1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi. Vastinkulmat ovat keskenään yhtä suuret, ja vastinosien pituuksien suhteet ovat samat. Yhdenmuotoisuutta merkitään symbolilla. Yhdenmuotoiset kuviot ovat yleensä erikokoisia, mutta ne voivat olla myös samankokoisia eli yhteneviä. Yhtenevien kuvioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivut yhtä pitkät. SIMRKKI 1 Kolmiot ja ovat keskenään yhdenmuotoisia eli. Ratkaise a) kulman a suuruus b) sivun pituus. a 2,0 cm 105 46 29 6,0 cm 105 46 Ratkaisu a) Kulman a vastinkulma on kulma, jonka suuruus on 29. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. b) Koska vastinsivujen pituuksien suhde on sama, saadaan sivun pituus ratkaistua esimerkiksi verrannosta : 4,0 3,0 Verranto voidaan ratkaista 6,0 kertomalla ristiin: 4,0 3,0 3,0 4,0 6,0 6,0. 3,0 24,0 :3,0 24,0 3,0 8,0 Vastaus: a) Kulman a suuruus on 29. b) Sivun pituus on 8,0 cm. 116
SIMRKKI 2 Puun korkeus voidaan mitata asettamalla kynä mittaajan ja puun väliin sellaiselle etäisyydelle, että kynä ja puu näyttävät samanpituisilta. Laske näin mitatun puun korkeus. 8,5 cm 56 cm 110 m Ratkaisu Piirretään tilanteesta mallikuva. 8,5 cm 56 cm 110 m Muodostetaan vastinsivujen suhteista verranto 8,5 56 11 000 56 8,5 11 000 56 93 500 :56 93 500 56 1 669,64... 1 700 Vastaus: Puun korkeus on noin 17 metriä. : Muunnetaan pituudet samaan yksikköön: 110 m 11 000 cm. 1 700 cm 17 m HRJOITUSTHTÄVÄT 1. Ovatko kuviot ja keskenään yhdenmuotoisia? 2. Ovatko kuviot ja keskenään yhdenmuotoisia? 117
3. Ovatko kolmiot keskenään yhdenmuotoisia? Perustele vastauksesi. 7. Pellot ovat yhdenmuotoisia. Laske sivun pituus. 34 45 56 45 4. a) Mikä on kulman vastinkulma? b) Mikä on sivun vastinsivu? c) Mikä on sivun vastinsivu? 5. Mitkä kuvioista ovat keskenään yhdenmuotoisia? 30 m 60 m 80 m 8. Kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Laske sivun pituus. 3,4 cm 2,7 cm 2,3 cm G J H K I 9. a) Laske sivujen ja pituudet. b) Määritä kulmien a, β ja γ suuruudet. 53 37 5,0 cm 8,0 cm a γ 6,0 cm β 6. Laske vastinsivujen a) ja b) ja pituuksien suhde. 10. Lyhtypylvään varjon pituus on 12 m. Kuinka korkea pylväs on, kun sen vieressä olevan 2,4 m korkean liikennemerkin varjon pituus on 4,0 m? 11. Kolmio on jaettu sivun suuntaisella janalla kahdeksi yhdenmuotoiseksi kolmioksi. Laske janan pituus. 2,3 cm 2,5 cm 118
12. Ratkaise sivun pituus, kun janat ja ovat yhdensuuntaiset. 2,8 cm 13. Kun projektorin etäisyys valkokankaasta on 1,8 m, kuvan koko valkokankaalla on suurimmillaan 1,6 m 1,2 m. Mitkä ovat kuvan mitat, jos projektori viedään 4,5 metrin etäisyydelle kankaasta? 4,2 cm 3,3 cm KOTITHTÄVÄT 14. Ovatko kolmiot PQR ja KLM keskenään yhdenmuotoisia? Perustele vastauksesi. R P L 72 18 6,3 cm 6,0 cm 12,6 cm 12,0 cm 15. Mitkä kuvioista ovat keskenään yhdenmuotoisia? 18 72 K M 2,0 cm Q 16. Tasaisella pihalla kasvavan puun varjon pituus oli 18 m ja vieressä olevan lipputangon 30 m. Laske puun korkeus, kun lipputangon korkeus oli 15 m. 17. a) Laske sivujen JK ja NL pituudet. b) Määritä kulmien J, N ja L suuruudet. HJK LMN K 5,0 cm 51 53 76 H J L 8,0 cm M N 8,3 cm G H I 18. Kolmio on jaettu sivun suuntaisella janalla kahdeksi yhdenmuotoiseksi kolmioksi. Laske janan pituus. 6,8 cm 4,3 cm 3,6 cm P U L M 19. Kolmiot, ja ovat yhdenmuotoisia. Laske sivujen ja y pituudet. Juoma ja pullopantti maksavat yhteensä 4,40 euroa. Juoma maksaa 4 euroa enemmän kuin pullopantti. Mikä on pullopantin hinta? y 5,0 cm 119
