Tähden kirkkauden ja pintalämpötilan välinen korrelaatio Jarkko Lehtoranta Jussi Sainio Allar Saviauk 10. toukokuuta 2005
Sisältö 1 Johdanto 1 2 Mittausaineistosta ja tilastoista 2 2.1 Tilastomuuttujat......................... 2 2.2 Otos................................ 2 2.3 Aineiston käsittely........................ 3 2.4 Taustaa.............................. 3 3 Tulokset 5 3.1 Pääsarjan tähdet......................... 5 3.1.1 Pearsonin korrelaatiokerroin ja selitysaste........ 5 3.1.2 Lineaarinen regressio................... 5 3.1.3 Lämpötilojen keskilukuja ja otoshajontalukuja..... 6 3.1.4 Magnitudien keskilukuja ja otoshajontalukuja..... 6 3.2 Kaikki aineiston tähdet...................... 6 3.2.1 Pearsonin korrelaatiokerroin ja selitysaste........ 6 3.2.2 Lineaarinen regressio................... 6 3.2.3 Lämpötilojen keskilukuja ja otoshajontalukuja..... 7 3.2.4 Magnitudien keskilukuja ja otoshajontalukuja..... 7 4 Johtopäätökset 8 A Tähtityypit 9 A.1 Pääsarjan tähdet (Main sequence)................ 9 A.2 Punaiset jättiläiset (Red giants)................. 9 A.3 Ylijättiläiset (Super giants)................... 10 A.4 Valkoiset kääpiöt (White dwarfs)................ 10 B Tilastolaskentaohjelma 11 B.1 Hygplot.py............................. 11 i
Kuvat 3.1 Pääsarjan tähdet (n = 6533)................... 5 3.2 Kaikki aineiston tähdet (n = 28933)............... 6 A.1 Tähtityypit ja spektriluokat................... 9 ii
Taulukot 2.1 Tähtien spektriluokat....................... 3 iii
Luku 1 Johdanto Tähdet ovat aina kiehtoneet ihmistä. Milloin ne ovat riippuneet uskomusten mukaan jumalien hiuksista, milloin suuresta taivaankannen kellokoneistosta... Tällä kertaa ei ole kuitenkaan kyse, mistä tähdet riippuvat, vaan siitä, kuinka paljon tähden kirkkaus riippuu sen pintalämpötilasta. Vastataksemme tähän kysymykseen haimme Internetistä mittausaineistoa ja saimme valtavan (ja silti niin kovin pienen) n. 28 000 tähden aineiston, josta suodatimme koneellisesti halutut tilastomuuttujat ja otokset. 1
Luku 2 Mittausaineistosta ja tilastoista 2.1 Tilastomuuttujat Äkkiseltään voisi olettaa, että ainakin tähden kirkkaus on helppo mitata. Tämä on totta, mutta helposti mitattavalla näennäisellä magnitudilla (apparent magnitude) ei voida verrata tähtiä toisiinsa, sillä siihen vaikuttaa myös etäisyys havaitsijasta. Saadaksemme absoluuttisen magnitudin (absolute visual magnitude), tarvitsemme myös tähden etäisyyden. Etäisyys voidaan mitata parallaksin avulla, vaikkapa Maan tai satelliitin kiertoradan vastakkaisilla puolilla. Absoluuttisessa magnitudissa tähdet kuvitellaan yhtä kauas havaitsijasta, ja nyt arvot ovat vertailukelpoisia. Auringon absoluuttinen magnitudi on +4,83, ja yleensä absoluuttiset magnitudit sijoittuvat välille -10 (miljoona kertaa kirkkaampi kuin Aurinko) ja +20 (miljoona kertaa himmeämpi). Pintalämpötila saadaan myös hieman kiertotietä, tähtien spektristä. Aallonpituus, jolla tähti emittoi eniten valoa, voidaan Wienin siirtymälain mukaisesti muuntaa sen lämpötilaksi. 