1. Johdanto... 4 2. Pähkinälista... 5 2.1. Luokka 3... 5 2.2. Luokka 4... 5 2.3. Luokka 5... 5 2.4. Luokka 6... 6 3. Pähkinöiden sisältö... 6 3.1. Kaikille luokille yhteisiä pähkinöitä... 6 3.1.1. Järjestä luvut 1, luokille 3, 4, 5 ja 6... 6 3.1.2. Järjestä luvut 2, luokille 3, 4, 5 ja 6... 7 3.1.3. Lukujono, luokille 3, 4, 5 ja 6... 7 3.1.4. Täydennä puuttuva luku, luokille 3 ja 4... 9 3.1.5. Täydennä puuttuva luku, luokille 5 ja 6... 10 3.1.6. Erilainen lukujoukko luokille 3, 4 ja 5... 11 3.1.7. Mätä omena, luokille 3, 5 ja 6... 13 3.1.8. Hanoin tornit... 13 3.1.9. Piilotetut pallot, luokille 3, 4, 5 ja 6... 14 3.2. Vain yhdellä luokalla esiintyviä pähkinöitä... 15 3.2.1. Sanallisia ongelmia, luokka 4... 15 3.2.2. Sanallisia ongelmia, luokka 6... 15 3.2.3. Kolikko-ongelma, luokka 5... 16 3.2.4. Taskulamppuongelma, luokka 6... 16
1. Johdanto Pähkinät ovat ongelmia, joiden ratkaiseminen vaatii enemmän loogista päättelykykyä kuin matemaattisia taitoja. Tosin monissa pähkinöissä perusmatematiikan osaaminen on avuksi. Pähkinöiden tarkoitus on antaa haasteita erikoisesti lahjakkaille oppilaille. Myös monet matematiikasta vähemmän kiinnostuneet ratkovat tämän tyyppisiä ongelmia mielellään. Kuva 1. Pähkinät löytyvät päävalikon alarivistä, toinen painike vasemmalta. Monissa pähkinöissä ei anneta oikeaa vastausta. Se jätetään oppilaan selvitettäväksi. Syy on se, että ongelma on ainutlaatuinen ja vastauksen antamisen jälkeen se on helppo ratkaista. Niissäkin pähkinöissä, joissa vastaus annetaan, ei sitä perustella. Jotta oppilas saisi pähkinän suoritettua uudella yrityksellä, täytyy hänen kyetä päättelemään vastauksesta sääntö, jolla vastaus saadaan. Varoitus 1: Varoitus 2: Pähkinät ovat vaativia ja siksi ne eivät sovellu kaikille. Älä lue tätä ohjetta, jos haluat itsellesi mukavaa ajanvietettä. Nämä pähkinät soveltuvat kaikenikäisille ja ohje sisältää usean pähkinän ratkaisun. 4
2. Pähkinälista Seuraavassa on lueteltu eri luokille sijoitetut pähkinät. Kolmannella ja neljännellä luokalla ne on sijoitettu keväälle, mutta mikään ei estä niiden käymistä syksyllä tai vaikka muilla luokilla. 2.1. Luokka 3 Järjestä luvut 1 Järjestä luvut 2 Lukujono Hanoin torni 1 Hanoin torni 2 Täydennä puuttuva luku Erilainen lukujoukko Mätä omena Piilotetut pallot 2.2. Luokka 4 Järjestä luvut 1 Järjestä luvut 2 Lukujono Hanoin torni 1 Hanoin torni 2 Täydennä puuttuva luku Erilainen lukujoukko Sanallisia ongelmia Piilotetut pallot 2.3. Luokka 5 Järjestä luvut 1 Järjestä luvut 2 Lukujono Hanoin torni 1 Hanoin torni 2 Täydennä puuttuva luku Erilainen lukujoukko Kolikko-ongelma Mätä omena Piilotetut pallot 5
2.4. Luokka 6 Järjestä luvut 1 Järjestä luvut 2 Lukujono Hanoin torni 1 Hanoin torni 2 Täydennä puuttuva luku Taskulamppuongelma Sanallisia ongelmia Mätä omena Piilotetut pallot 3. Pähkinöiden sisältö 3.1. Kaikille luokille yhteisiä pähkinöitä Tässä luvussa käydään läpi sellaiset pähkinät, joiden perusidea on samanlainen eri luokilla. Niiden vaikeusaste kuitenkin kasvaa luokan mukana. Poikkeuksena on Hanoin torni -ongelmat, joista ensimmäinen on aina edelliseltä luokalta tuttu. Näin Hanoin tornin idea saadaan lyhyesti kerrattua. 3.1.1. Järjestä luvut 1, luokille 3, 4, 5 ja 6 3 3 -ruudukossa olevat kahdeksan lukua pitää järjestää suuruusjärjestykseen siirtämällä lukuja yksi kerrallaan luvun viereiseen tyhjään ruutuun. Samanlainen pähkinä esiintyy kaikilla luokilla 3-6. Vaikeustaso vaihtelee luokan mukaan. Kuva 2. Järjestä luvut 1, luokka 3. Punaisella merkityt luvut ovat väärissä paikoissa. 6
