Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,]
Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4
T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + ) = t + = t T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = d) = 0 e) = = = : = + = 0 = 0 Nollakohta! T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f) f() = = = = + 6 = 6 = 9 7 = 9 :
T 8. (sivu ) f() = a) f(0) = 0 = 0 = T 8. (sivu ) T 8. (sivu ) f() = f() = b) f(a) = a c) f( + ) = ( + )
T 8. (sivu ) T 8. (sivu ) f() = f() = c) f( + ) = ( + ) d) a f( ) = a [( ) ] = + + = + T 8. (sivu ) f() = Elokuvassa Avaruusseikkailu 00 ohjaaja Kubrick käytti kapinoivasta tietokoneesta nimeä HAL Tämä lienee Caesarin salakirjoituksella tehty salanimi, mikähän olisi nimi salaamattomana? d) a f( ) = a = a [( ) ] ( 4 + 4 ) = a 4a + a Polynomi? MB Lineaarisia polynomifunktioita
.asteen polynomifunktio (suora) y = k + b k= kulmakerroin (kaltevuus) b = vakiotermi (y-akselin leikkauskohta) Ratkaistu muoto y = k + b Normaalimuoto A + By + C = 0 Nouseva Laskeva -akselin suuntainen y-akselin suuntainen Suoran yhtälön määrittäminen Kulmakerroin suoralle, joka kulkee pisteiden (,y ) ja (,y ) kautta Suoran yhtälö, kun tunnetaan kulmakerroin ja piste ( 0,y 0 ) y-y 0 =k(- 0 ) T a). (sivu 44) T. (sivu 44) a) y = 4 4 Kulmakerroin k = 4 kun kasvaa kahdella: y:n muutos =4 = 8 Siis y kasvaa 8:lla
T. (sivu 44) T. (sivu 44) b) y = = 0 c) 6 7y = Kulmakerroin k = 0 7y = 6 + kun kasvaa kahdella: y:n muutos = 0 = 0 y = 6 7 7 T. (sivu 44) y = 6 7 7 6 Kulmakerroin k = 7 kun kasvaa kahdella: y:n muutos = 6 = 7 7 T. (sivu 44) d) = Suoralla ei ole kulmakerrointa. kun kasvaa kahdella: EI SAMALLA SUORALLA T. (sivu 4) T. (sivu 4) a) Valitaan (, y ) = (, y ) = y k = y (, ) (, 4) 4 k = = = Suoran yhtälö y y = k( ) y = ( ) y = y = + y = +
T. (sivu 4) T. (sivu 4) b) Valitaan (, y ) = (, ) (, y ) = y k = y (, ) ( ) + 4 k = = = = ( ) + Suoran yhtälö y y = k( ) y = ( ) y = y = + y = T. (sivu 4) T. (sivu 4) c) Valitaan (, y ) = ( 7, 6) (, y ) = (, 4) y k = y 4 6 0 k = = = ( 7) Suoran yhtälö y y = k( ) y 6 = ( ( 7)) T. (sivu 4) T. (sivu 4) y 6 = ( + 7) y 6 = y = + 6 y = + 9 d), y ) = 8, 0 ( (, y ) = (, 4) y k = y 4 0 4 4 k = = = = 8 6 8
T. (sivu 4) T. (sivu 4) Suoran yhtälö y y = k( ) y ( 4) = 8 ( ) y + 4 = y = y = 8 6 8 4 8 T 7a.(sivu 4) T 7a.(sivu 4) + y + = 0 y y = = + y + = 0 y y = = Kysytyllä suoralla on sama kulmakerroin. T 7a.(sivu 4) Suoran yhtälö y y 0 = k( 0 ) Sijoitetaan yhtälöön: (, y 0 ) k 0 = = (, 4) T 7a.(sivu 4) y 4 = ( ) y 4 = + y y = + + 4 = + TAI + y = 0
T 7a.(sivu 4) T 7b.(sivu 4) 6 y Piste (, y) = (; 7,) toteuttaa suoran yhtälön y = k 4 0-6 - -4 - - - - 0 4 6 Tehdään sijoitus: 7, = k - - -4 - -6 T 7b.(sivu 4) Piste (, y) = (; 7,) toteuttaa suoran yhtälön y = k Tehdään sijoitus: 7, = k k = 7, T 6. (sivu 44) Saatetaan suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon Ensimmäinen suora: + y = 0 y = + k =,7 T 6. (sivu 44) Saatetaan suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon Ensimmäinen suora: + y = 0 y = + Kulmakerroin on. Suora leikkaa y-akselin kohdassa. T 6. (sivu 44) Saatetaan suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon Toinen suora: y = 0 y = y =
