3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden kuvaajien ja yleensä toisen tai korkeamman asteen käyrien syvällisempää tarkastelua ryhdytään harrastamaan vasta analyyttisen geometrian kurssissa. Tässä vaiheessa riittää oppia (tai tietää), että yhtälön y = a + b + c kuvaaja on paraabeli, joka aukeaa ylöspäin, jos toisen asteen termin kerroin a > 0 ja aukeaan alaspäin, jos a < 0. Tässäkin, kuten yleensä polynomifunktioiden kuvaajissa, korkeimman asteen termin kertoimen etumerkillä on kuvaajan muodon määräämisessä varsin suuri painoarvo. Paraabelin piirtämiseen ei siis enää riitä se, että lasketaan kuvaajan kaksi pistettä, sillä kuvaaja kaartuu koko ajan ja kaarevuus on erilainen kuvaajan eri kohdissa. Kuvaajan pisteitä on siten laskettava useita. Esim. 1 Piirrettävä paraabelit y = ja y = + 4. 4-4 16-3 -3 9-1 - 4-1 -1 1-5 0 0 0 1 1 3 4 4 3 9 3 4 16 0 5 5-5
y=* 30 5 0 15 10 y=4-* 10 5 0-3 -5 - -1 0 1 3 4 5 6-10 -15 5 0-4 -3 - -1 0 1 3 4 5-0 -5 Paraabelissa y = toisen asteen termin kerroin on 1, ja paraabeli aukeaa ylöspäin. Kun = 0, y = 0, mutta muutoin funktio saa vain positiivisia arvoja ts. paraabelin jokaisen pisteen y-koordinaatti on einegatiivinen. Paraabelissa y = 4 toisen asteen termin kerroin on 1, ja paraabeli aukeaa alaspäin. Kuvaaja kulkee akselin yläpuolella (eli y koordinaatti > 0), kun 0 < < 4 ja kulkee akselin alapuolella (y < 0), kun < 0 V > 4. Paraabeli "läpäisee" -akselin, kun = 0 V = 4. Paraabeli y = ei läpäise -akselia, mutta se sivuaa sitä. Geometrisesti yhtälön 4 = 0 ratkaiseminen merkitsee paraabelin y = 4 ja -akselin leikkauspisteiden -koordinaattien määräämistä. Kysytään siis, millä muuttujan :n arvoilla lauseke 4 saa arvon nolla. Nämä :n arvot ovat polynomifunktion y = 4 nollakohtia. Yleisesti paraabelilla ja -akselilla voi olla leikkauspisteitä kaksi, yksi (=sivuamispiste) tai ei yhtään. Näistä ensin mainitussa tapauksessa osa paraabelista on -akselin ala- ja osa yläpuolella. Viimemainitussa tapauksessa taas paraabeli sijaitsee kokonaisuudessaan -akselin yläpuolella, jos a > 0 ja alapuolella, jos a < 0.
Toisen asteen epäyhtälön normaalimuoto on a + b + c > 0, missä epäsuuruusmerkki voi olla toisin päinkin, mutta ehdottomasti a 0. Epäyhtälön vasemman puolen kuvaaja on siis paraabeli, jonka aukeamissuunnan ratkaisee a:n etumerkki. Voi olla hyvä muokata alkuperäistä epäyhtälöä niin, että saa toisen asteen termin kertoimeksi positiivisen luvun. Näin voi aina tehdä. Jos nimittäin alunperin a < 0, kertoo vain epäyhtälön puolittain sopivalla negatiivisella luvulla ja samalla muistaa kääntää myös epäsuuruusmerkin suunnan. Toisen asteen epäyhtälön ratkaisu voidaan näin aina palauttaa siihen, että tarkastellaan ylöspäin aukeavan paraabelin sijaintia koordinaatistossa: Olkoot normaalimuotoisessa epäyhtälössä a + b + c > 0 tai a + b + c < 0 kerroin a > 0. Paraabelin y = a + b + c kuvaajan perusteella on ilmeistä, että lauseke a + b + c saa negatiivisia arvoja vain niillä :n arvoilla, jotka jäävät paraabelin ja -akselin leikkauspisteiden (= paraabelin nollakohtien) väliin. Jos