3.1.2. Järjestä luvut 2, luokille 3, 4, 5 ja 6 3 3 -ruudukossa olevat kahdeksan lukua pitää järjestää suuruusjärjestykseen mahdollisimman vähillä siirroilla siirtämällä lukuja yksi kerrallaan luvun vieressä olevaan tyhjään ruutuun. Tämä ongelma eroaa ongelmasta 3.1.1. siinä, että nyt luvut pitää järjestää mahdollisimman vähillä siirroilla. Lisäksi alkutilanne on erilainen. Samanlainen pähkinä esiintyy kaikilla luokilla 3-6. Vaikeustaso vaihtelee luokan mukaan. Kuva 3. Järjestä luvut 2, luokka 5. 3.1.3. Lukujono, luokille 3, 4, 5 ja 6 Lukujonopähkinässä pitää keksiä luku tyhjään kohtaan (ks. kuva 4). Samanlainen pähkinä esiintyy kaikilla luokilla 3-6. Vaikeustaso kasvaa luokkatason mukana. Kuva 4. Lukujono, luokka 3. Kolmen väärän vastauksen jälkeen Ami tai Anselmi ilmoittaa oikean vastauksen. Tällaisessa tapauksessa samanlainen lukusarja eri luvuilla toistuu, kun kaikki muut lukusarjat on käyty läpi. Koska lukusarjoissa luvut ovat tietyn säännön mukaisesti arvottuja, pitäisi annetusta vastauksesta kyetä päättelemään lukusarjaan liittyvä sääntö, jotta saman ongelman toistuessa sen kykenee ratkaisemaan. Sääntöä ei kerrota ohjelmassa. Kolmannen luokan lukujonot: 1. lukujono: Tasavälein kasvava lukujono. 2. lukujono: Edellinen luku kerrotaan aina kahdella. 3. lukujono: Tasavälein vähenevä lukujono. Luvut ovat positiivisia. 4. lukujono: Ensin luku pienenee yhdellä, sitten kasvaa kahdella, sitten pienenee yhdellä jne 5. lukujono: Ensin luku pienenee neljällä, sitten yhdellä, sitten neljällä jne. Luvut ovat positiivisia. 6. lukujono: Lukujonon luvuissa on vuorotellen kahden luvun kertotaulun tuloksia. 7
Neljännen luokan lukujonot: 1. lukujono: Erotus edelliseen lukuun kasvaa yhdellä. 2. lukujono: Edellinen luku kerrotaan aina kahdella. 3. lukujono: Tasavälein vähenevä lukujono. Vastaus on negatiivinen. 4. lukujono: Ensin luku kasvaa yhdellä, sitten pienenee kahdella, sitten kasvaa yhdellä jne 5. lukujono: Ensin luku pienenee kolmella, sitten yhdellä, sitten kolmella jne. Luvut pieniä negatiivisia lukuja. 6. lukujono: Lukujono muodostuu kahdesta vuorottelevasta lukujonosta, joista ensimmäinen pienenee kahdella ja toinen kahdellakymmenellä. Viidennen luokan lukujonot: 1. lukujono: Erotus edelliseen kasvaa joko kahden tai kolmen kertotaulun mukaisesti. 2. lukujono: Luku saadaan kertomalla edellinen lukuaina kolmella. 3. lukujono: Luku saadaan vähentämällä edellisestä luvusta vuorotellen 7, 6, 5, 4,..Haettu luku on aina positiivinen. 4. lukujono: Ensin luku pienenee kahdella, sitten kasvaa neljällä, sitten pienenee kahdella jne 5. lukujono: Ensin luku pienenee joko luvulla 4, 5 tai 6, sitten yhdellä jne. Lukujonon ensimmäiset luvut ovat positiivia. Vastaus on kuitenkin negatiivinen. 6. lukujono: Lukusarjan luvut ovat joko 1, 4, 9, 16,... tai 4, 9, 16, 25,...tai 9, 16, 25, 36... Esimerkiksi ensimmäisessä lukusarjassa luvut ovat 1 1, 2 2, 3 3, 4 4,... Puuttuva luku on lukusarjasta riippuen joko 49, 64 tai 81. Kuudennen luokan lukujonot: 1. lukujono: Erotus edelliseen kasvaa joko kahden tai kolmen kertotaulun mukaisesti. 2. lukujono: Luku saadaan kertomalla edellinen luku aina kolmella. 3. lukujono: Luku saadaan vähentämällä edellisestä luvusta vuorotellen 7, 8, 9, 10,..Haettu luku on aina negatiivinen. 4. lukujono: Ensin luku pienenee kolmella, sitten kasvaa kuudella, sitten pienenee kolmella jne 5. lukujono: Ensin luku pienenee joko luvulla 4, 5 tai 6, sitten yhdellä, jälleen samalla luvulla kuin ensimmäisellä kerralla ja jälleen yhdellä jne. Lukujonon ensimmäiset luvut ovat positiivia. Vastaus on kuitenkin negatiivinen. 6. lukujono: Lukusarjan luvut ovat joko 49, 36, 25, 16,... tai 64, 49, 36, 25,... tai 81, 64, 49, 36,... Esimerkiksi ensimmäisessä lukusarjassa luvut ovat 7 7, 6 6, 5 5, 4 4,... Puuttuva luku on lukusarjasta riippuen joko 1, 4 tai 9. 8
