Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi? - =? 2. Merkitse yhtä kukkaa kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. - =
3. Merkitse yhtä koiraa kirjaimella. Kirjoita yhtälöksi. + = 4. Merkitse yhtä lehteä kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. - =? 5. Merkitse yhtä kissaa kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. - =?
6. Merkitse yhtä nuottia kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. - = 7. 2 + = 7 Päätä, että on jokin asia/esine ja piirrä yhtälö kuvaksi edellisten tehtävien tapaan. 8. - 6 = 2 Päätä, että on jokin asia/esine ja piirrä yhtälö kuvaksi. YHTÄLÖITÄ (Marika Toivolan ja Tiina Härkösen materiaalin pohjalta muokattuna, www.avoinoppikirja.fi) 9. Päättele puuttuva luku. a) + 3 = 8 b) - 2 = -6
c) 1 + = 4 d) -10 - = 2 e) 2 + = 22 f) 50 + 25 = 10. Kirjoita edellinen tehtävä yhtälöinä merkitsemällä puuttuvaa lukua kirjaimella. 11. Päättele puuttuva luku. a) 2 = 8 b) 5 = 15 c) : 3 = 5 d) : 6 = 3 e) 10 : = 5
f) 12 : 6 = 12. Kirjoita edellinen tehtävä yhtälöinä merkitsemällä puuttuvaa lukua kirjaimella. 1. ENSIMMÄISEN ASTEEN YHTÄLÖT Yhtälössä on kaksi lauseketta merkitty yhtä suuriksi. Yhtälössä on siis aina yhtäsuuruusmerkki = Yhtälö voi olla tosi tai epätosi. Esimerkki 1. Yhtälö 2 + 3 = 6 on epätosi Yhtälö 5 = 2 + 3 on tosi Yhtälö 2 = 6 on tosi, kun = 3. Muilla :n arvoilla yhtälö on epätosi. Yhtälössä esiintyviä kirjaimia, joiden arvot on määrättävä siten, että yhtälö toteutuu, sanotaan tuntemattomiksi tai muuttujiksi.tuntemattomien arvojen etsimistä sanotaan yhtälön ratkaisemiseksi. Niitä tuntemattomien arvoja, jotka toteuttavat yhtälön, sanotaan yhtälön juuriksi. Yhtälön ratkaisu eli juuri on luku, joka sijoitettuna tuntemattoman paikalle, toteuttaa yhtälön.
Esimerkki 2. Onko = 5 yhtälön 4-8 = + 7 juuri? Sijoitetaan luku 5 yhtälöön :n paikalle. Vasen puoli on yhtä suuri kuin oikea puoli. Siis = 5 on yhtälön ratkaisu eli juuri. vasen puoli 4 5-8 = 20-8 = 12 oikea puoli 5 + 7 = 12 13. Onko = 2 yhtälön ratkaisu? a) 4 + 1 = 7 b) + 17 = 19 c) 2 + 5 = 9 d) - + 6 = 2 12 e) + 7 = 4 + 1 14. Kuvaa vaakaa yhtälöllä 2 2 2 10 20 20
2 2 2 2 100 15. Nueve on eräs numero espanjaksi. Jos lisäät lukuun nueve 3, saat summaksi 12. Mikä luku on nueve? 16. Tutki onko yhtälön + 5 = 2 ratkaisu: a) = 1 b) = 5 c) = 2 d) = 3 17. Päättele, millä :n arvolla lausekkeet 2 ja 5 saavat saman arvon? 18. Päättele, millä :n arvolla yhtälö toteutuu. a) 2 = 6 b) + 4 = 10 c) - + 1 = 7 d) 4 - = 2 + 19. Ratkaise yhtälö päättelemällä. a) 5 = 0 b) 3 = 33 c) 6y = - 6 d) 8: y = 2 20. Päättele, millä :n arvolla lauseke a) 2 + 1 saa arvon nolla? b) 3 + 2 saa arvon 11? c) 5-7 saa arvon 8?
