PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Tomi Ketolainen Ville Vierimaa Luento 7: Hilavärähtelyt tiistai 12.4.2016
Aiheet tänään Hilavärähtelyt: johdanto Harmoninen approksimaatio 1D-ketjun värähtely: yksiatominen kanta 1D-ketjun värähtely: kaksiatominen kanta Kokeellisten dispersiorelaatioiden tulkintaa
Tavoitteet Osaat antaa esimerkkejä tiiviiseen aineeseen liittyvistä ominaisuuksista ja ilmiöistä, joiden ymmärtämiseksi täytyy ottaa huomioon ionien värähtely Osaat selittää, miten hilan värähtelyjen täydellinen kuvaus saadaan vain 1. Brillouinin vyöhykettä tarkastelemalla. Osaat kuvata minkälaista ionien värähtelyä yksinkertaisen 1D-ketjumallin dispersiorelaation eri osat vastaavat Osaat tulkita yksinkertaisia kokeellisesti määritettyjä dispersiorelaatioiden kuvaajia: värähtelyjen polarisaatiot, akustiset ja optiset haarat, värähtelymoodeihin liittyvät vaihe- ja ryhmänopeudet
Hilavärähtelyt: johdanto
Ominaislämpö Miten energiaa varastoituu hilavärähtelyihin? Miten lämpötila vaikuttaa ominaislämpöön? Huomaa merkittävä ero johteiden ja eristeiden välillä matalilla lämpötiloilla
Lämmönjohtavuus Miten hilavärähtelyt kuljettavat energiaa? Mitkä tekijät vaikuttavat tähän? http://en.wikipedia.org/wiki/thermal_conductivity
Dispersiorelaatiot kalium Minkälaisia ominaisvärähtelymoodeja materiaaleissa esiintyy (ω vs. K)? Miten näitä voidaan määrittää kokeellisesti, ennustaa ja tulkita?
Tilatiheys g(ω) Minkälainen on värähtelymoodien jakauma taajuuden (energian) suhteen? hilavärähtelyn energia, ominaislämpö Stedman et al., Phys. Rev. 162 (1967) 549
Dispersiorelaatioiden mittaaminen Valon sironta Erityisesti röntgensäteet ja näkyvä valo, vuorovaikutus ensisijaisesti elektronien kanssa. Neutronisironta Vuorovaikutus ensisijaisesti ytimien kanssa, erittäin hyvä energian erotuskyky Näistä aiheista lisää luennolla 9 (ti 19.4.)
Harmoninen approksimaatio
http://phycomp.technion.ac.il/~pavelba/comp_phys/project/project.html Ionit liikeessä Ionien liike hilassa värähtelyn ominaisvärähtelyjen (normaalimoodien) Superpositio (vrt. Fourier-analyysi) Ionit kiinnitettyjä hilapaikoilleen (vrt. sulaminen) Poikkeamat hilapaikoilta hyvin pieniä, suuruusluokkaa ~0.1 Å
Harmoninen approksimaatio Ionin potentiaalienergia sen Bravais-hilapaikan R läheisyydessä = 0, koska u(r) on tasapainoaseman energia harmoninen termi korkeamman asteen anharmoniset termit Koska a on pieni, valitaan vain nollannen ja toisen asteen termit
1D-tapaus jousivakio, C Ioniin kohdistuva voima Hooken laki, vrt. Sidebottom, yhtälö (10.1)
Energia Anharmonisuus Esimerkkejä Lämpölaajeneminen Ominaislämpökapasiteetti korkeilla lämpötiloilla T 2 > T 1 Lämmönjohtuminen (terminen resistiivisyys) T 1 Etäisyys r Fononi-fononi vuorovaikutukset Dispersiorelaation riippuvuus lämpötilasta
1D-ketjun värähtely: yksiatominen kanta
1D-ketju D ω B C A: Minkälaista ionien liikettä piste K = 0 vastaa? B: Mitä tämä viiva kuvaa (dispersiokäyrän tangentti pisteessä K = 0 tai lineaarinen sovitus, kun K 0) C: Mikä on tämän pisteen fysikaalinen merkitys? Minkälaista ionien liikettä se vastaa? -π/d A K π/d 2π/d D: Mitkä näistä viivalla olevista pisteistä kuvaavat samaa ionien värähtelyä?
