Numeeriset menetelmät Luento 1 Ti 6.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 1/28 p. 1/28
Numeriikan termejä Simulointi: Reaalimaailman ilmiöiden jäljitteleminen (yleensä) tietokoneen avulla Optimointi: Parhaan mahdollisen lopputuloksen etsiminen Tieteellinen laskenta: Ilmiöiden matemaattinen mallintaminen ja mallien numeerinen ratkaiseminen Numeerinen matematiikka/analyysi: Tieteellisen laskennan matematiikka Numeeriset menetelmät: Välineet mallien käsittelyyn ja ratkaisemiseen Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 2/28 p. 2/28
Peruskäsitteitä Analyyttinen vs. numeerinen Jatkuva vs. diskreetti Ääretön vs. äärellinen Tarkka vs. likimääräinen Suora vs. iteratiivinen Suora: Tulos saadaan äärellisellä määrällä peruslaskutoimituksia Iteratiivinen: Toistetaan laskukaavaa kunnes lopetuskriteeri toteutuu Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 3/28 p. 3/28
Ilmiöstä tuloksiin Reaalimaailman ilmiö Matemaattinen malli Laskennallinen malli Mallin numeerinen ratkaiseminen Tulosten analysointi ja tulkinta Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 4/28 p. 4/28
Menetelmän valinta Käyttäjän täytyy: Tietää millaisia tehtäviä menetelmällä voi ratkaista Tietää millaisella tarkkuudella tulokset on mahdollista saada Osata arvioida tulosten mielekkyys alkuperäisen tehtävä kannalta Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 5/28 p. 5/28
Numeeriset menetelmät Epälineaariset yhtälöt Lineaariset yhtälöryhmät Epälineaariset yhtälöryhmät Ominaisarvotehtävät Interpolointi Approksimointi Numeerinen integrointi Numeerinen derivointi Tavalliset differentiaaliyhtälöt Nopeat Fourier-muunnokset Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 6/28 p. 6/28
Likiarvot Karkeita likiarvoja: π 3.14 c 3 10 8 ms 1 Tarkempia arvoja: π 3.14159265 c = 2.99792458 10 8 ms 1 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 7/28 p. 7/28
Absoluuttinen virhe Tarkka arvo x, likiarvo ˆx Absoluuttinen virhe x ˆx Esimerkkejä: π 3.14 0.00159265 c 3 10 8 207542 Virhe alle 0.002 vaikuttaa pieneltä... Virhe yli 200000 ms 1 vaikuttaa suurelta... Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 8/28 p. 8/28
Suhteellinen virhe Suhteellinen virhe Esimerkkejä: π 3.14 π c 3 10 8 c x ˆx x 0.00051 0.05 % 0.00069 0.07 % Suhteelliset virheet samaa kertaluokkaa Suhteellinen virhe ilmoitetaan usein prosentteina Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 9/28 p. 9/28
Oikeat desimaalit Likiarvo ˆx approksimoi x:ää d:llä desimaalilla, jos absoluuttinen virhe < 0.5 10 d x ˆx < 0.5 10 d Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 10/28 p. 10/28
Oikeat merkitsevät numerot Likiarvo ˆx approksimoi x:ää s:llä merkitsevällä numerolla, jos suhteellinen virhe < 0.5 10 s x ˆx x < 0.5 10 s x ˆx < 0.5 10 s x Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 11/28 p. 11/28
Esimerkki x = 78.123 ˆx = 78.157 x ˆx = 0.034 = 0.34 10 1 < 0.5 10 1 luvut samoja yhden desimaalin tarkkuudella x ˆx x 0.00044 = 0.44 10 3 < 0.5 10 3 luvut samoja kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 12/28 p. 12/28
Tehtävän stabiilisuus Yhtälömuotoinen matemaattinen tehtävä Φ(x, f) = 0 missä x on ratkaisu ja f alkutieto Vastaava häiritty tehtävä Φ( x, f) = 0 missä x on ratkaisu ja f häiritty alkutieto Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 13/28 p. 13/28
Hyvin asetettu tehtävä Tehtävä on hyvin asetettu, jos ratkaisu x on olemassa ja se on yksikäsitteinen ratkaisu x on stabiili ratkaisu x riippuu jatkuvasti alkutiedosta jos f f, niin x x Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 14/28 p. 14/28
Esimerkki Toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Alkutieto kertoimet f = (a, b, c), ratkaisu x = b ± b 2 4ac 2a (x 1, x 2 C) x on olemassa ja yksikäsitteinen x riippuu jatkuvasti alkutiedosta f Tehtävä hyvin asetettu Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 15/28 p. 15/28
Esimerkki Differentiaaliyhtälöryhmä x 1(t) = x 2 (t), x 1 (0) = f 1 x 2(t) = x 1 (t), x 2 (0) = f 2 Yksikäsitteinen ratkaisu x 1 (t) = 1 2 (f 1 + f 2 )e t + 1 2 (f 1 f 2 )e t x 2 (t) = 1 2 (f 1 + f 2 )e t 1 2 (f 1 f 2 )e t Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 16/28 p. 16/28
