Luku 5 SEMNTTISET PUUT 51 Semanttisten puiden muodostaminen Esimerkki 80 Tarkastellaan kysymystä, onko kaava = (( p 0 p 1 ) (p 1 p 2 )) toteutuva Tätä voidaan tutkia päättelemällä semanttisesti seuraavaan tapaan: (1) Olkoon M malli Tällöin implikaation ja negaation totuusmääritelmien perusteella M = jos ja vain jos M = p 0 p 1 ja M = (p 1 p 2 ) Tilanne voidaan esittää seuraavalla kuvalla: p 0 p 1 (p 1 p 2 ) Tässä merkki kaavan vieressä viittaa siihen, että sitä ei enää tarvitse käsitellä jatkossa, vaan riittää tarkastella sen alla olevia kaavoja (2) Edelleen disjunktion totuusmääritelmän perusteella M = p 0 p 1 jos ja vain jos M = p 0 tai M = p 1 Tarkastelu voidaan siis jakaa kahteen eri tapaukseen seuraavan kuvan mukaisesti: p 0 p 1 (p 1 p 2 ) p 0 p 1 (3) Vastaavasti disjunktion ja negaation totuusmääritelmistäa seuraa, että M = (p 1 p 2 ) jos ja vain jos M = p 1 ja M = p 2 Edelläolevaa puuta voidaan siis 74
jatkaa seuraavasti: p 0 p 1 (p 1 p 2 ) p 0 p 1 p 1 p 1 p 2 p 2 O X (4) Yhdistämällä kohdat (1)-(3) nähdään, että M = jos ja vain jos mallissa M on totta kaikki ylläolevan puun joko vasemmanpuoleisella tai oikeanpuoleisella oksalla olevat kaavat Jälkimmäinen ei ole mahdollista, koska oikeanpuoleisella oksalla on keskenään ristiriitaiset kaavat p 1 ja p 1 ; oksan päähän on lisätty X merkiksi ristiriitaisuudesta Sen sijaan vasemmanpuoleisella oksalla olevat merkitsemättömät kaavat p 0, p 1 ja p 2 ovat tosia missä hyvänsä mallissa M =(P, T), jolla p 0,p 1,p 2 T Olemme siis löytäneet kaavalle M mallin, joten se on toteutuva Vasemmanpuoleisen oksan perään on myös lisätty merkki O, koska sillä olevia kaavoja ei voi enää palauttaa yksinkertaisemmiksi, eikä se sisällä ristiriitaa Esimerkisä 80 muodostettua puuta sanotaan kaavan semanttiseksi puuksi Semattisen puun avulla voidaan siis osoittaa, että tarkasteltava kaava on toteutuva Sillä voidaan myös todistaa, että annettu kaava ei ole toteutuva: jos nimittäin kaavalle voidaan muodostaa semanttinen puu, jonka kaikki oksat ovat ristiriitaisia, niin kyseisen kaava ei voi olla tosi missään mallissa Esimerkki 81 Osoitetaan, että kaava = (((p 0 p 1 ) p 2 ) (p 0 p 2 )) ei ole toteutuva muodostamalla sille semanttinen puu, jonka kaikki oksat ovat ristiriitaisia Koska on implikaation negaatio, saadaan aluksi seuraava puu: (p 0 p 1 ) p 2 (p 0 p 2 ) 75
Käsitellään seuraavaksi alimmainen kaava, joka on myös implikaation negaatio: (p 0 p 1 ) p 2 (p 0 p 2 ) p 0 p 2 Tämän jälkeen käsitellään :n alapuolella oleva implikaatio Se on tosi jos ja vain jos joko sen vasen puoli on epätosi tai sen oikea puoli on tosi; puu haarautuu siis kahteen oksaan: (p 0 p 1 ) p 2 (p 0 p 2 ) p 0 p 2 (p 0 p 1 ) p 2 Oikeanpuoleinen oksa todetaan heti ristiriitaiseksi ( p 2 ja p 2 ) Vielä pitää käsitellä vasemmalla oksalla oleva disjunktion negaatio: (p 0 p 1 ) p 2 (p 0 p 2 ) p 0 p 2 (p 0 p 1 ) p 2 p 0 X p 1 X 76
Nyt huomataan, että myös vasemmanpuoleinen oksa on ristiriitainen (p 0 ja p 0 ) Semanttisten puiden muodostamisessa käytetään sääntöjä, jotka perustuvat siis konnektiivien totuusmääritelmiin Listaamme seuraavaksi kaikki nämä säännät Kullakin kaksipaikkaisella konnektiivilla on kaksi sääntöä, joista toista sovelletaan negaation kanssa Negaatio on siis mukana kaikkien muiden konnektiivien säännöissä, ja lisäksi sillä on yksi oma sääntönsä Konjunktio: B ( B) B B Disjunktio: B ( B) B B Implikaatio: B ( B) B B Ekvivalenssi: B ( B) B B B B Negaatio: 77
