FYS101 / 2. HEITTOLIIKE Työssä tutkitaan yksinkertaista heittoliikettä. Työn tarkoituksena on harjoitella johtamaan yleisestä teoriasta tai mallista kyseessä olevaan tapaukseen liittyviä mitattavissa olevia ennusteita ja testaamaan niitä. Tarvittava mekaniikan teoria on ollut esillä jo lukion kursseissa; JYFL:ssa opetukseen käytetyissä oppikirjoissa teoriaa on esitetty seuraavissa: Young & Freedman: Luku 3, erityisesti kappale Projectile Motion ; Luvusta 7 kappale Gravitational Potential Energy ; Luvusta 9 kappale Energy in Rotational Motion, sekä esimerkki 9-14. Ohanian: Luku 4, kappaleet 7.3 ja 7.4 ja kappale 12.4. Alonso & Finn I: s. 89 92 Työssä tutkitaan heittoliikettä käyttämällä teräskuulaa "ammuksena". Kuulalle annetaan alkunopeus pudottamalla se mutkalle taivutetun putken läpi (Kuva 1). Kuulan lähtönopeutta ja lähtökulmaa voidaan muuttaa säätämällä putken asentoa. Näin voidaan mitata erilaisia mittalaitteiston asentoja vastaavat lähtönopeudet ja kantamat (lähtökulmaa ja lähtönopeutta ei siis tässä työssä voi säätää toisistaan riippumattomasti). Ennen varsinaista heittoliikkeen tutkimista määritetään kokeellisesti putoamiskiihtyvyyden g arvo. Mittausten tukena on (poikkeuksellisesti) mittauspöytäkirjakaavake, jonka saa oppilaslaboratoriosta työtä aloitettaessa. Kokeellisia tuloksia verrataan teorian pohjalta laskettuihin lähtönopeuksien ja kantamien arvoihin. Laskuissa otetaan huomioon myös kuulan pyörimisliikkeen energia ja putkessa tapahtuva, kitkan aiheuttama energiahäviö. Kantamat lasketaan sekä lasketun että mitatun lähtönopeuden perusteella. Tulosten vertailun perusteella voidaan arvioida tehtyjen oletusten pätevyyttä. Mittaukset on tehtävä huolellisesti ja erityistä huomiota kiinnitettävä tuloksen luotettavuuden (virhearvion) saamiseen sellaiselle tasolle, että tulosten vertailu ja johtopäätösten tekeminen on mahdollista.
FYS101 / 2 Heittoliike 18 1. Kantaman laskeminen Kantaman laskemiseksi tarvitaan putkessa liikkuvan kuulan loppunopeus, joka on samalla sen vapaan heittoliikkeen lähtönopeus v o. Tämä nopeus mitataan valokennoporttia käyttäen. Valokennoportin käyttö ilmenee työpaikkaohjeesta. Kuulan nopeus voidaan myös laskea kuulan pudotuskorkeuden perusteella. Laskussa otetaan huomioon kuulan energiahäviö W, joka puolestaan määritetään kokeellisesti ja oletetaan (yksinkertaisuuden vuoksi) riippumattomaksi lähtökulmasta. Kuulan potentiaalienergian muutos E p voidaan määrittää mittaamalla putken päiden välinen korkeusero h α = h 2α h α1 ( < 0 ), jolloin E p = mg h α (Kuva 1). Energiaperiaatteen mukaan on E k + E p + W = 0, missä E k on kuulan saama kineettinen energia. Kun kuula pysähtyy putken alapäähän pisteeseen B eli kun v o = 0 on E k = 0 ja E p + W = 0 eli kaikki potentiaalienergia on kulunut energiahäviöihin. Kokonaisenergiahäviö W on siis W = mg(h 1β h 2β ) = mg h β ( > 0), missä h β on korkeusero tilanteessa, jossa kuula pysähtyy kohdassa B ja β on tätä vastaava kulma. Kuva 1. Mittauslaitteisto