2 Suurennokset ja pienennökset Kun kuviota suurennetaan tai pienennetään, sen muoto säilyy, mutta koko muuttuu. Suurennos Suurennoksessa kohde esitetään alkuperäistä kokoa suurempana. Kohteen muoto säilyy, mutta pituudet kasvavat suurennoksen osoittamassa suhteessa. SIMRKKI 1 Hyttynen on suurennettu kuvassa nelinkertaiseksi. Mikä on hyttysen todellinen korkeus? 2,0 cm Ratkaisu Suurennos on nelinkertainen, joten hyttysen todellinen korkeus saadaan jakamalla kuvan korkeus neljällä. 2,0 cm 0,5 cm 4 Vastaus: Hyttysen todellinen korkeus on 0,5 cm. Pienennös Pienennöksessä kohde esitetään alkuperäistä kokoa pienempänä. Kohteen muoto säilyy, mutta pituudet lyhenevät pienennöksen osoittamassa suhteessa. SIMRKKI 2 Kuvan lehmän mitat ovat 1 50 todellinen korkeus? alkuperäisistä mitoista. Mikä on lehmän 2,7 cm Ratkaisu Lehmä on todellisuudessa 50 kertaa niin korkea kuin kuvan lehmä. Korkeus saadaan kertomalla kuvan korkeus luvulla 50. 50 2,7 cm 135 cm 140 cm Vastaus: Lehmän todellinen korkeus on noin 140 cm. 120
HRJOITUSTHTÄVÄT 1. Piirrä kuvio kaksinkertaisena. a) b) 2. Janan pituus on 2,2 cm. Laske uusi pituus, kun jana suurennetaan a) kaksinkertaiseksi b) nelinkertaiseksi c) kymmenkertaiseksi. 3. Janan UV pituus on 16 cm. Laske uusi pituus, kun jana pienennetään a) puoleen b) neljäsosaan c) kymmenesosaan. 6. Kuvan lintujen mitat ovat 1 70 alkuperäisistä mitoista. a) Luettele linnut siipivälin pituuden mukaan pienimmästä suurimpaan. b) Mittaa lintujen siipivälien pituudet ja laske todelliset mitat. merilokki kuningasalbatrossi merikotka 4. Pienennä kolmio puoleen alkuperäisestä. 7. Miten alkuperäisen kolmion kulmien suuruudet muuttuvat, kun kolmio a) suurennetaan kaksinkertaiseksi b) pienennetään puoleen? 5. Kuvan hyönteiset on suurennettu kolminkertaisiksi. a) Luettele hyönteiset pituuden mukaan pienimmästä suurimpaan. b) Mittaa hyönteisen pituus kuvasta ja laske todellinen pituus. 8. Kolmiosta on tehty pienennös. a) Päättele kolmion kulmien suuruudet. b) Kuinka monenteen osaan kolmio on pienennetty? c) Laske sivujen ja pituudet. leppäkerttu 20 cm 52 15 cm muurahainen 32 cm sokeritoukka 80 52 30 cm 121
9. Valkokankaalle, jonka pidempi sivu on 180 cm, heijastetaan 24 mm 36 mm:n kokoinen kuva, joka täyttää koko kankaan. a) Kuinka moninkertainen suurennos on? b) Mikä on kankaalle syntyvän kuvan pinta ala? 10. Kuinka moninkertaiseksi kasvaa kuution tilavuus, kun särmän pituus kaksinkertaistuu? KOTITHTÄVÄT 11. a) Suurenna suorakulmio kaksinkertaiseksi. b) Kuinka pitkiä ovat suurennetun suorakulmion sivut? 12. a) Pienennä mallin mukainen kolmio puoleen alkuperäisestä. b) Kuinka pitkiä ovat pienennetyn kolmion sivut? 8,0 cm 13. Hyönteinen on suurennettu mikro s koopilla 20 kertaiseksi. Sen pituus on kuvassa 2,1 cm. Mikä on hyönteisen todellinen pituus? 