1890-luvulla tähdet luokiteltiin niiden spektrin mukaan. Tähtien klassiset seitsemän spektriluokkaa ovat O B A F G K M, tähän löytyy mukava muistisääntö: Oh Be A Fine Girl/Guy, Kiss Me. Luokat jaetaan vielä kymmeneen alaluokkaan, joita merkitään numeroilla, esim. G5. Aineisto sisälsi merkinnät alaluokka mukaanlukien, ja niinpä muutimme niistä numeeriset lämpötila-arvot. 2.2 Otos Aineisto on koottu ESA:n Hipparcos -satelliitin parallaksi-, magnitudi- ja spektrimittauksista sekä kahdesta tähtikatalogista. 2
Luokka Väri Lämpötila O sinertävä yli 25 000K B sini-valkoinen 11 000 25 000K A valkoinen 7 500 11 000K F kellertävä valkoinen 6 000 7 500K G kellertävä 5 000 6 000K K oranssi 3 500 5 000K M punertava alle 3 500K Taulukko 2.1: Tähtien spektriluokat Kaikkia tähtiä ei ole mahdollistakaan tutkia, joten kokonaistutkimuksen vaihtoehto on poissuljettu. Alkuperäisessä Hipparcos-tietokannassa noin 120 000 tähteä, mutta jouduimme tyytymään AstroNexuksen 1 pienimpään n. 30 000 tähden tietokantaan, sillä normaalikäyttöön tarkoitetut taulkkolaskentaohjelmat (Microsoft Excel, OpenOffice.org Calc,... ) eivät pystyneet käsittelemään suurempia taulukoita. Otos vaikuttaa olevan pääsarjan tähtien ja jättiläisten osalta melko hyvin edustava, mutta valkoisia kääpiöitä siinä on valitettavan vähän. Rajoituimmekin siksi vielä pienempään otokseen, pelkkien varmasti pääsarjaan kuuluvien tähtien tutkimiseen, mutta myös koko otoksen kattavat laskelmat tehtiin. Tähtityypeistä lisää liitteessä A. 2.3 Aineiston käsittely Tilastomuuttujat valikoitiin taulukkolaskentaohjelmalla ja itse laskenta ja diagrammin piirto suoritettiin omatekoisella ohjelmalla (ks. Liite B). Diagrammin x-akselille laitoimme spektriluokasta saadun lämpötilan kelvineinä. Y-akselille asetimme tähden kirkkauden absoluuttisina magnitudeina. Mitä kirkkaampi on tähti, sitä pienempi on sen magnitudi. 2.4 Taustaa Joku asiasta tietämätön voisi lähettää tutkimuksemme suoraan Nobel-ehdokkaaksi, mutta tosiasiassa tämä diagrammi on keksitty jo Hertzsprungin 1 Ks. http://www.astronexus.com/general/data/hyg.php 3
ja Russellin puolesta 1900-luvun alkupuolella. Diagrammia sanotaankin HRdiagrammiksi keksiöidensä mukaan. Vaikka tämä olikin heidän keksintösä, oli silti hienoa itse saada näkyviin tähtien jakauma eri tyyppeihin. 4
' + *( Luku 3 Tulokset 3.1 Pääsarjan tähdet, % $ # ") ( &' # $ % " #! Kuva 3.1: Pääsarjan tähdet (n = 6533) 5
3.1.1 Pearsonin korrelaatiokerroin ja selitysaste r = 0.872886367062 0.8729 (3.1) r 2 = 0.761930609804 76% (3.2) 3.1.2 Lineaarinen regressio Regressiosuoran yhtälö y = mx + b. m = 0.00626908421638 0.00627 (3.3) b = 8.11602343639 8.12 (3.4) 3.1.3 Lämpötilojen keskilukuja ja otoshajontalukuja Md x = 7600 K (3.5) x = 8876.9095362 K 8900 K (3.6) s 2 x = 16137424.1056 K 2 (3.7) s x = 4017.14128524 K (3.8) 3.1.4 Magnitudien keskilukuja ja otoshajontalukuja Md y = 2.24933226739 (3.9) y = 2.55101409003 2.55 (3.10) s 2 y = 8.32390278718 (3.11) s y = 2.88511746506 (3.12) 6
