Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division
Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b ja c arvoilla yhtälö on ratkeava? Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 30
Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b ja c arvoilla yhtälö on ratkeava? Esim. 1 Ratkaise yhtälöpari { x y + 1 = 0, 2x + y 4 = 0 kahdella tavalla. Mitä yhtälöparin ratkaiseminen tarkoittaa geometrisesti? Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 30
Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b ja c arvoilla yhtälö on ratkeava? Esim. 1 Ratkaise yhtälöpari { x y + 1 = 0, 2x + y 4 = 0 kahdella tavalla. Mitä yhtälöparin ratkaiseminen tarkoittaa geometrisesti? Ratkaisumenetelmää, jossa eliminoidaan jompi kumpi muuttujista x tai y, sanotaan eliminoimismenetelmäksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 30
Yhtälöryhmän ratkaiseminen Esim. 2 Sovella eliminoimismenetelmää yhtälöpariin { ax + by = 0, cx + dy = 0. Millä parametrien a, b, c ja d arvoilla yhtälöpari on yksikäsitteisesti ratkeava? Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 30
Yhtälöryhmän ratkaiseminen Esim. 3 Pohdi miten eliminoimismenetelmää voidaan käyttää kolmen muuttujan yhtälöryhmän x y + 2z = 7, 3x + y z = 4, 6x + 2y + 2z = 20 ratkaisemiseen. Mitä yhtälöryhmän ratkaiseminen tarkoittaa geometrisesti? Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 30
Yhtälön ratkaiseminen Palataan takaisin yhden reaalimuuttujan yhtälön ratkaisemiseen. Ensimmäiseksi on selvitettävä yhtälön määrittelyjoukko, joka on laajin reaalilukujen joukko, jossa yhtälössä esiintyvät lausekkeet on määritelty. Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 30
Yhtälön ratkaiseminen Palataan takaisin yhden reaalimuuttujan yhtälön ratkaisemiseen. Ensimmäiseksi on selvitettävä yhtälön määrittelyjoukko, joka on laajin reaalilukujen joukko, jossa yhtälössä esiintyvät lausekkeet on määritelty. Kuten ongelmanratkaisuosiossa mainittiin, on joskus kannattavaa (ja jopa välttämätöntä) saattaa ongelma johonkin toiseen muotoon. Tarkastellaan esimerkkiä Esim. 4 (DIA-yhteisvalinta 2011, tehtävä 1) Ratkaise yhtälöt (a) x 10 x = 3; (b) 4 2 x + 2 2 x = 9; (c) sin x = 1 cos 2 x, 0 x π. Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 30
Yhtälön ratkaiseminen Trigonometrisissä yhtälöissä pääsee pitkälle hallitsemalla yksikköympyrän ja koululaisen kolmioiden käytön. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 30
Yhtälön ratkaiseminen Trigonometrisissä yhtälöissä pääsee pitkälle hallitsemalla yksikköympyrän ja koululaisen kolmioiden käytön. Itseisarvoyhtälöt kannattaa ratkaista merkkikaavion avulla ja sitä kautta tarkastella eri tapaukset. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 30
Yhtälön ratkaiseminen Trigonometrisissä yhtälöissä pääsee pitkälle hallitsemalla yksikköympyrän ja koululaisen kolmioiden käytön. Itseisarvoyhtälöt kannattaa ratkaista merkkikaavion avulla ja sitä kautta tarkastella eri tapaukset. Esim. 5 Ratkaise yhtälöt cos(2x) = 1 2 ; sin(2x) = cos(x); x 2 = x + 1. Mitä jälkimmäisen yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa geometrisesti? Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 30
Epäyhtälöt Epäyhtälöitä voidaan käsitellä samaan tapaan kuin yhtälöitä. Määrittelyjoukko määritellään samalla tavalla kuin yhtälöiden tapauksessa. Epäyhtälöön voidaan puolittain lisätä ja vähentää termejä ilman, että epäyhtälön ratkaisu muuttuu. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 30