Laske yhtälön avulla. 1. Tatulla on 5 euroa enemmän rahaa kuin Patulla. Yhteensä heillä on rahaa 15 euroa. Selvitä yhtälön avulla, kuinka paljon rahaa on Patulla. 2. Tatu ja Patu olivat pilkillä. Tatu sai 12 ahventa ja 4 särkeä. Patu sai 20 ahventa. Kuinka monta särkeä Patu sai, kun kaloja oli yhteensä 45? 3. Tatu on kaksi kertaa niin vanha kuin Patu oli vuosi sitten. Heidän ikiensä summa on 19 vuotta. Ratkaise yhtälön avulla kuinka vanhoja Tatu ja Patu ovat nyt. 4. Kun lukuun lisätään 4 ja summa kerrotaan kahdella, saadaan 36. 5. 30 metrin pituisella narulla aidataan suorakulmion muotoinen alue, jonka pituus on 4 m suurempi kuin leveys. Laske yhtälön avulla alueen pituus ja leveys. 6. Tatu ja Patu saivat työurakasta 160 euroa. Kuinka palkka on jaettava, kun Tatu teki työtä kolme kertaa niin paljon kuin Patu? 7. Tatulla ja Patulla on yhteensä 230 euroa. Tatulla on 24 euroa enemmän kuin Patulla. Kuinka paljon rahaa kummallakin on?
Verrannollisuus Verrannollisuudella tarkoitetaan kahden asian riippuvuutta toisistaan. Yhden asian muuttuessa toinenkin muuttuu samassa suhteessa. Luvut ovat suoraan verrannollisia, jos ne kasvavat ja pienenevät samassa suhteessa. Esimerkki. Henkilön palkka on suoraan verrannollinen 5 tuntia 75 7 tuntia 105 Kääntäen verrannolliset suureet muuttuvat eri suuntiin. Esimerkki. Työntekijöiden määrän kasvaessa työhön kulunut aika pienenee. 3 työntekijää 14 tuntia 8 työntekijää 5 tuntia 15 min *********************************************************************************** Suoraan verrannollisuus Ratkaisuvaiheet: 1. Muodostetaan taulukko ja merkitään suuntanuolet Aika / h Palkka / 5 75 7 2. Muodostetaan verranto 3. Kerrotaan ristiin 4. Jaetaan molemmat puolet tuntemattoman kertojalla = 105
Esimerkki. Kaksi banaania maksaa 0,31. Kuinka paljon maksaa 3 banaania Banaani kpl Maksaa 0,31 Kääntäen verrannollisuus Ratkaisuvaiheet: 1. Muodostetaan taulukko ja merkitään suuntanuolet Henkilöt Aika / h 3 14 8 2. Nuolet samansuuntaisiksi 3 8 14 3. Muodostetaan verranto 4. Kerrotaan ristiin 5. Jaetaan molemmat puolet tuntemattoman kertojalla = 5,25
Esimerkki. Kahdelta työntekijältä kuluu aikaa työn suorittamiseen 12 tuntia. Kuinka kauan kestää työn suorittamiseen, kun työntekijöitä on 5? Työntekijöitä kpl Työhön kuluva aika h 12 21. Suoraan vai kääntäen verrannollinen? Tilanne Suora verranto Kääntäen verranto Erä kastiketta pakataan litran vetoisiin astioihin, joita on 10 kpl. Montako astiaa tarvitaan, jos yksi astioista vaihdetaan puolen litran astiaan? Kokki tekee työn kahdessa tunnissa. Montako kokkia tarvitaan saman työn tekemiseen puolessa tunnissa? Marjoja pakataan kymmeneen litran vetoiseen astiaan. Paljonko marjoja mahtuu 20:een astiaan?
