MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan 1h aikaa suorittaa A-Osio. Laske seuraavista kolmesta tehtävästä VAIN KAKSI! A1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a. Vieruskulmat b. Kosini kulmasta katsottuna. c. Ympyrän tangentti.. A2. a. Määritä kuvassa olevan kolmion puuttuvat mitat ja kulmat! b. Patsaan pienoismallin korkeus on 20 cm ja sen tilavuus on 12 cm 3. Oikean patsaan korkeus on 3 m. Paljonko oikean patsaan tilavuus on? A3. Määritä alla olevan kolmion sivujen AB ja AC pituudet. Tiedetään että suorat L1 ja L2 ovat yhdensuuntaiset ja tiedetään sivut AE=7, DB=2, DE=5 ja BC=6.
B-Osio, saa käyttää laskinta. Laske tehtävistä B4-B8 neljä: Jos jossakin tehtävässä tarvitaan maapalloon liittyviä mittoja, niin maapallon säde on 6370 km ja ympärysmitta on 40000 km! B4. a. Kolmion kaksi sivua ovat 3 cm ja 5 cm sekä sivun 3 cm vastainen kulma on kulma 30. Laske kolmion loput sivut ja kulmat ja määritä kolmion pinta-ala. (4p) b. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 7 ja 19. Laske kolmion hypotenuusan pituus, sekä terävien kulmien suuruudet. (2p) B5. Matemaatikko leikkasi pizzan tällä kertaa vähän eri tavalla kuin normaalisti. Hänelle jäi pizzasta poisleikattu osa. Määritä minkä suuruisen osan (noin) pizzasta leikkaaja sai. B6. a. Kaapelikoteloa, jonka poikkileikkaus on tasasivuinen kolmio, asennetaan seinän läpi. Kolmion yksi sivu on 5 cm pitkä. Kuinka suuri ympyrän muotoinen reikä pitää seinään porata, jotta kaapelikotelo sopii siitä läpi? b. Oulunjoen yli rakennetaan 250 m pitkä kaarisilta, joka suunniteltiin siten, että sen muoto noudattaisi 100 m säteeltään olevan ympyrän kaarta. Kuinka korkea silta on veden pinnan yläpuolelta mitattuna korkeimmasta kohdastaan?
B7. Määritä kuvasta kulma α. Kuvassa olevan ympyrän halkaisija on 75 cm. B8. Saaressa A on radiomasto, jonka korkeus 90 m. Saaressa B on lipputanko, jonka nuppi on 15 m korkeudessa. Maston huippu ja lipputangon nuppi näkyvät laivan C tähystäjälle 66 kulmassa. Laivan tiedetään olevan 400 m päässä saaresta A ja 360 m päässä saaresta B. Määritä, kuinka etäällä maston huippu ja lipputangon nuppi ovat. Tangon ja maston etäisyyksinä voi käyttää saarien etäisyyksiä.
RATKAISUT: 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a. Vieruskulmat = kaksi vierekkäistä kulmaa, jotka yhdessä muodostavat oikokulman. b. Kosini kulmasta katsottuna = Viereisen kateetin suhde hypotenuusaan. 2. a. b cos c c. Ympyrän tangentti = suora joka sivuaa ympyrän kehää yhdessä pisteessä, sivuamispisteessä. Tähän pisteeseen keskipisteestä piirretty säde on aina kohtisuorassa tangenttia vasten. Olkoon alempi kateetti x. Tällöin x 2 + 3 2 = 5 2 x 2 + 9 = 25 x 2 = 16 x = ±4 x=4 Puuttuva kulma: = 180 90 28 = 62 b. Patsaan pienoismallin korkeus on 20 cm ja sen tilavuus on 12 cm 3. Oikean patsaan korkeus on 3 m. Paljonko oikean patsaan tilavuus on? 12 V = (0,2 3 )3 12 V = 0,23 3 3 12 V = 0,008 27 Ristiinkerronta: 12 27 = 0,008V 324 = 0,008V V = 324 0,008 = 40500cm3 = 40,5dm 3 = 0,04 m 3 (0,008 menee 8:iin 1000 kertaa, ja 8 menee 40,5 kertaa 324:een)