14. Valokuva on suurennettu nelin kertaiseksi. Mikä on valokuvan korkeus todellisuudessa, kun sen korkeus on suurennoksessa 48 cm? 15. Kuinka moninkertainen todellinen esine on pienoismalliin verrattuna, kun 4,8 cm:n mitta mallissa on 1,2 m todellisuudessa? 6,0 cm 10,0 cm 16. Piirrä hahmo pienennettynä puoleen alkuperäisestä. P U L M Lentokone lähtee Helsingistä paikkaan Y klo 9.00 ja viipyy perillä 3 tuntia. Paluumatkalle kone lähtee klo 15.15 paikallista aikaa ja on perillä Helsingissä klo 22.30. Menoja paluumatkat kestävät yhtä kauan. Mikä on paikan Y aikaero Suomen aikaan verrattuna? 122
KSTR Kultainen leikkaus Kultaisessa leikkauksessa jana jaetaan kahteen osaan siten, että janan lyhyemmän osan suhde pidempään osaan on sama kuin pidemmän osan suhde koko janaan. Kultaista leikkausta käytetään esimerkiksi kuvataiteessa ja arkkitehtuurissa, koska sen ehdot täyttävät kuviot miellyttävät silmää. SIMRKKI 3 Jos metrin mittainen jana jaetaan kultaisen leikkauksen suhteessa, leikkauskohta on noin 61,8 senttimetrin kohdalla. 100 cm 61,8 cm 38,2 cm 38,2 cm 61,8 cm 61,8 cm 100 cm SIMRKKI 4 Nelikulmio on kultainen suorakulmio, jos se voidaan jakaa janalla neliöksi ja suorakulmioksi, joka on yhdenmuotoinen koko suorakulmion kanssa. a b a ba a a a b b Lyhyemmän osan suhde pidempään osaan on yhtä suuri kuin pidemmän osan suhde koko janaan. 17. Jaa 3,00 metrin mittainen jana kultaisen leikkauksen suhteessa. Kuinka pitkiä osat ovat? 18. Suorakulmion muotoinen maalaus on tehty kultaisen leikkauksen suhteessa. Pidemmän sivun pituus on 80 cm. Kuinka pitkä on lyhyempi sivu? 19. ibonaccin lukujonon 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, seuraava jäsen saadaan, kun kaksi edellistä jäsentä lasketaan yhteen. a) Kirjoita lukujonon 5 seuraavaa jäsentä. b) Jaa aina jonon edellinen jäsen seuraavalla jäsenellä. Mitä huomaat? 2 20. Laske lausekkeen 1+ 5 a) kolmidesimaalinen likiarvo laskimella ja vertaa sitä kultaisen leikkauksen jakosuhteeseen b) arvon käänteisluku. Mitä huomaat? Myös luonto suosii kultaista leikkausta. simerkiksi viiden terälehden muodostamassa tähtikuviossa leikkauksia on useita. 123
3 Mittakaava Vastinsivujen pituuksien suhdetta sanotaan yhdenmuotoisuussuhteeksi eli mittakaavaksi. Mittakaavaa tarvitaan, kun kohde kuvataan luonnollista kokoa suurempana tai pienempänä. mittakaava pituus kuvassa alkuperäisen kohteen pituus Mittakaavan kuvaama suhde esitetään usein kaksoispisteen avulla. SIMRKKI 1 Mittakaava 2 eli 2:1 tarkoittaa, että alkuperäinen kohde on 1 suurennettu kaksinkertaiseksi. Vastaavasti mittakaava 1 eli 1:3 3 tarkoittaa, että alkuperäinen kohde on pienennetty kolmasosaan. SIMRKKI 2 Mikä on suurennoksen mittakaava? 1,0 cm alkuperäinen Ratkaisu suurennos Mittakaava on suurennoksen pituuden suhde alkuperäiseen pituuteen. 3 3:1 1,0 cm 1 Suurennoksessa suhteen ensimmäinen jäsen on suurempi kuin toinen. Vastaus: Mittakaava on 3:1. P U L M 124 Lyydian äiti oli Lyydian syntyessä 24-vuotias. Nyt hän on neljä kertaa niin vanha kuin Lyydia. Kuinka vanha Lyydian äiti on nyt?