20 m 2 :n suuruisen salin imurointi kestää 7 minuuttia. Kauanko kestää 120 m 2 :n suuruisen salin imurointi? Ajonopeutta lisätään 80 kilometristä tunnissa 100:aan kilometriin tunnissa. Miten muuttuu tunnissa ajettu matka? Eräs lenkkeilijä juoksee 2 km 8 minuutissa. Miten muuttuu nopeus, jossa hän juokseekin samassa ajassa 2,2 km? Vesitynnyrin kaatohanan halkaisija on 7 mm ja täysi tynnyri tyhjenee 14 minuutissa. Kauanko tyhjeneminen kestää, jos hanan halkaisija onkin 12 mm? 22. 8 litraa bensaa maksaa 10,80 euroa. Kuinka paljon maksaa 12 litraa bensaa? litra euro 23. 100 kpl muttereita maksoi 5,60 euroa. Kuinka paljon olisi maksanut 250 kpl samoja muttereita? 24. 2,4 kg teräslevy maksoi 2,16. Kuinka paljon maksaa 9 kg samaa levyä? 25. Matkaan meni 1,5 tuntia 90 km/h nopeudella. Kuinka paljon aikaa olisi mennyt 70 km/h nopeudella? 26. Mehun sekoitussuhde on 1:8. Se tarkoittaa, että laitetaan 1 osa tiivistettä ja 8 osaa vettä. Sinulla on tiivistettä 5 dl. a) Kuinka paljon tarvitset vettä? b) Kuinka paljon tarvitset vettä? Kuinka paljon sait valmista mehua?
27. Pesuaineliuos laimennettiin suhteessa 1:15. Eli laitetaan 1 osa pesuainetta ja 15 osaa vettä. Paljonko pesuainetta tarvittiin, kun vettä käytettiin 2 litraa? 28. Pohjapiirroksen mittakaava on 1:50. Se tarkoittaa, että esim. 1 cm piirroksessa vastaa 50 cm todellisuudessa. Piirroksessa seinän pituus on 8 cm. Kuinka pitkä seinä on todellisuudessa? 29. Urakkaa teki 9 työntekijää, jolloin aikaa kului 18 tuntia. Kuinka lyhyessä ajassa urakka olisi tehty, jos olisi ollut 11 työntekijää? 30. Perunoita on varattu 4 kg 15 ruokailijalle. Kuinka paljon perunoita pitäisi varata 20 ruokailijalle? Rengasta seuraavista yhtälöt: 3 + 5 ö + 2 = 0 2 1 9s = 18 s 7 16-9s z 3 = 15 184r - 76 Yhtälön ratkaisukeinot: - yhtälön molemmille puolille lisätään sama termi - yhtälön molemmilta puolilta vähennetään sama termi - yhtälön molemmat puolet kerrotaan samalla termillä - yhtälön molemmat puolet jaetaan samalla termillä
Esimerkki. Ratkaise yhtälö 2 + 7 = 0. 2 + 7 = 0 vähennetään yhtälön molemmilta puolilta luku 7 2 + 7 7 = -7 2 = -7 yhdistetään samanmuotoiset termit jaetaan yhtälön molemmat puolet tuntemattoman edessä olevalla luvulla 7 2 kirjoita vastaus murtolukuna, jos jako ei mene tasan Esimerkki. Ratkaise yhtälö 6y 3 = 2. 6y 3 = 2 lisätään yhtälön molemmille puolille luku 3 6y 3 + 3 = 2 + 3 6y = 5 yhdistetään samanmuotoiset termit jaetaan yhtälön molemmat puolet tuntemattoman edessä olevalla luvulla 5 6 y kirjoita vastaus murtolukuna, jos jako ei mene tasan 31. Ratkaise yhtälö eli mikä luku sopii tuntemattoman tilalle? a) 5 = 15 = b) 3y = 12 y = c) 8z = 64 z = d) 4ö = 8 ö = 32. Ratkaise yhtälö a) + 3 = 5 = b) 8 + = 13 = c) 15 = 8 = d) 12 = 7 = 33. Ratkaise yhtälö a) 3 6 = 21 b) 9 + 7 = 25 c) 8 4 = 12 d) 5 + 8 = 23