3.1.4. Täydennä puuttuva luku, luokille 3 ja 4 Tässä ongelmassa on neljä kolmen luvun lukusarjaa, joista viimeisen lukusarjan viimeinen luku puuttuu. Tehtävänä on päätellä tämä luku. Jokaisen lukusarjan kolmas luku saadaan samalla säännöllä kahdesta muusta luvusta. Kolmen väärän vastauksen jälkeen Ami ilmoittaa oikean vastauksen. Tällaisessa Kuva 5. Täydennä puuttuva luku, luokka 3.. tapauksessa samanlainen tehtävä eri luvuilla toistuu, kun kaikki muut tehtävä on käyty läpi. Koska lukusarjoissa luvut ovat tietyn säännön mukaisesti arvottuja, pitäisi annetusta vastauksesta kyetä päättelemään lukusarjaan liittyvä sääntö, jotta saman ongelman toistuessa sen kykenee ratkaisemaan. Sääntöä ei kerrota ohjelmassa. Kolmannen luokan puuttuvat luvut: 1. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku on kahden ensimmäisen luvun summa. Luvut ovat pienempiä kuin vastaavassa neljännen luokan ongelmassa. 2. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku saadaan vähentämällä kahdesta ensimmäisestä luvusta suuremmasta luvusta pienempi luku. 3. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku saadaan kertomalla ensimmäinen ja toinen luku keskenään. Kerrottavat luvut ovat pienempiä kuin kymmenen. 4. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku saadaan jakamalla ensimmäinen luku toisella luvulla. 5. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku on jakojäännös, kun ensimmäinen luku jaetaan toisella luvulla. 6. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku on kahden ensimmäisen luvun summa plus yksi. 7. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku on kahden ensimmäisen luvun tulo miinus yksi. 8. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku on kahdesta ensimmäisestä luvusta suurempi luku kerrottuna kymmenellä plus pienempi luku. Neljännen luokan puuttuvat luvut: 1. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku on kahden ensimmäisen luvun summa. Luvut ovat suurempia kuin vastaavassa kolmannen luokan ongelmassa. 2. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku saadaan vähentämällä toisesta luvusta ensimmäinen luku. Kolmas luku voi olla joko negatiivinen tai positiivinen. 3. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku saadaan kertomalla ensimmäinen ja toinen luku keskenään. Ensimmäinen luku voi olla suurempi kuin kymmenen ja toinen luku on aina pienempi kuin kymmenen. 4. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku saadaan jakamalla ensimmäinen luku toisella luvulla. 5. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku on jakojäännös, kun ensimmäinen luku jaetaan toisella luvulla. 9
6. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku on kahden ensimmäisen luvun erotus miinus yksi. 7. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku on kahden ensimmäisen luvun tulo negatiivisena. 8. tehtävä: Jokaisen lukusarjan kolmas luku on kahdesta ensimmäisestä luvusta suurempi kerrottuna itsellään. 3.1.5. Täydennä puuttuva luku, luokille 5 ja 6 Tässä ongelmassa on neljä neljän luvun lukusarjaa, joista viimeisen lukusarjan viimeinen luku puuttuu. Tehtävänä on päätellä tämä luku. Jokaisen lukusarjan neljäs luku saadaan samalla säännöllä kolmesta muusta luvusta. Kolmen väärän vastauksen jälkeen Anselmi ilmoittaa oikean vastauksen. Tällaisessa tapauksessa samanlainen tehtävä eri luvuilla toistuu, kun kaikki muut tehtävä on käyty läpi. Koska lukusarjoissa luvut ovat tietyn säännön mukaisesti arvottuja, pitäisi annetusta vastauksesta kyetä päättelemään lukusarjaan liittyvä sääntö, jotta saman ongelman toistuessa sen kykenee ratkaisemaan. Sääntöä ei kerrota ohjelmassa. Kuva 6. Täydennä puuttuva luku, luokka 5. Viidennen luokan puuttuvat luvut: 1. tehtävä: Neljäs luku on kolmen ensimmäisen luvun summa. 2. tehtävä: Neljäs luku saadaan, kun kahden ensimmäisen luvun tuloon lisätään kolmas luku. 3. tehtävä: Neljäs luku saadaan, kun kahden ensimmäisen luvun summasta vähennetään kolmas luku. 4. tehtävä: Neljäs luku saadaan, kun kolmen ensimmäisen luvun kahden suurimman luvun summasta vähennetään pienin luku. 5. tehtävä: Neljäs luku on kolmen ensimmäisen luvun tulo. 6. tehtävä: Neljäs luku saadaan, kun kahden ensimmäisen luvun tulo jaetaan kolmannella luvulla. Kuudennella luokalla on samanlainen ongelma, mutta suuremmilla luvuilla. 7. tehtävä: Neljäs luku saadaan, kun kahden ensimmäisen luvun summa kerrotaan kolmannella luvulla. 8. tehtävä: Neljäs luku saadaan, kun ensimmäistä luvusta vähennetään toinen ja kolmas luku. Kuudennen luokan puuttuvat luvut: 1. tehtävä: Neljäs luku on kolmen ensimmäisen luvun summa. Kolmas luku on aina negatiivinen. 2. tehtävä: Neljäs luku on saman sarjan muiden lukujen numeroiden summa. 3. tehtävä: Neljäs luku saadaan, kun kahden ensimmäisen luvun summasta vähennetään kolmas luku. 10
4. tehtävä: Neljäs luku saadaan, kun kolmen ensimmäisen luvun kahden suurimman luvun summasta vähennetään pienin luku. Viidennellä luokalla on samanlainen ongelma, mutta pienemmillä luvuilla. 5. tehtävä: Neljäs luku on kolmen ensimmäisen luvun tulo. 6. tehtävä: Neljäs luku saadaan, kun kahden ensimmäisen luvun tulo jaetaan kolmannella luvulla. Viidennellä luokalla on samanlainen ongelma, mutta pienemmillä luvuilla. 7. tehtävä: Neljäs luku saadaan, kun kahdesta ensimmäisestä luvusta suuremmasta luvusta vähennetään pienempi luku ja tulos kerrotaan kolmannella luvulla. 8. Neljäs luku on kolmen ensimmäisen luvun keskiarvo. Tässä ongelmassa on neljä kolmen luvun lukusarjaa, joista yksi poikkeaa muista. Tehtävänä on päätellä tämä lukujoukko. Kolmen lukujoukon luvut on määrätty samalla säännöllä, ja poikkeavan lukusarjan luvuissa ainakin yksi luku poikkeaa tästä säännöstä. Poikkeavan lukusarjan paikka arvotaan. 3.1.6. Erilainen lukujoukko luokille 3, 4 ja 5 Koska kyse on monivalintatehtävistä, vastausmahdollisuuksia on vain yksi tehtävää kohden. Jos vastaus on väärin, Ami kertoo oikean vastauksen ja Kuva 7. Erilainen lukujoukko, luokka 4. samanlainen tehtävä eri luvuilla toistuu, kun kaikki muut tehtävät on käyty läpi. Koska lukusarjoissa luvut ovat tietyn säännön mukaisesti arvottuja, pitäisi annetusta vastauksesta kyetä päättelemään lukusarjaan liittyvä sääntö, jotta saman ongelman toistuessa sen kykenee ratkaisemaan. Sääntöä ei kerrota ohjelmassa. Luokan 3 erilaiset lukujoukot: 1. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa yksittäisen lukusarjan luvut ovat samoja. 2. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa luku on kaksi suurempi kuin edellinen luku. 3. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa luku on kolme pienempi kuin edellinen luku. 4. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kaikki luvut ovat kahden kertotaulun lopputuloksia. 5. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kolmas luku on kahden ensimmäisen luvun summa. 6. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kolmas luku on kahden ensimmäisen luvun tulo. 11
7. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa yksittäisen lukusarjan kolmas luku on ensimmäisen ja toisen luvun erotus. 8. tehtävä: Kaikissa muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa luvut ovat suuruusjärjestyksessä. Luokan 4 erilaiset lukujoukot: 1. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kaikki luvut ovat kolmen kertotaulun lopputuloksia. 2. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kaikki luvut ovat seitsemän kertotaulun lopputuloksia. 3. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kaikki luvut ovat viiden kertotaulun lopputuloksia. 4. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kaikki luvut ovat kahden kertotaulun lopputuloksia. 5. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kolmas luku on kahden ensimmäisen luvun summa. 6. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kolmas luku on kahden ensimmäisen luvun tulo. 7. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa lukujen summa on aina sama. 8. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa ensimmäinen luku on kahden viimeisen luvun tulo. Luokan 5 erilaiset lukujoukot: 1. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kaikki luvut ovat kolmen kertotaulun lopputuloksia lisättynä yhdellä. 2. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kaikki luvut ovat seitsemän kertotaulun lopputuloksia vähennettynä yhdellä. 3. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kaikki luvut ovat viiden kertotaulun lopputuloksia lisättynä kahdella. 4. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kaikki luvut ovat luku 2 kerrottuna itsellään 2-6 kertaa. 5. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kolmas luku saadaan vähentämällä ensimmäisestä luvusta toinen luku. 6. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kolmas luku saadaan laskemalla kaksi ensimmäistä lukua yhteen ja lisäämällä summaan yksi. 7. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kahden ensimmäisen luvun summa vähennettynä kolmannella luvulla on vakio. 8. tehtävä: Muissa paitsi poikkeavassa lukusarjassa kolmas luku saadaan kertomalla kaksi ensimmäistä lukua keskenään ja lisäämällä tuloon kaksi. 12
Pelipähkinä, jossa pyritään voittamaan Ami tai Anselmi. Pelaaja ottaa Amin tai Anselmin kanssa vuorotellen pelipöydältä rajallisen määrän (maksimissaan kolme tai neljä) omenia. Yksi omena on mätä, joka jää viimeiseksi pelipöydälle. Pelin häviää se, jolle jää tämä mätä omena. Pelistä on eri versiot kolmelle eri luokalle. Ne eroavat toisistaan omenien lukumäärien ja vaadittavan pelitaktiikan mukaan. 