nollakohtia ei ole, a + b + c > 0 aina, mikä voidaan näyttää oikeaksi muutenkin, esim. neliöksi täydentämällä. Näissä yhteyksissä normaalimuotoisen epäyhtälön vasempana puolena olevan lausekkeen arvoa esittävä paraabeli on aina piirrettävä, joskin piirtämisen saa suorittaa vain pääpiirtein. Riittää tietää paraabelin aukeamissuunta ja nollakohdat eli vastaavan yhtälön juuret. Ratkaistaessa toisen asteen epäyhtälöä on siis aina ensin ratkaistava vastaava yhtälö, oli varsinainen epäyhtälö miten yksinkertaisen näköinen tahansa. Yksinkertaisissa epäyhtälöissä pahimmat virheet yleensä tehdäänkin. Kun vastaava yhtälö on ratkaistu, tai todettu, ettei yhtälöllä ole ratkaisua, loppuosa tehtävästä suoritetaan graafisen ajattelutavan kautta. Oletetaan siis, että ratkaistavana on sellainen normaalimuotoinen toisen asteen epäyhtälö, missä toisen asteen termin kerroin on positiivinen. Sen mukaan, kuinka monta juurta on vastaavalla yhtälöllä, erotellaan kolme tapausta: 1) Yhtälöllä a + b + c = 0 on kaksi erisuurta juurta, 1 ja, ( 1 < ). Tällöin paraabeli y = a + b + c leikkaa -akselin pisteissä 1 ja, joten lauseke a
+ b + c saa negatiivisen arvon näiden välillä ja positiivinen tämän välin ulkopuolella. ) Yhtälöllä on yksi juuri, ns. kaksoisjuuri. Tällöin paraabeli sivuaa -akselia tässä pisteessä, 1 =. Tällä :n arvolla lauseke a + b + c on nolla ja kaikkialla muualla se on positiivinen. 3) Yhtälöllä ei ole juuria. Tällöin paraabeli ei lainkaan kosketa -akselia vaan on kokonaan sen yläpuolella. Lauseke a + b + c > 0 kaikilla :n arvoilla ja näin epäyhtälö on identtisesti tosi. Oheisessa kuvassa on vielä havainnollistettu kaikki kolme mahdollista tapausta. Tulos voidaan esittää lauseena ****************************************************************** LAUSE 8: Lauseke a + b + c (*), missä kerroin a on positiivinen, on positiivinen kaikilla :n arvoilla, paitsi jos vastaavalla yhtälöllä a + b + c = 0 on juuret 1 ja ( 1 < ), jolloin lauseke (*) on positiivinen, kun < 1 tai > nolla, kun = 1 tai = negatiivinen, kun 1 < <. ******************************************************************
Esim. Ratkaise epäyhtälö > 0. Ratkaistaan ensin vastaava yhtälö = 0. 1 ± = 1 4 1( ) = tai = 1. Piirretään pääpiirtein paraabeli y =. Koska toisen asteen termin kerroin a = 1 > 0, paraabeli aukeaa ylöspäin. Piirretään siis tällainen paraabeli kiinnittäen erityistä huomiota vain siihen, että se läpäisee -akselin pisteissä = 1 ja =. Epäyhtälö siis kysyy, millä muuttujan arvoilla lauseke on positiivinen eli millä muuttujan :n arvoilla paraabeli y = kulkee akselin yläpuolella. Vastaus: < 1 V >. Toisen asteen epäyhtälön ratkaisuohjeistoksi voidaan kirjoittaa seuraavaa: Saata epäyhtälö ensin sellaiseen normaalimuotoon, missä toisen asteen termin kerroin on positiivinen. Ratkaise vastaava yhtälö eli hae vasemman puolen nollakohdat Piirrä vasemman puolen kuvaajaparaabeli aukeamissuunnan ja nollakohtien avulla Käy katsomassa normaalimuodosta, mitä siellä kysytään kuvaajaparaabelin sijainnista akseliin nähden. Anna vastaus sen mukaan, mitä normaalimuoto kysyy.
