= + + 1 ( 1) + + = Paraabelit leikkaavat pisteessä ( 2, 3). ( 8) ( 8) 4 1 1



Samankaltaiset tiedostot
( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty a) = keskipistemuoto.

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.

Pythagoraan polku

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Kertaustehtäviä 1. välikokeeseen, sl 2008

ARVIOINTIPERIAATTEET

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Matematiikan tukikurssi

30 + x ,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = ,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) =

Testaa taitosi Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Vastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Tekijä Pitkä matematiikka

Hyvä uusi opiskelija!

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / 3

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.

Koontitehtäviä luvuista 1 9

a b c d

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

Nimi: Ratkaise tehtävät sivun alalaitaan. (paperi nro 1) 1. Valitse oikea toisen asteen yhtälön ratkaisukaava: (a) b ± b 4ac 2a. (b) b ± b 2 4ac 2a

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.

4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6, ,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) , ,4

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

MAA03.3 Geometria Annu

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

a b c d

Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe sarja A

YLIOPPILASTUTKINTO MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi

Harjoitustehtävät, syys lokakuu Helpommat

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

14. Pyörteettömät ja lähteettömät vektorikentät; potentiaali

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)

Matematiikan tukikurssi

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Tästä saadaan (määrittelyehdon täyttävät) yhtälön ratkaisut x 3 tai x 3.

Tehtävien ratkaisut

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

MATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisut vuosien tehtäviin

MS-A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3

Transkriptio:

Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4. a) b) ( )( 3) 6 3 + 6 6 + y + + ( ) y + + 3 + + ( ) TNS y ( ) + 3 tai Paraablit likkaavat pistssä (, 3). c) Mrkitää lukua : llä ( ). + 4 + 8 + 8 8 + ( 8) ( 8) 4 ± 8 ± 6 8 ± 4 8 ± 4 tai 4 +. a) b) + 3y 7 3 3 y 4 ( ) Luvu,, o oltava. 6 + 9y 6 4y 8 + + 3y 3 ( ) (mol. puolt.) y 4 + 3y 7 4 7 3 (4 ) TNS Likkauspist o (, ). tai 4 c) l l 3 l, + + > 3 l l 3 l 3 l + + (l 3 + l ) + l 3+ l l 3 l + l 3+ l

Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 3. a) f t,6t ( ) 38 ( C). Koska,6t >, ii fuktio ( ) 38, f ( t),,6t 38, (38 ),,6t, :,6t, l f t arvo poikkaa aia 38,:sta alaspäi.,6t l, : (,6) t 4,99887... Vastaus: Mittausta pitää jatkaa miuuttia b) f ( t) 38,6t f '( t) (,6), f '(3),,6t,6t,6 3,9838..., ( C / mi) 4. Paraabli y muodostuu pististä P (, ). Pist P paikkavktori o OP i + j. Uud käyrä pistid paikkavktorit ovat OP + v. a) b) + v i + j + j OP + + i ( ) j y f + ( ) + v i + j + i OP 3 + i + j ( 3) Vähtää : stä luku 3. ( + 3 3) + ( 3) i j + ( 3) i j y f + ( ) ( 3) 6 9 c) OP + + + 3 + v i j i j + + + ( 3) i ( ) j Vähtää : stä luku 3. + i + + j ( 3 3) (( 3) ) i + + + j ( 6 9 ) y f + ( ) 6

Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4. y si, π π. π π (si ) π (si ) Symmtria! V π d d π π π si d π π ( cos( )) d MAOL: kaava! π π ( cos( )) d π π/ ( si( )) π ( π si( π ) ( si )) π ( π ( )) π

Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 6. y f ( ) 3,. Olkoo P(, y) (, 3 ) tämä paraablikaar pist. Muodosttaa fuktio d( ), joka ilmais pist P täisyyd origosta: + d( ) y, + (3 ) + 9 3 + 3 4 3 + 4 3 P: täisyys origosta o suuri ku juurttava 4 3 p( ) 3 + saa suurimma arvosa. 3 p '( ) 9 + p '( ) 3 9 + ( 9 + ) + tai 9 tai tai (ratk. kaavalla tai laskimlla) Kulkukaavio: p '( ), > p '(, 4), < p '( ) + p( ) ր ց Kulkukaaviosta ähdää, ttä p( ) (ja sit myös d( ) ) saa suurimma arvo, ku Arvoa vastaava paraablikaar pist o (, y) (, 3 ), 3,..

Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 7. Kskihajota σ (g). Odotusarvo µ. Normittaa µ µ z. σ Φ( z),98 µ Φ( ),98 + µ Φ ( ), 98 Katsotaa taulukosta lähi pita-ala,98 atava kohta + µ, + µ, µ, (g)

Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 8. a) ( a ) o gomtri joo, jossa a > kaikilla : arvoilla. Väit: a a a+ kaikilla,3,.... Todistus: Olkoo a a q.,,3,... Tällöi a a a q a q ( ) ( + ) + a q a q a q a q + a q a q a a q a. ( ) q ( q ) b) Olttaa, ttä b b b + kaikilla,3,.... Väit: Joo ( b ) o gomtri joo. Todistus: b b b > + ( ) (mol. puol ) b b b : b + b b b b b b + b b : b + Präkkäist jäst suhd o siis aia sama, jot joo o gomtri!

Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 t t y 39 f ( ) + 3, missä f ( t) ( + ). 9. 39 39 39 39 39 39 39 Mrkitää G( ) 39 f ( 39 ) + 3 39 ( + ) + 3 + 3. a) Koska y-aksli o symmtria aksli, ii kaar huippu o y-akslilla: 39 39 39 39 G() + 3 9 (m) b) Nollakohdat: G( ) 39 39 39 39 + 3 ( ) 39 4 + Mrkitää s 3 4 s + s 3 s + 4 s 3 3s + 3 4s 39 39 39 3 4 3 s s + ( 4) ( 4) 4 3 3 4 34 ± ± s 3 6 39 39 s (,8...) tai s, 767... l l,767... 39 39 96,7943... Kaar lvys o 96,7943... 9,438... 9 m.

Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 c) 39 39 39 39 G '( ) 39 39 + 39 39 k ta( α ) ta( α) G '(96,7943...) ta( α),838... ta α 8,8... α 8. A (, ), B (, ) ja t >. T ( t, ). a) Pists C piirrtyt ympyröid sätt ovat kohtisuorassa toisiaa vastaa, koska ympyrät likkaavat kohtisuorasti! k k y y t y t y + t + y y y y + t t t ( > ) t t y t t t t C, t t

Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 b) Pimmä ympyrä säd TC: 4 4 t t t t + t + t t t. TC t + + t t t t t t t Pist D -koordiaatti t TD t TC t t. Jaoj CB ja CD ja kulmakrtoimt: t ( ) t t t kcb + t + t t t k CD t t t ( t t ) t + t + + t t t y t t t t t t t t t t t t t t t ) t ( t t t ) t ( t ) t t t t t + t t ( t ) ( t t ) ( t ) t ( t ) t t t t ) ( t )[( t ) + t ] ( ) ( ( t ) ( t + t) t t + t Koska kcd kcb, ii pistt B, C ja D ovat samalla suoralla.

Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4. a) f ( ). + ( + ) + f '( ) > kaikilla, sillä >. ( + ) ( + ) ( + ) Koska f '( ) > kaikilla, ii f ( ) o aidosti kasvava b) lim f ( ) lim + lim ( + ) lim + + ց c) f (), 999946... >,999. + Koska lisäksi f ( ) o aidosti kasvava, ii päyhtälö pät kaikilla.. a) Jokaista raalilukua kohti o olmassa raaliluku y sit, ttä y. Väit o tosi, sillä luvuksi y klpaa aia sim. luku. b) O olmassa raaliluku y sit, ttä olipa raaliluku mikä tahasa, ii y. Väit o pätosi, sillä i ol olmassa suurita raalilukua y. c) O olmassa luoolli luku sit, ttä olipa y mikä tahasa luoolli luku, ii y. Väit o tosi, sillä o olmassa tällai pii luoolli luku,.

Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 3. a) Mrkitää ( ). f f f () < () 9 > f ( ) o polyomia jatkuva fuktio. Sit s i voi vaihtaa mrkkiää väli päätpistissä kulkmatta ollakohda kautta. Fuktiolla f ( ) o sit aiaki yksi ollakohta välillä. 4 f '( ) > välillä. Fuktio f ( ) o sit aidosti kasvava välillä. Näi oll fuktiolla f ( ) o täsmäll yksi ollakohta välillä. Siispä yhtälöllä o täsmäll yksi ratkaisu välillä. b) Alkuarvo. Nwtoi mtlmä + f ( ). f '( ) f ( ) f () 4 f '( ) f '(),. f ( ) f (, ),,784939... f '( ) f '(, ) f ( ) 3 f '( ),67... f ( ),673...,67 3 4 3 f '( 3 )

Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 4. a) Kulmat ABC ja ADC ovat yhtä suurt samaa ympyrä kaarta AC vastaavia khäkulmia. Kulma P o molmpi kolmioid PCB ja PAD kulma. Koska kolmioissa o äi oll kaksi yhtä suurta kulmaa, ovat yhdmuotoist (kk-laus!). b) Kolmioid PCB ja PAD yhdmuotoisuudsta suraa: c) PA PD PA PB PC PD. PC PB Nyt pistid P ja A kautta kulkva suora o ympyrä tagtti. Säd KA o sit sitä vastaa kohtisuorassa. Khäkulmaa D α vastaavaa kskuskulmaa K α. Tasakylkis kolmio katakulmia kulmat 8 α KAC KCA 9 α. Kulma PAC 9 KAC 9 (9 α ) α. Kolmiot PAC ja PDA ovat siis yhdmuotoist (kk-laus), sillä molmmissa o sama kulma P ja α : suurui kulma. PA PC PD PA ( PA) PC PD.

Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 d) Kohda c) prustlla pät ( PA) PC PD PA PD r PD ( ) ( ) PA PD KA PD ( ) ( ) ( PK ) ( PD KD) ( PD KA) ( PA) (yllä osoittty) ( PD) PD KA + ( KA) PA + KA ( ) ( ), mikä osoittaa Pythagoraa laus!

Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4. a) Väit: Tod. ( ) y + y kaikill raaliluvuill ja y. ( y) kaikilla raaliluvuilla ja y. y + y < y y : ( )! y + y ( ). y + y b) y + y + + y ( y ) ( y )... ( y ) (a-kohta!!) + + + + + + (... ) ( y y... y ) + + + + + + + a a a b b b + +... +... A A + + + + A B B B a + a +... + a b + b +... + b + A B a + a +... + a b + b +... + b + a + a +... + a b + b +... + b [ + ] Siis y + y + + y. c) ak bk k A yk B A B a A b y B k k k k a b + a b +... + a b Ay B + Ay B +... + Ay B AB( y + y +... + y ) AB (b-kohta!!) a + a +... + a + b + b +... + b