Epäyhtälöt Epäyhtälöitä voidaan käsitellä samaan tapaan kuin yhtälöitä. Määrittelyjoukko määritellään samalla tavalla kuin yhtälöiden tapauksessa. Epäyhtälöön voidaan puolittain lisätä ja vähentää termejä ilman, että epäyhtälön ratkaisu muuttuu. Myös positiivisella luvulla kertominen puolittain säilyttää epäyhtälön ratkaisut samana. Sen sijaan huomion arvoista on, että negatiivisella luvulla kertominen kääntää epäyhtälön suunnan. Esimerkiksi kertomalla epäyhtälö 2x < 4 puolittain luvulla 1 2 saadaan yhtäpitävä epäyhtälö x > 2, joka on siis alkuperäisen epäyhtälön ratkaisu. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 30
Epäyhtälöt Epäyhtälöitä voidaan käsitellä samaan tapaan kuin yhtälöitä. Määrittelyjoukko määritellään samalla tavalla kuin yhtälöiden tapauksessa. Epäyhtälöön voidaan puolittain lisätä ja vähentää termejä ilman, että epäyhtälön ratkaisu muuttuu. Myös positiivisella luvulla kertominen puolittain säilyttää epäyhtälön ratkaisut samana. Sen sijaan huomion arvoista on, että negatiivisella luvulla kertominen kääntää epäyhtälön suunnan. Esimerkiksi kertomalla epäyhtälö 2x < 4 puolittain luvulla 1 2 saadaan yhtäpitävä epäyhtälö x > 2, joka on siis alkuperäisen epäyhtälön ratkaisu. Tyypillisiä epäyhtälöitä ovat polynomiepäyhtälöt, rationaaliepäyhtälöt, trigonometriset epäyhtälöt ja itseisarvoepäyhtälöt. Tarkastellaan näitä esimerkkien avulla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 30
Esimerkkejä Esim. 6 Ratkaise itseisarvoepäyhtälöt (a) x + x + 1 < 2; (b) 1+ 1 < 1; x (c) x + 1 < x. Esim. 7 1 Olkoot A = {x R Osoita, että A B. 1+x < 1+x} ja B = {x R x 2}. Esim. 8 Ratkaise epäyhtälöt (a) cos(2x) > 1 2 ja (b) sin(3x) < 1 2. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 30
Epäyhtälöiden käyttöä Matematiikassa on hyödyllistä käyttää epäyhtälöitä erilaisten arvioiden tekemiseen ennen kuin lähtee härkäpäisesti ratkaisemaan jotain ongelmaa. Esim. 9 Osoita, että jos n Z +, niin 1 2 < 1 n + 1 n+1 + + 1 2n 1 < 1. Edellisestä epäyhtälöstä itse asiassa seuraa, että sarja 1+ 1 2 + 1 3 +... ei suppene. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 30
Esimerkkejä Esim. 10 (a) Osoita, että x + 1 x 2 aina, kun x > 0. (b) Osoita, että (a+b+c)( 1 a + 1 b + 1 c ) 9 aina, kun a,b,c > 0 (Vihje: Käytä (a)-kohtaa). Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 30
Kolmioepäyhtälö Matematiikan eräs tärkeimpiä epäyhtälöitä on seuraava kolmioepäyhtälö. Lause 1 (Kolmioepäyhtälö) Kaikille x,y R on voimassa x ± y x + y. Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 30
Kolmioepäyhtälö Matematiikan eräs tärkeimpiä epäyhtälöitä on seuraava kolmioepäyhtälö. Lause 1 (Kolmioepäyhtälö) Kaikille x,y R on voimassa x ± y x + y. Kolmioepäyhtälöllä on tärkeä seuraus Seuraus 1 Kaikilla x,y R pätee x y x ± y. Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 30
Kolmioepäyhtälö Yhdistämällä edelliset tulokset saadaan epäyhtälö x y x ± y x + y. Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 30
Kolmioepäyhtälö Yhdistämällä edelliset tulokset saadaan epäyhtälö x y x ± y x + y. Esim. 11 (a) Osoita kolmioepäyhtälön seuraus. (b) Osoita kolmioepäyhtälön avulla, että x y x z + z y kaikilla x,y,z R (c) Olkoon x 1. Määrää kolmioepäyhtälön avulla yläraja lausekkeelle 3x 2. Mikä on pienin mahdollinen yläraja? (d) Olkoot a > 0, x 1 a ja y 1 a. Osoita, että x y 2a. Tulkitse saatu tulos geometrisesti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 30