HRJOITUSTHTÄVÄT 1. Mikä on mittakaava, kun alkuperäinen kohde on a) suurennettu viisinkertaiseksi b) pienennetty neljäsosaan? 2. Mikä on kuvan mittakaava? alkuperäinen kuva 6. lkuperäisen suorakulmion kanta on 16 ja korkeus 12 ruudunsivua. Mitkä ovat uuden suorakulmion mitat, kun mittakaava on a) 1:2 b) 2:1 c) 1:4? 7. Varaston pohjapiirroksen mittakaava on 1:50. Laske varaston pituus, kun se on piirroksessa 15 cm. 3. Onko kyseessä pienennös vai suurennos, kun mittakaava on a) 50:1 b) 1:300 c) 1:20 000 d) 2:1? 8. uton pienoismallin mittakaava on 1:24. Laske alkuperäisen auton pituus. 19,6 cm 4. Piirrä kuvan kolmio mittakaavassa a) 1:2 b) 2:1 c) 1:1. 5. Kolmiot KLM ja GH ovat yhtenevät. Mikä on kolmioiden mittakaava? 9. Nukkekodin pohjapiirroksessa olohuoneen pituus on 2,8 cm ja leveys 2,2 cm. Laske nukkekodin olohuoneen todellinen pinta ala, kun mittakaava on 1:12. 10. Kuinka moninkertaiseksi tulva alueen pinta ala muuttuu, kun sen pituus ja leveys a) kaksinkertaistuvat b) kolminkertaistuvat c) puolittuvat? KOTITHTÄVÄT 11. Mikä on mittakaava, kun alkuperäinen kohde on a) suurennettu kuusinkertaiseksi b) pienennetty kahdeksasosaan? 12. Piirrä kuvan kolmio mittakaavassa a) 1:3 b) 2:1 c) 1:1. 13. Suorakulmion kanta on 20 ja korkeus 16 ruudunsivua. Kuinka pitkiä kanta ja korkeus ovat, kun piirroksen mitta kaava on a) 1:2 b) 2:1 c) 1:4? 14. Tietokonemallinnuksessa tenniskentän pituus on 13,2 cm ja leveys 6,0 cm. Laske kentän todelliset mitat ja pinta ala, kun mittakaava on 1:185. 125
13 Kertaus 1 Yhdenmuotoisuus 1. Kolmiot ja GHI ovat keskenään yhdenmuotoisia. Mikä on a) kulman vastinkulma b) sivun vastinsivu c) sivun vastinsivu? I 4 Mittakaavan sovelluksia 6. Jussin koulumatka on kartalla 5,5 cm. Kuinka pitkä matka on todellisuudessa, kun kartan mittakaava on a) 1:10 000 b) 1:20 000 c) 1:50 000? G H 2. Kolmiot ja ovat keskenään yhdenmuotoisia. Laske sivun pituus. 9,0 cm 6,0 cm 2 Suurennokset ja pienennökset 3. Maalaus on kirjassa olevaan kuvaan verrattuna oikeasti kymmenkertainen. Kuinka leveä maalaus on, kun kirjassa sen leveys on 3,4 cm? 4. Tietokoneen näytöllä hyönteisen kuva on kymmenkertainen oikeaan hyönteiseen verrattuna. Kuinka pitkä hyönteinen on oikeasti, kun sen pituus näytöllä on 5 cm? 5 Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-ala 7. Suunnikkaat ja ovat yhdenmuotoisia mittakaavassa 1:3. a) Kuinka moninkertainen suunnikkaan pinta ala on suunnikkaaseen verrattuna? b) Laske suunnikkaan pinta ala, kun suunnikkaan pinta ala on 40 cm 2. 8. Mikä on kuvioiden pinta alojen suhde, kun mittakaava on a) 1:4 b) 3:1 c) 1:10 d) 3:2? 6 Pythagoraan lause 9. Nimeä suorakulmaisesta kolmiosta kateetit ja hypotenuusa ja kirjoita kolmion sivuista Pythagoraan lauseen mukainen yhtälö. a) b) t r ä ä k p 3 Mittakaava 5. Suorakulmion kanta on 25 ja korkeus 15 ruudunsivua. Kuinka pitkiä kanta ja korkeus ovat, kun mittakaava on a) 1:1 b) 2:1 c) 1:5? 7 Hypotenuusan ratkaiseminen 10. Laske hypotenuusan pituus. a) b) 9 12 7,5 cm 12,5 cm 162
