Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4. a) b) ( )( 3) 6 3 + 6 6 + y + + ( ) y + + 3 + + ( ) TNS y ( ) + 3 tai Paraablit likkaavat pistssä (, 3). c) Mrkitää lukua : llä ( ). + 4 + 8 + 8 8 + ( 8) ( 8) 4 ± 8 ± 6 8 ± 4 8 ± 4 tai 4 +. a) b) + 3y 7 3 3 y 4 ( ) Luvu,, o oltava. 6 + 9y 6 4y 8 + + 3y 3 ( ) (mol. puolt.) y 4 + 3y 7 4 7 3 (4 ) TNS Likkauspist o (, ). tai 4 c) l l 3 l, + + > 3 l l 3 l 3 l + + (l 3 + l ) + l 3+ l l 3 l + l 3+ l
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 3. a) f t,6t ( ) 38 ( C). Koska,6t >, ii fuktio ( ) 38, f ( t),,6t 38, (38 ),,6t, :,6t, l f t arvo poikkaa aia 38,:sta alaspäi.,6t l, : (,6) t 4,99887... Vastaus: Mittausta pitää jatkaa miuuttia b) f ( t) 38,6t f '( t) (,6), f '(3),,6t,6t,6 3,9838..., ( C / mi) 4. Paraabli y muodostuu pististä P (, ). Pist P paikkavktori o OP i + j. Uud käyrä pistid paikkavktorit ovat OP + v. a) b) + v i + j + j OP + + i ( ) j y f + ( ) + v i + j + i OP 3 + i + j ( 3) Vähtää : stä luku 3. ( + 3 3) + ( 3) i j + ( 3) i j y f + ( ) ( 3) 6 9 c) OP + + + 3 + v i j i j + + + ( 3) i ( ) j Vähtää : stä luku 3. + i + + j ( 3 3) (( 3) ) i + + + j ( 6 9 ) y f + ( ) 6
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4. y si, π π. π π (si ) π (si ) Symmtria! V π d d π π π si d π π ( cos( )) d MAOL: kaava! π π ( cos( )) d π π/ ( si( )) π ( π si( π ) ( si )) π ( π ( )) π
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 6. y f ( ) 3,. Olkoo P(, y) (, 3 ) tämä paraablikaar pist. Muodosttaa fuktio d( ), joka ilmais pist P täisyyd origosta: + d( ) y, + (3 ) + 9 3 + 3 4 3 + 4 3 P: täisyys origosta o suuri ku juurttava 4 3 p( ) 3 + saa suurimma arvosa. 3 p '( ) 9 + p '( ) 3 9 + ( 9 + ) + tai 9 tai tai (ratk. kaavalla tai laskimlla) Kulkukaavio: p '( ), > p '(, 4), < p '( ) + p( ) ր ց Kulkukaaviosta ähdää, ttä p( ) (ja sit myös d( ) ) saa suurimma arvo, ku Arvoa vastaava paraablikaar pist o (, y) (, 3 ), 3,..
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 7. Kskihajota σ (g). Odotusarvo µ. Normittaa µ µ z. σ Φ( z),98 µ Φ( ),98 + µ Φ ( ), 98 Katsotaa taulukosta lähi pita-ala,98 atava kohta + µ, + µ, µ, (g)
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 8. a) ( a ) o gomtri joo, jossa a > kaikilla : arvoilla. Väit: a a a+ kaikilla,3,.... Todistus: Olkoo a a q.,,3,... Tällöi a a a q a q ( ) ( + ) + a q a q a q a q + a q a q a a q a. ( ) q ( q ) b) Olttaa, ttä b b b + kaikilla,3,.... Väit: Joo ( b ) o gomtri joo. Todistus: b b b > + ( ) (mol. puol ) b b b : b + b b b b b b + b b : b + Präkkäist jäst suhd o siis aia sama, jot joo o gomtri!
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 t t y 39 f ( ) + 3, missä f ( t) ( + ). 9. 39 39 39 39 39 39 39 Mrkitää G( ) 39 f ( 39 ) + 3 39 ( + ) + 3 + 3. a) Koska y-aksli o symmtria aksli, ii kaar huippu o y-akslilla: 39 39 39 39 G() + 3 9 (m) b) Nollakohdat: G( ) 39 39 39 39 + 3 ( ) 39 4 + Mrkitää s 3 4 s + s 3 s + 4 s 3 3s + 3 4s 39 39 39 3 4 3 s s + ( 4) ( 4) 4 3 3 4 34 ± ± s 3 6 39 39 s (,8...) tai s, 767... l l,767... 39 39 96,7943... Kaar lvys o 96,7943... 9,438... 9 m.
