7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b



Samankaltaiset tiedostot
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki = 16 3 =

1.7. Trigonometristen funktioiden derivaatat

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

B. 2 E. en tiedä C ovat luonnollisia lukuja?

3 Määrätty integraali

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Integrointi ja sovellukset

Funktion derivoituvuus pisteessä

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

5. Numeerisesta derivoinnista

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

cos x cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 4 Maanantai

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Matematiikan tukikurssi

Yhdistetty funktio. Älä sekoita arvo- eli kuvajoukkoa maalijoukkoon! (wikipedian ongelma!)

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

1.4 Funktion jatkuvuus

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdoituksia Rami Luisto Sivuja: 5

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Luentoesimerkki: Riemannin integraali

2 Funktion derivaatta

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

Analyysi I (sivuaineopiskelijoille)

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Y ja

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

2 Funktion derivaatta

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

Talousmatematiikan perusteet: Luento 18. Määrätty integraali Epäoleellinen integraali

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

Differentiaali- ja integraalilaskenta

Matematiikan tukikurssi

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

MAA7 Harjoitustehtävien ratkaisuja

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Differentiaalilaskennan tehtäviä

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

Talousmatematiikan perusteet: Luento 16. Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä

1 Peruslaskuvalmiudet

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

2 Pistejoukko koordinaatistossa

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Transkriptio:

7. PINTA-ALAFUNKTIO Edellä on käsitelty annetun funktion integraalifunktion määrittämiseen liittyviä asioita kurssille asetettuja vaatimuksia jonkin verran ylittäenkin. Jodantoosassa muistanet mainitun, että integraalilaskennan toinen peruskäsite, määrätty integraali, on eräs raja-arvo, mutta ennen kuin käydään selvittämään, mikä raja-arvo on kyseessä, miten se käytännössä määritetään ja mitä yötytietoa tämän raja-arvon avulla kenties saadaan, tarkastellaan ns. pintaalafunktiota, koska jo tämän käsitteen yteydessä selviää se ajatuslogiikka, joka sitten laajemmin ja syvemmin toistuu määrätyn integraalin yleisteoreettisessa käsittelyssä. Tässä yteydessä lienee syytä uomauttaa, että lukiomatematiikassa olisi syytä korostaa muitakin seikkoja kuin pinta-alan määrittämistä, koska opiskelijoille saattaa pitkäksi ajaksi jäädä käsitys, että määrättyä integraalia voidaan enimmäkseen soveltaa vain pinta-alojen laskussa. Ken taas ei opiskele fysiikkaa, jää paljossa vaille niitä näköaloja, joita fysiikka tarjoaa määrätyn integraalin soveltamiseen. No, olkoon nyt A(x) sen pinnan ala, jota rajoittavat x-akseli, ei-negatiivisen funktion f kuvaaja ja kaksi y-akselin suuntaista suoraa paikoissa a ja x, missä x > a. Funktiota A, jonka arvo on siis muuttujasta x riippuvainen, sanotaan (jatkuvan) funktion f pinta-alafunktioksi. Pyritään määrittämään pinta-ala A(x) ei suoraan vaan siten, että muodostetaan funktion A derivaatta A (x). Jos derivaatan määrittäminen onnistuu, ekä päästään integroimalla määrittämään itse funktion A arvo kodassa x (ja myös kodassa b). y A(x) a x b Funktion derivaatta on määritelmänsä mukaan erotusosamäärän raja-arvo, missä riippumattoman muuttujan lisäys läenee rajattomasti nollaa. Tässä ei tietenkään 1(5)

löydy mitään valmista derivointikaavaa, vaan on käytettävä määritelmää suoraan. Erotusosamäärään merkitsee sitä, että oltaessa paikassa x annetaan x:lle pieni lisäys x, ja katsotaan, mikä on vastaava funktion lisäys. Muodostetaan sitten funktion lisäyksen ja x:n lisäyksen sude ()/( x) ()/, ja otetaan siitä raja-arvo, kun 0. Toivottavasti tämä raja-arvo, lim 0 A(x + ) A(x) lim 0 on olemassa. Merkintä A(x + ) tarkoittaa luonnollisesti sen pinnan alaa, jota oikealla rajoittaa y-akselin suuntainen suora paikassa x +, mutta muilla ilmansuunnilla tämä pinta on yteinen pinnan A(x) kanssa. Jos > 0, pinta A(x + ) sisältää kokonaan pinnan A(x), mutta jos < 0, on tilanne päinvastainen. Erotusosamäärän osoittajassa olevaa lauseketta A(x + ) A(x) on merkitty symbolilla alla olevassa kuviossa oleva viivattu kaistale. A(x) a x x + b Tässä on nyt oletettu, että muuttujan x saama lisäys on positiivinen, ja viedään tarkastelu loppuun olettaen näin. Tällöin, mikäli erotusosamäärän raja-arvo kyetään määrittämään, kyseessä on vain sen oikeanpuoleinen raja-arvo, eli funktion A(x) oikeanpuoleinen derivaatta. Vasemmanpuoleisen derivaatan joto ei kovin monimutkaisia lisätarkasteluja vaatisi. Jaetaan kateen osaan. Piirroksessa funktio f on väenevä kodassa x, joten jos piirretään pisteen (x, f(x)) kautta vaakasuora viiva ja jatketaan viivaa kodassa x + siten, että syntyy suorakulmio, jonka korkeus on f(x), niin näin syntyneen suorakulmion ala f(x) on suurempi kuin. 2(5)