8 Kateettien ratkaiseminen 11. Laske kateetin pituus. a) 48 50 b) 8,7 cm Kokoavia tehtäviä 18. Peruskartta on piirretty mittakaavassa 1:20 000. Kuinka pitkä Rottajärvi on? 4,2 cm 9 Suorakulmaisen kolmion piiri ja pinta-ala 12. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 5,5 cm ja 8,1 cm. Laske kolmion piiri ja pinta ala. 10 Onko kolmio suorakulmainen? 13. Kolmion kaksi kulmaa ovat 65 ja 15. Onko kolmio suorakulmainen? Perustele. 14. Onko kolmio suorakulmainen, kun sen sivujen pituudet ovat 12, 16 ja 20? Perustele. 11 Pythagoraan lauseen sovelluksia 15. Kuinka paljon polku oikaisee? Kellokuja polku 900 m 600 m Kuusitie 16. Puiden korkeudet ovat 12 m ja 29 m. Niiden välinen etäisyys on 11 m. Laske puiden latvojen välinen etäisyys. 19. Katjan pituus on 165 cm. Kun hän seisoo 4,0 m:n päässä lyhtypylväästä, hänen varjonsa pituus on 3,2 m. Piirrä mallikuva ja laske lyhtypylvään korkeus. 20. Laske sivun a) b) y pituus. 7,2 cm 2,0 cm 21. Levy on 120 cm leveä ja 240 cm pitkä. a) Mikä on levyn lävistäjän pituus? b) Mahtuuko levy sisään ikkuna aukosta, jonka mitat ovat 110 cm 50 cm? 22. Laske kolmion pinta ala. y 12 Suorakulmainen kolmio ja ympyrä 17. Laske a) ympyrän pinta ala b) kolmion sivun pituus c) kolmion pinta ala. 7,8 cm 8,4 cm 3,2 cm 7,6 cm 1,0 cm 23. Laske tasakylkisen kolmion pinta ala, kun sen kanta on 96,0 m ja kylki 50,0 m. 163
Tiivistelmä Käsitteitä Keskenään samanmuotoisia kuvioita kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden vastinkulmat ovat yhtä suuria ja vastinosien pituuksien suhteet ovat samat. Vastinsivujen pituuksien suhdetta sanotaan mittakaavaksi. Suorakulmaisen kolmion lyhyemmät sivut ovat kateetteja ja pisin sivu on hypotenuusa. Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisen kolmion kateettien pituuksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituuden neliö: a 2 + b 2 c 2. c hypotenuusa a kateetti b kateetti hypotenuusa a kulman a viereinen kateetti kulman a vastainen kateetti sin a cos a tan a kulman a vastainen kateetti hypotenuusa kulman a viereinen kateetti hypotenuusa kulman a vastainen kateetti kulman a viereinen kateetti simerkkejä 1. Lasketaan kateetin pituus. 2 2 2 12 + 20 2 144+ 400 2 400 144 2 256 ± 256 16 12 Negatiivinen ratkaisu -16 ei kelpaa, sillä ( ) kateetin pituus on positiivinen. 20 2. Laske a) kolmion korkeus h b) terävän kulman a suuruus. Ratkaisu a) sin30 h 6,0 6,0 6,0 sin 30 h h 6,0 sin 30 h 3,0 6,0 cm 30 h a b) tanα tanα 1 α 45 Vastaus: a) Korkeus on. b) Kulman a suuruus on 45. 216