=/. =/ =. LE DC GK HJ - BI H C FG @. DE BC? @A > / - /. 0 1 - - - - 0. - - - 0 - - - - 2 /. - - 3 4 5 3 6 7 8 9 6 3 : ; < / - - - -. - - - Kuva 3.2: Kaikki aineiston ta hdet (n = 28933) 7 -
3.2 Kaikki aineiston tähdet 3.2.1 Pearsonin korrelaatiokerroin ja selitysaste r = 0.380328271736 0.3803 (3.13) r 2 = 0.144649594282 14% (3.14) 3.2.2 Lineaarinen regressio Regressiosuoran yhtälö y = mx + b. m = 0.000280360089002 0.000280 (3.15) b = 3.40322731145 3.40 (3.16) 3.2.3 Lämpötilojen keskilukuja ja otoshajontalukuja Md x = 5500 K (3.17) x = 7416.43106487 K 7400 K (3.18) s 2 x = 15885965.3355 K 2 (3.19) s x = 3985.72017778 K (3.20) 3.2.4 Magnitudien keskilukuja ja otoshajontalukuja Md y = 0.854260058211 (3.21) y = 1.32395603802 1.32 (3.22) s 2 y = 8.63234460309 (3.23) s y = 2.9380851933 (3.24) 8
Luku 4 Johtopäätökset Diagrammista erottuu selvästi eri tähtityypit. Siinä on selvästi laskeva suora, josta nousee leveä lisähaara ylöspäin n. 5 000K kohdalla. Tähän laskevaan suoraan kuuluvat kaikki pääsarjan tähdet, pääsarjan tähtiä voidaan sanoa myös kääpiöiksi. Nousevassa haarassa on punaiset jättiläiset ja sen yläpuolella erillisenä ryhmänä superjättiläiset. Pääsarjan alapuolella on yksittäisiä valkoisia kääpiöitä. Koko otoksessa (jättiläiset ja valkoiset kääpiöt mukaanluettuna) tähden kirkkauden ja kuumuuden välinen korrelaatio on lähes merkityksetön. Jos otetaan huomioon ainoastaan pääsarjan tähdet, nähdään voimakas korrelaatio tähden kirkkauden ja kuumuuden välillä. Muuttujien välinen korrelaatiokerroin on negatiivinen, sillä absoluuttinen magnitudi on kääntäen verrannollinen tähden kirkkauteen. 9
Liite A Ta htityypit Kuva A.1: Ta htityypit ja spektriluokat 10
A.1 Pääsarjan tähdet (Main sequence) Suurin osa taivaan tähdistä kuuluvat pääsarjaan. Ne ovat keskisuuria ja melko pitkäikäisiä Auringon kaltaisia tähtiä. Aurinko osuukin keskelle pääsarjaa keltaiselle alueelle. Pääsarjan vasemmassa päässä on Aurinkoa kuumempia ja hieman suurempia sinisiä tähtiä. Auringosta oikealle siirtyäessä alkaa tähtien väri lähennellä punaista ja samalla niiden kirkkaus alkaa nopeasti laskea. Pääsarjan oikeassa reunassa onkin heikkovaloiset punaiset kääpiöt. Ne ovat pieniä, viileitä ja hyvin pitkäikäisiä tähtiä. Suurin osa tähdistä on punaisia kääpiöitä, mutta niistä tunnetaan vain lähimmät niiden heikon valonsa vuoksi. Tähtien lukumäärä siis kasvaa oikealle siirrtyessä. A.2 Punaiset jättiläiset (Red giants) Pääsarjasta nousee ylös erillinen joukko, johon kuuluvat punaiset jättiläiset. Niillä on sama pintalämpötila kuin punaisilla kääpiöillä, mutta ne ovat kooltaan ja kirkkaudeltaa lähes 100 kertaa Aurinkoa suurempia. Tähdet elävät suurimman osan elämästään pääsarjassa, mutta ennen kuolemaansa niistä tulee juuri punaisia jättiläisiä. Vasemmalle siirryttäessä löytyy myös sinisiä jättiläisiä, mutta ne ovat paljon harvinaisempia eikä niitä yleensä erikseen luokitellakkaan omana ryhmänään. A.3 Ylijättiläiset (Super giants) Punaisten jättiläisten yläpuolelta erottaa selvästi erillisen ryhmän, johon kuuluvuat