e f(x) Edellissivun kolmiomainenkin osa muunnetaan suorakulmioksi, jonka kanta on ja se on melko matala (katso kuviota), merkitään korkeutta vaikkapa symbolilla e. Sen pinta-ala on siis ytä suuri, mitä lausekkeessa f(x) on liikaa, jotta se esittäisi täsmälleen funktion A saamaa lisäystä, joka voidaan nyt esittää näiden kaden suorakulmion alojen erotuksena: f(x) e. Silloin erotusosamäärääkin voidaan muokata: A(x + ) A(x) f (x) e f (x) e. Jos funktio f on kasvava kodassa x, niin erotusosamäärä on suorakulmion ja kolmiomaisen (tämä on nyt vään kaunisteltua oletusta) osan summa, ja selvitään sillä, että pidetään yllä olevassa lausekkeessa lukua e positiivisena. Kun nyt derivaattaa kuitenkin loppujen lopuksi aetaan, niin on otettava erotusosamäärästä raja-arvo, missä läestyy nollaa. Tällöin on varsin ilmeistä, että myös luku e läestyy rajattomasti nollaa, käyän alan lisäystä kuvaava kaistale lopulta äärettömän kapeaksi. Jos nyt on olemassa raja-arvo lim 0 A(x + ) A(x) lim A (x), 0 niin sama raja-arvo toisin kirjoitettuna on lim lim (f (x) e) f (x)!!! 0 e 0 ja kun nämä molemmat raja-arvot kuvaavat samaa asiaa, niin on saatu aluksi ekä ylen merkilliseltä vaikuttava tulos A (x) f (x) 3(5)

Pinta-alafunktion A derivaatta pisteessä x saa siis saman arvon, kuin pintaa yläältä rajoittava funktio samassa pisteessä x. Funktion pinta-alafunktio on siten saman funktion integraalifunktio. Jos löydetään yksikin funktion f integraalifunktio F, niin kaikki integraalifunktiot löytyvät parvesta F(x) + C ja tällöin A(x) on yksi näistä, mutta mikä? Mikä on C? A(x) F(x) + C Tämän selvittämiseksi voidaan kysyä, mitä on A(a), eli mikä on sellaisen pinnan ala, jolla on korkeus f(a), mutta joka leveydeltään on nolla? Kyseessä on siis pinta, jota rajoittavat x-akseli, ei-negatiivisen funktion f kuvaaja ja sivusuunnassa kaksi päällekkäin olevaa y-akselin suuntaista suoraa. Vastattaessa esitettyyn ongelmaan on kai tultava siien sinänsä triviaaliin tulokseen, että A(a) 0, mutta voi olla imeellistä kytkeä se tässä yteydessä erään tärkeän integroimisvakion määrittämiseen. Siis 0 A(a) F(a) + C C F(a), joten A(x) F(x) F(a) Pinta-alan laskeminen sanotuin lätökodin palautuu siis siien, että lasketaan ei-negatiivisen funktion f jonkin integraalifunktion kaden arvon erotus. Yleensä tetävänanto on sellainen, että tadotaan tietää sen pinnan ala A, jota rajoittavat x-akseli, y-akselin suuntaiset suorat x a ja x b (b > a) sekä välillä [a,b] jatkuvan ei-negatiivisen funktion f kuvaaja. Tällöin todellakin on kyseessä pinta-alafunktion arvo pisteessä b: A(b) F(b) F(a). Integraalifunktion arvo lasketaan siis siinä pisteessä, miin ala oikealla päättyy ja toisaalta lasketaan siinä pisteessä, mistä ala alkaa ja väennetään näin saadut luvut toisistaan (tässä on oltava sikatarkkana etumerkkien kanssa!!). Historiallisistako syistä, vai mistä jotuu, että on otettu käyttöön merkintä integraalifunktion kaden arvon erotuksen laskemiseksi: A b / F(x) F(b) F(a) a 4(5)

b Tämä merkintä, / F(x), luetaan sanoin sijoitus a:sta b:en iso F(x). a Esim. 24. Laskettava sen pinnan ala, jota rajoittavat x-akseli, suorat x 1 ja x 2 sekä paraabeli y 2 x + 1. Kun pinta-alafunktion lätökodissa nimenomaan korostettiin sitä, että pintaa ytäällä rajoittavan funktion tulee koko tarkasteltavalla välillä olla ei-negatiivinen, niin tämä seikka on tietenkin aina varmistettava. Eiän tieliikennelakiakaan sovelleta autokaupoissa tetyiin petoksiin eikä perusopetuslakia konkurssirikoksiin. Koska f(x) x 2 + 1 > 1 kaikilla x:n reaaliarvoilla, niin ei-negatiivi-suuseto x 3 täytyy. Edelleen F(x) + x, joten 3 2 3 x 8 3 ( 1) 8 1 A / ( x) 2 + + + ( 1) + 2 + + 1 1 3 3 3 3 3 6 pay. 5(5)