Esim. 3 Ratkaise epäyhtälö + 5 > 0. Tässä on nyt a = < 0, joten kerrotaan epäyhtälö ensin ( 1):llä: 5 + < 0. Ratkaistaan vastaava yhtälö: 5 + = 0 5 ± 5 4 = eli = V = ½. 4 Paraabeli y = 5 + aukeaa ylöspäin ja läpäisee -akselin pisteissä = ja = ½. Vastaus: ½ < <. Toisen asteen epäyhtälöillä ja epäyhtälöillä yleensäkin on erittäin paljon käyttöä jatkokursseissa varsinkin differentiaalilaskennassa (kurssit 7 ja 8 ), joissa funktion ns. ääriarvoteoriaan liittyvissä laskutehtävissä ei juuri sellaista ole, missä ei joutuisi epäyhtälöitä ratkomaan. Myös melko tavallisen näköiset probleemat saattavat johtaa epäyhtälöihin ja on myös tavallista, että kansa yrittää selvitä niistä pelkän yhtälön avulla. Kun kerran epäyhtälöihin on tultu, niihin on tultu juuri sitä varten, että niitä hoksattaisiin käyttää. Probleemoissa on muistettava tarkoin ottaa huomioon, että probleeman ratkaisemiseksi laaditun epäyhtälön ratkaisujoukon alkioista eivät kaikki kelpaa varsinaisen probleeman ratkaisuksi.
Esim. 4 Suorakulmion kannan ja korkeuden summa on 50 m. Missä rajoissa suorakulmion kanta voi vaihdella, jotta alueen pinta-ala olisi vähemmän kuin 600 neliömetriä? Olkoot kanta, jolloin korkeus on 50. 50 RVY : (50 ) < 600 50 < 600 ( 1) < 0 50 + 600 > 0 50 ± 500 4 1 600 50 + 600 = 0 = = 0tai = 30 Paraabeli y = 50 + 600 aukeaa ylöspäin (a = 1 > 0), joten lauseke 50 + 600 saa positiivisen arvon nollakohtiensa ulkopuolella. Jos olisi ilman minkäänlaisia rajoituksia ratkaistavana epäyhtälö 50 + 600 > 0, saataisiin tälle vastaukseksi kaikki nollakohtien ulkopuoliset arvot eli < 0 tai > 30. Ratkaistavana on kuitenkin käytännön probleema, jossa muuttujaksi valittu kuvaa erään janan pituutta. Tämä ei ensiksikään saata olla negatiivinen eikä asetettujen ehtojen puitteissa ylittää arvoa 50. Tällainen muuttujaa koskeva rajaus on usein syytä tehdä heti aluksi. Tässä probleemassa muuttujaa sitoo ilmeisesti alkuehto 0 < < 50, joten ratkaistun epäyhtälön toteuttavista luvuista probleeman ratkaisujoukkoon kelpaavat vain ei-negatiiviset luvut ja toisaalta luvut, jotka eivät ylitä arvoa 50. Vastaus: 0 < < 0 m taikka 30 m < < 50 m.
Esim. 5 Määritä vakio a siten, ettei epäyhtälöllä 1 a + a < 0 ole ratkaisua. Paraabeli y = 1 a + a aukeaa ylöspäin. Vakio a pitäisi nyt kiinnittää niin, ettei ko. paraabeli kulkisi lainkaan -akselin alapuolella eli sillä ei saa olla kahta nollakohtaa. Yhtälön 1 a + = 0 diskriminantin tulee tällöin olla ei-positiivinen. Tämän päättelyn tuloksena voidaan muuttujan a sallittujen arvojen määrittämiseksi muodostaa epäyhtälö D = ( a) 1 4 a 0 a 4a 0 RVY: a 4a = 0 a( a 4) = 0 a = 0 tai a = 4 Paraabeli y = a 4a aukeaa ylöspäin (kuva), ja huomaa, että vaakaakseli on nyt a-akseli eikä -akseli. Ongelman luonne siis muuttui. a joten lauseke a 4a on negatiivinen nollakohtiensa välissä ja positiivinen ulkopuolella. Vastaus: Epäyhtälöllä 1 a + a < 0 ei ole ratkaisua, kun 0 < a < 4