1D-ketju ω max ω Suuruusluokka-arvio ionien värähtelyn ylärajataajuudelle (K = ±π/d). -π/d K π/d 2π/d
1D-ketju ω max ω Suuruusluokka-arvio ionien värähtelyn ylärajataajuudelle (K = ±π/d). Esim. lyijylle [100]-suunnassa v o = 1158 m/s 2d = 4.95 Å -π/d K π/d 2π/d
1. Brillouinin vyöhyke Vierekkäisten ionien välinen vaihe-ero Sininen käyrä: K - 2π/d Punainen käyrä: K + 2π/d
1. Brillouinin vyöhyke 1. 2. Ajanhetkellä t. Mustan aallon siirtymä ajanhetkellä t + δt. 3. 4. Otetaan sitten huomioon myös sinisen aallon siirtymä ajanhetkellä t + δt (huomioi aaltojen eri vaihenopeudet dispersiorelaation mukaisesti, v p = ω/k).
Ominaisvärähtelymoodit Periodiset reunaehdot, sallitut moodit Kuinka monta erilaista värähtelymoodia systeemissä on? Mistä tämä seuraa? Määritä n max Brillouinin 1. vyöhykkeen rajan avulla. Muista sitten huomioida sekä positiivinen että negatiivinen suunta
Värähtelyn eteneminen v v p v g Mikä erityinen arvo vastaa pistettä K = 0? K http://en.wikipedia.org/wiki/group_velocity
1D-ketjun värähtely: kaksiatominen kanta
Kaksiatominen kanta optinen haara akustinen haara K
Kaksiatominen kanta D C C B Minkälaista ionien liikettä vastaavat pisteet A-D? Minkälaista tämä liike on pitkittäisessä värähtelyssä? A A Mitä voit sanoa värähtelyn ryhmänopeudesta eri haaroissa? K
Kaksiatominen kanta Analyyttinen lähestymistapa, Sidebottom, yhtälö (10.27): D C C B Määritä ionien amplitudien suhde kummassakin haarassa pisteissä K = 0 ja K = ±π/d, kun taajuuden arvot näissä pisteissä ovat dispersiorelaation avulla jo tunnetut A K A Huom! Jos muutamme ionien massat samoiksi ja kaikkien vierekkäisten ionien väliset etäisyydet ovat samat (d), saamme jälleen monatomisen ketjun dispersiorelaation, mutta tällöin 1. Brillouinin vyöhykkeen rajat ovat pisteissä K = ±2π/d
Yleisesti 3D-tapauksessa Si 3 akustista haaraa 3(p -1) optista haaraa (p = kannan ionien lukumäärä)
Kokeellisten dispersiorelaatioiden tulkintaa
Kalium (BCC) 1. Brillouinin vyöhyke (FCC) Notaatiosta: kreikkalaiset kirjaimet = suunta K-avaruudessa latinalaiset kirjaimet = piste Brillouinin vyöhykkeessä Cowley et al., Phys. Rev. 150 (1966) 487
Lyijy (FCC) q = Ka/2π Miksi taajuudet ovat pitkittäisissä suunnissa suurempia kuin poikittaisissa suunnissa? Mieti ionitasojen välistä vuorovaikutusta poikittais- ja pitkittäissuunnissa: voimakas vuorovaikutus, korkea taajuus Brockhouse et al., Phys. Rev. 128 (1962) 1099
Lyijy (FCC) q = Ka/2π Pystytkö selittämään FCC-hilan (tai sen käänteishilan) perusteella poikittaisen värähtelyn degeneraation [100]-suunnassa? Entä miten on [110]-suunnan tapauksessa? Brockhouse et al., Phys. Rev. 128 (1962) 1099
Pii (timanttirakenne) Optiset haarat mikä on näiden alkuperä? Ovatko piin optiset haarat oikeasti optisesti aktiivisia? Eivät. Piin (kaksiatomisen) kannan ionit/atomit ovat samanlaiset, joten niiden muodostamalla parilla ei ole dipolimomenttia, eikä tällöin kytkentää sähkömagneettiseen kenttään
Ensi kerralla (to 14.4.) Fononin käsite Fononien energia ja (kide)liikemäärä Fononien tilatiheys Sidebottom 10.1.4 (ei magnoneita), 11.1.2, 11.2.1