3. Olkoon AD = x => x x+2 = 5 6 6x = 5x + 10 x = 10 => Sivu AB = 12 Olkoon EC = y => 7 7+y = 5 6 42 = 35 + 5y 7 = 5y y = 7 5 => Sivu AC = 8 2 5 4. 5. a. Kolmion kaksi sivua ovat 3 cm ja 5 cm sekä sivun 3 cm vastainen kulma on kulma 30. Laske kolmion loput sivut ja kulmat ja määritä kolmion pinta-ala. 3 Sinilauseella: = 5 5sin30 3sinβ = 5sin30 sinβ = sin 1 β = 56,4 sin30 sinβ 3 Kolmas kulma on 180-30-56,4=93,6 astetta. 3 Viimenen sivu: = c 3 sin93,6 c = sin30 sin93,6 sin30 b. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 7 ja 19. Laske kolmion hypotenuusan pituus, sekä terävien kulmien suuruudet. Sivun 7 vastainen kulma alfa: tanα = 7 19 tan 1 α 20,2 astetta 6 => toinen terävä kulma: β 90 20,2 = 69,8 astetta. Hypotenuusa: c 2 = 7 2 + 19 2 c 2 = 410 c = ± 410 20,2 Ensin piirretään kuvan osoittamalla tavalla suorakulmainen kolmio, josta ratkaistaan pythagoraan lauseella x.
x= 47,4. Sen jälkeen määritetään kulma alfa: 16 cos 71,34, joten ympyrän keskuskulma on 108,66. Tätä vastaava sektorin 50 108,66 2 ala on 50 2370,6 360 + suorakulmaisen kolmion ala 47,4 16 380,8. Yhteensä 2 nuo em. alat ovat leikatun pizzalohkon ala = 2751,4. 2751, 4 Suhteessa koko pizzan alaan: 0,350 on suurinpiirtein kolmasosa (0,333 ) 2 50 koko pizzan alasta. 6. a. Mallikuva: Koska tasasivuinen kolmio, kaikki kulmat 60 astetta. Keskipisteestä kolmion kärkiin piirretyt säteet puolittavat kulmat, koska tasasivuinen kolmio on täysin symmetrinen joka suuntaan => Kulman puolikkaat 30 astetta. Silloin keskelle jääväksi kulmaksi tulee 120 astetta. Nyt sinilauseen avulla: 5 = r 5 sin30 r = = 2,887 2,9cm sin120 sin30 sin120 Seinään pitää porata ympyrä, jonka säde on vähintään 2,9 cm jotta kotelo mahtuu seinän läpi. b. Mallikuva: Lasketaan ensin 250 m kaarta vastaava keskuskulma: 250 = α 360 2π 100
α = 250 360 143,2 astetta. Beta on puolet tästä, joten β = 71,6 astetta. 2π 100 Tällöin h = cos71,6 h = 100cos71,6 h 31,6m. Tällöin x=100m-31,6m=68,4 m. 100 Silta olisi siis korkeimmillaan 68,4 m joen pinnan yläpuolella. Komea silta! 7. mallikuva: Nyt alfa on kulma, jonka kärjestä lähtevät tangentit ympyrän kehälle. Jos kulman kärjestä piiretään suora ympyrän keskipisteeseen, se puolittaa kulman alfa ja luo kaksi identtistä suorakulmaista kolmiota: Beta on puolet alfasta. Ratkaistaan beta: tanβ = 37,5 148,5 tan 1 β = 14,2 astetta. Alfa on 28,3 astetta. 8. Tilanteessa syntyy ilmaan kolmio ABC, jonka kulma C tiedetään 66 astetta. Ilmassa olevat sivut AC (maston huippu - laiva) ja BC (nuppi-laiva) pythagoralla: AC 90 400 2 2 2 2 BC 15 360 Nyt Kolmiosta ABC tiedetään kaksi sivua AC ja BC sekä niiden välinen kulma. Sivu AB (maston huippu nuppi) kosinilauseella: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( BC) 90 400 15 360 2 90 400 15 360 cos 66 2 ( BC) 177752,16 BC 177752,16 421, 6m