FYS101 / 2 Heittoliike 19 Käyttämällä saatua energiahäviön W arvoa (joka oletettiin siis kulmasta riippumattomaksi) voidaan energiaperiaatteen avulla määrittää kuulan lähtönopeus v o ja lentoaika t (jotka riippuvat kulmasta α). Energiaperiaatteen nojalla E p + W + E k = 0, E k = 1 2 mv 2 o + E rot, E rot = 1 2 Jω 2 o. ( 1) Koska kuula pyörii, nopeutta v o ja kulmanopeutta ω o sitoo pyörimisehto v o = ω o r, missä r on kuulan säde. Kuulaa voidaan pitää homogeenisena pallona, jolloin sen hitausmomentti on J = 2 / 5 mr 2. Pyörimisenergian lausekkeeksi tulee tällöin E rot = 1 / 5 mv 2 o eli E rot on 40 % etenemisenergiasta! Etenemisliikkeen liike-energialle saadaan siten lauseke E k = 7 / 10 mv 2 o, joten E k = 7 2 / 10 (v o - v 2 A )m, missä v o = lähtönopeus putkesta ja v A = 0. Kun E p, E k ja W sijoitetaan energiaperiaatteen lausekkeisiin (1), saadaan lähtönopeudelle v o lauseke (johda!) v o = 10 7 g ( h α h β ) ( 2) Tämän ennusteen hyvyyttä tutkitaan mittaamalla kuulan lähtönopeus putken suulla. Laskettua nopeutta verrataan kokeellisesti saatuun arvoon. Seuraavaksi johdetaan lentoajalle t lauseke lähtökulman α ja lähtönopeuden v o funktiona (johda!) t = v oy g 1+ 1+ 2gh 2α 2 v ( 3) oy Kun otetaan huomioon, että v oy = v o sinα ja v ox = v o cosα, kuulan kantama R voidaan laskea lähtökulman avulla. Radan pystysuoran komponentin yhtälöstä ratkaistaan ensin putoamiskorkeutta h 2α vastaava kuulan lentoaika t, jolloin kantaman R lopullinen lauseke tulee muotoon (johda!) R = v ox t = v 2 o sin 2α 1 + 1 + 2gh 2α 2g v 2 0 sin 2 α ( 4) Kantama R voidaan siis laskea sijoittamalla tähän mitattu putoamiskorkeus h 2α, lähtökulma α, lähtönopeus v o sekä putoamiskiihtyvyys g.
FYS101 / 2 Heittoliike 20 2. Putoamiskiihtyvyyden määritys Heittoliikettä kuvaavissa kaavoissa esiintyy luonnonvakio g. Sen arvo annetaan taulukkokirjoissa, mutta todellisuudessahan g riippuu paikasta maapallolla ja jopa korkeudesta (miksi?). Määritetään työssä tarvittava putoamiskiihtyvyyden g arvo kokeellisesti mahdollisimman tarkasti. Määritykseen käytetään fysikaalista heiluria. (Mitä muita mahdollisuuksia olisi olemassa?) Tiedetään, että heilurin heilahdusaika T 0 riippuu putoamiskiihtyvyydestä g ja heilurin varren pituudesta L siten, että T o = 2π L g ( 5) Ratkaise tästä lauseke g:lle! Huomaa, että lauseke pätee pienille heilahduksille, katso Taylorin [1] laskuharjoitus 2.19 ja taulukko 2.12, toisen laitoksen sivu 41. 3. Laitteisto ja työn suoritus 3.1. Putoamiskiihtyvyyden g määritys Työssä käytettävä heiluri koostuu homogeenisesta metallitangosta, joka riippuu noin 2,5 3 m pitkän langan varassa. Poikkeutetaan kuulaa n. 0,05 0,10 m (täyttyykö ehto pienistä heilahduksista?) ja annetaan sen heilahtaa (vähintään) 50 kertaa. Aika mitataan käsikellolla, joiden näyttämän tarkkuus on suurempi kuin todellinen mittaustarkkuus (miksi?). Toistetaan mittaus neljä kertaa ja käytetään keskiarvon keskivirhettä ajan mittauksen virheenä. Jos kaksi mittaajaa on tekemässä työtä samanaikaisesti, kannattaa heilurityössä työskennellä yhdessä, jolloin saadaan kaksinkertainen määrä kellotuksia. Yhden heilahduksen aika T 0 virheineen saadaan jakamalla mitattu aika heilahdusten määrällä. Heilurin varren pituus L virheineen määritetään mittaamalla. Esittäkää mittaustuloksenne ohjaavalle assistentille ennen työn jatkamista!