34. Ratkaise yhtälö a) 2 3 = 13 b) 3 + 2 = 12 2 75 Esimerkki. Ratkaise yhtälö 6. y 75 6 y 1 Täydennetään yhtälön oikea puoli murtoluvuksi ja kerrotaan ristiin. Aloita tuntemattoman sisältämästä suunnasta. 6y = 75 Jaa yhtälön molemmat puolet tuntemattoman edessä olevalla luvulla. 75 6 y y = 12½ 35. Ratkaise yhtälö s a) 16 7 2z c) 6 3 51 b) 18 3k 91 d) 273 R 44 e) 3, 5 g) ratkaise yhtälö R:n suhteen U = RI f) ratkaise yhtälö U:n suhteen P = UI Esimerkki. Tatu ja Patu saivat urakasta yhtä paljon rahaa ja heidän tuntipalkkansa oli yhtä suuri. Tatu työskenteli 9 tuntia ja sai lisäksi 18 bonuksen. Patu työskenteli viisi tuntia ja sai 48 bonuksen. Kuinka suuri oli tuntipalkka ( /h)? Merkitään tuntipalkkaa t:llä. Tatu saa 9t + 18 ja Patu 5t + 48. Koske he saavat saman verran rahaa 9t + 18 = 5t + 48.
9t + 18 = 5t + 48-18 Vähennetään yhtälön molemmilta puolilta 18. 9t + 18 18 = 5t + 48 18 9t = 5t + 30-5t Vähennetään yhtälön molemmilta puolilta 5t. 9t 5t = 5t + 30 5t 4t = 30 : 4 Jaetaan yhtälön molemmat puolet luvulla 4. t = 30 : 4 t = 7,5 Vastaus: Tatun ja Patun tuntipalkka on 7,5 euroa. 36. Muodosta kuvasta yhtälö ja ratkaise se. a) b) c) d) e) f)
g) h) 2. Suoran piirtäminen Esimerkki 1. Piirrä suora y = 2-1. Lasketaan suoran kolme pistettä taulukon avulla ja piirretään suora koordinaatistoon. y = 2-1 y -1 2 (-1) 1 = -3 0 2 0 1 = -1 1 2 1 1 = 1 y = 2-1 37. Piirrä suora a) y = + 1 b) y = -3 +2 c) y = -2 3. toisen asteen yhtälö Esimerkki. Ratkaise yhtälö 2 2 + 4 = 0 2 ( + 2 ) = 0 2 = 0 tai + 2 = 0 Otetaan 2 yhteiseksi tekijäksi. Tulo on nolla, jos jompikumpi tulontekijä on nolla. = 0 tai = -2
Toisen asteen yhtälö on muotoa a 2 + b + c = 0, eli yhtälössä on toisen asteen -termi (a 2 ), ensimmäisen asteen -termi (b) ja vakiotermi c. Toisen asteen yhtälön ratkaisemista varten on kehitetty ratkaisukaava. Ensin yhtälö kirjoitetaan siten, että kaikki termit ovat yhtälön vasemmalla puolella, jolloin oikealle puolelle jää nolla: a 2 + b + c = 0. Etsitään lausekkeesta kertoimet a, b ja c. Sijoitetaan kertoimet huolellisesti ratkaisukaavaan: i) Ratkaisuja saadaan kaksi, jos juuren alle tulee positiivinen luku. ii) Ratkaisuja saadaan yksi, jos juuren alle tulee nolla. iii) Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, jos juuren alle tulee negatiivinen luku. 38. Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt: a) 3 2 - - 10 = 0 b) 4 2 + 20 + 29 = 0 c) 3 2 + 2 = 0 d) 2-9 = 0 e) 2 + 2-3 = 0