3.1.7. Mätä omena, luokille 3, 5 ja 6 Kuva 8. Mätä omena, luokka 3. Kolmannen luokan pelissä on kymmenen omenaa. Omenoita voidaan poistaa kerralla 1, 2 tai 3. Aloittaja voittaa aina, jos osaa pelata oikein. Ami kyllä osaa. Vihje: Aloita yhden omenan poistamisella ja pyri jättämään pelipöydälle viisi omenaa. Viidennen luokan pelissä on seitsemäntoista omenaa. Omenoita voidaan poistaa kerralla 1, 2 tai 3. Aloittaja häviää aina, jos vastustaja osaa pelata oikein. Anselmi kyllä osaa. Vihje: Pyri jättämään pöydälle omenoita 13, 9 ja 5. Kuudennen luokan pelissä on kaksikymmentäkaksi omenaa. Omenoita voidaan poistaa kerralla 1, 2, 3 tai 4. Aloittaja voittaa aina, jos osaa pelata oikein. Anselmi kyllä osaa. Vihje: Jätä pöydälle omenoita 21, 16, 11 ja 6. 3.1.8. Hanoin tornit Hanoin torni (toiselta nimeltään intialainen ongelma) on ikivanha intialainen ongelma, jossa alkutilanteessa yhdelle alustalle (tai piikkiin) on pinottu eri kokoisia kiekkoja suuruusjärjestykseen päällekkäin. Nämä kiekot pitää siirtää toiselle alustalle samaan järjestykseen mahdollisimman vähillä siirroilla. Apuna on vielä yksi alusta, jolle kiekkoja voidaan siirtää siten, että kiekkoa ei saa koskaan asettaa pienemmän kiekon päälle. Hanoin torneista on kaksi pähkinää kaikilla luokkilla 3-6. Vaikeutta on muutettu kiekkojen lukumäärällä: Luokan 3 pähkinöissä on kaksi ja kolme kiekkoa, luokan 4 pähkinöissä on kolme ja neljä kiekkoa, luokan 5 pähkinöissä on kolme ja viisi kiekkoa sekä kuudennella luokalla neljä ja kuusi kiekkoa. Kolmatta luokkaa lukuun ottamatta ensimmäinen Hanoin torni on aiemmilta luokilta tuttu helppo tapaus ja toinen on vaikeampi uusi tapaus. 13
Kuva 9. Hanoin torni 2, luokka 4. Sama ongelma on luokalla 6 nimellä Hanoin torni1. Minimisiirtomäärät ovat eri kiekkojen tapauksissa seuraavat: Kaksi kiekko: 3 siirtoa. Kolme kiekkoa: 7 siirtoa. Neljä kiekkoa: 15 siirtoa. Viisi kiekkoa: 31 siirtoa. Kuusi kiekkoa: 63 siirtoa. 3.1.9. Piilotetut pallot, luokille 3, 4, 5 ja 6 Tämä pähkinä on peli, jossa peitteen alle on piilotettu erivärisiä palloja riviin. Pelaaja arvaa alussa ja yrityskertojen lisääntyessä myös päättelee peitteen alle piilotettujen pallojen järjestyksen. Yrityksiä on kahdeksan tai kymmenen. Pelaaja tekee ehdotuksensa siirtämällä hiirellä palloja vihreällä merkityn alueen koloihin (ks. kuva 10). Aikaisemmat yritykset jääväät aina näkyviin. Ohjelma ilmoittaa keltaisilla hymynaamoilla niiden pallojen lukumäärän, joiden väri on oikein, mutta paikka on vielä väärä. Niiden pallojen lukumäärä, joiden paikkakin on oikein, ilmoitetaan vihreillä hymynaamoilla. Kuvan 10 kahdessa ensimmäisessä yrityksessä kaikki pallojen värit Kuva 10. Piilotetut pallot, luokka 4. ovat oikein, mutta vain yksi pallo on oikealla paikalla. Seuraavassa kolmessa yrityksessä ovat vain pallojen värit oikein. Kuudennella kerralla on sitten löytynyt kaikkien pallojen oikea järjestys. Samalla on poistunut myös peite ja oikea järjestys näkyy myös ylimmällä rivillä. Eri luokille on erilaiset versiot, jotka eroavat siirreltävien pallojen lukumäärän, piilotettujen pallojen (myös kolojen) lukumäärän ja yrityskertojen suhteen toisistaan. Kolmannella luokalla on piilotettu neljä palloa ja siirreltäviäkin palloja on neljä. Yrityskertoja on kahdeksan. Neljännellä luokalla on piilotettu neljä palloa ja siirreltäviä palloja on viisi. Yrityskertoja on kahdeksan. Viidennellä luokalla on piilotettu neljä palloa ja siirreltäviä palloja on kahdeksan. Yrityskertoja on kymmenen. 14