Funktioista Määr. 1 Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja. Funktiolla f joukosta X joukkoon Y tarkoitetaan sääntöä f : X Y, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon x täsmälleen yhden joukon Y alkion y, ja merkitään f(x) = y. Sanotaan, että y on funktion f arvo pisteessä x (tai x:n kuva). Joukkoa X sanotaan funktion f määrittelyjoukoksi, jolle käytetään myös merkintää M f. Joukkoa Y sanotaan funktion f maalijoukoksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 30
Funktioista Määr. 1 Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja. Funktiolla f joukosta X joukkoon Y tarkoitetaan sääntöä f : X Y, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon x täsmälleen yhden joukon Y alkion y, ja merkitään f(x) = y. Sanotaan, että y on funktion f arvo pisteessä x (tai x:n kuva). Joukkoa X sanotaan funktion f määrittelyjoukoksi, jolle käytetään myös merkintää M f. Joukkoa Y sanotaan funktion f maalijoukoksi. Funktion f arvojen joukkoa K f = {f(x) x M f } sanotaan arvojoukoksi (tai kuvajoukoksi). Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 30
Funktioista Määr. 1 Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja. Funktiolla f joukosta X joukkoon Y tarkoitetaan sääntöä f : X Y, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon x täsmälleen yhden joukon Y alkion y, ja merkitään f(x) = y. Sanotaan, että y on funktion f arvo pisteessä x (tai x:n kuva). Joukkoa X sanotaan funktion f määrittelyjoukoksi, jolle käytetään myös merkintää M f. Joukkoa Y sanotaan funktion f maalijoukoksi. Funktion f arvojen joukkoa K f = {f(x) x M f } sanotaan arvojoukoksi (tai kuvajoukoksi). Funktiot f ja g ovat samat, jos niillä on sama määrittelyjoukko ja maalijoukko ja jos f(x) = g(x) kaikilla määritysjoukon alkioilla x. Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 30
Esimerkkejä Esim. 12 Esimerkkejä erityyppisistä funktioista: X = {tason ympyrät}, Y = R, f(x) = x:n säde ; X = {tason ympyrät}, Y = R, f(x) = x:n sisään jäävän alueen pinta-ala ; X = N, Y = {0,1,2}, f(x) = jakojäännös, kun x jaetaan 3:lla ; X = R, Y = Z, f(x) = suurin kokonaisluku x. Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 30
Esimerkkejä Esim. 13 Määrää funktion f määritysjoukko M f, piirrä kuvaaja sekä ilmoita arvojoukko K f, kun (a) f(x) = x, (b) f(x) = x 2 1, (c) f(x) = 2x 1 x 2, (d) f(x) = ln(ln(x)). Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 30
Käänteisfunktio Esim. 14 Ratkaise yhtälöistä (a) y = ax + b, missä a 0, ja (b) y = x 2 muuttuja x y:n avulla. Onko x y:n funktio? Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 30
Käänteisfunktio Esim. 14 Ratkaise yhtälöistä (a) y = ax + b, missä a 0, ja (b) y = x 2 muuttuja x y:n avulla. Onko x y:n funktio? Olkoon f : X Y funktio. Jos jokaista y Y kohti on olemassa täsmälleen yksi x X siten, että y = f(x), niin funktiota g : Y X, jolle g(y) = x, sanotaan funktion f käänteisfunktioksi ja merkitään g = f 1. Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 30
Käänteisfunktio Esim. 14 Ratkaise yhtälöistä (a) y = ax + b, missä a 0, ja (b) y = x 2 muuttuja x y:n avulla. Onko x y:n funktio? Olkoon f : X Y funktio. Jos jokaista y Y kohti on olemassa täsmälleen yksi x X siten, että y = f(x), niin funktiota g : Y X, jolle g(y) = x, sanotaan funktion f käänteisfunktioksi ja merkitään g = f 1. Edellisessä esimerkissä funktiolla f(x) = ax + b on olemassa käänteisfunktio, mutta funktiolla f(x) = x 2 ei. Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 30