T 6. (sivu 44) Saatetaan suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon Toinen suora: y = 0 y = y = Kulmakerroin on. Suora leikkaa y-akselin kohdassa 0. T 6. (sivu 44) Piirretään suorat 4 0 - -4 - - - 0-4 - - -4 - y = (0,; 0,) y = + T 6. (sivu 44) Algebrallinen ratkaisu + y = 0 y = 0 = 0 = T 6. (sivu 44) Sijoitetaan saatu :n arvo + y = 0 y = = T 6. (sivu 44) T 7. (sivu 44) Sijoitetaan saatu :n arvo + y = 0 a) y + = 0 4y = 0 ( ) y = Suorat leikkaavat toisensa pisteessä,
T 7. (sivu 44) T 7. (sivu 44) a) y + = 0 4y = 0 y + = 0 + 4y = 0 y + = 0 y = ( ) Sijoitetaan saatu y:n arvo 4( ) = 0 + 0 = 0 = 0 = 0 T 7. (sivu 44) T 7. (sivu 44) Sijoitetaan saatu y:n arvo 4( ) = 0 + 0 = 0 = 0 = 0 b) + y + = 0 y = Suorien leikkauspiste on (-0, -) T 7. (sivu 44) b) + y + = 0 y = Sijoitetaan alemman yhtälön y:n lauseke ylempään yhtälöön: T 7. (sivu 44) + + = 0 + = 0 = =
T 7. (sivu 44) T 7. (sivu 44) Sijoitetaan saatu :n arvo: y = = = 4 Sijoitetaan saatu :n arvo: y = = = 4 Suorien leikkauspiste on (, 4) Lineaarinen riippumattomuus suoraan verrannollisuus Lineaarisia malleja T a (sivu 60) Matka ja aika ovat suoraan verrannolliset. s=vt (v = nopeus) 7=v, v=0 (km/h) siis s= 0 t T b (sivu 60) s=0, =4 (km) TAI matka (km) aika (h) 7,, 7 =,,, =, 7, 7 =, = 4
T c (sivu 60) 0 =0 t t= (h) TAI matka (km) aika (h) 7, 0 7, = 0 7 = 0, 0, = 7 = T. (sivu 60) Merkitään: Muuttuja t on aika tunteina. Huoltotyön kokonaismaksu on perusmaksun ja ajasta riippuvan osuuden summa: f ( t) = + t Puolen tunnin huolto: f ( 0,) = + 0, =, Puolentoista tunnin huolto: f (,) = +, = 07, Vastaus:,0 ja 07,0 T 7. (sivu 6) T 7. (sivu 6) Yhtälössä y = k + b aika on vuorokausina, y on kuolleiden määrä. 0 0 s = d = 60 60 4 d 8640 Tässä on kyseessä suoraan verrannolliset suureet siten, että y = k, missä k on vakio. Vakion k laskemiseksi sijoitetaan yhtälöön y = (yksi kuollut) ja aika 0 s vuorokausina. = k 8640 k = 8640 Siis yhtälö on y = 8640 T 7. (sivu 6) Lasketaan kuolleiden määrä y, kun aika on 4 min eli 4 = d = 0,0 d 60 4 y = 8640 0,0 = 70 T 7. (sivu 6) Kuolleiden määrä on y = 8640, kun aika on vuorokausina 40000 000 0000 000 0000 000 0000 000 0 0 0,,,, 4
T 7. (sivu 6) Vastaus: Yhtälö on y = 8640. 4 minuutin aikana 70 ihmistä kuolee tupakoinnin vuoksi. T 68. (sivu 6) Lineaarinen riippuvuus. Arvosana 4, vastaa pistemäärää 0 ja arvosana 0 pistemäärää 6 Arvostelusuoralla y = k +b on pisteet:, y ) (0; 4,) ( = (, y) = (6;0) 0 4,, k = = = 6 0 6 T 68. (sivu 6) Ratkaistaan vakio b tiedolla, että kun on 6, niin y on 0: 0 = 6 + b 96 4 b = 0 = Arvostelusuora on 4 + T 68. (sivu 6) Arvostelusuora y = 0 9, 9 8, 8 7, 7 6, 6, 4, 4 + 046789046789046 T 68. (sivu 6) Lasketaan, mitä arvosanaa vastaa pistemäärä 0: T 68. (sivu 6) Lasketaan, mitä pistemäärää arvosana 6 vastaa: y = 4 0 + = 6,6 4 + = 6 + 4 = 88 = = 7