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 c) 39 39 39 39 G '( ) 39 39 + 39 39 k ta( α ) ta( α) G '(96,7943...) ta( α),838... ta α 8,8... α 8. A (, ), B (, ) ja t >. T ( t, ). a) Pists C piirrtyt ympyröid sätt ovat kohtisuorassa toisiaa vastaa, koska ympyrät likkaavat kohtisuorasti! k k y y t y t y + t + y y y y + t t t ( > ) t t y t t t t C, t t
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 b) Pimmä ympyrä säd TC: 4 4 t t t t + t + t t t. TC t + + t t t t t t t Pist D -koordiaatti t TD t TC t t. Jaoj CB ja CD ja kulmakrtoimt: t ( ) t t t kcb + t + t t t k CD t t t ( t t ) t + t + + t t t y t t t t t t t t t t t t t t t ) t ( t t t ) t ( t ) t t t t t + t t ( t ) ( t t ) ( t ) t ( t ) t t t t ) ( t )[( t ) + t ] ( ) ( ( t ) ( t + t) t t + t Koska kcd kcb, ii pistt B, C ja D ovat samalla suoralla.
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4. a) f ( ). + ( + ) + f '( ) > kaikilla, sillä >. ( + ) ( + ) ( + ) Koska f '( ) > kaikilla, ii f ( ) o aidosti kasvava b) lim f ( ) lim + lim ( + ) lim + + ց c) f (), 999946... >,999. + Koska lisäksi f ( ) o aidosti kasvava, ii päyhtälö pät kaikilla.. a) Jokaista raalilukua kohti o olmassa raaliluku y sit, ttä y. Väit o tosi, sillä luvuksi y klpaa aia sim. luku. b) O olmassa raaliluku y sit, ttä olipa raaliluku mikä tahasa, ii y. Väit o pätosi, sillä i ol olmassa suurita raalilukua y. c) O olmassa luoolli luku sit, ttä olipa y mikä tahasa luoolli luku, ii y. Väit o tosi, sillä o olmassa tällai pii luoolli luku,.
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 3. a) Mrkitää ( ). f f f () < () 9 > f ( ) o polyomia jatkuva fuktio. Sit s i voi vaihtaa mrkkiää väli päätpistissä kulkmatta ollakohda kautta. Fuktiolla f ( ) o sit aiaki yksi ollakohta välillä. 4 f '( ) > välillä. Fuktio f ( ) o sit aidosti kasvava välillä. Näi oll fuktiolla f ( ) o täsmäll yksi ollakohta välillä. Siispä yhtälöllä o täsmäll yksi ratkaisu välillä. b) Alkuarvo. Nwtoi mtlmä + f ( ). f '( ) f ( ) f () 4 f '( ) f '(),. f ( ) f (, ),,784939... f '( ) f '(, ) f ( ) 3 f '( ),67... f ( ),673...,67 3 4 3 f '( 3 )
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 4. a) Kulmat ABC ja ADC ovat yhtä suurt samaa ympyrä kaarta AC vastaavia khäkulmia. Kulma P o molmpi kolmioid PCB ja PAD kulma. Koska kolmioissa o äi oll kaksi yhtä suurta kulmaa, ovat yhdmuotoist (kk-laus!). b) Kolmioid PCB ja PAD yhdmuotoisuudsta suraa: c) PA PD PA PB PC PD. PC PB Nyt pistid P ja A kautta kulkva suora o ympyrä tagtti. Säd KA o sit sitä vastaa kohtisuorassa. Khäkulmaa D α vastaavaa kskuskulmaa K α. Tasakylkis kolmio katakulmia kulmat 8 α KAC KCA 9 α. Kulma PAC 9 KAC 9 (9 α ) α. Kolmiot PAC ja PDA ovat siis yhdmuotoist (kk-laus), sillä molmmissa o sama kulma P ja α : suurui kulma. PA PC PD PA ( PA) PC PD.
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4 d) Kohda c) prustlla pät ( PA) PC PD PA PD r PD ( ) ( ) PA PD KA PD ( ) ( ) ( PK ) ( PD KD) ( PD KA) ( PA) (yllä osoittty) ( PD) PD KA + ( KA) PA + KA ( ) ( ), mikä osoittaa Pythagoraa laus!
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4. a) Väit: Tod. ( ) y + y kaikill raaliluvuill ja y. ( y) kaikilla raaliluvuilla ja y. y + y < y y : ( )! y + y ( ). y + y b) y + y + + y ( y ) ( y )... ( y ) (a-kohta!!) + + + + + + (... ) ( y y... y ) + + + + + + + a a a b b b + +... +... A A + + + + A B B B a + a +... + a b + b +... + b + A B a + a +... + a b + b +... + b + a + a +... + a b + b +... + b [ + ] Siis y + y + + y. c) ak bk k A yk B A B a A b y B k k k k a b + a b +... + a b Ay B + Ay B +... + Ay B AB( y + y +... + y ) AB (b-kohta!!) a + a +... + a + b + b +... + b