ± Merkitään f ( ) + i Tällöin f ( ) + i + yi + + yi i + yi + + ( y ) i ( ) + y + + ( y ) ( ) + y + + ( y ) ( + y ) y + + y y + y + 4 Tässä ratkaisu jakautuu kahteen haaraan Tutkitaan ensin, mitä tapahtuu, kun y ) Kun y, on f ( ) 4 Merkitään g( ) 4 Funktio g() on jatkuva suljetulla välillä [, ] ja derivoituva välin sisäpisteissä, joten se saa suurimman ja pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä Derivaatan nollakohdat: g ( ) ( ) ( ) + + 0 korotetaan potenssiin, jolloin pitää olla > 0 ± 6
joista ei käy, koska > 0 g( ) 4 ( ) 4 4 Arvot päätepisteissä g( ) 6, g ( ) ) Kun y, on f ( ) 4 + Merkitään h( ) 4 + Funktio h() on jatkuva suljetulla välillä [, ] ja derivoituva välin sisäpisteissä, joten se saa suurimman ja pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä Derivaatan nollakohdat: h ( ) 0 korotetaan potenssiin, jolloin pitää olla > 0 eli < 0 ± joista ei käy, koska < 0 h ( ) 4 + Arvot päätepisteissä h ( ) 6, h ( ) V: Pienin arvo on 4, suurin 4 + 9 Määritellään a + bi ai + b j ja c + di ci + d j Skalaaritulo ac + bd Kompleksilukujen tulo ( a + bi)( c + di) ac bd + ( ad bc) i + 7
Saadaan yhtälö ac + bd ac bd + ( ad + bc) i Kompleksiluvut ovat samat, kun niiden reaaliosat ja imaginaariosat ovat samat Saadaan yhtälöpari ac + bd ac bd ad + bc 0 bd bd ad + bc 0 bd 0 ad + bc 0 Jos b d 0, niin yhtälöt toteutuvat Tällöin ja ovat reaalisia Jos b 0 ja d 0, niin yhtälöstä ad + bc 0 saadaan ad 0 Koska d 0, niin a 0 Siis 0 Jos d 0 ja b 0, niin yhtälöstä ad + bc 0 saadaan bc 0 Koska b 0, niin c 0 Siis 0 Vastaus: 0 tai 0 tai ja ovat reaalisia 30 Kompleksiluvun + iy liittoluku iy Määritellään a + bi ja c + di ( a + bi)( c + di) ac bd + ( bc + ad) i ac bd ( bc ad) i Toisaalta ( a + bi)( c + di) ( a bi)( c di) ac bd ( bc ad) i Siis Merkitään + iy Nyt siis iy Tällöin yhtälö + + 0 voidaan kirjoittaa muotoon ( + iy) + ( iy) + 0 Sievennyksen jälkeen saadaan 8
y + + + i(y y) 0 Kompleksiluku on nolla, kun sen reaali- ja imaginaariosa on nolla Saadaan yhtälöpari y + + 0 y y 0 Alemmasta yhtälöstä saadaan y y 0 ( ) y 0 y 0 tai Sijoitetaan ylempään yhtälöön y 0 : + + 0 Ei ratkaisua : y + + 0 7 y 4 y ± 7 4 ± 7 Siis ratkaisuja ovat 7 + i ja 7 i 9