T 68. (sivu 6) Lasketaan, mitä pistemäärää arvosana 9 eli 8,7 vastaa: 4 + = 8,7 + 4 = 4 = = 0 T 7. (sivu 64) Asteikkojen välillä on lineaarinen riippuvuus. Olkoon f() = y = k + b, missä on lämpötila celsiusasteina ja y on lämpötila fahrenheitasteina. Kuvaajalta tiedetään kaksi pistettä: (, y) = (, 9), y ) (00, ) ( = T 7. (sivu 64) Kulmakerroin 9 k = = =,8 00 8 Siis f () =,8 + b T 7. (sivu 64) Kulmakerroin 9 k = = =,8 00 8 Siis f () =,8 + b Vakio b voidaan ratkaista tiedolla: f () =,8 + b = 9 T 7. (sivu 64) f () =,8 + b = 9,8 + b = 9 b = 9,8 b = Lineaarinen regressio Joko laskimella tai taulukkolaskennalla(ecel) Moodlessa Java-ohjelma, jolla voit myös kokeilla Vastaus: Celsiusasteet muutetaan fahrenheitasteiksi funktiolla f() =,8 +
Tehtävä 76 s.6 Kuvaaja, johon lisätty trendiviiva Ohjeita Vuosi 994 alkaen Energian kulutus 0,7, Energian kokonaiskulutus Variaabelin kotisivu: http://www.otava.fi/oppilaan_maailma/lukio/variaabeli/,9,94,8 4,0,4,, y = 0,08 +,986 Sekä Ecel- että laskinohjeet!,06 6,8, 7,66 8,40 0 4 6 7 8 Esimerkkejä Toisen asteen yhtälö (kertausta) = 49 = ±7 + 4 = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 = 0 tai tai = 0 = = 4 Ei ratkaisua Toisen asteen yhtälö a + b + c = 0 b ± = b 4 a c a 4 + = 0 ( 4) ± = ( 4) 4 4 ± 6 4 ± 4 4 ± = = = 4 = = = 4 + 6 = = = Vastaus: = tai =
Ratkaise + = 0 Toisen asteen yhtälö a + b + c = 0 b ± = b 4 a c a Diskriminantti D = b 4 a c Diskriminantin merkki: Jos D>0, yhtälöllä erisuurta reaalijuurta Jos D=0, yhtälöllä reaalijuuri(kaksoisjuuri) Jos D<0, yhtälöllä ei ole reaalijuuria T 98. (sivu 8) a) 9 + = 0 ( 9) ± = ( 9) 4 D = ( 9) 4 = 8 48 = > 0 Vastaus: Yhtälöllä on kaksi reaalijuurta T 98. (sivu 8) T 98. (sivu 8) b) + 0 + = 0 b) + + 8 = 0 D = 0 4 = 4 < 0 D = 4 8 = 44 44 = 0 Vastaus: Yhtälöllä ei ole reaalijuuria Vastaus: Yhtälöllä on yksi reaalijuuri
T 0. (sivu 8) + + a = 0 Yhtälöllä yksi reaalijuuri: Diskriminatti = 0 D = 4a = 0 a = 4 4 a = 0 Toisen asteen polynomifunktio f()=a +b+c Paraabeli f()=a +b+c T 8 a). (sivu 8) Nollakohdat : f ( ) = + + = 0 6 4 0-0 4 - -4-6 -8 0-0 4 - - - -4 - -6-7 -8 ± ( ) 4 = ± 4 8 ± 4 = = Ei ratkaisua a>0 a<0 Lasketaan funktion arvoja taulukkoon 0 + 0 4 0-0 9 8 7 6 4 0 - - 0 4 -
T 8. (sivu 84) T 8. (sivu 8) b) g() = + 4 Lasketaan funktion nollakohdat: + 4 = 0 4 + = = = 4 6 = = = 4 ± 4 4 ( ) ( ) = Nollakohdat ovat = ja = ( ) 4 ± 6 4 ± = = 4 4 ± = T 8. (sivu 8) T 8. (sivu 8) Paraabelin huippupiste on aina nollakohtien puolivälissä, joten huipun -koordinaatti on. Lasketaan tämä ja muitakin kuvaajan pisteitä taulukolla. y = + 4 + 4 = 4 + 8 = 0 0 0 4 4 + 4 4 = 6 + 6 = ( ) + 4 ( ) = 8 + 4 = + 0 = 8 T 8. (sivu 8) T 9. (sivu 8) y = + 4 0-0 4 - - - -4 - -6-7 Paraabelin yhtälö on muotoa y y Huippupiste on Sijoitus: 0 = a( 0 ) y = a( ( )) y = a( + ) ( 0 0, y ) = (, ) -8
T 9. (sivu 8) Koska piste (0, ) on kuvaajalla, niin pisteen koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön: = a(0 + ) = a a = Sijoitetaan saatu a:n arvo paraabelin yhtälöön y = a( + ) T 9. (sivu 8) y = ( + ) y = ( + + ) y = 6 y = 6 Vastaus: y = 6 T 94. (sivu 8) Toisen asteen polynomifunktio on muotoa f() = a + b + c y y 0 = a( 0 ) T 9. (sivu 8) Koska piste (, ) on kuvaajalla, niin pisteen koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön: Kuvaajalta tiedetään pisteet (, ), ja (6, -). sekä huippu (4, 7) Tehdään sijoitus: y 7 = a( 4) y 7 = a( 4) 7 = a( 4) 8 = a 4 a = T 9. (sivu 8) y 7 = ( 4) y 7 = ( y 7 = y = 8 + 6) + 6 + 6 f (7) = 7 + 6 7 =