Käänteisfunktio Esim. 14 Ratkaise yhtälöistä (a) y = ax + b, missä a 0, ja (b) y = x 2 muuttuja x y:n avulla. Onko x y:n funktio? Olkoon f : X Y funktio. Jos jokaista y Y kohti on olemassa täsmälleen yksi x X siten, että y = f(x), niin funktiota g : Y X, jolle g(y) = x, sanotaan funktion f käänteisfunktioksi ja merkitään g = f 1. Edellisessä esimerkissä funktiolla f(x) = ax + b on olemassa käänteisfunktio, mutta funktiolla f(x) = x 2 ei. Huomaa kuitenkin, että käänteisfunktion olemassaolo riippuu joukkojen X ja Y määrittelystä. Esimerkiksi funktiolla f : R + = {x R x > 0} R +, jolle f(x) = x 2 on olemassa käänteisfunktio, sillä jokaista y R+ vastaa täsmälleen yksi x R + siten, että f(x) = y. Nimittäin, x = y R + on kyseinen x. Näin ollen tässä tapauksessa f 1 (x) = x. Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 30
Käänteisfunktio Käänteisfunktio voidaan määrätä (mikäli mahdollista) ratkaisemalla y x:n funktiona yhtälöstä f(x) = y. Esim. 15 Olkoot X = [ 2, [ ja Y = [1, [. Osoita, että funktiolla f : X Y, f(x) = x 2 + 4x + 5, on olemassa käänteisfunktio. Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 30
Käänteisfunktio Käänteisfunktio voidaan määrätä (mikäli mahdollista) ratkaisemalla y x:n funktiona yhtälöstä f(x) = y. Esim. 15 Olkoot X = [ 2, [ ja Y = [1, [. Osoita, että funktiolla f : X Y, f(x) = x 2 + 4x + 5, on olemassa käänteisfunktio. Edellä olemme perustelleet käänteisfunktion olemassaolon laskemalla käänteisfunktion lausekkeen. Tämä ei kuitenkaan aina ole mahdollista eikä edes kannattavaa, vaikka se olisi periaatteessa mahdollista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 30
Käänteisfunktio Käänteisfunktio voidaan määrätä (mikäli mahdollista) ratkaisemalla y x:n funktiona yhtälöstä f(x) = y. Esim. 15 Olkoot X = [ 2, [ ja Y = [1, [. Osoita, että funktiolla f : X Y, f(x) = x 2 + 4x + 5, on olemassa käänteisfunktio. Edellä olemme perustelleet käänteisfunktion olemassaolon laskemalla käänteisfunktion lausekkeen. Tämä ei kuitenkaan aina ole mahdollista eikä edes kannattavaa, vaikka se olisi periaatteessa mahdollista. Jos funktiolla on riittävästi hyviä ominaisuuksia, voidaan käänteisfunktion olemassaolo perustella käyttämällä ko. ominaisuuksia ilman, että määrätään käänteisfunktion lauseke, mikä kuten edellä tuli todettua ei aina edes ole mahdollista. Mutta tästä asiasta kerrotaan enemmän yliopiston kursseilla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 30
Funktion raja-arvo Eräs keskeisimpiä käsitteitä funktioiden ominaisuuksien tutkimisessa on funktion raja-arvon käsite: Määr. 2 Funktion f : X Y raja-arvo pisteessä x 0 on y 0, jos jokaista positiivista lukua ǫ kohti on olemassa sellainen positiivinen luku δ, että f(x) y 0 < ǫ aina, kun 0 < x x 0 < δ. Tällöin merkitään lim x x0 f(x) = y 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 30
Funktion raja-arvo Eräs keskeisimpiä käsitteitä funktioiden ominaisuuksien tutkimisessa on funktion raja-arvon käsite: Määr. 2 Funktion f : X Y raja-arvo pisteessä x 0 on y 0, jos jokaista positiivista lukua ǫ kohti on olemassa sellainen positiivinen luku δ, että f(x) y 0 < ǫ aina, kun 0 < x x 0 < δ. Tällöin merkitään lim x x0 f(x) = y 0. Määritelmän voi ymmärtää niin, että funktion arvot kasautuvat pisteen y 0 lähelle, kun x lähestyy pistettä x 0. Luku δ > 0 luonnollisesti riippuu luvun ǫ > 0 valinnasta, mutta oleellista on se, että tällainen δ löytyy olipa ǫ kuinka pieni tahansa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 30