Esimerkki jatkuu Alkutietoa f = (1, 1) vastaava ratkaisu x 1 (t) = e t x 2 (t) = e t x 1 (t), x 2 (t) 0, kun t Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 17/28 p. 17/28
Esimerkki jatkuu Häirittyä alkutietoa f = (1 + ε, 1), ε > 0, vastaava ratkaisu x 1 (t) = ε 2 et + (1 + ε 2 )e t x 2 (t) = ε 2 et (1 + ε 2 )e t x 1 (t), x 2 (t), kun t (kaikilla ε > 0) Ratkaisu ei ole stabiili Tehtävä ei ole hyvin asetettu Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 18/28 p. 18/28
Huonosti asetetut tehtävät Käytännössä huonosti asetettuja tehtäviä ei voi ratkaista Alkutiedossa voi olla häiriöitä, jos esimerkiksi f on peräisin mittauksista f esitetään äärellisenä liukulukuna Yritetään etsiä tehtävälle jokin toinen, hyvin asetettu muotoilu Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 19/28 p. 19/28
Häiriöalttius Alkutieto f, ratkaisu x Häiritty alkutieto f = f + δf, ratkaisu x Häiriö δf, sallittujen häiriöiden joukko Häiriöalttius K(x) = sup δf x x / x δf / f = sup δf ratkaisun suhteellinen virhe alkutiedon suhteellinen virhe Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 20/28 p. 20/28
Häiriöalttius Häiriöalttiudella mitataan alkutiedon vaikutusta ratkaisuun Tehtävä on: K(x) pieni hyvin käyttäytyvä K(x) suuri hankalasti ratkaistava K(x) = huonosti asetettu Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 21/28 p. 21/28
Esimerkki Tehtävä: Laske x = e f Ratkaise x e f = 0 Arvioidaan häiriöalttiutta linearisoimalla sopivasti Differentiaalilaskennan väliarvolause: g(f + δf) = g(f) + δf g (ξ), ξ ]f, f + δf[ Ensimmäisen kertaluvun Taylorin kehitelmä: g(f + δf) g(f) + δf g (f) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 22/28 p. 22/28
Esimerkki jatkuu Tässä tapauksessa x = g(f) = e f, joten g(f + δf) g(f) + δf g (f) x x + δf e f K(x) x x / x δf / f δf ef / e f δf / f = f Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 23/28 p. 23/28
Numeerinen stabiilisuus Numeerinen algoritmi: Alkuperäisestä tehtävästä Φ(x, f) = 0 muodostetaan jono approksimoivia tehtäviä Φ n (x n, f) = 0 joiden ratkaisut x n x, kun n Numeerinen algoritmi on stabiili, jos approksimoivien tehtävien ratkaisujen x n riippuvuus lähtötiedon häiriöistä ei ole suurempi kuin alkuperäisen tehtävän ratkaisun x riippuvuus Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 24/28 p. 24/28
Esimerkki Tehtävä: x = f + 1 f, f 0 (suuri) Yksinkertaisen tarkkuuden liukuluvuilla (noin kuuden merkitsevän numeron tarkkuus): f likiarvo x tarkka x 10 1 0.154347 10 0 0.154347 10 0 10 2 0.498753 10 1 0.498756 10 1 10 3 0.158081 10 1 0.158074 10 1 10 4 0.499725 10 2 0.499988 10 2 10 5 0.158691 10 2 0.158113 10 2 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 25/28 p. 25/28
Esimerkki jatkuu Tehtävä on hyvin asetettu: ratkaisu on olemassa ja se on yksikäsitteinen ratkaisu on stabiili ratkaisu riippuu jatkuvasti alkutiedosta Tehtävän häiriöalttius K(x) 1 2 (pieni) Mutta: Liukuluvuilla laskettaessa virhe paljon suurempi kuin mitä häiriöalttius ennustaa Tehtävä numeerisesti epästabiili Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 26/28 p. 26/28
Esimerkki jatkuu Toisessa muodossa: x = 1 f + 1 + f f likiarvo x tarkka x 10 1 0.154347 10 0 0.154347 10 0 10 2 0.498756 10 1 0.498756 10 1 10 3 0.158074 10 1 0.158074 10 1 10 4 0.499988 10 2 0.499988 10 2 10 5 0.158113 10 2 0.158113 10 2 Käytännössä vain jälkimmäinen muoto on käyttökelpoinen Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 27/28 p. 27/28
Numeerinen stabiilisuus Käytä vain numeerisesti stabiileja menetelmiä Yleisiä epästabiileja operaatioita esimerkiksi: Kahden melkein yhtäsuuren luvun vähentäminen toisistaan Jakaminen itseisarvoltaan pienellä luvulla Sievennä tai muokkaa lausekkeita Karkea (mutta stabiili) numeerinen menetelmä voi olla parempi kuin tarkka analyyttinen (mutta numeerisesti epästabiili) lauseke Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 28/28 p. 28/28