FYS101 / 2 Heittoliike 21 Tuloksista lasketaan putoamiskiihtyvyyden g arvo virheineen. Kuinka lähellä saamasi tulos on yleensä laskutehtävissä käytettyä "vakio"arvoa 9,81 m/s 2? Onko mitään syytä olettaa, että tämä arvo olisi jotenkin parempi tai luotettavampi kuin juuri mittaamasi arvo? Käytä jatkossa pääsääntöisesti juuri mittaamaasi arvoa (virheineen); analysoi tulokset myös yleisesti hyväksytyllä arvolla, jos epäilet, että se selittää parhaiten mahdolliset poikkeamat teorian ja kokeellisten tulosten välillä. 3.2. Kantaman mittaaminen Laitteisto käsittää kuvan 1 esittämään muotoon taivutetun metalliputken (K) ja lähtökulman lukema-asteikon (C). Kuula päästetään liikkeelle putken yläpäästä ja se putoaa kohtaan D, jolloin sen kantama on R. Energiahäviön W määrittämistä varten etsitään kulma, jolla kuula A:sta lähetettynä juuri ja juuri pysähtyy B:hen. Luetaan kulma β ja mitataan korkeudet h iβ (I=1,2). Tämän jälkeen asetetaan kolme (3) eri kulmaa, joista jokaisella tehdään (vähintään) kymmenen pudotusta hiilipaperisysteemille, joka on kiinnitetty lattialla olevaan pyydystyskaukaloon. Paperi kiinnitetään lujasti paikalleen ja hiilipaperi asetetaan sen päälle. Kannattaa tehdä aluksi pari kokeilua, että kuula todella putoaa kaukaloon ja vieläpä osuu paperille! Kulmaa ei toistojen aikana saa muuttaa ja kuula on lähetettävä aina samalla tavalla, ilman alkunopeutta putken yläpäässä. Kutakin pudostusta vastaava valokennojen välillä kulunut aika mitataan ja merkitään muistiin. Valokennojen välimatka mitataan työntömitalla mahdollisimman tarkasti. Kutakin mittalaitteiston kulmaa β vastaa paperilla osumajoukko, joiden avulla kuulan keskimääräinen kantama R = R 1 + R 2 (katso Kuva 2) kussakin tapauksessa lasketaan. Muista kirjata MITTAUSPÖYTÄKIRJAAN VIRHEARVIOT KAIKILLE MITTAUSTULOKSILLE!
FYS101 / 2 Heittoliike 22 Kuva 2. Kantaman määritys: Olkoon R 1 paperin reunan vaakasuora etäisyys kuulan lähtökohdasta B (tarvitsetko apuvälineitä pisteen B määrittämiseen?) ja R 2 etenemissuunnassa (täytyykö havaintojoukon sivuttaisjakauma ottaa huomioon? Miksi ei?) määritetty osumajoukon painopisteen x etäisyys paperin reunasta. R 2 määritetään mittaamalla kunkin iskemän etäisyys paperin reunasta ja laskemalla iskemäjälkien paikkojen keskiarvo. R 2 virhe δr 2 saadaan keskiarvon keskivirheestä. Kantama on R = R 1 + R 2 ja sen virhe on δr = ( δr 1 ) 2 + ( δr 2 ) 2, missä δr 1 on mittanauhan lukuvirhe. 4. Tulosten käsittely Energiaperiaatteen avulla saadaan laskettua ennuste kuulan nopeudelle v o putken suulla (kussakin kolmessa tapauksessa). Tätä tulosta verrataan valokennoparin avulla määritettyyn nopeuteen; kokeellinen nopeus saadaan valokennojen etäisyydestä ja niiden välillä kuluneen ajan keskiarvosta (virhe = keskiarvon keskivirhe). Mitä syitä keksit nopeuksien hajonnalle? Kuinka oikeutettu on oletus energiahäviön W vakioisuudesta? Vertailussa otetaan huomioon sekä lasketun että mitatun tuloksen virhemarginaalin suuruus. Myös laskettu tulos perustuu äärellisellä tarkkuudella mitattuihin arvoihin! Huomaa erityisesti, että myös g:n arvon mittausepätarkkuus otetaan huomioon! Johda v oy :lle virhekaava virheen etenemislain avulla (muista käyttää neliöllistä muotoa) kuten mittauslomakkeessa olevissa esimerkeissäkin on tehty. Seuraavaksi lasketaan W sekä t ja R alkuarvoista käsin hyödyntämättä tietoa putken suulla kokeellisesti määritetystä nopeudesta. Johda myös näille virhekaavat virheen etenemislain perusteella samalla tavoin kuin v oy :lle. (Vihje: δr lienee helpointa laskea
FYS101 / 2 Heittoliike 23 kaavaa R = v ox t hyödyntäen.) Vertaa kantaman R kokeellisesti määritettyjä arvoja laskettuihin arvoihin. Mitä voit sanoa teorian antaman ennusteen ja kokeen vastaavuudesta? Onko ennusteita johdettaessa tehty jotakin yksinkertaistavia oletuksia, joiden vaikutuksesta teorian ja kokeen yhteensopivuus ei näytäkään täydelliseltä? Mitä? Lasketaan vielä kantamat kullekin heitolle suoraan kaavasta (4) käyttäen valokennoparilla mitattua alkunopeuden arvoa. Muista antaa, niin tässä kuin muissakin töissä, lopputulokset virhearvioineen 15 yksikön säännön mukaisesti. Liitä mittausraporttilomakkeen mukaan mittauspöytäkirja sekä osumakuvat. Vertaa Työn ja tulosten tarkastelu -osassa mitattuja ja laskettuja kantaman arvoja ja mieti erojen mahdollisia syitä. Normaalijakauman käytöstä tulosten vertailussa annetaan yksi bonuspiste. Esitä työselostuksessasi kaavojen (2), (3) ja (4) johto. Viitteet [1] John R. Taylor, An Introduction to Error Analysis - 2nd Edition, University Science Books, Sausalito, CA, USA, 1997.