Esimerkkejä Esim. 16 Olkoon f(x) = 2x + 1. Määritä sellainen väli, johon piste x 0 = 1 sisältyy ja jossa on voimassa f(x) 3 < ǫ, kun (a) ǫ = 1, (b) ǫ = 0.1 ja (c) ǫ = 0.01. Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 30
Esimerkkejä Esim. 16 Olkoon f(x) = 2x + 1. Määritä sellainen väli, johon piste x 0 = 1 sisältyy ja jossa on voimassa f(x) 3 < ǫ, kun (a) ǫ = 1, (b) ǫ = 0.1 ja (c) ǫ = 0.01. Huomaa, että funktion f ei välttämättä tarvitse olla määritelty pisteessä x 0. Esim. 17 Olkoot f(x) = x2 x 2 x 2, 2 x R, ja ǫ > 0. Tarkastellaan löytyykö sellaista lukua δ > 0, että f(x) 3 < ǫ, kun 0 < x 2 < δ. Osoita, että luvuksi δ voidaan valita δ = ǫ. Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 30
Raja-arvon ominaisuuksia Usein kannattaa hyödyntää funktion raja-arvon seuraavia ominaisuuksia Lause 2 Oletetaan, että lim x x0 f(x) ja lim x x0 g(x) ovat olemassa. Tällöin lim x x0 (f(x)+g(x)) = lim x x0 f(x)+lim x x0 g(x); Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 30
Raja-arvon ominaisuuksia Usein kannattaa hyödyntää funktion raja-arvon seuraavia ominaisuuksia Lause 2 Oletetaan, että lim x x0 f(x) ja lim x x0 g(x) ovat olemassa. Tällöin lim x x0 (f(x)+g(x)) = lim x x0 f(x)+lim x x0 g(x); lim x x0 λf(x) = λ lim x x0 f(x) kaikilla vakioilla λ; Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 30
Raja-arvon ominaisuuksia Usein kannattaa hyödyntää funktion raja-arvon seuraavia ominaisuuksia Lause 2 Oletetaan, että lim x x0 f(x) ja lim x x0 g(x) ovat olemassa. Tällöin lim x x0 (f(x)+g(x)) = lim x x0 f(x)+lim x x0 g(x); lim x x0 λf(x) = λ lim x x0 f(x) kaikilla vakioilla λ; lim x x0 f(x)g(x) = lim x x0 f(x) lim x x0 g(x); Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 30
Raja-arvon ominaisuuksia Usein kannattaa hyödyntää funktion raja-arvon seuraavia ominaisuuksia Lause 2 Oletetaan, että lim x x0 f(x) ja lim x x0 g(x) ovat olemassa. Tällöin lim x x0 (f(x)+g(x)) = lim x x0 f(x)+lim x x0 g(x); lim x x0 λf(x) = λ lim x x0 f(x) kaikilla vakioilla λ; lim x x0 f(x)g(x) = lim x x0 f(x) lim x x0 g(x); lim x x0 f(x) g(x) = limx x 0 f(x) lim x x0 g(x), jos lim x x 0 g(x) 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 30
Raja-arvo äärettömyydessä Raja-arvo äärettömyydessä voidaan määritellä samalla tavalla kuin edellä. Määr. 3 Olkoon f : R R funktio. Funktion raja-arvo ± :ssä on y 0, jos jokaista ǫ > 0 kohti on olemassa luku M > 0 siten, että f(x) y 0 < ǫ aina, kun ±x > M. Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 30
Raja-arvo äärettömyydessä Raja-arvo äärettömyydessä voidaan määritellä samalla tavalla kuin edellä. Määr. 3 Olkoon f : R R funktio. Funktion raja-arvo ± :ssä on y 0, jos jokaista ǫ > 0 kohti on olemassa luku M > 0 siten, että f(x) y 0 < ǫ aina, kun ±x > M. Raja-arvoa laskettaessa voi esiintyä määrittelemättömiä muotoja 0 ±, 0 ±,, 0 ±, ± 0, 0, 0 0, 0, 1, joista on päästävä eroon esim. supistamalla tai laventamalla sopivalla lausekkeella. Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 30
Esimerkkejä Esim. 18 Laske raja-arvot x 2 4x 4 (a) lim x 2 x 2 x 2, 2x 2 + 3 (c) lim x x 2 3x + 1, ( 1 (b) lim x 0 x 3 + x 1 ), x (d) lim (2x 4x 2 + 1). x Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 30
Funktion jatkuvuus Nyt kun funktion raja-arvo määritelty, voidaan jatkuvuus määritellä seuraavasti Määr. 4 Funktio f : R R on jatkuva pisteessä x 0 R, jos lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Funktio on jatkuva joukossa S R, jos se on jatkuva jokaisessa joukon S pisteessä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 30