Sääntöjä tulkitaan niin, että niiden tuottamat uudet kaavat on lisättävä jokaisen sellaisen oksan päähän, jolla säännön lähtökohtana oleva kaavan esiintymä on Esimerkiksi kun tilanteessa ( B) sovelletaan implikaation negaation sääntöä, päädytään puuhun C D ( B) C D B B Poikkeuksen tästä sovellusohjeesta muodostavat ristiriitaiset oksat, eli oksat, joilla on sekä jokin kaava B että sen negaatio B Tällaista oksaa ei tarvitse enää jatkaa, ja merkiksi ristiriitaisuudesta oksan loppuun voidaan lisätä merkki X Semanttisen puun oksaa sanotaan lopulliseksi, jos se on ristiriitainen tai kaikki sillä olevat käsittelemättömät (eli symbolilla merkitsemättömät) kaavat ovat literaaleja (eli lausemuuttujia tai lausemuuttujan negaatioita) Lopullinen oksa on avoin, jos se ei ole ristiriitainen; tällaisen oksan voi merkitä lisäämällä sen perään symbolin O Semanttinen puu on lopullinen, jos sen kaikki oksat ovat lopullisia Koska literaalien totuus määräytyy suoraan tarkasteltavasta mallista M, niiden totuutta ei voi enää palauttaa yksinkertaisempien kaavojen totuuteen Siksi kaavan lopullisesta semanttisesta puusta voidaan suoraan nähdä, onko kaava toteutuva vai ei: jos puun kaikki oksat ovat ristiriitaisia, niin kaava ei ole toteutuva, jos taas puussa on yksikin avoin oksa, niin kaavalla on malli Semanttisen puun avulla voidaan myös todistaa, että annettu kaava on validi: Jos nimittäin kaavalla on semanttinen puu, jonka kaikki oksat ovat ristiriitaisia, niin 78
ei ole toteutuva, mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että on validi Esimerkki 81 osoittaa siis, että kaava ((p 0 p 1 ) p 2 ) (p 0 p 2 ) on validi Tämän mukaisesti määrittelemme, että kaavan semanttinen todistus on sellainen :n semanttinen puu, jonka kaikki oksat ovat ristiriitaisia Esimerkki 82 nnetaan semanttinen todistus kaavalle D =( B) ( B) Ensimmäinen vaihe: D B ( B) ( B) ( B) Käsitellään seuraavaksi konjunktio ja kaksoisnegaatio vasemmalla sekä disjunktion negaatio oikealla: D B ( B) ( B) ( B) B B B Lopuksi käsitellään disjunktio vasemmalla ja konjunktion negaatio oikealla: D B ( B) ( B) ( B) B B B B B X X X X Nyt huomataan, että kaikki saadun puun oksat ovat ristiriitaisia, joten semanttinen todistus kaavalle D on valmis 79
Semattisen puun avulla voidaan myös tutkia kysymystä, onko annettu kaava B kaavojen 1,, n looginen seuraus Looginen seuraus 1, n = B pätee jos ja vain jos implikaatio 1 n B on validi Riittää siis tutkia tämän implikaation negaation semanttista puuta Esimerkki 83 Olkoon = (p 0 p 1 ) ja B = p 0 p 1 Osoitetaan semanttisten puiden avulla, että = B, mutta B = Ensimmäistäa väitettä varten muodostetaan kaavan ( B) semanttinen puu (vasemmalla) ja toista varten kaavan (B ) semanttinen puu (oikealla): ( B) (B ) B B p 0 p 0 p 1 p 1 p 0 p 1 p 0 p 0 p 0 p 0 p 0 p 0 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 X X X p 1 X p 1 O O Vasemmanpuoleisen puun kaikki oksat ovat ristiriitaisia, joten kaava B on validi Sen sijaan kaavalle (B ) muodostettu semanttinen puu on lopullinen, ja siinä on kaksi avointa oksaa Siksi kaava (B ) on toteutuva, joten ei ole kaavan B looginen seuraus voimilta oksilta nähdään, että (B ) on tosi sellaisissa malleissa M, joilla M = p 0 ja M = p 1
KIRJLLISUUTT J llwood & L G ndersson & Ö Dahl, Logiikka ja kieli Yliopistopaino, Helsinki, 1988 R Bradley & N Swartz, Possible Worlds Basil Blackwell Ltd, Oxford, 1979 S Guttenplan, The Languages of Logic Basil Blackwell Ltd, Oxford, 1987 E J Lemmon, Beginning Logic Thomas Nelson (Printers) Ltd, London, 1969 J Merikoski & Virtanen & P Koivisto, Diskreetti matematiikka I Tampereen yliopisto, matemaattisten tieteiden laitos, B 42, 1994 S Miettinen, Logiikan peruskurssi 2 uudistettu painos Oy Gaudeamus b, Helsinki, 1993 W H Newton Smith, Logic Routledge & Kegan Paul, London, 1985 I Niiniluoto, Johdatus tieteenfilosofiaan Kustannusosakeyhtiö Otava, Helsinki, 1980 I Niiniluoto, Tieteellinen päättely ja selittäminen Kustannusosakeyhtiö Otava, Helsinki, 1983 V Rantala & Virtanen, Johdatus mdaalilogiikkaan Gaudeamus Kirja, Helsinki, 2004 V Rantala & Virtanen, Logiikan peruskurssi Tampereen yliopisto, matemaattisten tieteiden laitos, 208, 1989 V Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia Tampereen yliopisto, matemaattisten tieteiden laitos, B 43, 1997 H Salminen & J Väänänen, Johdatus logiikkaan Oy Gaudeamus b, Helsinki, 1992 J Talja, Logiikan peruskurssi Supreum ry, 1981 G H von Wright, Logiikka, filosofia ja kieli Kustannusosakeyhtiö Otava, Helsinki, 1975 81