Kuudennella luokalla on piilotettu viisi palloa ja siirreltäviä palloja on kahdeksan. Yrityskertoja on kymmenen. 3.2. Vain yhdellä luokalla esiintyviä pähkinöitä 3.2.1. Sanallisia ongelmia, luokka 4 Nämä kuusi ongelmaa poikkeavat monista muista pähkinöistä siinä, että ne liittyvät kiinteästi murtolukujen opetukseen. Siksi ne suositellaan käytäväksi siinä kohtaa opetusta, jossa opiskellaan murto-osan laskemista. Kekseliäät oppilaat kykenevät ratkaisemaan näitä ongelmia tuntematta murtolukukäsitettä matemaattisessa mielessä. Siksi nämä ongelmat on laitettu pähkinäosastolle. Ami antaa jokaisessa tehtävässä pienen vihjeen. Kolmen väärän vastauksen jälkeen Ami kertoo vastauksen. Silloin tehtävä siirtyy suoritusjonon viimeiseksi ja tulee sieltä uudelleen esille eri luvuilla, kun muut tehtävät on ratkaistu. Esimerkki. Karkkilaatikossa oli 105 karkkia. Ne jaettiin tasan Sarin, Marin, Jonnan, Kallen ja Juuson kesken. Kuinka monta karkkia pojat saivat yhteensä? 3.2.2. Sanallisia ongelmia, luokka 6 Nämä viisi sanallista ongelmaa voidaan ratkaista päättelemällä, mutta murtolukujen tunteminen auttaa ongelmien ratkaisemisessa. Siksi ne suositellaan käytäväksi kuudennen luokan murtolukujen opiskelun alkuvaiheessa. Ensimmäisen väärän vastauksen jälkeen annetaan jokaisessa tehtävässä pieni vihje. Kolmen väärän vastauksen jälkeen Anselmi kertoo vastauksen. Silloin tehtävä siirtyy suoritusjonon viimeiseksi ja tulee sieltä uudelleen esille eri luvuilla, kun muut tehtävät on ratkaistu. Esimerkki. Senni poimi äidille marjoja 20 litraa. Äiti maksoi mustikoista 2 euroa litralta ja vadelmista 3 euroa litralta. Senni tienasi yhteensä 48 euroa. Kuinka monta litraa mustikoita Senni poimi? 15
3.2.3. Kolikko-ongelma, luokka 5 Ongelma, jossa on asetettu kolikoita kuvan 11 (numerot kuvaavat kolikoiden lukumäärää) mukaisesti päällekkäin. Kolikoista pitää poistaa neljä, minkä jälkeen ne pitää järjestää uudelleen (ei keskimmäiseen ruutuun) siten, että täysissä vaaka- ja pystyriveissä on alkuperäinen määrä kolikoita. Kuvassa 12 on tämän ongelman oikea ratkaisu. Ongelma jatkuu ensimmäisestä vastauksesta. Kuvan 12 mukaisesta kolikkojen asettelusta pitää poistaa vielä neljä kolikkoa ja järjestää kolikot uudelleen siten, että täysissä vaaka- ja pystyriveissä on edelleen alkuperäinen määrä kolikoita. Kolikkojen lukumäärät arvotaan joka kerta erikseen pienistä kokonaisluvuista. Ohjelma ei anna oikeaa ratkaisua. Ongelman ratkaisu: Jokaisen rivin keskeltä poistetaan aina kaksi kolikkoa ja kulmiin lisätään yksi kolikko. Kuva 11. Kolikkoongelman alkutilanne. 3.2.4. Taskulamppuongelma, luokka 6 Kuva 12. Kolikkoongelman jatkotilanne. Kuva 13. Taskulamppuongelma. Kaksi miestä lähtee tunneliin. Ongelma, jossa pitää auttaa neljä miestä pimeän tunnelin toiselle puolelle. Miehillä on apunaan taskulamppu, jonka paristot kestävät vain 12 minuuttia. Tunneliin voidaan lähettää turvallisuussyistä vain kaksi miestä kerrallaan. Miehillä on erilaiset kävelyvauhdit ja tunnelissa kuljetaan aina hitaamman miehen vauhtia. Miehiltä kuluu aikaa tunnelin läpi kulkiessaan yksi, kaksi, neljä ja viisi minuuttia. Kun kaksi miestä on päässyt tunnelin toiselle puolelle, toinen mies vie taskulampun takaisin. Näin toimitaan kunnes kaikki miehet ovat siirtyneet turvallisesti tunnelin läpi. 16
Ongelman ratkaisu: Ensin laitetaan kaksi nopeinta miestä tunnelin läpi ja toinen heistä tuo taskulampun takaisin. Seuraavaksi kaksi hitainta miestä menevät tunnelin läpi yhdessä. Tämän jälkeen toiselle puolelle jäänyt nopea mies vie taskulampun takaisin. Lopuksi nopeat miehet tulevat jälleen yhdessä tunnelin läpi. Ongelman opetus: Ongelmat eivät aina ratkea niin kuin aluksi itse ajattelee. Ongelma opettaa ajattelutapojen mukauttamista ongelman mukaan. 17