Funktion jatkuvuus Nyt kun funktion raja-arvo määritelty, voidaan jatkuvuus määritellä seuraavasti Määr. 4 Funktio f : R R on jatkuva pisteessä x 0 R, jos lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Funktio on jatkuva joukossa S R, jos se on jatkuva jokaisessa joukon S pisteessä. Funktio on siis jatkuva pisteessä x 0 täsmälleen silloin, kun sen raja-arvo pisteessä x 0 on sama kuin funktion arvo kyseisessä pisteessä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 30
Funktion jatkuvuus Nyt kun funktion raja-arvo määritelty, voidaan jatkuvuus määritellä seuraavasti Määr. 4 Funktio f : R R on jatkuva pisteessä x 0 R, jos lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Funktio on jatkuva joukossa S R, jos se on jatkuva jokaisessa joukon S pisteessä. Funktio on siis jatkuva pisteessä x 0 täsmälleen silloin, kun sen raja-arvo pisteessä x 0 on sama kuin funktion arvo kyseisessä pisteessä. Tutkittaessa funktion jatkuvuutta seuraava tulos on hyödyllinen Lause 3 Funktio f : R R on jatkuva pisteessä x 0 täsmälleen silloin, kun lim x x0 f(x) = lim x x0 + f(x) = f(x 0 ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 30
Funktion jatkuvuus Funktio on siis jatkuva jos ja vain jos toispuoleiset raja-arvot yhtyvät funktion arvoon kyseisessä pisteessä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 30
Funktion jatkuvuus Funktio on siis jatkuva jos ja vain jos toispuoleiset raja-arvot yhtyvät funktion arvoon kyseisessä pisteessä. Suoraan raja-arvon ominaisuuksista seuraa, että jatkuvuus säilyy funktioiden yhteen-, kerto- ja jakolaskussa sekä vakiolla kertomisessa: Lause 4 Jos funktiot f ja g ovat jatkuvia pisteessä x 0, niin myös funktiot f + g, λ f (λ vakio) ja fg ovat jatkuvia pisteessä x 0. Jos lisäksi g(x 0 ) 0, niin f/g on jatkuva pisteessä x 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 30
Esimerkkejä Esim. 19 Osoita raja-arvon määritelmään nojautuen tarkasti, että funktio f(x) = 3x 1 on jatkuva pisteessä x 0 = 5. Esim. 20 Määrää vakiot a,b ja c siten, että funktio x 2, x < 0, f(x) = a, x = 0, bx + c, x > 0, on jatkuva kaikilla x R. Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 30
Funktion derivaatta Funktion derivaatan käsite on differentiaalilaskennan tärkein peruskäsite ja määritelmä lienee kaikille tuttu. Määr. 5 Olkoon f määritelty pisteen x 0 ympäristössä. Jos erotusosamäärällä f(x) f(x 0 ) x x 0 on raja-arvo, kun x x 0, niin raja-arvoa sanotaan funktion f derivaataksi pisteessä x 0 ja merkitään f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Funktiota f sanotaan tällöin derivoituvaksi pisteessä x 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 30
Funktion derivaatta Derivaatalle käytetään usein myös seuraavia merkintöjä f (x 0 ) = Df(x 0 ) = df dx (x 0). Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 30
Funktion derivaatta Derivaatalle käytetään usein myös seuraavia merkintöjä f (x 0 ) = Df(x 0 ) = df dx (x 0). Funktio on derivoituva joukossa S, jos se on derivoituva jokaisessa joukon S pisteessä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 30
Funktion derivaatta Derivaatalle käytetään usein myös seuraavia merkintöjä f (x 0 ) = Df(x 0 ) = df dx (x 0). Funktio on derivoituva joukossa S, jos se on derivoituva jokaisessa joukon S pisteessä. Esim. 21 Tarkastellaan derivaatan geometrista tulkintaa. Olkoon f(x) = x 2. Piirretään käyrälle y = f(x) pisteiden (0, 0) ja (x, f(x)) kautta kulkeva sekantti ja tarkastellaan mitä tapahtuu, kun x 0. Animaatio(Klikkaa tästä) Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 30