ylijättiläiset. Ne ovat punaisia jättiläisiäkin paljon suurempia ja kirkkaampia. Ne on myös taivaan kirkkaimpia tähtiä, joista loistavana esimerkkinä löytyy esim. Betelgeuze Orionista. Ylijättiläiset voivat minä hetkenä tahansa räjähtää supernovana. A.4 Valkoiset kääpiöt (White dwarfs) Valkoiset kääpiöt ovat pääsarjan alapuolella. Ne ovat heikkovaloisia, mutta melko kuumia. Kooltaan ne ovat maapallon kokoisia, mutta massaa niillä on yhtä paljon kuin Auringolla. Ne ovat siis hyvin tiheitä. Valkoiset kääpiöt ovat kuolleiden tähtien ytimiä, joita löytyy esimerkiksi planetaaristen sumujen keskeltä. Ydinreaktiot ovat jo loppuneet niistä ja pikkuhiljaa ne häviävät kokonaan näkyvistä. 11
Liite B Tilastolaskentaohjelma B.1 Hygplot.py Tue May 3 20:53:19 2005!/usr/bin/python -*- coding: iso-8859-1 -*- requires matplotlib (see http://matplotlib.sf.net) 6 from pylab import 7 from matplotlib.numerix import fromstring, argsort, take, array Function load a return data to arrays 10 def get hr data (): 11 class C: pass 13 def get stars (): 14 vals [ ] 15 lines file ('hyg_hrdata_kelvin.csv').readlines () 17 for line lines[1: ]: 18 vals.append ([float (val) for val line.split (',')[0: ]]) 12
20 M array (vals) 21 c C () 22 c.temp M[:, 0] 23 c.absmag M[:, 1] 24 return c 25 c1 get stars () 26 return c1 Read data into arrays 29 hrdata get hr data () Calculate linear regression line variables 32 m, b polyfit (hrdata.temp, hrdata.absmag, 1) 33 x arange (0.0, 30000.0, 1.0) Calculate correlation coefficients (select only one) 36 r corrcoef (hrdata.temp, hrdata.absmag)[0][1] Calculate standard deviation 39 stdx std (hrdata.temp) 40 stdy std (hrdata.absmag) Calculate standard deviation of the sample 43 takestdx sqrt ((stdx stdx len (hrdata.temp))/(len (hrdata.temp) 1.0)) 44 takestdy sqrt ((stdy stdy len (hrdata.temp))/(len (hrdata.temp) 1.0)) Print out values 47 print "datapoints =\t", len (hrdata.temp) 48 print "\nr = \t\t" 13
, r 49 print "r^2 = \t\t", r r 50 print "\nlinear regression y = m*x + b" 51 print "m = \t\t", m 52 print "b = \t\t", b 53 print "s_x =\t\t", takestdx 54 print "s_y =\t\t", takestdy 55 print "s^2_x =\t\t", takestdx takestdx 56 print "s^2_y =\t\t", takestdy takestdy 57 print "sigma_x =\t", stdx 58 print "sigma_y =\t", stdy 59 print "sigma^2_x =\t", stdx stdx 60 print "sigma^2_y =\t", stdy stdy 62 temp mean mean (hrdata.temp) 63 print "\nmean temp =\t", temp mean 65 absmag mean mean (hrdata.absmag) 66 print "mean absmag =\t", absmag mean 68 temp median median (hrdata.temp) 69 print "median temp =\t", temp median 71 absmag median median (hrdata.absmag) 72 print "median absmag =\t", absmag median 14
Do a scatterplot 75 scatter (hrdata.temp, hrdata.absmag, 16, "white", 'o', None, None, None, None, 0.5) 77 grid (True); 78 ylabel ("Absolute Visual Magnitude" ) 79 xlabel ("Temperature (K)" ) Plot regression line 82 plot (x, m x + b, '-k', linewidth 2) Configure axis (x-axis doesn t do anything on semilogx) 85 axis ([30000, 0, 20, 15]) Save image 88 savefig ("hygplot" ) 15