Funktion derivaatta Derivaatta voidaan kirjoittaa myös muodossa f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 30
Funktion derivaatta Derivaatta voidaan kirjoittaa myös muodossa f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h Esim. 22 Laske määritelmän perusteella funktion f derivaatta, kun (a) f(x) = kx + b; (b) f(x) = x 2 ; (c) f(x) = e x e ja tiedetään, että lim h 1 h 0 h = 1; sin h (d) f(x) = cos x ja tiedetään, että lim h 0 h = 1 (Vihje: Käytä cos:n yhteenlaskukaavaa, minkä jälkeen lavenna (cos h 1):n sisältävä termi (cos h+1):llä ja käytä edellä mainittua kaavaa sin:lle). Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 30
Derivaatan ominaisuuksia Suoraan raja-arvojen vastaavista ominaisuuksista seuraa Lause 5 Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteessä x 0, niin D(f + g)(x 0 ) = Df(x 0 )+Dg(x 0 ); Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 30
Derivaatan ominaisuuksia Suoraan raja-arvojen vastaavista ominaisuuksista seuraa Lause 5 Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteessä x 0, niin D(f + g)(x 0 ) = Df(x 0 )+Dg(x 0 ); D(λf)(x 0 ) = λ Df(x 0 ) kaikilla vakioilla λ; Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 30
Derivaatan ominaisuuksia Suoraan raja-arvojen vastaavista ominaisuuksista seuraa Lause 5 Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteessä x 0, niin D(f + g)(x 0 ) = Df(x 0 )+Dg(x 0 ); D(λf)(x 0 ) = λ Df(x 0 ) kaikilla vakioilla λ; D(fg)(x 0 ) = Df(x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )Dg(x 0 ); Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 30
Derivaatan ominaisuuksia Suoraan raja-arvojen vastaavista ominaisuuksista seuraa Lause 5 Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteessä x 0, niin D(f + g)(x 0 ) = Df(x 0 )+Dg(x 0 ); D(λf)(x 0 ) = λ Df(x 0 ) kaikilla vakioilla λ; D(fg)(x 0 ) = Df(x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )Dg(x 0 ); D( f g )(x 0) = Df(x 0)g(x 0 ) f(x 0 )Dg(x 0 ) g(x 0 ) 2, jos g(x 0 ) 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 30
Derivaatan ominaisuuksia Suoraan raja-arvojen vastaavista ominaisuuksista seuraa Lause 5 Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteessä x 0, niin D(f + g)(x 0 ) = Df(x 0 )+Dg(x 0 ); D(λf)(x 0 ) = λ Df(x 0 ) kaikilla vakioilla λ; D(fg)(x 0 ) = Df(x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )Dg(x 0 ); D( f g )(x 0) = Df(x 0)g(x 0 ) f(x 0 )Dg(x 0 ) g(x 0 ) 2, jos g(x 0 ) 0. Yhdistetylle funktiolle (f g)(x) = f(g(x)) pätee Lause 6 (Ketjusääntö) Jos g on derivoituva pisteessä x 0 ja f on derivoituva pisteessä g(x 0 ), niin yhdistetty funktio f g on derivoituva pisteessä x 0 ja D(f g)(x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 30
Esimerkkejä Esim. 23 Derivoi funktiot (a) f(x) = ( x 1 ) n, (b) f(x) = (x 1) 5 (x + 1) 3. x + 1 Esim. 24 (DIA-yhteisvalinta 2011, tehtävä 3) Laskeutumisen alkaessa lentokone lentää vaakasuoraan. Tällöin kone on korkeudella y = h ja vaakasuoralla etäisyydellä x = s kiitoradasta. Kone koskettaa kiitorataa origossa vaakalennossa. Oletetaan, että laskeutumisen aikana y = ax 3 + bx 2 + cx + d. Kuinka korkealla kone on, kun sen vaakasuora etäisyys kiitoradasta on 1 3 s? Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 30